导数及其应用1.4生活中的优化问题举例习题课
1.4 生活中的优化问题举例
4
高为
由题意知 x>0,x+0.5>0,且 3.2-2x>0,
∴0<x<1.6.
设容器的容积为 V m3,
则有 V=x(x+0.5)(3.2-2x)
=-2x3+2.2x2+1.6x(0<x<1.6).
∴V'=-6x2+4.4x+1.6.
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令 V'=0,有 15x2-11x-4=0,
解得
4
x1=1,x2=-15(舍去).
∴当 x∈(0,1)时,V'(x)>0,V(x)为增函数,
x∈(1,1.6)时,V'(x)<0,V(x)为减函数.
∴V 在 x∈(0,1.6)时取极大值 V(1)=1.8,这个极大值就是 V 在
x∈(0,1.6)时的最大值,即 Vmax=1.8.这时容器的高为 1.2 m.
此时 Smax=42=16(m2).
答案:16 m2
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2.用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所
制作容器的底面的一边比另一边长 0.5 m,那么高为多少时容器的容
积最大?并求出它的最大容积.
解:设容器底面短边的边长为 x m,则另一边长为(x+0.5) m,
14.8-4x-4(x+0.5)
思路分析:表示面积时,首先要建立适当的平面直角坐标系,借助
椭圆的方程,可表示出等腰梯形的高.
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解:(1)依题意,以 AB 的中点 O 为原点建立平面直角坐标系(如
图所示),则点 C 的横坐标为 x,点 C 的纵坐标为
1.4 生活中的优化问题---市级优质课课件
价为180元/天时，房间会全部住满；房间单
价每增加10元，就会有一个房间空闲。如果
游客居住房间，宾馆每天每间需花费20元的
各种维护费用，房间定价为多少时，宾馆利 润最大？
解：设每个房间每天的定价为x元， x 180 则利润f(x)=(50)(x-20) 10 1 2 =- x 70 x 1360(180 x 680) 10 1 ' 令f ( x) x 70 0, 解得x 350. 5 当x (180,350)时，f ' ( x) 0; 当x (350, 680)时，f ' ( x) 0. 因此，x 350是函数f ( x)的极大值点，也是最大值点， 所以当每个房间定价为350元/天时，宾馆利润最大. 答：当每个房间定价为350元/天时，宾馆利润最大.
练习3：在边长为a的正方形铁皮的四角切去相 等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一 个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子 容积最大？
x
x
解:设箱底边长为 x,则箱高
2
3x 求导数，得V ( x) ax 2 2
ax a 2 x V ( x) Sh x ( ) x , (0 x a) 2 22 2
ax h 2 箱子容积 3
2a 即当x 时，箱子容积最大。 3 2a
3x 2a 令V ( x) ax 0，解得x 或x （舍去） 0 2 32a 2a 当x (0, )时，V ( x) 0；当x ( , a)时，V ( x) 0. 3 3 2a x 是函数V ( x)的极大值点，也是最大值点。 3
新课标人教A版选修2—2第一章 导数及其应用
巩固练习
答案：D
答案：A
生活中的优化问题举例(27)
整理课件
【解析】设圆锥的高为x cm，则底面半径为 202 xc2m，
其体积为V=1 πx(202-x2)(0<x<20)，
3
V′= 1π(400-3x2)，令V′=0，
3
解得x1=2 0
3
3 ，x2=
2(0舍去3 ).
3
当0<x<2 0 3 时，V′>0；当 2 0<x3 <20时，V′<0，
整理课件
2.解应用题的思路和方法
解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽
象成数学问题，就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知
识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、
研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去.
其思路如下：
实际问题
数学化 转化成数学问题
问 决题
整理课件
2.在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再 把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底 的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
整理课件
【解析】1.由题意，设矩形边长AD＝2x，则AB＝4-x2，
∴矩形面积为S=2x(4-x2)=8x-2x3(0<x<2).∴S′=8-6x2.
整理课件
【归纳】解答题1，2时的注意点与解答本题2时的关键点. 提示：(1)解答题1，2时，注意函数的定义域应该是实际问题 情境中符合实际情况的自变量的取值范围. (2)解答题2时，关键是正确地得到函数解析式后对函数极值点 的判断，当函数在给定的区间上只有一个极值点时，该极值点 为最值点.
选修2-2讲义：第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例(原卷版)
学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：课程主题：授课时间：学习目标教学内容1.4生活中优化问题举例1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道导数是求函数最大(小)值的有力工具，运用导数，可以解决一些生活中的优化问题．2．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域在开区间上只有一个极值时，这个极值就是它的最值．3．解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的□10数学建模过程．解决生活中的优化问题应当注意的问题(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点满足f′(x)＝0的情形．如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点比较，我们可直接判断这就是最大(小)值．(3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实际问题中列出函数模型后，其定义域上需函数关系式本身有意义即可．()(2)实际问题中f′(x)＝0只有一个解且是极值点时，它就是f(x)的最值点．()2．做一做(1)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该厂家获取最大年利润的年产量为________．(2)某工厂要围建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为________．探究1 面积、容积的最值问题例1 用长为90 cm ，宽为 48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？拓展提升在求面积、容积最大值问题时，要注意充分利用几何图形，建立数学模型，列出函数关系式，再利用导数计算，但一定要注意自变量的取值范围．【跟踪训练1】 用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边长比另一边长长0.5 m ，那么高为多少时，容器的容积最大？并求它的最大容积．探究2 费用(用材最省问题)例2 如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于距河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元(a ≠0)，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？拓展提升(1)根据题设建立数学模型，借助图象寻找各条件间的联系，适当选定变量，构造相应的函数关系，通过求导或其他方法求出最值．(2)在实际问题中，若函数在某区间内只有一个极值点，则只要根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．【跟踪训练2】 要建一个圆柱形无盖的粮仓，要求它的容积为500 m 3，问如何选择它的直径和高，才能使所用材料最省？探究3 利润最大(成本最低)问题例3 某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润y (万元)表示为年广告费x (万元)的函数，如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？拓展提升(1)经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．(关键词：以产量或单价为自变量)(2)关于利润问题常用的两个等量关系 ①利润＝收入－成本；②利润＝每件产品的利润×销售件数．【跟踪训练3】 某工厂生产某种产品，已知该产品的生产量x (t)与每吨产品的价格p (元/t)之间的关系式为p ＝24200－15x 2，且生产x t 产品的成本为R ＝50000＋200x .问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤解决优化问题的方法很多，如：平均不等式法、线性规划方法及利用二次函数的性质等．不少优化问题，可以化为求函数最值问题．导数方法是解决这类问题的有效工具．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤是：(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)则为最大(小)值.1．某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝13x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A．8 B．203C．－1 D．－82．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则其高应为()A．2033cm B．100 cm C．20 cm D．203cm3．某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2⎝⎛⎭⎫60－x2(0<x<60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为()A．30 B．40 C．50 D．其他4．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．5．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，求x，y分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m)。
高中数学第1章导数及其应用14生活中的优化问题举例课件新人教A版选修20
【解】 设容器的高为 x m，底面边长分别为 y m，(y＋0.5)m， 则 4x＋4y＋4(y＋0.5)＝14.8，
即 y＝1.6－2x. 因为 x＞0，且 y＞0，得 0＜x＜3.2. 所以容器的容积 V＝xy(y＋0.5)＝x1.6－2x2.1－2x ＝14x3－1.85x2＋3.36x(0＜x＜3.2)．
A．6 千台
B．7 千台
C．8 千台
D.9 千台
解析：设利润为 y，则 y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3 ＋18x2(x＞0)．
∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)． ∵当 0＜x＜6 时 y′＞0，当 x＞6 时，y′＜0， ∴当 x＝6 时，y 取得最大值．故选 A. 答案：A
解析：由题设知 y′＝x2－39x－40， 令 y′>0，解得 x>40 或 x<－1， 故函数 y＝13x3－329x2－40x(x>0)在[40，＋∞)上递增，在(0,40] 上递减． ∴当 x＝40 时，y 取得最小值． 由此为使耗电量最小，则其速度应定为 40. 答案：40
5．学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣 传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求 版心面积为 128 dm2，上、下两边各空 2 dm，左、右两 边各空 1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积 最小？
(1)用 θ 分别表示矩形 ABCD 和△CDP 的面积，并确定 sin θ 的 取值范围；
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、 乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3.求当 θ 为何值时，能使甲、 乙两种蔬菜的年总产值最大．
1.4生活中的优化问题举例课件人教新课标
重难聚焦
名师点拨1.在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的 意义,不符合实际意义的值应舍去. 2.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x)=0的 情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知 道这就是最大(小)值. 3.在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用 函数关系表示,还应确定出函数关系中自变量的定义区间.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
利润最大问题 【例3】 某分公司经销某品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每 件产品需向总公司交a(3≤a≤5)元的管理费,估计当每件产品的售 价为x(9≤x≤11)元时,一年的销售量为(12-x)2万件. (1)求分公司一年的利润L(单位:万元)与每件产品的售价x的函数关 系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大?并求出 L的最大值Q(a). 分析:(1)利用题中等量关系找出L与x的函数关系式;(2)求出(1)中函 数关系式的导函数,再利用导数求最值.
当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500. 故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)隔热层厚度为 x cm,
由题意知每年能源消耗费用为 C(x)= 3xk+5, 再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)= 3x4+05. 而建造费用为 C1(x)=6x.
高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例优化练习新人教A版选修2-2(2021年整理)
2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用1.4 生活中的优化问题举例优化练习新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用1.4 生活中的优化问题举例优化练习新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用1.4 生活中的优化问题举例优化练习新人教A版选修2-2的全部内容。
1。
4 生活中的优化问题举例［课时作业]［A组基础巩固］1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位:℃)为f(x）＝13x3－x2＋8（0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A．8 B.20 3C．－1 D．－8解析:原油温度的瞬时变化率为f′(x）＝x2－2x＝(x－1)2－1（0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.答案：C2．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为( ）A．10 B．15C．25 D．50解析：如图，CDEF为半圆O的内接矩形，C、D为圆上的动点,连接OC，设∠COF＝α，则CF＝5sin α，OF＝5cos α，∴S矩形CDEF＝2×5cos α·5sin α＝25sin 2α（0<α〈π2）．∴S矩形CDEF的最大值为25。
答案:C3．某人要购买8件礼物，分两次购买，商家规定每次购买礼物付款金额为当次购买礼物数量的三次方，若使购买礼物付款额最省，此人每次购买礼物的数量分别为( ) A．2,6 B．4，4C．3,5 D．1，7解析:设第一次购买了x件礼物,则第二次购买了8－x件,则付款额f（x）＝x3＋（8－x）3，f′(x)＝3x2－3(8－x）2＝3（16x－64），令f′(x)＝0，得x＝4，∴当x＝4时，付款额最省．答案:B4．某公司生产一种产品,固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390）的关系是R(x）＝－错误!＋400x，（0≤x≤390),则当总利润最大时,每年生产的产品单位数是( ）A．150 B．200C．250 D．300解析:由题意可得总利润P（x)＝－错误!＋300x－20 000，0≤x≤390，由P′(x)＝－错误!＋300＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′（x）〉0；当300〈x≤390时，P′（x)〈0，所以当x＝300时,P（x)最大．答案：D5．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k〉0），贷款的利率为0。
生活中的优化问题举例
＝v3 －5v2＋6 000(0＜v≤100)．
48 2
(2)Q′＝ v2 － 16
5v，
令 Q′＝0，则 v＝0(舍去)或 v＝80，
当 0＜v＜80 时，Q′＜0；
当 80＜v≤100 时，Q′＞0，
∴v＝80 千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，
且
Qmin＝ Q(80)＝2
000(元)． 3
栏目 导引
第一章 导数及其应用
由V′＝12x2－552x＋4 320＝0，得x1＝10，x2＝36. ∵0＜x＜10时，V′＞0,10＜x＜36时，V′＜0，x＞36时， V′＞0， ∴当x＝10时，V有极大值V(10)＝19 600. 又∵0＜x＜24， ∴V(10)又是最大值． ∴当x＝10时，V有最大值V(10)＝19 600. 故当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm3.
栏目 导引
第一章 导数及其应用
方法归纳 注意利用导数的方法解决实际问题时，如果在定义区间内只 有一个点使f′(x)＝0，且函数在这点有极大(小)值，那么不 与端点值比较，也可以知道该点的函数值就是最大(小)值．
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第一章 导数及其应用
2．甲、乙两地相距 400 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙 地，速度不得超过 100 千米/时，已知该汽车每小时的运 输成本 P(元)关于速度 v(千米/时)的函数关系是 P＝ 1 v4－ 1 v3＋15v.
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用料(费用)最省问题
第一章 导数及其应用
一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方 成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元， 而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多 少时，航行1海里所需的费用总和最小？ [解] 设速度为每小时 v 海里的燃料费是每小时 p 元，那 么由题设的比例关系得 p＝k·v3，其中 k 为比例系数，它