导数的应用练习题及详解

一、导数应用

1． 单调区间：一般地，设函数

)(x f y =在某个区间可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数； 如果'f 0)(

减函数；如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常数；

2．极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 二、导数应用的细节

1、导数与函数的单调性的关系

㈠

0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。

0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。

㈡

0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。

若将

0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，此时)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。∴当

0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。

㈢

0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系。

)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。当函数在某个区间

内恒有

0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。

㈣单调区间的求解过程，已知)(x f y =

（1）分析

)(x f y =的定义域; （2）求导数 )(x f y '='

（3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式

0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间。

我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数

)(x f y =在某个区间内可导。

2、求极值、求最值。

用导数判别f (x 0)是极大、极小值的思路: 若0x 满足0)(0='x f ，

且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是

)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值

1．设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，则f (x )为R 上增函数的充要条件是( ) A ．b 2－4ac >0 B ．b >0，c >0 C ．b ＝0，c >0

D ．b 2－3ac <0

[答案] D

[解析] ∵a >0，f (x )为增函数， ∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c >0恒成立，

∴Δ＝(2b )2－4×3a ×c ＝4b 2－12ac <0，∴b 2－3ac <0.

2．(2014·广东，8)函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)

D ．(2，＋∞)

[答案] D

[解析] 考查导数的简单应用．

f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ， 令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.

3．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )上任一点(x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝(x 0－2)(x 0＋1)2，则该函数的单调递减区间为( ) A ．[－1，＋∞)

B ．(－∞，2]

C ．(－∞，－1)和(1,2)

D ．[2，＋∞)

[答案] B

[解析] 令k ≤0得x 0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]．

4．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图(1)所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )

[答案] C

[解析] 当0

∴f ′(x )<0，故y ＝f (x )在(0,1)上为减函数

当x >1时xf ′(x )>0，∴f ′(x )>0，故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数，因此否定A 、B 、D 故选C. 5．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( )

A.????－π，－π2和????0，π2

B.????－π2，0和????0，π2

C.????－π，－π2和????π2，π

D.????－π2，0和????π

2，π [答案] A

[解析] y ′＝x cos x ，当－π

2

时，

cos x <0，∴y ′＝x cos x >0， 当0

2

时，cos x >0，∴y ′＝x cos x >0.

6．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)<2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)

D ．f (0)＋f (2)>2f (1)

[答案] C

[解析] 由(x －1)f ′(x )≥0得f (x )在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f (x )恒为常数， 故f (0)＋f (2)≥2f (1)．故应选C.

7．已知y ＝1

3x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3在R 上不是单调增函数，则b 的范围为________．

[答案] b <－1或b >2

[解析] 若y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0恒成立，则Δ＝4b 2－4(b ＋2)≤0，∴－1≤b ≤2， 由题意b ＜－1或b ＞2.

8．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a 的取值范围为________． [答案] a ≥1

[解析] 由已知a ＞1＋ln x

x 在区间(1，＋∞)内恒成立．

设g (x )＝1＋ln x x ，则g ′(x )＝－ln x

x 2＜0 (x ＞1)，

∴g (x )＝1＋ln x

x 在区间(1，＋∞)内单调递减，

∴g (x )＜g (1)， ∵g (1)＝1， ∴

1＋ln x

x

＜1在区间(1，＋∞)内恒成立， ∴a ≥1.

9．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)． (1)求a 、b 的值；

(2)讨论函数f (x )的单调性．

[解析] (1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .

由于f (x )的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，

即?

????

1－3a ＋3b ＝－113－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3. (2)由a ＝1，b ＝－3得

f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3) ＝3(x ＋1)(x －3)．

令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x )<0，解得－1

当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数；当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数．

10.3

2

()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是

(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4 解：2()363(2)f x x x x x '=-=-，令()0f x '=可得x ＝0或2（2舍去），当－1≤x <0时，()f x '>0，当0

11.若f(x)=x 3＋3ax 2

＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是__ _。

答案: a>2或a<-1。提示：2()363(2),f x x ax a '=+++ ∵f(x) 既有极大值又有极小值 , 2363(2)x ax a +++＝０有两个不同的解。

12．f （x ）= 1+3sin x + 4cos x 取得最大值时，tan x =

解答：f′（X ）=3cosx －4sinx=0 tanx=43，f(X)在tanx=43时取得最大值，即填4

3。 13设函数()32

()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。

（Ⅰ）求b 、c 的值。

（Ⅱ）求()g x 的单调区间与极值。

思路分析：先求出'()f x ,再利用奇函数定义即可求出b,c 的值，再利用导数这一工具，可求出函数的单调区间及

极值

解析：（Ⅰ）∵()32f x x bx cx =++，∴()232f x x bx c '=++。从而

322()()()(32)g x f x f x x bx cx x bx c '=-=++-++＝32(3)(2)x b x c b x c +-+--是一个奇函数，所以(0)0g =得0c =，由奇函数定义得3b =；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知3()6g x x x =-，从而2()36g x x '=-，令2

()36g x x '=-=0，解得2x =±，由

2()360,22g x x x x '=->><-解得或，2()360,22g x x x '=-<-<<解得由此可知，

函数()g x 的单调递增区间是(,2)-∞-和(2,)+∞；单调递减区间是(2,2)-； 进而得()g x 在2x =-时，取得极大值，极大值为42，()g x 在2x =时，取得极小值，极小值为42-。

14设a 为实数,函数.)(23

a x x x x f +--= 求)(x f 的极值.

解：(I)'()f x =32

x －2x －1

若'()f x =0，则x ==－

1

3

，x =1 当x 变化时，'()f x ，()f x 变化情况如下表：

x (－∞，－13) －13 (－1

3

，1) 1 (1，+∞)

'()f x + 0 － 0 + ()f x 极大值 极小值

∴()f x 的极大值是15

()327

f a -=

+，极小值是(1)1f a =- 15已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --=

（1）若0)1(=-'f ，求)(x f 在[－2，2] 上的最大值和最小值；

思路分析：（1）按照利用导数求函数的最值的步骤去求解。（2）当函数f(x)在给定的区间上递增时，则在该区间上恒有'()0f x ≥,从而得到关于a 的不等式。 解: (Ⅰ)由原式得,44)(2

3

a x ax x x f +--= ∴.423)(2--='ax x x f

由0)1(=-'f 得21=a ,此时有43)(),21)(4()(2

2--='--=x x x f x x x f . 由0)1(=-'f 得3

4

=x 或x=－1 ,

当[2,2]x -在变化时，'(),()f x f x 的变化如下表

x

(2,1)--

1-

4(1,)3

-

43 4(,2)3 )(x F '

+ 0

-

0 +

4509

()(),()(1),(2)0,(2)0,3272

f x f f x f f f ==-=-=-==极小极大又

所以f(x)在[－2,2]上的最大值为,2

9最小值为.2750

- 16已知函数c bx ax x x f ++-=23)(的图象为曲线E .

(Ⅰ) 若曲线E 上存在点P ，使曲线E 在P 点处的切线与x 轴平行，求a ,b 的关系； (Ⅱ) 说明函数)(x f 可以在1-=x 和3=x 时取得极值，并求此时a ,b 的值； (Ⅲ) 在满足(2)的条件下，c x f 2)(<在]6,2[-∈x 恒成立，求c 的取值范围.

解：(1) b x a x x f +-='23)(2,设切点为),(00y x P ,则曲线)(x f y =在点P 的切线的斜率

b ax x x f k +-='=020023)(,由题意知023)(02

00=+-='b ax x x f 有解，

∴01342≥-=?b a 即b a 32≥.

(2)若函数)(x f 可以在1-=x 和3=x 时取得极值，

则023)(2=+-='b x a x x f 有两个解1-=x 和3=x ，且满足b a 32≥. 易得9,3-==b a .

(3)由(2)，得c x x x x f +--=93)(23.

根据题意，x x x c 9323-->(]6,2[-∈x )恒成立.

∵函数x x x x g 93)(23--=（]6,2[-∈x ）在1-=x 时有极大值5（用求导的方法）， 且在端点6=x 处的值为54.

∴函数x x x x g 93)(23--=（]6,2[-∈x ）的最大值为54. 所以54>c .

)(x F

递增

极大值92

递减

极小值

5027

-

递增