线性代数矩阵相关练习题知识讲解
矩阵理论习题与答案
矩阵理论习题与答案矩阵理论习题与答案矩阵理论是线性代数中的重要内容之一，它在数学、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
为了帮助读者更好地理解和掌握矩阵理论，本文将介绍一些常见的矩阵理论习题，并提供详细的答案解析。
一、基础习题1. 已知矩阵A = [[2, 3], [4, 5]]，求A的转置矩阵。
答案：矩阵的转置是将其行和列互换得到的新矩阵。
所以A的转置矩阵为A^T = [[2, 4], [3, 5]]。
2. 已知矩阵B = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，求B的逆矩阵。
答案：逆矩阵是指与原矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵。
由于B是一个2×3的矩阵，不是方阵，所以不存在逆矩阵。
3. 已知矩阵C = [[1, 2], [3, 4]]，求C的特征值和特征向量。
答案：特征值是矩阵C的特征多项式的根，特征向量是对应于每个特征值的线性方程组的解。
计算特征值和特征向量的步骤如下：首先，计算特征多项式：det(C - λI) = 0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。
解特征多项式得到特征值λ1 = 5，λ2 = -1。
然后，将特征值代入线性方程组 (C - λI)x = 0，求解得到特征向量：对于λ1 = 5，解得特征向量v1 = [1, -2]。
对于λ2 = -1，解得特征向量v2 = [1, -1]。
所以C的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1，对应的特征向量为v1 = [1, -2]，v2 = [1, -1]。
二、进阶习题1. 已知矩阵D = [[1, 2], [3, 4]]，求D的奇异值分解。
答案：奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。
计算奇异值分解的步骤如下：首先，计算D的转置矩阵D^T。
然后，计算D和D^T的乘积DD^T，得到一个对称矩阵。
接下来，求解对称矩阵的特征值和特征向量。
将特征值构成对角矩阵Σ，特征向量构成正交矩阵U。
最后，计算D^T和U的乘积D^TU，得到正交矩阵V。
线性代数考研习题归类汇总-矩阵
将一个矩阵分解为若干个奇异值和相应的左右奇 异向量的乘积。
QR分解
将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩 阵的乘积。
谱分解
将一个矩阵分解为若干个特征值和相应的特征向 量的乘积。
正定矩阵的性质与判别方法
正定性
正定矩阵的所有特征值都大于称的，即满足$A = A^T$。
在控制系统理论中，正定矩阵用 于描述系统的能控性和能观性， 是系统分析和设计的重要工具。
06
考研真题解析
历年考研真题汇总
2016年考研数学一矩 阵部分真题
2017年考研数学一矩 阵部分真题
2018年考研数学一矩阵 部分真题
2015年考研数学一矩 阵部分真题
真题解析与答案解析
• 2015年考研数学一矩阵部分真题解析与答案解析
100%
逆矩阵的性质
若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵也 唯一，记作A^(-1)，且(A^(1))^(-1)=A。
80%
逆矩阵的求法
高斯-若尔当消元法、伴随矩阵法 、分块矩阵法等。
行列式的定义与性质
行列式的定义
n阶方阵A的行列式记作|A|或det(A)，即所有n阶排列a_11,a_12,...,a_1n的乘积。
分块法
将矩阵进行分块处理，利用分 块矩阵的性质简化计算。
04
矩阵的秩与特征值
矩阵的秩
定义
矩阵的秩是其行（或列）向量组中线性无关向 量的最大数量。
计算方法
通过行（或列）初等变换，将矩阵化为阶梯形 矩阵，其中非零行的数量即为矩阵的秩。
性质
矩阵的秩具有如下性质，对于任意的矩阵A、B和常数k，有r(A+B)≤r(A)+r(B)， r(kA)=r(A)。
矩阵与行列式练习题及解析
矩阵与行列式练习题及解析矩阵与行列式是线性代数的重要内容之一，对于理解和运用线性代数的基本概念和方法具有重要作用。
本文将为读者提供一些矩阵与行列式的练习题，并对其解析过程进行详细讲解，帮助读者掌握相关知识。
练习题一：已知矩阵A=⎡⎣⎢123456⎤⎦⎥，求A的转置矩阵AT。
解析：矩阵的转置是指将矩阵的行与列进行对调。
根据定义，矩阵AT的第i行第j列元素等于矩阵A的第j行第i列元素。
因此，可以得到矩阵A的转置矩阵AT=⎡⎣⎢143256⎤⎦⎥。
练习题二：已知矩阵B=⎡⎣⎢112233⎤⎦⎥，求B的逆矩阵B-1。
解析：矩阵的逆是指与之相乘得到单位矩阵的矩阵。
对于2×2的矩阵而言，可以通过下面的公式求得逆矩阵：B-1 = 1/(ad-bc) * ⎡⎣⎢dd-bb-cc-aa⎤⎦⎥，其中a、b、c、d分别代表B的对应元素。
根据此公式，可以得到矩阵B的逆矩阵B-1=⎡⎣⎢-1/3-2/30.5-1⎤⎦⎥。
练习题三：已知矩阵C=⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥，求C的行列式|C|。
解析：行列式是用来表征矩阵性质的量，对于3×3的矩阵而言，行列式的计算公式如下：|C| = a(ei-hf) - b(di-hg) + c(dg-ge)，其中a、b、c、d、e、f、g、h、i分别代表矩阵C的对应元素。
带入矩阵C的值，可以得到|C|=0。
练习题四：已知矩阵D=⎡⎣⎢123456789⎤⎦⎥，求D的特征值和特征向量。
解析：特征值和特征向量是矩阵在线性变换过程中的重要指标，特征值是矩阵对应特征向量的线性变换因子。
首先，求解特征值需要解特征方程Det(D-λI)=0，其中λ为特征值，I为单位矩阵。
通过计算得到特征值λ1=0，λ2=15，λ3=-15。
然后，根据特征值求解对应的特征向量，即求解方程组(D-λI)X=0，其中X为特征向量。
求解过程中，可以得到特征向量X1=⎡⎢⎣-1-101⎤⎥⎦，X2=⎡⎢⎣111⎤⎥⎦，X3=⎡⎢⎣100-11⎤⎥⎦。
《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答
An
=
⎜⎜⎝⎛
0 C
⎜⎛ 1
B 0
⎟⎟⎠⎞
,
其中
C = (n) ，
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 M 0
0 L 0 ⎟⎞
2 M 0
L L
n
0
M −
⎟ ⎟ 1⎟⎟⎠
，
故 C −1 = ( 1 ) , n
⎜⎛1 0 L
0 ⎟⎞
B −1
=
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
M 0
12 M 0
L L
1
0⎟ (nM− 1) ⎟⎟⎟⎠
，
根据分块矩阵的逆矩阵公式
⎜⎛ 2 ⎜0
0 4
2⎟⎞ 0⎟
⎜⎝ 4 3 2⎟⎠
例 2.12 设 X(E − B −1 A)T BT = E , 求 X . 其中
⎜⎛1 −1 0 0 ⎟⎞
⎜⎛ 2 1 3 4⎟⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
1 0 0
−1 1 0
0⎟ −11⎟⎟⎟⎠ ,
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
2 0 0
1 2 0
0⎟
0 8
⎟ ⎟⎟⎠
,
求B,
使 ABA −1
=
BA −1
+ 3E
．
解 根据 ABA −1 = BA−1 + 3E , 得到 (A − E )BA−1 = 3E
故 A − E, A 皆是可逆的, 并且
( ) [ ] B = 3(A − E )−1 A = 3(A − E )−1 A−1 −1 = 3 (A−1 )(A − E) −1 = 3(E − A−1 )−1
第二章 矩阵及其运算
矩阵习题精选精解
矩阵习题精选精解矩阵习题在高等数学和线性代数中占有极为重要的地位。
完成矩阵习题可以帮助我们更深入地理解矩阵的运算、性质和应用。
然而，在面对复杂的矩阵问题时，许多人常常感到困惑和无从下手。
为了帮助大家更好地解决这些难题，我整理了一些矩阵习题的精选精解。
1.矩阵加减法矩阵加减法是矩阵运算的基础，也是解决许多问题的重要手段。
在矩阵加减法中，需要注意矩阵的维度和对应元素的运算。
例如，计算矩阵A和矩阵B的差：A = [1 2; 3 4],B = [5 6; 7 8]A -B = [1-5 2-6; 3-7 4-8] = [-4 -4; -4 -4]2.矩阵转置矩阵转置是指将矩阵中的行与列交换。
矩阵转置后，矩阵的维度不变，但是矩阵中各个元素的位置发生了变化。
矩阵转置的运算可以用符号T表示。
例如，对于矩阵A进行转置：A = [1 2; 3 4]A^T = [1 3; 2 4]3.矩阵乘法矩阵乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
在矩阵乘法中，需要注意矩阵的维度和对应元素的运算。
例如，计算矩阵A和矩阵B的积：A = [1 2; 3 4],B = [5 6; 7 8]A *B = [1*5+2*7 1*6+2*8; 3*5+4*7 3*6+4*8] = [19 22; 43 50]4.矩阵的逆矩阵的逆是一个广义的倒数，即若矩阵A可逆，则存在一个矩阵B，使得A*B=B*A=I，其中I是单位矩阵。
求矩阵的逆可以用矩阵求逆公式进行计算。
例如，对于矩阵A进行求逆：A = [2 3; 4 5]A^-1 = 1/(2*5-3*4) * [5 -3; -4 2] = [-5 3; 4 -2]/-15.矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量对于矩阵的性质和应用具有重要的作用。
矩阵的特征值是一个标量，矩阵的特征向量是一个非零向量，它们满足一个方程式：Ax = λx，其中A是矩阵，x是非零向量，λ是实数。
例如，对于矩阵A，求解其特征值和特征向量：A = [2 3; 4 5]|A-λI| = |2-λ 3; 4 5-λ| = λ^2 - 7λ + 2 = 0解得λ1 = 1/2，λ2 = 7/2当λ1 = 1/2时，解得特征向量x1 = [-3 2]当λ2 = 7/2时，解得特征向量x2 = [3 4]以上是几道常见的矩阵习题的精选精解。
矩阵的运算与线性方程组练习题及解析
矩阵的运算与线性方程组练习题及解析在线性代数中，矩阵的运算是十分重要的一部分，同时也与线性方程组密切相关。
本文将为大家带来一些关于矩阵的运算和线性方程组的练习题，并给出详细的解析。
1. 矩阵的加法和减法题目：已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]，B = [7 8 9; 10 11 12]，计算A +B和A - B。
解析：矩阵的加法和减法的计算规则是对应元素相加或相减。
根据给定的矩阵A和B，我们可以得到如下结果：A +B = [1+7 2+8 3+9; 4+10 5+11 6+12] = [8 10 12; 14 16 18]A -B = [1-7 2-8 3-9; 4-10 5-11 6-12] = [-6 -6 -6; -6 -6 -6]2. 矩阵的乘法题目：已知矩阵A = [1 2; 3 4]，B = [5 6; 7 8]，计算A * B和B * A。
解析：矩阵的乘法的计算规则是将第一个矩阵A的每一行与第二个矩阵B的每一列对应元素相乘，然后将结果相加。
根据给定的矩阵A和B，我们可以得到如下结果：A *B = [1*5+2*7 1*6+2*8; 3*5+4*7 3*6+4*8] = [19 22; 43 50]B * A = [5*1+6*3 5*2+6*4; 7*1+8*3 7*2+8*4] = [23 34; 31 46]3. 矩阵的转置题目：已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]，求矩阵A的转置。
解析：矩阵的转置是将矩阵的行和列交换得到的新矩阵。
根据给定的矩阵A，我们可以得到如下结果：A的转置 = [1 4; 2 5; 3 6]4. 线性方程组的求解题目：已知线性方程组：2x + y = 8x - y = 2解析：我们可以使用矩阵的方法来求解线性方程组。
将方程组的系数构成系数矩阵A，将方程组的常数构成常数矩阵B。
则方程组可以表示为AX = B的形式。
根据给出的方程组，我们可以得到如下结果：A = [2 1; 1 -1]B = [8; 2]为了求解方程组，我们可以使用矩阵的逆来计算X。
矩阵知识点归纳及例题
矩阵知识点归纳及例题一、矩阵知识点归纳。
（一）矩阵的定义。
1. 矩阵的概念。
- 由m× n个数a_ij(i = 1,2,·s,m;j = 1,2,·s,n)排成的m行n列的数表(a_11a_12·sa_1n a_21a_22·sa_2n ⋮⋮⋱⋮ a_m1a_m2·sa_mn)称为m× n矩阵，简称矩阵，其中a_ij称为矩阵的第i行第j列的元素。
2. 特殊矩阵。
- 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，记为O。
- 方阵：行数与列数相等的矩阵，即m = n时的矩阵A称为n阶方阵。
- 对角矩阵：除主对角线元素外，其余元素都为0的方阵，即a_ij=0(i≠ j)的n 阶方阵(a_110·s0 0a_22·s0 ⋮⋮⋱⋮ 00·sa_nn)。
- 单位矩阵：主对角线元素都为1，其余元素都为0的n阶方阵，记为I或E，即(10·s0 01·s0 ⋮⋮⋱⋮ 00·s1)。
（二）矩阵的运算。
1. 矩阵的加法。
- 设A=(a_ij)和B=(b_ij)是两个m× n矩阵，则A + B=(a_ij+b_ij)，即对应元素相加。
- 矩阵加法满足交换律A + B=B + A和结合律(A + B)+C = A+(B + C)。
2. 矩阵的数乘。
- 设A=(a_ij)是m× n矩阵，k是一个数，则kA=(ka_ij)，即矩阵的每个元素都乘以k。
- 数乘满足分配律k(A + B)=kA + kB和(k + l)A=kA + lA（k、l为常数）。
3. 矩阵的乘法。
- 设A=(a_ij)是m× s矩阵，B=(b_ij)是s× n矩阵，则AB是m× n矩阵，其中(AB)_ij=∑_k = 1^sa_ikb_kj。
- 矩阵乘法一般不满足交换律，即AB≠ BA（在A、B可乘的情况下），但满足结合律(AB)C = A(BC)和分配律A(B + C)=AB + AC，(A + B)C = AC+BC。
《线性代数》第三章矩阵的初等变换与线性方程组精选习题及解答
⎯r⎯→
⎢⎢0
−1
2
6 −4⎥⎥ ⎯r⎯→
⎢⎣−1 0 2 5 −3⎥⎦
⎢⎣0 0 1 7 −3⎥⎦
⎡1 0 0 9 −3⎤ ⎢⎢0 1 0 8 −2⎥⎥ ⎢⎣0 0 1 7 −3⎥⎦
5
⎡9 −3⎤ 所以 X = (E − A)−1 B = ⎢⎢8 −2⎥⎥
⎢⎣7 −3⎥⎦
例
3.9
方程组
⎪⎨⎧ax1x1++axx22
⎢⎣1 0 1⎥⎦ 可得 R( A) = 2 .故 R( A2 + 2A) = R( A( A + E)) = R( A) = 2 .
例 3.6 设 A* 是 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵，证明
(1) A* = A n−1 ，
⎧n, R( A) = n; (2) R( A*) = ⎨⎪1, R( A) = n −1;
⎢ ⎢
M
M
M
M
⎥ ⎥
⎢⎣a a a L a⎥⎦
(A) 1
1
(B)
1− n
(C) -1
1
(D)
n −1
解 因 为 R( A) = n −1 ， 所 以 A = 0 . 又 A = (1− a)n−1[(n −1)a +1] ， 故 a = 1 或
a = 1 .当 a = 1 时，易知 R( A) = 1 ，当 a = 1 时， R( A) = n −1.
⎡ x1 ⎤ ⎡− 2c1 + c2 − 1⎤
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
⎢ ⎢
4c1 − 2c2
⎥ ⎥
⎡− 2⎤
⎢ ⎢
4
⎥ ⎥
⎡ 1 ⎤ ⎡− 1⎤
⎢⎢− 2⎥⎥
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线性代数矩阵相关练
习题
向量组的线性相关性----习题课
如何正确理解线性相关（无关）的定义
判断下列命题是否正确。
如果对，加以证明；如果错，举出反例。
(1)若有不全为0的数m λλλ,,,21 使
01111=+++++m m m m b b a a λλλλ
成立,则m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关.
解：错。
原式可化为0)()(111=++++m m m b a b a λλ
取m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111
其中m e e ,,1 为单位向量,则原式成立,
而m a a ,,1 ；m b b ,,1 均线性无关。
(2)若向量组m a a a ,,,21 是线性相关的,则其中每个向量都是其余向量的线性组合。
解 错。
反例1：设)0,,0,0,1(11 ==e a ，032====m a a a
满足m a a a ,,,21 线性相关, 但1a 不能由,,,2m a a 线性表示.
反例2：)0,0,1(1=a ，)0,0,12-=
（a ，)1,0,0(3=a
(3) 如果向量组的一个线性组合等于零向量，那么该向量组线性相关。
解：不一定。
因为任何一个向量组都有一个性质：
系数全为0的线性组合一定是零向量。
若还有系数不全为零的线性组合也是零向量，则线性相关；
否则线性无关。
(4)若a 能表示为m m a a a λλ++= 11
则向量组a a a m ,,,1 线性相关.
解：正确。
(7) 若有一组不全为0的数m λλλ,,,21 使
0αλαλm m 11≠++ 成立,则m a a ,,1 线性无关.
解：错。
任何一组数满足上式才行。
(6) 若021====m λλλ 时，有
0αλαλm m 11=++ 成立,则m a a ,,1 线性无关.
解：错。
将“若…… ”改为“只有……”，结论才正确。
反例：)0,0,1(1=a ，)0,1,02（=a ，)0,1,1(3=a ，线性相关；
)0,0,1(b 1=，)0,1,0b 2（=，)1,0,0(b 3=，线性无关。
（5）若向量b 不能由向量组m a a ,,1 线性表出，
则向量组b,m a a ,,1 线性无关。
解：不一定。
反例1：)0,0,0(1=a ，)1,1,12（=a ，)0,0,1(b =，线性相关；
反例2：)0,1,0(1=a ，)1,1,12（=
a ，)0,0,1(
b =，线性无关。
正确命题为：如果m a a ,,1 线性无关，
且向量b 不能由向量组m a a ,,1 线性表出，
则向量组b,m a a ,,1 线性无关。
其逆否命题为：设m a a ,,1 线性无关，
而向量组b,m a a ,,1 线性相关，则
B 可由m a a ,,1 线性表出，且表示法唯一。
（8）若零向量只能用唯一的方式表示成向量组m a a ,,1 的线性组合，
则m a a ,,1 线性无关。
解：正确。
（9）若只有当m λλλ,,,21 全为0时,等式
01111=+++++m m m m b b a a λλλλ
才能成立,则m a a ,,1 线性无关, m b b ,,1 亦线性无关.
解：由01111=+++++m m m m b b a a λλλλ (仅当01===m λλ )
m m b a b a b a +++⇒,,,2211 线性无关，但若
取021====m a a a
取m b b ,,1 为线性无关组
满足以上条件,但不能说是m a a a ,,,21 线性无关的.
(10)若m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关,
则有不全为0的数, m λλλ,,,21 使
0,01111=++=++m m m m b b a a λλλλ
同时成立.
解： T a )0,1(1= T a )0,2(2= T b )3,0(1= T b )4,0(2=
⎪⎭
⎪⎬⎫-=⇒=+-=⇒=+21221121221143020λλλλλλλλb b a a 021==⇒λλ与题设矛盾.
如何证明两向量组等价
1. 根据等价的定义证之。
例1：向量组与其最大无关组等价。
例2：两等价的向量组中分别任取一个最大无关组，证明这两个最大无关组等价。
例3：设向量b 可由向量组r 1,,a a 线性表出，但b 不能由向量组1r 1,,-a a 线性表出，试证 向量组（I ）r 1,,a a 与向量组（II ）b ,,1r 1，-a a 等价。
2. 对于具体两向量组，可利用初等变换，证明它们等价。
方法：先对（I ，II ）进行初等行变换，将I 化为等价标准形，看II 是否能被I 表示； 再地（II ，I ）进行初等行变换，将II 化为标准形，看I 是否能被II 表示。
如何证明向量组相关（或无关）
1．设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组
4321,,,b b b b 线性相关.
证明 设有4321,,,x x x x 使得
044332211=+++b x b x b x b x 则
0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x
0)()()()(443332221141=+++++++a x x a x x a x x a x x
(1) 若4321,,,a a a a 线性相关, 则存在不全为零的数4321,,,k k k k ,
411x x k +=;212x x k +=;323x x k +=;434x x k +=;
由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,即4321,,,b b b b 线性相关.
(2) 若4321,,,a a a a 线性无关,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+000043322141x x x x x x x x 011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒x x x x 由01
1000
11000111
001=知此齐次方程存在非零解 则4321,,,b b b b 线性相关.
综合得证.
2．设r r a a a b a a b a b +++=+== 2121211,,,,且向量组
r a a a ,,,21 线性无关,证明向量组r b b b ,,,21 线性无关.
证明 设02211=+++r r b k b k b k ，则
++++++++++p r p r r a k k a k k a k k )()()(2211 0=+r r a k
因向量组r a a a ,,,21 线性无关,故
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==++=+++000221r r r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001001101121 r k k k 因为011
001101
1≠=
故方程组只有零解 则021====r k k k 所以r b b b ,,,21 线性无关
3．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,已知n 维单位坐标向量n e e e ,,,21 能 由它们线性表示, 证明n a a a ,,,21 线性无关.
证明 n 维单位向量n e e e ,,,21 线性无关
不妨设:
n
nn n n n n n n
n a k a k a k e a k a k a k e a k a k a k e +++=+++=+++=
22112222121212121111 所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛T n T T nn n n n n T n T T a a a k k k k k k k k k e e e 2121222211121121 两边取行列式，得
T n T T nn n n n n T n T T a a a k k k k k k k k k e e e
2121222
21
1121121
=由0021
21≠⇒≠T n
T T T n T T a a a e e e
即n 维向量组n a a a ,,,21 所构成矩阵的秩为n
故n a a a ,,,21 线性无关.。