2014年考研数学三真题及答案

2014年考研数学三真题
一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。

下列媒体给出的四
个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）
(1)设且≠0，则当充分大时有
(A) (B)
(C)(D)
【答案】A。

【解析】
【方法1】直接法：
由且≠0，则当充分大时有
【方法2】排除法：
若取显然,且(B)和(D)都不正确；
取显然，且(C)不正确
综上所述，本题正确答案是(A)
【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的概念与性质
(2)下列曲线中有渐近线的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C。

【解析】
【方法1】
由于
所以曲线有斜渐近线，故应选(C)
解法2
考虑曲线与直线纵坐标之差在时的极限
则直线是曲线的一条斜渐近线，故应选(C) 综上所述，本题正确答案是(C)
【考点】高等数学—一元函数微分学—曲线的凹凸、拐点及渐近线
(3)设当时，若是比
高阶的无穷小，则下列选项中错误的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D。

【解析】
【方法1】
当时，知，的泰勒公式为
又
则
【方法2】
显然，
由上式可知，,否则等式右端极限为∞，则左端极限也为∞，与题设矛盾。

故
综上所述，本题正确答案是(D)。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量及其阶的比较
(4)设函数具有二阶导数，,则在区间
[0,1]上
(A)当时，
(B)当时，
(C)当时，
(D)当时，
【答案】D。

【解析】
【方法1】
由于则直线过点和(),当时，曲线在区间[0,1]上是凹的，曲线应位于过两个端点和的弦的下方，即
【方法2】
令,则
,,
当时，。

则曲线，又，
从而，当时，,即
【方法3】
令,
则,
=
当时,单调增，，从而，当时，,即
综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数微分学—函数不等式证明
(5)行列式
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B。

【解析】灵活使用拉普拉斯公式
==
综上所述，本题正确答案是(B)
【考点】线性代数—行列式—数字型行列式的计算
(6)设均为三维向量，则对任意常数,向量组
线性无关是向量组线性无关的 (A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件
(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件
【答案】A。

【解析】
记，则
若线性无关，则是3阶可逆矩阵，
故,即线性无关。

反之，设线性无关，，则对于则对任意常数,向量组线性无关，但线性相关，
所以线性无关是向量组线性无关的必要非充分条件。

综上所述，本题正确答案是(A)。

【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关
(7)设随机事件与相互独立，且,则
(A)0.1 (B)0.2
(C)0.3 (D)0.4
【答案】B。

【解析】，独立，则独立，也独立,而,可用独立性来计算。

可得
综上所述，本题正确答案是(B)。

【考点】概率论与数理统计—随机事件和概率—事件关系，概率性质和五大公式
(8)设为来自正态总体的简单随机样本，则统计量
服从的分布为
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C。

【解析】
，所以
，
与相互独立，故与也独立。

所以,而
综上所述，本题正确答案是C。

【考点】概率论与数理统计—数理统计的基本概念
二、填空题（914小题，每小题4分，共24分。

）
(9)设某商品的需求函数为(为商品的价格)，则该商品
的边际收益为。

【答案】
【解析】由题设知收益函数为,则边际收益为
【考点】高等数学—一元函数微分学—一元微分在经济中的应用(10)设是由曲线与直线及围成的有界区
域，则的面积为。

【答案】
【解析】
【方法1】
曲线与直线及围成的有界区域如下图，则的面积为
【方法2】
用二重积分计算面积，即
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分应用(11)设,则。

【答案】。

【解析】
可知，则
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分计算(12)二次积分= 。

【答案】。

【解析】
二次积分的积分区域为
交换积分次序得
【考点】高等数学—二重积分—变换积分次序和坐标系
(13)设二次型的负惯性指
数为1，则的取值范围是。

【答案】
【解析】
由配方法
负惯性指数为1，故，解得
【考点】高等数学—二次型—二次型的概念与标准形
(14)设总体的概率密度为
其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，若
,则。

【答案】
【解析】
,
解得
【考点】概率论与数理统计—数理统计的基本概念
三、解答题：小题，共94分。

解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤。

(15)求极限
【解析】
【方法1】
(等价无穷小代换)
(洛必达法则)
(变量代换)
(洛必达法则)
【方法2】
(等价无穷小代换)
(洛必达法则)
(泰勒公式)
【考点】高等数学—函数、极限、连续—求函数的极限，常见等价
无穷小，常见函数泰勒公式展开
(16)设平面内区域,计算
【解析】
【方法1】令,
又令)
所以
【方法2】
显然积分区域D关于有轮换对称性，于是
=
=
=
【考点】高等数学—二重积分—利用区域的对称性和函数的奇偶性计算积分
(17)设函数具有连续导数，且满足
若,求的表达式。

【解析】
利用复合函数偏导数的计算方法求出两个偏导数，代入所给偏微分方程，转化为可求解的常微分方程。

因为
所以
因此化为
从而函数满足方程
一阶线性非齐次微分方程
可得方程通解为
由,解得
故
【考点】高等数学—多元函数微分学—复合函数偏导数，一阶线性非齐次微分方程求解
(18)求幂级数的收敛域及和函数
【解析】
【方法1】
因为几何级数,且收敛域为
又
由幂级数的逐项求导性质知的收敛域为，和函数
【方法2】
幂级数的系数, 又
所以收敛半径
当时，发散；当时，
发散；
故收敛域为
设则
故和函数
【考点】高等数学—无穷级数—求幂级数的和函数及数项级数的和
(19)设函数在区间上连续，且单调增加，。

证明：
(I)
(II).
【解析】
(Ⅰ)由得
得；
(Ⅱ)令
显然,只要证明且,
由(Ⅰ)的结论知，即
又单调增加，则,因此，
.
故.
【考点】高等数学—一元函数积分学—与定积分有关的证明题
(20)设，为三阶单位矩阵
(I)求方程组的一个基础解系；
(II)求满足的所有矩阵。

【解析】
(Ⅰ)对矩阵做初等行变换，得
因,令求出
故基础解系为
（Ⅱ）考察3个非齐次线性方程组
由于这三个方程组的系数矩阵是相同的，所以令做初等行变换
由此得三个方程组的通解：
故所求矩阵为,为
任意常数。

【考点】高等数学—线性方程组—非齐次方程组的求解(21)证明阶矩阵与相似
【解析】
证明：记
因为是实对称矩阵必与对角矩阵相似
由,知的特征值为。

故
又由, 知的特征值为。

当时，那么,即齐次方程组有个线性无关的解，亦即
时，矩阵有个线性无关的特征向量，从而矩阵必有对角矩阵相似，即
从而和相似。

【考点】高等数学—特征值与特征向量—相似与相似对角化(22)设随机变量的概率密度为
对进行独立重复的观测，直到第二个大于3的观测值出现时停止，记为观测次数
(I)求的概率分布
(II)求
【解析】
(Ⅰ)令{对进行一个观测得到的值大于3}。

显然,
记事件发生的概率
的可能取值应为,
所以的分布为
（Ⅱ）
记
【考点】高等数学—随机变量的数字特征—数学期望
(23)设随机变量的概率分布相同，的概率分布为,
，且的相关系数
(I)求的概率分布；
(II)求
【解析】
X Y 0 1
0 c
1 b d
,
解得
由此可得
所以
X Y 0 1
1
（Ⅱ）
【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—概率分布，相关系数。