2014年考研数学一真题及答案解析

(B)充分非必要条件. (D)既非充分也非必要条件.
1 0 【解析】由 (α 1 + kα 3, α 2 + lα 3) = (α 1, α 2, α 3) 0 1 知， k l
当 α 1, α 2, α 3 线性无关时，因为
1 0 ≠0 0 1
所以 α 1 + kα 3, α 2 + lα 3 线性无关 反之不成立 如当 α 3 = 0 ,
}
， 则
a1 cos x + b1 sin x =
（A） 2π sin x . 【解析】 解析】令 Z ( a, b) = (B) 2 cos x . (C) 2π sin x . (D) 2π cos x .
∫
π
−π
( x − a cos x − b sin x) 2 dx
π Za ′ = 2∫ −π ( x − a cos x − b sin x)(− cos x)dx = 0 π ′ Zb = 2∫ −π ( x − a cos x − b sin x)(− sin x)dx = 0
针方向，则曲面积分 [ ] zdx + ydz =___________.
∫
x = cos t 【解析】 解析】令 y = sin t z = − sin t
∴
t : [0,2π]dz =
∫ [− sin t (− sin t ) + sin t (− cos t )]dt
2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析(完 整精准版)
一、选择题： 选择题：1~8 小题， 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出四个选项中， 下列每题给出四个选项中，只有一个选项 符合题目要求的， 符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。 请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。 （1）下列曲线中有渐近线的是 （A） y = x + sin x . (B) y = x 2 + sin x . (C) y = x + sin
∴ DY 1> DY 2 【答案】 答案】D 填空题： 二、填空题 ：9~14 小题， 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。 请将答案写在答题纸指定位置上。
（ 1 − sin y） + y (1 − sin x ) 在点（1，0，1）处的切平面方程为 （9）曲面 z = x
π
2
≤θ ≤π,
0 ≤ r ≤1 0≤r ≤ 1 cos θ + sin θ
π
D2: 0 ≤ θ ≤ 【答案】 答案】D （ 4 ） 若
π
2
,
∫ π ( x − a cos x − b sin x) dx = min {∫ π ( x − a cos x − b sin x) dx
π
2 2 − 1 1 a ,b∈R −
1 ( X 1 + X 2 ) .则（ 2
） (B)EY1=EY2，DY1=DY2 (D)EY1= EY2，DY1>DY2
(A)EY1>EY2，DY1>DY2 (C)EY1=EY2，DY1<DY2 【解析】 解析】 EY1 =
∫
1 1 1 y[ f1 ( y ) + f 2 ( y )]dy = −∞ 2 2 2
∞
∫
+∞
−∞
yf1 ( y )dy +
1 2
∫
+∞
−∞
yf 2 ( y )dy
1 1 EX 1 + EX 2 2 2 1 1 1 EY2 = E[ ( X 1 + X 2 )] = EX 1 + EX 2 2 2 2 =
∴ EY1 = EY2
EY12 =
∫
+∞
−∞
1 1 1 1 2 y 2 f1 ( y ) + f 2 ( y)dy = EX 12 + EX 2 2 2 2 2
【答案】 答案】C (2)设函数 f ( x ) 具有 2 阶导数， g ( x ) = f ( 0 )(1 − x ) + f (1) x ,则在区间[0，1]上（ (A)当 f（ ′ x） ≥ 0 时， f ( x ) ≥ g ( x ) . (C)当 f（ ′ x） ≥ 0 时， f ( x ) ≥ g ( x ) . 【解析】 解析】当 f ″ ( x ) ≥ 0 时， f ( x ) 是凹函数 而 g ( x ) 是连接 0, f ( 0 ) 与 （ 1, f (1)） 的直线段，如右图 故 f ( x) ≤ g ( x) 【答案】 答案】D (3)设 f ( x, y ) 是连续函数，则 （A） （B）
0 2 1 0
1
π
1
（D）
∫
π
2 0
dθ ∫ cosθ +sin θ f (r cos θ , r sin θ )rdr + ∫π dθ ∫ f (r cos θ , r sin θ )rdr.
0 2 0
π
1
【解析】 解析】积分区域如图 0≤y≤1.
− 1− y2 ≤ x ≤ 1− y
用极坐标表示，即：D1:
1− y
）
(B)当 f（ ′ x） ≥ 0 时， f ( x ) ≤ g ( x ) (D)当 f ′ ≥ 0 时， f ( x ) ≤ g ( x )
(
)
∫
1
0
dy ∫
0
0
− 1− y 2
f ( x, y ) =
∫
1
0
1
dx ∫
x −1
1
1− x
f ( x, y )dy + ∫ dx ∫
−1
0
0
1− x 2
0
2π
=
∫
2π 1 −
0
cos 2t dt + 2
∫
2π
0
(− sin t )d sin t
=π+0=π
（13）设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = x 1 − x 2 + 2ax1 x3 + 4x2 x3 的负惯性指数是 1,则 a 的取值范围
2 2
_________.
1 0 a 【解析】 解析】 A = 0 −1 2 a 2 0
f ( x, y )dy .
f ( x, y )dy .
∫ dx ∫
0
0
f ( x, y )dy + ∫ dx ∫
−1
− 1− x 2
（C）
∫
π
2 0
dθ ∫ cosθ +sinθ f (r cos θ , r sin θ )dr + ∫π dθ ∫ f (r cos θ , r sin θ )dr.
∫
1 d (ln u − 1) dx + ln C = ln u − 1 x
du
1
∫
ln u − 1 = cx u = ecx +1 y = xecx +1 将y (1) = e3代入上式得C = 2 ∴ y = xe 2 x +1
2 2 （12）设 L 是柱面 x + y = 1 与平面 y + z = 0 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时
0 d
（C）a2d2-b2c2. (D)b2 c2-a2 d2
（A） （ad-bc）2
0 a 【解析】 解析】 0 c
a 0 c 0
b 0 0 a b a b 0 0 b 4 +1 4+ 4 按第4行展开 c(−1) 0 0 b + d (−1) a 0 0 d 0 0 c d c d 0 0 d
= −c ⋅ b(−1)3+ 2
1 . x
(D)
1 y = x 2 + sin . x
1 f ( x) x = lim(1 + 1 sin 1 ) = 1 【解析】 = lim 解析】 a = lim x →∞ x →∞ x →∞ x x x x 1 1 b = lim[ f ( x) − ax] = lim[ x + sin − x] = lim sin = 0 x →∞ x →∞ x →∞ x x 1 ∴y=x 是 y=x+ sin 的斜渐近线 x x + sin
2 2
.
【解析】 解析】在点（1，0，1）处， z x
(1,0,1)
zy
=
[2 x(1 − sin y ) − y 2 cos x] (1, 0,1)
= [− x 2 cos y + 2 y (1 − sin x)]
=2
(1,0,1)
(1, 0,1)
= −1
切平面方程为 z x ( x − 1) + z y ( y − 0) + (−1)( z − 1) = 0 即 2x − y − z − 1 = 0 （ 10 ）设 f ( x ) 是周期为 4 的可导奇函数，且 f（ ′ x） =（ 2 x −1 ） , x ∈ [0, 2], 则f (7) =. 【解析】 解析】∵ f ( x) 是周期为 4 的可导函数 ∴ f (7) = f (3) = f (−1) = − f (1) 且f (0) = 0 又 f ′( x) = 2( x − 1)
(1) (2)
故 a = 0, a1 = 0
由（1）得
2 2a ∫ π 0 cos xdx = 0
由（2）得 【答案】 答案】A
∫ x sin xdx = 2 b= π ∫ sin xdx
0 2 0
π
b1 = 2
0 a b