燕尾定理
【小升初专项训练】07燕尾定理
第9讲燕尾定理第一关基础燕尾定理【知识点】燕尾定理，因此图类似燕尾而得名，是五大模型之一，是一个关于三角形的定理（如图△ABC，D、E、F为BC、CA、AB 上点，满足AD、BE、CF 交于同一点O）．S△ABC中，S△AOB：S△AOC=S△BDO：S△CDO=BD：CD；同理，S△AOC：S△BOC=S△AFO：S△BFO=AF：BF；S△BOC：S△BOA=S△CEO：S△AEO=EC：AE．【例1】对角线把梯形ABCD分﹣成四个三角形．已知两个三角形的面积分别是5和20．求梯形ABCD 的面积是多少？【答案】45【例2】如图，BD：DC=2：3，AE：CE=5：3，求AF：BF。
【答案】5：2【例3】如图，△ABC中，E是AD的中点，已知△ABC的面积是2，△BEF的面积是13，求△AEF的面积.【答案】1 6【例4】如图，S△BDF=3cm2，S△CDF=5cm2，S△CEF=4cm2，求△ABC的面积.【答案】1 177【例5】如图，AE=DE，BC=3BD，三角形ABC的面积是30平方分米，求阴影部分的面积.【答案】12【例6】如图，在三角形ABC中，AE=ED，D点是BC的四等分点，阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？【答案】3 7【例7】如图，在三角形ABC中，CE=2AE，F是AD的中点，三角形ABC的面积是1，那么阴影部分的面积是多少？【答案】5 12【例8】三角形ABC中，∠C是直角，已知AC=2，CD=2，CB=3，AM=BM，那么三角形AMN（阴影部分）的面积是多少？【答案】3 10【例9】如图，在三角形ABC中，AF=2BF，CE=3AE，CD=2BD，连接CF交DE于P点，求EP DP的值．【答案】9 4【例10】梯形ABCD中，AE与DC平行，S△ABE=15，求S△BCF。
【答案】15【例11】如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF 的面积是多少平方厘米？【答案】14【例12】如图，BD、CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4平方厘米，△CED的面积是6平方厘米，则四边形ABEF的面积是多少平方厘米？【答案】11【例13】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，EC=2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】5 12【例14】如图，在△ABC中，BD=AD，EF=3，FC=2，△ADH与△AGC的面积和等于四边形EFGH的面积，那么BE的长是多少？【答案】1【例15】如图，正方形ABCD被分成了面积相同的8个三角形，如果DG=5，那么正方形ABCD面积是多少？【答案】64【例16】如图所示，正方形ABCD的面积为9平方厘米，正方形EFGH的面积为36平方厘米，边BC 落在EH上．已知三角形AGC的面积为6.75平方厘米，求三角形ABE的面积．【答案】2.25。
燕尾定理公式
燕尾定理公式燕尾定理，又称为“皮克定理”或“握手定理”，是平面几何中的一个定理，已有两百多年的历史。
它描述的是一个简单多边形内部的点数与边数及顶点数之间的关系。
通过该定理，我们可以方便地计算出由卡片拼成的形状中的点数、边数和顶点数，以及对一些技术问题的解决。
下面是详细介绍。
燕尾定理公式为：对于一个平面图形，内部的点数I等于边数B减顶点数V加2，即I=B-V+2。
其中，点数I表示几何图形内部的点的数量；边数B表示几何图形的边数；顶点数V表示几何图形的顶点数。
公式的意义在于，当我们知道了任意两个值时，就可以非常方便地求出第三个值。
例如，当我们知道一张图形内部有m个点，其中包含n条边，那么该图形的顶点数就等于n-m+2。
此外，燕尾定理中的“燕尾”一词来源于几何形状。
燕尾的具体形状为带有斜切角的直角三角形，其两个直角边长度分别与相邻边相等，不同于其他三角形的长和宽的形状。
而燕尾定理中的“燕尾”则指的是这种三角形的形状。
燕尾定理的应用十分广泛。
例如，在计算地图中某个地区所覆盖的面积时，可以利用该定理计算出图形内部的点数、边数和顶点数。
而在计算工艺制图中特定形状的尺寸时，也可以用燕尾定理来计算图形内部的点数、边数和顶点数。
当然，在应用定理时，还需要注意一些细节。
例如，燕尾定理只适用于简单多边形，即多边形内部没有自交（即交叉）。
此外，如果多边形存在空洞或孔，则需要分别计算内外多边形的点数、边数和顶点数，然后用两个结果相减得到最终结果。
总的来说，燕尾定理作为平面几何中的一个基础定理，可以在很多领域中得到应用。
对于初学者而言，掌握该定理的公式和应用方法是十分重要的，有助于提高几何计算的效率和准确性。
燕尾定理详细讲解
燕尾定理详细讲解
燕尾定理是一个关于平面三角形的定理，其得名源于解题图形类似燕尾的形状。
以下是燕尾定理的详细讲解：
1. 定理定义：燕尾定理是一个关于三角形面积的定理，它指出两个相似三角形对应的两条边之间的比例与它们的高成反比。
2. 定理公式：如果两个相似三角形的对应边长分别为a和b，高分别为h和k，那么它们的面积之比为a:b=(h:k)^2。
3. 证明方法：燕尾定理可以通过相似三角形的性质和勾股定理进行证明。
首先，由于两个三角形相似，我们有(a/b)^2=(h/k)^2。
然后，利用勾股定理，我们可以得到a^2=b^2-c^2，其中c是三角形的底边长。
结合上述两个等式，我们可以得到a:b=(h:k)^2。
4. 应用领域：燕尾定理在几何学、三角学等领域有广泛的应用，特别是在解决与三角形面积、相似三角形等有关的问题时。
通过燕尾定理，我们可以快速找到相似三角形之间的面积比例关系，从而简化问题解决过程。
5. 注意事项：在使用燕尾定理时，需要注意确保所涉及的两个三角形是相似的，这是应用该定理的前提条件。
此外，还需要注意单位和坐标系的统一，以确保计算结果的准确性。
总之，燕尾定理是一个重要的几何定理，通过掌握其定义、公式、证明方法、应用领域和注意事项等方面的知识，可以更好地理解和应用该定理，解决与三角形面积和相似三角形有关的问题。
三角形的燕尾定理公式
三角形的燕尾定理公式摘要：一、燕尾定理公式简介二、燕尾定理公式的推导过程三、燕尾定理公式在实际问题中的应用四、总结正文：一、燕尾定理公式简介燕尾定理公式，是描述三角形中一个重要性质的公式。
它表示了在一个三角形中，如果有一条直线与两条边相交，那么这两条边的长度和这条直线的长度之间将满足一个特定的关系。
这一性质广泛应用于解决各种几何问题，是理解许多复杂几何关系的基础。
二、燕尾定理公式的推导过程燕尾定理公式的推导过程涉及一些复杂的几何知识和数学理论，对于非专业的人来说可能有些晦涩。
然而，我们可以通过一个简单的模型来说明其基本原理。
假设有一个三角形ABC，其中AB 和AC 是两条边，BC 是底边。
现在有一条直线DE 与AB 和AC 相交，交点分别为F 和G。
根据三角形的性质，我们知道AF=BF，AG=CG。
现在我们将这个模型扩展到更一般的情况。
假设我们有一个任意的三角形ABC，其中AB=c，AC=b，BC=a。
我们有一条直线DE 与AB 和AC 相交，交点分别为F 和G。
根据相似三角形的原理，我们可以得出以下比例：AF/AB = AG/AC通过交叉相乘，我们可以得到：AF*AC = AG*AB这个等式就是燕尾定理公式。
三、燕尾定理公式在实际问题中的应用燕尾定理公式在解决各种几何问题中都有广泛的应用。
例如，在测量问题中，如果我们知道了一个三角形的一个角度和其对应的边长，以及另一个角度和其对应的边长，那么我们就可以用燕尾定理公式来计算第三个角度和其对应的边长。
在建筑和工程领域，燕尾定理公式也被广泛应用。
例如，在设计桥梁和建筑物的结构时，需要考虑到各种力的平衡，包括垂直于结构表面的压力和水平方向的张力。
在这些情况下，理解燕尾定理公式是非常重要的。
四、总结总的来说，燕尾定理公式是理解三角形性质的重要工具。
它不仅可以帮助我们解决各种几何问题，也是理解许多复杂几何关系的基础。
几何五大模型之五(燕尾定理)
燕尾定理燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ， 那么，::ABO ACO S S BD DC ∆∆=OFE DCBA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==S 3S 1S 4S 2EDCBA【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得， 1423:::S S S S BD DC ==.例题精讲【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBA【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBA【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △面积的几分之几？OE DCBA【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12CP CB =，13CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ．XQPABC【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分的面积各是多少?ABCDE F【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积 ．ABCDE F【巩固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影部分)的面积为多少？【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?x y y x ABCD E FGE D CBA【例 2】 如图所示，在四边形ABCD 中，3AB BE =，3AD AF =，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四边形BODC 的面积为________．OFE DCBA【例 3】ABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与CE 交于G ，则四边形AGCD 的面积是_________平方厘米．GFE DCBA【例 4】 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．ED【例 5】 如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．FE DCB A【巩固】在ABC ∆中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？ABCDE O【巩固】在ABC ∆中，:2:1BD DC =， :1:3AE EC =，求:OB OE =？A B CDE O【例 6】 （2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且13AE AB =，14CF BC =，AF 与CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，则AEG ∆与CGF ∆的面积之和为 ．BE【例 7】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【巩固】如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =GF EDCBA【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【例 8】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDC BA【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBA【巩固】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，ABC ∆中2BD D A =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．B【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值． IHG FEDCBA课后作业1、如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △ 面积的几分之几？OE DCBA2、两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？3、右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是 ．4、如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分的面积各是多少?ABCDE F5、如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA。
几何五大模型之五(燕尾定理)
FO
E
B
D
C
【例 8】 (2008 年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形 ABC 中，AF : FB BD: DC CE : AE 3: 2， 且三角形 ABC 的面积是1 ，则三角形 ABE 的面积为______，三角形 AGE 的面积为________，三角 形 GHI 的面积为______．
AF 2FC ，那么 ABC 的面积是阴影三角形面积的
倍．
A
D
G
F
H
I
B
E
C
【巩固】如图在 △ABC
中，
DC DB
EA EC
FB FA
1 2
,求
△GHI的面积 △ABC的面积
的值．
A
E H
F
I
G
B
D
C
课后作业
1、如图，已知 BD 3DC ， EC 2AE ， BE 与 CD 相交于点 O ,则 △ABC 被分成的 4 部分面积各占 △ABC 面积的几分之几？
．
A
F D
B
EC
【巩固】在 ABC 中， BD : DC 3: 2 ， AE : EC 3:1，求 OB : OE ？ A
O
E
B
D
C
【巩固】在 ABC 中， BD: DC 2:1， AE : EC 1: 3，求 OB : OE ？ A E
O
B
DC
【例 6】 （2009 年清华附中入学测试题）如图，四边形 ABCD 是矩形， E 、 F 分别是 AB 、 BC 上的点，且
．
A
E
F
B
D
C
【巩固】如图，已知 BD 3DC ，EC 2AE ，BE 与 CD 相交于点 O ,则 △ABC 被分成的 4 部分面积各占 △ABC 面积的几分之几？
小学奥数—燕尾定理
B
DC
4-3-6.燕尾定理 题库
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【例 5】 如图 9，三角形 BAC 的面积是 1，E 是 AC 的中点，点 D 在 BC 上，且 BD:DC=1:2，AD 与 BE 交
A
E F
B
C
D
于点 F，则四边形 DEFC 的面积等于
。
【例 6】 如 图 1 ， ABC 中 ， 点 E 在 AB 上 ， 点 F 在 AC 上 ， BF 与 CE 相 交 于 点 P ， 如 果
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【巩固】如图， ABC 中，点 D 是边 AC 的中点，点 E 、 F 是边 BC 的三等分点，若 ABC 的面积为 1，那么 四边形 CDMF 的面积是_________．
A
A
D M N
B
EF
C
D M N
B
EF
C
【例 19】 如图，等腰直角三角形 DEF 的斜边在等腰直角三角形 ABC 的斜边上，连接 AE、AD、AF，于是 整个图形被分成五块小三角形．图中已标出其中三块的面积，那么△ABC 的面积是________． （36）
【例 14】 已知四边形 ABCD ， CHFG 为正方形， S甲 : S乙 1: 8 ， a 与 b 是两个正方形的边长，求 a : b ?
【例 15】 右图的大三角形被分成 5 个小三角形，其中 4 个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积 是．
4-3-6.燕尾定理 题库
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D
C
D
C
F G
A
E
B
F G
燕尾模型公式推理
燕尾模型公式推理
燕尾定理:在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，有S△AOB∶S△AOC=BD∶CD
S△AOB∶S△COB=AE∶CE
S△BOC∶S△AOC=BF∶AF
因此图类似燕尾而得名。
是五大模型之一，是一个关于平面三角形的定理，俗称燕尾定理。
此定理是面积法最重要的定理之一。
所谓面积法，就是利用面积相等或者成比例，来证明其他的线段相等或为成比例线段的方法。
相关定理有以下几个：
等底等高的两个三角形面积相等;
等底(或等高)的两三角形面积之比等于其高(或底)之比;
在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等;
若在同一线段的同侧有底边相等面积相等的两个三角形，则连结两个三角形的顶点的直线与底边平行。
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燕尾定理
一 本讲学习目标 1.理解燕尾定理，掌握三角形中量与率的关系。
2.燕尾定理的应用。
二 重点难点考点分析
1.变的比和对应三角形的比。
2.所求三角形所占的比率。
三 知识框架
燕尾定理
两个有公共边的三角形ABD 和ABC ，ABC 与DC 交于点M ，则三
角形ABC 的面积与三角形ABD 的面积之比等于CM 与DM 的比。
（定
理描述对下图所示四种图形都成立）
M
D C B A M D C B A M D C B A M D
C
B A
四 概念解析
燕尾定理（共边定理）：
五 例题讲解
1.右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经
标在图中，那么，阴影三角形的面积是 。
【分析】 整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直
有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠
三角形面积公式求解.
我们回顾下燕尾定理，发现右图三角形中存在一个比例
关系：
()2:13:4S =+阴影，解得2S =阴影.
2.三角形ABC 的面积为15平方厘米，D 为AB 中点，E 为AC 中点，F
为BC 中点，求阴影部分的面积。
E
C
F B D A
【分析】 设CD 交BE 于O CD 交EF 于M
::1:1S ABO S BCO AE EC == ::1:1S ACO S BCO AD DB == 1535S BCO =÷= 1527.5S BDC =÷=
17.5 1.8754
S FCM =⨯=， 阴影面积5 1.875 3.125=-=平方厘米。
六 课堂练习
1.如图，M 为AB 中点，N 是BC 上一点，CN=2BN ．连结AN 交
4
32
1
MC 于0点，若四边形BMON 的面积为14cm 2，则△ABC 的面积是
_________cm 2
2.两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所
示， 三个三角形的面积 分别是3，7，
7，则阴影四边形的面积是多少？
3.如下图：已知:3:2CD DM ，三角形ABC 的面积为10，那么三角形
ABD 的面积为多少？
A B
C D
M
趣味故事
韩信分油
两个卖油的伙计要平分十斤油，可手上没有秤。
他们只有一个油篓，一个油罐和一个油葫芦（容积各为十斤、七斤、三斤）。
两个伙计不知该怎么分，正在为难之时，遇上了骑马赶路的汉将韩信。
两伙计请韩信帮忙代分。
韩信连马都没下，三言两语便说出了分油的办法，然后策马而去。
两位伙计便很快地将油分了。
你能猜出韩信分油的办法来吗？
谜底：韩信的话是：“葫芦归罐罐归篓，三倒葫芦两倒罐。
”。