六年级奥数——蝴蝶模型 燕尾定理练习题 教案

蝴蝶模型和燕尾定理练习题1、如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.BB【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，(法一)连接CF ，因为，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，所以1103ABE ABC S S ==△△，1152ABD ABC S S ==△△．根据燕尾定理，12ABF CBF S AE S EC ==△△，BD DC =1ABF ACF S BDS CD==△△,所以17.54ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△，所以阴影部分面积是30107.512.5--=．(法二)连接DE ，由题目条件可得到1103ABE ABC S S ==△△，11210223BDE BEC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABE BDE S AF FD S ==△△， 1111112.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211032CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以阴影部分的面积为12.5．2、(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12CP CB =，13CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ．XQPABC XQPAB C4411XQPCBA【解析】 方法一：连接PQ ．由于12CP CB =，13CQ CA =，所以23ABQ ABC SS =，1126BPQ BCQABCS S S ==．由蝴蝶定理知，21:::4:136ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S ===，所以441226 2.455255ABX ABP ABC ABC S S S S ==⨯==⨯=．方法二：连接CX 设1CPX S =△份，根据燕尾定理标出其他部分面积， 所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++⨯=△3、如图所示，在四边形ABCD 中，3AB BE =，3AD AF =，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四边形BODC 的面积为________．OFEDCBA684621O F EDCBA【解析】 连接,AO BD ,根据燕尾定理::1:2ABO BDO S S AF FD ==△△,::2:1AOD BOD S S AE BE ==△△,设1BEO S =△,则其他图形面积，如图所标，所以221224BODC AEOF S S ==⨯=.4、ABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与CE 交于G ，则四边形AGCD 的面积是_________平方厘米．GFE DCBAGFED CBA【解析】 连接AC 、GB ，设1AGCS =△份，根据燕尾定理得1AGB S =△份，1BGC S =△份，则11126S =++⨯=正方形（）份，314ADCG S =+=份，所以22126496(cm )ADCG S =÷⨯=5、（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且13AE AB =，14CF BC =，AF 与CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，则AEG ∆与CGF ∆的面积之和为 ．EEE【解析】 (法1)如图，过F 做CE 的平行线交AB 于H ，则::1:3EH HB CF FB ==，所以122AE EB EH ==，::2AG GF AE EH ==，即2AG GF =，所以122311033942AEG ABF ABCD S S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=．且22313342EG HF EC EC ==⨯=，故CG GE =，则1152CGF AEG S S ∆∆=⨯⨯=．所以两三角形面积之和为10515+=． (法2)如上右图，连接AC 、BG ．根据燕尾定理，::3:1ABG ACG S S BF CF ∆∆==，::2:1BCG ACG S S BE AE ∆∆==，而1602ABC ABCD S S ∆==，所以3321ABG S ∆=++，160302ABC S ∆=⨯=，2321BCG S ∆=++，160203ABC S ∆=⨯=，则1103AEG ABG S S ∆∆==，154CFG BCG S S ∆∆==，所以两个三角形的面积之和为15．6、两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？773773FEDCBAx+3x773FED CBA【解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．设三角形为ABC ，BE 和CD 交于F ，则BF FE =，再连结DE ． 所以三角形DEF 的面积为3.设三角形ADE 的面积为x ，则()():33:10:10x AD DB x +==+，所以15x =，四边形的面积为18．方法二：设ADF S x =△，根据燕尾定理::ABF BFC AFE EFC S S S S =△△△△,得到3AEF S x =+△，再根据向右下飞的燕子，有(37):7:3x x ++=，解得7.5x =四边形的面积为7.57.5318++=7、如下图，正方形 ABCD 的面积是a ，正三角形BPC 的面积是 b ，求阴影三角形BPD 的面积．【分析】 连接 AC 交 BD 于O 点，并连接PO ．如图所示，可得P O / / DC ，所以三角形DPO 与三角形 CPO 面积相等(同底等高)，所以有:8、已知四边形ABCD 和CEFG 都是正方形，且正方形ABCD 的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD 的面积为多少平方厘米?【分析】 连接FC ，有FC 平行BD ，设BF 与DC 连接于O ，那么在梯形蝴蝶中有1===502DFO BCODCB ABCD S S S S S ∆∆∆=阴影9、如图，已知在平行四边形ABCD 中，AB=16，AD=10，BE=4，那么FC 的F GED CBA长度是多少?【分析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ,所以::4:161:4BF FC BE CD ===,所以410814FC =⨯=+. 10、四边形ABCD 和四边形CEFG 是两个正方形，BF 与CD 相交于H ,已知CH:DH=1:2, 6BCH S ∆=,求五边形ABEFD 的面积。

【分析】因为CH:DH=1:2，所以:1:2BCH BHD S S ∆∆=,即BHD S ∆=2×6=12 18BCD S ∆=,所以正方形ABCD 面积为36，BC=6 又6BCH S ∆=，所以CH=2连接CF,由蝴蝶定理得：6DFH BCH S S ∆∆==设小正方形边长为a ，则26a =得3a = ABCD CEFD DFG S S S S ∆=++=6×6+3×3＋（6-3）×3÷2=49.511、如图，已知正方形ABCD 的边长为10厘米，E 为AD 中点，F 为CE 中点，G 为BF 中点，求三角形BDG 的面积．【分析】 设BD 与CE 的交点为O ，连接BE 、DF ．由蝴蝶定理可知::BEDBCDEO OC SS=，而14BEDABCDSS =，12BCDABCDSS =，所以::1:2BED BCDEO OC SS==，故13EO EC =． 由于F 为CE 中点，所以12EF EC =，故:2:3EO EF =，:1:2FO EO =．由蝴蝶定理可知::1:2BFD BED S S FO EO ==，所以1128BFD BED ABCD S S S ==，那么1111010 6.2521616BGDBFDABCDS S S ===⨯⨯=（平方厘米）．FEF EDCBA12、点E 、M 分别为直角梯形ABCD 两边上的点，且DQ 、CP 、ME 彼此平行，若5AD =，7BC =,5AE =，3EB =．求阴影部分的面积．B CEQ B CE【分析】 连接CE 、DE ．由于DQ 、CP 、ME 彼此平行，所以四边形CDQP 是梯形，且ME 与该梯形的两个底平行，那么三角形QME 与DEM 、三角形PME 与CEM 的面积分别相等，所以三角形PQM 的面积与三角形CDE 的面积相等．而三角形CDE 的面积根据已知条件很容易求出来．由于ABCD 为直角梯形，且5AD =，7BC =,5AE =，3EB =，所以三角形CDE 的面积的面积为：()()1115753553725222+⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯=．所以三角形PQM 的面积为25．。