概率论第二章
概率论第二章-伯努利分布
比塔法则”写信告诉了罗比塔， 比塔法则”写信告诉了罗比塔，罗比塔将这一法则写进 了自己的著作《无穷小分析》中了。 了自己的著作《无穷小分析》中了。 丹尼尔.伯努利（ 丹尼尔.伯努利（Daniel Bernoulli) (1700-1782） 他是约翰. (1700-1782）,他是约翰.伯努利的二 儿子, 他在概率论、偏微分方程、 儿子, 他在概率论、偏微分方程、物 理和流体动力学上都有贡献。 理和流体动力学上都有贡献。最重要 的功绩是在流体动力学上，其中的“ 的功绩是在流体动力学上，其中的“伯 努利定理”就是他的贡献。 努利定理”就是他的贡献。他曾经荣获 法国科学院奖金10次之多 次之多。 法国科学院奖金 次之多。
伯努利（ 伯努利（1655—1705） ）
瑞士数学家Jakob Bernoulli,他使概率论成为一个 瑞士数学家 他使概率论成为一个 独立的数学分支。 年出版的遗作《 独立的数学分支。1713年出版的遗作《猜度术》， 年出版的遗作 猜度术》 建立了概率论中的第一个极限定律——伯努利大数 伯努利大数 建立了概率论中的第一个极限定律 定律。 定律。 伯努利家族在数学与科学上的地位非常的显赫 。 这个非凡的瑞士家族在三代时间里产生了八位数 学家（其中三位是杰出的，他们是雅可布、 学家（其中三位是杰出的，他们是雅可布、约翰 、 丹尼尔）。 束
Bernoulli（1654-1705） Jacob Bernoulli（1654-1705）非常喜 爱的数学， 爱的数学，他自学了牛顿和莱布尼茨的 微积分，并从1687 1687年开始到他去世为止 微积分，并从1687年开始到他去世为止 任瑞士巴塞尔大学数学教授。 任瑞士巴塞尔大学数学教授。他发表了 无穷级数的论文、 无穷级数的论文、研究过许多种特殊曲 发明了极坐标、引入了在tan(x) tan(x)函 线、发明了极坐标、引入了在tan(x)函 数的幂级数展开式中的伯努利数。 数的幂级数展开式中的伯努利数。 Johann Bernoulli（1667-1748）,1695 Bernoulli（1667-1748） 年他任荷兰戈罗宁根大学数学物理教授， 年他任荷兰戈罗宁根大学数学物理教授， 在他哥哥雅可布死后继任巴塞尔大学教 我们都知道极限论中有一个“ 授。我们都知道极限论中有一个“罗比塔 法则” 罗比塔(1661 1704)是约翰的一 (1661法则”，罗比塔(1661-1704)是约翰的一 个学生， 1694年约翰把自己发现的 年约翰把自己发现的“ 个学生，在1694年约翰把自己发现的“罗
[理学]青岛大学概率论课件概率第二章
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i 1
i 1
随机变量的数学期望。
(i 1,2,)
(1)
29
例3 设 为离散型随机变量，其分布列为
P{
(1)k
2k } k
1 2k
k 1,2,
试问: 的数学期望是否存在？
30
二、常用分布的数学期望
1） 单点分布
E c
2）两点分布
E p
3）二项分布 ~ B(n, p) E np
4）普阿松分布 ~ P( ) 5）几何分布 ~ G( p)
2）几何分布的无记忆性
定理：设 服从几何分布 G( p) ，m为任意整数，则
P( m k m) P( k) pqk1
6. 超几何分布
P(
k)
C
k M
C
nk N -M
CnN
注：背景
, k 0,1,,min( n, M )
9
§2.2 多维随机变量及其分布
一、二维随机变量及其分布
1. 定义
0, 1, 2，3 1
定义1：设（, F, P）是概率空间, =()是 定义在上的实值函数， 如果x R, 有
{ () x} F
则称为随机变量。
定义2（离散型随机变量）
随机变量
离散型 非离散型奇连异续型型
2
二、离散型随机变量的分布列
1. 定义
定义3: 设离散型随机变量的可能取值为 xi (i 1,2,)
例5 已知随机变量和的分布列为：
~
1 1
0 1
11
4 2 4
~
0 1
1 1
2 2
且P{ =0}=1 (1)求和的联合分布列 (2)问和是否独立？为什么？
19
bipt概率论第二章试题含答案
1. 2.3125 ； 0.54 ．
2. 0.007125 .
0, x 0,
3.
F
(
x)
=
1 13
, ,
0 x 1, 1 x 2,
2
1, x 2.
4.
X
~
−1 0.4
1 0.4
3 0.2
5. (1) 0 ,1
(2)
X
~
1 1
3 2
3 3
6. (1) 2 . (2) 0.75 ．
7. (1) 0.5 . (2) 0.316 . (3)
0 x 4, ，求Y = 2X + 8的概率密度函数．
0, 其它.
16．设随机变量
X
的概率密度为
f
(x)
=
1 4
,
0 x 4, ，求Y = 4 − 3X 的概率密度函数.
0, 其它.
17 . 设随机变量 X
的概率密度为
f
(x)
=
e−x ,
x 0, ，求Y = X 2 的概率密度.
,
1 x 2, 则 A＝
B, x 2.
，B＝
0, x 1,
4.设随机变量
X
的分布函数为
F(x)
=
1 2
,
1 x 2, ，则 P{−1 X 2} =
1, x 2.
0,
5.设随机变量
X
的分布函数为
F(x)
=
x2 4
,
1,
x 0, 0 x 2, 则 P(0 X 1) =
2
1,
x 1.5.
求（1） P(0.4 X 1.3) ；（2） P(X 0.5) ；（3） P(1.7 X 2) ．
天津理工大学概率论与数理统计第二章习题答案详解
第2章一维随机变量 习题2一. 填空题：1.设 离 散 型 随 机 变 量 ξ 的 分 布 函 数 是 (){}x P x F ≤=ξ， 则 用 F (x) 表 示 概 {}0x P =ξ = __________。
解：()()000--x F x F 2.设 随 机 变 量 ξ 的 分 布 函 数 为 ()()+∞<<∞-+=x arctgx x F π121 则 P{ 0<ξ<1} = ____14_____。
解： P{ 0<ξ<1} = =-)0(F )1(F 143.设 ξ 服 从 参 数 为 λ 的 泊 松 分 布 ， 且 已 知 P{ ξ = 2 } = P{ ξ = 3 }，则 P{ ξ = 3 }= ___2783e - 或 3.375e -3____。
4.设 某 离 散 型 随 机 变 量 ξ 的 分 布 律 是 {}⋅⋅⋅===,2,1,0,!k k C k P Kλξ，常 数 λ>0， 则 C 的 值 应 是 ___ e -λ_____。
解：{}λλλλξ-∞=∞=∞==⇒=⇒=⇒=⇒==∑∑∑e C Ce k C k Ck P KK KK K 11!1!105 设 随 机 变 量 ξ 的 分 布 律 是 {}4,3,2,1,21=⎪⎭⎫⎝⎛==k A k P kξ则 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<2521ξP = 0.8 。
解：()A A k P k 161516181412141=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++==∑=ξ 令15161A = 得 A =1615()()212521=+==⎪⎭⎫ ⎝⎛<<ξξξp p P 8.041211516=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=6.若 定 义 分 布 函 数 (){}x P x F ≤=ξ， 则 函 数 F(x)是 某 一 随 机 变 量 ξ 的 分 布 函 数 的 充 要 条 件 是F ( x ) 单 调 不 减 ， 函 数 F (x) 右 连 续 ， 且 F (- ∞ ) = 0 ， F ( + ∞ ) = 17. 随机变量) ,a (N ~2σξ，记{}σ<-ξ=σa P )(g ，则随着σ的增大，g()σ之值 保 持 不 变 。
概率论第二章
第二章随机变量及其分布习题全解习题2–11.一批产品中含有正品和次品，从中每次任取一件，有放回地连取3次，以X 表示取到的次品数．(1)写出X 的可能取值及对应事件的样本点；(2)设该批产品的次品率为p ，求X 的取值概率．解有放回地连取3次，每次都可能取到次品，且取到次品的概率均为p .(1)X 的可能取值为0,1,2,3；对应事件的样本点为{0}{(,,)}X ==正正正{1}{(,,),(,,),(,,)}X ==次正正正次正正正次{2}{(,,),(,,),(,,)}X ==次次正次正次正次次{3}{(,,)}X ==次次次(2)每次取到次品的概率为p ，连取3次相当于3重伯努利试验，故33{}(1),0,1,2,3k k k P X k C p p k -==-=2.从自然数1,2,3,4中无放回地连取两个数，以X 表示两数之差的绝对值．(1)写出X 的可能取值及对应事件的样本点；(2)求X 的取值概率．解从1,2,3,4中无放回地连取两个数，样本空间{(,)|,1,2,3,4}Ωi j i j i j ==≠；含有2412P =个样本点，各样本点等可能出现．(1)两数之差的绝对值X 可能取值1,2,3；对应事件的样本点为{1}{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)}X =={2}{(1,3),(3,1),(2,4),(4,2)}X =={3}{(1,4),(4,1)}X ==(2)根据X 取值所对应事件的样本点数，求得6{1}12P X ==，4{2}12P X ==，2{3}12P X ==可统一表示为4{},1,2,36kP X k k -===3.将一颗骰子连掷两次，以X 表示掷出的最大点数，求X 的可能取值及相应的取值概率．解一颗骰子连掷两次，其样本空间{(,)|,1,2,,6}Ωi j i j == 含有2636=个样本点，各样本点等可能出现．掷出的最大点数X 可能取值1,2,,6 ，对应事件{}{(,1),,(,),(1,),,(1,)}X k k k k k k k ==- 含有21k -个样本点，故X 的取值概率为21{},1,2,,636k P X k k -=== 4.某车站每60分钟发一班车，乘客在任意时刻随机到达车站．以X 表示乘客的候车时间，求(1)X 的可能取值范围；(2)乘客候车超过20分钟的概率．解考虑任一时间段内的前后两班车，发车间隔为60分钟．(1)如果乘客到达车站正好赶上前一班车发车，则候车时间0X =；否则要等后一班车，候车时间(0,60)X ∈，故X 的可能取值范围为区间[0,60)．(2)记前一班车发车时刻为0，乘客在发车间隔时间区间[0,60)内随机到达车站，候车超过20分钟意味着乘客在时间区间(0,40)内到达．根据几何概率有(0,40)402{20}603[0,60)P X >===区间的长度区间的长度5.向一个半径为1米的圆形靶子射击，设射击都能中靶，并且命中靶上任一同心圆的概率与该圆的面积成正比．以X 表示弹着点与圆心的距离，求(1)X 的可能取值范围；(2)命中靶上半径为x 的同心圆的概率．解考虑由弹着点确定的以X 为半径的同心圆．(1)因为射击都能中靶，故X 的可能取值范围为区间[0,1]．(2)对任一[0,1]x ∈，事件{0}X x ≤≤表示命中靶上半径为x 的同心圆，其概率为2{0},0P X x x λπλ≤≤=>由{01}X Ω≤≤=，有{01}1P X λπ≤≤==可得1λπ=，故命中靶上半径为x 的同心圆的概率为2{0},01P X x x x ≤≤=≤≤习题2–21.下列各表是否为离散型随机变量的分布律？(1)1010.10.50.6X P--(2)1230.10.30.5X P(3)2312311112222kX k P解根据分布律的基本性质判别：(1)否，因为{1}0.10P X =-=-<，不满足非负性．(2)否，因为31{}0.10.30.50.91k P X k ===++=≠∑，不满足规范性．(3)是，因为10,1,2,2k k >= ；且1112kk ∞==∑，满足分布律的基本性质．2.求下列随机变量X 的分布律中的常数a ．(1){},1,2,,aP X k k N N=== ；(2){},1,2,3,42k kaP X k k ===；(3){}2,1,2,k P X k a k === ．解根据分布律的规范性计算：(1)由11Nk a a N N N===∑，可得1a =．(2)由()4112341312248168kk ka a a ==+++==∑，可得813a =．(3)由1122lim 11n kn k a a a a ∞→∞=-==-∑，应有211a a =-，可得13a =．3.某射手用5发子弹射击目标，每次射击的命中率为p ．如果命中目标就停止射击，否则一直射击到子弹耗尽，求射击次数X 的分布律．解X 的可能取值为1,2,3,4,5．当5k <时，第k 次射击命中目标，前1k -次射击均未命中，有1{}(1),1,2,3,4k P X k p p k -==-=当5k =时，前4次射击均未命中，第5次射击可能命中也可能不中，有454{5}(1)(1)(1)P X p p p p ==-+-=-综上求得X 的分布律为23412345(1)(1)(1)(1)X Ppp pp p p pp ----4.袋内有1个白球和2个黑球，从中每次任取一球，连取两次，以X 表示取到白球的次数．求下列两种情况下X 的分布律．(1)第一次取球后不放回；(2)第一次取球后放回．解袋内仅有一个白球，无放回取球至多取到一次，有放回取球至多取到两次．(1)无放回取球时，X 的可能取值为0,1．根据超几何分布，有21223{},0,1k kC C P X k k C -===计算得到X 的分布律为011233X P(2)有放回取球时，X 的可能取值为0,1,2．根据二项分布，有()()2211{}1,0,1,233kkk P X k Ck -==-=计算得到X 的分布律为012441999X P5.重复进行伯努利试验，设每次试验成功的概率为p ，以X 表示取得第r 次成功时的试验次数，求X 的分布律．解X 的可能取值为,1,r r + ．事件{}X k =意味着第k 次试验为成功，且前1k -次试验中有1r -次成功，故X 的分布律为11(1)(1)111{}(1)(1),,1,r r k r r r k rk k P X k C p p p C p p k r r ---------==-=-=+ 6.数轴上一质点从原点出发，每次以概率p 向右移动或以概率1p -向左移动一个单位，且各次移动相互独立．以n X 表示第n 次移动后质点的坐标，求n X 的分布律．解事件{}n X k =表示经过n 次移动后质点的坐标为k ．将n 次移动视作n重伯努利试验，设其中有i 次向右移动，j 次向左移动，则有,i j n i j k +=-=，故k 与n 的奇偶性相同，且,22n kn k i j +-==由此求得n X 的分布律为222(1),,2,4,,{}0,n k n k n kn n C p p k n n n nP X k ++-⎧⎪-=--+-+==⎨⎪⎩其他7.某车间共有9台机床，各台机床在工作中开动的概率均为0.2，且工作状态相互独立．如果供给该车间的电力至多允许6台机床同时开动，求出现电力不足状况的概率．解以X 表示同时开动的机床数，则X 服从二项分布(9,0.2)B ，分布律为99{}0.2(10.2),0,1,,9k k k P X k C k -==-= 当6X >时将出现电力不足状况，出现的概率为999977{6}{}0.20.80.0003k k k k k P X P X k C -==>====∑∑8.设某商店每月销售某种商品的数量服从参数为8的泊松分布，求该种商品月初应准备多少库存，才能有99%以上的把握保证当月不脱销．解以X 表示当月销售量，则X 服从泊松分布(8)P ，分布律为88{},0,1,2,!k P X k e k k -===设月初准备库存为n ，要有99%以上的把握保证当月不脱销，应有88{}0.99!k nk P X n e k -=≤=≥∑查泊松分布表可得15n =．9.设某交叉路口在t 分钟内通过的汽车数服从参数与t 成正比的泊松分布，已知在1分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内最多有一辆汽车通过的概率．解以t X 表示t 分钟内通过的汽车数，则t X 服从泊松分布()P t λ，分布律为(){},0,1,2,!k tt t P X k e k k λλ-===根据1分钟内没有汽车通过的概率1{0}0.20!P X e λλ-===可得ln 5λ=，故2分钟内最多有一辆汽车通过的概率为112ln5220(2ln 5)1{1}{}(12ln 5)!25k k k P X P X k e k -==≤====+∑∑10.一批种子的发芽率为0.995，从中任取600粒做发芽试验，用泊松分布近似计算600粒种子中没有发芽的比例不超过1%的概率．解每粒种子不发芽的概率为10.9950.005p =-=，以X 表示600粒种子中没有发芽的种子数，则X 服从二项分布(600,0.005)B ，分布律为600600{}0.005(10.005),1,2,,600kk k P X k C k -==-= 用参数6000.0053np λ==⨯=的泊松分布(3)P 近似计算，有33{},1,2,,600!k P X k e k k -=≈= 故600粒种子中没有发芽的比例不超过1%，即6X ≤的概率为6633{6}{}0.9665!k k k P X P X k e k -==≤==≈=∑∑11.设某厂共有100台设备，各台设备的状态相互独立，且发生故障的概率均为0.01．求下列两种情况下，设备发生故障而不能得到及时修理的概率．(1)配备5名维修工，每人负责20台设备；(2)配备3名维修工，共同负责100台设备．解如果同一时刻发生故障的设备数超过相应负责的维修工数，则故障不能得到及时修理．(1)以,1,2,,5i X i = 分别表示5名维修工各自负责的20台设备中同时发生故障的设备数，则i X 相互独立，均服从二项分布(20,0.01)B ．当任一1i X >时，将有设备发生故障而不能及时修理，其概率为{}{}()555111512020{1}1{1}1{1}10.010.990.0815iiii i i kkkk PX P X P X C ===-=>=-≤=-≤=-=∏∑ (2)以X 表示100台设备中同时发生故障的设备数，则X 服从二项分布(100,0.01)B ．当3X >时，将有设备发生故障而不能及时修理，其概率为331001000{3}1{3}1{}10.010.990.0184k kk kk P X P X P X k C =-=>=-≤=-==-=∑∑12.设一天内进入某商场的顾客数服从参数为λ的泊松分布，每位顾客购物的概率为p ，且各位顾客是否购物相互独立．以X 表示一天内在该商场购物的顾客数，求X 的分布律．解以Y 表示一天内进入商场的顾客数，则Y 服从泊松分布()P λ，有n 位顾客进入商场的概率为{},0,1,2,!nP Y n e n n λλ-===在进入商场的n 位顾客中，购物的顾客数X 服从二项分布(,)B n p ，故在Y n =的条件下，X k =的条件概率为{|}(1),0,1,2,,k k n k n P X k Y n C p p k n-===-= 根据全概率公式，求得X 的分布律为(1){}{}{|}(1)![(1)]!()!!(),0,1,2,!nk kn kn n kn kk kn k k k p n kk pP X k P Y n P X k Y n e C p p n e p p e p ek n k k p e k k λλλλλλλλλλ∞∞--==---∞-=-======⋅--==-==∑∑∑即X 服从参数为p λ的泊松分布．习题2–31.下列函数是否为随机变量的分布函数？(1)0,1(),0121,1x F x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩；(2)0,01(),0121,1x F x x x <⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩；(3)21(),1F x x x=-∞<<+∞+．解根据分布函数的基本性质判别．(1)是，因为()F x 满足非减性，规范性和右连续性．(2)否，因为1(10)1(1)2F F +=≠=，不满足右连续性．(3)否，因为()F x 在(0,)+∞内递减，且()0F +∞=，不满足非减性和规范性．2.设下列函数为随机变量X 的分布函数，求常数,a b ．(1)01(),1111x F x ax b x x ≤-⎧⎪=+-<≤⎨⎪>⎩，，；(2)()arctan ,F x a b x x =+-∞<<+∞；(3)0()sin ,1x a F x x a x b x b ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩，，．解根据分布函数的基本性质分析计算．(1)根据()F x 的右连续性，应有(10)0(1)(10)1(1)F a b F F a b F -+=-+==-+==+=由此可得12a b ==．(2)根据()F x 的规范性，应有()02F a bπ-∞=-=，()12F a bπ+∞=+=由此可得11,2a b π==．(3)根据()F x 的右连续性和非减性，应有(0)sin 0()(0)1sin ()F a a F a F b b F b +===+===且()F x 在(,]a b 上单调非减，由此可得2,2,0,1,2,2a kb k k πππ==+=±± ．3.设离散型随机变量X 的分布律为210112X Paa -求常数a ，并求分布函数()F x ．解根据分布律的非负性和规范性，应有210,12a a a ≥++=由此可得312a -=，故X 的分布律为10113123222X P---并由分布律求得X 的分布函数为0,11,102()3,0121,1x x F x x x <-⎧⎪⎪-≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩4.某设备在试运行过程中，有3个独立的部件可能需要调准，其概率分别为0.1,0.2和0.3．以X 表示需要调准的部件数，求X 的分布律和分布函数．解记第i 个部件需要调准的事件为,11,2,3i A =．则123123123123123123123123{0}{}0.90.80.70.504{1}{}0.0560.1260.2160.398{2}{}0.0140.0240.0540.092{3}{}0.10.20.30.006P X P A A A P X P A A A A A A A A A P X P A A A A A A A A A P X P A A A ===⨯⨯====++====++====⨯⨯= 综上求得X 的分布律为01230.5040.3980.0920.006X P根据分布律求得X 的分布函数为0,00.504,01()0.902,120.994,231,3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩5.设离散型随机变量X 的分布函数为0,00.2,01()0.5,120.8,231,3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩求：(1)X 的分布律；(2)概率{03}P X <<；(3)条件概率{03}P X X ><解根据分布函数求出分布律，再计算有关概率．(1)由()F x 的间断点及{}()(0)P X x F x F x ==--，求得X 的分布律为01230.20.30.30.2X P(2)根据X 的分布律求得{03}{1}{2}0.30.30.6P X P X P X <<==+==+=(3)按条件概率的定义及X 的分布律，可得{03}0.6{03}0.75{3}0.8P X P X X P X <<><===<习题2–41.设随机变量X 的密度函数为sin 0()20x x f x π⎧<<⎪=⎨⎪⎩，，其他求概率{}63P X ππ≤≤，并求分布函数()F x ．解根据密度函数()f x ，所求概率为{}336631()sin 632PX f x dx xdx ππππππ-≤≤===⎰⎰注意到密度函数()0f x =的区间上积分为零，求得分布函数为0200,0()()sin ,02sin ,20,01cos ,021,2xxx F x f t dt tdt x tdt x x x x x πππππ-∞⎧<⎪⎪==≤<⎨⎪⎪≥⎩⎧<⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≥⎩⎰⎰⎰2.设随机变量X 的密度函数为,01()0,a x x f x <<⎧=⎨⎩其他求：(1)常数a ；(2)常数c ，使{}{}P X c P X c <=>；(3)分布函数()F x .解(1)根据密度函数的规范性，有12()13f x dx a xdx a +∞-∞===⎰⎰由此可得32a =．(2)由{}{}1{}P X c P X c P X c <=>=-<，有2{}1P X c <=，故32031{}()22ccP X c f x dx xdx c -∞<====⎰⎰由此可得314c =．(3)由密度函数3,012()0,x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他求得分布函数为01030,03()(),0123,120,0,011,1xx x F x f t dt t dt x t dt x x x x x -∞⎧<⎪⎪⎪==≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩⎰⎰⎰3.设随机变量X 的密度函数为||(),x f x ae x -=-∞<<+∞求常数a ，并求分布函数()F x ．解根据密度函数的规范性，有0||0()21x x x f x dx ae dx ae dx ae dx a +∞+∞+∞---∞-∞-∞==+==⎰⎰⎰⎰由此可得12a =．由密度函数||1()2x f x e -=，求得分布函数为001,02()()1,021,0211,02x t xxt t x x e dt x F x f t dt e dt e dt x e x e x -∞-∞--∞-⎧<⎪==⎨⎪+≥⎩⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩⎰⎰⎰⎰4.设随机变量X 的分布函数为2,0()0,0x a be x F x x -⎧+>⎪=⎨≤⎪⎩求常数,a b ；并求密度函数()f x ．解根据分布函数的右连续性和规范性，有(00)(0)0a b F F +=+==，()1F a +∞==由此可得1,1a b ==-．由分布函数21,0()0,0x e x F x x -⎧->⎪=⎨≤⎪⎩求导得到密度函数为22,0()()0,0x xe x f x F x x -⎧>⎪'==⎨≤⎪⎩5.设随机变量X 的密度函数()f x 为偶函数，已知()0.8F a =，求()F a -的值，并求概率{0}P X a ≤≤和{}P X a >．解对任意的x ，由()()f x f x -=可得()()()()1()1()xxxxF x f t dt f u du f u du f u du F x -+∞-∞+∞-∞-==--==-=-⎰⎰⎰⎰特别地，当0x =时，有(0)1(0)F F =-，即(0)0.5F =．根据以上结果，分别求得()1()10.80.2{0}()(0)0.80.50.3{||}()[1()]0.2(10.8)0.4F a F a P X a F a F P X a F a F a -=-=-=≤≤=-=-=>=-+-=+-=6.设随机变量X 服从区间(0,5)上的均匀分布，对X 进行3次独立观测，求至多有一次观测值小于2的概率．解根据均匀分布的定义，X 的密度函数为1,055()0x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩，其他在每次观测中，观测值小于2的概率为221{2}()0.45P X f x dx dx -∞<===⎰⎰以Y 表示3次观测中观测值小于2的次数，则(3,0.4)Y B ，故所求概率为11330{1}{}(0.4)(0.6)0.648k k k k k P Y P Y k C -==≤====∑∑7.设随机变量X 服从区间(2,6)-上的均匀分布，求一元二次方程20t X t X ++=有实根的概率．解根据均匀分布的定义，X 的密度函数为1,268()0x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩，其他方程20t X t X ++=有实根的充分必要条件为24X X ≥，即0X ≤或4X ≥，故所求概率为622411{4}{0}{4}0.588P X X P X P X dx dx -≥=≤+≥=+=⎰⎰8.设某元件的使用寿命X (单位:小时)服从参数0.002λ=的指数分布，求：(1)该元件在使用500小时内损坏的概率；(2)该元件在使用1000小时后未损坏的概率；(3)该元件在使用500小时未损坏的情况下，可以再使用500小时的概率．解根据指数分布的定义，X 的密度函数为0.0020.002,0()0,0xe xf x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩由此分别求得(1)该元件在使用500小时内损坏的概率为5000.0021{500}0.0021x P X e dx e --<==-⎰(2)该元件在使用1000小时后未损坏的概率为0.00221000{1000}0.002x P X e dx e +∞-->==⎰(3)根据指数分布的无记忆性，该元件在使用500小时未损坏的情况下，可以再使用500小时的概率为0.0021500{1000|500}{500}0.002x P X X P X e dx e +∞-->>=>==⎰9.设顾客在银行排队等候的时间X (单位:分)服从参数0.1λ=的指数分布．某顾客每周去一次银行办理业务，如果等候时间超过20分钟就离开，求该顾客一个月内至少有一次未办成业务的概率．解根据指数分布的定义，X 的密度函数为0.10.1,0()0,0xe xf x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩故等候时间超过20分钟的概率为0.1220{20}0.1x P X e dx e +∞-->==⎰该顾客一个月内去银行4次，以Y 表示未办成业务的次数，则2(4,)Y B e - ，至少有一次未办成业务的概率为24{1}1{0}1(1)P Y P Y e -≥=-==--10.设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，已知{}0.9P X c μ-≤=，求{}P X c μ->．解由2(,)X N μσ 可知，其密度函数曲线关于x μ=对称，有{}{}P X c P X c μμ-<-=->根据已知条件{}0.9P X c μ-≤=，可以求得(){}{}{}2{}21{}2(10.9)0.2P X c P X c P X c P X c P X c μμμμμ->=->+-<-=->=--≤=⨯-=11.设随机变量X 的密度函数为24481(),8x x X f x e x π++-=-∞<<+∞求：(1)X 服从何种分布；(2)概率{2}P X <-，{2}P X >，{44}P X -≤≤；(3)满足{}0.95P X c ≤>的常数c 的允许值．解X 的密度函数可表为222(2)4482211()822x x x X f x e eππ+++--⋅==⋅(1)对照正态分布2(,)N μσ的密度函数22()21()2x f x eμσπσ--=可知2(2,2)X N - ．(2)将X 标准化，查标准正态分表求得{}{}{}2{2}0(0)0.522{2}1{2}121(2)0.022822{44}13(3)(1)(3)(1)10.842X P X PX P X P X P X P X P ΦΦΦΦΦΦ+<-=<==+>=-≤=-<=-=+-≤≤=-<<=--=+-=(3)根据题意，要满足{}()222{}0.95222X c c P X c P=Φ+++≤=≤>反查标准正态分表可得2 1.652c +≥，故 1.3c ≥．12.设某车床加工的产品的直径服从正态分布2(100,0.2)N ，如果产品直径在1000.3±之间为合格，求该车床加工的产品的合格率．解以X 表示该车床加工的产品的直径，则2(100,0.2)X N ．根据产品标准，当99.7100.3X ≤≤时为合格，故产品的合格率为{}99.7100100100.3100{99.7100.3}0.20.20.2(1.5)( 1.5)2(1.5)10.8664X P X PΦΦΦ---≤≤=≤≤=--=-=13.设某车间每名工人每月完成的产品数服从正态分布2(3000,50)N ，按规定全车间有3%的工人可获超产奖，求获奖者每月至少要完成的产品数．解以X 表示每名工人每月完成的产品数，则2(3000,50)X N ．记获奖者每月至少要完成的产品数为c ，根据获超产奖的比例，有{}()30003000{}1{}15050300010.0350X c P X c P X c Pc Φ--≥=-<=-<-=-=由此可得()30000.9750c Φ-=，反查标准正态分布表得30001.8850c -=故获奖者每月至少要完成的产品数3094c =．14.设某课程的考试成绩服从正态分布2(75,)N σ，并且95分以上所占比例为2.5%．以达到60分为及格，求该课程的考试及格率．解以X 表示该课程考试成绩，则2(75,)X N σ ．根据95分以上比例，有{}()75957520{95}1{95}110.025X P X P X PΦσσσ-->=-≤=-≤=-=由此可得()200.975Φσ=，反查标准正态分布表得201.96σ=即201.96σ=，故该课程的考试及格率为{}()()()756075{60}1{60}115151 1.470.929X P X P X PσσΦΦΦσσ--≥=-<=-<=--===习题2–51.设随机变量X 的分布律为210120.10.150.20.250.3X P--求Y X =和(1)Z X X =-的分布律．解根据X 的分布律，有2101221012(1)620020.10.150.20.250.3X X X X P---将相同的取值合并，分别求得Y X =和(1)Z X X =-的分布律为0120.20.40.4Y P，0260.450.450.1Z P2.设随机变量X 的分布律为1{},1,2,2kP X k k ===求()sin2Y X π=的分布律．解相应于X 的取值，有()1,41sin 0,2,1,2,3,21,43X n Y X X n n X n π-=-⎧⎪====⎨⎪=-⎩根据X 的分布律，分别计算Y 的取值概率，有4111211431112{1}{41}21511{0}{2}2318{1}{43}215n n n n n n n n n P Y P X n P Y P X n P Y P X n ∞∞-==∞∞==∞∞-===-==-==========-==∑∑∑∑∑∑综上求得()sin2Y X π=的分布律为101258151515Y P-3.设随机变量X 的密度函数为21(),(1)f x x x π=-∞<<+∞+定义X 的函数110,1111X Y X X -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，，求Y 的分布律．解根据X 的密度函数，分别计算Y 的取值概率，有121212111{1}{1}(1)411{0}{11}(1)211{1}{1}(1)4P Y P X dx x P Y P X dx x P Y P X dx x πππ--∞-+∞=-=≤-==+==-<<==+==≥==+⎰⎰⎰综上求得Y 的分布律为101211444Y P-4.设随机变量X 的密度函数为||,11()0,X x x f x -<<⎧=⎨⎩其他求2Y X =服从的分布．解由X 的取值区间(1,1)-可知2Y X =的取值区间为[0,1)．当0y <时，有(){}0Y F y P Y y =≤=；当1y ≥时，有(){}1Y F y P Y y =≤=；当01y ≤<时，在X 的取值区间(1,1)-上，有2(){}{}{}||yY yF y P Y y P X y P y X y x dx y-=≤=≤=-≤≤==⎰综上求得2Y X =的分布函数为0,0(),011,1Y y F y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩由此可知2(0,1)Y X U = ．5.设随机变量X 服从区间(1,1)-上的均匀分布，求||X Y e -=的密度函数．解根据均匀分布的定义，X 的密度函数为1,112()0,X x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他由X 的取值区间(1,1)-可知||X Y e -=的取值区间为1(,1]e -．当1y e -≤或1y >时，有()0Y f y =．当11e y -<≤时，在X 的取值区间(1,1)-上，有||ln 11ln (){}{}{||ln }{1ln }{ln 1}11221ln 1()()X Y y y Y Y F y P Y y P e y P X y P X y P y X dx dxy f y F y y---=≤=≤=≥-=-<≤+-≤<=+=+'==⎰⎰综上求得||X Y e =的密度函数为11,1()0,Y e y yf y -⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他其中()Y F y 在1y =处不可导，取(1)0Y f =．6.设随机变量X 服从区间(),22ππ-上的均匀分布，求sin Y X =的密度函数．解根据均匀分布的定义，X 的密度函数为1,22()0,X x f x πππ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他由X 的取值区间(),22ππ-可知sin Y X =的取值区间为(1,1)-．在X 的取值区间(),22ππ-上，函数sin y x =严格单调且可导，其反函数为arcsin x y =，按公式求得sin Y X =的密度函数为2(arcsin )|(arcsin )|,11()0,11110X Y f y y y f y y y π'-<<⎧=⎨⎩⎧-<<⎪-=⎨⎪⎩其他其他7.设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，求(0)Y a X b a =+>的分布函数和密度函数．解根据指数分布的定义，X 的密度函数为,0()0,xX e x f x x λλ->⎧=⎨≤⎩由X 的取值区间(0,+)∞及0a >，可知Y a X b =+的取值区间为(,)b +∞．当y b ≤时，有(){}0,()()0Y Y Y F y P Y y f y F y '=≤===；当y b >时，在X 的取值区间(0,+)∞上，有{}0()()(){}{}01()()Y y bx a y b ay b aY Y F y P Y y P a X b y y bP X e dxa ef y F y eaλλλλλ------=≤=+≤-=<≤==-'==⎰综上求得Y a X b =+的分布函数和密度函数为()()1,()0,,()0,y b a Y y b a Y e y bF y y b e y b af y y b λλλ----⎧⎪->=⎨⎪≤⎩⎧>⎪=⎨⎪≤⎩8.设随机变量X 服从标准正态分布(0,1)N ，求X Y e =的密度函数．解根据标准正态分布的定义，X 的密度函数为221(),2x x e x ϕπ-=-∞<<+∞由X 的取值区间(,)-∞+∞可知X Y e =的取值区间为(0,)+∞．在X 的取值区间(,)-∞+∞上，函数x y e =严格单调且可导，其反函数为ln x y =，按公式求得X Y e =的密度函数为2(ln )2(ln )|(ln )|,0()001,020,0X Y y f y y y f y y e y y y π-'>⎧=⎨≤⎩⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，9.设随机变量X 服从区间(,)a b 上的均匀分布，证明(0)Y c X d c =+≠仍服从均匀分布．证仅证明0c >的情形．根据均匀分布的定义，X 的密度函数为1,()0X a x b b af x ⎧<<⎪-=⎨⎪⎩其他由X 的取值区间(,)a b 及0c >，可知Y c X d =+的取值区间为(,)ac d bc d ++．在X 的取值区间(,)a b 上，函数y c x d =+严格单调且可导，其反函数为y dx c-=，按公式求得Y c X d =+的密度函数为()(),()01,()0,XY y d y d f ac d y bc d c c f y ac d y bc d b a c '--⎧+<<+⎪=⎨⎪⎩⎧+<<+⎪-=⎨⎪⎩，其他其他由此即知(,)Y c X d U ac d bc d =+++ ．同理可证，对于0c <的情形，有(,)Y c X d U bc d ac d =+++ ．10.设随机变量X 服从参数1λ=的指数分布，证明X Y e -=和1X Z e -=-均服从区间(0,1)上的均匀分布．证根据指数分布的定义，X 的密度函数为,0()0,0xX e x f x x ->⎧=⎨≤⎩由X 的取值区间(0,)+∞可知，X Y e -=和1X Z e -=-的取值区间均为(0,1)．在X 的取值区间(0,)+∞上，函数x y e -=和1x z e -=-均严格单调且可导，其反函数分别为ln x y =-和ln(1)x z =--，按公式分别求得X Y e -=和1X Z e -=-的密度函数为(ln )|(ln )|,01()01,010,[ln(1)]|[ln(1)]|,01()01,010,X Y X Z f y y y f y y f z z z f z z '--<<⎧⎪=⎨⎪⎩<<⎧⎪=⎨⎪⎩'----<<⎧⎪=⎨⎪⎩<<⎧⎪=⎨⎪⎩，其他其他，其他其他由此即知(0,1)X Y e U -= ，1(0,1)X Z e U -=- ．总习题二1.从五个数1,2,3,4,5中任取三个数，以X 表示取到的最大数，求X 的分布律．解从1,2,3,4,5中任取三个数，共有3510C =种不同取法．可能取到的最大数3,4,5X =，相应的概率为2135{},3,4,5k C P X k k C -===计算得到X 的分布律为345136101010X P2.电台每小时报时一次，某人睡觉醒来不知时间而等待电台报时，求等待时间不超过15分钟的概率．解以分钟为单位．如果醒来时恰好电台报时，则等待时间0X =；否则等待时间(0,60)X ∈，故X 的可能取值范围为区间[0,60)．等待时间不超过15分钟意味着在时间区间[45,60)内醒来．根据几何概率有[45,60)151{15}604[0,60)P X ≤===区间的长度区间的长度3.重复进行伯努利试验，设每次试验成功的概率为p ，将试验进行到成功和失败都出现为止．以X 表示试验次数，求X 的分布律．解设事件k A 为“第k 次试验首次成功”，k B 为“第k 次试验首次失败”，2,3,k = ．则事件{}k k X k A B == ，且k k A B =∅，故X 的分布律为11{}()()()(1)(1),2,3,k k k k k k P X k P A B P A P B p p p p k --===+=-+-=4.设随机变量X 的分布律为21010.512X Paa --求常数a ，并求X 的分布函数．解根据分布律的非负性和规范性，有21200.5(12)1a a a -≥⎧⎪⎨+-+=⎪⎩由此可得112a =-．根据X 的分布律1010.51.5221X P---求得X 的分布函数为0,10.5,10()20.5,011,1x x F x x x ⎧<-⎪-≤<⎪=⎨-≤<⎪⎪≥⎩5.设自动生产线经过调整后出现次品的概率为0.01p =，生产过程中出现次品时立即调整生产线，以X 表示两次调整之间所生产的合格品数，求：(1)X 的分布律；(2)两次调整之间能以0.9的概率保证至少生产多少个合格品．解X 的可能取值为0,1,2, ．事件{}X k =表示连续生产k 个合格品后，第1k +个产品出现次品而需调整生产线．(1)X 的分布律为{}(0.99)0.01,0,1,2,k P X k k ==⨯=(2)两次调整之间至少生产k 个合格品的概率为{}{}(0.99)0.01(0.99),0,1,2,i k i ki kP X k P X i k ∞∞==≥===⨯==∑∑要以0.9的概率保证至少生产k 个合格品，应有(0.99)0.9k =，由此解得ln 0.910.48ln 0.99k ==故两次调整之间以0.9的概率保证至少生产10个合格品．6.对目标进行500次射击，设每次射击命中的概率为0.01，且每次射击命中与否相互独立，用泊松分布近似计算至少命中2次的概率．解以X 表示命中次数，则(500,0.01)X B ，至少命中2次的概率为15005000{2}1{1}1(0.01)(10.01)kk kk P X P X C -=≥=-≤=--∑根据500n =，0.01p =，由参数5np ==λ的泊松分布近似求得155{2}110.040.96!k k P X e k -=≥≈-=-=∑7.设在任一长为t 年的时间间隔内的地震发生次数()N t 服从参数为λt 的泊松分布，以T 表示距下次地震发生的间隔年数．求：(1)三年内发生地震的概率；(2)三年内不发生地震而下一个三年内发生地震的概率；(3)在三年内不发生地震的情况下，下一个三年内发生地震的概率．解根据题意，t 年内地震发生次数()N t 的分布律为(){()},0,1,2,!k tt P N t k e k k -===λλ记间隔年数T 的分布函数为()F t ，则当0t <时，有(){}0F t P T t =≤=；当0t ≥时，注意到{}T t >等价于{()0}N t =，有(){}1{}1{()0}1tF t P T t P T t P N t e -=≤=->=-==-λ综上可得T 的分布函数为1,0()0,0te t F t t λ-⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩(1)三年内发生地震的概率为3{3}(3)1P T F e -≤==-λ(2)三年内不发生地震而下一个三年内发生地震的概率为36{36}{6}{3}(6)(3)P T P T P T F F e e --<≤=≤-≤=-=-λλ(3)在三年内不发生地震的情况下，下一个三年内发生地震的概率为3633{6,3}{36}{6|3}1{3}1{3}P T T P T e e P T T e P T P T e----≤><≤-≤>====->-≤λλλλ8.某型号元件的使用寿命X 服从参数为λ的指数分布，用若干该型号元件组成一个系统，设各元件损坏与否相互独立．以Y 表示系统的寿命，求下列两个系统寿命Y 的密度函数．(1)由n 个该型号元件组成的串联系统；(2)由n 个该型号元件组成的并联系统．解以i X 表示第i 个元件的使用寿命．由题意知i X 独立同分布，记其分布函数为()F x ，密度函数为()f x ，则1,0,0(),()0,00,0xxe x e x F xf x x x ---≥>⎧⎧==⎨⎨<≤⎩⎩λλλ(1)对于串联系统，其寿命Y 的分布函数为()11(){}1{}1{}11{}1[1()]Y nni i i i nF y P Y y P Y y P X y P X y F y ===≤=->=->=--≤=--∏∏求导得到密度函数为1,0()()[1()]()00nλyn Y Y nλe y f y F y n F y f y y -->⎧'==-=⎨≤⎩，(2)对于并联系统，其寿命Y 的分布函数为1(){}{}[()]nnY i i F y P Y y P X y F y ==≤=≤=∏求导得到密度函数为11(1),0()()[()]()00λy n λyn Y Y nλe e y f y F y n F y f y y ----->⎧'===⎨≤⎩，9.设电源电压X 服从正态分布2(220,25)N ，某电子元件当电压低于200V 时损坏的概率为0.1；当电压在200240V V 时损坏的概率为0.001；当电压高于240V 时损坏的概率为0.2，求：(1)该电子元件损坏的概率；(2)该电子元件损坏时，电源电压在200240V V 的概率．解设事件A 为“该电子元件损坏”，记电压状态123{220},{220240},{240}B X B X B X =<=≤≤=>由2(220,25)X N ，有{}()220220220{}252525X x x P X x PΦ---≤=≤=查标准正态分布表可得()()()123(){200}0.810.80.212(){200240}120.2120.576(){240}1{240}10.80.212P B P X P B P X P B P X P X ΦΦΦ=<=-=-==≤≤=-⨯==>=-≤=-=(1)根据全概率公式，该电子元件损坏的概率为31(){}(|)0.10.2120.0010.5760.20.2120.064i i i P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯=∑(2)根据贝叶斯公式，该电子元件损坏时，电压在200240V V 的概率为2222(,){}(|)0.0010.576(|)0.009()()0.064P A B P B P A B P B A P A P A ⨯====10.设某门课程的考试成绩服从正态分布2(70,10)N ，如果规定优秀的比例为5%，求获得优秀的最低分数．解设获得优秀的最低分数为c ．由考试成绩2(70,10)X N ，以及优秀比例为5%，应有{}()707070{}1{}110.05101010X c c P X c P X c P---≥=-<=-<=-=Φ由此可得()700.9510c -=Φ，反查标准正态分布表得70 1.6510c -=故获得优秀的最低分数86.5c =．11.设非负随机变量X 的密度函数为()X f x ，求Y X =的密度函数．解由X 的取值区间[0,)+∞可知Y X =的取值区间为[0,)+∞．当0y =时，可取()0Y f y =．当0y >时，在X 的取值区间(0,)+∞上，函数y x =严格单调且可导，其反函数为2x y =，按公式求得Y X =的密度函数为222()(),0()002(),00,0X Y X f y y y f y y y f y y y '>⎧=⎨≤⎩>⎧=⎨≤⎩，12.设随机变量X 的密度函数为1||,11()0,X x x f x --<<⎧=⎨⎩其他求2Y X =的密度函数．解由X 的取值区间(1,1)-可知2Y X =的取值区间为[0,1)．当0y <或1y ≥时，有()0Y f y =．当01y ≤<时，在X 的取值区间(1,1)-上，有20(){}{}{}(1||)2(1)21()()1,01Y yyy Y Y F y P Y y P X y P y X y x dx x dx y yf y F y y y-=≤=≤=-≤≤=-=-=-'==-<<⎰⎰综上求得2Y X =的密度函数为11,01()0,Y y yf y ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他其中()Y F y 在0y =处不可导，取(0)0Y f =．。
概率论第二章习题参考解答1
概率论第二章习题参考解答1. 用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果. 写出它的概率函数和分布函数. 解: 假设ξ=1对应于"正面朝上",ξ=0对应于反面朝上. 则 P (ξ=0)=P (ξ=1)=0.5 . 其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=11105.000)(x x x x F 2. 如果ξ服从0-1分布, 又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍, 写出ξ的分布律和分布函数.解: 根据题意有 P (ξ=1)=2P (ξ=0) (1) 并由概率分布的性质知 P (ξ=0)+P (ξ=1)=1 (2) 将(1)代入(2)得3P (ξ=0)=1, 即P (ξ=0)=1/3 再由(1)式得 P (ξ=1)=2/3因此分布律由下表所示ξ0 1 P 1/32/3而分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>=<≤<=11103/100)(x x x x F 3. 如果ξ的概率函数为P {ξ=a }=1, 则称ξ服从退化分布. 写出它的分布函数F (x ), 画出F (x )的图形. 解: ⎩⎨⎧≥<=ax a x x F 10)(, 它的图形为4. 一批产品分一,二,三级, 其中一级品是二级品的两倍, 三级品是二级品的一半, 从这批产品中随机地抽取一个检验质量, 用随机变量描述检验的可能结果, 写出它的概率函数. 解 设ξ取值1,2,3代表取到的产品为一,二,三级, 则根据题意有 P (ξ=1)=2P (ξ=2) (1)P (ξ=3)=P (ξ=2)/2 (2) 由概率论性质可知P (ξ=1)+P (ξ=2)+P (ξ=3)=1 (3)(1),(2)代入(3)得:2P (ξ=2)+P (ξ=2)+P (ξ=2)/2=1解得P (ξ=2)=2/7, 再代回到(1)和(2)得 P (ξ=1)=4/7, P (ξ=3)=1/7 则概率函数为)3,2,1(271)(3=⨯==-i i P i ξ或列表如下:5. 一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求这4个中的次品数ξ的分布律.解: 基本事件总数为420C n =,有利于事件{ξ=i }(i =0,1,2,3,4)的基本事件数为ii i C C n -=4155, 则001.01731911718192051234)4(031.0171952121545171819201234)3(2167.01718191415231212141545171819201234)2(4696.01718191314151231314155171819201234)1(2817.01719137123412131415171819201234)0(445420115354202152542031515420415=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C P C C C P C C C P C C C P C C P ξξξξξ 6. 一批产品包括10件正品, 3件次品, 有放回地抽取, 每次一件, 直到取得正品为止, 假定每件产品被取到的机会相同, 求抽取次数ξ的概率函数.解: 每次抽到正品的概率相同, 均为p =10/13=0.7692, 则每次抽到次品的概率q =1-p =0.2308则ξ服从相应的几何分布, 即有),3,2,1(1331310)(1=⎪⎭⎫⎝⎛⋅===-i pq i P i i ξ7. 上题中如果每次取出一件产品后, 总以一件正品放回去, 直到取得正品为止, 求抽取次数ξ的分布律.解: 这样抽取次数就是有限的, 因为总共只有3件次品, 即使前面三次都抽到次品,第四次抽时次品 已经全部代换为正品, 因此必然抽到正品, 这样ξ的取值为1,2,3,4. 不难算出,0027.0131132133)4(0328.01312132133)3(1953.01311133)2(7692.01310)1(=⋅⋅===⋅⋅===⋅=====ξξξξP P P P8. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为p , 当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整, 求在两次调整之间生产的合格品数ξ的概率函数.解: 事件ξ=i 说明生产了i 次正品后第i +1次出现废品, 这是i +1个独立事件的交(1次发生i 次不发生, 因此有P (ξ=i )=p (1-p )i , (i =0,1,2,…)9. 已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2四个值, 相应概率依次为cc c c 167,85,43,21, 确定常数c 并计算P {ξ<1|ξ≠0}.解: 根据概率函数的性质有1}2{}1{}0{}1{==+=+=+-=ξξξξP P P P即1167854321=+++cc c c 得2.3125163716710128167854321==+++=+++=c 设事件A 为ξ<1, B 为ξ≠0, (注: 如果熟练也可以不这样设)则32.0258167852121}2{}1{}1{}1{)0{}01{)()(}0|1{==++==+=+-=-==≠≠⋂<==≠<ξξξξξξξξξP P P P P P B P AB P P 10. 写出第4题及第9题中各随机变量的分布函数. 解: 第4题:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=31327/6217/410)(x x x x x F第9题:当x <-1时: F (x )=P (ξ≤x )=0 当-1≤x <0时: F (x )=P (ξ≤x )=P (ξ=-1)=2162.03125.22121=⨯=c 当0≤x <1时: F (x )=P (ξ≤x )=P (ξ=-1)+P (ξ=0)=5405.03125.243214321=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+c c 当1≤x <2时: F (x )=P (ξ≤x )=P (ξ=-1)+P (ξ=0)+P (ξ=1)=8108.03125.2854321854321=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++c c c 当x ≥2时: F (x )=P (ξ≤x )=1 综上所述, 最后得:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤--<=21218108.0105405.0012162.010)(x x x x x x F 11. 已知ξ~⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它1021)(x xx ϕ, 求ξ的分布函数F (x ), 画出F (x )的图形.解: 当x <0时: F (x )=0;当0≤x <1时:xx xt x t dt t dt t dt dt t x F xxx=-==+-⋅==+==+--∞-∞-⎰⎰⎰⎰00012112121210)()(12102100ϕ 当x ≥1时: F (x )=1 综上所述, 最后得⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(x x xx x F 图形为12. 已知ξ~⎩⎨⎧<<=其它0102)(x x x ϕ, 求P {ξ≤0.5}; P (ξ=0.5);F (x ).解: 25.005.020)(}5.0{225.0025.005,0|=-==+==≤⎰⎰⎰∞-∞-x xdx dx dx x P ϕξ, 因ξ为连续型随机变量, 因此取任何点的概率均为零, 所以P {ξ=0.5}=0,求F (x ): 当x <0时, F (x )=0 当0≤x <1时, 220|20)()(x t tdt dt dt t x F xxx==+==⎰⎰⎰∞-∞-ϕ 当x ≥1时, F (x )=1 综上所述, 最后得:⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x x x x F 13. 某型号电子管, 其寿命(以小时计)为一随机变量, 概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≥=其它0100100)(2x x x ϕ, 某一个电子设备内配有3个这样的电子管, 求电子管使用150小时都不需要更换的概率.解: 先求一个电子管使用150小时以上的概率P (ξ≥150)为:3215010012100100)()150(|150121502150==+-===≥∞++-+∞+∞⎰⎰x dx xdx x P ϕξ 则3个这样的电子管构成贝努里独立试验概型, 试验三次发生三次的概率为2963.027832)3(33==⎪⎭⎫⎝⎛=p14. 设连续型随机变量ξ的分布函数为:⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x Ax x x F 求系数A ; P (0.3<ξ<0.7); 概率密度φ(x ).解: 因ξ是连续型随机变量, 因此F (x )也必是连续曲线, 则其在第二段(0,1)区间的曲线必能和第三段(1,+∞)的曲线接上, 则必有 A ×12=1, 即A =1. 则分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x x x x F P (0.3<ξ<0.7)=F (0.7)-F (0.3)=0.72-0.32=0.49-0.09=0.4概率密度φ(x )为⎩⎨⎧<≤='=其它0102)()(x x x F x ϕ15. 服从柯西分布的随机变量ξ的分布函数是F (x )=A +B arctg x , 求常数A ,B ;P {|ξ|<1}以及概率密度φ(x ). 解: 由F (-∞)=0, 得A +Barctg (-∞)=02=-πB A(1)再由F (+∞)=1,得12)arctg(=+=+∞+πB A B A(2)综和(1),(2)两式解得π1,21==B A 即x x F arctg 121)(π+=5.0214411111)1()1()11()1|(|==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--==--=--=<<-=<πππππξξarctg arctg F F P P2111)()(x x F x +⋅='=πϕ16. 服从拉普拉斯分布的随机变量ξ的概率密度||)(x Ae x -=ϕ, 求系数A 及分布函数F (x ).解: 这实际上是一个分段函数, φ(x )可重新写为⎩⎨⎧<≥=-0)(x Aex Ae x xxϕ 根据性质1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ, 又因φ(x )为偶函数, 因此有1222)(|==-==∞+-+∞-+∞∞-⎰⎰A Aedx Aedx x x xϕ, 则有A =1/2因此⎪⎩⎪⎨⎧<≥==--02102121)(||x e x e ex x x x ϕ.求分布函数F (x ). 当x <0时, 有xxtxt x e e dt e dt t x F 212121)()(====∞-∞-∞-⎰⎰ϕ当x ≥0时, 有x x xtxt t x e e e dt e dt e dt t x F ----∞-∞--=+-=-=+==⎰⎰⎰21121212121212121)()(00ϕ 综上所述, 最后得⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-0211021)(x e x e x F x x17. 已知⎩⎨⎧<<+-=其它01031212)(~2x x x x ϕξ, 计算P {ξ≤0.2|0.1<ξ≤0.5}解: 设事件A ={ξ≤0.2}, B ={0.1<ξ≤0.5}, 则要计算的是条件概率P (A |B ), 而)()()|(B P AB P B A P =, 而事件AB ={ξ≤0.2}∩{0.1<ξ≤0.5}={0.1<ξ≤0.2} 因此有148.03.006.0004.06.024.0032.0)1.0301.06001.04()2.0304.06008.04()364(d )31212()(}2.01.0{)(2.01.0232.01.022.01.0=-+-+-=⨯+⨯-⨯-⨯+⨯-⨯==+-=+-==≤<=⎰⎰x x x xx x dx x P AB P ϕξ256.03.006.0004.05.15.15.0)1.0301.06001.04()5.0325.06125.04()364(d )31212()(}5.01.0{)(5.01.0235.01.025.01.0=-+-+-=⨯+⨯-⨯-⨯+⨯-⨯==+-=+-===≤<=⎰⎰x x x xx x dx x P B P ϕξ最后得5781.0256.0148.0)()()|(}5.01.0|2.0{====≤<≤B P AB P B A P P ξξ18. 已知xxce x +-=2)(~ϕξ, 确定常数c .解: 首先证明普阿松广义积分π=⎰+∞∞--x e xd 2, 因为函数2x e -并不存在原函数, 因此需要一技巧. 令⎰+∞∞--=x eI x d 2, 则⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+-+∞∞--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x e x e I y x x d d d )(22222作极坐标代换, 令θθsin ,cos r y r x ==, 则积分区间为全平面, 即θ从0积到2π, r 从0积到+∞, 且θd d d d r r y x =, 因此有πππθπ====∞+-+∞-+∞-⎰⎰⎰020202222)d(212rr r e r e rdr ed I , 所以I =π.现确定常数c , 由性质1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ,1d d 41)21(414141212222====⎰⎰⎰+∞∞---+∞∞-+-⋅⋅+-+∞∞-+-πcedx ecex cex cex x x xx得421πe c =19. 已知⎩⎨⎧>>=-其它)0()(~λλϕξλa x e c x x, 求常数c 及P {a -1<ξ≤a +1}.解: 由性质1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ得1d d 0)(|==-=+=-∞+-+∞-∞-+∞∞-⎰⎰⎰aax ax ace ce x e c x dx x λλλλϕ 解得 aec λ=, 因此有⎩⎨⎧>>=--其它)0()()(λλϕλa x e x a x则λλλλλλϕξ---+---+--=-==+==+≤<-⎰⎰⎰⎰e e due x ex x x a a P u u a aa x a a a a 1d d 0d )()11(|111)(111求边缘概率分布, 与是否独立?解: 按下表计算ξ与η的边缘分布:得的边缘分布如下表所示:当i =1及j =0时,因202.026.0}0{}1{0}0,1{)2(0)1(110⨯====≠====ηξηξP P p p P p因此ξ与η相互间不独立.21. 假设电子显示牌上有3个灯泡在第一排, 5个灯泡在第二排. 令ξ,η分别表示在某一规定时间内第一排和第二排烧坏的灯泡数. 若ξ与η的联合分布如下表所示: 试计算在规定时间内下列事件的概率: (1) 第一排烧坏的灯泡数不超过一个; (2) 第一排与第二排烧坏的灯泡数相等;(3) 第一排烧坏的灯泡数不超过第二排烧坏的灯泡数.解: 假设事件A 为第一排烧坏的灯泡数不超过一个, B 为第一排与第二排烧坏的灯泡数相等, C 为第一排烧坏的灯光数不超过第二排烧坏的灯泡数. 则事件A 发生的概率为上表中头两排概率之和52.008.006.005.004.002.001.009.007.005.003.001.001.0)(104=++++++++++++==∑∑==i j ij p A P事件B 发生的概率为上表中从0行0列开始的斜对角线之和14.006.005.002.001.0)(3=+++==∑=i ii p B P事件C 发生的概率为上表中斜对角线上右的各个数相加(包括斜对角线上的数), 但为减少运算量, 也可以考虑其逆事件C 的概率, 然后用1减去它. 而C 的概率为上表中斜对角线的左下角的所有概率之和(不包括斜对角线):89.011.01)04.001.003.001.001.001.0(1)(1)(=-=+++++-=-=C P C P22. 袋中装有标上号码1,2,2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球, 以ξ, η分别记为第一,二次取到球上的号码数, 求(ξ,η)的分布律(袋中各球被取机会相同).解: 因为有两个2一个1, 因此第一次取到2号的概率为P (ξ=2)=2/3, 第一次取到1号的概率为P (ξ=1)=1/3. 第一次取到2号后还剩下一个2号一个1号, 则在此条件下第二次取到1号的概率P (η=1|ξ=2)=P (η=2|ξ=2)=1/2. 而第一次取到1号后还剩下两个2号, 因此这时P (η=1|ξ=1)=0, P (η=2|ξ=1)=1. 综上所述并用乘法法则可得312132)2|2()2()2,2(312132)2|1()2()1,2(31131)1|2()1()2,1(0031)1|1()1()1,1(22211211=⨯=========⨯=========⨯=========⨯========ξηξηξξηξηξξηξηξξηξηξP P P p P P P p P P P p P P P p23. (ξ , η)只取下列数组中的值：)0,2()31,1()1,1()0,0(--且相应的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 列出(ξ,η)的概率分布表, 写出关于η的边缘分布. 解: 从上面数组可知ξ只取-1,0,2这三个值, 而η只取0,31,1这三个值, 因此总共可构成九个. 概率分布表及η的边缘分布计算如下即η的边缘分布率如下表所示24. 袋中装有标上号码1,2,2,3的4个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球, 以ξ, η分别记为第一,二次取到球上的号码数, 求(ξ,η)的分布律(袋中各球被取机会相同).解: 第一次取到号码1,2,3的概率为P{ξ=1}=P(ξ=3)=1/4P{ξ=2}=1/2在第一次取到号码i条件下,第二次取到号码j的概率各为P{η=1|ξ=1}=P{η=3|ξ=3}=0P{η=2|ξ=1}=P{η=2|ξ=3}=2/3P{η=3|ξ=1}=P{η=1|ξ=3}=1/3P{η=1|ξ=2}=P{η=3|ξ=2}=1/3P{η=2|ξ=2}=1/3则p11=P{ξ=1,η=1}=P{ξ=1}P{η=1|ξ=1}=0p12=P{ξ=1,η=2}=P{ξ=1}P{η=2|ξ=1}=1/6p13=P{ξ=1,η=3}=P{ξ=1}P{η=3|ξ=1}=1/12p21=P{ξ=2,η=1}=P{ξ=2}P{η=1|ξ=2}=1/6p22=P{ξ=2,η=2}=P{ξ=2}P{η=2|ξ=2}=1/6p23=P{ξ=2,η=3}=P{ξ=2}P{η=3|ξ=2}=1/6p31=P{ξ=3,η=1}=P{ξ=3}P{η=1|ξ=3}=1/12p32=P{ξ=3,η=2}=P{ξ=3}P{η=2|ξ=3}=1/6p33=P{ξ=3,η=3}=P{ξ=3}P{η=3|ξ=3}=025. 表示随机地在1-4的4个整数中取出的一个整数，η表示在1-ξ中随机地取出的一个整数值，求(ξ,η)的联合概率分布.解: 因ξ取四个数中的任何一个概率相等, 因此有P{ξ=i}=1/4, (i=1,2,3,4)而在ξ=i的条件下, (i=1,2,3,4), η取1到i的概率也相同,为1/i, 即P{η=j|ξ=i}=1/i, (i=1,2,3,4;j=1-i)因此有p ij=P{ξ=i,η=j}=P{ξ=i}P{η=j|ξ=i}=1/(4i), (i=1,2,3,4; j=1-i),联合概率分布如下表所示:26. 已知(ξ,η)~⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=其它04,0)sin(),(πϕy x y x c y x ,试确定常数c 并求η的边缘概率密度.解: 根据性质1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dydx y x ϕ, 有1)12(]220122[)]4sin([sin )]4cos([cos )]cos([)sin(40440404040=-=+--=+-=+-=+-=+⎰⎰⎰⎰c c x x c x x dx c y x dx c dydx y x c ππππππππ解得12)12)(12(12121+=+-+=-=c ,因此,⎪⎩⎪⎨⎧≤≤++=其它04,0)sin()12(),(πϕy x y x y x求η的边缘概率密度: 当40π≤≤y 时:)8sin(22)12()]4cos()[cos 12()cos()12()sin()12(),()(4042ππϕϕκπ+-+==+-+==++-=++==⎰⎰∞+∞-y y y y x dx y x dx y x y上式后一等式利用了三角函数公式2sin 2sin2cos cos A B A B B A -+=-, 而计算三角函数8sin π的值, 又是在已知224cos=π的前提下,利用半角公式2cos 12sin θθ-=得222222124cos18sin-=-=-=ππ当y 取区间]4,0[π之外的值时, 0)(1=y ϕ.因此最后得:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+=其它040)8sin(22)12()(2ππϕy y y27. 已知ξ服从参数p =0.6的0-1分布, 在ξ=0及ξ=1条件下, 关于η的条件分布分别如下二表所示:求二元随机变量(,)的联合概率分布, 以及在≠1时关于的条件分布. 解: 根据题意已知P {ξ=0}=1-p =1-0.6=0.4, P {ξ=1}=p =0.6 则根据乘法法则有:p 01=P {ξ=0,η=1}=P {ξ=0}P {η=1|ξ=0}=0.4×(1/4)=0.1 p 02=P {ξ=0,η=2}=P {ξ=0}P {η=2|ξ=0}=0.4×(1/2)=0.2 p 03=P {ξ=0,η=3}=P {ξ=0}P {η=3|ξ=0}=0.4×(1/4)=0.1 p 11=P {ξ=1,η=1}=P {ξ=1}P {η=1|ξ=1}=0.6×(1/2)=0.3 p 12=P {ξ=1,η=2}=P {ξ=1}P {η=2|ξ=1}=0.6×(1/6)=0.1 p 13=P {ξ=1,η=3}=P {ξ=1}P {η=3|ξ=1}=0.6×(1/3)=0.2由表中可以算出P {η≠1}=1-P {η=1}=1-(p 01+p 11)=1-0.4=0.6 P {ξ=0,η≠1}=p 02+p 03=0.2+0.1=0.3 P {ξ=1,η≠1}=p 12+p 13=0.1+0.2=0.3 因此有5.06.03.0}1{}1,1{}1|1{5.06.03.0}1{}1,0{}1|0{==≠≠==≠===≠≠==≠=ηηξηξηηξηξP P P P P P则在η≠1时关于ξ的条件分布律如下表所示:28. 第22题中的两个随机变量ξ与η是否独立？当ξ=1时η的条件分布是什么？: , 因为 P {ξ=1}=1/3, P {η=1}=1/3 而P {ξ=1,η=1}=0≠P {ξ=1}P {η=1} 在ξ=1条件下, 因13/13/1}1{}2,1{}1|2{03/10}1{}1,1{}1|1{================ξηξξηξηξξηP P P P P P因此在此条件下η服从单点分布或退化分布, 只取值为2, 取值为2的条件概率为1.=p i (1)p j (2), 算得联合分布律如下表所示 根据此联合分布律可算出43129611211)2/1,2/1()1,1(1)0(1)0(121484481161)1,0()3,2()1(==--==-==-=-=-==+-=≠+==+===+=-===+ηξηξηξηξηξηξηξP P P P P P P30. 测量一矩形土地的长与宽, 测量结果得到如下表所示的分布律(长与宽相互独立), 求周解: 因ζ=2ξ+2η, 可知ζ的取值为96,98,100,102,104, 又因ξ与η独立, 因此有 P {ζ=96}==P {ξ=29}P {η=19}=0.3×0.3=0.09P {ζ=98}=P {ξ=29}P {η=20}+P {ξ=30}P {η=19}=0.3×0.4+0.5×0.3=0.27 P {ζ=100}=P {ξ=29}P {η=21}+P {ξ=30}P {η=20}+P {ξ=31}}P {η=19}==0.3×0.3+0.5×0.4+0.2×0.3=0.35P {ζ=102}=P {ξ=30}P {η=21}+P {ξ=31}P {η=20}=0.3×0.5+0.2×0.4=0.23 P {ζ=104}=P {ξ=31}P {η=21}=0.2×0.3=0.06η的分布.解: 因周长=2πR , 面积=πR , 因此当半径R 取值10,11,12,13时, ξ的取值为62.83, 69.12,32. 一个商店每星期四进货, 以备星期五,六,日3天销售, 根据多周统计, 这3天销售件数 ξ问三天销售总量∑==31i iξη这个随机变量可以取哪些值?如果进货45件, 不够卖的概率是多少? 如果进货40件, 够卖的概率是多少?解: 因η的取值为ξ1,ξ2,ξ3三个随机变量可能取值之和, 因此可能的取值为从10+13+17=40到12+15+19=46之间的每一个整数值, 即40,41,42,43,44,45,46. 因此, 如进货15件, 不够卖的概率在η取值为46时出现, 即 P {η=46}=P {ξ1=12}P {ξ2=15}P {ξ3=19}=0.1×0.1×0.1=0.001 如进货40件, 够卖的概率发生在η取值为40时出现, 即P {η=40}=P {ξ1=10}P {ξ2=13}P {ξ3=17}=0.2×0.3×0.1=0.006 33. 求出第22题中ξ+η的分布律.ξ与η的联合分布律如下表: 则P {+=2}=P {=1,=1}=0P {ξ+η=3}=P {ξ=1,η=2}+P {ξ=2,η=1}=2/3 P {ξ+η=4}=P {ξ=2,η=2}=1/334. 求出第23题中ξ-η的分布律 解: 因(ξ , η)只取下列数组中的值：)0,2()31,1()1,1()0,0(--且相应的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12.因此ξ-η也只取0-0=0, -1-1=-2, -1-1/3=-4/3, 2-0=2这四个值, 相应的概率也还是依次为1/6, 35. 已知P {ξ=k }=a /k , P {η=-k }=b /k (k =1,2,3), ξ与独立, 确定a ,b 的值; 求出(ξ,η)的联合概率分布以及ξ+η的概率分布. 解: 由概率分布的性质有131211}{31=⎪⎭⎫⎝⎛++==∑=a k P k ξ, 解得 5455.0116312111==++=a,191411}{31=⎪⎭⎫⎝⎛++=-=∑=b k P k η 解得 7347.04936914111==++=b 因此有P {ξ=1}=0.5455, P {ξ=2}=0.5455/2=0.2727, P {ξ=3}=0.1818 P {η=-1}=0.7347, P {η=-2}=0.1837, P {η=-3}=0.0816 因ξ与η独立, 则有p 11=P {ξ=1,η=-1}=P {ξ=1}P {η=-1}=0.5455×0.7347=0.4008 p 12=P {ξ=1,η=-2}=P {ξ=1}P {η=-2}=0.5455×0.1837=0.1002 p 13=P {ξ=1,η=-3}=P {ξ=1}P {η=-3}=0.5455×0.0816=0.0445 p 21=P {ξ=2,η=-1}=P {ξ=2}P {η=-1}=0.2727×0.7347=0.2004 p 22=P {ξ=2,η=-2}=P {ξ=2}P {η=-2}=0.2727×0.1837=0.0501 p 23=P {ξ=2,η=-3}=P {ξ=2}P {η=-3}=0.2727×0.0816=0.0223 p 31=P {ξ=3,η=-1}=P {ξ=3}P {η=-1}=0.1818×0.7347=0.1336 p 32=P {ξ=3,η=-2}=P {ξ=3}P {η=-2}=0.1818×0.1837=0.0333 p 33=P {ξ=3,η=-3}=P {ξ=3}P {η=-3}=0.1818×0.0816=0.0148计算+的概率分布: P {ξ+η=-2}=p 13=0.0445P {ξ+η=-1}=p 12+p 23=0.1002+0.0223=0.1225P {ξ+η=0}=p 11+p 22+p 33=0.4008+0.0501+0.0148=0.4657 P {ξ+η=1}=p 21+p 32=0.2004+0.0333=0.2337 P{ξ+η=2}=p 31=0.1336即ξ+η的概率分布率如下表所示36. 已知服从区间[0,1]上的均匀分布, 求的函数=3+1的概率分布. 解: 根据题意知ξ的概率密度φξ(x )为⎩⎨⎧≤≤=其它0101)(x x ξϕ 则η的分布函数为)31(}31{}13{}{)(-=-≤=≤+=≤=x F x P x P x P x F ξηξξη 对其求导得η的概率密度与ξ的概率密度间的关系为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤=-=-'='=其它其它041310131031)31(31)31(31)()(x x x x F x F x ϕϕξηη即η服从在区间[1,4]上的均匀分布.37. 已知ξ～⎪⎩⎪⎨⎧>+=其它0)1(2)(2x x x πϕ, ξηln =, 求η的概率密度.解: 求η的分布函数F η(x )为)(}{}{ln }{)(x x e F e P x P x P x F ξηξξη=≤=≤=≤=因e x 总大于0, 而当x 大于0时F ξ(x )为x t t t dt t x F x xxarctg 2arctg 2d )1(2)()(|002πππϕξ==+==⎰⎰∞- 因此有x x e e F x F arctg 2)()(πξη==则η的概率密度为其分布函数的求导:xxee x F x 212)()(+⋅='=πϕηη。
《概率论与数理统计》习题及答案 第二章
《概率论与数理统计》习题及答案第 二 章1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =，因为 312A A A =+所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+=131()()0.6P A A P A ==故1362(|)93P A A ==. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解 设A =‘所取两件中有一件是不合格品’i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+， 所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+， 所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解 设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =， 则345A B B B =++， 所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解 ()()()() 1.1()(|) 1.10P AB P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。
第二章随机变量及其概率分布(概率论)
当 x ≥ 1 时,F ( x) = P( X ≤ x) =P( X = 0) + P( X = 1) =1 ⎧0 x < 0
所以 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1. ⎪⎩1 1 ≤ x
⎧0 x < 0 分布函数为 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1
⎪⎩1 1 ≤ x
分布函数图形如下
F(x) 1 0.3
x 01
3
例 设X的概率分布律如下,求X的分布函数. X012 P 0.4 0.35 0.25
解
⎧0
x<0
F
(
x)
=
⎪⎪ ⎨
⎪
0.4 0.75
0≤ x<1 1≤ x<2
⎪⎩ 1
x≥2
由此可见
(1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分 段区间是由X的取值点划分成的左闭右开区间; (2)函数值从0到1逐段递增,图形上表现为阶梯 形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是X取值区间中新增加点的 对应概率值.
z 泊松在数学方面贡献很多。最突出的是1837 年在提出泊松分布。
z 除泊松分布外，还有许多数学名词是以他的 名字命名的，如泊松积分、泊松求和公式、 泊松方程、泊松定理。
当一个随机事件,以固定的平均瞬时速率 λ随机独立地出现时,那么这个事件在单 位时间(面积或体积)内出现的次数或个数 就近似地服从泊松分布。
解: 依题意, X可取值 0, 1, 2, 3.
设 Ai ={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
路口3
路口2
P(X=0)= P(A1)=1/2,
路口1
X=该汽车首次停下时通过的路口的个数. 设 Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
概率论课件：第二章随机变量及其概率分布
π 3π ⎞ ⎛ π 0 ⎟ 22.设随机变量 X 的分布律为 ⎜ 2 2 ⎟ ，求 Y 的分布律： ⎜ ⎝ 0.3 0.2 0.4 0.1 ⎠
（1） Y = ( 2 X − π ) ;
2
（2） Y = cos( 2 X − π ). ⎧2 x , 0 < x < 1 f ( x) = ⎨ ⎩0 , 其它
它意味着第 i 次（ i ≥ k ）成功，且 i − 1 次试验中成功 k − 1 次，设这两个事件分别为A1 ，A2，
则A = A 1 A 2 , 且P(A) = P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 )(A 1与A 2 独立 ), 而 P(A 1 ) = p,
1 k −1 1 k −1 i − k P( A2 ) = Cik−− ⋅ q i −1−( k −1) = Cik−− q . 1 p 1 ⋅ p
, ( 2,6),
, (6,1),
例如(6,1) , (6,6)} .这里，
8
5 36
9
4 36
10
3 36
11
2 36
12
1 36
PK
1 36
2 36
3 36
4 36
5 36
6 36
概率 P{X = k }, k = 0,1,2,3.
2、分析： 显然 X 服从离散型概率分布，而且 X 的可能取值为 0，1，2，3.问题归结为求
∴ X 的分布律为：
P{X = 0} = P ( A1 ) = 1 / 2; P{X = 1} = P ( A1 A2 ) = 1 / 2 2 ; P{X = 2} = P ( A1 A2 A3 ) = 1 / 2 3 ;
X Pi
概率论第二章
第二章典型习题一、选择题1、设随机变量X的分布函数F（x）=P{X=1}=（）A、0B、C、-D、-2、设离散型随机变量X的概率分布为P{X=i}=c，i=1,2，…，其中c＞0是常数，则（）A、p=B、p=C、p=c+1D、0<p<1的任意数3、设随机变量X服从指数分布, 则随机变量Y=min{X,2}的分布函数( )A、是连续函数B、至少有两个间断点C、是阶梯函数D、恰好有一个间断点4、设f（x）是连续性随机变量X的概率密度，则f（x）一定是A、可积函数B、单调函数C、连续函数D、可积函数，k=0,1,2，…，则常数a=（）5.设随机变量X的概率分布为P{X=k}=a！A、B、C、D、6.设随机变量X服从正态分布N（μ,σ），则随σ的增大，概率P{|X-μ| <σ}应该（A）单调增大（B）单调减小（C）保持不变（D）增减不定7设随机变量X服从正态分布N（μ，），Y~N（μ，）；记=P{X≤μ-4}，=P{X≥μ+5}，则（）（A）（B）（C）（D）因μ未知，无法比较和的大小8.设随机变量X的密度函数为（x），Y=-2X+3，则Y的密度函数为（A）-（）（B）（）（C）-（）（D）（）9.设（x）与（x）分别是随机变量与的分布函数，为使F（x）=a（x）-b（x）是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（）（A）a=，b=（B）a=，b=（C）a=—，b=（D）a=，b=二、填空题1、设离散型随机变量X的概率密度是P{X=i}=，i=0,1，则p=2、设离散型随机变量X的分布函数F（x）=＜则随机变量|X|的分布函数3、设X是在区间（0,1）内取值的连续性随机变量，而Y=1-X，已知P{X≤0.29}=0.75，则满足P{Y≤k}=0.25的常数k=4、设f（x）=k（∞＜＜∞）是一概率密度，则k=若k满足概率等式P{X5、设随机变量X的概率密度为F(x)=其他≥k}=，则k的取值范围是（）6、设随机变量X的服从正态分布N（μ，1），已知P{X≤3}=0.975，则P{X≤-0.92}=7、设随机变量X的服从正态分布N（μ，），且二次方程+4y+X=0无实根的概率为0.5，则μ=8、设随机变量X的分布函数F（X），常数a＞0，则＋∞－∞（）=a三、解答题1、袋中装有大小相同的10只球，编号为0,1,2，…，9，从中任取一只，观察其编号，按“大于5，“等于5”，“小于5”三种情况定义随机变量X，并写出X的分布律和分布函数。