燕尾定理与蝴蝶三角形例题
4-2-4_燕尾定理 题库学生版
G
F
B
D
E
C
【巩固】如图， ABC 的面积为 1，点 D 、 E 是 BC 边的三等分点，点 F 、 G 是 AC 边的三等分点，那么四 边形 JKIH 的面积是多少？
8
C
F
D
J
G
E
KI H
A
B
【例 14】 如右图，面积为1 的 △ABC 中，BD : DE : EC = 1: 2 :1 ，CF : FG : GA = 1: 2 :1 ，AH : HI : IB = 1: 2 :1 ， 求阴影部分面积．
A
D E
I H
B
F
G
C
【例 17】 （ 2009 年数学解题能力大赛六年级初试试题）正六边形 A1 ，A2 ，A3 ，A4 ，A5 ，A6 的面积是 2009
平方厘米，B1 ，B2 ，B3 ，B4 ，B5 ，B6 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是
平
方厘米．
9
A1 B1 A2
B6 A6
7
A
E D
B
F
C
【例 12】 如右图，△ABC 中，G 是 AC 的中点，D 、 E 、 F 是 BC 边上的四等分点， AD 与 BG 交于 M ， AF 与 BG 交于 N ，已知 △ABM 的面积比四边形 FCGN 的面积大 7.2 平方厘米，则 △ABC 的面积是 多少平方厘米？ A
NG M
A
E F B
DC
【巩固】如图，E 在 AC 上，D 在 BC 上，且 AE : EC = 2 : 3 , BD : DC = 1: 2 ，AD 与 BE 交于点 F ．四边形 DFEC
的面积等于 22 cm2 ，则三角形 ABC 的面积
蝴蝶定理、燕尾定理——黄冈中学 周刊
燕尾定理燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．OFE DCBA梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDO ba S 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．等积变形①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =baS 2S 1DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A如图，22S =，34S =，求梯形的面积．S 4S 3S 2S 1【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB △与BOC △的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．3525OABCD梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的23，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比．OA BC D(第十届华杯赛)如下图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O 点，已知1AO =，并且35ABD CBD =三角形的面积三角形的面积，那么OC 的长是多少？ABCDO梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC 的面积是29cm ，问三角形AOD 的面积是多少？A BCDO如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是11，三角形BCH 的面积是23，求四边形EGFH 的面积．HG FEDCB A如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．G MDCBA【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．A BCDEF如图面积为12平方厘米的正方形ABCD 中，,E F 是DC 边上的三等分点，求阴影部分的面积．OFEDCBA如图，在长方形ABCD 中，6AB =厘米，2AD =厘米，AE EF FB ==，求阴影部分的面积．BCADEFO(2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．OEAB C D【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．21ABCDE94【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．1682ABCDE如图所示，BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块，DEF ∆的面积是5平方厘米，CED ∆的面积是10平方厘米．问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？FAB CDE105(2007年”迎春杯”高年级初赛)如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A BCD EF(98迎春杯初赛)如图，长方形ABCD 中，AOB 是直角三角形且面积为54，OD 的长是16，OB 的长是9．那么四边形OECD 的面积是 ．ABCDEO燕尾定理应用 【例 1】 2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBA【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.D EFCBA【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ． FED CBA【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △ 面积的几分之几？OE DCBA【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分的面积各是多少?ABCDE F【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC 的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积 ．ABCDE F三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影部分)的面积为多少？ABCDM N【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?x x ABFGGFE D CBA如图所示，在四边形ABCD 中，3AB BE =，3AD AF =，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四边形BODC 的面积为________．OFE DCBAABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与CE 交于G ，则四边形AGCD 的面积是_________平方厘米．GFE DCBA如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．FE DCBA【巩固】在ABC ∆中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？ABCDE O【巩固】在ABC ∆中，:2:1BD DC =， :1:3AE EC =，求:OB OE =？A B CDE O如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA如右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD EF【巩固】(2007年四中分班考试题)如图，ABC ∆中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC的三等分点，若ABC ∆的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．FABCDE MN。
蝴蝶原理数学试题及答案
蝴蝶原理数学试题及答案一、选择题1. 蝴蝶定理描述的是关于三角形的哪两个部分的关系？A. 三角形的外接圆B. 三角形的内切圆C. 三角形的中线D. 三角形的角平分线答案：C2. 蝴蝶定理指出，如果三角形ABC中的点D和点E分别是边AB和AC 上的点，那么下列哪个等式成立？A. AD = DEB. AE = BDC. AD/DB = AE/ECD. AD/AE = BD/EC答案：D二、填空题3. 根据蝴蝶定理，如果点D和点E在三角形ABC的边AB和AC上，且满足条件______，则DE平行于BC。
答案：AD/AE = BD/EC4. 若三角形ABC中，点D和点E分别在边AB和AC上，且DE平行于BC，那么根据蝴蝶定理，我们可以得到______。
答案：AD/DB = AE/EC三、简答题5. 简述蝴蝶定理的主要内容。
答案：蝴蝶定理主要描述了在三角形ABC中，如果点D和点E分别在边AB和AC上，且DE平行于BC，那么AD/DB等于AE/EC，即线段AD与BD的比等于线段AE与EC的比。
四、计算题6. 在三角形ABC中，已知AB=5，AC=7，点D和点E分别在边AB和AC 上，且DE平行于BC。
如果AD=3，求DE的长度。
答案：根据蝴蝶定理，我们有AD/DB = AE/EC。
设DE的长度为x，DB 的长度为5-AD=2，EC的长度为7-AE=7-(5-2)=4。
因为DE平行于BC，所以AD/DB = DE/BC。
将已知数值代入，得到3/2 = x/(5+7)，解得x = 21/6 = 3.5。
五、证明题7. 证明：在三角形ABC中，如果点D和点E分别在边AB和AC上，且DE平行于BC，那么三角形ADE和三角形CDE的面积相等。
答案：证明：设三角形ABC的面积为S，根据蝴蝶定理，我们有AD/DB = AE/EC。
由于DE平行于BC，我们可以得出三角形ADE和三角形CDE 的高相等。
设这个高为h，那么三角形ADE的面积为(1/2) * AD * h，三角形CDE的面积为(1/2) * CD * h。
最新六年级奥数——蝴蝶模型-燕尾定理练习题-教案
蝴蝶模型和燕尾定理练习题1、如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.D EFC B AD EF C B AD EF CB A【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，(法一)连接CF ，因为，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，所以1103ABE ABC S S ==△△，1152ABD ABC S S ==△△．根据燕尾定理，12ABF CBF S AE S EC ==△△，BD DC =1ABF ACF S BDS CD==△△,所以17.54ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△，所以阴影部分面积是30107.512.5--=．(法二)连接DE ，由题目条件可得到1103ABE ABC S S ==△△，11210223BDE BEC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABE BDE S AF FD S ==△△， 1111112.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211032CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以阴影部分的面积为12.5．2、(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12CP CB =，13CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ．XQPABC XQPAB C4411XQPCBA【解析】 方法一：连接PQ ．由于12CP CB =，13CQ CA =，所以23ABQ ABC SS =，1126BPQ BCQABCS S S ==．由蝴蝶定理知，21:::4:136ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S ===，所以441226 2.455255ABX ABP ABC ABC S S S S ==⨯==⨯=．方法二：连接CX 设1CPX S =△份，根据燕尾定理标出其他部分面积， 所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++⨯=△3、如图所示，在四边形ABCD 中，3AB BE =，3AD AF =，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四边形BODC 的面积为________．OFEDCBA684621O F EDCBA【解析】 连接,AO BD ,根据燕尾定理::1:2ABO BDO S S AF FD ==△△,::2:1AOD BOD S S AE BE ==△△,设1BEO S =△,则其他图形面积，如图所标，所以221224BODC AEOF S S ==⨯=.4、ABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与CE 交于G ，则四边形AGCD 的面积是_________平方厘米．GFE DCBAGFE D CBA【解析】 连接AC 、GB ，设1A G C S =△份，根据燕尾定理得1AGB S =△份，1B G C S =△份，则11126S =++⨯=正方形（）份，314ADCG S =+=份，所以22126496(cm )ADCG S =÷⨯=5、（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且13AE AB =，14CF BC =，AF 与CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，则AEG ∆与CGF ∆的面积之和为 ．A BC DEFGH A BCDE FGA BCDEF G【解析】 (法1)如图，过F 做CE 的平行线交AB 于H ，则::1:3EH HB CF FB ==，所以122AE EB EH ==，::2AG GF AE EH ==，即2AG GF =，所以122311033942AEG ABF ABCD S S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=．且22313342EG HF EC EC ==⨯=，故CG GE =，则1152CGF AEG S S ∆∆=⨯⨯=．所以两三角形面积之和为10515+=． (法2)如上右图，连接AC 、BG ．根据燕尾定理，::3:1ABG ACG S S BF CF ∆∆==，::2:1BCG ACG S S BE AE ∆∆==，而1602ABC ABCD S S ∆==，所以3321ABG S ∆=++，160302ABC S ∆=⨯=，2321BCG S ∆=++，160203ABC S ∆=⨯=，则1103AEG ABG S S ∆∆==，154CFG BCG S S ∆∆==，所以两个三角形的面积之和为15．6、两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？773773FEDCBAx+3x 773FED CBA【解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．设三角形为ABC ，BE 和CD 交于F ，则BF FE =，再连结DE ． 所以三角形DEF 的面积为3.设三角形ADE 的面积为x ，则()():33:10:10x AD DB x +==+，所以15x =，四边形的面积为18．方法二：设ADF S x =△，根据燕尾定理::ABF BFC AFE EFC S S S S =△△△△,得到3AEF S x =+△，再根据向右下飞的燕子，有(37):7:3x x ++=，解得7.5x =四边形的面积为7.57.5318++=7、如下图，正方形 ABCD 的面积是a ，正三角形BPC 的面积是 b ，求阴影三角形BPD 的面积．【分析】 连接 AC 交 BD 于O 点，并连接PO ．如图所示，可得P O / / DC ，所以三角形DPO 与三角形 CPO 面积相等(同底等高)，所以有:8、已知四边形ABCD 和CEFG 都是正方形，且正方形ABCD 的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD 的面积为多少平方厘米?【分析】 连接FC ，有FC 平行BD ，设BF 与DC 连接于O ，那么在梯形蝴蝶中有1===502DFO BCODCB ABCD S S S S S ∆∆∆=阴影9、如图，已知在平行四边形ABCD 中，AB=16，AD=10，BE=4，那么FC 的F GED CBA长度是多少?【分析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ,所以::4:16B F F C B E C D ===,所以410814FC =⨯=+. 10、四边形ABCD 和四边形CEFG 是两个正方形，BF 与CD 相交于H ,已知CH:DH=1:2, 6BCH S ∆=,求五边形ABEFD 的面积。
蝴蝶定理和燕尾定理word精品
燕尾定理燕尾定理：在三角形ABC中，AD , BE , CF相交于同一点0，那么S ABO：S AC^BD : DC .梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”①S1:S3=a2:b2②S1: S3: S?: S4二a2:b2:ab:ab ；2③S的对应份数为（a+b）.等积变形①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图S =a:b③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S A ACD BCD ；反之，如果S A ACD二S A BCD，则可知直线AB平行于CD .④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.如图在 △ ABC 中，D,E 分别是 AB,AC 上的点如图 上),则 S A ABC : S A ADE -(AB AC)：(AD AE)如图，& =2，S 3 =4，求梯形的面积.【巩固】（2006年南京智力数学冬令营）如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ,对角线AC , BD 交于O ,已知△ AOB 与厶BOC 的面积分别为 25平方厘米与35平方厘米，那么梯形 ABCD 的面积是 _______________ 平方厘米.梯形ABCD 的对角线 AC 与BD 交于点O ,已知梯形上底为 角形BOC 面积的-，求三角形 AOD 与三角形BOC 的面积之比.3（第十届华杯赛）如下图，四边形 ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O 点，已知AO =1，并且 三角形躺积=3，那么OC的长是多少?⑴（或D 在BA 的延长线上，E 在AC2,且三角形ABO 的面积等于三CD梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9cm2，问三角形AOD的面积是多少?如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH的面积.【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是______________ 平方厘米.如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中，巳F是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积. 如图，在长方形ABCD中，AB=6厘米，AD =2厘米，AE=EF=FB，求阴影部分的面积.如图，正方形ABCD面积为3平方厘米,A DADG的面积是11,三角形（2008年”奥数网杯”六年级试题）已知ABCD是平行四边形，BC:CE=3:2 ,三角形ODE 的面积为6平方厘米•则阴影部分的面积是 ____________________ 平方厘米.【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是_________ 平方厘米.【巩固】（2008年三帆中学考题）右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是______________ 平方厘米.如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是5平方厘米，CED的面积是10平方厘米•问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？（2007年”迎春杯”高年级初赛）如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为_________________ 平方厘米.（98迎春杯初赛）如图，长方形ABCD中，AOB是直角三角形且面积为54, OD的长是16,OB的长是9 •那么四边形OECD的面积是 ___________ .燕尾定理应用【例1】2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是1, E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC=1:2 , AD与BE交于点F .则四边形DFEC的面积等于______________ .【巩固】如图，已知BD =DC , EC =2AE，三角形ABC的面积是30 ,求阴影部分面积AB D C【巩固】如图，三角形ABC的面积是200 cm2, E在AC上，点D在BC上，且AE: EC -3:5 , BD : DC =2:3 , AD与BE 交于点F .则四边形DFEC的面积等于____________【巩固】如图，已知BD =3DC , EC =2AE , BE与CD相交于点O ,则△ ABC被分成的4部分面积各占△ ABC面积的几分之几？【巩固】如图，三角形ABC的面积是1 , BD =2DC , CE =2AE , AD与BE相交于点F , 请写出这4部分的面积各是多少？【巩固】如图，E在AC上，D在BC上，且AE:EC=2:3 , BD:DC=1:2，AD与BE交于点F •四边形DFEC的面积等于22 cm2，则三角形ABC的面积_____________ •三角形ABC中，C是直角，已知AC =2 , CD =2 ,CB=3, AM=BM，那么三角形AMN （阴影部分）的面积为多少？【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC =2DE , F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米？平行四边形BODC的面积为__________如图所示，在四边形ABCD 中，AB=3BE ,xFxGAD=3AF，四边形AEOF的面积是12，那么ABCD是边长为12厘米的正方形，E、F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交于G , 则四边形AGCD的面积是 __________________ 平方厘米.如图所示，在△ ABC中，BE: EC =3:1 , D是AE的中点，那么AF :FC二____________【巩固】在ABC 中，BD:DC =3:2 , AE:EC=3:1，求OB:OE 二？【巩固】在ABC 中，BD:DC=2:1 , AE:EC=1:3，求OB : OE = ?如右图，三角形ABC 中，BD:DC=4:9 , CE:EA = 4:3，求AF : FB .如右图，△ ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知△ ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ ABC 的面积是多少平方厘米？【巩固】（2007年四中分班考试题）如图，JABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC 的三等分点，若MBC的面积为1，那么四边形CDMF的面积是______________ •。
最新六年级奥数——蝴蝶模型-燕尾定理练习题-教案
蝴蝶模型和燕尾定理练习题1、如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.D EFC B AD EF C B AD EF CB A【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，(法一)连接CF ，因为，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，所以1103ABE ABC S S ==△△，1152ABD ABC S S ==△△．根据燕尾定理，12ABF CBF S AE S EC ==△△，BD DC =1ABF ACF S BDS CD==△△,所以17.54ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△，所以阴影部分面积是30107.512.5--=．(法二)连接DE ，由题目条件可得到1103ABE ABC S S ==△△，11210223BDE BEC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABE BDE S AF FD S ==△△， 1111112.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211032CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以阴影部分的面积为12.5．2、(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12CP CB =，13CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ．XQPABC XQPAB C4411XQPCBA【解析】 方法一：连接PQ ．由于12CP CB =，13CQ CA =，所以23ABQ ABC SS =，1126BPQ BCQABCS S S ==．由蝴蝶定理知，21:::4:136ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S ===，所以441226 2.455255ABX ABP ABC ABC S S S S ==⨯==⨯=．方法二：连接CX 设1CPX S =△份，根据燕尾定理标出其他部分面积， 所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++⨯=△3、如图所示，在四边形ABCD 中，3AB BE =，3AD AF =，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四边形BODC 的面积为________．OFEDCBA684621O F EDCBA【解析】 连接,AO BD ,根据燕尾定理::1:2ABO BDO S S AF FD ==△△,::2:1AOD BOD S S AE BE ==△△,设1BEO S =△,则其他图形面积，如图所标，所以221224BODC AEOF S S ==⨯=.4、ABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与CE 交于G ，则四边形AGCD 的面积是_________平方厘米．GFE DCBAGFE D CBA【解析】 连接AC 、GB ，设1A G C S =△份，根据燕尾定理得1AGB S =△份，1B G C S =△份，则11126S =++⨯=正方形（）份，314ADCG S =+=份，所以22126496(cm )ADCG S =÷⨯=5、（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且13AE AB =，14CF BC =，AF 与CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，则AEG ∆与CGF ∆的面积之和为 ．A BC DEFGH A BCDE FGA BCDEF G【解析】 (法1)如图，过F 做CE 的平行线交AB 于H ，则::1:3EH HB CF FB ==，所以122AE EB EH ==，::2AG GF AE EH ==，即2AG GF =，所以122311033942AEG ABF ABCD S S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=．且22313342EG HF EC EC ==⨯=，故CG GE =，则1152CGF AEG S S ∆∆=⨯⨯=．所以两三角形面积之和为10515+=． (法2)如上右图，连接AC 、BG ．根据燕尾定理，::3:1ABG ACG S S BF CF ∆∆==，::2:1BCG ACG S S BE AE ∆∆==，而1602ABC ABCD S S ∆==，所以3321ABG S ∆=++，160302ABC S ∆=⨯=，2321BCG S ∆=++，160203ABC S ∆=⨯=，则1103AEG ABG S S ∆∆==，154CFG BCG S S ∆∆==，所以两个三角形的面积之和为15．6、两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？773773FEDCBAx+3x 773FED CBA【解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．设三角形为ABC ，BE 和CD 交于F ，则BF FE =，再连结DE ． 所以三角形DEF 的面积为3.设三角形ADE 的面积为x ，则()():33:10:10x AD DB x +==+，所以15x =，四边形的面积为18．方法二：设ADF S x =△，根据燕尾定理::ABF BFC AFE EFC S S S S =△△△△,得到3AEF S x =+△，再根据向右下飞的燕子，有(37):7:3x x ++=，解得7.5x =四边形的面积为7.57.5318++=7、如下图，正方形 ABCD 的面积是a ，正三角形BPC 的面积是 b ，求阴影三角形BPD 的面积．【分析】 连接 AC 交 BD 于O 点，并连接PO ．如图所示，可得P O / / DC ，所以三角形DPO 与三角形 CPO 面积相等(同底等高)，所以有:8、已知四边形ABCD 和CEFG 都是正方形，且正方形ABCD 的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD 的面积为多少平方厘米?【分析】 连接FC ，有FC 平行BD ，设BF 与DC 连接于O ，那么在梯形蝴蝶中有1===502DFO BCODCB ABCD S S S S S ∆∆∆=阴影9、如图，已知在平行四边形ABCD 中，AB=16，AD=10，BE=4，那么FC 的F GED CBA长度是多少?【分析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ,所以::4:16B F F C B E C D ===,所以410814FC =⨯=+. 10、四边形ABCD 和四边形CEFG 是两个正方形，BF 与CD 相交于H ,已知CH:DH=1:2, 6BCH S ∆=,求五边形ABEFD 的面积。
小学数学几何燕尾定理!
燕尾模型又称燕尾定理，是指在一个三角形中分别从三个角点向所对的边做三条直线并相交于一点。
如图：S△ABO：S△ACO=BD：DC证明：在△ABC中△ABD与△ACD的高相等，故S△ABD：S△ACD=BD：DC；又因为△OBD与△OCD的高也相等，故S△OBD：S△OCD=BD：DC，那么（S△ABD-S△OBD）：（S△ACD- S△OCD ）= S△ABO：S△ACO=BD：DC同理可得：S△ABO：S△BCO=AE：EC；S△BCO：S△ACO=BF：FA【例题1】如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD：DC=1：2，AD与BE交于点F，求四边形DFEC的面积？【解题思路】连接FC做辅助线【例题2】如图，三角形ABC的面积是8平方厘米，AF=FD，BD=2/3BC，AD与BE交于点F，求阴影面积？【解题思路】连接FC做辅助线；【例题3】如图，长方形ABCD的面积为120平方厘米，AB=3AE，BD=4FD，求阴影部分面积？【解题思路】连接BG，连接AD做辅助线；【例题4】如图，在四边形ABCD中，AB=3BE，AD=3AF，四边形AEOF的面积是12平方厘米，求平行四边形BODC的面积？【解题思路】连接AO，连接BD做辅助线；设S△BEO的面积为1份；S△BEO：S△AEO=BE：EA=1：2，故S△AEO的面积为2份；根据燕尾定理,S△ABO：S△BDO=AF：FD=1：2，故S△BDO的面积为6份；S△ADO：S△BDO=AE：EB=2：1，故S△ADO的面积为12份；S△AFO：S△DFO= AF：FD=1：2，故S△AFO的面积为12÷3=4份，S△AFO的面积为12÷3×2=8份；四边形AEOF面积为6份与三角形BDO面积相等，故平行四边行BODC的面积=12×2=24平方厘米。
下面给学生们留一道练习题，你们可以做一下。
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理一、蝴蝶定理的定义与公式蝴蝶定理是小学奥数几何篇中的一个重要模型，它描述了在等腰三角形中，一条平行于底边的线段将底边平分，并且这条线段与等腰三角形的两腰相交于同一点时，该线段的中点与等腰三角形的顶点、底边的中点以及两腰上的交点形成一个等腰三角形。
蝴蝶定理的公式如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，则AG=BG=CG。
二、蝴蝶定理的应用1. 在等腰三角形中求边长：通过蝴蝶定理，可以快速求出等腰三角形中未知边的长度。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC 的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求AG的长度。
解答：根据蝴蝶定理，AG=BG=CG，又因为AB=AC，所以AG=AB/2=a。
2. 在等腰三角形中求角度：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知角的度数。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求∠AGB的度数。
解答：由于AG=BG=CG，所以△AGB是等边三角形，∠AGB=60°。
3. 在等腰三角形中求面积：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知部分的面积。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求△AGB的面积。
解答：由于△AGB是等边三角形，所以△AGB的面积=（a^2 √3）/ 4。