蝴蝶定理、燕尾定理——黄冈中学 周刊

燕尾定理
燕尾定理：
在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．
O
F
E D
C
B
A
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
A B
C
D
O b
a S 3
S 2
S 1S 4
①2213::S S a b =
②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2
a b +．
等积变形
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =
b
a
S 2S 1
D
C B
A
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；
反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，
则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△
E
D
C
B
A
E
D
C
B A
如图，22S =，34S =，求梯形的面积．
S 4
S 3
S 2
S 1
【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB △与BOC △的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．
35
25O
A
B
C
D
梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三
角形BOC 面积的2
3
，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比．
O
A B
C D
(第十届华杯赛)如下图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O 点，已知1AO =，并且3
5
ABD CBD =三角形的面积三角形的面积，那么OC 的长是多少？
A
B
C
D
O
梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC 的面积是2
9cm ，问三角形AOD 的面积是多少？
A B
C
D
O
如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是11，三角形BCH 的面积是23，求四边形EGFH 的面积．
H
G F
E
D
C
B A
如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分
的面积．
G M
D
C
B
A
【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．
A B
C
D
E
F
如图面积为12平方厘米的正方形ABCD 中，,E F 是DC 边上的三等分点，求阴影部分的面积．
O
F
E
D
C
B
A
如图，在长方形ABCD 中，6AB =厘米，2AD =厘米，AE EF FB ==，求阴影部分的面积．
B
C
A
D
E
F
O
(2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．
O
E
A
B C D
【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．
21
A
B
C
D
E
94
【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．
16
8
2
A
B
C
D
E
如图所示，BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块，DEF ∆的面积是5平方厘米，CED ∆的面积是10平方厘米．问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？
F
A
B C
D
E
10
5
(2007年”迎春杯”高年级初赛)如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．
?
8
5
2O A B
C
D E
F
(98迎春杯初赛)如图，长方形ABCD 中，AOB 是直角三角形且面积为54，OD 的长是16，OB 的长是9．那么四边形OECD 的面积是 ．
A
B
C
D
E
O
燕尾定理应用 【例 1】 2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的
中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．
F
E
D C
B
A
【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.
D E
F
C
B
A
【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2
200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且
:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．
则四边形DFEC 的面积等于 ． F
E
D C
B
A
【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △ 面积的几分之几？
O
E D
C
B
A
【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分的面积各是多少?
A
B
C
D
E F
【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC 的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积 ．
A
B
C
D
E F
三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，
那么三角形AMN (阴影部分)的面积为多少？
A
B
C
D
M N
【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部
分的面积是多少平方厘米?
x x A
B
F
G
G
F
E D C
B
A
如图所示，在四边形ABCD 中，3AB BE =，3AD AF =，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四边形BODC 的面积为________．
O
F
E D
C
B
A
ABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与CE 交于G ，则四边形AGCD 的面积是_________平方厘米．
G
F
E D
C
B
A
如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．
F
E D
C
B
A
【巩固】在ABC ∆中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？
A
B
C
D
E O
【巩固】在ABC ∆中，:2:1BD DC =， :1:3AE EC =，求:OB OE =？
A B C
D
E O
如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．
O F E
D
C
B
A
如右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？
N M G
A B
C
D E
F
【巩固】(2007年四中分班考试题)如图，ABC ∆中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC
的三等分点，若ABC ∆的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．
F
A
B
C
D
E M
N。