风筝模型和梯形蝴蝶定理

风筝模型和梯形蝴蝶定理
知识框架
板块一 风筝模型：（又叫任意四边形模型）
S 4
S 3
S 2
S 1O D
C B
A
①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++
风筝模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
板块二 梯形模型的应用
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
A B
C
D
O b
a
S 3
S 2
S 1S 4
①2213::S S a b =
②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2
a b +．
梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)
例题精讲
【例 1】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角
形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？
7
6
E
D
C B
A
7
6
【巩固】 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千
米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？
O
C
D
B
A
【例 2】 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC
的面积；⑵:AG GC ？
C
B
【巩固】 在△ABC 中
DC BD =2:1, EC AE =1:3，求OE
OB
=?
【例 3】 如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 ．
B
A
【巩固】 如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC 的面积．
A B
【例 4】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次
是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．
O
G
F E
D
C B
A
【巩固】 如右上图，已知BO=2DO ，CO=5AO ，阴影部分的面积和是11平方厘米，求四边形ABCD 的面积。

【例 5】 如图，22S =，34S =，求梯形的面积．
S 4
S 3
S 2
S 1
【巩固】 如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB △与BOC △的面积
分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．
3525O
A
B
C
D
【例 6】 梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形
BOC 面积的
2
3
，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比．
O
A B C
D
【巩固】 如下图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O 点，已知1AO =，并且
3
5
ABD CBD =三角形的面积三角形的面积，
那么OC 的长是多少？
A
B
C
D
O
【例 7】 梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC 的面积是29cm ，问三角形AOD 的面积是多少？
A
B
C
D
O
【巩固】 如图，梯形ABCD 中，AOB ∆、COD ∆的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD 的面积．
O
D
C
B
A
【例 8】 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是11，三角形BCH
的面积是23，求四边形EGFH 的面积．
H
G F
E
D
C
B A
【巩固】 如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三
角形1的面积为________．
3
21
【例 9】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．
【巩固】 在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1
平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．
A
B
C
D
E
F
【例 10】 如图所示，BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块，DEF ∆的面积是5平方厘米，CED ∆的面积是
10平方厘米．问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？
F
A
B
C
D
E
10
5
【巩固】 如图所示，BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块，DEF ∆的面积是4平方厘米，CED ∆的面积是6
平方厘米．问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？
6
4A
B
C
D
E
F
【例 11】 如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？
【巩固】 如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现
在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为 ．
课堂检测
【随练1】 如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABD 的面积．
【随练2】 如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，BD 相交于点O 。

已知AB=5，CD=3，且梯形ABCD
的面积为4，求三角形OAB 的面积。

A B
C
D
O
【随练3】 如左下图，E 是长方形ABCD 边AB 的中点，已知三角形EBF 的面积是1平方厘米，求长方形ABCD
的面积。

课后作业
【作业1】如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积＝5，三角形DOC的面积＝4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少？
【作业2】（2003北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛）
四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O（如图）所示。

如果三角形ABD的面积等于三
角形BCD的面积的1
3
，且2
AO=，3
DO=，那么CO的长度是DO的长度的_________
倍。

D
A
O
C
B
【作业3】正方形ABCD的边长为6，E是BC的中点（如图）。

四边形OECD的面积为。

O E D C
B
A
【作业4】如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中，,E F是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积．
O
F
E D
C
B
A
【作业5】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那
么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．
8
5
2O A B
C
D
E
F
【作业6】 在梯形ABCD 中，上底长5厘米，下底长10厘米，20=∆BOC S 平方厘米，则梯形ABCD 的面积是
（ ）平方厘米。