浅说函数与几何综合题的解题策略及复习

浅说函数与几何综合题的解题策略及复习Last revision on 21 December 2020浅说函数与几何综合题的解题策略及复习函数与几何是初中数学中的重点内容,是中考命题重点考查的内容之一；函数中的几何问题，能使代数知识图形化，而几何中的函数问题，能使图形性质代数化；由于函数与几何结合的综合题的形式灵活、立意新颖，能更好地考查学生的思维水平和数学思想方法，因而成为近几年各地中考的一类热门试题；这一特点在孝感市近三年的中考数学试卷中表现得尤为突出；如2001年的中考压轴题是以直角三角形为背景，揉合一次函数、相似形、直线与圆的位置关系等知识构成；2002年的中考压轴题是以矩形为背景，揉合轴对称、二次函数、几何证明等知识构成；2003年的压轴题是以二次函数为背景，揉合直角三角形的知识构成；因此，将函数知识与几何知识有机结合编制出综合题作为压轴题是我市中考命题的一大特点，也是今后中考命题的一大趋势；函数知识与几何知识有机结合的综合题，根据构成命题的主要要素可分为以下两类：一类是几何元素间的函数关系问题（这类问题不妨称简称为“几函”问题），这类问题的特点是：根据已知几何图形间的位置和数量关系（如平行、全等、相似，特别是成比例）建立自变量与函数所表示的几何元素间的等量关系，求出函数关系式，运用函数的性质解决几何图形中的问题；另一类是函数图像中的几何图形的问题（如三角形、四边形，特别是圆）（这类问题不妨简称为“函几”问题），这类问题的特点是：根据已知函数图像中的几何图形的位置特征，运用数形结合方法解决有关函数、几何问题；本文特从2003年各地的中考试题中略选几例，谈一谈解决这类问题的策略和复习方法，以期达到抛砖引玉的目的。

一、函数与几何综合题例析（一）“几函”问题：1、线段与线段之间的函数关系：由于这类试题的主要要素是几何图形，因此，在解决此类问题时首先要观察几何图形的特征，然后依据相关图形的性质（如直角三角形的性质、特殊四边形的性质、平行线分线段成比例定理及其推论、相似三角形的性质、圆的基本性质、圆中的比例线段等等）找出几何元素之间的联系，最后将它们的联系用数学式子表示出来，并整理成函数关系式，在此函数关系式的基础上再来解决其它的问题；解决此类问题时，要特别注意自变量的取值范围。

例1 如图，AB是半圆的直径，O为圆心AB=6，延长BA到F，使FA=AB，若P为线段AF上的一个动点（不与A重合），过P点作半圆的切线，切点为C，过B点作BE⊥PC交PC的延长线于E，设AC=x，AC+BE=y，求y与x的函数关系式及x的取值范围。

（2003年山东省烟台市中考题）O评析：这是一道集圆、直角三角形、相似三角形与函数的综合题，由于已知条件中有切线，因此可以联想切线的性质、切割线定理、弦切角定理、切线长定理；又因为有直径这一已知条件，又可联想构造直径所对的圆周角。

因此，连结BC ，构造出“双直角三角形”和弦切角定理的典型图形，然后利用两对相似三角形中的一对建立比例式，再结合勾股定理解决问题。

解：连结BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∠ACB=90°，∴BC 2=36-x 2又∵PC 切⊙O 于C ，∠ECB=∠BCA ；由BE ⊥PC 于E 可知，∠ACB=∠CEB=90°，∴ΔACB ∽ΔCEB ；BEBC BC AB =，即6622x AB BC BE -== ∴662++-=x x y ； 当P 点与A 点重合时，AC=0最小，但P 点与A 点不重合， ∴x ＞0；当P 点与F 点重合时，x=AC 最大，此时有PC 2=PA·PB=6×12， ∴26=PC又∠P=∠P ，∠PCA=∠PBC ∴ΔPCA ∽ΔPBC1226==∴BC AC PB PC CB AC 即 ∴BC=AC 2 由勾股定理得，()36222=+AC AC ,32=∴AC函数关系式为：())320662≤<++-=x x x y 2、面积与线段间的函数关系的建立： 解决此类问题除了掌握第一类型的知识外，还要注意到以下两点：（1）常见图形的面积公式，（2）学会灵活地将非特殊图形的面积转例2如图所示，已知A 、（28，0）和（0，28），动点AO 上以每秒3直线EF 从x 轴开始以每秒1平移（即EF ∥x 于E 、F 点，连结FP ，设动点发，运动时间为t 秒。

（1）当t=1时，求梯形积是多少（2）当梯形OPFE （3）设t 的值分别取t 1、t 2AF 2P 2（评析：这是一道综合性较强的中考压轴题，它将几何与代数“相邀”于平面直角坐标系中，使“数”与“形”、“动”与“静”相互转化，综合考查了梯形面积计算、勾股定理、相似三角形、二次函数的性质等多个知识点，同时利用图形的变化，渗透数形结合的数学思想、函数的思想、方程的思想；第（1）小题中前面的“静”为后面的“动”作准备，而后面的“动”是前面的“静”的升华，让学生懂得静止是相对的而运动是绝对的，在“动”中求“静”，在考题中向学生渗透辩证唯物主义思想，从而不被“动”所迷惑；第（2）小题在第（1）小题的基础上，首先建立梯形、三角形面积与t 的函数关系式，再利用方程的思想解决，考查了学生的知识迁移能力；在求得t 值后，要决定取舍，考查了学生思维的批判性；第（3）小题是一个探索性问题，考查了学生的探索能力。

象这种计算量小、坡度较缓、综合性强、能力要求高的“双动”问题是今后各地中考命题的一大趋势。

解：（1） A （28，0），B （0，28）， ∴OA=28，OB=28，∴Δ AOB 是等腰直角三角形；当t=1秒时， OE=1，AP=3； ∴OP=28-3=25，BE=28-1=27；又∴EF ∥OA ，∴ ΔBEF ∽Δ BOA ，∴ΔBEF 也是等腰直角三角形；∴EF=EB=27； ()()262127252=⨯+=+=∴OE PF OP S OPFE 梯形 因此，当t=7秒时，梯形OPFE 的面积最大，最大面积为98。

（2）t t S OPFE 2822+-=梯形 而23232t t t S AFP =⋅=∆ 解之：t 1=8（秒）t 2=0（舍去）过F 点作FH ⊥AO 垂足为H ，∠OAB=45°，∴AH=FH=8，∴16883=-⨯=PH ；在Rt Δ FHP 中，581682222=+=+=PH FH FP（3）当运动时间为t 秒时，过P 点作PG ⊥OA 于G ，则FG=GA=t ，由勾股定理得：t FA 2=，AP=3t ，FA ∶AP=3∶2为一定值，而 ∠FAP=45°， ∴ Δ AF 1P 1 ∽ ΔAF 2P 2（ 二）“函几”问题：纵观历年各地的中考试题，几乎无一例外地出现函数中的几何问题，这些题目从难度上来看大多数是难题，少数属于中档题，在题型上来看，绝大多数是探索题，只有少数是计算题，在设计方法上都注重创新，都注重在初中数学主干知识的交汇处进行命题，在考查意图上，都突出对数学思想方法和能力（特别是对思维能力、探究能力、创新能力、综合运用知识能力）的考查；因此在解决这类问题时要灵活运用函数的有关知识，并注意挖掘题目中的一些隐藏条件，注意数形结合、数学建模、分类讨论等数学思想的运用；下面谈一谈这类问题的分类及其解法。

1、三类基本初等函数中的图形面积问题：解决这类问题时，通常要将坐标系中的图形进行分割，一般情况是将它分割成一些两边（或三边）在坐标轴上或者两边（或三边）平行于坐标轴的三角形（或梯形、矩形）等；同时要注意点到坐标轴的距离与点的坐标间的区别，正确利用点的坐标来表示线段的长度。

例3 如图，直线OC 、BC 的函数关系式分别为 y=x 和 y=-2x+6，动点P （x ，0）在OB 上移动（0＜x ＜3），过点P 作直线 与x 轴垂直。

（1）求点C 的坐标；（2）设∆OBC 中位于直线 左侧部分的面积为s ，写出s 与x 之间（3）在直角坐标系中画出（2）中函数的图象；（4）当x 为何值时，直线 平分∆OBC 的面积（2003年常州市中考题） 立两个解析式就可以求出第（1）问中C 点的坐标；在第二问中，由于ΔOBC 位于直线左边的部分的形状有两种情况：当直线在C 点左边时，左边的部分为三角形；当直线在C 点右边时，左边的部分为一不规则的四边形，因此在解决此问题时要分两种情况讨论，由于（2）中的函数是一个分段函数，所以在解决第（3）问时画图也要分两部分来画；在解决第（4）问时，首先要对直线l 平分ΔOBC 的面积时，直线是在点C 的左边还是在右边作出判断，然后再利用方程的思想来解决。

本题考查了学生的数形结合思想、分类讨论的思想、方程的思想以及学生动手画图的能力。

分值虽不大，但考查的知识点却不少。

解：（1） ⎩⎨⎧+-==62x y x y 解之得⎩⎨⎧==22y x ， 点C 的坐标为（2，2）（2）作CD ⊥轴于点D ，则D （2，0）①当0＜x≤2时，设直线l 与OC 交于点Q ，则Q （x ，x ），∴221x S = ②当2＜x ＜3时，设直线与OB 交于点Q ，则此时的Q 的坐标为（x ，6-x ）而点B （3，0）∴S ΔBQP =()()()2326321x x x -=--⨯ ∴S=3-（3-x ）2， 即S=-x 2+6x-6（3）略（4）由于（2）中ΔODC 的面积大于ΔBDC 的面积，则直线l 要平分ΔOBC 的面 积，则点P 只能在线段OD 上，即0＜x ＜2，由于ΔOBC 的面积为3，∴23212=x ，解之得x=3（负值舍去）；显然，0＜3＜2； ∴l 平分ΔOBC 的面积时，相应的x 值为3。

2、三类基本初等函数中的三角形、四边形、圆的问题：这类题目一般由1~3问组成，第一问往往是求函数的解析式，然后在此基础上再与几何中的三角形（全等、相似或特殊三角形是否存在等问题）四边形（面积的函数关系式、特殊四边形是否存在）和圆（直线与圆的位置关系的判断、圆中的比例式是否成立）结合起来，利用初中的主干知识全面考查学生综合运用所学知识解决问题的能力；解决这类综合性问题时要注意以下几个问题：（1）注意弄清题目中所涉及的概念，熟悉与之相关的定理、公式、技巧和方法；（2）注意剖析综合问题的结构，弄清知识点之间的联系，善于把一个综合题分成若干个基本题，各个知识点之间的结合部，往往是由一个基本问题转化到另一个基本问题的关键；（3）注意从不同的角度来探索解题的途径，注意运用“从已知看可知”，“从结论看需知”等综合法与分析法来沟通已知条件与结论。

例4 已知二次函数的图象如图所示，（1）求二次函数的解析式及抛物线的顶点M的坐标；（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q，当点N在线段BM上运动时（点N不与点B、点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使ΔPAC为直角三角形若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将ΔOAC补成矩形，使ΔOAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边的对边上，试直接写出矩形的未知顶点的坐标（不需要计算过程）。