2018年上海市嘉定区初三数学一模考试卷及答案

嘉定区2017学年第一学期九年级期终学业质量调研测试数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）同学们注意：1.本试卷含三个大题，共25题；2.答题时，同学们务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1.已知线段a 、b 、c 、d ，如果cd ab =，那么下列式子中一定正确的是 （▲） （A ）d b c a =； （B ）c b d a =； （C ）b d c a =； （D ）dc b a =． 2.在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，6=AB ，b AC =，下列选项中一定正确的是（▲） （A ）A b sin 6=； （B ）A b cos 6=； （C ）A b tan 6=； （D ）A b cot 6=． 3.抛物线2)1(22-+=x y 与y 轴的交点的坐标是（▲）（A ）)2,0(-； （B ）)0,2(-； （C ）)1,0(-； （D ）)0,0(． 4.如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，联结AE 并延长交BC 的延长线于点F ，若CF AD 3=，那么下列结论中正确的是（▲）（A ）3:1:=FB FC ； （B ）3:1:=CD CE ； （C ）4:1:=AB CE ； （D ）2:1:=AF AE .5.已知矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，如果=，=，那么等于(▲) （A ）)(21-； （B ）)(21+； （C ）)(21-； （D ）-． 6.下列四个命题中，真命题是 (▲)（A ）相等的圆心角所对的两条弦相等； （B ）圆既是中心对称图形也是轴对称图形； （C ）平分弦的直径一定垂直于这条弦； （D ）相切两圆的圆心距等于这两圆的半径之和. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请直接将结果填入答题纸的相应位置】7.已知点P 在线段AB 上，且3:2:=BP AP ,那么=PB AB : ▲ ．图18. 计算：=-+a b a 4)64(21▲ ． 9. 如果函数32)2(2++-=x x m y （m 为常数）是二次函数，那么m 取值范围是 ▲ ． 10. 抛物线342++=x x y 向下平移4个单位后所得的新抛物线的表达式是▲ ． 11. 抛物线2322-++=k x x y 经过点)0,1(-，那么=k ▲ ． 12. 如果△ABC ∽△DEF ，且对应面积之比为4:1，那么它们对应周长之比为 ▲ ．13. 如图2，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，四边形DEFB 是菱形，6=AB ，4=BC ，那么=AD ▲ ．14. 在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，如果32cos =∠A ，那么A ∠cot = ▲ ． 15. 如果一个斜坡的坡度33:1=i ，那么该斜坡的坡角为 ▲ 度． 16. 已知弓形的高是1厘米，弓形的半径长是13厘米，那么弓形的弦长是 ▲ 厘米.17. 已知⊙1O 的半径长为4，⊙2O 的半径长为r ,圆心距621=O O ，当⊙1O 与⊙2O 外切时，r 的长为 ▲ ．18. 如图3，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90B ， 3=AD ，4=AB ，8=BC ，点E 、F 分别在边CD 、 BC 上，联结EF ．如果△CEF 沿直线EF 翻折，点C与点A 恰好重合，那么ECDE的值是 ▲ ． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 计算：︒-︒+︒-︒45tan 30cos 2260sin 30cot .20．（本题满分10分，每小题5分）已知二次函数c bx ax y ++=2的图像上部分点的坐标),(y x 满足下表：（1（2）用配方法求出这个二次函数图像的顶点坐标和对称轴.图2DAB CEF 图321．（本题满分10分）如图4，某湖心岛上有一亭子A ，在亭子A 的正东方向上的湖边有一棵树B ，在这个湖心岛的湖边C 处测得亭子A 在北偏西︒45方向上，测得树B 在北偏东︒36方向上，又测得B 、C 之间的距离等于200米，求A 、B 之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：414.12≈，588.036sin ≈︒，809.036cos ≈︒，727.036tan ≈︒，376.136cot ≈︒）22．（本题满分10分，每小题5分）如图5，在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，5=AC ，52=BC ，以点C 为圆心，CA长为半径的⊙C 与边AB 交于点D ，以点B 为圆心，BD 长为半径的⊙B 与⊙C 另一个交点为点E .（1）求AD 的长；（2）求DE 的长．23．（本题满分12分，每小题6分） 如图6，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD AB =，点E 在对角线AC 上，且满足BAC ADE ∠=∠.（1）求证：BC DE AE CD ⋅=⋅；（2）以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交边BC 于点F ，联结AF .求证：CA CE AF ⋅=2.图6︒36 ︒45 AB C 图4A CB DE 图524．（本题满分12分，每小题4分）已知在平面直角坐标系xOy （如图7）中，已知抛物线c bx x y ++=22点经过)0,1(A 、)2,0(B .（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的对称轴与x 轴的交点为C ， 第四象限内的点D 在该抛物线的对称轴上，如果 以点A 、C、D 所组成的三角形与△AOB 相似， 求点D 的坐标；（3）设点E 在该抛物线的对称轴上，它的纵坐标是1， 联结AE 、BE ，求ABE ∠sin .25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）在正方形ABCD 中，8=AB ，点P 在边CD 上，43tan =∠PBC ，点Q 是在射线BP 上的一个动点，过点Q 作AB 的平行线交射线AD 于点M ，点R 在射线AD 上，使RQ 始终与直线BP 垂直．（1）如图8，当点R 与点D 重合时，求PQ 的长； （2）如图9，试探索：MQRM的比值是否随点Q 的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；（3）如图10，若点Q 在线段BP 上，设x PQ =，y RM =，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．图8图9图10嘉定区2017学年第一学期九年级期终学业质量调研测试数学试卷参考答案一、1.C ；2.B ；3.D ；4.C ；5.A ；6.B .二、7.3:5；8.23-；9. 2≠m ；10.142-+=x x y ；11.3；12.2:1；13.518； 14.552；15. ︒60；16. 10；17.2；18.52. 三、19．解：︒-︒+︒-︒45tan 30cos 2260sin 30cot12322233-⨯+-= ………………………8分 13223-+= 1323++= …………………………1分1233+=……………………………………………1分 20．解：（1）由题意，得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-2,2,4c b a c c b a ……………………1+1分解这个方程组，得 1=a ，3=b ………………………………2分所以，这个二次函数的解析式是232-+=x x y . …………………1分（2）417)23(24949323222-+=--++=-+=x x x x x y …………1分顶点坐标为)41723(--； …………………………………………2分对称轴是直线23-=x . …………………………………………2分21．解：过点C 作AB CH ⊥，垂足为点H …………1分由题意，得 ︒=∠45ACH ,︒=∠36BCH ,200=BC在Rt △BHC 中，BCBH BCH =∠sin , ……1分 ∴20036sin BH=︒ ∵588.036sin ≈︒∴6.117≈BH ……………………1分 又BCHCBCH =∠cos ……………………1分∴20036cos HC =︒. ∵809.036cos ≈︒ ∴8.161≈HC ……………………1分︒36︒45 ABC 图4 H在Rt △AHC 中，HCAHACH =∠tan ……………………1分 ∵︒=∠45ACH ∴HC AH = ……………………1分 ∴8.161≈AH ……………………1分 又BH AH AB +=∴4.279≈AB ……………………1分 ∴279≈AB （米） ……………………1分答：A 、B 之间的距离为279米. 22.解：（1）过点C 作AB CH ⊥，垂足为点H ∵CH 经过圆心C∴AD HD AH 21== ……………1分 在Rt △ACB 中，︒=∠90ACB ，222AB BC AC =+∵5=AC ，52=BC ∴5=AB …………1分∵ABACAC AH A ==cos …………1分 ∴1=AH …………1分 ∴2=AD …………1分（2）设DE 与CB 的交点为F由题意，得CB DF ⊥,DE FE DF 21== …………1分∴︒=∠=∠90DFE ACB ∴AC ∥DF∴ABBD AC DF = …………1分∵2=AD ,5=AB ∴3=BD …………1分 ∴535=DF ∴553=DF …………1分∴556=DE …………1分23.证明（1）∵AD ∥BC ∴ACB DAE ∠=∠ ……1分∵BAC ADE ∠=∠∴△ADE ∽△CAB …1分 ∴BCAE AB DE =…………1分 ∴BC DE AE AB ⋅=⋅ ……1分∵CD AB =∴BC DE AE CD ⋅=⋅ ……2分（2）AD ∥BC ,CD AB =∴DAB ADC ∠=∠……………1分∵BAC ADE ∠=∠又CDE ADE ADC ∠+∠=∠， CAD BAC DAB ∠+∠=∠∴CAD CDE ∠=∠ ……………………1分 ∴△CDE ∽△CAD ……………………1分∴ CDCE CA CD = ∴CA CE CD ⋅=2……………………1分 由题意，得AF AB =,CD AB =∴CD AF = …………1分∴CA CE AF ⋅=2…………1分AC BDE 图5 HF 图624. 解：（1）∵抛物线c bx x y ++=232点经过)0,1(A 、)2,0(B ∴⎪⎩⎪⎨⎧==++2032c c b ……………………1+1分 ∴38-=b …………1分∴抛物线的表达式是238322+-=x x y …………1分（2）由（1）得：238322+-=x x y 的对称轴是直线2=x ……1分∴点C 的坐标为)0,2(，……………………1分 ∵第四象限内的点D 在该抛物线的对称轴上∴以点A 、C 、D 所组成的三角形与△AOB 相似有两种① 当DAC ABO ∠=∠时，CACDOB OA =， ∴121CD =，21=CD ∴点D 的坐标为)21,2(- …………1分② 当ADC ABO ∠=∠时，同理求出2=CD ∴点D 的坐标为)2,2(- …………1分综上所述，点D 的坐标为)21,2(-或)2,2(-（3）∵点E 在该抛物线的对称轴直线2=x 上，且纵坐标是1∴点E 坐标是)1,2(， …………1分又点)2,0(B ，∴5=BE设直线2=x 与x 轴的交点仍是点C ∴ACE ABO BOCE ABE S S S S ∆∆∆--=∴23112112212)12(21=⨯⨯-⨯⨯-⨯+=∆ABE S ……1分 过点E 作AB EH ⊥，垂足为点H ,5=AB∴2321=⨯⨯=∆EH AB S ABE∴553=EH ……………………1分 在Rt △BHE 中，︒=∠90BFE∴53sin ==∠BE EH ABE ……………………1分25.（1）解：由题意，得8====AD CD BC AB ,︒=∠=∠90A C在Rt △BCP 中，︒=∠90C∴BC PC PBC =∠tan ∵43tan =∠PBC∴6=PC ∴2=RP ……………………1分∴1022=+=BC PC PB∵BQ RQ ⊥ ∴︒=∠90RQP ∴RQP C ∠=∠ ∵RPQ BPC ∠=∠∴△PBC ∽△PRQ ……………………1分 ∴PQ PC RP PB = ……………………1分 ∴PQ6210= ∴56=PQ ……………………1分（2）答：MQRM 的比值随点Q 的运动没有变化 ………1分解：∵MQ ∥AB ∴ABP ∠=∠1,A QMR ∠=∠∵︒=∠=∠90A C∴︒=∠=∠90C QMR ……………………1分∵BQ RQ ⊥ ∴︒=∠+∠901RQM ︒=∠+∠=∠90PBC ABP ABC ∴PBC RQM ∠=∠……………………1分∴△RMQ ∽△PCB ……………………1分∴BC PC MQ RM = ∵6=PC ，8=BC ∴43=MQ RM …1分 ∴MQ RM 的比值随点Q 的运动没有变化,比值为43 （3）延长BP 交AD 的延长线于点N ∵PD ∥AB ∴NANDAB PD =∵ND AD ND NA +=+=8∴882+=ND ND ∴38=ND …………1分∴31022=+=ND PD PN ∵PD ∥AB ,MQ ∥AB ∴PD ∥MQ ∴NQ NPMQ PD =……………………1分 ∵43=MQ RM ,y RM = ∴y MQ 34= 又2=PD ,310+=+=x PN PQ NQ ∴310310342+=x y ……………………1分 ∴23209+=x y ……………………1分 它的定义域是5260≤<x ……………………1分图8图9图10。