非圆曲线截交线的求法
《工程制图》第十章-曲面立体的截交线
三、 圆柱截交线例题
12
例题1 求圆柱截交线
1' 2'3'
4'5'
6'7'
8'
5
3
2
3" 5"
7"
1" 8"
解题步骤
2"
1 分析 截交线的水平投影为椭
圆，侧面投影为圆；
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅳ、 Ⅴ、 Ⅷ；
4" 3 求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、
Ⅵ、Ⅶ；
4 光滑且顺次地连接各点，作
6"
出截交线，并且判别可见性；
2 转向点 曲线上处于曲面投影转向线上的点，它们是区分 曲线可见与不可见部分的分界点。
3 特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端 点。
4 结合点 截交线由几部分不同线段（曲线、直线）组成时 结合处的那些点。
对于特殊点，根据现有的知识凡是能求出来的都应求出来 。
7
五、 作图步骤
1 根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别截交线的形 状和性质。
5 整理轮廓线。
Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅶ
Ⅳ
Ⅷ
Ⅵ
13
例题2 求圆柱截交线
解题步骤 1 分析 截交线的水平投影为椭 圆的一部分，侧面投影为圆的 一部分； 2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅳ 、 Ⅴ； 3 求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ ； 4 光滑且顺次地连接各点，作出 截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
14
例题6 想象出物体及其侧面投影的形状
18
§ 10-3 平面与 圆锥相交
一、平面与圆锥相交所得截交线形状 二、 圆锥截交线的求法 三、 圆锥截交线例题
非圆弧曲线计算公式
非圆弧曲线计算公式在数学和工程领域中，曲线是一种非常重要的概念，它们可以用来描述各种各样的现象和物体。
在实际应用中，我们经常会遇到各种各样的曲线，其中包括非圆弧曲线。
非圆弧曲线是指那些不能用圆弧来描述的曲线，它们可能是由多个不同的曲线段组成的，也可能是由一些特殊的曲线方程所描述的。
在本文中，我们将讨论一些常见的非圆弧曲线，并给出它们的计算公式。
1. 抛物线。
抛物线是一种非常常见的曲线，它的数学描述是一个二次方程。
一般来说，抛物线的标准方程可以写成，y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数。
根据这个方程，我们可以计算出抛物线上任意一点的坐标，从而可以对抛物线进行各种各样的分析和应用。
2. 椭圆。
椭圆是另一种常见的非圆弧曲线，它的数学描述是一个二次方程。
椭圆的标准方程可以写成，(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1，其中(a,b)是椭圆的半长轴和半短轴的长度，(h,k)是椭圆的中心点的坐标。
通过这个方程，我们可以计算出椭圆上任意一点的坐标，从而可以对椭圆进行各种各样的分析和应用。
3. 双曲线。
双曲线是一种非常特殊的曲线，它的数学描述是一个二次方程。
双曲线的标准方程可以写成，(x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=1，其中(a,b)是双曲线的半长轴和半短轴的长度，(h,k)是双曲线的中心点的坐标。
通过这个方程，我们可以计算出双曲线上任意一点的坐标，从而可以对双曲线进行各种各样的分析和应用。
4. 抛物线。
抛物线是一种非常常见的曲线，它的数学描述是一个二次方程。
一般来说，抛物线的标准方程可以写成，y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数。
根据这个方程，我们可以计算出抛物线上任意一点的坐标，从而可以对抛物线进行各种各样的分析和应用。
5. 椭圆。
椭圆是另一种常见的非圆弧曲线，它的数学描述是一个二次方程。
椭圆的标准方程可以写成，(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1，其中(a,b)是椭圆的半长轴和半短轴的长度，(h,k)是椭圆的中心点的坐标。
曲面立体的截交线、贯穿点、相贯线.
1
d
f
e
29
平面体与曲面立体相交 交线 （相贯线）
共性
交线为二表面所共有线 求交线的本质 求二表面的共有点
本节重点讨论：求交线的基本方法
30
求交线的基本方法
作图步骤看动画演示
31
求交线的基本方法
例
此段外形轮廓线消失
（直线）构成的封 交线投影分析 实质是求平面体 闭的空间折线 交线的投影作图 各表面与回转体 H、 W投影已知 求V投影 求截交 的交线
特殊点 外形轮廓线 中间点 终止点 光滑连接曲线 截交线投影 虚实分界点 交线可见性
11
例 圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个投影。
3’
2’ 1’5”4” (4’)(5’)
3” 2” 1”
具体步骤如下： （1）先求特殊点。 （2）再求一般点。 （3）依次光滑连接各点。
5 4 3 2 1 4 5
内、外交线分别求解 注意检查 孔的外形轮廓线投影 截平面与孔的交线
7
4、平面与圆锥体相交 平面P与圆锥面的交线
P
P
P轴线 交线为圆
P∠轴线 > 交线为椭圆
8
平面P与圆锥面的交线
P
P
P ∠轴线 = 交线为抛物线
P ∠轴线 0 < 交线为双曲线
9
平面P与圆锥面的交线
P
归纳
P轴线 交线为圆 P∠轴线 > 交线为椭圆 P∠ 轴线 = 交线为抛物线 P∠轴线 0< 交线为双曲线 P过锥顶 交线为直线
10
P过锥顶 交线为直线
例 求截交线
椭圆短轴的投影 是什么点？
P
P
椭圆画法
机械制图之-截交线专题
一、 平面体的截切
（一）、平面截切的基本形式
截交线的性质：
• 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切 位置。
• 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。
求截交线的实质是求两平面的交线
机械制图之-截交线专题
1.平面与平面体相交 例1 求截交线并完成截头三棱锥的三投影
小结
一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成 的封闭的平面多边形，多边形的边是截平 面与棱面的交线。 求截交线的方法：棱线法 棱面法
二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截 平面与被截立体轴线的相对位置。 截交线是截平面与回转体表面的共有线。
机械制图之-截交线专题
三、解题方法与步骤
⒈ 空间及投影分析
机械制图之-截交线专题
平面P与圆锥面的交线
P
P
P 轴线 =
P 轴线 0 <
交线为抛物线
交线为双曲线
机械制图之-截交线专题
平面P与圆锥面的交线
P
P过锥顶 交线为直线
机械制图之-截交线专题
归纳
P轴线 交线为圆
P 轴线 > 交线为椭圆 P 轴线 = 交线为抛物线
P 轴线 0< 交线为双曲线 P过锥顶 交线为直线
机械制图之-截交线专题
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两水个平侧面平截面圆截球圆的球截的交截线 交的线投的影投，影在，俯在视侧图视上图为 上部为分部圆分弧圆，弧在，侧在视俯图视上 图积上聚积为聚直为线直。线。
机械制图之-截交线专题
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
机械制图之-截交线专题
D、 复合回转体的截切
C
用数学方程描述的非圆曲线的轮廓数值计算
用数学方程描述的非圆曲线的轮廓数值计算数控加工中把除了直线与圆弧之外用数学方程式表达的平面轮廓曲线称为非圆曲线。
非圆曲线的节点就是逼近线段的交点。
一个已知曲线)(x f y =的节点数目主要取决于所用逼近线段的形状（直线或圆弧）、曲线方程的特性以及允许的拟合误差。
将这三个方面利用数学关系来求解，即可求得相应的节点坐标。
下面简要介绍常用的直线逼近节点的计算方法。
（1）等间距直线逼近的节点计算 1）基本原理等间距法就是将某一坐标轴划分成相等的间距，然后求出曲线上相应的节点。
如图3.1所示，已知曲线方程为)(x f y =，沿X 轴方向取Δx 为等间距长。
根据曲线方程，由i x 求得i y ，ix ＋１＝i x ＋Δx ，)(1x x f y i i ∆+=+，如此求得的一系列点就是节点。
2） 误差校验方法由图3.1知，当x ∆取得愈大，产生的拟和误差愈大。
设工件的允许拟合误差为δ，一般δ取成零件公差的1/5～1/10，要求曲线)(x f y =与相邻两节点连线间的法向距离小于δ。
实际处理时，并非任意相邻两点间的误差都要验算，对于曲线曲率半径变化较小处，只需验算两节点间距最长处的误差，而对曲线曲率变化较大处，应验算曲率半径较小处的误差，通常由轮廓图形直接观察确定校验的位置。
其校验方法如下：设需校验mn 曲线段。
n m 和的坐标分别为（m m y x ,）和（n n y x ,），则直线mn 的方程为：nm n m nn y y x x y y x x --=--令A=n m y y -，B=m n x x -，C=n m n m y x x y -,则上式可改写为A x +B y =C 。
表示公差带范围的直线n m ''与mn 平行，且法向距离为δ。
n m ''直线方程可表示为：22B AC By Ax +±=+δ式中，当直线n m ''在mn 上边时取“+”号，在mn 下边时“-”号。
第10章 曲面立体的截交线
第十章曲面立体的截交线基本要求§10-1 概述§10-2 平面与圆柱相交§10-3 平面与圆锥相交§10-4 平面与圆球相交§10-5 综合题基本要求§10-1 概述一、截交线的性质二、截交线的类型及形状三、求作截交线的方法四、截交线上的特殊点五、作图步骤一、曲面立体截交线的性质二、截交线的类型及形状三、求作截交线的方法四、特殊点五、作图步骤§10-2 平面与圆柱相交一、平面与圆柱相交所得截交线形状二、求圆柱截交线上点的方法三、例题一、平面与圆柱相交所得截交线形状圆矩形椭圆二、求圆柱截交线上点的方法三、例题11'1"5"4" 8' 8"83254ⅦⅢⅡ ⅣⅤⅠ4'5' 2'3' 2" 3" 解题步骤1．分析 截平面为正垂面，截交线的侧面投影为圆，水平投影为椭圆；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅳ、 Ⅴ、 Ⅷ；3．求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、 Ⅵ、Ⅶ；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5．整理轮廓线。
7 66'7'6"7"解题步骤1．分析侧面投影为圆的一部分，截交线的水平投影为椭圆的一部分； 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ ；3．求出若干个一般点Ⅳ、 Ⅴ ； 4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
3453'3"4'5'5' 4'1'2'2"1"122' 1'4'3'[例题3] 求圆柱截交线解题步骤1．分析 截交线的水平投影为直线和部分圆，侧面投影为矩形；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ； 3．顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性； 4．整理轮廓线。
6立体的投影以及求截交线相贯线汇总
求平面与回转体的截交线的一般步骤： ⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状及截平面与回转体
轴线的相对位置，以便确定截交线的形状。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确 截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。 找出截交线的已知投影，预见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线投影为非圆曲线时，其作图步骤为： ☆ 先找特殊点，补充中间点。
⒊ 圆锥体表面找点，用辅助线法和辅助圆法。 ⒋ 球体表面找点，用辅助圆法。 基本体的三面投影的画法 基准点法和45度线法
40
5.2 平面与立体相交
平面 基本体 截交线
截平面
共有线
平面体
回转体
本节重点：截交线求法
41
1.平面与平面体相交
截切：用一个平面与立体相交，截去立体 的一部分。
• 截平面 —— 用以截切物体的平面。 • 截交线 —— 截平面与物体表面的交线。 • 截断面 —— 因截平面的截切，在物体上
(a')
(a")
(b')
(b")
(b)
a
分析
点A在内环面的 上半部 点B在外环面的 下半部
作图
过圆环表面任一 点均可作一垂直 于轴线的圆 注意判断可见性
37
圆环投影可见性的判别
由上向下看，此部分可见
由前向后看，此部分可见
38
圆环表面上取点
1'
m'
2' （n'）
12
m
39
小结
重点掌握：
基本体的三面投影的画法及面上找点的方法。 ⒈ 平面体表面找点，利用平面上找点的方法。 （利用积聚性和辅助线法） ⒉ 圆柱体表面找点，利用投影的积聚性。
最新截交线讲解与画法
课程重点
1、平面立体截交线的画法 2、圆柱体与截交线的画法
结束语
谢谢大家聆听！！！
31
例题2:根据立体图绘制三视图 平面1 平面2
平面1 平面2
平面1
平面1 平面2
平面2 关键点与交线
例题3:补全左视图
找出 关键点
II I
例题3:补画左视图
1’
(2’)
2
2”
1”
II I
1
例题3:补画左视图
习题1
习题1
例题3:补画左视图
1’
轮廓退让 I
1”
轮廓线不可见
I
1
习题2
习题2
课堂练习 补画所缺的视图
1、想一想形体在没切割之前的形状 2、有几个截平面切割，它们位置如何？ 3、截交线是什么形状？
（二）回转体的截交线
1、圆柱体的截交线——封闭的平面曲线
圆
矩形
椭圆
说明：
截平面与轴 线的位置决 定截交线的 形状
截平面与 轴线垂直
截平面与 轴线平行
截平面与 轴线倾斜
例题1:根据立体图绘制三视图
截平面
1、截交线是封闭的平面图形
2、截交线是截平面与基本 体表面的共有线
截断体
（一）平面立体的截交线 截断体
截交线
例题1：补 画缺线
3’（4’）
4
3
2’（1’）
1”
4”
解题步骤：
1、分析截平面的位置
2”
2、求出各顶点的投影 3、依次连接各点的同 3” 面投影
4、补全其它缺线
1
4
2
1 2
3
例题3：补全所缺的视图和线条
分析与思考
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1" • 3"
•
2"
• •1 •3 •
2
分析：圆锥台的切口 由三个平面切割而成， 分析各截交线的空间 形状和投影特性。
切口圆锥台的视图和立体图。
1' 3‘(4’) 2'
• • •
•
1" • 3"
•
2"
• •1 •3 •
2
已知立体的正面投影，试完成H、W两面投影
1’ (2)’ (8)’
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截 平面与圆柱轴线的相对位置
PV PV PV
P
P
P
垂直 圆
倾斜 椭圆
平行 两平行直线
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个 投影。
4’ 3’ 2’ 1’ 8 1 2 4 3 平面与圆柱相交 7 6 5
Ⅷ
Ⅶ Ⅲ Ⅰ Ⅱ
5’
6”
5”
(7)’
7”
8”
由于平面与圆柱的轴线 具体步骤如下： 斜交，因此截交线为一椭圆。 4” （2）再作出适当数量 （4）补全侧面投影中 （1）先作出截交线上的 截交线的正面投影重影为一 （3）将这些点的投影 3” 直线，水平投影与圆柱面的 的一般点。 的转向轮廓线。 特殊点。 依次光滑的连接起来。 投影重影为圆。侧面投影可 2” 1” 根据圆柱表面取点的方法求 出。
(4)’ 3’
2”
4”
3”
1”
(12)’
7’ 11’
5’ (6)’
12” 6” 8”
5” 7”
11”
9’ (10)’
10”
9”
10 8 12 6 4
11 7 9
3 5
圆锥截交：指出各截交线的形状
抛物线 圆弧
双曲线 等腰三角形
圆锥截交----双曲线
1’ 4’(5’) 2’(3’)
3’’
5’’
1’’
抛物线 直线
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的 另外两个投影。
此种截交线为一椭圆。 由于圆锥前后对称，故椭圆 也前后对称。椭圆的长轴为 截平面与圆锥前后对称面的 交线——正平线，椭圆的短 轴是垂直与长轴的正垂线。
Ⅱ Ⅳ Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线 平面与圆柱相交
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点。
4’’
2’’
3
5 1 4
2
圆锥的截交----椭圆
1’ 1”
3’(4’)
5’(6’)
4” 6”
3”
5”
2’
2”
4 1
6
2
3
5
圆锥的截交----椭圆
圆锥截交（补全俯视图，左视图）
3’(4’) 4’’
3’’
5’(6’) 1’(2’) 6 4 3 2
6’’
5’’
5 1
圆锥截交
圆锥截交
圆锥截交
柱锥截交
（2）再作一般点。 （3）依次光滑连接各点，即得 截交线的水平投影和侧面投影。 5” 3”
7”
5’6’ 3’4’ 1’
7’8’
2’
4”
6”
8”
2”
（4）补全侧面转向轮廓线。
1”
4
Ⅱ
6
8
Ⅳ
2
1
7
Ⅲ
正垂线
3 5 平面与圆锥相交
Ⅰ
正平线
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个 投影。
3’ 2’ 1’ 5” 4” (4’) (5’) 3” 2” 1”
● ●
●
● ●
● ●
●
● ●
● ● ● ●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成 以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回 转体的截交线，并依次将其连接。
●
Ⅵ Ⅴ
Ⅳ
比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45° 平面与圆柱相交
=45°
例2：求左视图
虚实分界点
已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影
3’ (10)’ 2’ (11)’ 11’’ (10)’’ 3’’ 2’’
1’
1’’ (8)’ 6’ (9)’ 5’ 9’’ 5’’
具体步骤如下： （1）先求特殊点。 （2）再求一般点。 （3）依次光滑连接各点。
5 4 3 2 1 4 5
3
2
1
平面与圆锥相交
例3:求圆锥被截切后的正面投影.
分析:截交线的正面投影为双曲线. 作图: 1 求特殊点。 最高点 最低点 2 求一般点。
3 连线。
例2：求作切口圆锥台的左、俯视图。
1' 3‘(4’) 2'
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。
具体步骤如下： （1）先求特殊点。
2’
5’ 1’ 6’ 3’4’ 5’ 1’ 6’ 3’4’
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。 （3）依次连接各点的水平投影。
2’
6
4 2 3
6
4 2 3 1 2 4 3
1 5
1 5
平面与球相交
例：求作顶尖的俯视图
7’
8’’
7’’
6’’
(8) 11 10 (9)
1 (7)
3ห้องสมุดไป่ตู้(5) (6) 2
二、圆锥的截断
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。
PV
θ
PV
PV
PV
θ
PV
垂直于轴线 θ= 90° 圆
倾斜于轴线 θ＞α 椭圆
平行于轴线 θ= 0°
双曲线
平行于一条素线 过锥顶 θ=α 直线（三角形）
求平面与回转体的截交线的一般步骤
1.确定截交线的形状。
2.明确截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。 找出截交线的已知投影，予见未知投影。
3. 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
（1）先找全特殊点，再补充中间点。 （2）将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。
㈠ 圆柱体的截切