柯布道格拉斯生产函数的一般形式
高鸿业《西方经济学(微观部分)》(第6版)名校考研真题详解(第四章 生产函数)【圣才出品】
一般说来，在长期生产过程中，企业的规模报酬的变化呈现出如下的规律：当企业从最 初的很小的生产规模开始逐步扩大的时候，企业面临的是规模报酬递增的阶段。在企业得到 了由生产规模扩大所带来的产量递增的全部好处以后，一般会继续扩大生产规模，将生产保 持在规模报酬不变的阶段，这个阶段有可能比较长。在这以后，企业若继续扩大生产规模， 就会进入一个规模报酬递减的阶段。
2．柯布-道格拉斯函数（复旦大学 2000 研；厦门大学 2004 研） 答：柯布-道格拉斯生产函数是由数学家柯布和经济学家道格拉斯于 20 世纪 30 年代初 一起提出来的。柯布-道格拉斯生产函数是新古典模型的典型代表函数，其一般形式为：
Q ALα K 式中， Q 为产量； L 和 K 分别为劳动和资本投入量； A 、 和 为三个参数， 、 1 。 参数 和 的经济含义是：当 1 时， 和 分别表示劳动和资本在生产过程中 的相对重要性， 为劳动所得在总产量中所占的份额， 为资本所得在总产量中所占的份 额。 根据柯布-道格拉斯生产函数中的参数 与 之和，还可以判断规模报酬的情况。若 1 ，则为规模报酬递增；若 1 ，则为规模报酬不变；若 1 ，则为规模报 酬递减。
uv 即使其中的一个比例数值较大，那也不会提高产量 Q 。里昂惕夫生产函数可用图 4-1 予以
描述。
图 4-1 里昂惕夫生产函数
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生产理论习题及答案
第五章"生产理论"习题及答案一、名词解释1、厂商2、生产 3 生产函数4、柯布—道格拉斯生产函数5、技术系数6、短期7、长期8、一种变动要素投入的生产函数9、总产量10、平均产量11、边际产量12、边际报酬递减规律13、等产量曲线14、边际技术替代率15、边际技术替代率递减规律16、等本钱曲线17、"脊〞线18、生产的经济区域19、最优投入组合20、等斜线21、扩展线二、单项选择题1、生产函数表示〔〕。
A.一定数量的投入，至少能生产多少产品B.生产一定数量的产品，最多要投入多少生产要素C.投入与产出之间的关系D.以上都对2、生产函数Q=f〔L，K0〕的TPL 为正且递减时，MPL可以〔〕A、递减且为正；B、递减且为负；C、为零；D、以上都可能。
3、生产函数Q=f〔L，K0〕反映生产的第二阶段应该〔〕A、开场于AP L曲线的最高点，终止于MP L为零处；B、开场于MPL 曲线的最高点，终止于APL曲线的最高点；C、开场于APL 曲线和MPL曲线的相交处，终止于MPL曲线和水平轴的相交处。
D、以上都对4、但凡齐次生产函数，都可能分辩其规模收益类型。
这句话〔〕A、正确B、不正确C、可能正确D、不一定正确5、假定生产函数Q=f〔L，K〕=L2K2 ,则生产函数所表示的规模报酬〔〕A、递增B、不变C、递减D、不一定6、在总产量、平均产量和边际产量的变化过程中，〔〕A、总产量首先开场下降；B、平均产量首先开场下降；C、边际产量首先开场下降；D、平均产量下降速度最快。
7、边际收益递减规律发生作用的前提条件是〔〕A、连续增加*种生产要素的投入而保持其它要素不变；B、按比例增加各种生产要素；C、不一定按比例增加各种生产要素；D、以上都对。
8、如果*厂商增加1单位劳动使用量能减少3单位资本，而仍能生产同样的产量，则MRTS LK为〔〕A、1/3B、3C、1D、69、在维持产量不变的前提下，如果企业增加2个单位的劳动投入量就可以减少4个单位的资本投入量，则有〔 A 〕A、MRTS LK=2，且MP L/ MP K=2；B、MRTS LK=1/2，且MP K/ MP L=2；C、MRTSLK =1/2，且MPK/ MPL=1/2；D、MRTSLK=2，且MPK/ MPL=2。
经济学名词解释-新增长理论与模型
经济学名词解释：新增长理论与模型1、柯布-道格拉斯生产函数（Cobb-Douglas production function）用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数。
它的基本的形式为：式中Y是工业总产值，At是综合技术水平，L是投入的劳动力数（单位是万人或人）,K是投入的资本，一般指固定资产净值（单位是亿元或万元，但必须与劳动力数的单位相对应，如劳动力用万人作单位，固定资产净值就用亿元作单位）,α 是劳动力产出的弹性系数,β是资本产出的弹性系数,μ表示随机干扰的影响，μ≤1。
从这个模型看出，决定工业系统发展水平的主要因素是投入的劳动力数、固定资产和综合技术水平（包括经营管理水平、劳动力素质、引进先进技术等）。
根据α 和β的组合情况,它有三种类型：①α＋β>1, 称为递增报酬型，表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是有利的。
②α＋β<1, 称为递减报酬型,表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是得不偿失的。
③α＋β＝1, 称为不变报酬型，表明生产效率并不会随着生产规模的扩大而提高，只有提高技术水平，才会提高经济效益。
2、新经济增长理论自20世纪80年代中期以来，随着罗默(Paul Romer)和卢卡斯(Robert Lucas)为代表的“新增长理论”的出现，。
经济增长理论在经过20余年的沉寂之后再次焕发生机。
新经济增长理论的重要内容之一是把新古典增长模型中的“劳动力”的定义扩大为人力资本投资，即人力不仅包括绝对的劳动力数量和该国所处的平均技术水平，而且还包括劳动力的教育水平、生产技能训练和相互协作能力的培养等等，这些统称为“人力资本”。
美国经济学家保罗•罗默1990年提出了技术进步内生增长模型，他在理论上第一次提出了技术进步内生的增长模型，把经济增长建立在内生技术进步上。
技术进步内生增长模型的基础是：（1 ）技术进步是经济增长的核心；（2）大部分技术进步是出于市场激励而导致的有意识行为的结果；（3 ）知识商品可反复使用，无需追加成本，成本只是生产开发本身的成本。
柯布—道格拉斯生产函数及其应用
首先,要努力提高全民的科技意识,其次,保持一支精干的科研力量,从事基础性研究、有关国家长远利益的应用研究、高技术研究以及重大科技攻关活动。再次,发挥市场机制作用,让大批从事技术开发、技术服务的机构面向市场,从事科技转化工作,把科技优势转化为生产力优势,加快科技转化的速度,提高效益。
在考察时间足够长时，可能两种或两种以上的投入都可以变动、甚至所有的投入都可以变动，通常称为长期生产函数。
三、柯布—道格拉斯生产函数
(一）基本形式
柯布-道格拉斯生产函数的基本形式为：Y = A(t)LαKβμ。式中Y是工业总产值，At是综合技术水平，L是投入的劳动力数（单位是万人或人）,K是投入的资本，一般指固定资产净值（单位是亿元或万元，但必须与劳动力数的单位相对应，如劳动力用万人作单位，固定资产净值就用亿元作单位）,α是劳动力产出的弹性系数,β是资本产出的弹性系数,μ表示随机干扰的影响，μ≤1。从这个模型看出，决定工业系统发展水平的主要因素是投入的劳动力数、固定资产和综合技术水平（包括经营管理水平、劳动力素质、引进先进技术等）。根据α和β的组合情况,它有三种类型：
作者简介：李昂（1989.01-），女，河北省唐山市人，当前职务：助理统计师，当前职称：初级，学历：本科，研究方向：科技统计。
（1）生产要素的可替代性，资本和劳动两个生产要素是能够相互替代的，并且能够以可变的比例相配合。
（2）技术进步的中性
（3）规模效益不变即α+β=1
（4）生产函数的一阶奇次性
生产函数模型为Yt=At
式中，Y为t时期的产出，K为t时期的资本投入，L为t时期的劳动投入，A为科技水平，为资本的产出弹性，为劳动的产出弹性。
柯布—道格拉斯生产函数及其应用
生产函数计算公式L和K
生产函数计算公式L和K生产函数是经济学上用来描述生产过程中产出与生产要素（如劳动和资本）之间的关系的数学模型。
一般来说，生产函数的一般形式可以表示为：Y=F(L,K,T)其中，Y表示产出（即总产品），L表示劳动力，K表示资本，T表示技术。
根据生产函数的定义，我们可以看到劳动力和资本是影响产出的关键要素。
劳动力指的是参与生产过程中的人力资源，而资本则是指生产中所使用的设备、机器和建筑物等生产要素。
在实际的经济研究中，为了简化计算和分析，人们通常假设技术水平（T）保持恒定。
这样，我们可以将生产函数简化为：Y=F(L,K)在这个简化的生产函数中，我们只考虑劳动力和资本两个要素对产出的影响。
为了计算劳动力（L）和资本（K）对产出的影响，我们可以使用不同的生产函数形式，如线性生产函数、柯布-道格拉斯生产函数等。
下面分别介绍这两种常见的生产函数形式。
1.线性生产函数线性生产函数的一般形式为：Y=aL+bK其中，a和b为常数，代表单位劳动力和单位资本对产出的贡献程度。
如果a和b都大于零，表明劳动力和资本对产出呈正相关关系；如果a和b都小于零，表明劳动力和资本对产出呈负相关关系。
在线性生产函数中，可以通过计算a和b的数值来确定劳动力和资本对产出的弹性（即单位要素对产出的变化率）。
比如，当a=2，b=3时，意味着每增加一个单位的劳动力，产出将增加2个单位；而每增加一个单位的资本，产出将增加3个单位。
2.柯布-道格拉斯生产函数柯布-道格拉斯生产函数的一般形式为：Y=AL^αK^β其中，A表示全要素生产率，α和β表示劳动力和资本对产出的弹性。
柯布-道格拉斯生产函数的特点是呈现递增边际产出递减的特征，即单位要素对产出的增加越多，边际产出的增加就越少。
当α和β的和大于1时，劳动力和资本对产出的边际贡献递增；当α和β的和小于1时，劳动力和资本对产出的边际贡献递减。
通过计算α和β的数值，我们可以确定劳动力和资本对产出的弹性。
柯布-道格拉斯生产函数例题
柯布-道格拉斯生产函数例题柯布-道格拉斯生产函数是经济学中一种常用的生产函数形式，用于描述生产要素的投入与产出之间的关系。
它由经济学家柯布和道格拉斯于20世纪30年代提出，被广泛应用于经济增长和生产效率的研究中。
本文将以柯布-道格拉斯生产函数为主题，探讨其在实际应用中的意义和局限性。
一、柯布-道格拉斯生产函数的基本形式柯布-道格拉斯生产函数的基本形式为：Y = A * K^α * L^β其中，Y表示总产出，A表示总要素投入效率，K表示资本投入量，L 表示劳动投入量，α和β分别表示资本和劳动在总产出中所占比例。
二、柯布-道格拉斯生产函数在经济增长研究中的应用1. 经济增长与资本积累关系某国家想要实现经济增长，一种常见策略是通过增加资本积累来提高总要素投入量。
通过分析国家历史数据，并运用柯布-道格拉斯生产函数模型进行拟合与预测，在合理范围内增加资本投入量，可以预测未来经济增长的趋势，为决策者提供参考依据。
2. 人力资本投入与生产效率提升人力资本是指劳动者的知识、技能和经验等非物质财富。
通过提高劳动者的人力资本投入，可以提高劳动生产率和生产效率。
柯布-道格拉斯生产函数模型可以通过分析不同教育水平、技能水平等变量对总产出的影响，为教育和培训制定提供参考。
三、柯布-道格拉斯生产函数的局限性1. 假设限制柯布-道格拉斯生产函数假设总要素投入效率（A）是恒定不变的，即不受技术进步等因素影响。
然而，在现实经济中，技术进步是不可忽视的因素之一。
因此，在实际应用中需要对模型进行修正。
2. 数据获取与测量困难要准确估计柯布-道格拉斯生产函数中各个参数（如α和β），需要大量可靠数据进行计算。
然而，在现实情况下，获取到准确且全面的数据并非易事。
此外，由于不同国家和地区的数据采集和统计方法可能存在差异，可能导致数据的不可比性。
3. 忽略其他生产要素柯布-道格拉斯生产函数仅考虑了资本和劳动两个要素对总产出的影响，忽略了其他可能存在的生产要素，如自然资源、技术进步等。
柯布-道格拉斯生产函数的
柯布-道格拉斯生产函数的
答：柯布-道格拉斯生产函数的基本形式为：
Y=A(t)LαKβμ
式中Y是工业总产值，At是综合技术水平，L是投入的劳动力数（单位是万人或人）,K是投入的资本，一般指固定资产净值（单位是亿元或万元，但必须与劳动力数的单位相对应，如劳动力用万人作单位，固定资产净值就用亿元作单位）,α是劳动力产出的弹性系数,β是资本产出的弹性系数,μ表示随机干扰的影响，
μ≤1。
从这个模型看出，决定工业系统发展水平的主要因素是投入的劳动力数、固定资产和综合技术水平（包括经营管理水平、劳动力素质、引进先进技术等）。
根据α和β的组合情况,它有三种类型：
1、α＋β>1,称为递增报酬型，表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是有利的。
2、α＋β<1,称为递减报酬型,表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是得不偿失的。
3、α＋β＝1,称为不变报酬型，表明生产效率并不会随着生产规模的扩大而提高，只有提高技术水平，才会提高经济效益。
计量经济学实验报告
多元线性回归模型的应用研究一、经济学理论概述：柯布道格拉斯生产函数柯布-道格拉斯生产函数最初是由美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家保罗·道格拉斯(PaulH.Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。
用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数。
是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位。
他们根据有关历史资料，研究了从1899-1922年美国的资本和劳动对生产的影响，认为在技术经济条件不变的情况下，产出与投入的劳动力及资本的关系可以表示为：Y= AKαLβ（1）其中：Y——产量；A——技术水平；K——投入的资本量;L——投入的劳动量；α，β——K和L的产出弹性。
经济学中著名的柯布-道格拉斯生产函数的一般形式为：Q(K,L)=aKαLβ其中Q,K,L分别表示产值、资金、劳动力，式中a,α,β要由经济统计数据确定。
二、经济学理论的验证方法利用Excel和Eviews软件对选定柯布-道格拉斯生产函数模型进行多元线性回归模型参数估计，并通过调整可决系数、t值检验、F 检验、异方差检验、序列相关性检验、多重共线性检验达到验证理论模型的目的。
三、验证步骤1、建立计量经济学模型过对数变换，（1）式可用如下双对数线性回归模型进行估计：lnQ = a + αln K + βln L+ u，式中，a=lnA2、确定变量（1）被解释变量：lnQ（Q在此取国内生产总值）（2）解释变量：lnK和ln L（K取固定资产投资，L取就业人数）3、数据描述和处理（1）表1：1985~2003中国国内生产总值、就业人员及固定资产投资情况年份GDP(亿元）Q就业人员（万人）L固定资产投资（亿元）K1985 8964.4 49873 2543.2 1986 10202.2 51282 3120.6 1987 11962.5 52783 3791.7 1988 14928.3 54334 4753.8 1989 16909.2 55329 4410.4 1990 18547.9 64749 4517 1991 21617.8 65491 5594.5 1992 26638.1 66152 8080.1 1993 34634.4 66808 13072.3 1994 46759.4 67455 17042.1 1995 58478.1 68065 20019.31996 67884.6 68950 22913.51997 74462.6 69820 24941.11998 78345.2 70637 28406.21999 82067.5 71394 29854.72000 89468.1 72085 32917.72001 97314.8 73025 37213.52002 105172.3 73740 43499.92003 117251.9 74432 55566.6资料来源：《中国统计年鉴（2004）》。
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企业经营是以追求利润极大化为目标的； 投入要素的使用要加以有效安排。 在所有者与管理者相分离的现代公司制度下，
厂商的目标变得更加多元化与复杂化
公司内部的利益冲突与妥协
生产
企业决策的基本问题
购买和组织生产要素生产产品
生 （ 劳动
生产过程
产 投 资本
产
要 入 土地
品
素 ） 企业家才能
等产量曲线的性质
等产量曲线斜率向右下倾斜，即要素替代； 任何两条等产量曲线不能相交 等产量线一般都凸向原点
边际技术替代率
在维持产量水平不变的条件下，增加某种生产 要素（L）一单位投入量时，必须减少另一种 要素（K）的投入量。用公式表示为：
MRTSLK K L
（Marginal rate of technical substitution: MRTS)
长期：所有投入都是可变的
Q=f（K，L）
短期：至少有一种投入是不可变的， 假设资本不变，则：
Q=f（K，L）
生产要素
固定生产要素（固定、不变投入）
在短期内，生产者无法调整的那部分投入
可变生产要素（可变投入）
短期内可以自由调整的投入
Q f (L, K ) Q=f（L）
一种可变投入品的生产函数（短期）
劳动力数 资本数量
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
10
8
10
9
10
10
10
总产出 0 10 30 60 80 95
108 112 112 108 100
平均产出 － 10 15 20 20 19 18 16 14 12 10
边际产出 － 10 20 30 20 15 13 4 0 -4 -8
TP、MP和AP
L1
L2 L3
边际产量递减规律
边际产量（边际投入的报酬）
当包括技术在内的其它投入固定不变时，一种投入数 量增加最终会达到一个临界点，在它以后产出水平会 因为这一投入的增加而减少。
边际产量先递增、后递减 一般来讲，如果前提条件改变，将推迟边际产量递减
，但不会消除。
边际报酬递减法则
65
85
60
75
80
90
75
90
100 105
80
100 110 115
90
105 115 120
等产量曲线(Isoquant)
每年投入资本
5
E
4
3
A
B
2
C Q3=90
Q2=75
1
D
Q1=55
0
1
2
3
4
5 每年投入劳动
等产量曲线(Isoquant)
在一定技术条件下，可以生产出同等产量的两种 要素投入有效组合点的轨迹。
以一定量的投入所能生产的产品总量
平均产量（Average Product, AP）
每单位的要素投入平均生产的产量，等于总产量 除以要素的投入。劳动的平均产量AP=TP/L。
边际产量（Marginal Product, MP）
增加的一单位投入所引起的产量增加。劳动的边 际产量MP=ΔTP/ΔL。
生产
Q=f（x1, x2, x3, …, xn）期中xi是不同的生产投 入要素
Q=f（K，L）
Q:产量 K：资本 L:劳动
柯布 — 道格拉斯生产函数的一般形式： Q = AKaLβ
A代表技术水平，K，L分别代表资本和劳动， α 和 β 分别表示劳动和资本在生产过程中的作用。
短期和长期
生产函数的几个例子
线性生产函数：Q = f (K, L) = aK + bL
资本与劳动力之间可以完全替代
固定比例生产函数： Q = f (K, L) = min {aK, bL}
投入的生产要素必须保持固定的比例
2020/1/31
6
总产量、平均产量、边际产量
总产量（Total Product, TP）
dTP dL
1 L2 TP
0
dTP TP 0 dL L
MPL APL
2020/1/31
14
技术进步与资本增加对产量的影响
在技术进步的前提下，相同的劳动投入将生产出 更多的商品与服务
生产函数发生变化
在增加资本的前提下，相同的劳动投入也将生产 更多的商品与服务
生产函数没有发生变化，但是投入要素的搭配发生了 变化
到1/3。
1
K=2/3
L=1
K=1/3
Q2=90
L=1 L=1
Q1=75
0
1
2
3
4
5
每月投入劳动
MRTS递减规律
在产量或其它条件不变的情况下，如果不断增 加一种要素以替代另一生产要素，则一单位该 生产要素所能替代的另一种生产要素的数量将 不断减少。
可替代要素的投入与产出
如果存在两种可变生产要素的生产函数，并且两 种要素可以相互替代，
Q=f（K，L）
以追求最大利润为目标的厂商，总是力求选择最 佳的或最合适的生产要素组合，以最低成本生产 某一既定产量。
两种可变投入情况（长期）
劳动
资本
1
1
20
2
40
3
55
4
65
5
75
2
3
4
5
40
55
L1 L2 L3
生产的三个阶段
第I阶段：0 - L2
EL > 1
第II阶段：L2 - L3
0 < EL < 1
第III阶段： L3 –
EL < 0
L1 L2 L3
MP相交AP于其最高点的证明
在AP曲线的最高点，以下条件必然满足
TP
dAPL dL
d( L
dL
)
1 L
Q
Q
L MPL; K MPK
dK Q L MPL
边际技术替代率递减
每月投入资本
等产量线凸向原点，
几何含义表示曲线从 5
左到右的斜率绝对值
越变越小。即边际技 4
K=2
术替代率越变越小. 3 右图表Βιβλιοθήκη ，产出为75K=1 L=1
等产量线的MRTS从2 2
减少到1，到2/3，再
等产量线的斜率（绝对值）：在固定产出不变 的前提下，一种投入品替代另一种投入品的替 代比率。即MRTS。
边际技术替代率
MRTS LK
K L
MPL MPK
L对K的MRTS是其 边际产量的比率
Q f (L, K)
dQ Q dL Q dK L K
Q dQ 0;
Q dL dK 0 L K
生产的三个阶段
第I阶段：0 - L2
总产量递增 平均产量递增
第II阶段：L2 - L3
总产量递增 平均产量递减
第III阶段： L3 -
总产量递减 平均产量递减
L1 L2 L3
生产的三个阶段
劳动的投入产出 弹性
TP TP EL L / L MPL / APL