中考数学专题复习之利用一次函数解决实际问题

利用一次函数解决实际问题
◆类型一费用类问题
一、建立一次函数模型解决问题
1．某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨(含
14吨)，则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．
(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价；
(2)设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数解析式；
(3)小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？
二、分段函数问题
2．为更新果树品种，某果园计划新购进A，B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种树苗的单价为7元/棵，购买B种树苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系．
(1)求y与x的函数解析式；
(2)若在购买计划中，B种树苗的数量不超过35棵，但不少于A种树苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．
三、两个一次函数图象结合的问题
3．随着互联网的发展，互联网消费逐渐深入人们生活，如图是“滴滴顺风车”与“滴
滴快车”的行驶里程 x(公里)与计费 y(元)之间的函数关系图象，下列说法：①“快车”行
驶里程不超过 5 公里计费 8 元；②“顺风车”行驶里程超过2 公里的部分，每公里计费 1.2
元；③A 点的坐标为(6.5，10.4)；④从哈尔滨西站到会展中心的里程是 15 公里，则“顺风
车”要比“快车”少用 3.4 元．其中正确的个数有(
)
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
四、分类讨论思想
4．江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价
格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额 y 甲，y
乙
(单位：元)与原价 x(单位：元)之间的函数关系如图所示：
(1)直接写出 y 甲，y 乙关于 x 的函数关系式；
(2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？
◆类型二 路程类问题
一、两个一次函数图象结合的问题
5．A ，B 两地相距 60km ，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，图中l 1，l 2 表示
两人离 A 地的距离 s(km )与时间 t(h )的关系，请结合图象解答下列问题：
(1)表示乙离 A 地的距离与时间关系的图象是________(填 l 1 或 l 2)；甲的速度是
________km /h ，乙的速度是________km /h ；
(2)甲出发多长时间两人恰好相距 5km?
二、分段函数问题
6．暑假期间，小刚一家乘车去离家380km的某景区旅游，他们离家的距离y(km)与汽车行驶的时间x(h)之间的函数图象如图所示．
(1)从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间？
(2)求线段AB对应的函数解析式；
(3)小刚一家出发2.5h后离目的地有多远？
⎪ ⎪ ⎩ ⎩
◆类型三 工程类问题
一、两个一次函数图象结合的问题
7．甲、乙两工程队分别同时开挖两条 600 米长的管道，所挖管道长度 y(米)与挖掘时
间 x(天)之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖 100 米；②乙队开挖 2 天后，
每天挖 50 米；③甲队比乙队提前 3 天完成任务；④当 x ＝2 或 6 时，甲、乙两队所挖管道长
度都相差 100 米．正确的有________(填序号)．
二、分段函数问题
8．根据卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水、清洗．某游泳池周五早上 8：00
打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳
池的水在 11：30 全部排完．游泳池内的水量 Q(m 3)和开始排水后的时间 t(h )之间的函数图
象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)暂停排水需要多少时间？排水孔的排水速度是多少？
(2)当 2≤t ≤3.5 时，求 Q 关于 t 的函数解析式．
参考答案与解析
1．解：(1)设每吨水的政府补贴优惠价为 m 元，市场价为 n 元．由题意得
⎧14m ＋（20－14）n ＝49， ⎧m ＝2，
⎨
解得⎨ ⎪14m ＋（18－14）n ＝42， ⎪n ＝3.5.
答：每吨水的政府补贴优惠价为 2 元，市场价为 3.5 元．
⎧⎪2x （0≤x ≤14）
， ⎧⎪20k ＋b ＝160， ⎧⎪k ＝6.4，
⎧⎪8x （0≤x ≤20）
， ⎧⎪x ≤35，
⎪⎩x ≥45－x ，∴22.5
⎩ ⎩ ⎩ ⎩ ⎨
解得⎨ 所以 y 乙＝⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎩
(2)当 0≤x ≤14 时，y ＝2x ；当 x ＞14 时，y ＝14×2＋(x －14)×3.5＝3.5x －21.综上所
述，y ＝⎨
⎪3.5x －21（x >14）.
(3)∵26＞14，∴小明家 5 月份水费为 3.5×26－21＝70(元)．
答：小明家 5 月份应交水费 70 元．
2．解：(1)当 0≤x ≤20 时，设 y 与 x 的函数解析式为 y ＝ax ，把(20，160)代入 y ＝ax
中，得 a ＝8.即 y 与 x 的函数解析式为 y ＝8x ；当 x >20 时，设 y 与 x 的函数解析式为 y ＝kx
＋b ，把(20，160)，(40，288)代入 y ＝kx ＋b 中，得⎨ 解得⎨ 即 y 与
⎪40k ＋b ＝288， ⎪b ＝32，
x 的函数解析式为 y ＝6.4x ＋32.综上所述，y 与 x 的函数解析式为 y ＝⎨
⎪6.4x ＋32（x >20）.
(2)∵B 种树苗的数量不超过 35 棵，但不少于 A 种树苗的数量，∴⎨
≤x ≤35.设总费用为 W 元，则 W ＝6.4x ＋32＋7(45－x )＝－0.6x ＋347.∵k ＝－0.6<0，∴y
随 x 的增大而减小，∴当 x ＝35，45－x ＝10 时，总费用最低，即购买 B 种树苗 35 棵，A 种
树苗 10 棵时，总费用最低，W 最低＝－0.6×35＋347＝326(元)．
3．D
4．解：(1)设 y 甲＝kx ，把(2000，1600)代入，得 2000k ＝1600，解得 k ＝0.8，所以 y
甲
＝0.8x .当 0＜x ＜2000 时，设 y 乙＝ax ，把(2000，2000)代入，得 2000k ＝2000，解得 k ＝1，
所以 y 乙＝x .当 x ≥2000 时，设 y 乙＝mx ＋n ，把(2000，2000)，(4000，3400)代入，得
⎧2000m ＋n ＝2000， ⎧m ＝0.7， ⎧x （0<x <2000）， ⎪4000m ＋n ＝3400， ⎪n ＝600， ⎪0.7x ＋600（x ≥2000）.
(2)当 0＜x ＜2000 时，0.8x ＜x ，到甲商店购买更省钱；当 x ≥2000 时，若到甲商店购
买更省钱，则 0.8x ＜0.7x ＋600，解得 x ＜6000；若到乙商店购买更省钱，则 0.8x ＞0.7x ＋
600，解得 x ＞6000；若到甲、乙两商店购买一样省钱，则 0.8x ＝0.7x ＋600，解得 x ＝6000；
故当购买金额按原价小于 6000 元时，到甲商店购买更省钱；当购买金额按原价大于 6000
元时，到乙商店购买更省钱；当购买金额按原价等于 6000 元时，到甲、乙两商店购买花钱
一样．
60
5．解：(1)l 2
30 20 解析：由题意可知，乙的函数图象是 l 2，甲的速度是 2 ＝
⎧k ＋b
＝80， ⎧k ＝120，
⎧2k ＋b ＝450， ⎧k ＝－300，
⎩ ⎩ ⎩ ⎩
60
30(km/h)，乙的速度是 3 ＝20(km/h)．故答案为 l 2，30，20.
(2)设甲出发 x h 两人恰好相距 5km.由题意 30x ＋20(x －0.5)＋5＝60 或 30x ＋20(x －0.5)
－5＝60，解得 x ＝1.3 或 1.5.
答：甲出发 1.3h 或 1.5h 两人恰好相距 5km.
6．解：(1)从小刚家到该景区乘车一共用了 4h.
(2)设线段 AB 对应的函数解析式为 y ＝kx ＋b .把点 A (1，80)，B (3，320)代入得
⎨
解得⎨ ∴y ＝120x －40(1≤x ≤3)． ⎪3k ＋b ＝320， ⎪b ＝－40.
(3)当 x ＝2.5 时，y ＝120×2.5－40＝260，380－260＝120(km)．故小刚一家出发 2.5h
后离目的地 120km.
7．①②④
8．解：(1)暂停排水需要的时间为 2－1.5＝0.5(h)．∵排水时间为 3.5－0.5＝3(h)，
一共排水 900m 3，∴排水孔的排水速度是 900÷3＝300(m 3/h)．
(2)当 2≤t ≤3.5 时，设 Q 关于 t 的函数解析式为 Q ＝kt ＋b ，易知图象过点(3.5，0)．∵
当 t ＝1.5 时，排水 300×1.5＝450(m 3)，此时 Q ＝900－450＝450，∴点(2，450)在直线 Q
＝kt ＋b 上．把(2，450)，(3.5，0)代入 Q ＝kt ＋b ，得⎨ 解得⎨ ∴Q
⎪3.5k ＋b ＝0， ⎪b ＝1050，
关于 t 的函数解析式为 Q ＝－300t ＋1050.。