四川省内江市2020学年高一数学下学期期末考试试题 文
内江市2020学年度第二学期高一期末检测题
数学（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知数列1，...是它的（ ）
A ．第20项
B ．第21项
C ．第22项
D ．第23项
2.设()1,2a =，()1,1b =，c a kb =+，若b c ⊥，则实数k 的值等于（ ）
A ．32-
B ．53-
C ．53
D ．32
3.函数3sin 4cos y x x =+的最大值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．7
4.下列命题正确的是（ ）
A ．a b a b =⇔=
B ．a b a b >⇔>
C. 00a a =⇔= D ．//a b a b =⇔
5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为12n n S e -=-，则e =（ ）
A ．2
B ．4 C.12 D ．14 6.已知不等式250ax x b ++>的解集是{}23x x <<，则不等式250bx x a -+>的解集是（ ） A ．{3x x <-或}2x >- B ．12
x x ⎧
<-⎨⎩或13x ⎫>-⎬⎭ C.{}32x x -<<- D ．1123x x ⎧
⎫-<<-⎨⎬⎩⎭
7. 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺。
大鼠日自倍，小鼠日自半。
问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙。
大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，n S 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则5S =（ ）
A ．153116
B ．153216 C.153316 D ．1262
8.在ABC ∆中，60A ∠=︒，a =b =，则B ∠=（ ） A ．45︒ B ．135︒ C.45︒或135︒ D ．以上答案都不对
9.若0ab >且直线20ax by +-=过点()2,1P ，则
12a b +的最小值为（ ） A ．92 B ．4 C.72
D ．3 10.已知点P 是边长为4的正ABC ∆的边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+（ ）
A ．最大值为16
B ．是定值24
C. 最小值为4 D ．是定值4
11.在ABC ∆中，已知2sin sin cos 2
A B C =，则ABC ∆的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形
C. 等腰或直角三角形 D ．等边三角形
12.已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 的对边，若90A ∠=︒，3b =，4c =，
ABC ∆内有一点P 使得PA 、PB 、PC 两两夹角为120︒，则222PA PB PC ++=（ ）
A ．25+
B ．25-24+．24-第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.计算sin15cos15︒+︒= ．
14.已知()3,4a =，//a b ，且10b =，则b = ．
15.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，若2a ，3a ，4a 成等比数列，则数列{}n a 的前6项的和为 ． 16.在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若a 、b 、c 依次成等比数列，则11sin tan tan A A B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的取值范围是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知sin cos 1sin cos 3
αααα+=-，其中α为第二象限角. 求（1）tan α的值；
（2）先化简1sin 1sin 1sin 1sin αααα+---+，再求值. 18.设数列{}n a 是等差数列，且510a =，1020a =.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T . 19. 已知向量()cos ,sin a x x =，()sin ,cos b x x =，且0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）求a b ⋅的取值范围；
（2）求函数()2f x a b a b =⋅-+的最大值.
20.在ABC ∆中，已知()()()sin sin sin sin b B C a c A C =+=-+（其中A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ）
（1）求角A 的大小；
（2）若3a =，求ABC ∆周长的取值范围. 21. 如图，角A 、B 、C 、D 为平面四边形ABCD 的四个内角.
（1）证明：1cos tan 2sin A A A
-=； （2）若180A C +=︒，6AB =，5AD =，4CD =，3BC =，求tan
tan 22A C +的值. 22.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且()()12*n n n a S n N +=∈，数列{}n b 满足112b =，214
b =，对任意*n N ∈，都有211n n n b b b ++=. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；在
（2）令1122...n n n T a b a b a b =+++.求证：122
n T ≤<；。
四川省内江市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案
内江高2026届高一下学期半期考试题数学（答案在最后）1、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.2、答第Ⅰ卷时，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔记清楚；不能答在试题卷上.3、考试结束后，监考人将答题卡收回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题有且只有一个正确答案.1.sin 55cos 25cos55sin 25-=（）A.12B.2C.12-D.【答案】A 【解析】【分析】利用两角差的正弦公式即可.【详解】()2sin 55cos 25cos55sin 2501sin 5525sin 3-=-==.故选：A.2.已知a = ，b = ，a 与b 的夹角是150 ，则a b ⋅=（）A.-B.C.-D.【答案】C 【解析】【分析】根据数量积定义即可计算.【详解】由题意，cos ,cos150a b a b a b ⋅===-.故选：C3.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =，1b =，45A =o ，则B =（）A.30B.45C.60D.90【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理求解.【详解】解：因为在ABC 中，a =1b =，45A =o ，由正弦定理得sin sin a bA B =，则sin 1sin 2b A B a ==，因为a b >，所以A B >，则30B = ，故选：A4.如图，向量AB a =，AC b = ，CD c = ，则向量BD 可以表示为（）A.a b c +-r r rB.a b c-+C.b a c-+ D.b a c-- 【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的加法减法运算法则即可求解.【详解】由题图可知，c B A b D BC CD AC B CD a -+=+=-+=.故选：C.5.在ABC 中，已知tan A ，tan B 是关于x 的方程2320x x -+=，则tan C =（）A.3B.3- C.1D.1-【答案】A 【解析】【分析】应用韦达定理，然后由诱导公式、两角和的正切公式计算．【详解】由已知tan tan 3A B +=，tan tan 2A B =，因为,,A B C 是三角形内角，则()()tan tan 3tan tan tan 31tan tan 12A B C A B A B A B π+=--=-+=-=-=--.故选：A.6.为了得到函数πsin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（）A.向左平移π5个单位长度 B.向左平移π10个单位长度C.向右平移π5个单位长度 D.向右平移π10个单位长度【答案】D 【解析】【分析】运用函数图像平移规律“左加右减”即可解决.【详解】运用函数图像平移规律“左加右减”,为了得到函数ππsin 2sin 2()510y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向右平移π10个单位长度即可.故选：D ．7.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B A +=，若D 是BC 的中点，2AD =，3b =，则c =（）A.3B.4C.5D.6【答案】B 【解析】【分析】由正弦定理、商数关系得2π3A =，分解向量得()12AD AB AC =+ ，结合数量积的运算律即可列方程求解.【详解】因为sin cos 0a B A +=，所以sin sin cos 0A B B A =，因为sin 0B ≠，所以tan A =，因为0πA <<，所以2π3A =，若D 是BC 的中点，则()12AD AB AC =+ ，两边平方可得()2213144c b bc =+-，即2213c b bc +-=，若3b =，则2340c c --=，解得4c =或1c =-（舍去）.故选：B.8.如图，在扇形ABC 中，半径2AB =，圆心角60CAB ∠= ，P 是扇形弧上的动点，过P 作PQ AB⊥于Q ，作PR AC ⊥于R ，记PAB θ∠=，()RQ fθ=，则()f θ（）A.在π0,6⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增B.在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C.D.是定值1【答案】C 【解析】【分析】由题意()2cos ,2cos 60AQ AR θθ==-，结合余弦定理，三角恒等变换即可化简求解.【详解】由题意()2cos ,2cos 60AQ AR θθ==-，由余弦定理有()RQ f θ=====π3θ=<<，故ABD 错误，C 正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：关键在于得到()RQ f θ==()2cos ,2cos 60AQ AR θθ==- ，由此即可顺利得解.二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.下列条件能使//a b的是（）A.||||a b = B.a b=C.||0a = D.(2,4)a =-r ，(2,0)b =【答案】BC 【解析】【分析】由向量的模相等、向量相等、向量的模为0以及向量共线定理即可逐一判断各个选项.【详解】对于A ，向量模相等不一定能保证向量共线，故A 错误；对于B ，a b =能保证向量共线，且它们的模也相等，故B 正确；对于C ，||0a = 等价于a是零向量，而零向量可以和任何向量共线，故C 正确；对于D ，不存在任何实数λ使得a b λ= ，即方程组2240λ-=⎧⎨=⎩不可能成立，这意味着,a b 不能共线，故D错误.故选：BC.10.已知函数()πsin 24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，下列四个结论中，正确的有（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.函数()f x 的图象关于直线π8x =对称C.函数()f x 的图象关于点3π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称 D.函数()f x 在π3π,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】AD 【解析】【分析】利用正弦函数的性质，结合函数解析式，研究函数的周期、对称轴对称中心和单调区间.【详解】函数()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最小正周期2ππ2T ==，A 选项正确；由()ππ2πZ 42x k k -=+∈，解得函数()f x 的图象的对称轴方程为()3ππZ 82k x k =+∈，当0k =时，得函数()f x 的图象关于直线3π8x =对称，BC 选项错误；π3π,88x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2,422x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是正弦函数的单调递增区间，所以函数()f x 在π3π,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，D 选项正确.故选：AD11.下列结论正确的是（）A.()()()22cos cos sin sin 22cos αβαβαβ+++=++B.21cos 2tan 1cos 2θθθ-=+C.若4sin 25θ=，则449sin cos 25θθ+=D.22sin()sin()sin sin +-=-αβαβαβ【答案】BD 【解析】【分析】A.利用平方关系和两角和的余弦公式求解判断；B.利用二倍角的余弦公式求解判断；C.利用平方关系和二倍角的正弦公式求解判断；D.利用两角和与差的正弦公式求解判断.【详解】A.由平方关系和两角和的余弦公式得：()()()22cos cos sin sin 22cos αβαβαβ+++=+-，故错误；B.()()222112sin 1cos 2tan 1cos 212cos 1θθθθθ---==++-，故正确；C.若4sin 25θ=，则()24422222117sin cos sin cos 2sin cos 1sin 2225θθθθθθθ+=+-⋅=-=，故错误；D.()()22sin()sin()sin cos cos sin αβαβαβαβ+-=-，()()222222sin 1sin sin 1sin sin sin αββααβ=---=-，故正确；故选：BD12.若平面向量a ，b ，c满足||1a =r ，||1b = ，||3c = ，且a c b c ⋅=⋅ ，则（）A.||a b c ++的最大值为5 B.||a b c ++的最小值为2C.||a b c -+D.||a b c -+的最小值为2【答案】AC 【解析】【分析】由题意得,,a c b c =，从而引入参数[],,,0,πa c b c θθ==∈ ，使得()()()()()()3,0,cos ,sin ,cos ,sin cos ,sin c a b θθθθθθ===--=-满足题意，将向量的模用复合型三角函数表示即可求解.【详解】若平面向量a ，b ，c满足||1a =r，||1b = ，||3c =，且a c b c ⋅=⋅，则3cos ,3cos ,a c b c = ，即cos ,cos ,a c b c =，,,a c b c =，不妨设[],,,0,πa c b c θθ==∈，()()()()()()3,0,cos ,sin ,cos ,sin cos ,sin c a b θθθθθθ===--=-，所以()2cos 3,0a b c θ++=+，2cos 3a b c θ++=+ ，()3,2sin a b c θ-+=，a b c -+= ，因为[]0,πθ∈，所以cos ,sin θθ的取值范围分别为[][]1,1,0,1-，所以2cos 3a b c θ++=+，a b c -+= 的取值范围分别为[]1,5,⎡⎣，故AC 正确，BD 错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：关键是设出()()()()()()3,0,cos ,sin ,cos ,sin cos ,sin c a b θθθθθθ===--=-，结合三角函数性质以及模的计算公式即可顺利得解.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，且三个顶点坐标分别为(2,1)A -，(1,3)B -，(2,2)D ，则顶点C 的坐标为_________.【答案】5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意2AB DC =，结合向量的线性运算即可求解.【详解】由题意2AB DC =，设顶点C 的坐标为(),x y ，则()()1,2,2,2AB DC x y ==--，所以()()122222x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得523x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以顶点C 的坐标为5,32⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：5,32⎛⎫⎪⎝⎭.14.若sin 2αα=，π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α=_________.【答案】1-【解析】【分析】变换得到2sin cos ααα=，确定π4α=-，计算得到答案.【详解】sin 22sin cos αααα==，因为π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则cos 0α≠，2sin 2α=-，则π4α=-，故tan 1α=-.故答案为：1-.15.已知a ，b ，c 均为单位向量，且满足3450a b c ++=，则cos ,b c = _________.【答案】45-##0.8-【解析】【分析】由题意453b c a +=-，两边平方，结合数量积的定义、运算律即可求解.【详解】由题意453b c a +=- ，所以162540cos ,9b c ++= ，解得4cos ,5b c =- .故答案为：45-.16.在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22a c a b -=-，且1b =，则C =_________，ABC 面积的取值范围为_________.【答案】①.π3②.,82⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】在锐角ABC 中，利用余弦定理求解；先由余弦定理用a 表示c ，再根据ABC 是锐角三角形得到a 的范围，然后利用三角形的面积公式求解.【详解】解：在锐角ABC 中，22a c a b -=-，且1b =，由余弦定理得：2221cos 22a b c C ab +-==，解得π3C =；由余弦定理得22222cos 1c a b ab C a a =+-=+-，因为ABC 是锐角三角形，所以2222220a c b c b a ⎧+->⎨+->⎩，即22020a a a ⎧->⎨->⎩，解得122a <<，所以1sin 2482ABC S ab C ⎛⎫==∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为：π3，,82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭四、解答题：共70分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知1e ，2e是两个不共线的向量.（1）若1232AB e e =- ，124BC e e =+ ，1289CD e e =-，求证：A ，B ，D 三点共线；（2）若122e e λ+ 和12e e λ+共线，求实数λ的值．【答案】（1）证明见解析；（2）2λ=±【解析】【分析】（1）求出BD ，找到使AB BD λ=成立的λ即可证明；（2）通过平行，必存在实数k 使()12122k e e e e λλ=++，列方程组求出实数λ的值.【小问1详解】()121212489128BD BC CD e e e e e e =+=++-=- ，又1232AB e e =- ，4AB BD ∴= ，AB ∴ //BD ，又AB BD B = ，∴A ，B ，D 三点共线；【小问2详解】向量122e e λ+和12e e λ+共线，∴存在实数k 使()1212122e e ke k e k e e λλλ++==+，又1e ，2e 是不共线，21k k λλ=⎧∴⎨=⎩，解得22λ=±.18.已知cos α5=，sin （α﹣β）10=，且α、β∈（0，2π）．求：（Ⅰ）cos （2α﹣β）的值；（Ⅱ）β的值．【答案】（Ⅰ）210；（Ⅱ）4π．【解析】【分析】（Ⅰ）由α，β的范围求出α﹣β的范围，由题意和平方关系求出sin α和cos （α﹣β），由两角和的余弦公式求出cos （2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]的值；（Ⅱ）由两角差的余弦公式求出cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]的值，再由β的范围求出β的值．【详解】（Ⅰ）∵02παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，∴α﹣β∈（2π-，2π），∵cos 5α=，()sin 10αβ-=，∴sin α255==，cos （α﹣β）31010=，∴cos （2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]＝cos （α﹣β）cosα﹣sin （α﹣β）sin α31051025210510510=⨯-⨯=，（Ⅱ）由（Ⅰ）得，cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cos αcos （α﹣β）+sinαsin （α﹣β）5105102=⨯+=，又∵02πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴β4π=．【点睛】关键点点睛：拆角2()αβαβα-=-+，()βααβ=--是本题解题关键.19.已知函数ππ()sin sin cos 66f x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（1）求()f x 的单调递减区间；（2）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2f A =，a =5b c +=，求ABC的面积S .【答案】（1）π4π[2π,2π](Z)33k k k ++∈（2）2【解析】【分析】（1）运用两角和差的正弦公式，辅助角公式化简，整体代入求出单调减区间；（2）求出角度π3A =，后运用余弦定理，借助已知的方程，联立求出6bc =，最后用面积公式求解即可【小问1详解】ππ()sin sin cos 66f x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，运用两角和差正弦得到，3131()sin cos sin cos cos cos 2222f x x x x x x x x =++-+=+,运用辅助角公式得到，π()2sin(6f x x =+.令ππ3π2π2π,Z 262k x k k +≤+≤+∈，解得π4π2π2π,Z 33k x k k +≤≤+∈.故()f x 的单调递减区间为π4π[2π,2π](Z)33k k k ++∈【小问2详解】()2f A =，则π()2sin()26f x A =+=，即πsin()16A +=，(0,π)A ∈，则π3A =.由余弦定理知道2222cos a b c bc A =+-，即227b c bc =+-.（∗）而5b c +=，两边平方得到22225b c bc ++=与（∗）联立得到6bc =.故ABC 的面积11333sin 62222S bc A ==⨯⨯=.20.如图，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，33BC AD ==，AB BC ⊥，点E 为CD 的中点，BE 与AC 相交于F .（1）当2AB =时，求BE AC ⋅；（2）设BF BE λ= ，求λ的值.【答案】（1）4（2）67【解析】【分析】（1）建立适当的平面直角坐标系，得到()()2,1,3,2BE AC ==- ，结合数量积的坐标表示即可得解；（2）分解向量得232BF BC BA λλ=+ ，结合三点共线的推论即可列方程求解.【小问1详解】因为AB BC ⊥，所以以点B 为坐标原点，,BC BA 所在直线分别为,x y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，若2AB =，33BC AD ==，则()()()()()0,0,0,2,3,0,1,2,2,1B A C D E ，所以()()2,1,3,2BE AC ==- ，所以()23124BE AC ⋅=⨯+⨯-= ；【小问2详解】设2AB a =，20a >，则()1,2D a ，()3,0C ，()0,2A a ，则()2,E a ，()3,0BC = ，()0,2BA a = ，()2,BE a = 由题意()()()()222,2,3,00,23232BF BE a a a BC BA λλλλλλλλ====+=+ ，因为,,A C F 三点共线，所以2132λλ+=，解得67λ=.21.已知函数()sin(2)f x A x ϕ=+（0A >，||2ϕπ<）的一个最高点的坐标为π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭，（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 的图象上各点的横坐标变为原来的1ω（0ω>）倍，纵坐标不变，得到()g x 的图象，且()g x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少有2个零点，求ω的取值范围；（3）在（2）的条件下，当ω取得最小值时，对12π2π,,515x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，都有212()()2g x g x t t -≤+成立，求t 的取值范围.【答案】（1）()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（3）(][),31,-∞-⋃+∞【解析】【分析】（1）由题意得关于,A ϕ的方程组即可求解；（2）首先得()g x 表达式，进一步根据已知条件列出关于ω的不等式组即可求解；（3）首先求得()g x 的最值，进而得关于t 的不等式即可求解.【小问1详解】由题意ππ2,22π,Z 122A k k ϕ=⨯+=+∈，又||2ϕπ<，所以π2,3A ϕ==，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；【小问2详解】由题意()()π2sin 2,03g x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，当2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()41πππ2,333x ωω+⎡⎤+∈⎢⎣⎦，()g x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少有2个零点，则()41π2π30ωω⎧+≥⎪⎨⎪>⎩，解得54ω≥，所以ω的取值范围为5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；【小问3详解】ω的最小值为54，即()5π2sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为当π2π,515x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，5ππ2π,2363x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，()()max min 2,1g x g x ==-，所以12()()g x g x -的最大值为3，故223t t +≥，()()310t t +-≥，解得：1t ≥或3t £-.22.为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ，并修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），其中AB =2AD =千米，BCD △是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．设BAD θ∠=，π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）当sin 5θ=时，求：①小路AC 的长度；②草坪ABCD 的面积；（2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．【答案】（1）5AC =，172ABCD S =（2【解析】【分析】（1）借助余弦定理与正弦定理，结合面积公式计算即可得；（2）借助θ表示出ABD S 及BCD S △后，结合辅助角公式与余弦定理计算即可得.【小问1详解】由sin 5θ=，π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故cos 5θ==-，由余弦定理可得2222cos 54413BD AB AD AB AD θ=+-⋅=++=，即BD CD ==sin sin AB BD ADB θ=∠，即25213sin sin513AB ADB BD θ∠=⋅==，则π213cos cos sin 213ADC ADB ADB ⎛⎫∠=+∠=-∠=- ⎪⎝⎭，故有2222cos 413222513AC AD CD AD CD ADC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，故5AC =，2211125117sin 2222522ABCD ABD BCDS S S AB AD BD θ=+=⋅+=⨯+⨯= ；【小问2详解】1sin2ABD S AB AD θθ=⋅= ，2222cos 549BD AB AD AB AD θθθ=+-⋅=+-=-，故21922BCD S BD θ==- ，则()995sin 22ABCD ABD BCD S S S θθθϕ=+=+-=-+ ，其中sin 5ϕ=，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则当π2θϕ-=，即πcos cos sin 25θϕϕ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭时，草坪ABCD 的面积最大，此时29175BD ⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭，即此时小路BD .。
四川省内江市重点中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题及参考答案
内江市重点中学2022—2023学年高一（下）期中考试数学试题考试时间：120分钟 满分：150分第I 卷选择题（满分60分）一、单选题（每题5分，共40分）1.已知向量a ，b 满足5a =，6b =，6a b ⋅=-，则cos ,a b =（ ） A. 45-B.45C.15D. 15-2.已知1sin 123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5cos 12πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.13B. 13-C.223D. 223-3.在ABC △中，()310AE AB AC =+，D 为BC 边的中点，则（ ） A. 37AE ED = B. 73AE ED = C. 23AE ED =D. 32AE ED =4.数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波组合而成的复合音.如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为（ ）A. 11sin sin 2sin 323y x x x =++ B. 11sin sin 2sin 323y x x x =-- C. 11sin cos 2cos323y x x x =++D. 11cos cos 2cos323y x x x =++5.已知函数()()cos 22sin cos R 344f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，现给出下列四个结论，其中正确的是（ ） A.函数()f x 的最小正周期为2πB.函数()f x 的最大值为2C.函数()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度；所得图象对应的解析式为()sin 2g x x = 6.若函数()2sin 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在最小值-2，则非零实数ω的取值范围是（ ） A. (],1-∞-B. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. (]4,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D. (][),12,-∞-⋃+∞7.已知向量a ，b 满足2a =，2b =，且2a b ⋅=-，c 为任意向量，则()()a cb c-⋅-的最小值为（ ） A.-2B. 52-C.-3D. 72-8.人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点()11,A x y ，()22,B x y ，O 为坐标原点，余弦相似度similarity 为向量OA ，OB 夹角的余弦值，记作()cos ,A B ，余弦距离为()1cos ,A B -.已知()sin ,cos P αα，()sin ,cos Q ββ，()sin ,cos R αα-，若P ，Q 的余弦距离为13，Q ，R 的余弦距离为12，则tan tan αβ⋅=（ ） A.7 B. 17 C.4 D. 14二、多选题（全选对得5分，少选得2分，选错不得分，每题5分，共20分）9.下列说法正确的是（ ） A.若AB BC ⊥，则0AB BC ⋅= B.零向量与任意向量平行C. 2AB BC CD AD ++=D.在正六边形ABCDEF 中，AB DE =10.若函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<在一个周期内的图象如图所示，则（ ）A. ()f x 的最小正周期为3πB. ()f x 的增区间是()53,344k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. ()()50f x f x π-+-=D.将2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的32倍（纵坐标不变）得到()f x 的图象11. ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列命题为真命题的是（ ）. A.若A B >，则sin sin A B >B.若222sin sin sin A B C +<，则ABC △是钝角三角形 C.若cos cos a A b B =，则ABC △为等腰三角形D.若22AB =，45B =︒，3AC =，则满足条件的三角形有且只有一个12.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济环保，至今还在农业生产中使用.如图，一个半径为6米的筒车逆时针匀速转动，其圆心O 距离水面3米，已知筒车每分钟转动1圈，如果当筒车上一盛水桶M （视为质点）从水中浮现时（图中点0P ）开始计时，经过t 秒后，盛水桶M 运动到P 点，则下列说法正确的是（ ）A.当10t =秒时，063PP =米；B.在转动一周内，盛水桶M 到水面的距离不低于6米的持续时间为20秒；C.当[]55,75t ∈时，盛水桶M距水面的最大距离为3+D.盛水桶M 运动15秒后筒车上另一盛水桶恰好露出水面，则转动中两盛水桶高度差的最大值为.第Ⅱ卷 非选择题（满分90分）三、填空题（每题5分，共20分）13.已知在ABC △中，7813sin sin sin A B C==，则角C 的大小为________. 14.已知()1,1A ，()2,1B ，()1,2C --，()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影向量的坐标为_____.15.已知ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1cos 3A =，23b c =，且ABC △，则a =___________. 16.下列命题：①若()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =---，ABC ∠为锐角，则实数m 的取值范围是34m >-②若非零向量0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC △为等边三角形 ③若单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则当()122e te t R +∈取最小值时，1t =④已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，()0,λ∈+∞，则动点P 一定通过ABC △的重心⑤如果ABC △内接于半径为R 的圆，且())222sin sin sinR A C b B -=-，则ABC △2其中正确的序号为_______________________.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17.已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()1,3a =-，()2,4b =-，()2,c m =. （1）若()a b c ⊥+，求c ；（2）若ka b +与2a b -共线，求k 的值.18.已知函数()()23cos cos 2cos 2f x x x x ππ⎛⎫=---⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的对称轴和对称中心； （2）若0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，32310f θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 19.已知函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最大值及相应的x 值； （2）设函数()4g x f x π⎛⎫=⎪⎝⎭，如图，点P ，M ，N 分别是函数()y g x =图像的零值点、最高点和最低点，求cos MPN ∠的值.20.已知平面向量2sin 2,26m x π⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,sin n x =，()f x m n =⋅， （1）求函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图象所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向下平移1个单位得到()g x 的图象，若()g x m =在5,824x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恰有2个解，求m 的取值范围.21.在①()22cos cos 2c ab c a B b A b +=-+，②()()()sin sin sin sin b c B C a A B +⋅-=--，③)sin 3cos b C a c B =-⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知______. （1）求角C 的大小；（2）若23c =，求4sin B a -的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.22.如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O 为圆心，直径AB 的长为2km ，C ，D 两点在半圆弧上，且BC CD =，设COB θ∠=； （1）当12πθ=时，求四边形ABCD 的面积；（2）若要在景区内铺设一条由线段AB ，BC ，CD 和DA 组成的观光道路，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求出l 的最大值.数学参考答案1.D2.B3.C4.A5.C6.C7.B8.A9.AB 10.ABD 11.ABD 12.BCD12.【详解】解：以水轮所在平面为坐标平面，以水轮轴心O 为坐标原点，以平行于水面的直线为x 轴建立平面直角坐标系，点P 距离水面的高度h 关于时间t 的函数为()()sin h f t A t B ωϕ==++.则93A B A B +=⎧⎨-+=-⎩，解6A =，3B =，又水轮每分钟转动一周，则2ππ6030ω==，∴()π6sin 330f t t ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭， 由()06sin 30f ϕ=+=，得1sin 2ϕ=-，∴π6ϕ=-，则()ππ6sin 3306f t t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭. 对于A ：当10t =时，0π3POP ∠=，又6OP =，∴0ππ6sin 6sin 666PP =+=，故A 错误；对于B ：令()ππ6sin 36306f t t ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭，则ππ1sin 3062t ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，所以πππ5π63066t ≤-≤， 解得1030t ≤≤，则在转动一圈内，盛水桶M 到水面的距离不低于6米以上的持续时间为301020-=秒，故B 正确；对于C ，当[]55,75t ∈，则ππ5π7π30633,t ⎡⎤∈⎢⎣-⎥⎦，则ππsin 306t ⎡∈⎢⎭⎣⎛⎫- ⎪⎝⎦， 所以()3f t ⎡⎤∈-⎣⎦，故C 正确；设盛水桶M 运动时间为1t ，则另一桶为115t -， 所以()()()1111ππππ6sin 36s 3151in 3063056h f t f t t t ⎛⎫⎡⎤-+---⎪⎢⎥⎝⎭=⎣--⎦=-△1111πππππππππ6sin 6sin 6sin 6cos 3063062306306t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣=⎦=11πππππ30643012t t ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭=，当1ππsin 13012t ⎛⎫+=⎪⎝⎭时()max h =△，故D 正确；故选：BCD. 13.120°/23π14. 46,1313⎛⎫⎪⎝⎭15.2 16.②④⑤ 16【详解】对于①，由()()()3,4,6,3,5,3OA OB OC m m =-=-=---，得()3,1BA OA OB =-=--，()1,BC OC OB m m =-=---，因为ABC ∠为锐角，故0BA BC ⋅>且,BA BC 不共线，所以()()310310m m m m ---+>⎧⎪⎨+--≠⎪⎩，解得34m >-且12m ≠，故①错误；对于②，因为非零向量0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，所以BAC ∠的平分线与BC 垂直，ABC △为等腰三角形，又12AB AC ABAC⋅=，所以3BAC π∠=，所以ABC △为等边三角形，故②正确； 对于③，()222222212112212444424132e te e te e t e t t t t t +=+⋅+=+⨯+=++=++，当1t =-时，()122e te t R +∈取得最小值，故③错误；对于④，已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，()0,λ∈+∞，记BC 中点为E ，则2AB AC AE +=，则2AP AE λ=，AE 直线过重心，故P 一定过重心；故④正确对于⑤∵())2sin 2sin 2s in R A C b B -=-，∴根据正弦定理，得)222a c b b b -=-=-，可得222a b c +-=∴cos 2C =，∵角C 为三角形的内角，∴角C 的大小为4π∵n 2si 4c R π==∴由余弦定理2222cos c a b a b C =+⋅-，可得(222222R a b b ab ab =+⋅≥=-，当且仅当a b =时等号成立∴(222ab R ≤=+∴(22111sin 22222ABC S ab C R R =≤⋅=△，即ABC △面积的最大值为212R ；故⑤正确， 故答案为②④⑤17.（1）（2）-2.【详解】（1）因为()2,4b =-，()2,c m =，∴()0,4b c m +=+， ∵()a b c ⊥+，()1,3a =-，∴()()340a b c m ⋅+=+=， ∴4m =-，∴()2,4c =-，∴25c =；（2）由已知：()2,34ka b k k +=--+，()20,2a b -=， ∴()()220340k k --⨯-⨯+=，∴2k =-. 18.（1）23k x ππ=+，k Z ∈，1,2122k ππ⎛⎫+-⎪⎝⎭（2）7 【详解】解：（1）由已知1cos 2111()cos 2cos 2sin 2222262x f x x x x x x π+⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭， 令262x k πππ-=+，则23k x ππ=+，k Z ∈. 所以()f x 的对称轴为23k x ππ=+，k Z ∈. 令26x k ππ-=，则212k x ππ=+，k Z ∈ 所以函数()f x 的对称中心为1,2122k ππ⎛⎫+-⎪⎝⎭，k Z ∈ （2）21113sin sin cos 2336222210f θπθπθθππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+--=+-=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴4cos 5θ= 又0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴4sin ,tan 335θθ==， 1tan 1tan 741tan 34413θπθθ++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-.19.（1）1；,Z 12x k k ππ=+∈（2）5【详解】（1）解：由题意，函数()11sin2cos2sin2sin2sin 222223f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭ 所以函数()f x 的最大值为()max 1f x =，此时2232x k πππ+=+，即,Z 12x k k ππ=+∈（2）由题意，函数()sin 2sin 4323g x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，过D 作MD x ⊥轴于D ，因为1PD DM ==所以90PMN ∠=︒，可得PM MN PN ===在直角MPN △中，可得cos PM MPN PN ∠===20.（1）,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【详解】（1）解：因为2sin 2,26m x π⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,sin n x =且()f x m n =⋅， 所以()22sin 22sin 6f x m n x x π⎛⎫=⋅=-+- ⎪⎝⎭()122cos 21cos 22x x x ⎫=-+--⎪⎪⎝⎭1cos 221cos 2123x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 即()cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 令2223k x k ππππ-≤+≤，Z k ∈，解得236k x k ππππ-≤≤-，Z k ∈， 又因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 的单调增区间为：,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）解：因为()cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 所以将函数()f x 的图象所有的点向右平移12π个单位得到cos 21cos 21121236f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变）再向下平移1个单位得到()cos 46g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为5,824x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以4,63t x πππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，令4036x ππ-≤+≤，解得824x ππ-≤≤-，令046x ππ≤+≤，解得52424x ππ-≤≤，即函数()g x 在,824ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,2424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且1cos 832g ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，作出cos 3y t t ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭图像可得：所以m 的取值范围1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.21.（1）π3C =（2）(23,23-【详解】（1）选择条件①.由余弦定理得()()22222222211cos cos 2222c ab ac B bc A b a c b b c a b +=-+=+--+-+.整理得222a b c ab +-=，所以由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==.又因为()0,πC ∈，所以π3C =.选择条件②.由正弦定理得()()()b c b c a a b +-=--，整理得222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==.又因为()0,πC ∈，所以π3C =选择条件③.由正弦定理得)sin sin 3sin sin cos B C A C B -.整理得()sin sin cos B C C B A B C ==+，所以sin sin cos B C B C =.因为sin 0B >，所以sin C C =.显然cos 0C ≠，所以tan C =又因为()0,πC ∈，所以π3C =. （2）因为c =，π3C =，所以由正弦定理得4sin sin a c A C==，即4sin a A =. 因为πA B C ++=，所以2π3B A =-，所以2ππ4sin 4sin 4sin 2sin 4cos 36B a A A A A A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝-=---+⎭=. 因为2π03A <<，所以ππ5π666A <+<，所以π4cos 6A -⎛⎫ ⎪⎝⎭<+<， 故4sin B a -的取值范围是(-. 22.【答案】（1）144+；（2）5 【详解】（1）连结OD ，则5,126COD AOD ππ∠=∠= ∴四边形ABCD的面积为1151211sin 11sin 2122644ππ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+ （2）由题意，在BOC △中，2OBC πθ-∠=，由正弦定理1sin sin()cos 22BC OB πθθθ==-，∴sin 2sin 2cos 2BC CD θθθ=== 同理在AOD △中，,2OAD DOA θπθ∠=∠=-，由正弦定理sin(2)sin DA OD πθθ=-，∴sin 22cos sin DA θθθ== ∴224sin 2cos 24sin 212sin ,02222l θθθπθθ⎛⎫=++=++-<< ⎪⎝⎭令sin 022t t θ⎛⎫=<< ⎪ ⎪⎝⎭，∴()222124212444452l t t t t t ⎛⎫=++-=+-=--+ ⎪⎝⎭∴12t=时，即3πθ=，l的最大值为5。
四川省内江市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷含答案
内江2023--2024学年（下）高2026届半期考试数学试题（答案在最后）考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷选择题（满分60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设平面向量(3,5)a =r，(2,1)b =-r ，则2a b -=r r （）A ．()7,3B ．()7,7C ．()1,7D ．()1,32．己知复数12i z =-，则z 的虚部为（）A ．2B ．2iC ．2-D ．2i-3．在△ABC 所在平面内，D 是BC 延长线上一点且4BD CD =，E 是AB 的中点，设AB a =uu u r r ，AC b =uuu r r，则ED =uu u r （）A ．1455a b+r r B ．3144a b+rr C ．5463a b-+rr D ．5564a b-+rr 4．若tan 2α=，tan 8()αβ+=，则tan()αβ+=（）A ．1017B ．35-C ．25D ．6175．已知||3a =r ，||1b =r ，|2|a b -=rr a r ，b r 的夹角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6．在△ABC 中，32AB DC =uu u r uuu r ，P 是直线BD 上的一点，若25AP t AB AC =+uu u r uu u r uuu r则实数t 的值为（）A ．13-B ．13C ．23-D ．237．在△ABC 中，若2sin sin cos 2CA B =，则△ABC 是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8．已知函数()()0()sin f x x ωϕω=+>在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则下列选项中错误的是（）A ．函数()12y f x =-两个零点的最小距离为π3，则2ω=B ．若π3ϕ=-，则504ω<≤C ．若5π012f ⎛⎫⎪⎭>⎝，则2π0π63f f ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．若π6ϕ=，且函数()f x 在区间[0,π]有唯一零点，则1,16ω⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9的是（）A ︒+︒B ．tan 21tan 24tan 21tan 24︒+︒+︒︒C ．11tan15tan15-+︒︒D ．2cos 15sin15cos75︒-︒︒10．已知向量(,1)a X =r，(4,2)b =r ，则（）A ．若a b rr ∥，则2x =b ．若a b ⊥r r ，则12x =C ．若3x =，则向量a r 与向量b r 的夹角的余弦值为10D ．若1x =-，则向量b r 在向量a r上的投影向量为11．函数()0()ππ2,22f x x ϕϕωω⎛⎫ ⎪≤⎝=+<-<⎭<的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A ．()f x 的表达式可以写成()24f x x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭-B ．()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的新函数是奇函数C ．()π14g x f x ⎛=⎝+⎫⎪⎭+ 的对称中心π,182πk ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈D ．若方程()1f x =在()0,m 上有且只有6个根，则5π13π,24m ⎛⎫∈⎪⎝⎭12．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos cos c B b C a +=，则下列说法正确是（）A ．若π3A =，则△ABC 面积的最大值为4B ．若π4A =，且△ABC 只有一解，则b 的取值范围为(]0,1C ．若π3A =，且△ABC 为锐角三角形，则△ABC 周长的取值范围为(1+⎤⎦D ．若△ABC 为锐角三角形，2AC =，则AC 边上的高的取值范围为,2⎛⎝⎭第Ⅱ卷非选择题（满分90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC 中，已知222a b c ab +=+，则角C =______．14．函数sin y x x =+，[]0,πx ∈的最大值是______．15．如图，风景秀美的内江六中有一颗高大的银杏树，某研究小组为测量树的高度，在地面上选取了A ，B 两点，从A ，B 两点测得树尖的仰角分别为30°和45°，且A ，B 两点间的距离为20m ，则这颗银杏树的高度为______m ．16．已知向量a r ，b r ，c r 满足||1a =r ，||b =r 32a b ⋅=-r r ，,30a c b c ︒〈--〉=r r r r ，则c r的最大值等于______．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）设复数()22276i z a a a a =+-+-+，其中a R ∈．（1）若z 是纯虛数，求a 的值；（2）z 所对应的点在复平面的第四象限内，求a 的取值范围．18．（12分）已知函数()22cos cos sin f x x x x x =+-．（1）把()f x 化为()sin y A x ωϕ=+的形式，并求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的单调递增区间以及对称中心．19．（12分）在△ABC 中，6BC =，60ACB ∠=︒，边AB ，BC 上的点M ，N 满足13BM MA =uuu r uuu r ，2BN NC =uuu r uuu r ，P 为AC 中点．（1）设NM CB CA λμ=+uuur uu r uu r，求实数λ，μ的值；（2）若8BP NM ⋅=-uu r uuur，求边AC 的长．20．（12分）在第六章平面向量初步中我们学习了向量的加法、减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算那向量乘法该怎样运算呢？数学中向量的乘法有两种：数量积和向量积（又称为“·乘”，“×乘”）．向量a r 与b r 的向量积记作：a b ⨯r r ．其中a b ⨯r r 的运算结果是一个向量，其方向垂直于向量a r 与b r 所在平面，它的长度sin a b a b θ⨯=r rr r ．现在我们定义一种运算规则“⊗”．设平面内两个非零向量而，元的夹角为θ，规定示||||sin m n m n θ≡⊗=r r r r．试求解下列问题：（1）已知向量a r ，b r 满足(2,1)a =r，2b =r ，4a b ⋅=r r ，求a b ⊗r r 的值；（2）已知向量12,cos sin a αα⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，21,sin cos b αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求a b ⊗r r 的最小值．21．（12分）为了丰富同学们的课外实践活动，某中学拟对生物实践基地（△ABC 区域）进行分区改造．△BNC 区域为蔬菜种植区，△CMA 区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理，△MNC 区域规划为学生自主栽培区．△MNC 的周围将筑起护栏．已知20AC =m ，40AB =m ，60BAC ∠=︒，30MCN ∠=︒，设ACM θ∠=．（1）若10AM =m ，求护栏的长度（△MNC 的周长）；（2）试用θ表示△MNC 的面积，并研究△MNC 的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由．22．（12分）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足22a b bc -=．（1）求证：2A B =；（2）若1b =，求a 边的范围；（3）求112sin tan tan A B A-+的取值范围．内江2023-2024学年（下）高2026届半期考试参考答案1．A【详解】(3,5)a =rQ ，(2,1)b =-r ()2(3,5)2(2,1)(34,52)7,3a b ∴-=--=+-=rr 2．C【详解】复数12i z =-的虛部为2-．3．C【详解】在△ABC 所在平面内，D 在BC 延长线上，且4BD CD =，则43BD BC =uu u r uu u r，又E 是AB 的中点，所以14141454()()23232363ED EB BD AB BC AB AC AB a b a a b =+=+=+-=+-=-+uu u r uu r uu u r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r r r r r r ．4．D【详解】tan(2)tan 826tan()tan(2)1tan(2)tan 18217αβααβαβααβα+--+=+-===+++⨯．5．C【详解】由题意，向量向||3a =r ，||1b =r ，|2|a b -=rr 可得222224434419a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅+=r r r r r r r r ，解得32a b ⋅=-r r ，又由1cos ,2||||a b a b a b ⋅==-⋅〈〉r r r r r r ，可得,120a b ︒=〈〉r r ．6．B【详解】因为32AD DC =uuu r uuu r ，所以53AC AD =uuu r uuu r，又P 是直线BD 上的一点，所以()1AP x AB x AD =+-uu u r uu u r uuu r，又2253AP t AB AC t AB AD =+=+uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r ，所以213x t x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，所以13x t ==．7．A【详解】在△ABC 中，由πA B C ++=，得()πC A B =-+，则21cos 11111coscos()cos cos sin sin 2222222C C A B A B A B +==-+=-+，所以111sin sin cos cos sin sin 222A B A B A B =-+，即sin cos sin sin 1A B A B +=，则cos()1A B -=，又0πA <<，0πB <<，则ππA B -<-<，所以0A B -=，即A B =，所以△ABC 为等腰三角形，但无法判断C 是不是直角．8．C【详解】函数()()()sin 0f x x q ωω=+>在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以该函数的最小正周期T 满足1π2πππ2362ω=≥-=，所以2ω≤，当5π6ϕ=-时，2ω=成立，所以ω的最大值为2。
四川省内江市2021-2022高二数学下学期期末检测试题 文(含解析)
四川省内江市2021-2022高二数学下学期期末检测(ji ǎn c è)试题文（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项的代号(dàihào)填涂在答题卡的指定位置上. 1.命题(mìng tí)的否定(fǒudìng)是（ ）A. B. C.D.【答案(dá àn)】A 【解析】 【分析】 根据命题“”是特称命题，其否定为全称命题，将“∃”改为“∀”，“≤“改为“＞”即可得答案 【详解】∵命题“2000,10x R x x ”是特称命题∴命题的否定为2,10xR x x ．故选：A ．【点睛】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题．这里注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题． 2.下面是关于复数（i 为虚数单位）的四个命题：①对应的点在第一象限；②；③是纯虚数；④．其中真命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求出z 的坐标判断①；求出判断②；求得2z 的值判断③；由两虚数不能进行大小比较判断④．z i，∴z对应(duìyìng)的点的坐标为（1，1），在第一(dìyī)【详解(xiánɡ jiě)】∵1象限，故①正确(zhèngquè)；，故②错误(cuòwù)；，为纯虚数，故③正确；∵两虚数不能进行大小比较，故④错误．∴其中真命题的个数为2个．故选：B．【点睛】本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．3.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是（）R为0.98A. 模型1的相关指数2R为0.80B. 模型2的相关指数2R为0.50C. 模型3的相关指数2R为0.25D. 模型4的相关指数2【答案】A【解析】试题分析：两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中0.98是相关指数最大的值，得到结果．解：两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中0.98是相关指数最大的值，∴拟合效果最好的模型是模型1．故选A．考点：相关系数．4.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】 【分析(fēnxī)】化简抛物线方程为标准(biāozhǔn)方程，然后求解准线方程． 【详解(xiánɡ jiě)】抛物线2430x y 的标准(biāozhǔn)方程为：，准线(zhǔn xiàn)方程316y ． 故选：D ．【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．5.观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x ，y 之间关系最强的是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】试题分析：在二维条形图中，主对角线上的两个条形高度的乘积与副对角线上的两个条形高度的乘积相差越大，两者有关系的可能性就越大，由图中所给的四个量高度的大小来判断，D 选项的两个分类变量关系最强，故选D ． 考点：1.独立性检验；2.二维条形图. 6.已知命题p ：若复数，则“”是“”的充要条件；命题q ：若函数可导，则“”是“x 0是函数f x 的极值点”的充要条件．则下列命题为真命题的是（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】利用复数相等和函数极值点的概念可判断p ，q 的真假；利用真值表判断复合命题的真假．【详解】由复数相等的概念得到p ：真；若函数f x 可导，则“0'0f x ”是“x 0是函数f x 的极值点”是错误的，当是导函数的变号零点，即在这个点附近，导函数的值异号，此时才是极值点，故q ：假，为真.∴由真值表知，p q 为真，故选：C ．【点睛】本题考查(kǎochá)真值表，复数相等的概念，求极值的方法．由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p 且q 真，则p 真，q 也真；若p 或q 真，则p ，q 至少(zhìshǎo)有一个真；若p 且q 假，则p ，q 至少(zhìshǎo)有一个假． 7.函数(hánshù)在区间(qū jiān)上的最大值是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】 函数，，令，解得x ．利用三角函数的单调性及其导数即可得出函数f x 的单调性．【详解】函数2cos 3,0,2f x y x x x ，'12sin f xx ， 令'0f x，解得．∴函数f x 在内单调递增，在内单调递减．∴6x时函数f x 取得极大值即最大值．．故选：B．【点睛】本题考查了三角函数的单调性，考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．求三角函数的最值问题，一般是通过两角和差的正余弦公式将函数表达式化为一次一角一函数，或者化为熟悉的二次函数形式的复合函数来解决.8.已知双曲线的右焦点(jiāodiǎn)与抛物线y2=12x的焦点(jiāodiǎn)重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A. B. C. 3 D. 5【答案(dá àn)】A【解析(jiě xī)】【点考点定位】本题主要考察双曲线、抛物线的标准方程、几何性质、点和直线的位置关系，考查推理论证能力、逻辑思维(luó jí sī wéi)能力、计算求解能力、数形结合思想、转化化归思想9.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说:“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】∵乙、丁两人的观点一致，∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假；若乙、丁两人说的是真话，则甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，矛盾；∴乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯．10.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若，则（）A. B. 1 C. D. 2【答案(dá àn)】C【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】AF，求出A的坐标(zuòbiāo)，然后求出AF的方程根据抛物线的定义(dìngyì)，结合5求出B点的横坐标即可得到结论．【详解】抛物线的焦点F（1，0），准线方程为，设A（x，y），则，故x=4，此时y=4，即A（4，4），则直线AF的方程为，即，y x得，代入24解得x=4（舍）或，则，故选：C．【点睛】本题主要考查抛物线的弦长的计算，根据抛物线的定义是解决本题的关键．一般和抛物线有关的小题，可以应用结论来处理；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。
2019-2020学年四川省内江市高一下学期期末数学(文)试题(解析版)
2019-2020学年四川省内江市高一下学期期末数学（文）试题一、单选题1．已知实数a ，b 满足0a b >>，则下列不等式不成立的是（ ） A ．22a b > B ．22a bb a <C ．22a b ab >D ．11a b< 【答案】B【解析】利用不等式的性质即可判断. 【详解】对于A ，当0a b >>时，22a b >，A 选项成立，不符合题意，故A 错误； 对于B ，当0a b >>时，220a b >>，则22110b a ，22a bb a，即B 选项不成立，符合题意，故B 正确；对于C ，0a b >>，0ab ∴>，a ab b ab ，即22a b ab >，C 选项成立，不符合题意，故C 错误； 对于D ，当0a b >>时，11a b<，D 选项成立，不符合题意，故D 错误； 故选：B. 【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.2．已知数列{}n a 的通项为23n a n =-，若3a ，6a ，m a 成等比数列，则m =（ ） A ．9 B ．12C ．15D ．18【答案】A【解析】由题意可得263m a a a =⋅，由此即可求出结果． 【详解】由23n a n =-， 若3a ，6a ，m a 成等比数列， 则263m a a a =⋅，即()81323m =-，可得，15m =. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了等比中项的性质和简单应用，属于基础题．3．已知向量(1,2)a =，(,4)b x =，(2,)c y =，若//a b ，a c ⊥，则()b a c ⋅-=（ ）A ．14B ．-14C ．10D ．6【答案】C【解析】通过向量的共线与垂直，求出x ，y ，然后求解向量的数量积即可． 【详解】向量(1,2)a =，(,4)b x =，(2,)c y =，//a b ，可得142x ⨯=，解得2x =，(2,4)b =， a c ⊥，可得1220y ⨯+=，解得1y =-，(1,3)a c -=-，则()21210b a c -=-+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查向量的共线与垂直，向量的数量积的应用，考查计算能力．4．设sin18cos44cos18sin 44a =︒︒︒+︒，2sin 29cos29b =︒︒，cos30c =︒，则有（ ） A ．c a b << B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】B【解析】先利用两角和的正弦公式对a 化简，利用二倍角公式对b 化简，然后利用正弦函数的单调性即可比较大小 【详解】解：sin18cos 44cos18sin sin(1844)sin 4624a ︒︒=︒+︒==︒︒+︒， 2sin 29cos29sin58b =︒︒=︒，cos30sin60c =︒=︒， 因为sin y x =在(0,90)︒︒上为增函数，且586062︒<︒<︒， 所以sin58sin60sin62︒<︒<︒，即可b c a <<， 故选：B 【点睛】此题考查两角和的正弦公式和二倍角公式的应用，考查正弦函数的单调性，属于基础题 5．已知数列{}n a 首项12a =，且当*N n ∈时满足12n n a a +-=，若△ABC 的三边长分别为4a 、5a 、6a ，则△ABC 最大角的余弦值为（ ）A ．916B ．58C ．34D ．18【答案】D【解析】由题意得数列{}n a 为等差数列，则可求出4a 、5a 、6a ，然后利用余弦定理求解最大角的余弦值. 【详解】当*N n ∈时满足12n n a a +-=，则数列{}n a 为首项是2公差为2的等差数列，则4a 、5a 、6a 分别为8，10，12，则最大角的余弦值为222810121cos 28108θ+-==⨯⨯，故选：D. 【点睛】本题考查余弦定理的运用，考查等差数列的概念及通项的运用，较简单.6．已知函数234()x x f x x++=，对于任意12x ≥时下列说法正确的是（ ）A ．函数最小值为7B ．函数最小值为232 C ．函数最大值为7 D ．函数最大值为232【答案】A【解析】将函数()f x 化简为4()3f x x x=++，再结合对勾函数的单调性即可求解． 【详解】由题意可知，2344()3x x f x x x x++==++，由对勾函数可知，函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[)2,+∞上单调递增，所以当2x =时，函数()f x 取得最小值，最小值为()27f =，没有最大值． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了函数最值的求解，要注意对勾函数单调性的应用．7．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，b ，3a =，则C ∠=（ ）A ．4π B ．3π C ．512π D ．6π 【答案】C【解析】由已知利用正弦定理可得sin B =，利用b a <，可得B 为锐角，然后求出B ，根据三角形内角和定理，求出C 的值． 【详解】解：3A π=，b ，3a =，∴由正弦定理sin sin a b A B=，=，sin 2B ∴=， b a <，B ∴为锐角，4B π∴=，512C A B ππ∴=--=． 故选：C ． 【点睛】本题考查了正弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．已知点()11,A x y 在函数cos y x x =+的图象上，点()22,B x y 在函数5y =的图象上，则||AB 的最小值为（ ） A ．2 B ．5C ．4D ．3【答案】D【解析】利用辅助角公式进行化简，求出函数的最大值，分析即可得到最小值. 【详解】cos =2sin()6y x x x π=++,函数的最大值为2，点()22,B x y 在函数5y =的图象上，即()2,5B x ，则当()11,A x y 位于函数的最大值点时||AB 有最小值，最小值为5-2=3, 故选：D 【点睛】本题考查辅助角公式和三角函数性质的应用，属于基础题.9．在我国古代著名的数学专著《 九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢? （） A ．16 日 B ．12 日C ．9 日D ．8 日【答案】C 【解析】【详解】解：由题可知，良马每日行程a n 构成一个首项为103，公差13的等差数列， 驽马每日行程b n 构成一个首项为97，公差为﹣0.5的等差数列， 则a n ＝103+13（n ﹣1）＝13n +90，b n ＝97﹣0.5（n ﹣1）＝97.5﹣0.5n ， 则数列{a n }与数列{b n }的前n 项和为1125×2＝2250，又∵数列{a n }的前n 项和为2n ⨯（103+13n +90）2n=⨯（193+13n ）， 数列{b n }的前n 项和为2n ⨯（97+97.5﹣0.5n ）2n =⨯（194.512-n ），∴2n ⨯（193+13n ）2n+⨯（194.512-n ）＝2250， 整理得：25n 2+775n ﹣9000＝0，即n 2+31n ﹣360＝0， 解得：n ＝9或n ＝﹣40（舍），即九日相逢． 故选C点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，考查转化思想，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．10．在四边形ABCD 中，(1,AB DC ==，||||BA BC BDBA BC BD+=，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．BC ．D ．2【答案】A【解析】由题意分析可知，四边形ABCD 为菱形且120ABC ∠=，然后求解四边形ABCD 的面积.【详解】因为(1,AB DC ==，所以四边形ABCD 为平行四边形，又||||BA BC BDBA BC BD+=，则BD 平分ABC ∠，则四边形ABCD 为菱形.且120ABC ∠=，由2AB DC ==，则2BC =,所以四边形ABCD 的面积为sin120222S BA BC =⋅⨯=⨯⨯=故选：A . 【点睛】本题考查向量的综合运用，较简单，解答时注意a a为a 上的单位向量.11．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 成等差数列，且2sin 2csin csin 2sin a A C a B b B +=+，则ABC 的面积的最大值为（ ）A ．BC ．D ．【答案】B【解析】由等差数列性质得3B π=，应用正弦定理边角转换、余弦定理由已知可求得三角形外接圆半径R ，从而边,a c 可用角表示，最后用角表示出三角形面积，结合三角函数恒等变换、正弦函数性质得出最大值． 【详解】∵角A 、B 、C 成等差数列，∴2B A C =+，又A B C π++=，∴3B π=，23C A π=-，2(0,)3A π∈，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===得sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R ===， ∵2sin 2csin csin 2sin a A C a B b B +=+，∴2sin 2sin 2sin a A c C b B +-=，即222a b c ac R R R +-=2222cos a c b ac B R R+-==，∴R =又由正弦定理得2sin sin ,33a R A A c C ===，∴112sin sin sin()2233333ABC S ac B A C A A △ππ==⨯⨯⨯=-21sin )cos 2sin )2A A A A A A =+=+21cos 2)3A A =+-sin(2)363A π=-+，∵2(0,)3A π∈，∴3A π=时，sin(2)16A π-=，即ABCS = 故选：B ． 【点睛】本题以我们熟知的三角形为背景，探究的是三角形面积的最大值，结合等差数列的性质，利用正弦定理进行边角转换，考查目的是让考生发现、揭示问题本质的关联点，从而有效的激发考生学习兴趣，本题同时考查了考生的逻辑推理能力、直观想象能力，本题属于中档题．12．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知6B π=且1ABC S =△，则2a c ac a c+-+的最小值（ ） A ．12B ．2C ．14D ．4【答案】A【解析】由已知条件和三角形的面积公式得4ac =，再根据基本不等式可得+4a c ≥，令24a c y a c +=-+，+a c t =，24t y t=-（4t ≥），由此函数的单调性可得选项. 【详解】 由已知6B π=且1ABC S =△，得1sin 126ac π=，解得4ac =， 所以2+42a c ac ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，即+4a c ≥，当且仅当a c =时取等号， 所以224a c a c ac a c a c ++-=-++，令24a c y a c +=-+，+a c t =，则24t y t=-（4t ≥）， 而24t y t =-在[)4+∞，单调递增，所以24214442t y t =-≥-=，所以2a c ac a c+-+的最小值为12. 故选：A. 【点睛】本题考查三角形的面积公式，基本不等式的应用，以及运用函数的单调性求最值的问题，属于中档题.二、填空题 13．sincos1212ππ=__________．【答案】14【解析】11sincossin 1212264πππ==. 14．在等腰Rt ABC中，斜边BC =AB c =，BC a =，CA b =，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_____.【答案】2-【解析】先求出,,a b c 的模，再根据数量积的定义求解. 【详解】由题可知在等腰Rt ABC中，斜边BC =1ABAC ，,24AB C，即2a =，1b c ==，()()cos 0cos a b b c c a a bC c aB ππ∴⋅+⋅+⋅=⋅⋅-++⋅⋅-11222⎛⎫⎛=⨯-+-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故答案为：2-. 【点睛】本题考查数量积的计算，注意三角形中向量的夹角，属于基础题.15．在数列{}n a 中，11a =，212(2)n n n a a n ---=≥，则n a =_____.【答案】12n -【解析】利用累加法可求得数列的通项公式. 【详解】11a =，212(2)n n n a a n ---=≥∴()()()121321=+n n n a a a a a a a a --+-+⋅⋅⋅+-0121+2+2++2n -=⋅⋅⋅()()2212122+2221212n n n ----==+-=-∴12nna ()2,*n n N ≥∈当=1n 时，11a =符合上式，则12n n a .故答案为：12n - 【点睛】本题考查由累加法求数列的通项公式，属于基础题.16．下列四个命题中正确的是_____.（填序号）①若cos cos a A b B =，则ABC 是等腰三角形；②若a b <，x ∈R ，则b b x a a x+<+；③设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若202011S S =﹣，则20211S >；④函数2()f x =的最小值为【答案】③④【解析】根据每个选项的条件推导即可. 【详解】对于①，若cos cos a A b B =，可得sin cos sin cos A A B B =，则sin 2sin 2A B =，所以A B =或2A B π+=，则ABC 是等腰三角形或直角三角形，故①错误；对于②，若a b <，x ∈R ，当2,3,1a b x 时，32b a =，314213b x a x ++==++，则b b xa a x+>+，故②错误； 对于③，232020202011a a S a S ﹣=+++=，所以22020101120a a a ，则202112320202021101123202021S a a a a a a a a a ，故③正确；对于④，22()f x ===224x ，2245()2254f x x x，故④正确.故答案为：③④. 【点睛】本题考查对命题的判断，考查了正弦定理，不等式的性质，数列性质以及基本不等式的应用.三、解答题17．已知3,4a b ==，且a 与b 不共线.（1）当向量a kb +与a kb -互相垂直时，求k 的值；（2）当a 与b 的夹角为3π时，求a b +的模.【答案】（1）34±，（2 【解析】（1）利用向量垂直的性质求出k 的值； （2）由()2a b a b+=+，再利用向量的数量积公式求解即可【详解】解：（1）因为3,4a b ==，且a 与b 不共线，向量a kb +与a kb -互相垂直， 所以()()22229160a kb a kb a k b k +⋅-=-=-=， 解得34k =±， （2）当a 与b 的夹角为3π时， ()222292a b a ba ab b +=+=+⋅+=+=，【点睛】此题考查向量模的求法，考查平面向量数量积运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.18．某公司生产某种产品，其年产量为x 万件时利润为()R x 万元，当035x <≤时，年利润为21()2R x x =-20250x ++，当35x >时，年利润为()18005202R x x x=--+.（1）若公司生产量在035x <≤且年利润不低于400万时，求生产量x 的范围； （2）求公司年利润()R x 的最大值. 【答案】（1）1030x ；（2）480．【解析】（1）令21()202504002R x x x =-++，解之即可；（2）利用二次函数的最值和基本不等式分别求出()R x 两段函数的最大值,再比较大小即可． 【详解】（1）当035x <时，令21()202504002R x x x =-++，即2403000x x -+≤，解得1030x ，所以生产量x 的范围是1030x ；（2）当035x <时，222111()20250(40)250(20)450222R x x x x x x =-++=--+=--+， 故此时()R x 在(0,20)上单调递增，在(20,35)上单调递减，则此时()R x 最大值为(20)450R =；当35x >时，116001()()52052048022R x x x =-++≤-⨯+=， 当且仅当160040x x==时，等号成立， 则此时()R x 最大值为(40)480R =，综上公司年利润()R x 的最大值为480万元．【点睛】本题考查了函数的应用，利用二次函数的性质和基本不等式求最值是解题的关键，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若27a =，440S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得22020n T λ≤-对所有*N n ∈都成立的实数λ的范围.【答案】（1）65n a n =-；（2）[2021，)+∞．【解析】（1）直接利用等差数列的性质求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出参数的取值范围．【详解】解：（1）设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，若27a =，440S =． 所以117434402a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得116a d =⎧⎨=⎩，所以65n a n =-．（2）由（1）得：13n n n b a a +=，3111()(65)(61)26561n n n n ==--+-+， 所以111111111(1)(1)2771365612612n T n n n =-+-+⋯+-=-<-++． 所以22020n T λ-对所有*n N ∈都成立只需满足12020λ-．故2021λ，即[2021λ∈，)+∞．【点睛】本题主要考查数列的通项公式的求法，裂项相消法求数列的和，参数的取值范围，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．20．设函数22()cos 22cos 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最大值，并写出使()f x 取最大值时x 的集合；（2）已知ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，其外接圆直径为若3()2f A =，求ABC 的周长l 的范围. 【答案】（1）当,6=+∈x k k Z ππ时，函数取得最大值2；（2）(6,3+.【解析】（1）首项利用三角函数的恒等变换，把函数的关系式变形为正弦型函数，结合三角函数的性质，即可求解；（2）利用（1）的结论，求得A 的值，再利用正弦定的应用，即可求解.【详解】（1）由题意，函数22()cos 22cos 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 22cos 212x x x =-++1cos 221cos(2)123x x x π=+=++， 令223x k ππ+=，解得,6=+∈x k k Z ππ， 所以当,6=+∈x k k Z ππ时，函数取得最大值2.（2）由3()2f A =，即3cos(2)132A π++=，整理得1cos(2)32A π+=，因为0A π<<，则70233A ππ<+<，所以5233A ππ+<，解得23A π=， 所以32sin 2332a R A ==⨯=，2sin 2sin 23(sin sin )bc R B R C B C +=+=+ 23[sin sin()]23sin()33B B B ππ=+-=+， 因为03B π<<，则2333B πππ<+<，所以3sin()123B π<+≤， 所以(3,23]b c +∈.故三角形的周长为(6,323]l a b c =++∈+.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，正弦型函数的图象与性质，以及正弦定理的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于基础题.21．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中x ∈R ，0A >，0>ω，02πϕ<<）的部分图象如图所示，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为坐标原点.若6OQ =，4OP =，27PQ =.（1）求POQ ∠的大小；（2）求函数()y f x =的解析式；（3）若[2,2]α∈-，3()2f α=，求sin 8πα的值. 【答案】（1）3π；（2）()23sin()84f x x ππ=+；（3）2308. 【解析】（1）在OPQ △中，由余弦定理求出cos POQ ∠，即可求出POQ ∠的大小； （2）根据图象可计算出最高点，即求出A ，找出周期，根据2T πω=，求出ω，再将P代入即可求出ϕ，即求出解析式.（3）根据关系可求出1sin()844ππα+=，然后计算出cos()84ππα+，利用sin sin 84844展开求解.【详解】（1）在OPQ △中，2221636281cos 22462OP OQ PQ POQ OP OQ , 3POQ ;（2）由（1）知2,23P Px y ，即(2,P ， 23A ，周期46216T ， 即216πω=，8πω∴=，将P 代入()sin()8f x x πϕ=+，得sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 02πϕ<<，4πϕ∴=，()sin()84f x x ππ∴=+；（3）()sin()84f ππαα=+= 1sin()844ππα∴+=， 22，0842， 15cos 844，sin sin 84844 sin cos cos sin 844844 1215223042428.【点睛】本题考查了根据余弦定理求角，根据三角函数图象求解析式，以及相关角的三角函数的求法.22．已知数列{}n a 满足()2*12324623N nn n n n a a a a +++⋅⋅⋅=+∈. （1）求数列{}n a 的通项；（2）设2(1)2n n n b n a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ，当2n 114m m S ≥++对一切正整数n 恒成立时，求实数m 的取值范围.【答案】（1）*()1n n a n N n =∈+；（2）[]6,2-. 【解析】（1）先求出1a ，再用错位相减法求出2n ≥时的n a ，再检验1a 是否符合(2)n a n ≥，进而求出*()n a n N ∈；（2）首先根据（1）求出数列{}n b 的通项公式，再求出数列{}n b 的前n 项和n S ；又因为n S 递增，所以2n 114m m S ≥++对一切正整数n 恒成立等价于i 2n m n 11()4S m m ≥++，即21114m m S ≥++，进而求出实数m 的取值范围. 【详解】解：（1）当1n =时，124a =，所以112a =， 当2n ≥时，212324623nn n n a a a a +++⋅⋅⋅=+ ①， 212312462(1)(1)3(1)n n n n a a a a --+++⋅⋅⋅=-+- ②， 由①-②得222n n n a =+，所以1n n a n =+，当1n =时也符合此式， 综上可知*()1n n a n N n =∈+. （2）因为2(1)2n n n b n a =+⋅，所以4n n b n =⋅，所以231424344n n S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ③，234141424344n n S n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ④，由③-④得：2311113444444(14)4444414314()433n n n n n n n n S n n n n ++++-=+++⋅⋅⋅+-⋅-⋅-=-⋅=-⋅-=-- 所以1314499n n n S +-=⨯+， 又因为0n b >，所以n S 的最小值为14S =， 所以21414m m ≥++， 所以62m -≤≤，即实数m 的取值范围是[]6,2-.【点睛】本题主要考查数列的通项公式和数列前n 和的求解，以及数列与不等式的结合等问题，考查运算求解能力，属于中等题型.。
2019-2020学年四川省内江市高一下学期期末检测数学（理）试题Word版含答案
2019-2020学年四川省内江市高一下学期期末检测数学（理）试题Word版含答案2019-2020学年四川省内江市高一下学期期末检测数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知)0,1(=，)1,(λ=，若b a +与a 垂直，则λ的值是( )A ．1B ．1-C ．0D ．1±2.在数列}{n a 中，21=-+n n a a ，1015-=a ，则=1a （）A ．38B ．38-C ．18D ．18- 3.已知函数x a x y cos sin 3+=的最大值为2，则a 的值为（）A ．1±B ．1-C ．1D ．不存在4.已知集合}016|{2<-∈=x Z x A ，}034|{2>+-=x x x B ，则=BA （） A ．14|{<<-x x 或}43<<<="" ．}4,3,0,1,2,3,4{----="">5.一个正项等比数列前n 项的和为3，前n 3项的和为21，则前n 2项的和为（） A ．18 B ．12 C ．9 D ．66.已知52)tan(,21tan -=-=βαα，那么)2tan(βα-的值为（）A ．43B ．121 C.89- D ．897.已知正实数d c b a ,,,满足d c b a >>,，则下列不等式不正确的是（）A ．22a d b c> B ．bd ac > C. cb d a >D ．d b c a ->- 8.已知51cos sin =+αα，πα≤≤0，则)42sin(2πα-的值为（） A ．2531- B ．2517- C ．2531± D ．2517±9. 已知正实数n m ,满足222=+++n m n m ，则mn 的最大值为（）A ．236-B ．2 C.246- D ．3 10.对于非零向量cb a ,,，下列命题正确的是（）A ．若),(2121R ∈=+λλλλ，则021==λλB ．若b a //，则a 在b 上的投影为||C. 若b a ⊥，则?a 2)(b a b ?=D ．若c b c a ?=?，则=a b11.在ABC ?中，若OA OC OC OB OB OA ?=?=?，且A b B a cos cos =，4=c ，则=?AB OA （） A ．8 B ．2 C.2- D ．8-12.一个三角形具有以下性质：（1）三边组成一个等差数列；（2）最大角是最小角的2倍.则该三角形三边从小到大的比值为（）A ．6:5:4B ．7:5:3 C. 8:6:4 D ．6:5:3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若1||=，)(=?-，则=?b a ．14. 已知数列}{n a 的前n 项和为322+-=n n S n ，则数列}{n a 的通项公式为 . 15.不等式832222≥+++-kx kx x x 对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为．16.已知直线21//l l ，A 是21,l l 之间的一定点，并且A 点到21,l l 的距离分别为1，2，B 是直线2l 上一动点，060=∠BAC ，AC 与直线1l 交于点C ，则ABC ?面积的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1）比较107+与143+的大小；（2）解关于x 的不等式02)2(2<++-a x a x . 18.已知)3,1(,4||-==b a .（1）若b a //，求a 的坐标；（2）若与的夹角为0120，求||b a -.19.在ABC ?中，已知B A tan ,tan 是关于x 的方程0132=+++p px x 的两个实根.（1）求C ∠；（2）若8,7=+=b a c ，求ABC ?的面积S .20.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且28,373==S a ，在等比数列}{n b 中，8,443==b b .（1）求n a 及nb ；（2）设数列}{n n b a 的前n 项和为n T ，求n T .21.已知函数3cos33cos 3sin )(2x x x x f +=. （1）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）如果ABC ?的三边c b a ,,满足ac b =2，且边b 所对角为x ，试求x 的范围及此时函数)(x f 的值域.22.已知数列}{na 中，431=a ，nn a a -=+211（*∈N n ）. （1）求证：数列}11{-n a 是等差数列，并求数列}{n a 的通项公式；（2）设)(1*∈=+N n a b n n ，13221++++=n n n b b b b b b S ，试比较n a 与n S 8的大小.2019-2020学年四川省内江市高一下学期期末检测数学（理）试题参考答案一、选择题1-5： BBADC 6-10：BDBCC 11、12：DA二、填空题13．1； 14．≥-==)2(32)1(2n n n a n ； 15．)3,0[； 16．32．三、解答题17.（1）∵0)4270(2)143()107(22>-=+-+∴22)143()107(+>+，又0107>+，0143>+，∴143107+>+.（2）∵0))(2(02)2(2<--?<++-a x x a x a x ，∴当2a 时，有a x <<2，综上，当2a 时，原不等式解集为),2(a . 18、解：（1）∵)3,1(-=b ，∴2||=b ，与共线的单位向量为)23,21(||-±==b .//,4||=，∴)32,2(||-==或)32,2(-.（2）∵0120,,2||,4||>=<==，∴4,cos ||||->=<=?a ，∴282)(222=+?--=-a ，∴72||=-.19、解：(1)由0≥?得32-≤p 或2≥p ，故0≠p ，由题有)(,1tan tan 3tan tan B A C p B A pB A +-=+=-=+π，∴3)1(13tan tan 1tan tan )tan(tan -=+---=-+-=+-=p pB A B A B AC .又),0(π∈C ，∴32π=(2)∵32,7π==C c ，∴由余弦定理可得4922=++ab b a .又8=+b a ，∴15=ab . ∴4315sin 21==C ab S .20.解：（1）设}{na 的公差为d ，则由题有12821732111===+=+d a d a d a ，∴n a n=.∵在等比数列}{n b 中，8,443==b b ，∴}{nb 的公比为234==b b q ，∴1332--==n n n q b b ，即12-=n n b . （2）由（1）知n a n =，12-=n n b ，∴12-?=n n n n b a . ∴132********-?++?+?+?+=n n n T ，n n n n n T 22)1(2322212132?+?-++?+?+?=- ，∴12)1(12122)2221(21+?-=---?=++++-?=-nn nn nn n n n T ，即12)1(+?-=n n n T 21、解：（1）23)332sin(2332cos 2332sin 21)(++=++=πx x x x f .∴)(x f 的最小正周期为ππ3322==T .由2233222πππππ+≤+≤-k x k ，得43453ππππ+≤≤-k x k ，∴)(x f 的单调递增区间为]43,453[ππππ+-k k （Z k ∈）.（2）∵ac b =2，∴21222cos 222=-≥-+=ac ac ac ac b c a x ，即21cos ≥x . 又),0(π∈x ，故x 的范围为]3,0(π.由（1）知)(x f 在]4,0(π上递增，在]3,4[ππ上递减；又)0(233sin 2394sin 2395sin )3(f f =+>+=+=ππππ∴231)(3)4()()0(+≤<?≤.∴此时，函数)(x f 的值域为]231,3(+.22、（1）解：∵431=a ，nn a a -=+211（*∈N n ），∴11112121111,41111--=--=--=--=-+n n n nn a a a a a a ，即111111-=---+n n a a .∴}11{-n a 是首项为4-，公差为1-的等差数列. 从而311311+-=?--=-n a n a n n .（2）∵)(1*∈=+N n a b n n ，由（1）知311+-=n a n .∴4131,311+-+=+=+k k b b n b k k n （ ,3,2,1=k ）∴4141)4131()7161()6151()5141(13221+-=+-+++-+-+-=+++=+n n n b b b b b b S n n n ，而)4)(3(8)311()4141(882++-=+--+-=-n n n n n a S n n ，∴当2,1=n 时，有nn a S n n n <<++-8,0)4)(3(82；当3≥n 时，有nn a S n n n >>++-8,0) 4)(3(82.。
2019-2020学年内江市高一下学期期末数学试卷(文科)
2019-2020学年内江市高一下学期期末数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.设条件，条件，其中为正常数.若是的必要不充分条件，则的取值范围( )A.B. (0,5)C.D. (5,+∞)2.在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3=2S 2+1，a 4=2S 3+1，则公比q 等于( )A. −3B. −1C. 1D. 33.已知函f(x)=Ain(πx+)部分图象如图示点B ，C 是该象与x 轴的点，过点C 的直线该图交DE 两点，则(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −CE⃗⃗⃗⃗⃗ )的值为)A. −1B. −12C. 12D. 24.已知α∈(0,π2)，x 2sinα+y22=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范是( )A. (0,π6)B. (0,π3]C. (π6,π2)D. [π4,π2)5.等差数列中，a 3=，，则a 5= ( )A. 10B. 11C. 12D. 136.若正实数x ，y 满足log 2(x +3y)=log 4x 2+log 2(2y)，则x +3y 的最小值是( )A. 12B. 10C. 8D. 67.△ABC 的内角A ，B 满足cosAcosB >sinAsinB ，则△ABC 是( )A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等边三角形8.sin30°sin75°+sin60°sin15°=( )A. 12B. √22C. √32D. 19.已知{a n }是等差数列，a 5+a 6=13，则S 10=( )A. 26B. 52C. 65D. 13010. 已知a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(x,−2)，且(a ⃗ +b ⃗ )//(2a ⃗ −b ⃗ )，则x 等于( )A. −6B. 6C. −4D. 411. 若△ABC 的面积为15√34，AB =3，AC =5，且角A 为钝角，边BC 的中点为D ，则AD 长度为( )A. √192B. √382C. 72D. 712. △ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且asinB =bcosA ，则2sinB −√2cosC 的最大值为( )A. √2B. √3C. √6D. √7二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD ⊥AB 于点D ，且AD =4DB ，设∠COD =θ，则cos2θ= ______ ． 14.是两个不共线向量，已知若三点共线，则实数的值为 ．15. 已知数列{a n }中，a 1=1，a n =a n−1+1n⋅(n−1)，(n ≥2)，则a 5=______．16. 已知命题“∃x ∈R ，使得x 2−ax +1<0”为假命题，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m⃗⃗⃗ =(sinA,sinB)，n ⃗ =(cosB,cosA)，m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =sin2C ． (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=18，求△ABC 的周长．18. 某种商品的成本为5元/件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获取最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销．经试销发现：销售价每上涨1元每天销售量就减少10件；而降价后，日销售量Q(件)与实际销售价x(元)满足关系Q ={39(2x 2−29x +107)(5<x <7)198−6xx−5(7≤x <8)(1)求总利润(利润=销售额−成本)y(元)与实际销售价x(件)的函数关系式； (2)试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大．19.若正数项数列{a n}的前n项和为Sn，首项a1=1，点P(√S n,S n+1)在曲线y=(x+1)2上．(1)求a2，a3；(2)求数列{a n}的通项公式a n；(3)设b n=1，Tn表示数列{b n}的前项和，若Tn≥a恒成立，求Tn及实数a的取值范围．a n⋅a n+120.如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点Q(1,0)，当α≠2kπ+β(k∈Z)时，以x轴非负半轴为始边作角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1(cosα,sinα)，Q1(cosβ,sinβ)．(1)叙述并利用如图证明两角差的余弦公式；(2)利用两角差的余弦公式与诱导公式.证明：sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ．(附：平面上任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)间的距离公式P1P2=√(x2−x1)2+(y2−y1)2).21.已知电流I与时间t的关系式为。
四川省内江市2021-2022学年高一下学期期末检测题化学(文)试题含解析
A. 铅笔芯的成分为二氧化铅
B. 青铜和黄铜是不同结构的单质铜
C. 碳酸氢钠可做食品膨松剂
D. 焰火中红色来源于钠盐灼烧
【答案】C
【解析】
【详解】A．铅笔芯的主要成分为石墨，不是二氧化铅，故A错误；
B．青铜是在纯铜中加入锡或铅形成的合金，黄铜为是由铜和锌形成的合金，都均属于混合物，不是铜单质，故B错误；
D.醋酸属于弱酸，应写成分子形式，CH3COOH+H+==H2O+CH3COO-，选项D错误；
答案选C。
21.生活中常见的下列物质，其主要成分不属于塑料的是
A. 轮胎B. 保鲜膜C. 电器插座D. 泡沫包装材料
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】A．轮胎主要成分是橡胶，不属于塑料，A符合题意；
B．保鲜膜主要成分是聚乙烯，聚乙烯是塑料的一种，B不符合题意；
故合理选项是B。
23.常见的下列反应类型中，不属于C. 置换反应D. 加聚反应
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】A．化合反应中反应物是两种或两种以上，生成物只有一种，全部变为目标产物，属于“原子经济性”反应，A不符合题意；
B．加成反应中反应物是两种或两种以上，生成物只有一种，全部变为目标产物，属于“原子经济性”反应，B不符合题意；
C．1molOH—的质量是m=nM=1mol×17g/mol＝17g，C正确；
D．气体摩尔体积是指在一定条件下单位物质的量的气体所占的体积，D错误；
答案选C。
11.蛋白质是人体必需的营养物质，其中不含有的元素是
A.CB.OC.ND.He
【答案】D
【解析】
【分析】
2020-2021学年四川省内江市高一(下)期末数学试卷(文科)(附答案详解)
2020-2021学年四川省内江市高一（下）期末数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. cos(2x −π6)cos2x +sin(2x −π6)sin2x =( )A. −12B. −√32C. 12D. √322. 若a >b ，则一定有( )A. 1a <1bB. |a|>|b|C. √a 2>√b 2D. a 3>b 33. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=0，a 6=3，则S 7=( )A. −12B. −7C. 0D. 74. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(1,0)，c ⃗ =(3,4).若(a ⃗ +λb ⃗ )//c ⃗ (λ∈R)，则实数λ=( )A. 2B. 1C. 12D. 145. 设α为锐角，若cos(α+π6)=45，则sin(2α+π3)的值为( )A. 1225B. 2425C. −2425D. −12256. 已知x >0，y >0.且2x +1y =1，若2x +y >m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,7]B. (−∞,7)C. (−∞,9]D. (−∞,9)7. 已知△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S.若asinA+C 2=bsinA ，2S =√3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 的形状是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形D. 等腰直角三角形8. 中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走252里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，则最后一天走了( )A. 4里B. 16里C. 64里D. 128里9. 已知函数f(x)=sin(12x −π2)，在△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若f(2A)=−√22，且a =4，b =4√2，则△ABC 的面积为( )A. 4B. 6C. 8D. 1010. 已知等比数列{a n }的各项均不相等，且满足a 2+2a 1=6，a 32=2a 6，则该数列的前4项和为( )A. 120B. −120C. 3D. −22.511. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边，b =c 且sinBcosA =sinA(1−cosB)，若点O 是△ABC 外一点，OA =√3，OB =1.则平面四边形OACB 的面积的最大值是( )A. 2√3B. 4√3C. 3D. 3+2√312. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ab =1，b +2acosC =0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )A. 2+√2B. 2+√3C. 3D. 3+√2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知平面向量a ⃗ =(2,5)，b ⃗ =(10,x)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则x =______． 14. 计算：sin60°cos15°−2sin 215°cos15°=______．15. 设a >0，b >0，且5ab +b 2=1，则a +b 的最小值为______ ．16. 已知正项等比数列{a n }中，a 4−a 2=6，a 5−a 1=15，则a n =______，又数列{b n }满足b 1=12，b n+1=11−b n；若S n 为数列{a n +b n }的前n 项和，那么S 11=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4=15，S 6=9S 3．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n =log 2a 2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18. 已知|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3，(2a ⃗ −3b ⃗ )⋅(2a ⃗ +b⃗ )=−7． (1)若a ⃗ −b ⃗ 与3a ⃗ +k b ⃗ 垂直，求k 的值； (2)求a ⃗ 与a ⃗ +b ⃗ 夹角的余弦值．19.解关于x的不等式x2+(m+1)x+m>0．20.在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且满足2a=b⋅cosCcosA +c⋅cosBcosA．(1)求出角A的值；(2)若a=2，试判断△ABC的周长是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由．21.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2=(b2+c2−a2)(1−tanA)．(1)求角C；(2)若c=2√10，D为BC中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．条件①：△ABC的面积S=4且B>A；条件②：cosB=2√55．22.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，当n≥2(n∈N∗)时，(n−1)S n−(n+(n3−n)．1)S n−1=13(1)计算：a2，a3；}为等差数列，并求数列{a n}的通现公式；(2)证明{S nn(n+1)(3)设b n=[lga n]，[x]表示不超过x的最大整数，如[2.1]=2，[1]=1，[−1.2]=−2，求数列b n的前10项和T10．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵cos(2x −π6)=cos(π6−2x)，sin(2x −π6)=−sin(π6−2x)， ∴cos(2x −π6)cos2x +sin(2x −π6)sin2x =cos(π6−2x)cos2x −sin(π6−2x)sin2x=cos(π6−2x +2x)=cos π6=√32． 故选：D ．根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，以及余弦函数的两角和公式，即可求解． 本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及余弦函数的两角和公式，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：对于A ，若a >0>b ，则1a >1b ，故A 错误； 对于B ，若0>a >b ，则|a|<|b|，故B 错误；对于C ，若0>a >b ，则a 2<b 2，则√a 2<√b 2，故C 错误； 对于D ，若a >b ，则a 3>b 3显然成立，故D 正确． 故选：D ．由不等式的基本性质逐一判断即可．本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：因为{a 4+a 5=2a 1+7d =0,a 6=a 1+5d =3,，所以{a 1=−7,d =2,S 7=(−7)×7+2×7(7−1)2=−7．故选：B ．由已知结合等差数列的通项公式可求d ，a 1，然后结合等差数列的求和公式即可求解． 本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(1,0)，c ⃗ =(3,4)． ∴a ⃗ +λb ⃗ =(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2)， ∵(a ⃗ +λb ⃗ )//c ⃗ (λ∈R)，∴4(1+λ)−3×2=0，解得λ=12． 故选：C ．利用向量运算和向量共线定理即可得出．本题考查了向量运算和向量共线定理，属于基础题．5.【答案】B【解析】【解答】本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出． 【解答】解：∵α为锐角，cos(α+π6)=45， ∴α+π6∈(0,π2)，∴sin(α+π6)=√1−cos 2(α+π6)=35．则sin(2α+π3)=2sin(α+π6)cos(α+π6)=2×35×45=2425． 故选B ．6.【答案】D【解析】解：∵2x +1y =1，且x >0，y >0， ∴2x +y =(2x +y)⋅(2x +1y )=4+1+2x y+2y x≥5+2√2x y ⋅2y x=9，当且仅当2xy =2y x，即x =y =3时，等号成立，∴2x +y 的最小值为9，故选：D ．先将2x +y 变形为(2x +y)⋅(2x +1y )，展开后，利用基本不等式求得2x +y 的最小值后，即可得解．本题考查基本不等式的应用，熟练掌握“乘1法”是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：因为asinA+C 2=bsinA ，所以asin(π2−B2)=acos B2=bsinA ， 由正弦定理可得sinAcos B2=sinBsinA ， 因为sinA ≠0，可得cos B2=sinB =2sin B2cos B2， 因为B ∈(0,π)，B2∈(0,π2)，cos B2≠0， 所以可得sin B2=12，可得B2=π6，可得B =π3，又2S =√3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得2×12bcsinA =√3⋅bccosA ，即tanA =√3， 因为A ∈(0,π)，可得A =π3，所以C =π−A −B =π3，则△ABC 的形状是正三角形． 故选：C ．由三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，二倍角的正弦公式化简已知等式可得sin B2=12，进而可求得B 的值，又利用三角形的面积公式，平面向量数量积的运算以及同角三角函数基本关系式化简已知等式可求A 的值，利用三角形内角和定理可求C 的值，即可判断得解．本题主要考查了三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，二倍角的正弦公式，三角形的面积公式，平面向量数量积的运算以及同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．【解析】解：有一个人走252里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地， 则第n 天走的里程数{a n }是公比为12的等比数列， ∴S 6=a 1(1−126)1−12=252，解得a 1=128，则最后一天走了a 6=128×125=4． 故选：A ．第n 天走的里程数{a n }是公比为12的等比数列，从而S 6=a 1(1−126)1−12=252，由此能求出a 1=128，由此能求出最后一天走的里程数．本题考查最后一天走的里程数的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由题意可得，f(x)=sin(12x −π2)=−cos x2， ∴f(2A)=−cosA =−√22，cosA =√22． ∵0<A <π， ∴A =π4．∵a =4，b =4√2，A =π4，由余弦定理得42=(4√2)2+c 2−2×4√2c ×√22，整理得c 2−8c +16=0，得c =4．∴S △ABC =12AB ×AC ×sinA =8， ∴△ABC 的面积为8． 故选：C ．由题意利用诱导公式可求cos A 的值，结合A 的范围可求A 的值，根据余弦定理可求c 的值，即可求得△ABC 的面积．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，余弦定理的应用，属于中档题．【解析】解：等比数列{a n}的各项均不相等，且满足a2+2a1=6，a32=2a6，∴{a1q+2a1=6 (a1q2)2=2a1q5 q≠1，解得a1=−6，q=−3，∴该数列的前4项和为：S4=−6[1−(−3)4]1−(−3)=120．故选：A．利用等比数列通项公式列出方程组，求出a1=−6，q=−3，由此能求出该数列的前4项和．本题考查等比数列的前4项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：∵△ABC中，sinBcosA=sinA(1−cosB)，∴sinBcosA+cosBsinA=sinA，即sin(A+B)=sin(π−C)=sinC=sinA，∴A=C，又b=c，∴△ABC为等边三角形；∵点O是△ABC外一点，OA=√3，OB=1，设∠AOB=θ，∴S OACB=S△AOB+S△ABC=12|OA|⋅|OB|sinθ+12×|AB|2×√32=12×√3×1×sinθ+√34(|OA|2+|OB|2−2|OA|⋅|OB|cosθ)=√32sinθ+√34(3+1−2×√3×1×cosθ)=√3sin(θ−π3)+√3，∵0<θ<π， ∴−π3<θ−π3<2π3，∴当θ−π3=π2，即θ=5π6时，sin(θ−π3)取得最大值1， ∴平面四边形OACB 面积的最大值为2√3． 故选：A ．依题意，可求得△ABC 为等边三角形，利用三角形的面积公式与余弦定理可求得S OACB =√3sin(θ−π3)+√3，(0<θ<π)，从而可求得平面四边形OACB 面积的最大值． 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查余弦定理的应用，求得S OACB =√3sin(θ−π3)+√3是关键，也是难点，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：在△ABC 中，b +2acosC =0，由正弦定可得：sinB +2sinAcosC =0， 即sin(A +C)+2sinAcosC =0，即sinAcosC +cosAsinC +2sinAcosC =0， 即3sinAcosC =−cosAsinC ，即3tanA =−tanC ． ∵cosC =−b 2a<0，故C 为钝角，∴A 为锐角，tanA >0．据此可得：tanB =−tan(A +C)=−tanA+tanC1−tanAtanC =2tanA3tan 2A+1=23tanA+1tanA≤2√3tanA⋅1tanA=√33，当且仅当tanA =√33时，等号成立， 此时角B 取得最大值．据此可知：tanB =√33=tanA ，tanC =−3tanA =−√3，即△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，此时，a =b =1， 结合余弦定理可得c =√a 2+b 2−2abcosC =√3， △ABC 周长为a +b +c =1+1+√3=2+√3． 故选：B ．先利用正弦定理求出3tanA =−tanC ，再利用诱导公式及基本不等式求得tan B 的最大值，判断此时三角形的形状，可得a =b =1，再利用余弦定理求得c ，即可求解△ABC 周长．本题主要考查正弦定理，诱导公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．13.【答案】−4【解析】解：根据题意，向量a⃗=(2,5)，b⃗ =(10,x)，若a⃗⊥b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ =20+5x=0，解可得x=−4；故答案为：−4．根据题意，由向量垂直的判断方法可得a⃗⋅b⃗ =20+5x=0，解可得x的值，即可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量垂直的判断方法，属于基础题．14.【答案】√22【解析】解：∵sin30°=2sin15°cos15°，sin30°=cos60°，∴sin60°cos15°−2sin215°cos15°=sin60°cos15°−cos60°sin15°=sin(60°−15°)=sin45°=√22．故答案为：√22．根据已知条件，运用二倍角公式和三角函数的诱导公式，可得sin30°=2sin15°cos15°，sin30°=cos60°，再结合正弦函数的两角和公式，即可求解．本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及正弦函数的两角差公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．15.【答案】45【解析】解：因为a>0，b>0，且5ab+b2=1，所以a=1−b25b，因为a>0，所以0<b<1，a+b=1+4b25b =15b+4b5≥2√15b⋅4b5=45，当且仅当15b =4b5，即b=12，a=310时取等号，则a +b 的最小值45． 故答案为：45．由已知先用b 表示a ，然后代入到所求式子后，利用基本不等式即可求解． 本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑．16.【答案】2n−1 2054【解析】解：设正项等比数列{a n }的公比为q ，q >0， 由a 1>0，a 1q 3−a 1q >0，解得q >1，由a 4−a 2=6，a 5−a 1=15，可得a 1q 3−a 1q =6，a 1q 4−a 1=15， 解得q =2，a 1=1， 所以a n =2n−1；b 1=12，b n+1=11−b n，可得b 2=2，b 3=−1，b 4=12，b 5=2，...，则数列{b n }为周期为3的数列，所以S 11=(1+2+4+...+211)+(12+2−1)×3+12+2=1−2111−2+7=2054．故答案为：2n−1；2054．设正项等比数列{a n }的公比为q ，q >1，由等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公比，可得a n ；计算{b n }的前几项，可得{b n }为周期为3的数列，再由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的周期性和数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)由S 6=9S 3，可得公比q 不为1，由S 4=15，S 6=9S 3，可得a 1(1−q 4)1−q=15，a 1(1−q 6)1−q=9⋅a 1(1−q 3)1−q，解得a 1=1，q =2， 所以a n =1⋅2n−1=2n−1；(2)b n =log 2a 2n =log 222n−1=2n −1， 所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列， 故数列{b n }的前n 项和T n =n(1+2n−1)2=n 2．【解析】(1)首先判断公比q不为1，再由等比数列的求和公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；(2)由对数的运算性质可得b n，再由等差数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)因为|a⃗|=2，|b⃗ |=3，所以(2a⃗−3b⃗ )⋅(2a⃗+b⃗ )=4a⃗2−4a⃗⋅b⃗ −3b⃗ 2=16−4a⃗⋅b⃗ −27=−7，所以 a⃗⃗⃗ ⋅b⃗ =−1，因为a⃗−b⃗ 与3a⃗+k b⃗ 垂直，所以(a⃗−b⃗ )⋅(3a⃗+k b⃗ )=0，即3 a⃗⃗⃗ 2+k a⃗⋅b⃗ −3a⃗⋅b⃗ −k b⃗ 2=0，所以12−k+3−9k=0，即k=32．故k的值为32．(2)|a⃗+b⃗ |=√(a⃗+b⃗ )2=√a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +n⃗2=√4−2+9=√11，设向量 a⃗⃗⃗ 与 a⃗⃗⃗ +b⃗ 的夹角为θ，则cosθ=a⃗ ⋅(a⃗ +b⃗)|a⃗ |⋅|a⃗ +b⃗|=2⃗2×√11=2√11=3√1122，所以向量 a⃗⃗⃗ 与 a⃗⃗⃗ +b⃗ 的夹角的余弦值为3√1122．【解析】(1)根据已知条件求出a⃗⋅b⃗ 的值，再利用若a⃗−b⃗ 与3a⃗+k b⃗ 垂直求出k的值；(2)先求出|a⃗+b⃗ |，然后利用夹角公式求出向量 a⃗⃗⃗ 与 a⃗⃗⃗ +b⃗ 夹角的余弦值．本题考查平面向量数量积的性质和运算，夹角公式，考查了方程思想，属于基础题．19.【答案】解：△=(m+1)2−4m=(m−1)2≥0，方程f(x)=0的解为−m，−1，①当m=1时，x≠−1，②当m<1时，x>−m或x<−1，③当m>1时，x>−1或x<−m．综上，当m=1时，不等式的解集为{x|x≠−1}，当m<1时，不等式的解集为{x|x>−m或x<−1}，当m>1时，不等式的解集为{x|x>−1或x<−m}．【解析】△=(m +1)2−4m =(m −1)2≥0，讨论f(x)=0的解，结合函数图象得出不等式的解集．本题考查了二次不等式的解法和分类讨论思想，找到分类标准是解题关键．20.【答案】解：(1)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且满足2a =b⋅cosC cosA+c⋅cosB cosA，整理得：2acosA =BcosB +ccosB ，利用正弦定理：2sinA ⋅sinA =sinBcosC +sinCcosB =sin(B +C)=sinA ， 由于A ∈(0,π)， 所以A =π3．(2)由于a =2，A =π3，所以由余弦定理得：4=b 2+c 2−bc ≥2bc −bc =bc ， 故4=b 2+c 2−bc ≥(b +c)2−3bc =(b +c)2−3(b+c)24=(b+c)24，当b =c 时，取得b +c ≤4， 利用三角形的三边关系式的应用， 所以周长的最大值为a +b +c ≤6．【解析】(1)直接利用正弦定理和三角函数的关系式的变换求出A 的值； (2)利用余弦定理和基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理，三角函数的关系式的变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．21.【答案】解：(1)2b 2=(b 2+c 2−a 2)(1−tanA).∴2b 2=2bccosA ⋅(1−tanA).∴b =c(cosA −sinA)，由正弦定理可得：sinB =sinC(cosA −sinA)，∴sin(A +C)=sinCcosA −sinCsinA ， ∴sinAcosC =−sinCsinA ≠0，∴tanC =−1，解得C =3π4．(2)选择条件②，cosB =2√55，∴sinB =√55．∵sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC =√1010，由正弦定理可得：a =csinA sinC=2√2．在△ABD 中，由余弦定理可得：AD 2=AB 2+BD 2−2AB ⋅BDcosB ，解得AD =√26．【解析】(1)2b 2=(b 2+c 2−a 2)(1−tanA).利用余弦定理可得；2b 2=2bccosA ⋅(1−tanA).化为b =c(cosA −sinA)，再利用正弦定理、和差公式即可得出．(2)选择条件②，cosB =2√55，可得sinB =√55.利用核查公司可得sinA =sin(B +C)，由正弦定理可得：a =csinA sinC.在△ABD 中，由余弦定理可得AD ．本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)令n =2，得S 2−3S 1=2，又a 1=S 1=1，所以a 2=4；令n =3，得2S 3−4S 2=8，所以a 3=4+2(1+4)−(1+4)=9；(2)证明：由(n −1)S n −(n +1)S n−1=13(n 3−n)，得S n n(n+1)−S n−1(n−1)n =13(n ≥2)，所以{S n n(n+1)}是以S 12=12为首项，公差为13的等差数列， 所以S nn(n+1)=12+13(n −1)=13n +16，则S n =16n(n +1)(2n +1)，所以当n ≥2时，a n =S n −S n−1=16n(n +1)(2n +1)−16(n −1)n(2n −1)=n 2， 且当n =1时，a 1=1满足上式，所以a n =n 2；(3)由(2)可知b n =[lgn 2]，所以b 1=b 2=b 3=0，b 4=b 5=b 6=b 7=b 8=b 9=0，b 10=2，故T 10=3×0+6×1+2=8．【解析】(1)根据a 1=1，(n −1)S n −(n +1)S n−1=13(n 3−n)分别令n =2与n =3即可求出a 2与a 3的值；(2)由(n −1)S n −(n +1)S n−1=13(n 3−n)可得S n n(n+1)−S n−1(n−1)n =13(n ≥2)，从而{Snn(n+1)}是以S 12=12为首项，公差为13的等差数列，进一步可得S n =16n(n +1)(2n +1)，所以利用a n =S n −S n−1(n ≥2)求出a n 再检验a 1的值是否满足上式即可；(3)易知b n =[lgn 2]，所以b 1=b 2=b 3=0；b 4=b 5=b 6=b 7=b 8=b 9=0；b 10=2，从而利用分组求和法求出T 10即可．本题考查数列的递推公式以及分组求和法，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．。
2020-2021学年四川省内江市高一下学期期末数学复习卷1
2020-2021学年四川省内江市高一下学期期末数学复习卷1一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知a，b，c满足c<a<b，且bc<0，那么下列选项中不一定成立的是()A. ab>bcB. c(a−b)>0C. ca2<ba2D. b(b−a)>02.已知向量=(cosα,sinα)，将向量绕坐标原点O逆时针旋转θ角得到向量(0°<θ<90°)，则下列说法不正确的为()A. |+|=|−|B. ||+||>|−|C. (+)⊥(−)D. 、在+方向上的投影相等3.在正项等比数列{a n}中，lga3+lga6+lga9=6，则a1a11的值是()A. 10000B. 1000C. 100D. 104.下列向量中，与(3,2)垂直的向量是()A. (3,−2)B. (2,3)C. (−3,2)D. (−4,6)5.已知集合A={x|x2−4x−5<0}，B={−1,0，1，2，3，5}，则A∩B=()A. {−1,0}B. {−1,0，1}C. {0,1，2}D. {0,1，2，3}6.将正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵．根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是()A. 574B. 576C. 577D. 5787.在△ABC中，A=120°，AB=5，BC=7，则的值为()．A. B. C. D.8.sin(−10°)cos160°−sin80°sin(200°)=()A. −√32B. √32C. −12D. 129.已知e 1⃗⃗⃗ =(1,0)，e 2⃗⃗⃗ =(0,1)，则与3e 1⃗⃗⃗ −4e 2⃗⃗⃗ 垂直的向量是( ) A. 4e 1⃗⃗⃗ −3e 2⃗⃗⃗B. 3e 1⃗⃗⃗ +4e 2⃗⃗⃗C. 4e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗D. −3e 1⃗⃗⃗ +4e 2⃗⃗⃗10. 已知等比数列{a n }满足a 2=3，a 2+a 4+a 6=21，则a 4+a 6+a 8=( )A. 21B. 42C. 63D. 8411. 已知等比数列的公比q <0，其前项和为，则与的大小关系为( )A. B.C.D. 大小不确定12. 在△ABC 中，若c =2bcosA ，则△ABC 的形状一定是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a+b)2cd的最小值是______ ．14. 已知O 是△ABC 的外心，AB =2，AC =3，若x +2y =1，则；15. 设M 是△ABC 的边BC 上任意一点，且NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=______． 16. 已知一个数列只有21项，首项为，末项为，其中任意连续三项a ，b ，c 满足b =，则此数列的第15项是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. (本小题满分13分)已知且，(1)求的取值范围；(2)求函数的最大值和最小值．18. 等比数列{a n }的前n 项和S n ，已知S 3=7，且a 1+3，3a 2，a 3+4成等差数列．(1)求数列{a n }的公比q 和通项a n ； (2)若{a n }是递增数列，令b n =log 2a n+1128，求|b 1|+|b 2|+⋯|b n |.19. 已知函数f(x)=(√3sinx−cosx)(√3cosx+sinx)，x∈R，(1)求f(x)的单调递增区间；(2)将y=f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位后得到偶函数y=g(x)的图象，求m的最小值．20. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且b2+c2=a2+bc．(1)求∠A的大小；(2)若a=√3，b+c=3，求b和c的值．21. (本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击．(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里?(Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船?a n a n+1,n∈N∗，且a1=1．22. 已知数列{a n}的前n项和S n=12(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n=a n+√2(n∈N∗)，求证：数列{b n}中任意的三项都不可能成为等比数列．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查不等式的性质．考查了推理能力，属于基础题．根据已知可得．解：由c<a<b，bc<0，可得b>0，c<0，∴a可能为0，也可能不为0，∴ca2<ba2不一定成立，故选C．2.答案：A解析：由题意可知以，所在线段为一组邻边，+，−所在线段为对角线可构成边长为1的菱形，所以B，C，D正确，A错误．3.答案：A解析：本题主要考查了等比数列的性质以及对数与对数运算，考查学生的计算能力，属基础题．正项等比数列{a n}可得：a3a9=a1a11=a62.由lga3+lga6+lga9=6，利用对数的运算法则可得lg(a3a6a9)=6，即a63=106，解得a6即可．解：由正项等比数列{a n}可得：a3a9=a1a11=a62．∵lga3+lga6+lga9=6，∴lg(a3a6a9)=6，∴a63=106，解得a6=102．∴a1a11=a62=104．故选：A．4.答案：D解析：解：设向量(x,y)与(3,2)垂直，则3x+2y=0，经过验证只有：(−4,6)满足上式．故选：D．设向量(x,y)与(3,2)垂直，则3x+2y=0，经过验证即可得出．本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：D解析：解：∵A={x|−1<x<5}，B={−1,0，1，2，3，5}，∴A∩B={0,1，2，3}．故选：D．可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．6.答案：C解析：本题考查归纳推理，考查数列的特点，观察分析数字的排列规律是解题的关键，属于中档题．设各行的首项组成数列{a n}，则a2−a1=3，a3−a2=6，…，a n−a n−1=3(n−1)，累加可得：+1，由此可求数阵中第20行从左至右的第3个数．a n=3n(n−1)2解：设各行的首项组成数列{a n}，则a2−a1=3，a3−a2=6，…，a n−a n−1=3(n−1)，(n≥2)，累加可得：a n−a1=3+6+⋯+3(n−1)=3n(n−1)2+1(n≥2)，∴a n=3n(n−1)2+1=571，∴a20=3×20×192∴数阵中第20行从左至右的第3个数是571+6=577，故选：C．7.答案：D解析：由余弦定理，得BC2=AB2+AC2−2AB·AC·cosA，即72=52+AC2−10AC·cos120°，∴AC=3.由正弦定理，得==．8.答案：D解析：解：sin(−10°)cos160°−sin80°sin(200°)=sin10°cos20°+cos10°sin20°=sin(10°+20°)= sin30°=1，2故选：D．应用诱导公式、两角和的正弦公式，求得要求式子的值．本题主要考查应用诱导公式、两角和的正弦公式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．9.答案：C解析：解：∵e1⃗⃗⃗ =(1,0),e2⃗⃗⃗ =(0,1)，∴3e1⃗⃗⃗ −4e2⃗⃗⃗ =(3,−4)．∴对于A选项：4e1⃗⃗⃗ −3e2⃗⃗⃗ =(4,−3)，∴3×4+(−4)×(−3)≠0，故排除A；∴对于B选项：3e1⃗⃗⃗ +4e2⃗⃗⃗ =(3,4)，∴3×3+(−4)×4≠0，故排除B；∴对于C选项：4e1⃗⃗⃗ +3e2⃗⃗⃗ =(4,3)∴4×3+(−4)×3=，满足题意，故选：C．两向量垂直，则两向量数量积为0．本题考查向量垂直的判断，是基础题，解题时要注意向量垂直的性质的合理运用．10.答案：B解析：本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2=3，a2+a4+a6=21，∴3(1+q2+q4)=21，可得q4+q2−6=0，解得q2=2．则a4+a6+a8=q2(a2+a4+a6)=2×21=42．故选：B．11.答案：B解析：本题考查的是等比数列的通项公式和前n项和公式的运用．根据等比数列的性质可得a 9S 8− a 8S 9====∵q <0，∴>0∴a 9S 8> a 8S 9 故选B.12.答案：A解析：解：由c =2bcosA ，利用正弦定理化简得：sinC =2sinBcosA ，把sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB 代入得：sinAcosB +cosAsinB =2sinBcosA ， 即sinAcosB −cosAsinB =sin(A −B)=0，即A −B =0， ∴A =B ，即a =b ， 则△ABC 为等腰三角形， 故选：A ．已知等式利用正弦定理化简，把sinC =sin(A +B)代入，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理得到A =B ，即可确定出三角形形状．此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．13.答案：4解析：解：∵x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列， ∴a +b =x +y ，cd =xy ， 则(a+b)2cd=(x+y)2xy≥4xy xy=4，当且仅当x =y >0取等号．故答案为：4．x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，可得a +b =x +y ，cd =xy ，代入利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了等差数列、等比数列、基本不等式的性质，属于基础题．14.答案：解析：试题分析：，由于，三点共线， ，故答案为考点：向量的运用点评：解决的关键是结合三点共线，以及外心的性质来得到求解，属于基础题。