第十一章Black-Scholes-Merton期权定价模型
期权定价模型
期权定价模型期权定价模型是金融衍生品定价领域的重要模型之一，它通过考虑期权的各项特性，将期权的价值与其相关的标的资产、行权价格、到期时间、波动率、无风险利率等一系列因素联系起来，从而确定期权的公平价格。
在期权定价模型中，常用的模型有布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）和它的改进模型，如布莱克-斯科尔斯-默顿模型（Black-Scholes-Merton Model）。
这些模型基于一些假设，包括市场无摩擦、无风险利率不变、标的资产价格服从几何布朗运动等。
布莱克-斯科尔斯模型是最早的期权定价模型之一，它将期权价格视为标的资产价格的函数，通过假设标的资产价格服从几何布朗运动，并应用风险中性估计，推导出了一个偏微分方程，即著名的布莱克-斯科尔斯方程。
利用该方程可以计算出欧式看涨/看跌期权的价格。
然而，布莱克-斯科尔斯模型在实际应用中存在一些限制，例如假设市场无摩擦和无风险利率不变的条件，并且假设标的资产价格服从几何布朗运动，这些假设在现实市场中并不总是成立。
因此，为了更准确地定价期权，学者们提出了一系列改进的模型。
其中，布莱克-斯科尔斯-默顿模型是对布莱克-斯科尔斯模型的一个重要改进。
该模型引入了对标的资产价格波动率的估计，通过蒙特卡洛模拟或数值方法，可以计算出更加准确的欧式期权价格。
此外，还有许多其他的改进模型，如跳跃扩散模型、随机波动率模型等，针对不同的市场和期权特性提供了更加精确的定价方法。
总之，期权定价模型是金融衍生品定价领域的重要工具，它通过考虑期权的各项特性和相关因素，计算出期权的公平价格。
布莱克-斯科尔斯模型和其改进模型是常用的期权定价模型，但也存在一些假设和限制。
为了更精确地定价期权，学者们提出了一系列改进模型，以适应不同市场和期权特性的需求。
在期权定价领域，除了布莱克-斯科尔斯模型和其改进模型外，还有许多其他的期权定价模型被广泛应用。
这些模型包括跳跃扩散模型、随机波动率模型、二叉树模型等等，它们分别在不同的金融市场和期权类型中发挥着重要的作用。
Black-Scholes模型
在标的资产无收益情况下，由于C＝c， 因此式(10)也给出了无收益资产美式看涨 期权的价值。
根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在 平价关系，可以得到无收益资产欧式看 跌期权的定价公式：
p＝Xe-r(T-t) N(—d2)—SN(—d1) (11)
由于美式看跌期权与看涨期权之间不存 在严密的平价关系，因此美式看跌期权 的定价还没有得到一个精确的解析公式。
一个小时间间隔Δt后必定没有风险。 因此该组合在Δt中的瞬时收益率一定等
于Δt中的无风险收益率。
否则的话，套利者就可以通过套利获得 无风险收益率。
因此，在没有套利机会的条件下：
ΔΠ＝rΠΔt……（6） 把式(3)和(5)代入（6）得:
5、这就是著名的布菜克——舒尔斯微分分程, 它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的 定价。
由于0.4148＜1.0元，因此在第二个除权日前有 可能提前执行
然后，要比较1年期和11个月期欧式看涨期权 价格。
对于1年期欧式看涨期权来说，由于红利的现 值为：
益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。
当标的证券己知收益的现值为I时，我们 只要用(s—I)代替式(10)和(11)中的S即可 求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权 的价格。
当标的证券的收益为按连续复利计算的 固定收益率q(单位为年)时，将Se-q(T-t) 代 替式(10)和(11)中的S就可求出支付连续 复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权 的价格。从而使布莱克——舒尔斯的欧 式期权定价公式适用欧式货币期权和股 价指数期权的定价。
: 数，由伊藤引理可得
df
(
f S
S
f t
1 2
2 f S 2
2S
2
Chapter11布莱克休尔斯莫顿期权定价模型
衍生证券的定价。
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观察布莱克－舒尔斯微分方程，我们可以发现，受制于主观的 风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决 定公式中。这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对f的值 产生影响。因此我们可以作出一个可以大大简化我们工作的假设： 在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。尽管这只是一 个人为的假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风 险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。
11
由上一页的推导可知证券价格对数服从正态分布。如果
一个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数
正态分布。这表明ST服从对数正态分布。根据对数正态分布 的特性，以及符号的定义，我们可以得到 E(ST ) Se (T t) 和 var(ST ) S 2e 2(T t) [e 2 (T t) 1]
S S S 2 S 2 t
代入式 dG ( G a G 1 2G b 2 )dt G bdz我们就可得到 G ln S 所
x
t 2 x 2
x
遵循的随机过程为 dG d ln S ( 2 )dt dz
2
由于dlnS是股票的连续复利收益率，得出的公式说明股票的连续
复利收益率服从期望值 ( 2 )dt ，方差为 2dt 的正态分布。
2、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为 aT，标准差为 b T，方差为b2T。
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普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量 x的漂移率和方差率当作)dz
black-scholes-merton 公式
black-scholes-merton 公式Black-Scholes-Merton公式是一种用于计算欧式期权价格的数学模型，由费希尔·布莱克（Fischer Black）、默顿·斯科尔斯（Myron Scholes）和罗伯特·默顿（Robert C. Merton）于1973年共同发表。
这个公式基于一些基本假设，包括市场是完全有效的、不存在无风险套利机会、股票价格的随机波动是符合几何布朗运动等。
Black-Scholes-Merton公式可以有效地计算欧式期权的理论价格，同时提供了进行风险对冲的指导。
欧式期权是指只能在到期日（欧式期权只有一个到期日）行权的权利，行权价格和到期日都是已知的。
这个公式的一般形式如下：C = S_t × N(d1) - K × e^(-r(T-t)) × N(d2)其中，C是期权的价值（即期权的理论价格）；S_t是标的资产在t时刻的价格；K是期权的行权价格；r是无风险利率；T是期权的到期时间；t是当前时间，t < T；N(d1)和N(d2)是标准正态分布函数，d1和d2的计算公式如下：d1 = (ln(S_t/K) + (r + σ^2/2)(T-t)) / (σ√(T-t))d2 = d1 - σ√(T-t)其中，σ是标的资产年化波动率（即股价的标准差）。
Black-Scholes-Merton公式的准确性与其基本假设的适用性有关。
当这些假设不满足时，公式可能会低估或高估期权价格。
例如，如果市场不是有效的，存在无风险套利机会，或股价的波动性不符合几何布朗运动，那么该公式的应用就会有问题。
尽管如此，Black-Scholes-Merton公式仍然是金融学中一个非常重要的工具，对衍生品定价和交易策略的制定有很大帮助。
它为投资者和交易员提供了一个参考标准，用于评估期权价格的合理水平，并且为制定风险对冲策略提供了指导。
Black-Scholes期权定价模型和特性
Black-Scholes期权定价模型和特性Black-Scholes期权定价模型是一个广泛应用于金融市场的数学模型，它被用来计算欧式期权的价格。
该模型是由美国经济学家费希尔·布莱克（Fischer Black）和莱蒙德·斯科尔斯（Myron Scholes）于1973年开发的，并获得了1997年诺贝尔经济学奖。
Black-Scholes模型基于一些假设，包括市场无摩擦、标的资产价格服从几何布朗运动、无风险利率恒定不变、期权可以无限制地买卖等。
它利用随机微分方程和偏微分方程来描述期权价格的变化以及与标的资产价格和时间的关系。
Black-Scholes模型的公式如下：C = S*N(d1) - X*e^(-r*T)*N(d2)P = X*e^(-r*T)*N(-d2) - S*N(-d1)其中，C代表期权的买入价格，P代表期权的卖出价格，S代表标的资产的当前价格，X代表期权的行权价格，r代表无风险利率，T代表期权的时间，在期权到期日之间的年份，N(d1)和N(d2)代表标准正态分布的累积分布函数。
Black-Scholes模型的特性有以下几点：1. 理论完备性：Black-Scholes模型是一个完备的期权定价模型，可以通过输入特定的参数来计算期权的价格。
它提供了一种可行的方法，用来解决期权定价的问题。
2. 自洽性：Black-Scholes模型是自洽的，意味着如果市场满足了模型的所有假设条件，那么模型计算的期权价格将与实际市场价格一致。
3. 敏感性分析：Black-Scholes模型可以用来分析期权价格对各个因素的敏感性。
通过改变模型中的参数，例如标的资产价格、无风险利率、期权行权价格和时间等，我们可以研究它们如何影响期权的价格。
4. 适用性：Black-Scholes模型广泛适用于欧式期权的定价，包括股票期权、货币期权和商品期权等。
然而，对于美式期权和一些特殊类型的期权，Black-Scholes模型可能不适用。
第十一章Black-Scholes-Merton期权定价模型
在一个小的时间间隔△t中，f的变化值△f满足：
f f 1 2 f 2 2 f f ( S ) t S z S S t 2 S 2 S
精选ppt第一节bsm期权定价模型的基本思路精选ppt本章涉及到随机过程等较为复杂的概念为了便于理解我们首先对bsm模型的整体思路做一个简要的归纳以便大家更好的掌握期权定价的内由于最终目标是为股票期权定价而期权是其标的资产即股票的衍生工具在已知执行价格期权有效期无风险利率和标的资产收益的情况下期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化股票价格是影响期权价格的最根本因素
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根据伊藤引理（ItôLemma，1961），当股票价格 符合几何布朗运动时，作为股票衍生品的期权价 格f将服从：
f f 1 2 f 2 2 f df ( S )dt Sdz 2 S S t 2 S S
（11.2）
可以发现，影响期权价格的随机因素也体现在等式 右边的第二项的dz上，所以，股票价格及其衍生产品— —期权价格都只受到同一种不确定性的影响，其区别在 于随机因素dz前面的系数不同，也就是随机因素变化的 反应程度不同。
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第一节 B-S-M期权定价模型的基本思路
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本章涉及到随机过程等较为复杂的概念，为了便 于理解，我们首先对B-S-M模型的整体思路做一个 简要的归纳，以便大家更好的掌握期权定价的内 容。
由于最终目标是为股票期权定价，而期权是其标 的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、 期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况 下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变 化，股票价格是影响期权价格的最根本因素。
理解Black-Scholes-Merton模型
理解Black-Scholes-Merton模型Black-Scholes-Merton模型是衍⽣品定价中⼀个⾮常基本的模型，它给出了对欧式期权的定价。
理解它对于理解量化⾦融⾮常重要。
这⾥仅介绍⼀种简单理解，因此本⽂中的所有数学细节都不严谨，仅供参考。
⼀、⾦融基础：期货（Futures）⾸先我们看wikipedia上对远期和期货的定义：In finance, a forward contract or simply a forward is a non-standardized contract between two parties to buy or to sell an asset at a specified future time at a price agreed upon today, making it a type of derivative instrument.In finance, a futures contract (more colloquially, futures) is a standardized forward contract which can be easily traded between parties other than the two initial parties to the contract.远期协议是⼀个买卖双⽅在未来以某价格交易某种资产的⼀个协议，⽽期货是⼀种标准化的远期协议，更容易来交易。
所以我们可以看到期货的⼏个要素：⼀个标的资产，⼀个价格，买卖双⽅，交割⽇。
当然，因为⼀般我们要⽤保证⾦来保证协议在未来能够被履⾏，所以还有⼀个要素是保证⾦。
例如股指期货，它的标的资产就是股票指数，⽐如沪深300指数（对沪市和深市2800只个股按照⽇均成交额和⽇均总市值进⾏综合排序，选前300名的股票作为样本，以2004年12⽉31⽇这300只成份股的市值做为基点1000点，实时计算的⼀种股票价格指数）。
对期权定价模型的偏微分方程分析--Black-Scholes期权定价模型
对期权定价模型的偏微分方程分析--Black-Scholes期权定
价模型
Black-Scholes（BS）期权定价模型是20世纪70年代由Fisher Black、Myron Scholes和Robert Merton独立发明和发展的。
BS模型将期权定价问题转化为偏微分方程问题，并提供了一种通过经济因素来解决期权定价的方法。
BS模型假设股票价格服从几何布朗运动，并使用随机微分方程来描述它们的漂移和随机波动性。
该模型还假定期权的价格服从Black-Scholes PDE：
$$\\frac{\\partial V}{\\partial
t}+\\frac{1}{2}\\sigma^2S^2\\frac{\\partial^2 V}{\\partial S^2}+rS\\frac{\\partial V}{\\partial S}-rV=0$$
其中，$V(S,t)$是期权价格，$S$是标的资产价格，
$\\sigma$是波动率，$r$是无风险利率，$t$是时间。
该方程可以被解释为投资组合在动态套利环境中的漂移和随机波动性，其中投资组合由一单股票和一个期权组成。
该方程的求解需要使用特殊函数，如Black-Scholes方程的解析解。
这个解析解有助于我们理解期权价格如何受到各种因素的影响，例如股票价格、波动率、时间和无风险利率。
总之，BS模型的偏微分方程分析提供了一种方法，使我们能够根据标的资产价格、波动率、时间和无风险利率来定价期权。
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Robert Merton
（1944-）
对Black-Scholes公式所依赖的假设条件作了进一 步减弱，在许多方面对其做了推广，1997年诺贝尔经 济学奖获得者。
1944年出生于美国纽约，小时候对数学特别感兴 趣。 1966年毕业于哥伦比亚大学工学院，并获工程 数学学士学位。在哥伦比亚大学默顿曾经上过Chiakun Chu教授的热传导课，从而教会了他偏微分的方 程和其他高深的数学理论。也正是在这位教授的鼓舞 和推荐下，默顿大学毕业后去了加州理工学院攻读硕 士学位。在加州理工学院学习时，他仍然十分关注金 融市场。他早上6:30就去一个经纪公司进行股票和场 外期权的交易，直到8:30再去学院工作，在那里他形 成了对金融市场交易过程的直觉，这种直觉对他今后 从事的期权定价理论研究有莫大的帮助。
b2)dt
G x
bdz
（11.7）
这里，dz是一个标准布朗运动，可以看到
和 都是x和t的函数。因此，函 G
x
9
将式（11.1）和（11.2）联立方程组，在数学上
很自然地会在式（11.1）的两边同时乘上
f S
,并
将两式相减，这可以消去dz项，得到B-S-M微分
方程：
f t
rS
f S
1
2
2S 2
2 f S 2
1) X er(T t)N (d 2)
Black是位充满传奇色彩的人物。他从未受过正式 的金融和经济学训练，但却在几年之内创立了现代金 融学的基础。他在生活中处处规避风险，却在学术研 究和商业实践中勇敢的挑战前册。他能轻易地获得芝 加哥大学和MIT的终生教授头衔，也能自如地放弃， 再次投身到金融衍生品革命的大潮。他频繁地在象牙 塔和华尔街之间穿梭、游弋，给那些以为理论和实践 是两个截然世界的人出了大大的难题。
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第一节 B-S-M期权定价模型的基本思路
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本章涉及到随机过程等较为复杂的概念，为了便 于理解，我们首先对B-S-M模型的整体思路做一个 简要的归纳，以便大家更好的掌握期权定价的内 容。
由于最终目标是为股票期权定价，而期权是其标 的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、 期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况 下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变 化，股票价格是影响期权价格的最根本因素。
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Fisher Black
（1938年1月11日-1995年8月30日）
美国经济学家，Black-Scholes模型的提出者之一。 他毕生坚持奋战在华尔街，在金融领域他是“搞实务 的”而不是“做学术的”，然而，他却创建了迄今为 止最正确、最经典、应用最广、成就最高的模型 （ Black-Scholes模型）。在他因肺癌去世一年后，诺 贝尔经济学奖颁给了参与创建模型的两位学者Scholes 和Merton。
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根据伊藤引理（ItôLemma，1961），当股票价格 符合几何布朗运动时，作为股票衍生品的期权价 格f将服从：
df
( f S
S
f t
1 2
2f S2
2
S
2)dt
f S
Sdz
（11.2）
可以发现，影响期权价格的随机因素也体现在等式 右边的第二项的dz上，所以，股票价格及其衍生产品— —期权价格都只受到同一种不确定性的影响，其区别在 于随机因素dz前面的系数不同，也就是随机因素变化的 反应程度不同。
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第二节 股票价格的变化过程
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一、 几何布朗运动
对于股票价格的变化过程来说，人们通 常用如下公式来进行描述：
dS dt dz
S
这是B-S-M期权定价模型的基础性假设， 也是金融中最重要最普遍的假设之一。
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★几何布朗运动图示
13
二、伊藤过程与伊藤引理
普通布朗运动假设漂移率和方差率为常数，如 果变量x的漂移率和方差率均为变量x和时间t的函 数，就说变量x服从伊藤过程（ Itôprocess）：
第十一章
Black-Scholes-Merton期权定价模型
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本章思想的来源：
（1）Black,Fischer and Myron Scholes. The Pricing of Options and Corporate Liabilities [J]. Journal of Political Economy,1973,Vol.81 Issue 3,pp.637-654.
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Myron Scholes
（1941-）
由于他给出了著名的Black-Scholes期权定价公式， 该法则已成为金融机构涉及金融新产品的思想方法， 由此获得1997年的诺贝尔经济学奖。
求学与供职简历：
1941年出生于加拿大；1962年在Mc-Master大学 获学士学位；1964年获芝加哥MBA学位；1968年获 芝加哥大学商学院金融学博士学位；1969年获芝加哥 大学经济学博士学位；1972-1983执教芝加哥大学； 1983年至今执教斯坦福大学。
dx a(x,t)dt b(x,t)dz （11.6）
其中，dz仍为标准布朗运动；a和b是变量x和t 的函数，变量x的漂移率为a，方差为b2。
在此基础上，伊藤进一步推导出，若变量x遵 循伊藤过程，则变量x和t的函数G(x,t)将遵循如下 过程：
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dG
(
G x
a
G t
1 2
2G x2
（2）Merton, Robert. Theory of Rational Option Pricing [J]. The Bell Journal of Economics and Management Science,1973(Spring),Vol.4 Issue 1,pp.141-183.
7
通过观察市场中的股票价格可知，股票价格的变 化是一个随机过程。相应地，受其影响的期权价 格的变化过程也必然是一个随机过程。事实上，
人们发现，股票价格的变化可以用数学上的一种 随机过程-几何布朗运动较好的加以描述，其具体 形式如下：
dS/S=μdt+σdz
（11.1）
其中，dz完全捕捉了影响股票价格变化的随机 因素。