概率论和数理统计知识点与练习题集

第一章概率论的基本概念§概率的定义一、概率的性质（1）1P.≤A)(0≤（2）0)P，1φ(=P.S)(=（3）()()()()P A B P A P B P AB.⋃=+-（4）)AP-=.P(A(1)（5）)PABBA=PP--.特别地，若A=()()(P(AB)AB⊂，-，)=P-()BPAP≥.(A(B()))PAP(B例设,A B为随机事件, ()0.4,()0.3P A B⋃=P A P B A，则()_____.=-=解：,3.0APBBP()()()()0.7P A B P A P B P AB⋃=+-=P-AB()()(==-)§ 条件概率一、 条件概率定义 设B A ,是两个事件，且0)(>A P ，称)|(A B P =)()(A P AB P 为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。

二、全概率公式 全概率公式：12,,,n A A A 为样本空间S 的一个事件组，且满足：（1）12,,,n A A A 互不相容，且),,2,1(0)(n i A P i =>;(2) 12⋃⋃⋃=n A A A S .则对S 中的任意一个事件B 都有)()()()()()()(2211n n A B P A P A B P A P A B P A P B P +++=例设有一仓库有一批产品，已知其中50%、30%、20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为201,151,101，现从这批产品中任取一件，求取得正品的概率解 以1A 、2A 、3A 表示诸事件“取得的这箱产品分别是甲、乙、丙厂生产”；以B 表示事件“取得的产品为正品”，于是：;2019)|(,1514)|(,109)|(,0102)(,103)(,105)(321321======A B P A B P A B P A P A P A P 按全概率公式 ，有：112233()(|)()(|)()(|)()=++P B P B A P A P B A P A P B A P A 92.010220191031514105109=⋅+⋅+⋅=三、 贝叶斯公式设B 是样本空间S 的一个事件，12,,,n A A A 为S 的一个事件组，且满足：（1）12,,,n A A A 互不相容，且),,2,1(0)(n i A P i =>; (2) 12⋃⋃⋃=n A A A S .则)()()()()()()()()|(11n n k k k k A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P ++==这个公式称为贝叶斯公式。

例：有甲乙两个袋子，甲袋中有4个白球，5个红球，乙袋中有4个白球，4个红球．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，(1)问此球是红球的概率(2)若已知取得的是红球，则从甲袋放入乙袋的是红球的概率是多少解：设A 1表示从甲袋放入乙袋的一球是红球，则A 1表示从甲袋放入乙袋的一球是白球，设A 2：表示从乙袋取的一球是红球，则814194949595)()|()()|()(11121122=⨯+⨯=+=A P A A P A P A A P A P ）（12112255()(|)99(2) (|)41()81⨯==P A P A A P A A P A .§ 事件的独立性一、 事件的独立性定义. 若两事件A ，B 满足)()()(B P A P AB P =,则称A ，B 相互独立。

第二章随机变量及其分布§ 一维随机变量一、 随机变量与分布函数定义 设E 为一随机试验,S 为E 的样本空间,若()X X ω=,S ω∈为单值实函数，则称X 为随机变量。

定义 设X 为一个随机变量，x 为任意实数，称函数)()(x X P x F ≤=分布函数的性质（1） 1)(,0)(=+∞=-∞F F .（2） )(x F 是自变量x 的非降函数，即当21x x <时，必有)()(21x F x F ≤.因为当21x x <时有0)()()(2112≥≤<=-x X x P x F x F ，从而)()(21x F x F ≤. （3） )(x F 对自变量x 右连续，即对任意实数x ，)()0(x F x F =+RXx§ 一维离散型随机变量一、离散型随机变量定义 离散型随机变量X 只可能取有限个或可列个值，设X 可能取的值为,....,...,,21n x x x .定义 设离散型随机变量X 可能取的值为,....,...,,21n x x x ，且X 取这些值的概率为：k k p x X P ==)( (,...),...,2,1n k =则称上述一系列等式为随机变量X 的分布律。

由概率的定义知，离散型随机变量X 的概率分布具有以下两个性质： （1） ,......)2,1(,0=≥k p k（非负性）（2） 1=∑kkp （归一性）二、 几种常用的离散型分布 1. 0—1分布如果随机变量X 只可能取0和1两个值，且它的分布列为)10(,1)0(,)1(<<-====p p X P p X P ，则称X服从0—1分布。

其分布律为：2.二项分布如果随机变量X 只可能取的值为0,1,2,…,n，它的分布律为k n k k n q p C k X P -==)( ,(),...2,1,0n k =其中p q p -=<<1,10，则称X 服从参数为p n ,的二项分布，记为),(~p n b X3.泊松分布如果随机变量X 所有可能取的值为0,1,2,…,它取各个值的概率为,...)2,1,0(,!)(===-k e k k XP kλλ，其中0λ>是常数，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为~()πλX .例：设~()X πλ，{1}{2},P X P X ===则(1)_______.==P X 例： 设随机变量1~(2,)2Xb ，则{1}==P X .§ 连续型随机变量的概率密度一、概率密度的概念定义 设随机变量X 的的分布函数为()F x ，如果存在一个非负可积函数)(x f ，使得对于任意实数x ，有：⎰∞-=xdt t f x F )()(则称X 为连续型随机变量，而)(x f 称为X 的概率密度。

由概率密度的定义及概率的性质可知概率密度)(x f 必须满足： （1） )(x f ≥0 ； （2） ⎰+∞∞-=1)(dx x f ；（3） 对于任意实数b a ,，且b a ≤有⎰=-=≤<ba dx x f a Fb F b X a P )()()(}{；（4）若)(x f 在点x 处连续，则有)()('x f x F =.例 设随机变量X 具有概率密度⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(3x x Ke x f x（1）试确定常数K ； （2）求(0.1)P X >； （3）求()F x .解（1）由⎰+∞∞-=1)(dx x f ，即⎰+∞∞-dx x f )(=133)3(31033030==-=--=∞+--∞+-∞+⎰⎰Ke K x d Ke dx Ke x xx 得3K =.于是X 的概率密度⎩⎨⎧≤>=-0,00,3)(3x x e x f x ；（2）(0.1)P X >=⎰+∞1.0)(dx x f =7408.0331.0=-+∞⎰dx e x ;（3）由定义()F x =⎰∞-xdt t f )(。

当0≤x 时，()F x =0；当0>x 时，()F x =⎰∞-x dt t f )(=x x xe dx e 33013---=⎰所以⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(3x x e x F x .二、几个常用的连续型随机变量的分布 1. 均匀分布如果随机变量X 的概率密度为1,()0,a xb f x b a⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他则称X 服从],[b a 上的均匀分布，记为),(~b a U X 。

2. 指数分布如果随机变量X 的概率密度为1>0(;)0x x ef x θθθ-⎧⎪=⎨⎪⎩其他则称X 服从参数为θ的指数分布。

3. 正态分布如果随机变量X 的概率密度为)(,21)(22)(21+∞<<-∞=--x ex f x μσσπ；其中μσσ,,0>为常数，则称X 服从参数为μσ,的正态分布，记为),(~2σμN X . 特别的，当1,02==σμ时，称X服从标准正态分布，即)1,0(~N X ，概率密度为 )(,21)(22+∞<<-∞=-x ex x πϕ标准正态分布的分布函数为 ⎰⎰∞--∞-==Φxt xdt edx x x 2221)()(πϕ对于标准正态分布的分布函数，有下列等式)(1)(x x Φ-=-Φ21)0(=Φ定理 如果),(~2σμN X 则)1,0(~N X σμ-推论 如),(~2σμN X ，则)()()()(}{σμσμ-Φ--Φ=-=<<a b a F b F b X a P例设)4,5.1(~N X，求)5.3(≤X P ；解)5.3(≤X P =8413.0)1()25.15.3()5.3(=Φ=-Φ=F .例设随机变量~(1,4)X N ，则{1}≤=P X .§随机变量函数的分布一、 离散型随机变量的函数的分布 例设X 的分布律为求21Y X =-的分布律。

解 因为Y 的可能取值为3,1,1,3--，而且{3}{1}0.1P Y P X =-==-=，{1}{0}0.2P Y P X =-===， {1}{1}0.3P Y P X ====，{3}{2}0.4P Y P X ==== 因而,Y 的分布律为二、 连续型随机变量的函数的分布设X 是连续型随机变量，已知)(x f X 为其概率密度，那么应当如何确定随机变量)(X g Y =的概率密度)(x f Y 呢例设连续型随机变量X 具有概率密度)(x f X ，求随机变量Y kX b =+（其中,k b 为常数且0k ≠）的概率密度)(x f Y . 解 设Y 的分布函数为)(y F Y ，当0k >，则()Y F y =(){}{}{}()--=≤=+≤=≤=Y X y b y bF y P Y y P kX b y P X F k k上式两边对y 求导数得)(1)(kb y f k y f X Y -=当0k <，则()Y F y ={}{}{}1()--≤=+≤=≥=-Y y b y bP Y y P kX b y P X F k k上式两边对ｙ求导数得1()()Y X y bf y f k k-=-于是)(||1)(kb y f k y f X Y -=第三章 二维随机变量及其分布§二维随机变量及分布函数定义 设S 为随机试验E 的样本空间，X ,Y 是定义在S 上的随机变量，则称有序数组(,)X Y 为二维随机变量或称为二维随机向量。