高三数学第一轮复习专题---数系的扩充与复数的引入
高考数学一轮复习第4章 第5节 数系的扩充与复数的引入
答案：5
5．已知复数 z＝1－3＋3ii2，则|z|＝________. 解析：z＝1－3＋3ii2＝－2－3＋2 i 3i ＝－2－3＋2 i3－i2－＋22＋23i3i＝－ 43＋14i，
答案：8
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解析：由题意知xx2－－11≠＝00， 得 x＝－1.
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解析：当 m»＝第1 五时级，z1＝3－2i，故 z1＝z2；反之当 z1＝z2 时， 有mm22＋ ＋mm＋ －14＝ ＝－ 3，2， 解得 m＝1 或 m＝－2.所以 m＝1 是 z1＝ z2 的充分不必要条件．
以 1 为半径的圆上.yx表示圆上的点与原点连线的斜率．
设过原点的直线为 y＝kx，由直线与圆相切，得 k|22＋k| 1＝1，
解得
k＝±
3 3.
故所求yx的取值范围为－ 33， 33.
答案：A
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单击此处编辑母版复文数本中样的式新概念、新运算问题 第二级 • 第三级 – 第四级 »第五级
2020年高三数学第一轮复习教案-复数-数系的扩充与复数的引入
3．共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
4．复数的模
→ 向量OZ的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作
|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2.
【知识必备】
知识点二 复数的几何意义
1．复数 z＝a＋bi 2．复数 z＝a＋bi(a，b∈R)
复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R)．
→ 平面向量OZ.
【知识必备】
知识点三 复数的运算 1．复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：zz12＝ac＋＋dbii＝ac＋＋dbiicc－－ddii＝acc2＋＋db2d＋bcc2＋－da2di(c＋di≠0)．
对应的复数．
→→→ (4)复数减法的几何意义：复数 z1－z2 是OZ1－OZ2＝Z2Z1所对应的
复数．
【典型例题】
【典型例题】
【典型例题】
【典型例题】
【典题演练】
【典题演练】
【典题演练】
9.
-1
【作 业】
完成课时作业（六十一）
再见
【知识必备】
知识点三 复数的运算
2．复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3∈C，有 z1 ＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
【知识必备】
2023版高考数学一轮总复习13数系的扩充与复数的引入课件
原式=i.故选A.
答案 (1)B (2)A
1)(1±i)2=±2i;1 i =i;1 i =-i;
1i 1i
2)-b+ai=i(a+bi)(a,b∈R); 3)i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1,i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4=0,n∈N.
例 (1)(2021全国甲,3,5分)已知(1-i)2z=3+2i,则z= ( )
专题十三 数系的扩充与复数的引入
1.复数的有关概念
内容
考点一 复数的概念与几何意义
概念
复数 复数相等 复数的模
形如a+bi的数叫做复数,其中a为实部,b为虚部 a+bi=c+di⇔a=c且b=d 向量 OZ的长度叫做复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+ bi|,即|z|=|a+bi|= a2 b2
共轭复数
其中,a,b,c,d∈R,i为虚数单位.
复数z=a+bi的共轭复数为a-bi,记为 z,即 z=a-bi
2.复数的几何意义 其中,a,b∈R,i为虚数单位.
考点二 复数的运算 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 z1±z2=(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i; z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;
3 2
i.故选B.
解法二:设z=a+bi(a,b∈R),由(1-i)2z=3+2i得(1-i)2(a+bi)=3+2i,∴-2i(a+bi)=2
数系的扩充与复数的引入 (2).
课堂教学单元教案科目：高二数学课题：数系的扩充与复数的引入一．数学分析：（1）复数系是在实数系的基础上扩充儿得到的，为了帮助学生了解学习复数的必要性，了解实际需求和数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，本章从一个思考问题开始，在问题情境中简单介绍了由实数系扩到复数系的过程，这样不仅可以激发学生的学习复数的欲望，而且也可以比较自然的引入复数的学习之中。
复数的概念是整个复数内容的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数形式展开的，虚数单位、实部、虚部、复数相等的充要条件、以及虚数，纯虚数等概念的理解都应促进对复数实质的理解，即复数实际上一有序的实数对。
类比实数可以用数轴上的点表示，把复数在直角坐标系中表示出来，就得到了复数的集合表示。
用复平面内的点或平面向量表示复数，不仅使抽象的复数得到直观形象的表示，而且也使数和形得到了有机的结合。
（2）复数代数形式的四个运算，及复数代数形式的加法，减法，乘法和除法，重点是加法和乘法。
复数加法和乘法的法则是规定的，是具有其合理性的；这种规定与实数的加法，乘法的法则是一致的，而且实数的加法，乘法的有关运算仍然成立的。
二．学情分析：1.知识掌握上，高二年级的学生已经学过实数的扩充，已经有一定基础，但是扩充的过程可能会有所遗忘，所以首先应该进行适当的引入复习，同时高二的学生已经掌握了一些分析思考的能力，所以教学中通过问题的提出到解决过程有意识地进一步应用、提高学生的这些能力；2.心理上，多数学生感觉到数学过于枯燥繁琐，而且刚刚学的一章内容“推理与证明”又是数学中的难点，所以学生对新的一块内容可能也带有异样情绪，因此在引入、学习时要能让学生们能够感兴趣并且愿意去了解；3.学生学习本节内容可能存在的知识障碍：学生学习本节内容可能会遇到一些障碍，如对复数的理解，复数的引入是否具有实际意义，复数的引入是否具有实际应用，复数相等条件的理解等。
所以教学中对复数概念的讲解中尽量以简单明白、深入浅出的分析为主，在引入后花少许时间对复数的实际意义、复数的实际应用作以解释。
高考数学一轮总复习 专题13 数系的扩充与复数的引入 13 数系的扩充与复数的引入课件
1i 1i
7.复数z=a+bi(a,b∈R)的模,也就是向量 OZ 的模,即有向线段 OZ 的长度, 计算公式:|a+bi|= a2 b2 . 当b=0时,复数a+bi就是实数.由上面的公式,有|a|= a2 .这与以前关于实 数的绝对值及算术平方根的规定一致,可见,复数的模就是实数的绝对 值概念的扩充. 8.共轭复数及其运算性质
方法技巧
方法1 复数有关概念的解题方法
掌握一个复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件,两个复数互为共轭复
数的充要条件,两个复数相等的充要条件.明确复数问题实数化是解决
复数问题的最基本的思想方法.
例1 (2018浙江杭州第一学期教学质检,11)设复数z= 25 i (其中i为虚数
单位),则复数z的实部为
2 3i
i
= (2 i23i)i
= 2i 3
1
=3-2i,则其虚部为-2,模为 32
(2)2
= 13
.
答案 -2; 13
考向二 复数的运算 例2 (2018浙江嘉兴第一学期期末,2)若复数z=2-i,i为虚数单位,则(1+z) (1-z)= ( ) A.2+4i B.-2+4i C.-2-4i D.-4 解析 由z=2-i,得(1+z)(1-z)=(3-i)(-1+i)=-3+3i+i-i2=-2+4i,故选B. 答案 B
z=a+bi与 z =a-bi(a,b∈R)互为共轭复数,且z+ z =2a,z- z =2bi,z· z =|z|2=| z |2,运
高考一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第3讲平面向量的数量积
[分析](1)利用夹角公式求解．
[解析](1)设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则c＝( ， )，
cos<a，c>＝ ＝ ＝ ，
∴sin<a，c>＝ ，故选B.
(2)∵|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，∴a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝19.又|a＋b|＝ ＝ ＝7，
∴cos〈a，a＋b〉＝ ＝ ＝ .故选D.
A. B．
C．6D．
[解析](1)本题考查向量的数量积．由题意得a·b＝|a||b|cos 60°＝ ，b2＝|b|2＝1.对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝ ＋2＝ ≠0，故A错；对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B错；对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝ －2＝－ ≠0，故C错；对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以(2a－b)⊥b，故选D.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
知识点三 平面向量数量积的性质及其坐标表示
(1)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
②模：|a|＝ ＝ .
③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝| |＝ .
[分析](1)求出|a|，再由|2a－b|＝ 求解；
[解析](1)∵a＝(1，－ )，∴|a|＝2.
∴a·b＝|a||b|cos 60°＝3，
|2a－b|＝ ＝ ＝ .故选C.
(2)由题意知m·n＝ ×2×cos ＝3.
∵△ABC中，D为BC的中点，
∴ ＝ ( ＋ )＝ (2m＋2n＋2m－6n)＝2m－2n.
数学(文)一轮教学案：第十四章 数系的扩充与复数的引入 Word版含解析
第十四章 数系的扩充与复数的引入考纲展示 命题探究1 复数的定义形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中实部是a ，虚部是b . 2 复数的分类 3 复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． 4 复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点表示纯虚数．5 复数的几何意义6 复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，则|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R )，即复数a ＋b i 的模表示点Z (a ，b )与原点O 的距离．特别地，b ＝0时，z ＝a ＋b i 是实数a ，则|z |＝|a |. 注意点 复数概念的理解的注意事项 (1)两个不全是实数的复数不能比较大小． (2)复平面内虚轴上的单位长度是1，而不是i.(3)复数与向量的关系：复数是数的集合，而向量是有大小和方向的量，二者是不同的概念．为了令复数更好地发挥解决实际问题的作用，所以用向量来表示复数.1．思维辨析(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ，∈R )中，虚部为b i.( )(2)在实数范围内的两个数能比较大小，因而在复数范围内的两个数也能比较大小．( )(3)一个复数的实部为0，则此复数必为纯虚数．( ) (4)复数的模就是复数在复平面内对应向量的模．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 实部为－2，虚部为1的复数在复平面内对应的点的坐标为(－2,1)，位于第二象限．3．在复平面内，已知6＋5i 对应的向量为OA →，AB →＝(4,5)则OB →对应的复数为________．答案 10＋10i解析 由AB →＝OB →－OA →得：OB →＝OA →＋AB →又∵AB →＝(4,5) ∴AB →对应的复数为4＋5i. ∴OB →对应的复数为：4＋5i ＋6＋5i ＝10＋10i.[考法综述] 复数的分类、实部、虚部、复数相等的条件、共轭复数、复数的模都会结合复数的运算一起考查．难度一般不大．命题法1 复数的概念与分类典例1 设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D ．12 [解析] 解法一：设1＋a i2－i ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则1＋a i ＝b i(2－i)＝b ＋2b i ，所以b ＝1，a ＝2b ＝2.解法二：1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2－a 5＋1＋2a 5i ，令2－a 5＝0且1＋2a5≠0，得a ＝2.[答案] A【解题法】 与复数概念及分类题型的解题步骤第一步，先把题目中的复数z 的代数形式设出，即设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．第二步，把非标准代数形式的复数通过复数的运算法则化为代数形式的标准形式，即化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式．第三步，紧扣复数的分类： 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )根据分类列出相应的方程，如：若题目要求该复数是实数，则根据虚部b ＝0列出相关方程(组)．第四步，解方程(组)，求得结果． 命题法2 复数相等典例2 若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( )A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i[解析] 解法一：令z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋b i)(2－i)＝(2a ＋b )＋(2b －a )i ＝11＋7i ，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝11，2b －a ＝7，解得a ＝3，b ＝5，故选A.解法二：z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )5 ＝22－7＋(14＋11)i 5＝3＋5i. [答案] A【解题法】 复数相等问题的解题策略两复数相等的充要条件，即a ＋b i ＝c ＋d i ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ，b ＝d ，(a ，b ，c ，d ∈R )．解决此类问题的本质就是分离出实部与虚部，使之分别相等，得到方程组，从而解决问题．命题法3 复数的模及几何意义典例3 (1)若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( )A ．(2,4)B ．(2，－4)C ．(4，－2)D ．(4,2)(2)a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( ) A ．2 B ． 3 C. 2D ．1[解析] (1)由i z ＝2＋4i ，得z ＝2＋4ii ＝4－2i ，所以z 对应的点的坐标是(4，－2)．(2)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|a ＋i||i|＝a 2＋1＝2，∴a ＝±3，又a >0，∴a ＝ 3.故选B.[答案] (1)C (2)B【解题法】 与复数几何意义、模有关的解题技巧(1)只要把复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与向量OZ →对应起来，就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义，并根据这些几何意义解决问题．(2)有关模的运算要注意灵活运用模的运算性质． 1．若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2i D ．3－2i答案 A解析 因为z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，所以z ＝2－3i.2.设i 是虚数单位，则复数2i1－i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析2i1－i＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝－1＋i，其在复平面内所对应的点位于第二象限．3．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝()A．－5 B．5C．－4＋i D．－4－i答案 A解析由题意知：z2＝－2＋i.又z1＝2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.故选A.4．设z＝10i3＋i，则z的共轭复数为() A．－1＋3i B．－1－3i C．1＋3i D．1－3i 答案 D解析z＝10i3＋i＝10i(3－i)(3＋i)(3－i)＝30i＋1032＋12＝1＋3i，z＝1－3i，选D.5．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋b i互为共轭复数，则(a＋b i)2＝()A．5－4i B．5＋4iC．3－4i D．3＋4i答案 D解析由a－i与2＋b i互为共轭复数，可得a＝2，b＝1.所以(a＋b i)2＝(2＋i)2＝4＋4i－1＝3＋4i.6. i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．答案－2解析由题意知，复数(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i是纯虚数，则实部a＋2＝0，虚部1－2a≠0，解得a＝－2.7．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________． 答案5解析 设复数z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，a ，b ∈R ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝32ab ＝4，a ，b ∈R ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1，则z＝±(2＋i)，故|z |＝ 5.8．已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________． 答案 21解析 由题意，得z ＝(5＋2i)2＝25＋20i －4＝21＋20i ，其实部为21.1 复数的加法(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )是任意两复数，那么z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i.(2)运算律：交换律、结合律．(3)几何意义：复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数，其中OZ 1→，OZ 2→分别为z 1，z 2所对应的向量．2 复数的减法(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i.(2)几何意义：复数z 1－z 2是从向量OZ 2→的终点指向向量OZ 1→的终点的向量Z 2Z 1→所对应的复数．3 复数的乘法(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.(2)运算律：交换律、结合律、分配律． 4 共轭复数(1)定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．用z 表示z 的共轭复数，若z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i.特别地，实数的共轭复数还是它本身．(2)几何意义：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称．实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上．(3)性质：z ·z ＝(a ＋b i)·(a －b i)＝a 2＋b 2＝|z |2(a ，b ∈R )． 5 复数的除法运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化，以简化运算．注意点 虚数单位i 的周期性计算得i 0＝1，i 1＝i ，i 2＝－1，i 3＝－i ，继续计算可知i 具有周期性，且最小正周期为4，故有如下性质(n ∈N )：(1)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ； (2)i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0. 1．思维辨析(1)若a ∈C ，则a 2≥0.( ) (2)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点．( ) (4)z ＝z ⇔z ∈R .( )(5)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．复数z 满足(z ＋2)(1＋i 3)＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－i D ．－1＋i答案 D解析 由题意得：(z ＋2)(1＋i 3)＝2，(z ＋2)(1－i)＝2，z ＝21－i－2＝1＋i －2＝－1＋i ，故选D.3．已知实数m 是方程x 2＋(2＋i)x ＋n ＋2i ＝0，n ∈R 的一个根，则m ＋n ＝________.答案 －2解析 由题意知：m 2＋(2＋i)m ＋n ＋2i ＝0， 即m 2＋2m ＋n ＋(m ＋2)i ＝0，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m ＋n ＝0m ＋2＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ＝0，即m ＋n ＝－2[考法综述] 复数的四则运算法则及其加减法的几何意义(平行四边形法则、三角形法则)，尤其除法运算及i 的运算规律为命题热点．命题法 复数的四则运算典例 (1)下面是关于复数z ＝2－1＋i 的四个命题：p 1：|z |＝2，p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i ，p 4：z 的虚部为－1， 其中的真命题为( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4(2)已知复数z ＝3＋i (1－3i )2，z －是z 的共轭复数，则z ·z －＝________. [解析] (1)z ＝2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－1－i ，故|z |＝2，p 1错误；z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，p 2正确；z 的共轭复数为－1＋i ，p 3错误；p 4正确．(2)∵z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i －2－23i ＝3＋i－2(1＋3i )＝(3＋i )(1－3i )－2(1＋3i )(1－3i )＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝⎝⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14.故填14.[答案] (1)C (2)14【解题法】 复数四则运算中常用技巧 (1)巧用“分母实数化”，求解复数除法运算．复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简．其原理是(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a 、b ∈R )．(2)巧用“结论”，求解复数的乘方运算．记忆结论(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i ＝－i ，在化简复数的过程中构造出结论的形式，便可直接代入进行计算．1．设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1B ． 2 C. 3 D ．2答案 A解析 由题意知1＋z ＝i －z i ，所以z ＝i －1i ＋1＝(i －1)2(i ＋1)(i －1)＝i ，所以|z |＝1.2．若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 B解析 由于(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0a 2－4＝－4，解得a ＝0.故选B. 3.若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i答案 A解析 由已知z ＝i(1－i)＝i －i 2＝i ＋1，所以z ＝1－i.故选A. 4.设i 是虚数单位，则复数i 3－2i ＝( )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i答案 C解析 i 3－2i ＝－i －2ii 2＝－i ＋2i ＝i ，选C.5.已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i答案 D解析 z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i.6.(1＋i )3(1－i )2＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i 答案 D解析 (1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )2(1＋i )(1－i )2＝2i (1＋i )－2i ＝－1－i.故选D.7．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i＋i·z ＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i答案 C解析 原式＝1＋ii ＋i(1－i)＝－(i ＋i 2)＋i(1－i)＝1－i ＋i ＋1＝2. 8．设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 答案 3解析 复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为a 2＋b 2＝3，则a 2＋b 2＝3，则(a ＋b i)(a －b i)＝a 2－(b i)2＝a 2－b 2·i 2＝a 2＋b 2＝3.9．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫z ＋1z ·z ＝________. 答案 6解析 ∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫z ＋1z ·z ＝z ·z ＋1＝5＋1＝6. 10．复数2－2i 1＋i ＝________.答案 －2i解析 2－2i 1＋i ＝(2－2i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－2－4i 2＝－2i. 已知复数z 满足z ＝2i 1＋3i (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数的虚部是( )A.32 B ．－32 C ．－12 D ．－12i [错解][错因分析] 对虚部的概念理解不清，将复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的虚部错误地认为是b i.[正解] z ＝2i 1＋3i ＝2i (1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝23＋2i 4＝32＋12iz 的共轭复数为32－12i ，∴z 的共轭复数的虚部为－12，故选C. [答案] C [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1.[2016·冀州中学期末]设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z ＝( ) A ．i B ．2－i C ．1－i D ．0答案 C解析 因为2z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i ，故选C.2．[2016·衡水中学周测]i 为虚数单位，若a1－i ＝1＋i i ，则a 的值为( )A ．iB ．－iC ．－2iD ．2i 答案 C解析 由已知a 1－i ＝1＋i i 得，a i ＝(1－i)(1＋i)，a i ＝2，a ＝2i ＝－2i ，故选C.3．[2016·冀州中学月考]设复数z ＝2－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则在复平面内i z 对应的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1,1)C ．(1，－1)D ．(－1，－1)答案 C解析 ∵z ＝2－1－i ＝－1＋i ，∴i z ＝i(－1－i)＝1－i ，其在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)．4．[2016·武邑中学周测]在复平面内，复数z 和2i2－i 表示的点关于虚轴对称，则复数z ＝( )A.25＋45i B ．25－45i C ．－25＋45i D ．－25－45i答案 A解析 由2i 2－i ＝－25＋45i 可知该复数对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，45，其关于虚轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45，故复数z ＝25＋45i ，故选A.5．[2016·衡水中学月考]已知i 是虚数单位，则2＋i3－i ＝( )A.12－12i B ．72－12i C.12＋12i D ．72＋12i答案 C解析 2＋i 3－i ＝(2＋i )(3＋i )(3－i )(3＋i )＝5＋5i 10＝12＋12i.6．[2016·枣强中学猜题]若复数z ＝(2－i)i(其中i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．2－iB ．1＋2iC ．－1＋2iD ．1－2i答案 D解析 z ＝(2－i)i ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，选D.7．[2016·衡水中学期中]已知复数z ＝3＋4i ，z 表示复数z 的共轭复数，则|zi |＝( )A. 5 B ．5 C. 6 D ．6答案 B解析 由z ＝3＋4i ，得z ＝3－4i ，所以|z i |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－4i i ＝|(3－4i)(－i)|＝|－4－3i|＝(－4)2＋(－3)2＝5.8. [2016·武邑中学期中]复数z ＝2i 20141－2i (i 是虚数单位)在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 ∵i 2014＝(i 2)1007＝(－1)1007＝－1，∴z ＝2i 20141－2i ＝－21－2i ＝－2(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝－2＋2i 3，∴z 在复平面内的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－23，－23，故选C.9．[2016·衡水中学期末]若(1＋2a i)i ＝1－b i ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋b i|＝( )A.12＋i B ． 5 C.52 D ．54答案 C解析 因为(1＋2a i)i ＝1－b i ，所以－2a ＋i ＝1－b i ，a ＝－12，b＝－1，所以|a ＋b i|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－i ＝52，选C.10．[2016·衡水二中期中]复数z ＝1－i ，则1z ＋z ＝( ) A.12＋32i B ．12－32i C.32－32i D ．32－12i答案 D解析 ∵z ＝1－i ，∴1z ＋z ＝11－i ＋1－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＋1－i ＝1＋i 2＋1－i ＝32－12i ，故选D.11. [2016·枣强中学模拟]设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z |＝( )A.10 B ．2 C. 2 D ．1 答案 A解析 解法一：|(1－z )·z |＝|1－z ||z |＝|2＋i||－1＋i|＝22＋12·(－1)2＋(1)2＝10.解法二：|(1－z )·z |＝|z －z ·z |＝|－1＋i －2|＝|－3＋i|＝(－3)2＋12＝10.12．[2016·衡水二中期末]若a 为实数，i 为虚数单位，2＋a i 1＋2i ＝－2i ，则a 等于________．答案 － 2解析 由已知2＋a i1＋2i ＝－2i ，得2＋a i ＝－2i(1＋2i)，即2＋a i ＝－2i ＋2，∴a ＝－ 2.能力组13.[2016·武邑中学猜题]复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，7答案 C解析 由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.14. [2016·冀州中学仿真]已知复数z ＝1＋2i1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2014为( )A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．1答案 C解析 z ＝1＋2i1－i＝1＋2i (1＋i )2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z 2014＝1×(1－z 2015)1－z ＝1－i 20151－i ＝1－i4×503＋31－i＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i2＝i. 15．[2016·武邑中学预测]已知x 1＝1－i(i 是虚数单位)是关于x 的实系数一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根，则实数a ＝________，b ＝________.答案 －2 2解析 由题意，知x 2＝1＋i 是方程的另一根，因此－a ＝x 1＋x 2＝2，a ＝－2，b ＝x 1x 2＝(1－i)(1＋i)＝2.16．[2016·衡水二中模拟]已知复数 z ＝4＋2i(1＋i )2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则m ＝________.答案 －5解析 z ＝4＋2i (1＋i )2＝4＋2i 2i ＝(4＋2i )i2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5.。
2023版高考数学一轮总复习专题检测13数系的扩充与复数的引入
专题十三 数系的扩充与复数的引入一、选择题1.(2022届T8联考,2)已知z=2i1−i -1+2i,则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B 因为z=2i(1+i)(1-i)(1+i)-1+2i=i-1-1+2i=-2+3i,所以复数z 在复平面内对应的点Z(-2,3)位于第二象限,故选B.2.(2022届河南安阳月考,2)已知复数z=2+i+(1-i)x 是纯虚数,则实数x 的值为( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1答案 A ∵z=(2+x)+(1-x)i 是纯虚数,∴{2+x =0,1−x ≠0⇒x=-2,故选A.3.(2022届西南四省名校联考,2)已知复数z=21+i 3,则x 的虚部为( )A.-1B.-iC.1D.-2i 答案 A ∵z=21−i=2(1+i)2=1+i,∴x =1-i,则x 的虚部为-1.故选A.4.(2022届安徽八校联考,2)在复平面内,复数1−i 2i对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案 C1−i2i =-12-12i,对应点为(-12,-12),在第三象限,故选C. 5.(2022届安徽六安质检,2)设复数z 的共轭复数为x ,若2z+x =32+2i,则z=( ) A.-1+2i B.1+2i C.1-2i D.12+2i答案 D 设z=a+bi(a,b∈R),则x =a-bi,所以2z+x =2a+2bi+a-bi=3a+bi=32+2i,故{3x =32,x =2,解得a=12,故z=12+2i,故选D. 6.(2022届朝阳期中,3)设m∈R,则“m=2”是“复数z=(m+2i)(1+i)为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C z=(m+2i)(1+i)=(m-2)+(m+2)i,由z 为纯虚数,得{x -2=0,x +2≠0,即m=2,即必要性成立;当m=2时,z=(2+2i)(1+i)=4i,为纯虚数,即充分性成立.故选C.7.(2022届北京一零一中学统考二,2)在复平面内,已知复数z 对应的点与复数1+i 对应的点关于实轴对称,则xi =( )A.1+iB.-1+iC.-1-iD.1-i 答案 C 由题意得z=1-i,从而x i =1−ii=-1-i.故选C.8.(2022届长沙长郡中学第一次月考,2)设复数z 满足z=2i-1+i ,则|z|=( ) A.1 B.√2 C.12 D.√22答案 B 因为z=2i-1+i =2i(i +1)(i -1)(i +1)=1-i,所以|z|=√2.故选B.9.(2022届湖北九师联盟10月质检,2)已知复数z=2−i1+i ,则下列说法正确的是( ) A.z 的模为√102B.z 的虚部为-32i C.z 的共轭复数为-12-32iD.z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限 答案 A z=2−i 1+i =(2-i)(1-i)(1+i)(1-i)=1−3i 2=12-32i,所以z 的模为√(12)2+(-32)2=√102,故A 中说法正确;z 的虚部为-32,故B 中说法错误;z 的共轭复数为12+32i,故C 中说法错误;z 的共轭复数在复平面内对应的点为(12,32),在第一象限,故D 中说法错误.故选A.10.(2022届江苏如皋中学月考,5)已知复数z 满足|z-1|=|z-i|,则在复平面上z 对应的点的轨迹为( ) A.直线 B.线段 C.圆 D.等腰三角形答案 A 设复数z=x+yi(x,y∈R),根据复数的几何意义知:|z-1|表示复平面内的点Z(x,y)与点A(1,0)的距离,|z-i|表示复平面内的点Z(x,y)与点B(0,1)的距离,因为|z-1|=|z-i|,即点Z(x,y)到A,B 两点间的距离相等,所以点Z(x,y)在线段AB 的垂直平分线上,所以在复平面上z 对应的点的轨迹为直线.故选A.11.(2022届安徽安庆月考,2)设复数z 满足(1-i)z=4i(i 是虚数单位),则|z|=( ) A.1 B.√2 C.2 D.2√2答案 D ∵(1-i)z=4i(i 是虚数单位),∴(1+i)(1-i)z=4i(1+i),化简得z=2i-2,则|z|=√(-2)2+22=2√2,故选D.12.(2022届江西吉安月考,1)已知i 为虚数单位,则|1+i 3|等于( ) A.2 B.1 C.0 D.√2答案 D ∵1+i 3=1-i,∴|1+i 3|=√12+(−1)2=√2.故选D.13.(2022届山西长治质检,2)若复数z 满足zi=2+i(i 是虚数单位),则复数z 的虚部为( ) A.2i B.-2i C.2 D.-2 答案 D 由zi=2+i,得z=2+i i=-i(2+i)-i 2=1-2i,∴z 的虚部是-2.故选D.14.(2022届福建泉州科技中学月考,4)若z=1+i,则(x x )2020+(x x)2021的虚部为( )A.iB.-iC.1D.-1答案 D 因为z=1+i,所以x x =1+i 1−i =(1+i)(1+i)(1-i)(1+i)=i,x x =1−i 1+i =(1-i)(1-i)(1+i)(1-i)=-i,所以(x x )2020+(x x )2021=i 2020+(-i)2021=1-i,故其虚部为-1.15.(2022届昆明质检,2)设复数z 满足(1+i)z=m-i(m∈R),若z 为纯虚数,则m=( ) A.-1 B.1 C.2 D.-2 答案 B z=x -i 1+i=x -1-(x +1)i 2,若z 为纯虚数,则m-1=0且-(m+1)≠0,故m=1,故选B.16.(2022届广西调研,2)已知复数z=(1+i)(2-i),则z 的共轭复数x 为( ) A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i 答案 C ∵z=(1+i)(2-i)=2-i+2i-i 2=3+i,∴x =3-i.故选C.17.(2022届吉林名校期中,6)设z 是纯虚数,若1−ix +2是实数,则x =( ) A.-2i B.-i C.i D.2i答案 D ∵z 是纯虚数,∴设z=ai(a∈R,a≠0), ∵1−i2+x =(1-i)(2-x i)(2+x i)(2-x i)=2−x +(−2−x )i4+x 2是实数,∴-2-a=0,解得a=-2,∴z=-2i,∴x =2i.故选D.18.(2022届山西名校联盟调研,2)复数z=(√3-i)(1+i)2,则|z|=( ) A.4√2 B.4 C.2√3 D.2√2答案 B ∵z=(√3-i)(1+i)2=(√3-i)(2i)=2+2√3i,∴|z|=√22+(2√3)2=4.故选B.二、填空题19.(2022届北京十二中10月月考,11)已知复数z=2+i i(i 是虚数单位),则|z|= .答案 √5 解析 z=2+i i=(2+i)(-i)i·(-i)=1-2i,∴|z|=√12+(-2)2=√5.20.(2022届北京一七一中学10月月考,11)复数(1+i 1−i )2= . 答案 -1 解析 ∵1+i1−i =(1+i)2(1-i)(1+i)=2i2=i,∴(1+i 1−i )2=i 2=-1.21.(2022届北京师大附中期中,11)如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B 对应的复数分别是z 1,z 2,则z 1+z 2= .答案 2解析 由题意知,z 1=i,z 2=2-i,则z 1+z 2=2.22.(2021上海,1,4分)已知z 1=1+i,z 2=2+3i,则z 1+z 2= . 答案 3+4i解析 z 1+z 2=(1+2)+(1+3)i=3+4i.。
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第五十三讲 数系的扩充与复数的引入
班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________
一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)
1.(2010·山东)已知2a i
i +=b+i(a,b∈R),其中i 为虚数单位,则a+b=( )
A.-1
B.1
C.2
D.3
解析:由2a i
i +=b+i 得a+2i=bi-1,所以a=-1,b=2,所以a+b=1,故选B.
答案:B
2.(2010·江西)已知(x+i)(1-i) =y,则实数x,y 分别为( )
A.x=-1,y=1
B.x=-1,y=2
C.x=1,y=1
D.x=1,y=2
解析:由(x+i)(1-i)=y 得(x+1)+(1-x)i=y,
又因x,y 为实数,所以有1
,10y x x =+⎧⎨-=⎩
解得1
.2x y =⎧⎨=⎩
答案:D
3.(2010·新课标全国)已知复数
z 是z 的共轭复数,则z·z =( )
1
1
..42.1.2
A B C D
解析:∵z======
∴z =∴z•z =|z|2=1
4,
故选A.
答案:A
4.(2010·广东)若复数z 1=1+i,z 2=3-i,则z 1·z 2=( )
A.4+2i
B.2+i
C.2+2i
D.3+i
解析:z 1•z 2=(1+i)(3-i)=3-i+3i-i 2
=4+2i.
答案:A
5.(2010·浙江)对任意复数z=x+yi(x,y∈R),i 为虚数单位,则下列结论正确的是
( ) A.|z-z |=2y B.z 2=x 2+y 2
C.|z-z |≥2x
D.|z|≤|x|+|y|
解析:|z|=
=|x|+|y|,D 正确,易知A ､B ､C 错误.
答案:D
6.(2010·福建)对于复数a,b,c,d,若集合S={a,b,c,d}具有性质“对任意x,y∈S,必
有xy∈S”,则当2211a b c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩
时,b+c+d 等于( )
A.1
B.-1
C.0
D.i
解析:根据集合元素的唯一性,知b=-1,由c 2=-1得c=±i,因对任意x,y∈S,必有xy∈S,所以当c=i 时,d=-i;当c=-i 时,d=i,所以b+c+d=-1.
答案:B
二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)
7.(2010·北京)在复平面内,复数21i i
-对应的点的坐标为________. 解析:22(1)1(1)(1)
i i i i i i +=--+ =-1+i,故其对应的点的坐标是(-1,1). 答案:(-1,1)
8.(2010·重庆)已知复数z=1+i,则2
z
-z=________.
解析:222(1)
(1)
1(1)(1)
i
z i
z i i i
-
-=-+=-
++-
(1+i)=(1-i)-(1+i)=-2i.
答案:-2i
9.(2010·江苏)设复数z满足z(2-3i)=6+4i(i为虚数单位),则z的模为________. 解析:∵z(2-3i)=6+4i,
∴z=64
23
i
i
+
-
,
∴|z|=2|32|
2.
|23|
i
i
+
=
-
答案:2
10.已知复数z=x+yi且则y
x
的最大值是________;最小值是________.
解析:∵|z
∴(x-2)2+y2=3,
则y
x
可看作是圆(x-2)2+y2=3上的点与原点连线的斜率,
设y
x
=k,则直线y=kx与圆相切时,k可以取到最大或最小值.
=解得k=k=
最小值为
答案
三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)
11.当实数m为何值时,z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i
(1)为纯虚数;
(2)为实数;
(3)对应的点在复平面内的第二象限内.
解:(1)若z为纯虚数,
则有
2
2
(22)0
320
lg m m
m m
⎧--=⎪
⎨
++≠
⎪⎩
即2221(1)(2)0
m m m m ≠⎧--=⎨++⎩
⇒(3)(1)0(1)(2)0m m m m ≠-+=⎧⎨++⎩
∴m=3;
(2)若z 为实数,则有22220320
m m m m ⎧-->⎪⎨++=⎪⎩ ⇒m=-1或m=-2;
(3)若z 对应的点在复平面内的第二象限,
则有2222220(22)0221320(1)(2)0m m lg m m m m m m m m ⎧-->⎧--<⎪⎪--<⎨⎨++>⎪⎩⎪++>⎩
⇒111321m m m m m ⎧<>+⎪-<<⎨⎪<->-⎩
或
⇒
或
12.复数z 1=3+4i,z 2=0,z 3=c+(2c-6)i 在复平面内对应的点分别为A ､B ､C,若∠BAC 是钝角,求实数c 的取值范围.
解:在复平面内三点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),由∠BAC 是钝角得AB AC <0,且B ､A ､C 不共线,
由(-3,-4)·(c -3,2c-10)<0解得c>49,11
其中当c=9时,(6,8)2AC AB ==- ,三点共线,故c≠9.
∴c 的取值范围是c>4911
且c≠9. 13.已知复数z=1+i,求实数a,b,使得az+2b z =(a+2z)2.
分析:充分利用共轭复数的性质､复数相等的充要条件即可解出,在求解过程中,整体代入可获得简捷明快､别具一格的解法.
解:因为z=1+i,
因为a,b都是实数,所以可得
2
24,
24(2).
a b a a a b a
⎧+=+
⎨
-=+
⎩
解得1
12 1
a b =-
⎧
⎨
=-
⎩
或
2 2
4, 2.
a b =-
⎧
⎨
=
⎩
即a=-2,b=-1或a=-4,b=2.。