高三复数复习专题

高三复数专题复习： 一、复数的概念及运算：1、复数的概念：（1）虚数单位i ； （2）实部：z Re ，虚部：z Im ；（3）复数的分类(bi a z +=)()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈⎩⎨⎧≠=≠⎩⎨⎧=R b a a a b b ,)0()0()0()0(非纯虚数纯虚数虚数无理数有理数实数；（4）相等的复数：2、复数的加、减、乘、除法则： （1）加减法具有交换律和结合律； （2）乘法具有交换律、结合律、分配律； （3）除法：)0(2222≠++-+++=++di c i dc adbc d c bd ac di c bi a 。

3、复数的共轭与模：（1）z z R z =⇔∈；z 是纯虚数z z -=⇒，反之不成立；（2）复数bi a z +=与点()b a Z ,是一一对应关系，另：z 与z 关于x 轴对称，z 表示z 对应点与原点的距离。

4、复数共轭运算性质：212121212121,,z z z z z z z z z z z z =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⋅+=+； 5、复数模的运算性质：nn z z z z z z z z z z z z =≠==),0(,22121121。

6、复数的模与共轭的练习：z z z ⋅=2。

7、 重要结论（1）对复数z 、1z 、2z 和自然数m 、n ，有n m n m z z z +=•，mn n m z z =)(，nn n z z z z 2121)(•=•(2) i i =1，12-=i ，i i -=3，14=i ；114=+n i ，124-=+n i ，i i n -=+34，14=n i . (3) i i 2)1(2±=±，i i i -=+-11，i ii=-+11. (4)设231i+-=ω，ϖω=2，ωω=2，012=++ωω，n n 33ωω=，021=++++n n n ωωω8.一些几何结论的复数形式()()().0,,,,)4(.Im 21)3(.3sin 3cos 0.3;.2;.1)2().()1(242314134321121232132123132212322211332213213123,2,1≠∈⋅--=----=∆⎪⎭⎫ ⎝⎛+==+-++=++-=-=-∆∈=--λλλππωωωλλR z z zz z z z z z z z z z z z z S S Z Z Z i z z z z z z z z z z z z z z z z z z Z Z Z R z z zz Z Z Z z：四点共圆的充要条件是复平面上表示为的面积为复平面上是等价的）是（有三种形式，它们为正三角形的充要条件复平面上三点共线的充要条件是，，复平面上二、复数的三角形式： 1、复数的三角形式概念：;sin ,cos ,),sin (cos ,122rb r a b a r i r z bi a z ==+=+=+=θθθθ其中：式：都可以改写成复数的形个复数任何2、复数的三角形式的乘法公式：()()[]βαβαββααββαα+++=+⋅+=⋅+=+=sin cos )sin (cos )sin (cos )sin (cos ),sin (cos 2121212211i r r i r i r z z i r z i r z 则，设复数即：两个复数相乘，积的模等于两个复数的模之积，积的辐角等于两个复数的辐角之和。

()()[]n n n n n n n i r r r r i r i r i r i r z z z z θθθθθθθθθθθθθθθθ +++++++=++⋅+⋅+=321321321333222111321sin cos )sin (cos )sin (cos )sin (cos )sin (cos ；有限个复数相乘的情况上述结论，可以推广到3、复数的三角形式的乘方公式（棣莫佛定理）[])sin (cos )sin (cos ααααn i n r i r n n +=+即：复数的n （n ∈N ）次幂的模等于模的n 次幂，辐角等于这个复数的辐角的n 倍，这个定理称为棣莫佛定理。

4、复数的三角形式的除法公式()()()()()()[].sin cos sin cos sin cos ;sin cos ,sin cos 2121212211βαβαββααββαα-+-=++=+=+=i r r i r i r z z i r z i r z 则：设 即：两个复数像除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角。

三、复数中的方程问题：1、实系数一元二次方程的根的情况：对方程02=++c bx ax （其中R c b a ∈,,且0≠a ），令ac b 42-=∆， 当0>∆时，方程有两个不相等的实数根。

当∆=0时，方程有两个相等的实根；当0<∆时，方程有两个共轭虚根：2,221ib x i b x ∆---=∆-+-=。

2、复系数一元二次方程根的情况：对方程ab xc bx ax 2,02的平方根∆+-==++；3、一元二次方程的根与系数的关系：若方程02=++c bx ax （其中R c b a ∈,,且0≠a ）的两个根为21x x 、，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+a c x x a b x x 2121；四、例题精选例1：已知40323222=--+++i z i z ，求z ；例2：已知()()104232212343ii i z -⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=，求z ；例3：设z 为虚数，zz 1+=ω为实数，且21<<-ω。

（1）求z 的值及z 的实部的取值范围； （2）证明：zzu +-=11为纯虚数；例4：已知关于t 的方程)(022R a a t t ∈=+-有两个根21t t 、，且满足3221=-t t 。

（1）求方程的两个根以及实数a 的值；（2）当0>a 时，若对于任意R x ∈，不等式()k mk k a x a 22log 22-+-≥+对于任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,2k 恒成立，求实数m 的取值范围。

例5：已知复数1z 满足i a z i z i --=+-=+2,51)1(21，其中i 为虚数单位，R a ∈，若121z z z <-，求a 的取值范围。

例6：设虚数z 满足1052+=+z z 。

（1）求z 的值； （2）若zmm z +为实数，求实数m 的值； （3）若()z i 21-在复平面上对应的点在第一、第三象限角平方线上，求复数z 。

例7：已知方程02=++p x x 有两个根1x 和2x ，R p ∈。

（1）若321=-x x ，求实数p ； （2）若321=+x x ，求实数p ；例8：已知复数),(*∈+=R b a bi a z 是方程0542=+-x x 的根，复数)(3R u i u ∈+=ω满足52<-z ω，求u 的取值范围。

例9：关于x 的方程0)2(2=-+--bi a x bi a x 有实根，求一个根的模是2，求实数b a ,的值。

例10：设两复数21,z z 满足0422402121=+-z a z z a z x（其中0>a 且1≠a ，R x ∈），求21z z 是虚数。

（1）求证：21z z 是定值，求出此定值； （2）当*∈N x 时，求满足条件的虚数21z z 的实部的所有项的和。

例11：设两个复数21z z 、满足()R k z kz z z ∈=+212221100，并且12z z 是虚数，当*∈N k 时，求所以满足条件的虚数12z z 的实部之和。

例12：计算：（1）⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+6sin 6cos 312sin12cos2ππππi i （2）55sin 5cos 3⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππi（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+6sin 6cos 63sin 3cos 12ππππi i例13：给定复数z ，在z ，222,,,,,,z z z z z z z z ⋅这八个值中，不同值的个数至多是___________。

例14：已知下列命题（1）R z z z ∈⇔=；（2）z z z ⇔-=为纯虚数；（3）21210z z z z >⇔>-；（4）0002121==⇔=⋅z z z z 或；（5）00212221==⇔=+z z z z ；（6）2222z z z z ===.其中正确的命题是____________；例15：是否存在复数z 同时满足条件：①6101≤+<zz ；②z 的实部、虚部为整数。

若存在，求出复数z ，若不存在，说明理由。

例16：设1z 是已知复数，z 为任意复数且1,1z z z z -==ω，则复数ω对应的点的轨迹是( )A 、以1z 的对应点为圆心、1为半径的圆；B 、以1z -的对应点为圆心，1为半径的圆；C 、以121z 的对应点为圆心、21为半径的圆； D 、以121z -的对应点为圆心，21为半径的圆；例17：满足方程1Re =+z z 的复数z 对应的点的轨迹是 ( )。

A 、圆 B 、椭圆 C 、双曲线 D 、抛物线例18：复平面内，满足2)1()1(=--++-i z i z 的复数z 所对应的点的轨迹是 ( )A 、椭圆B 、双曲线C 、一条线段D 、不存在例19：满足方程016152=--z z 的复数z 对应的点的轨迹是( )A 、四个点B 、四条直线C 、一个圆D 、两个圆例20：设复数R a x i a a z x x ∈+++=-、,)2()2(，当x 在()+∞∞-,内变化时，求z 的最小值()a g 。

例21：若复数1z 和2z 满足：)0(12>=a i az z ，且2482112+=-++z z z z 。

1z 和2z 在复平面中对应的点为1Z 和2Z ，坐标原点为O ，且21OZ OZ ⊥，求21Z OZ ∆面积的最大值，并指出此时a 的值。

例22：已知复数()()010,,,,,z mi m z x yi a bi x y a b ω=->=+=+∈R ，i 为虚数单位，且对于任意复数z ，有0,2z z z ωω=⋅=。

（1）试求m 的值，并分别写出a 和b 用x 、y 表示的关系式；（2）将(),x y 作为点P 的坐标，(),a b 作为点Q 的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q ，当点P 在直线1y x =+上移动时，试求点P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程；（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。