导热微分方程
导热微分方程柱坐标系的推导
导热微分方程柱坐标系的推导引言导热微分方程是描述物质内部热传导过程的重要方程。
在研究导热现象时，我们常常需要在不同的坐标系下推导导热微分方程。
本文将详细介绍如何在柱坐标系下推导导热微分方程，并给出相应的推导过程。
导热微分方程的一般形式在三维空间中，导热微分方程的一般形式可以表示为：∂u/∂t = α(∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 + ∂^2u/∂z^2)其中，u表示温度场的变化，t表示时间，x、y和z分别表示空间的三个坐标轴方向。
α为热扩散系数，与物质的热导率有关。
柱坐标系下的导热微分方程柱坐标系是一种常用的坐标系，特点是以距离r、角度θ和高度z作为坐标轴。
在柱坐标系下，可以将导热微分方程表示为：∂u/∂t = α(1/r * ∂/∂r(r∂u/∂r) + 1/r^2 * ∂^2u/∂θ^2 + ∂^2u/∂z^2)其中，r表示距离，θ表示角度，z表示高度，u仍表示温度场的变化，t为时间，α为热扩散系数。
推导过程为了推导柱坐标系下的导热微分方程，我们需要使用二阶导数的链式法则和柱坐标系下的坐标变换关系。
首先，我们分别对r、θ和z求偏导：∂u/∂r = (∂u/∂x) * (∂x/∂r) + (∂u/∂y) * (∂y/∂r) + (∂u/∂z) * (∂z/∂r)∂u/∂θ = (∂u/∂x) * (∂x/∂θ) + (∂u/∂y) * (∂y/∂θ) + (∂u/∂z) * (∂z/∂θ)∂u/∂z = (∂u/∂x) * (∂x/∂z) + (∂u/∂y) * (∂y/∂z) + (∂u/∂z) * (∂z/∂z)根据柱坐标系的坐标变换关系：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)z = z可以得到：∂x/∂r = cos(θ)∂y/∂r = sin(θ)∂z/∂r = 0∂x/∂θ = -r * sin(θ)∂y/∂θ = r * cos(θ)∂z/∂θ = 0∂x/∂z = 0∂y/∂z = 0∂z/∂z = 1代入前面的式子，可以得到：∂u/∂r = (∂u/∂x) * cos(θ) + (∂u/∂y) * sin(θ)∂u/∂θ = -r * sin(θ) * (∂u/∂x) + r * cos(θ) * (∂u/∂y)∂u/∂z = (∂u/∂z)然后，我们可以对这些偏导数再次求偏导：∂^2u/∂r^2 = (∂/∂r(∂u/∂r)) = (∂/∂r((∂u/∂x) * cos(θ) + (∂u/∂y) * sin (θ)))∂^2u/∂θ^2 = (∂/∂θ(∂u/∂θ)) = (∂/∂θ(-r * sin(θ) * (∂u/∂x) + r * cos(θ) * (∂u/∂y)))∂^2u/∂z^2 = (∂/∂z(∂u/∂z))最后，将这些结果代入柱坐标系下的导热微分方程的一般形式中，即可得到柱坐标系下的导热微分方程：∂u/∂t = α(1/r * (∂/∂r(r * ((∂u/∂x) * cos(θ) + (∂u/∂y) * sin(θ)))) + 1/r^2 * (∂/∂θ(-r * sin(θ) * (∂u/∂x) + r * cos(θ) * (∂u/∂y))) + (∂^2u/∂z ^2))总结导热微分方程是描述物质内部热传导过程的重要方程。
传热学第二章 第二节 导热微分方程式
∂t ∂z
)
+
qv
第二节 导热微分方程式
若物性参数 λ、c 和 ρ 均为常数：
∂t ∂τ
=
a(
∂2t ∂x2
+ ∂2t ∂y2
+
∂2t ∂z2
)
+
qv ; ρc
or
∂t = a∇2t + qv
∂τ
ρc
a = λ — 热扩散率（导温系数） [m2 s] ρc （Thermal diffusivity）
dxdydz ⋅ dτ
[J]
第二节 导热微分方程式
[导入与导出净热量]:
[1] = [dQ x − dQ x+ dx ] + [dQ y − dQ y + dy ] + [dQ z − dQ z + dz ]
[1] = − ( ∂ q x + ∂ q y + ∂ q z ) d x d y d z d τ
qw
=
−
λ
(
∂t ∂n
)n
−
(
∂t ∂n
)
n
=
qw λ
第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面 法向的温度梯度值
稳态导热： qw = const (恒热流边界条件）
非稳态导热： q w = f (τ )
第二节 导热微分方程式 特例：绝热边界面： 绝热边界条件
qw
=
−λ
⎛ ⎜⎝
∂t ∂n
⎞ ⎟⎠w
=
对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充 说明条件的唯一解
单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件 单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界
高等传热学基本方程推导
方程推导1.导热微分方程x 方向导入微元体的热流量为dydz xT x ∂∂-=λφ x+dx 方向导出微元体的热流量为： dx dydz xT x dx x x x x dx x )(∂∂-∂∂+=∂∂+=+λφφφφ 同理可得y 、z 方向的导入、导出热流量。
根据能量守恒：导入微元体的总热流量+微元体内的生成热=导出微元体的总热流量+微元体内能的增加 微元体内能的增加：dxdydz T cdU ∂τ∂ρ= 微元体内的生成热：dxdydz q ⋅ 经整理有：⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=q z T z y T y x T x T c ∂∂λ∂∂∂∂λ∂∂∂∂λ∂∂∂τ∂ρ 该式可在（1）导热系数为常数；（2）导热系数为常数，无内热源（3）导热系数为常数、稳态（4）导热系数为常数、无内热源、稳态等情况下简化 圆柱坐标系：⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=q z T z T r r T r r r T c ∂∂λ∂∂∂φ∂λ∂φ∂∂∂λ∂∂∂τ∂ρ211 球坐标系：⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=q T r T r r T r r r T c ∂φ∂λ∂φ∂θ∂θ∂θλ∂φ∂θ∂∂λ∂∂∂τ∂ρ22222sin 1sin sin 11 2.连续性方程 对于微平行六面体，从左边流入的质量为：τρρdydzd dx x u u dx x x x )2)(2(∂∂-∂∂-，从右边流出的质量为τρρdydzd dx x u u dx x x x )2)(2(∂∂+∂∂+，二者的净质量差为：τρdxdydzd x u x ∂∂-)( 同理可得y 、z 方向的质量变化，而经过d τ时间，微元体的质量变化为ττρdxdydzd ∂∂，因此可得平衡关系，经整理，有()()()0=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z w y v x u ρρρτρ，此方程可以在有关条件下简化。
导热微分方程
导热微分方程
要了解物体内部各点温度的分布，必须根据能量守恒定律与傅里叶定律，来建立导热物体中的温度场应当满足的数学关系式，即导热微分方程。
1、 原则：
⏹ 付立叶定律和能量守恒定律：
⏹ ——以能量方程为基础
热焓的增加量=传入物体的热量—传出物体的热量
2、 方程推导：
对于各向同性材料，
(1) 在x 方向：
(2) 单位时间内传入微元体内的热量
(3) 单位时间内微元体内能的变化
Or
t a t 2∇=∂∂τ
（3）无内热源、稳态导热：0222222=∂∂+∂∂+∂∂z
t y t x t ——拉普拉斯(Laplace)方程
(4) 一维不稳定导热: 022
=dx
dt
dydz x t k Q x ∂∂-=dx x Q Q Q x x dx x ∂∂+=+dxdydz x t k Q Q dQ dx x x x 22∂∂=-=+dxdydz z t y t x t k dQ dQ dQ Q z y x )(222222∂∂+∂∂+∂∂=++=∆dxdydz t c Q p ρτ∂∂=∆)(222222z t y t x t c k t P ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ρτ
3、导温系数（热扩散系数）（Thermal diffusivity）
物理意义——物体在相同加热或冷却条件下，物体内部各部分温度趋向于一致的能力
α也是判断材
及导热方
(如10-8～10s)内产生极大的热流密度的热量传递现象（激光加工过程）；极低温度(接近于0 K)时的导热问题等，则不能再用上述式来描述。
导热微分方程
x2
1 3!
3t x3
x3
x
xx
x
(
t x
yz)x
x
(
t x
)xyz
2020年5月15日
同理：
y
yy
y
(
t y
)xyz
z
zz
z
(
t z
)xyz
将以上各式都代入微元体热平衡式中取极限得：
c lim 0
t
xyz
[
x
(
t x
)
y
(
t y
)
z
(
t z
)
Φ]xyz
得：
c
t
x
(
t x
)
2、球坐标: (sphere coordinate) x r sin cos y r sin sin z r cos
t
a1r
2 (rt) r2
1
r 2 sin
s in
t
1
r 2 sin 2
2t
2
c
2020年5月15日
谢谢！ 请指教！
2020年5月15日
条件，分为三类：
第一类边界条件：规定了边界上的温度值（变量值）
tw= f[W(x,y,z), τ]
第二类边界条件：规定了边界上的热流密度
(
t n
)w
q[ w( x,
y,
z),
]
第三类边界条件：规定了与边界换热的环境条件
(
t n
)
w
h(tw
t
f
)
2020年5月15日
三、大平板稳态导热求解示例
1、问题
导热微分方程(经典)
1 2 s1 s2
x
解：
q
TW1
n
TWn1 si
i1 i
TWi1
TW1
q
s1 1
s2 2
si i
试算法：首先假定中间界面温度为900℃
1
0.7
0.64
10 31400
2
900
1.436
W
m ℃
2
0.14
1 2 s1 s2
x
解： 试算法：再假定中间界面温度为1120℃
1
0.7
0.64
10
3 1400
1120 2
1.51W
m ℃
2
0.14
0.12
10 31120 100 2
0.213 W
m ℃
q
TW1 TW 3 2 s2
10.导热
10.3 导热微分方程
导热微分方程形式
假定物体是各向同性的均质物体，物性 参数密度、比热容为常数，物体内具有 均匀分布的内热源。
能量守恒定律
以导热方式传入 微元体的净热量
生微成元的体热内量热源＝能微的元增体量内
dQc dQg dQ
dQx qxdydzd
T y
z
T z
dxdydzd
10.导热
10.3 导热微分方程
导热微分方程形式
dQc dQg dQ
dQc
x
导热微分方程是描述温度场满足的微分方程
导热微分方程是描述温度场满足的重要微分方程之一。
它在热传导、传热、能量传递等方面都有着重要的应用。
本文将从导热微分方程的定义、导出过程、物理意义和应用领域等方面进行介绍。
希望通过本文的阐述，读者能够对导热微分方程有一个更加全面深入的了解。
一、导热微分方程的定义导热微分方程是描述物体内部温度分布随时间变化的微分方程。
通常情况下，导热微分方程可以写成下面的形式：\[ \frac{\partial u}{\partial t} = k\Delta u \]其中，u代表温度场，t代表时间，k代表热传导系数，∆代表拉普拉斯算子。
这个方程描述的是温度场随时间t变化的规律，即温度场的时间变化率等于热传导系数和温度场的拉普拉斯算子的乘积。
二、导热微分方程的导出导热微分方程的导出过程涉及到热传导定律和能量守恒定律。
在导出过程中，我们首先根据热传导定律得到热传导方程，然后再利用能量守恒定律得到导热微分方程。
1. 热传导定律热传导定律是描述物体内部热量传递规律的定律，通常可以表示为：\[ q = -kA\frac{dT}{dx} \]其中，q代表热量传递速率，k代表热传导系数，A代表传热截面积，dT/dx表示温度梯度。
这个定律说明了热量会从高温区传递到低温区，热传导的速率与温度梯度成正比。
2. 能量守恒定律能量守恒定律说明了热能在空间中的传递与积累规律，它可以表示为：\[ \frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot q = 0 \]其中，u代表单位质量的内能，t代表时间，q代表单位面积上的热量通量。
这个定律说明了热能在空间中的传递与积累总是满足能量守恒的原则。
通过热传导定律和能量守恒定律的联立，可以得到导热微分方程的导出过程。
三、导热微分方程的物理意义导热微分方程描述了温度场随时间的变化规律，具有重要的物理意义。
它可以帮助我们理解物体内部温度分布随时间的演化情况，从而预测物体的温度变化趋势。
10-4 导热微分方程
dΦout dΦxdx dΦydy dΦzdz
微元体内热源的生成热为：
dQ Φdxdydz
单位时间内能增量为： dU c t dxdydz
4
z
dx
dz+dz dy
dy+dy dz
dx+dx
x
y
z
dz+dz
dy
dx
dy+dy dz
dx+dx x
qxdx
qx
qx x
源项
c t ( t ) ( t ) ( t ) x x y y z z
单位时间内微元体的 内能增量（非稳态项） 有缘学习交流＋Ｖ： ｙｇｄ３０７６
扩散项（导热引起）
z
dz+dz
dy
dx
dy+dy dz
dx+dx
x
y
6
导热微分方程的简化
导热系数为常数
t
a
(
2t x 2
2t y 2
2t z 2
c t
1 r
r
r
t r1 r2Fra bibliotektz
t z
Φ
8
Thank You！
9
)
c
无内热源+导热系数为常数
t
2t 2t 2t
a( x2 y2 z2 )
常物性+稳态
2t x 2
2t y 2
2t z 2
0
泊桑（Poisson）方程
常物性+稳态+无内热源
2t x 2
2t y 2
2t z 2
0
拉普拉斯（Laplace）方程
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柱坐标系下导热微分方程的一般形式：
T 1 T T 1 T T cp 2 Q t r r r r r z z
球坐标系：
T 1 2 T 1 T 1 T cp 2 r 2 sin t r r r sin sin Q
T dQx qx (dydz )dt dydz dt x
同理：
T dQy q y (dxdz )dt dxdz dt y
T dQz qz (dxdy )dt dxdy dt z
微元体内热源的生成热：
若单位时间单位体积物体中内热源的发热率为
处理结晶潜热项的关键：处理固相率随温 度变化的函数。取决于合金的种类及其凝固 特性。
合金的固相率用非平衡条件下的杠杆定律 （Scheil方程）来确定：
Tm T f s (T ) 1 Tm TL
Tm－合金熔点；
1 k0 1
TL－合金的液相线；
k0－合金的平衡溶质分配系数。
1. ห้องสมุดไป่ตู้角坐标系下的导热微分方程
对所选取的微元体应用能量守恒定律：
在 dt 时间内，由于导热从外部进入微元体 的热量以及微元体内热源所产生的热量等于微 元体所包含的内能或焓的变化。 焓（enthalpy）：H，系统热力学参数。定义： H=U+PV。是状态函数，即系统的状态一定， 焓就是定值了。
化简后的热平衡式：
T T T T cp Q t x x y y z z
T T Q c p t
为拉普拉斯(laplance)算子
初始条件：
初始时刻温度分布。 边界条件： 物体边界上的温度或换热情况。
稳态导热问题的定解条件：
没有初始条件，仅有边界条件。
边界条件：
（1）第一类边界条件：
给定了边界上的温度值。 最简单的形式：给定边界温度保持不变， 即 Tw = 常数。 对于非稳态导热问题，这类边界条件给定 温度为边界上空间位置与时间的函数，即：
3. 等价比热容法: 将结晶潜热折算成比热容加到合金的实际比热 上，作为合金结晶温度区间的修正比热。等价比热 容： f s c pe c p L T
直角坐标系下导热微分方程变为：
T T T T c pe t x x y y z z
（3）通过求解充型过程并考虑充型过程中的传
热而得到铸件充型结束后的初始温度分布。
5.凝固过程结晶潜热的处理
在金属凝固过程中，伴随着结晶潜热的释放。 对结晶潜热的处理，可将其视为具有内热源的 导热问题。 金属在单位时间内释放的结晶潜热： f s f s T Q L t L T t
由于合金的固相率式温度的非线性函数， 给数值计算带来困难，在凝固过程数值模拟 中，采用一下方法处理凝固结晶潜热的析出：
1. 热焓法：采用热焓变换处理方程。 2. 温度回升法：把金属凝固时释放的潜 热用于补偿由于热传导所带走的热量，即补 偿了由传热所引起的温度的降低，从而使单 元自身温度作相应的回升。
流和辐射两种换热，其边界条件为：
T hc hr Tw Tf n w
边界条件：
（5）金属/铸型界面换热条件：
T 1 hi Tw1 Tw 2 n w1
λ1：为铸件材料的导热系数 w1，w2：分别代表铸件与铸型表面 Tw1，Tw2：分别代表铸件和铸型的表面温度 hi：为金属/铸型界面换热系数，可以通过经验数值或假设 一定的分布函数形式处理
2T 2T 1 T 2 2 x y t
2T 2T 2T 1 T 2 2 2 x y z t
导温系数或热扩散系数（Thermal diffusivity）:
说明:（1）表征温度变化的速度，即表征物体内部 温度趋于一致的能力。是物体热惯性的度量。 （2）与物质的性质有关。例如：液体和气体具有较 大的热惯性，它们的导温系数就小。金属的热扩散 系数比型砂大几十倍，铸件在金属型中要比砂型中 冷却的快。
第三讲 导热微分方程
前言
运用物理数学方法研究表示特定现象各物理
量的关系。确定物理过程的量随空间时间的
变化。
在铸造凝固过程中我们要得到温度随时间空 间位置变化的情况。
数学物理方法：
限制在一定时间间隔内（微元时间间隔 dt ），并在整个空间内只研究一个微元体 （选取微元体的体积为 dv）。
从数学观点看，这些量是无穷小；物理观 点看，这些量足够大，以致在所研究的范围 内能忽略介质的不连续性，而作为连续介质 处理。
2. 其他坐标系的导热微分方程
在工程实际中往往涉及柱面或球面对称
的导热问题，边界条件给定在一个表面上，
此表面具有坐标保持不变的性质。
通过坐标变换，可以将直角坐标下的导 热微分方程变换成相应坐标系的导热微分方 程。
圆柱坐标系：
设圆柱坐标系下任一点P（r，θ，z），该点 在直角坐标系中的投影关系得出直角坐标与 柱坐标的变换关系如下： x= r cosθ r=(x2+y2)1/2 y= r sinθ θ= tan-1(y/x) z= z
dQz dz dQz dQz dz z
微元体内能的增量：
微元体内能的增量:
T dQ c p dxdydz dt t
微元体的热平衡式:
dQ
x dx
dxdydz dt dQy dy dQz dz Q
dQx dx dQy dy dQz dz + dQ
1. 直角坐标系下的导热微分方程
按照能量守恒定律，微元体的热平衡式可
以表示为下列形式： 导入微元体的总热流量+微元体内热源的 生成热=微元体内能的增量+导出微元体的总热 流量
导入微元体的总热量： dQx dQy dQz
由Fourier导热定律，在 dt 时间内 x 方向通过 x=x表面流入微元体的热流量为:
最简单的处理方式为： 假设金属/铸型界面处于理想接触状态，此 时其边界条件的表达式为：
T T 1 2 n w1 n w2
同样适合于不同铸型材料间接触界面换热条 件的处理。
初始条件：
非稳态问题的初始条件：
（1）为 t =0时刻所研究的空间上所有位置的温 度分布，可以是一个常数，也可以是空间的函数。 （2）给定液态金属的初始温度为浇注温度：假 设铸型瞬时充满并在充型过程中无热交换。
3.直角坐标系下一般方程的特殊形式：
原因：
由于导热微分方程的一般形式存在非线
性，往往难以直接进行数值求解。但在某些 特殊条件下，可将上述问题简化为同问题所 建立的条件相一致的最简单形式，以便进行 数值求解。
3.直角坐标系下一般方程的特殊形式：
无内热源、常物性条件下导热微分方程的简 化形式： 稳态导热：
则在dt 时间内，微元体的发热量为：
Q
dxdydz dt Q
导出微元体的总热量： dQx dx dQy dy dQz dz
在dt 时间内，x方向通过x = x+dx 表面流出微元 体的热流量dQx+dx，可按Taylor级数展开如下：
同理：
dQx dQx dx dQx dx x dQy dQy dy dQy dy y
2 m / s cp
4.导热过程的定解条件
定解条件：
使微分方程得到特解的附加条件。 对于导热微分方程，通过数学方法原则 上可以获得方程的通解。然而，对于实际工 程问题而言，还要求得出既满足导热微分方 程式，又满足根据具体问题规定的一些附加 条件下的特解。
非稳态导热问题的定解条件：
Tw f x, y, z, t
边界条件：
（2）第二类边界条件：
给定边界上的热流密度值。 最简单的形式：给定边界上的热流密度保持定 值，即 qw= 常数。当qw= 0，绝热边界条件。 对于非稳态导热问题，这类边界条件给定温
度为边界上空间位置与时间的函数，即：
T qw f x, y , z , t n w
边界条件：
（3）第三类边界条件：
给定边界上物体与周围流体间的表面换热 系数 hc ，及周围流体的温度 Tf 。 此类边界条件可表示为：
T hc Tw T f n w
边界条件：
（4）辐射换热边界条件： 当考虑物体表面的热辐射时，辐射换热 边界条件： T T 4 w T 4 f n w
L－金属的结晶潜热； ρ－金属的密度；
fs－温度为T时的质量固相率，是温度的函数
将上式带入直角坐标系下的导热微分方程，得 到：
f s T T T T cp L T t x x y y z z
习题：
一块辐射系数为ε＝0.8的钢板，温度为 127℃。 （1） 试计算钢板辐射出的热流密度。 （2） 钢板除本身辐射出辐射能散热外，还 由什么其他散热方式？
Tf为已知环境温度
Tw为物体表面温度
边界条件：
线性化处理，使得该类边界条件具有与对流换 热边界条件类似的形式，即
T hr Tw T f n w
Tf
hr T 2 w T 2 f
T
w
hr称为辐射换热系数
边界条件：
在实际导热问题中，物体表面经常同时存在着对