材料力学课件 第10章 组合变形

Mz1 Iy
FN A
t.max
c.max
425103 F 0.125 5.31105
15
F 10
3
934F Pa
15
第十章 组合变形
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F 350
t.max 667F c.max 934F
M FN
（4）求压力F
t.max 667F t
F t 30106 45000N
7
第十章 组合变形
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以矩形截面悬臂梁为例，来说明斜弯曲强度的计算方法。
O Fz
Fy F y
D1
D2
x
K(z, y)
z
x
l
将力F沿y轴和z轴分解为Fy和Fz
Fy F cos F， z F sin
弯矩My和Mz分别为
M z Fy x Fx cos M cos M y Fz x Fxsin M sin
M z,max Wz
9
第十章 组合变形
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中性轴：截面上正应力为零的点的连线就是中性轴(又称为 零线)。
z D2
D1
确定中性轴的位置后，在截面的周边 上作平行于中性轴的切线，离中性轴 最远的切点（D1和D2） ，其正应力 y 最大，即为危险点。
10
第十章 组合变形
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例题 矩形截面梁受力如图所示。已知 l 1m，b 50mm，h 75mm ，试求：梁中的最大正应力及其作用点的位置。
AB杆为轴向压缩与弯曲的组合变形
FC
FCy
FCx C
B Fx
17
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2.确定危险截面，作
内力图
800
可知：C截面的左邻为危险截面
FAx
D
.
.
.
A
.
2500
C
.
B
.
1500
A
FC
FCy
F B
FAy
FCx C
Fx
y
FN 40kN
M 12kN.m
18
第十章 组合变形
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AB杆上的K点沿与轴线45度方向的线应变 45
10 10（5 K点在水
平直径的前端）。若材料的许用应力 110MPa ，弹性模
量E=200GPa，泊松比 0.25，且P=200N。试用第三强度理
论校核该直角拐的强度（不计弯曲剪应力）。
P
y
C
K
A
2P D
a
B
x
z
180
60
y
K 45
K
z
34
第十章 组合变形
第十章 组合变形
第十章 组合变形
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第十章 组合变形 §10.1 组合变形的概念和叠加原理 §10.2 斜弯曲 §10.3 拉伸(压缩)与弯曲的组合
§10.4 偏心拉伸(压缩)与截面核心
§10.5 扭转与弯曲的组合
2
第十章 组合变形
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§10.1 组合变形的概念和叠加原理
d/6
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h/6
h/6
b
h d
26
第十章 组合变形
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例 题 已知：矩形截面 求：截面核心。
解： 对矩形截面
iy2
b2 12
,
iz2
h2 12
设AB为中性轴
a点坐标
AB直线的截距为：
ay
h 2
,
由：
ya
iz2 ay
,
za
i
2 y
az
az
ya
h, 6
za
0
27
第十章 组合变形
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构件在小变形和服从胡克定理的条件下，力的独立性原
理是成立的。即所有载荷作用下的内力、应力、应变等是各 个单独载荷作用下的值的叠加。
解决组合变形的基本方法是将其分解为几种基本变形；分 别考虑各个基本变形时构件的内力、应力、应变等；最后进行 叠加。
6
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§10.2 斜弯曲
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设AB为中性轴 a点坐标
AB直线的截距为：
ay
h 2
,
az
由：ya
iz2 ay
,
za
iy2 az
设BC为中性轴
b点坐标:
ya
h, 6
za
0
yb 0,
b za 6
同理可确定 c, d点坐标
连线得截面核心。
28
第十章 组合变形
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§10.5 扭转与弯曲的组合
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r3
1 W
T2
M
2 合
0.04P2百度文库 0.43P2 0.43 200 86MPa
r3
安全
37
第十章 组合变形
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小结
1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法
20
第十章 组合变形
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选取形心主惯性轴 y 轴和 z 轴
z
x F
e A(yF ,zF)
O
y
将 F 向截面形心 O 简化：
x
z
F''
Mz
My O
y
F F
轴向压缩
M y F zF
xz平面内的平面弯曲
Mz F yF
xy平面内的平面弯曲
21
第十章 组合变形
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x
z
F''
解：通过分析可知梁在梁固定端的弯矩 值最大，为
x z K(z, y)
M ymax 1.5kN m M zmax 2.0kN m
x
y
l
z
矩形截面的抗弯截面系数为
Wy
bh2
6
46875mm3
Wx
b2h 6
31250mm3
h
最大正应力为
y
b
max
M y max Wy
M z max Wz
1.5 103 46875 109
2.0 103 MPa 31250109
MPa
96MPa
11
第十章 组合变形
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§10.3 拉伸(压缩)与弯曲的组合
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=+
10-
12
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t,max
=+
c,max
c
F A
t,max
=+
t,max
Fl W
c,max
c,max
Fl W
t,max
x
y
2
4
2 xy
Wp
1 2 4 2 0
22
30
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M
W
T
Wp
1
2
1 2
2 4 2
2 0
3
2
1 2
2 4 2
第三强度理论：
31
第十章 组合变形
M
W
T
Wp
第四强度理论：
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1
2
1 2
2 4 2
2 0
3
2
1 2
2 4 2
32
第十章 组合变形
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塑性材料的圆截面轴弯扭组合变形
第三强度理论：
r3
1 W
第四强度理论：
r4
1 W
M 2 T 2 [ ] M 2 0.75T 2 [ ]
式中W 为抗弯截面系数，M、T 为轴危险面的弯
矩和扭矩
W d 3
W D3 1 4
32
32
33
第十章 组合变形
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例题：圆截面直角拐ABC处于水平面内，直径d=20mm。测得
667 667
c.max 934F c
t.max
c.max
F c 120106 128500N
934 934
许可应力为 F 45000N 45kN 16
第十章 组合变形
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例题 最大吊重F=8kN的起重机如图所示，AB杆为工字钢，
材料为A3钢 ，[]=100MPa，试选择工字钢型号。
F 350 y1 z0 y z1
M FN
A 15000mm2 z0 75mm
z1 125 mm I y 5.31107 mm4 （2）立柱横截面的内力
50
FN F
150
M F 350 75103
50
150
425F 103N.m
14
第十章 组合变形
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A 15000mm2
组合变形：构件同时发生两种或两种以上的基本变形，且 几种变形所产生的影响(如应力、应变)属于同一数量级。
摇臂钻--拉(压)弯组合变形
3
第十章 组合变形
组合变形工程实例
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吊车杆——压弯组合变形
4
第十章 组合变形
组合变形工程实例
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厂房牛腿——偏心压缩
5
第十章 组合变形
叠加原理
Fl W
F A
[ t ]
c,max
Fl W
F A
[ c ]
13
第十章 组合变形
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例题 铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，材料的 许用拉应力[t]＝30MPa，许用压应力[c]＝120MPa。试按
立柱的强度计算许可载荷F。
解：（1）计算横截面的形心、 面积、惯性矩
F 350 F
F 单独作用 My单独作用
FN F
AA
M y z FzF z
Iy
Iy
Mz
My O
y
z K(y,z)
y
Mz单独作用
Mz y FyF y
Iz
Iz
F 、My 、Mz共同作用
F A
FzF z Iy
FyF Iz
y
利用
Iy
A
i
2 y
Iz
A
i
2 z
F A
1
zF z
WP
WP
16
d3
1 2 0 3
y
x
45
1 E
1
2
3
1
E
E 45 T Pa 1 WP WP
a E 45 WP 1 P
200109 10 105 0.023
16
40mm
1 0.25
200
1
45
3
36
第十章 组合变形
W d3
32
T 0.04P
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l
S平面 y
SF
a
1
T
4
z
x
2
3 Mz
Fa T
M
Fl
1
τ
T Wp
σ
Mz Wz
τ
T Wp
3
σ
M W
z z
29
第十章 组合变形
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1
τ
T Wp
3
σ
Mz Wz
τ
T Wp
σ
Mz Wz
max
x
y
2
1 2
x
y
2
4
2 xy
1 2 4 2 0
M
22
T
W
min
x
y
2
1 2
8
第十章 组合变形
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D1
O Fz
Fy F y
D2
x
z x
K(z, y) l
根据弯曲正应力的计算公式有：
Mz y
Iz
M y z
Iy
按照叠加原理
M
s
in
Iz
y
cos
Iy
z
在强度计算时，须先确定危险截面，然后在危险截面上确定危险点。
强度条件为
max
M y,max Wy
（2）立柱横截面的内力
z0 75mm
FN F
z1 125 mm
M 425 103 F N.m
I y 5.31107 mm4 （3）立柱横截面的最大应力
F 350
z0 z1
M
FN
t.max
Mz0 Iy
FN A
425103 F 0.075 5.31105
F 15 103
667F Pa
c.max
i
2 y
yF iz2
y
22
第十章 组合变形
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2、中性轴位置
令
y y0 z z0
F A
1
zF z0
i
2 y
yF y0
i
2 z
0
得到中性轴方程：
1
zF z0
i
2 y
yF y0 iz2
0
结论1：中性轴为不通过形心的直线，
其位置不仅与几何形状有关，
中性轴 x ay O
(y0 ,z 0)
O az
y
对于有棱角的截面，危险点在棱角处。 (y0,z 0)
中性轴 受压区
受拉区
中性轴
受压区
受拉区
24
第十章 组合变形
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4、截面核心
力作用点
中性轴 受压区
受拉区
中性轴
力作用点 受压区
截面核心——在偏心压力作用下，使杆的横截面上只 产生压应力的载荷作用区域
25
第十章 组合变形
圆形截面和矩形截面的截面核心
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3.选择截面 先不考虑轴力的影响选择截面 800
由
max
M max Wz
[ ]
得到
Wz
M max
[ ]
12 103 100 106
FAx
12 105 m3
FN
120 cm3
查表：取16号工字钢
M
Wz 141 cm3 A 26.1 cm2
D
.
.
.
A
.
2500
C
.
B
.
1500
A
FC
FCy
F B
FAy
FCx C
Fx
y
40kN
12kN.m
19
第十章 组合变形
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§10.4 偏心拉伸(压缩)和截面核心
1、偏心压缩的概念及应力 偏心压缩—— 压力的作用线与杆的轴
线平行，但不重合的受 力情况
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x
e O
F A(yF ,zF)
偏心载荷—— 引起偏心压缩的载荷 偏心距（e） —— 偏心载荷偏离轴线的距离
解：由题可以画出杆的内力图
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P
C
弯矩图、扭矩图如图 所示：
A 2P
0.36P
T Pa
M图
M z 0.24P
0.24P
M y 0.36P T图
可知：危险截面在A面处
DB
Pa
Pa
35
第十章 组合变形
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M合
M
2 z
M
2 y
0.24P2 0.36P2 0.43P
T
解：1.AB杆的计算简图
D
lCD 2.52 0.82 2.62 m 800
由 M A 0：
FC
0.8 2.62
2.5
F
4
0
.
.
.
A
.
2500
C
.
B
.
1500
F
得到 FC 42 kN 2.5
FCx FC 2.62 40 kN
FAx A FAy y
0.8 FCy FC 2.62 12.8 kN
z F A(yF ,zF )
az
y
还与载荷位置有关
中性轴在 y 轴上的截距： ay iz2 yF
中性轴在 z 轴上的截距：
az
i
2 y
zF
结论2：中性轴与偏心载荷的作用点分别位于截面形心
的两侧
23
第十章 组合变形
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3、危险点位置 危险点位于离中性轴距离最远处
中性轴 x ay
z F A(yF ,zF )
斜弯曲：当外力不作用在形心主轴与梁轴线组成的纵向平面 内时，梁的挠曲线并不在荷载平面内，即不属于平面弯曲， 这种弯曲称为斜弯曲，即两向平面弯曲的组合。
F
C
斜弯曲问题的解法，一般是将横向力向 截面的两个形心主惯性轴的方向分解。
这样在材料服从胡克定律且小变形的前提 下，构件虽然同时沿两个垂直的方向发生 平面弯曲，但每一弯曲变形都是各自独立 的，互不影响。因此，可以应用叠加原理。