材料力学第八章组合变形及连接部分的计算
材料力学组合变形 ppt课件
FN F
M 42 153 0FN.m
（3）立柱横截面的最大应力
t.max
Mz0 Iy
FN A
F 350
M FN
425103 F 0.075 5.31105
15
F 103
667F Pa
c.max
Mz1 Iy
FN A
t.max
c.max
425103 F 0.125 F
5.31105
15103
中性轴方程
x
PMzy0 A Iz
Myz0 Iy
0
对于偏心拉压问题
PPyPy0 PzPz0 0
A Iz
Iy
中性轴
危险点 （距中性轴最远的点）
1 yPy0 zPz0 0
A Iz
I Wy
m
a
x
PMz A Wz
My Wy
例题
铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，材料的许用 拉应力[t]＝30MPa，许用压应力[c]＝120MPa。试按立柱
1 242 0
22
25
M W
T Wt
1212 242
2 0
3212 242
第三强度理论：
r31 3
Wt 2W
r3 242[]
r3W 1 M2T2[]
26
M W
T Wt
1212 242
2 0
3212 242
第四强度理论：
r41 2 [(1 2)2 (2 3 )2 (3 1 )2]
r4 232[] r4W 1 M 20.7T 52[]
解：拉扭组合,危险点应力状态如图
F A
Me F
F 450 103 A 0.12
材料力学_第八章截面核心汇总.
a
z
z (4a a)(2a 2a) (2a 4a)(a)
(4a a) (2a 4a)
4a 6a
* C
z
2a
4a
y1
(b)
a
2. 确定形心主惯性轴，并求形心主惯性矩 z
4a 6a
由于z轴为对称轴，且y、z轴的交 点过形心，故图c中y轴和z轴的为形 心主惯性轴。
A Iz
Iy
中性轴方程 az
ay 中性轴 z
F A
FyF y0 Aiz2
FzF z0
Ai
2 y
F (1 A
yF y0 iz2
z
F z0
i
2 y
)
0
y
F(zF , yF )
1
yF y0 izy
0
中性轴在形心主惯性轴y、z上的截距
ay
iz2 yF
az
i
2 y
zF
* C
y
形心主惯性矩Iy为
4a
Iy
a(4a)3 [
12
(a
4a) (2a)2]
4a(2a)3 [
12
(4a
(c)
2a) a2 ]
32a4
Iz
4a(a)3 12
2a(4a)3 12
11a4
3. 计算横截面上的内力
将F力向形心C简化，可得杆的内力分别为 FN=F，My=F·2a， Mz=F·2a
,
az
i
《材料力学组合变形》课件
拉伸与压缩组合变形的分析方法
01
02
03
弹性分析方法
基于弹性力学的基本原理 ，通过求解弹性方程来分 析杆件内部的应力和应变 分布。
塑性分析方法
在材料进入塑性阶段后， 采用塑性力学的基本理论 来分析杆件的承载能力和 变形行为。
材料力学在组合变形中的应用实例
01
02
03
04
桥梁工程
桥梁的受力分析、桥墩的稳定 性分析等。
建筑结构
高层建筑、大跨度结构的受力 分析、抗震设计等。
机械工程
机械零件的强度、刚度和稳定 性分析，如轴、轴承、齿轮等
。
航空航天
飞机和航天器的结构分析、材 料选择和制造工艺等。
材料力学在组合变形中的发展趋势
特点
剪切与扭转组合变形具有复杂性和多样性，其变形行为受到多种因素的影响，如 材料的性质、杆件的长度和截面尺寸、剪切和扭转的相对大小等。
剪切与扭转组合变形的分析方法
1 2 3
工程近似法
在分析剪切与扭转组合变形时，通常采用工程近 似法，通过简化模型和假设来计算杆件的应力和 变形。
有限元法
有限元法是一种数值分析方法，可以模拟杆件在 剪切与扭转组合变形中的真实行为，提供更精确 的结果。
弯曲组合变形的分析方法
叠加法
刚度矩阵法
叠加法是分析弯曲组合变形的基本方 法之一。该方法基于线性弹性力学理 论，认为各种基本变形的应力、应变 分量可以分别计算，然后按照线性叠 加原理得到最终的应力、应变分布。
刚度矩阵法是通过建立物体内任意一 点的应力、应变与外力之间的关系， 来求解复杂变形问题的一种方法。对 于弯曲组合变形，可以通过构建系统 的刚度矩阵来求解。
材料力学-第八章叠加法求变形(3-4-5)
C
刚化
P
EI=
C
θc1
fc1
pa3 3EI
fc1
c1
pa2 2EI
2）AB部分引起的位移fc2、 θc2
P
A
θ B B2
C
fc2 刚化
EI=
B2
PaL 3EI
fc2 B2 a
PaL a 3EI
c c1 B2
θB2
P Pa
c
Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2 2EI
PaL 3EI
fc fc1 fc2
fc
pa3 3EI
MPa，[]=100
MPa，E=210
GPa，
w l
1 400
。
例题 5-7
解:一般情况下，梁的强度由正应力控制，选择梁横 截面的尺寸时，先按正应力强度条件选择截面尺寸， 再按切应力强度条件进行校核，最后再按刚度条件 进行校核。如果切应力强度条件不满足，或刚度条 件不满足，应适当增加横截面尺寸。
[例8-3]如图用叠加法求 wC、A、B
解：1.求各载荷产生的位移 2.将同点的位移叠加
=
wC
5qL4 384EI
A
qL3 24EI
B
qL3 24EI
+
PL3 48EI
PL2
16EI PL2
16EI
+
ML2 16EI
ML 3EI
ML 6EI
例题 5-4
试按叠加原理求图a所示简支梁的跨中截面的
16EI
1 qa4 24 EI
()
例题 5-5
图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB
段相同，但要注意原外伸梁的B截面是可以转动的，
工程力学材料力学知识要点2
第八章组合变形8.1知识要点一、两相互垂直平面内的弯曲1、横截面上的正应力任一横截面上任一点C(y,z)处由和引起的正应力为（8-1）2、中性轴的位置中性轴方程为（8-2）其与y轴的夹角为（8?3）（d）若材料的许用拉应力与许用压应力相等，其强度条件可写成：（8?4）式中：，（8-5）二、横向力和轴向拉力共同作用下的组合变形在轴向拉力和横向力共同作用下(图8-2)，横截面任一点处的正应力，可按下式计算：（8?6）正应力强度条件为：（8?7）三、偏心拉伸（压缩）当杆件所受的外力，其作用线与杆件的轴线平行而不重合时，引起的变形称为偏心拉伸（压缩）(图8-3)。
1、横截面上的正应力在杆端A(yF, zF)点处作用平行于杆轴线的拉力F，则杆上任一横截面上E (y,z)点处的正应力为（8?8）2、中性轴位置中性轴的方程为：（8-9）中性轴在两坐标轴上的截距为，（8-10）3、正应力强度条件危险截面上离中性轴最远的点D1和D2就是危险点（图8-4）。
这两点处的正应力分别是横截面上的最大拉应力和最大压应力：（8－11）若材料的许用拉应力和许用压应力相等，可以建立正应力强度条件（8－12）4、截面核心当外力作用点位于截面形心附近的一个区域内时，中性轴不与截面相交，这个区域称为截面核心（图8-5）。
由与截面周边相切的中性轴的截距，可以计算相应截面核心边界上一点的坐标（），，（8－13）四、扭转与弯曲变形若危险截面上的扭矩为，弯矩为，则该截面上的最大正应力和最大切应力分别为：，（8-14）危险点处为平面应力状态，其主应力为（8-15）对于工程中受弯扭共同作用的圆轴大多是由塑性材料制成的，所以应该用第三或第四强度理论来建立强度条件。
如果用第三强度理论，则强度条件为：（8-16）如果用第四强度理论，则强度条件为：（8?17）对于圆截面，有WP=2Wz，则用第三强度理论，其强度条件为：（8－18）用第四强度理论，其强度条件为：（8－19）六、连接件的实用计算法1、剪切的实用计算在工程中，剪切变形采用实用计算的方法，假定剪切面上切应力是均匀分布的。
831-材料力学考试大纲及参考书目
2020年硕士研究生招生专业考试大纲学院代码：021学院名称：建筑工程学院专业代码及专业名称：087100 管理科学与工程初试科目代码及名称：831材料力学考试大纲：一、考试目标及要求通过笔试，全面衡量和考核考生掌握杆件的强度、刚度和稳定性计算的基本理论的程度；着重观察其基本概念和分析方法熟练程度；也注意辨析其计算能力和掌握的实验分析能力的情况。
本大纲在专家相应考试命题和考生复习应考中提供一个关于内容、重点等等方面的参考。
二、考试形式与考卷结构考试形式：闭卷，笔试，卷面总分150分，考试时间180分钟三、考试范围第一章基本概念材料力学的任务，可变形固体的性质及其基本假设，杆件的几何特征，杆件变形的基本形式。
第二章轴向拉伸和压缩内力，截面法，轴力及轴力图，应力，拉（压）杆的变形，拉（压）杆的应变能，材料在拉伸和压缩时的力学性能，强度条件及安全因数、许用应力，应力集中的概念。
第三章扭转薄壁圆筒的扭转，传动轴的外力偶矩，扭矩及扭矩图，等直圆杆扭转时的应力及强度条件，等直圆杆扭转时的变形及刚度条件，等直圆杆扭转时的应变能。
第四章弯曲应力对称弯曲的概念，梁的剪力和弯矩、剪力图和弯矩图，平面刚架和曲杆的内力图，梁横截面上的正应力及正应力强度条件，梁横截面上的切应力及切应力强度条件，梁的合理设计。
第五章梁弯曲时的位移挠度及转角，梁的挠曲线近似微分方程及其积分，按叠加原理计算梁的挠度和转角，梁的刚度校核，提高梁的刚度的措施，梁内的弯曲应变能。
第六章简单的超静定问题超静定问题及其解法，拉压超静定问题，扭转超静定问题，简单超静定梁。
第七章应力状态和强度理论平面应力状态的应力分析，主应力，空间应力状态的概念，应力与应变间的关系，强度理论及其相当应力，各种强度理论的应用。
第八章组合变形及连接部分的计算两相互垂直平面内的弯曲，拉伸（压缩）与弯曲，扭转与弯曲，连接件的实用计算法，铆钉连接计算。
第九章压杆稳定压杆稳定性的概念，细长中心受压直杆临界力的欧拉公式，不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式及压杆的长度因数，欧拉公式的应用范围，临界应力总图，压杆的稳定计算，压杆的合理截面。
材料力学第8章组合变形
MB
M
2 yB
M
2 zB
(364 N m)2 (1000N m)2 1064N m
•由Mz图和My图可知， B截面上的总弯矩最大， 并且由扭矩图可见B截 面上的扭矩与CD段其 它横截面上相同，TB ＝-1000 N·m，于是判 定横截面B为危险截面。
3. 根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为
Wp
r4
M 2 0.75T 2
W
300N.m 1400N
300N.m
1500N 200
150
300N.m
128.6N.m
120N.m
（2）作内力图
危险截面E 左处
T 300N.m
M
M
2 y
M
2 z
176N.m
（3）由强度条件设计d
r3
M2 T2 W
W d 3
32
32 M 2 T 2
第8章 组合变形
8.1 组合变形和叠加原理 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 8.3 偏心压缩和截面核心 8.4 扭转与弯曲的组合 8.5 组合变形的普遍情况
8.1 组合变形和叠加原理
组合变形——实际构件由外力所引起的变形包含两种或两 种以上的基本变形。如压力框架、烟囱、传动轴、有吊车 的立柱。 叠加原理——如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力， 应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情 况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无 关。 前提条件：
即 亦即 于是得
r4
M 2 0.75T 2 [ ]
W
•请同学们按
照第三强度理 (1064 N m)2 0.75(1000 N m)2 100106 Pa W
刘鸿文《材料力学》复习笔记和课后习题(含考研真题)详解(组合变形)【圣才出品】
（3）根据叠加原理，总正应力：
FN M z gy
A Iz
5．强度计算 危险点通常位于截面上距中性轴最远处。 （1）强度条件 危险点处于单向应力状态，强度条件 σmax≤[σ]。 当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，应分别建立杆件的抗拉和抗压强度条件： σtmax≤[σt]，σcmax≤[σc]。 （2）强度计算步骤 ①作内力图，确定危险截面； ②计算截面应力并作其分布图，确定危险点；
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第 8 章 组合变形
8.1 复习笔记
一、组合变形和叠加原理 组合变形是指构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形。在下述情况下组合变 形可用叠加法求解：①内力、应力、应变、变形等与外力之间成线性关系，即满足胡克定律； ②变形是小变形，可以用原始尺寸原理。
W
其中，W 为抗弯截面系数。 8.2 课后习题详解
8.1 试求图 8-2-1 所示各构件在指定截面上的内力分量。
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图 8-2-1 解：（a）FN＝Fcosθ，FS＝Fsinθ，M＝Facosθ＋Flsinθ （b）FN＝Fy，FSx＝Fx，FSz＝Fz，Mx＝2Fy－FzL，Mz＝FxL－3Fy，T＝2Fx－3Fz （c）截面 1-1：FSy＝F1/2，FSz＝F2/2，Mz＝F1a，My＝F2a，T＝－F1a/2；
图 8-1-1 3．内力分析 横截面上的内力包括：轴力 FN、弯矩 Mz 和剪力 FS。其中，由于剪力引起的切应力较 小，因此，一般不考虑。
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4．应力分析 （1）拉伸正应力：
材料力学作业习题
材料⼒学作业习题第⼆章轴向拉伸与压缩1、试求图⽰各杆1-1和2-2横截⾯上的轴⼒,并做轴⼒图。
（1）（2）2、图⽰拉杆承受轴向拉⼒F =10kN ，杆的横截⾯⾯积A =100mm 2。
如以α表⽰斜截⾯与横截⾯的夹⾓，试求当α=10°,30°,45°,60°,90°时各斜截⾯上的正应⼒和切应⼒,并⽤图表⽰其⽅向。
3、⼀⽊桩受⼒如图所⽰。
柱的横截⾯为边长200mm 的正⽅形,材料可认为符合胡克定律,其弹性模量E =10GPa 。
如不计柱的⾃重，试求：(1)作轴⼒图；(2)各段柱横截⾯上的应⼒； (3)各段柱的纵向线应变；(4)柱的总变形。
4、(1)试证明受轴向拉伸(压缩)的圆截⾯杆横截⾯沿圆周⽅向的线应变d ε,等于直径⽅向的线应变d ε。
(2)⼀根直径为d =10mm 的圆截⾯杆,在轴向拉⼒F 作⽤下,直径减⼩0.0025mm 。
如材料的弹性摸量E =210GPa ，泊松⽐ν=0.3,试求轴向拉⼒F 。
(3)空⼼圆截⾯钢杆,外直径D =120mm,内直径d =60mm,材料的泊松⽐ν=0.3。
当其受轴向拉伸时, 已知纵向线应变ε=0.001,试求其变形后的壁厚δ。
5、图⽰A和B两点之间原有⽔平⽅向的⼀根直径d=1mm的钢丝,在钢丝的中点C加⼀竖直荷载F。
已知钢丝产⽣的线应变为ε=0.0035,其材料的弹性模量E=210GPa，钢丝的⾃重不计。
试求：(1) 钢丝横截⾯上的应⼒(假设钢丝经过冷拉,在断裂前可认为符合胡克定律)；(2) 钢丝在C点下降的距离?；(3) 荷载F的值。
6、简易起重设备的计算简图如图所⽰.⼀直斜杆AB应⽤两根63mm×40mm×4mm不等边⾓钢组[σ=170MPa。
试问在提起重量为P=15kN的重物时,斜杆AB是否满⾜强度成,钢的许⽤应⼒]条件?7、⼀结构受⼒如图所⽰,杆件AB,AD均由两根等边⾓钢组成。
已知材料的许⽤应⼒[σ=170MPa，试选择杆AB,AD的⾓钢型号。
材料力学变形计算公式
材料力学变形计算公式材料力学这门学科啊，可真是充满了各种奇妙的知识和计算公式。
其中，变形计算公式那可是相当重要的一部分。
先来说说什么是变形。
想象一下，你用力拉一根橡皮筋，它是不是变长了？这就是变形。
而材料力学里研究的变形，可比拉橡皮筋复杂得多。
咱们就拿一根钢梁来举例吧。
假设这根钢梁要承受很大的重量，那它会发生什么样的变形呢？这时候变形计算公式就派上用场啦。
比如说，拉伸或压缩变形的计算公式是ΔL = FL / (EA) 。
这里的ΔL 表示变形量，F 是所受的力，L 是杆件的长度，E 是材料的弹性模量，A 是杆件的横截面面积。
我记得有一次在工地上，看到工程师们在计算一个大型起重机的起重臂的变形量。
他们拿着各种测量工具，神情专注，一边测量一边在本子上记录数据。
然后就开始运用这些变形计算公式来计算，看起重臂是否能够承受预期的重量，并且保证在工作过程中不会发生过度的变形。
再来说说扭转变形的计算公式。
扭转角φ = TL / (GIp) ，其中 T 是扭矩，L 是杆件的长度，G 是材料的剪切模量，Ip 是极惯性矩。
弯曲变形的计算公式就更复杂一些啦。
比如简支梁受集中力作用时，最大挠度的计算公式是 Ymax = Fl³ / (48EI) 。
这些变形计算公式在实际工程中可太重要了。
就像建造高楼大厦，如果不精确计算建筑材料的变形，那可就危险啦。
咱们在学习这些公式的时候，可不能死记硬背，得理解每个参数的含义和它们之间的关系。
比如说弹性模量 E ，它反映了材料抵抗变形的能力，不同的材料 E 值可不一样。
而且，在实际应用中，还得考虑很多因素的影响。
比如温度的变化、材料的缺陷等等。
总之啊，材料力学的变形计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去学，结合实际去理解，就能掌握好它们，为解决实际问题提供有力的工具。
所以，小伙伴们，别害怕这些公式，加油去探索材料力学的奇妙世界吧！。
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二、叠加原理
构件在小变形和服从胡克定律的条件下，力 的独立性原理是成立的。即所有载荷作用下的内 力、应力、应变等是各个单独载荷作用下的值的 叠加。
解决组合变形的基本方法是将其分解为几种基 本变形；分别考虑各个基本变形时构件的内力、应 力、应变等；最后进行叠加。
§8–1 两相互垂直平面内的弯曲
的强度计算许可载荷F。
解：（1）计算横截面的形心、
面积、惯性矩
F 350
F 350
A 15000mm2
F
M
z0 75mm
FN
y1 z0 y z1
z1 125 mm I y 5.31107 mm4 （2）立柱横截面的内力
50
FN F
150
M F350 75103
50
对圆形、正方形截面
Iy Iz
一般生产车间所用的吊车大梁,两端由钢轨支撑,可以简化为简支 梁,如图示.图中l＝4m。大梁由32a热轧普通工字钢制成，许用应力 ［σ］＝160MPa。起吊的重物重量F＝80kN，且作用在梁的中点， 作用线与y轴之间的夹角α＝5°，试校核吊车大梁的强度是否安全。
F2
M y F1 2L
z
Mz F2 L
x
max
My Mz Wy Wz
F1
6 F1 2L 6 F2L
L
L
y
b2h
bh2
t,max 9.979MPa
c,max 9.979MPa
§8.3 拉伸或压缩与弯曲的组合
一、横向力与ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ向力共同作用
=+
10-3
t ,max
=
c,max
c
F A
+
t,max
t,max
Fl W
c,max
Fl W
c,max
t ,max
Fl W
F A
[t ]
=+
c,max
Fl F WA
[ c ]
• 最大吊重P=8kN的起重机，AB杆
例8.4 为工字钢，材料为A3钢，
[]=100MPa，选择工字钢型号。
设计原则
按弯曲正应力强度条件选择工字钢型号 再按拉压与弯曲组合变形校核强度，必要时选择
大一号或大二号的工字钢 必要时还应校核腹板与翼缘连接处的切应力强度 对于切应力较大的情况，原则上应选择腹板厚度
较大的型号
“M” “FN”
F 350
M
t.max 667F c.max 934F
（4）求许可压力F
FN
t.max 667F t
F t 30106 45000N
667 667
t.max
c.max
c.max 934F c F c 120106 128500N
F
1， 首先将斜弯曲分解
为两个平面弯曲的叠加
Fy F cos
L2
L2
Fz F sin
Z
2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩
Z
y
Mz
Fy L 4
My
Fz L 4
y
3， 计算最大正应力并校核强度
查表： Wy 692.2cm3 Wz 70.758cm3
max
My Wy
Mz Wz
934 934
许可压力为F 45000N 45kN
二、偏心拉伸（压缩）
1、单向偏心拉伸（压缩）
eF
F M Fe
A
F M Fe
FN Fey
A IZ
FN M Fe
z B y
F
A
B
e
F
M Fe
单向偏心压缩时,距偏心力较近的一侧边缘总是产生压应力, 而最大正应力总是发生在距偏心力较远的另一侧,其值可能是拉 应力,也可能是压应力.
Mz0 Iy
FN A
F 350
M FN
425103 F 0.075 5.31105
F 15 103
667F Pa
c.max
Mz1 Iy
FN A
t.max
c.max
425
103 F 0.125 5.31105
15
F 103
934F Pa
217.8MPa
4， 讨论 0 max 115.6MPa
88.4％
吊车起吊重物只能在吊车大梁垂直方向起吊，不允许在大梁的侧面斜方向起吊。
图示矩形截面梁，截面宽度b＝90mm，高度h＝180mm。梁在两 个互相垂直的平面内分别受有水平力F1和铅垂力F2 。若已知F1 ＝800N， F2＝1650N， L ＝1m，试求梁内的最大弯曲正应力并 指出其作用点的位置。
150
425F 103N.m
A 15000mm2 z0 75mm z1 125 mm I y 5.31107 mm4
y1 z0 y z1
150
（2）立柱横截面的内力
50
FN F
M 425 10 3 F N.m
（3）立柱横截面的最大应力
50
150
t.max
§8–1 概 述
一、组合变形 ：由两种或两种以上基本变形组合的情况。
P
P z
R
x
M
y
P
P q
hg
水坝
屋架传来的压力 吊车传来的压力
自重 风 力
组合变形工程实例
（立柱）压弯组合变形
10-1
组合变形工程实例
拉弯组合变形
组合变形工程实例
（轴）弯扭组合变形
工程实例
（轴）拉伸、弯曲、剪切和扭转的组合变形
危险截面： C截面左侧
Mmax=12kN·m
FN=40kN
W Mmax =120 cm3 []
选16号 工字钢
校核
|c,max|=
|FN
A
+ Mmax
W
|=100.5MPa
可以使用。
例题 拉（压）弯组合变形
铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，材料的许用
拉应力[t]＝30MPa，许用压应力[c]＝120MPa。试按立柱
2、双向偏心拉伸（压缩） 1.外力分析
ey z F
ez
Fz
2.内力分析
Mz Fey
FN F
y
M y Fez y
M y Fez
D
Ey, z C
对称弯曲
斜弯曲
Myz Mz y
Iy
Iz
t,max M y max M z max
c,max
Wy
Wz
强度条件：
D1点： t,max [ t ] D2点： c,max [ c ]
ωz
ω
ωy
挠度：
2 y
2 z
tan z Iz tan y Iy