材料力学教案-组合变形
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09.材料力学-组合变形
2 1 ， 2 0， 3 2 2 2 2 2
然后，选用强度理论建立强度条件。因手柄用钢材制成，应 选用第三或第四强度理论。若采用第三强度理论，可得其强度 条件为
2
2
r 3 4
2
2
≤
作出AB杆的弯矩图和AC段的轴力图，如图(c)所示。从图中 可以看出， C 点截面左侧，其弯矩值为最大，而轴力与其它截 面相同，故为危险截面。 开始试算时，可以先不考虑轴力Fx的影响，只根据弯曲强度
条件选取工字钢。这时截面系数为
W≥
M 120 10 m 120cm 100 106
350
M
FN
(a)
(b)
t .max
(c)
c.max
21
解：首先，根据截面尺寸计算横 截面面积，确定截面形心位置，求 出截面对形心主惯性轴y的主惯性矩
y1
z0
y
z1
50
Iy。计算结果为
150 50 150
A 15103 mm2 ，z1 75 mm， I y 531010 mm
30
若采用第四强度理论，可将上述三个主应力代入公式，其 强度条件成
r 4 2 3 2 ≤
若将式
M W
MT WP
2 M 2 MT
代入上两式，并注意到对圆截面杆有 WP ＝ 2W ，则以上两式 改写成
r3
r4
W
2 M 2 0.75M T
≤ ≤
A1 Wz1
200
300
200 P
350000 350 50 6 0.2 0.3 0.2 0.32 11.7 MPa
材料力学-组合变形
第八章
组合变形
§8-2 两相互垂直平面内的弯曲
z Fz φ Fy y F
x
对载荷进行分解、分组和叠加。 对载荷进行分解、分组和叠加。
一、应力与变形的计算
1. 应力计算
z x Fy y z Fz x 中性轴 σamax σlmax
y
z Fz φ x l My z Mz Fy y F
x
M y = Fz (l x) = F sin φ (l x) M z = Fy (l x) = F cos φ (l x) M y = M sin φ = F (l x) sin φ M z = M cos φ = F (l x) cos φ
x
M z = Fy (l x)
M y = Fz (l x)
FN M y z A M z y A σ= + + A Iz Iy
Fx = bh
-
Fz (l x) × 30
b h / 12
3
+
Fy (l x) × 20
bh 3 / 12
2. 3. 4. 5.
中性轴离开坐标原点， 中性轴离开坐标原点，且与形心主轴斜交 截面上到中性轴距离最大的点， 截面上到中性轴距离最大的点，正应力值最大 多边形截面的最大的正应力均发生在角点， 多边形截面的最大的正应力均发生在角点， 曲线周边截面通过推中性轴平行线， 曲线周边截面通过推中性轴平行线，至截面周边的 方法来确定最大正应力的位置。 方法来确定最大正应力的位置。
压缩+ 压缩+平面弯曲
3)求应力 求应力
FN = 3kN M max = 8kN m
σ t ,max
FN M max ± = σ c,max A W
组合变形
§8-2 两相互垂直平面内的弯曲
z Fz φ Fy y F
x
对载荷进行分解、分组和叠加。 对载荷进行分解、分组和叠加。
一、应力与变形的计算
1. 应力计算
z x Fy y z Fz x 中性轴 σamax σlmax
y
z Fz φ x l My z Mz Fy y F
x
M y = Fz (l x) = F sin φ (l x) M z = Fy (l x) = F cos φ (l x) M y = M sin φ = F (l x) sin φ M z = M cos φ = F (l x) cos φ
x
M z = Fy (l x)
M y = Fz (l x)
FN M y z A M z y A σ= + + A Iz Iy
Fx = bh
-
Fz (l x) × 30
b h / 12
3
+
Fy (l x) × 20
bh 3 / 12
2. 3. 4. 5.
中性轴离开坐标原点， 中性轴离开坐标原点，且与形心主轴斜交 截面上到中性轴距离最大的点， 截面上到中性轴距离最大的点，正应力值最大 多边形截面的最大的正应力均发生在角点， 多边形截面的最大的正应力均发生在角点， 曲线周边截面通过推中性轴平行线， 曲线周边截面通过推中性轴平行线，至截面周边的 方法来确定最大正应力的位置。 方法来确定最大正应力的位置。
压缩+ 压缩+平面弯曲
3)求应力 求应力
FN = 3kN M max = 8kN m
σ t ,max
FN M max ± = σ c,max A W
材料力学-组合变形
强度条件（简单应力状态）—— max
7
4、刚度计算
y
f y max
f max
Fy L3 3EI z
,
Fz L3 f z max 3EI y
Fy L3
Fsz z
z
F
y
Fsy
y
3 F L f y2 f z2 ( )2 ( z )2 3EI z 3EI y
48.44o
2 2 2 2 f max wz ) max wy max 11.99 10.63 16.02(m m
f max
3.3 103 16.02(m m) w 16.5(m m) 200
10
例 图示悬臂梁，承受载荷F1与F2作用，已知F1=800N，F2=1.6kN，l= 1m，许用应力[σ ]=160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸： (1) 截面为矩形，h=2b；(2) 截面为圆形。
z （1）中性轴不过截面形心，与外力无关，与偏心距及截面形状、尺寸有 ez 关； （2）中性轴的截距与偏心距符号相反，表明外力作用点与中性轴分别在 截面形心的相对两侧； （3）外力作用点越是向形心靠拢，中性轴离形心越远，甚至移到截面外 面。当中性轴移到与截面相切或截面以外时，截面上则只存在压应力或拉 22 应力；
a y1 h 2
i ey
2 y
2 z
④D
b 6 b 6
z
2
①
A
a z1
az
2 iy
ay
ez
b
3
1
h 6
y
b 23 12 hb i A 12 bh
2 z
Iy
4h
7
4、刚度计算
y
f y max
f max
Fy L3 3EI z
,
Fz L3 f z max 3EI y
Fy L3
Fsz z
z
F
y
Fsy
y
3 F L f y2 f z2 ( )2 ( z )2 3EI z 3EI y
48.44o
2 2 2 2 f max wz ) max wy max 11.99 10.63 16.02(m m
f max
3.3 103 16.02(m m) w 16.5(m m) 200
10
例 图示悬臂梁，承受载荷F1与F2作用，已知F1=800N，F2=1.6kN，l= 1m，许用应力[σ ]=160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸： (1) 截面为矩形，h=2b；(2) 截面为圆形。
z （1）中性轴不过截面形心，与外力无关，与偏心距及截面形状、尺寸有 ez 关； （2）中性轴的截距与偏心距符号相反，表明外力作用点与中性轴分别在 截面形心的相对两侧； （3）外力作用点越是向形心靠拢，中性轴离形心越远，甚至移到截面外 面。当中性轴移到与截面相切或截面以外时，截面上则只存在压应力或拉 22 应力；
a y1 h 2
i ey
2 y
2 z
④D
b 6 b 6
z
2
①
A
a z1
az
2 iy
ay
ez
b
3
1
h 6
y
b 23 12 hb i A 12 bh
2 z
Iy
4h
重庆大学材料力学教案组合变形
重庆大学材料力学教案组合变形一、教学目标1. 理解组合变形的基本概念和特点；2. 掌握组合变形的受力分析和应力计算方法；3. 能够应用组合变形的理论知识解决实际工程问题。
二、教学内容1. 组合变形的基本概念和特点；2. 组合变形的受力分析方法；3. 组合变形的应力计算方法；4. 组合变形的变形和失效分析；5. 组合变形的应用实例。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解组合变形的基本概念、特点和受力分析方法；2. 采用案例分析法，分析组合变形的应力计算方法和应用实例；3. 采用问题讨论法，引导学生思考和解决实际工程问题。
四、教学准备1. 教案和教学大纲；2. 教材和相关参考书籍；3. 教学PPT和多媒体课件；4. 案例分析和问题讨论的相关资料。
五、教学过程1. 导入：简要介绍组合变形的基本概念和特点，激发学生的兴趣；2. 讲解：详细讲解组合变形的受力分析方法，结合实例进行分析；3. 计算：引导学生掌握组合变形的应力计算方法，进行相关计算练习；4. 分析：分析组合变形的变形和失效原因，引导学生思考实际工程问题；5. 应用：介绍组合变形的应用实例，让学生了解其在工程中的重要性；6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点；7. 作业：布置相关作业，巩固学生对组合变形的理解和应用能力。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对组合变形概念的理解和掌握情况；2. 作业批改：评估学生对组合变形应力计算和应用实例的分析和计算能力；4. 期末考试：设计相关的试题，全面评估学生对组合变形的理解和应用水平。
七、教学拓展1. 引导学生关注组合变形在工程实际中的应用，了解最新的研究动态和发展趋势；2. 鼓励学生参加相关的学术活动和实践活动，提高学生的综合能力和创新意识。
八、教学反思1. 总结本节课的教学效果，反思教学方法和策略的优缺点；2. 根据学生的反馈和作业情况，调整教学内容和难度，提高教学效果；3. 不断学习和探索新的教学方法，提高自身的教学水平和能力。
直梁的弯曲及组合变形与压杆稳定——教案
直梁的弯曲及组合变形与压杆稳定——教案一、教学目标：1. 让学生了解直梁弯曲的基本概念，掌握梁弯曲的弹性理论。
2. 使学生理解组合变形及压杆稳定的基本原理，能够分析实际工程中的相关问题。
3. 培养学生的动手实践能力，通过实例分析提高学生解决工程问题的能力。
二、教学内容：1. 直梁弯曲的基本概念：直梁、弯曲、剪力、弯矩等。
2. 梁弯曲的弹性理论：弯曲应力、弯曲变形、弯曲强度计算等。
3. 组合变形：拉伸、压缩、弯曲、剪切等组合变形的分析方法。
4. 压杆稳定的基本原理：压杆稳定条件、压杆失稳现象、压杆稳定计算等。
5. 实例分析：分析实际工程中的直梁弯曲、组合变形与压杆稳定问题。
三、教学方法：1. 采用讲授与讨论相结合的方式，让学生掌握直梁弯曲及组合变形与压杆稳定的基本理论。
2. 通过案例分析，使学生能够将理论知识应用于实际工程问题。
3. 利用动画、图片等辅助教学手段，帮助学生形象地理解抽象的概念。
4. 安排课堂讨论，鼓励学生提问、发表观点，提高学生的参与度。
四、教学安排：1. 课时：本章共计12课时。
2. 教学方式：讲授、案例分析、课堂讨论。
3. 教学进程：第1-4课时：直梁弯曲的基本概念及弹性理论。
第5-8课时：组合变形及压杆稳定的基本原理。
第9-12课时：实例分析及练习。
五、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，给予相应的表现评价。
2. 课后作业：布置相关练习题，检验学生对知识的掌握程度。
3. 课程报告：要求学生选择一个实际工程案例进行分析，报告应包括问题分析、计算过程和结论。
通过课程报告评价学生的实践能力。
4. 期末考试：设置有关直梁弯曲、组合变形与压杆稳定的题目，考察学生的综合运用能力。
六、教学资源：1. 教材：《材料力学》、《结构力学》等相关教材。
2. 辅助材料：PPT课件、动画、图片、案例资料等。
3. 实验设备：力学实验仪、弯曲实验装置、压杆实验装置等。
4. 网络资源：相关学术期刊、在线课程、论坛等。
14-1组合变形-材料力学
Fz F sin
五、自由端的变形
z
A
y
y
FL3 cos
3EI z
z
B y
x
B z
FL3 sin
3EI y
B
z
y
查表7-1（3）
在 Fz B点的位移 z ：
例题14.1 图所示屋架结构。已知屋面坡度为1：2， 两屋架之间的距离为4m，木檩条梁的间距为1.5m， 屋面重（包括檩条）为1.4kN/m2。若木檩条梁采
"
Iy
Iy
'
M z y M y z
Iz
Iy
cos sin
M ( y z)
Iz
Iy
四、斜弯曲时的强度条件
1、中性轴的位置
M (
Iz
yo
sin
Iy
zo )
0
tan yo Iz tan
zo
和扭矩图如图c、d
危险截面在杆的根部（固定端）
（3）应力分析
B
M W
T
T Wp
在杆的根部取一单元体分析
y 0, x B , xy T
计算主应力
1
3
B
2
( B
2
)2
2 T
2 0
（4）强度分析
选择第三、第四强度理论
r3
入偏心拉伸的强度条
4
32
件校核
32.4106 32.4MPa 35MPa
满足强度条件，最后选用立柱直 d = 12.5cm
材料力学(单辉祖)第十章组合变形
17
弯压组合
可见，危险截面为C截面 其轴力和弯矩分别为
FNC 3 kN M c M max 4 2 8kN m
A
FAy
10kN m a x
g g f
C m
FBy
B
危险点 截面C上的最低点f 和最高点g
FN M c s A W
f
18
弯压组合
A I
4
10kN
解 首先计算折杆的支座反力 由平衡方程可得 FAx A
FAx 0, FAy 5kN, FBy 5kN
FAy
m
10kN
C 1.2m B 1.6m FBy
a x 1.6m
m
由于折杆左右对称，所以只需分析一半即可。 折杆AC部分任一截面上的内力
FN FAy sin 3 kN FS FAy cos 4 kN M xFAy cos
杆件变形分析步骤 首先, 在杆件原始尺寸上分别计算由横向力和 轴向力引起变形、应力 然后, 利用叠加原理，合成在横向力和轴向力 共同作用下杆件变形、应变和应力等物理量 若杆件抗弯刚度EI较大，轴力引起杆件的弯曲 变形较小，可以忽略
10
弯拉组合
细长杆件强度问题， 受力如图，抗弯刚度 EI，截面抗弯模量W , 横截面面积A。
n
e n
P
z b h y
30
偏心拉伸(压缩)
解: 1. 力系简化 力P对竖直杆作用等效于作 用在杆轴线上一对轴力P和 一对作用在竖直平面内力 偶mz=Pe
FN P 2000 N, M z mz Pe 120 N m
mz P
n
e n
P
mz P
可见，竖直杆发生弯拉组合变形
弯压组合
可见，危险截面为C截面 其轴力和弯矩分别为
FNC 3 kN M c M max 4 2 8kN m
A
FAy
10kN m a x
g g f
C m
FBy
B
危险点 截面C上的最低点f 和最高点g
FN M c s A W
f
18
弯压组合
A I
4
10kN
解 首先计算折杆的支座反力 由平衡方程可得 FAx A
FAx 0, FAy 5kN, FBy 5kN
FAy
m
10kN
C 1.2m B 1.6m FBy
a x 1.6m
m
由于折杆左右对称，所以只需分析一半即可。 折杆AC部分任一截面上的内力
FN FAy sin 3 kN FS FAy cos 4 kN M xFAy cos
杆件变形分析步骤 首先, 在杆件原始尺寸上分别计算由横向力和 轴向力引起变形、应力 然后, 利用叠加原理，合成在横向力和轴向力 共同作用下杆件变形、应变和应力等物理量 若杆件抗弯刚度EI较大，轴力引起杆件的弯曲 变形较小，可以忽略
10
弯拉组合
细长杆件强度问题， 受力如图，抗弯刚度 EI，截面抗弯模量W , 横截面面积A。
n
e n
P
z b h y
30
偏心拉伸(压缩)
解: 1. 力系简化 力P对竖直杆作用等效于作 用在杆轴线上一对轴力P和 一对作用在竖直平面内力 偶mz=Pe
FN P 2000 N, M z mz Pe 120 N m
mz P
n
e n
P
mz P
可见，竖直杆发生弯拉组合变形
材料力学第十章 组合变形
r 3 2 4 2
r3
2 M y M z2 T 2
W
M 2 T 2 W
r 4 3
2
2
2 M y M z2 0.75T 2
r4
W
M 2 0.75T 2 W
例3 图示空心圆杆，
内径d=24mm，外
径D=30mm， P1=600N， []=100MPa，试用 第三强度理论校核 A
Lmax D1
⑤变形计算
ymax D 2
f f
2 y 2 z
fz
f
tg
fy fz
f fy
当j = 时，即为平面弯曲。
例1结构如图，P过形心且与z轴成j角，求此梁的最大应力与挠度。 解：危险点分析如图 中性轴 h Pz
x
Py
P z j z
D2 P 变形计算 Py y
P
P
10203 [ 1020252 ] 12 7.27105 mm4
M 5P 3 500Nm 10
P N M
20 20
y yC z
应力分析如图
100
N M z max max A I yc
P
100 103 500 55 103 6 800 10 7.27107
P Mz y Myz x A Iz Iy
三、中性轴方程
P M z y0 M y z0 x 0 A Iz Iy
对于偏心拉压问题 P Py y Pz z P yP y0 z P z0 P 0 P 0 (1 2 2 )0 y 2 2 A Aiz Aiy A iz iy y
1
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应力和变形叠加,建立危险点的强度条件
(Combined Deformation)
=
+
=
+
+
(Combined Deformation)
§8-2 拉伸（或压缩）与弯曲的组合
（Combined axial loading and bending）
一、受力特点 （Character of external force）
使之每个力（或力偶）对应一种基本变形
2.内力分析（Analysis of internal force ） 求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险截面.分
别计算在每一种基本变形下构件的应力和变形
3.应力分析（Stress analysis）
画出危险截面的应力分布图,利用叠加原理 将基本变形下的
1.2m F 1.2m
FRAy FRAx A
F
Fy
FNAB
30°
B
D Fx
cmax
0.866F A
0.6F Wz
94.37MPa [ ]
(Combined Deformation)
例题2 小型压力机的铸铁框架如图所示.已知材料的许用拉应力
[t] =30MPa ,许用压应力 [c] =160MPa.试按立柱的强度确定压
F2
A
最大弯曲正应力
max
Mmax W
F1l 4W
杆危险截面 下边缘各点处上的拉应力为
t max
max
F2 A
F1l 4W
(Combined Deformation) 五、强度条件（Strength condition）
由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态,故其强度条件 为:
max [ ]
(Combined Deformation)
§8-1 组合变形和叠加原理（Combined deformation and superposition method）
一、组合变形的概念（Concepts of combined deformation）
构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形,则构件 的变形称为组合变形.
当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时,应分别建立 杆件的抗拉和抗压强度条件.
tmax [ t ]
cmax [ c ]
(Combined Deformation)
例题1 悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成. 其抗弯刚度Wz = 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2,总荷载F= 34kN,横梁材料的许
(Combined Deformation)
例题3 正方形截面立柱的中间处开一个槽,使截面面积为原来截
面面积的一半.求开槽后立柱的的最大压应力是原来不开槽的几
倍.
F
F
aa
aa
(Combined Deformation)
解： 未开槽前立柱为轴向压缩
1
FN A
F A
F (2a)2
F 4a 2
开槽后1-1是危险截面
y
(Combined Deformation)
2.以横截面具有两对称轴的等直杆承受偏心拉力 F 为例
（1）将外力向截面形心简化,使每个力（或力偶）只产生一种 基本变形形式
轴向拉力 F 力偶矩 M = F e，
将 M向y轴和z轴分解
F
z
M y Fe sin
Mz
Fe cos
FzF FyF
O1
A(yF,zF)
AA
FN
z
Mz (y,z)
My
C
y
由 My 产生的正应力
M y z F zF z
Iy
Iy
由 Mz 产生的正应力
Mz y F yF y
Iz
Iz
(Combined Deformation)
由于 C 点在第一象限内,根据杆件的变形可知,
, , 均为拉应力
由叠加原理,得 C点处的正应力为
§8-3 偏心拉（压）• 截面核心 （Eccentric loads &the kern of a section）
一、偏心拉（压） （Eccentric loads）
1.定义（Definition） 当外力作用线与杆的轴线平行但不重合时,
将引起轴向拉伸（压缩）和平面弯曲两种基本变形.
F
O1
z A(yF,zF)
(Combined Deformation)
第八章 组合变形 （Combined deformation）
§8-1 组合变形和叠加原理 （Combined deformation and superposition method）
§8-2 拉伸（压缩）与弯曲的组合 （Combined axial and flexural loads） §8-3 偏心拉（压）•截面核心(Eccentric loads &the kern（or core）of a section) §8-4 扭转与弯曲的组合 （Combined torque and flexural loads）
用应力为[]=125MPa.校核横梁AB的强度.
解：（1） 分析AB的受力情况
C
M A 0 FNAB sin30 2.4 1.2F 0
FNAB F
Fx 0 FRAx 0.866F
A
30°
B
D
1.2m F 1.2m
Fy 0 FRAy 0.5F
FRAy
AB杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形
(Combined Deformation)
z
a
b
c
F2
A
F1
x
P
y B
(Combined Deformation)
四、处理组合变形的基本方法 （Basic method for solving combined deformation）
1.外力分析（Analysis of external force） 将外力简化并沿主惯性轴分解,将组合变形分解为基本变形,
轴力 FN= F F
弯矩
M y FzF
M
z
FyF
My O1 Mz
y
n
n
FN Mz
z
My
y
(Combined Deformation)
三、任意横截面 n-n 上C 点的应力分析
（Stress analysis at point C on cross section n-n）
由 F产生的正应力
FN F
三、内力分析（Analysis of internal force）
横截面上内力（internal force on cross section）
1.拉(压) :轴力 FN （axial force）
FSMz
O
z x
FN
y
弯矩 Mz （bending moment）
2.弯曲 剪力Fs（shear force）
FN Mz y
A Iz
( z,y)
Mz
z
O
x
FN
y
(Combined Deformation)
3.危险截面的确定（Determine the danger cross section）
作内力图
F1
轴力（axial force）
F2
F2
பைடு நூலகம்
FN F2
弯矩（bending moment）
Fy
FNAB
中间截面为危险截面.最大压应力 FRAx A
30°
B
发生在该截面的上边缘
F D Fx
(Combined Deformation)
（2） 压缩正应力
C
FRAx 0.866F
A
A
（3） 最大弯曲正应力
max
1.2FR Ay Wz
0.6F Wz
（4）危险点的应力
A
30°
B
D
因为引起的切应力较小,故一般不考虑.
(Combined Deformation)
四、应力分析（Analysis of stress）
横截面上任意一点 （ z, y） 处的正应 力计算公式为
1.拉伸正应力
FN
A
（Axial normal stress）
2.弯曲正应力
Mz y
（Bending normal stress） Iz
()
cmax
M y z1 Iy
425 12.5F 5310
MPa
()
n
n
FN My
(Combined Deformation)
F 350
F
n
拉
z0 y z1
n
z 150
50 150
50 F
压
n
n
FN My
（3）叠加 在截面内侧有最大拉应力
t max
tmax
F 15
425 7.5F 5310
作用在杆件上的外力既有轴向拉( 压 )力,还有横向力
二、变形特点（Character of deformation）
杆件将发生拉伸 （压缩 ）与弯曲组合变形
示例1 F1 产生弯曲变形
F2
F1
F2
示例2
F2 产生拉伸变形 Fy 产生弯曲变形 Fx 产生拉伸变形
Fy
F
Fx
(Combined Deformation)
危险截面为偏心压缩
F F Fa/2
1
1
将力 F 向1-1形心简化
2
FN A
M W
F 2a a
Fa / 2 1 2a a2
(Combined Deformation)
=
+
=
+
+
(Combined Deformation)
§8-2 拉伸（或压缩）与弯曲的组合
（Combined axial loading and bending）
一、受力特点 （Character of external force）
使之每个力（或力偶）对应一种基本变形
2.内力分析（Analysis of internal force ） 求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险截面.分
别计算在每一种基本变形下构件的应力和变形
3.应力分析（Stress analysis）
画出危险截面的应力分布图,利用叠加原理 将基本变形下的
1.2m F 1.2m
FRAy FRAx A
F
Fy
FNAB
30°
B
D Fx
cmax
0.866F A
0.6F Wz
94.37MPa [ ]
(Combined Deformation)
例题2 小型压力机的铸铁框架如图所示.已知材料的许用拉应力
[t] =30MPa ,许用压应力 [c] =160MPa.试按立柱的强度确定压
F2
A
最大弯曲正应力
max
Mmax W
F1l 4W
杆危险截面 下边缘各点处上的拉应力为
t max
max
F2 A
F1l 4W
(Combined Deformation) 五、强度条件（Strength condition）
由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态,故其强度条件 为:
max [ ]
(Combined Deformation)
§8-1 组合变形和叠加原理（Combined deformation and superposition method）
一、组合变形的概念（Concepts of combined deformation）
构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形,则构件 的变形称为组合变形.
当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时,应分别建立 杆件的抗拉和抗压强度条件.
tmax [ t ]
cmax [ c ]
(Combined Deformation)
例题1 悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成. 其抗弯刚度Wz = 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2,总荷载F= 34kN,横梁材料的许
(Combined Deformation)
例题3 正方形截面立柱的中间处开一个槽,使截面面积为原来截
面面积的一半.求开槽后立柱的的最大压应力是原来不开槽的几
倍.
F
F
aa
aa
(Combined Deformation)
解： 未开槽前立柱为轴向压缩
1
FN A
F A
F (2a)2
F 4a 2
开槽后1-1是危险截面
y
(Combined Deformation)
2.以横截面具有两对称轴的等直杆承受偏心拉力 F 为例
（1）将外力向截面形心简化,使每个力（或力偶）只产生一种 基本变形形式
轴向拉力 F 力偶矩 M = F e，
将 M向y轴和z轴分解
F
z
M y Fe sin
Mz
Fe cos
FzF FyF
O1
A(yF,zF)
AA
FN
z
Mz (y,z)
My
C
y
由 My 产生的正应力
M y z F zF z
Iy
Iy
由 Mz 产生的正应力
Mz y F yF y
Iz
Iz
(Combined Deformation)
由于 C 点在第一象限内,根据杆件的变形可知,
, , 均为拉应力
由叠加原理,得 C点处的正应力为
§8-3 偏心拉（压）• 截面核心 （Eccentric loads &the kern of a section）
一、偏心拉（压） （Eccentric loads）
1.定义（Definition） 当外力作用线与杆的轴线平行但不重合时,
将引起轴向拉伸（压缩）和平面弯曲两种基本变形.
F
O1
z A(yF,zF)
(Combined Deformation)
第八章 组合变形 （Combined deformation）
§8-1 组合变形和叠加原理 （Combined deformation and superposition method）
§8-2 拉伸（压缩）与弯曲的组合 （Combined axial and flexural loads） §8-3 偏心拉（压）•截面核心(Eccentric loads &the kern（or core）of a section) §8-4 扭转与弯曲的组合 （Combined torque and flexural loads）
用应力为[]=125MPa.校核横梁AB的强度.
解：（1） 分析AB的受力情况
C
M A 0 FNAB sin30 2.4 1.2F 0
FNAB F
Fx 0 FRAx 0.866F
A
30°
B
D
1.2m F 1.2m
Fy 0 FRAy 0.5F
FRAy
AB杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形
(Combined Deformation)
z
a
b
c
F2
A
F1
x
P
y B
(Combined Deformation)
四、处理组合变形的基本方法 （Basic method for solving combined deformation）
1.外力分析（Analysis of external force） 将外力简化并沿主惯性轴分解,将组合变形分解为基本变形,
轴力 FN= F F
弯矩
M y FzF
M
z
FyF
My O1 Mz
y
n
n
FN Mz
z
My
y
(Combined Deformation)
三、任意横截面 n-n 上C 点的应力分析
（Stress analysis at point C on cross section n-n）
由 F产生的正应力
FN F
三、内力分析（Analysis of internal force）
横截面上内力（internal force on cross section）
1.拉(压) :轴力 FN （axial force）
FSMz
O
z x
FN
y
弯矩 Mz （bending moment）
2.弯曲 剪力Fs（shear force）
FN Mz y
A Iz
( z,y)
Mz
z
O
x
FN
y
(Combined Deformation)
3.危险截面的确定（Determine the danger cross section）
作内力图
F1
轴力（axial force）
F2
F2
பைடு நூலகம்
FN F2
弯矩（bending moment）
Fy
FNAB
中间截面为危险截面.最大压应力 FRAx A
30°
B
发生在该截面的上边缘
F D Fx
(Combined Deformation)
（2） 压缩正应力
C
FRAx 0.866F
A
A
（3） 最大弯曲正应力
max
1.2FR Ay Wz
0.6F Wz
（4）危险点的应力
A
30°
B
D
因为引起的切应力较小,故一般不考虑.
(Combined Deformation)
四、应力分析（Analysis of stress）
横截面上任意一点 （ z, y） 处的正应 力计算公式为
1.拉伸正应力
FN
A
（Axial normal stress）
2.弯曲正应力
Mz y
（Bending normal stress） Iz
()
cmax
M y z1 Iy
425 12.5F 5310
MPa
()
n
n
FN My
(Combined Deformation)
F 350
F
n
拉
z0 y z1
n
z 150
50 150
50 F
压
n
n
FN My
（3）叠加 在截面内侧有最大拉应力
t max
tmax
F 15
425 7.5F 5310
作用在杆件上的外力既有轴向拉( 压 )力,还有横向力
二、变形特点（Character of deformation）
杆件将发生拉伸 （压缩 ）与弯曲组合变形
示例1 F1 产生弯曲变形
F2
F1
F2
示例2
F2 产生拉伸变形 Fy 产生弯曲变形 Fx 产生拉伸变形
Fy
F
Fx
(Combined Deformation)
危险截面为偏心压缩
F F Fa/2
1
1
将力 F 向1-1形心简化
2
FN A
M W
F 2a a
Fa / 2 1 2a a2