材料力学-第10章 组合变形
第10章 组合变形
10.1 组合变形的概念 工程中大多数的杆件在荷载作用下，往往同时发生两种或两种以上的变形。
在小变形的前提下，一般采用叠加原理计算组合变形的强度问题。即当杆件 承受复杂荷载作用而同时产生几种变形时，只要将荷载进行适当地分解，使 杆在各分荷载的作用下发生基本变形，再分别计算各基本变形所引起的应力， 然后将计算结果叠加，就可得到总的应力。实践证明：在线弹性、小变形的 情况下，用叠加原理所得到的结果与实际情况是相当符合的。
第10章 组合变形
【本章教学要点】 知识模块 组合变形的概念 叠加原理 掌握程度 掌握 掌握 掌握 理解 斜弯曲构件 重点掌握 偏心受压（受拉）构 件 截面核心的概念 理解 重点掌握 了解 知识要点 基本变形、组合变形 适用条件：小变形、线弹性 叠加法求解组合变形的步骤 斜弯曲概念 危险截面、危险点的确定；应力公式；强度条 件 偏心受压（受拉）概念
危险截面、危险点的确定；应力公式；强度条 件
截面核心
【本章技能要点】
技能要点
掌握程度
应用方向
斜弯曲构件计算
偏心受压（受拉）构件 计算 截面核心
掌握
掌握 了解
危险截面、危险点的判别；强度校核、截面设 计、许可荷载确定
危险截面、危险点的判别；强度校核、截面设 计、许可荷载确定 截面核心的确定
【导入案例】 工程结构的变形：单一或多样？
例10-5 试求图10.16所示偏心受拉杆的最大正应力。
7.5 I I 50
K z y I-I 截面 （b） 图 10.16
P 2kN
20
10 40 15 （a）
10.4 截面核心 10.4.1 截面核心的概念 人为地将偏心压力的作用点限制在截面形心周围的一个区域，则杆件整 个横截面上就只产生压应力而不出现拉应力，这个荷载作用的区域就称 为截面核心。 10.4.2 截面核心的确定
《材料力学组合变形》课件
拉伸与压缩组合变形的分析方法
01
02
03
弹性分析方法
基于弹性力学的基本原理 ，通过求解弹性方程来分 析杆件内部的应力和应变 分布。
塑性分析方法
在材料进入塑性阶段后， 采用塑性力学的基本理论 来分析杆件的承载能力和 变形行为。
材料力学在组合变形中的应用实例
01
02
03
04
桥梁工程
桥梁的受力分析、桥墩的稳定 性分析等。
建筑结构
高层建筑、大跨度结构的受力 分析、抗震设计等。
机械工程
机械零件的强度、刚度和稳定 性分析，如轴、轴承、齿轮等
。
航空航天
飞机和航天器的结构分析、材 料选择和制造工艺等。
材料力学在组合变形中的发展趋势
特点
剪切与扭转组合变形具有复杂性和多样性，其变形行为受到多种因素的影响，如 材料的性质、杆件的长度和截面尺寸、剪切和扭转的相对大小等。
剪切与扭转组合变形的分析方法
1 2 3
工程近似法
在分析剪切与扭转组合变形时，通常采用工程近 似法，通过简化模型和假设来计算杆件的应力和 变形。
有限元法
有限元法是一种数值分析方法，可以模拟杆件在 剪切与扭转组合变形中的真实行为，提供更精确 的结果。
弯曲组合变形的分析方法
叠加法
刚度矩阵法
叠加法是分析弯曲组合变形的基本方 法之一。该方法基于线性弹性力学理 论，认为各种基本变形的应力、应变 分量可以分别计算，然后按照线性叠 加原理得到最终的应力、应变分布。
刚度矩阵法是通过建立物体内任意一 点的应力、应变与外力之间的关系， 来求解复杂变形问题的一种方法。对 于弯曲组合变形，可以通过构建系统 的刚度矩阵来求解。
工程力学(静力学和材料力学)第2版课后习题答案 范钦珊主编 第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
解：危险截面在 A 处，其上之内力分量为： 弯矩： M y = FP1 a ， M z = FP2 H 扭矩： M x = FP2 a 轴力： FNx = FP1 在截面上垂直与 M 方向的垂直线 ab 与圆环截 求得 M y 与 M z 的矢量和 M 过截面中心， 面边界交于 a、b 两点，这两点分别受最大拉应力和最大压应力。但由于轴向压力的作用，最 大压应力值大于最大拉应力值，故 b 点为危险点，其应力状态如图所示。 10－7 试求图 a 和 b 中所示之二杆横截面上最大正应力及其比值。 解： （a）为拉弯组合
7
y
y
A
O
0.795
B
14.526
+13.73MPa
z
(a)
O O
+14.43MPa
(b)
C
y
A
C
B B
y
A
O O
B
z
12.6mm
14.1mm
zC
−15.32MPa
16.55MPa
zC
z
(c)
(d)
习题 10－9 解图
∴
+ σ max
= 14.526 − 0.795 = 13.73 MPa
− σ max = −14.526 − 0.795 = −15.32 MPa
Ebh
由此得
2 FP 6e
e=
10－9
ε1 − ε 2 h × ε1 + ε 2 6
图中所示为承受纵向荷载的人骨受力简图。试：
1．假定骨骼为实心圆截面，确定横截面 B－B 上的应力分布； 2．假定骨骼中心部分(其直径为骨骼外直径的一半)由海绵状骨质所组成，忽略海绵状承受 应力的能力，确定横截面 B－B 上的应力分布；
材料力学10组合变形
材料力学10组合变形组合变形是指当结构受到外力作用时，由于各个零件的不同材料及尺寸性质的差异，导致各个零件产生不同的变形现象，从而使整个结构发生整体的变形。
组合变形是结构力学的重要内容，对于工程结构的设计、安全性评估和结构稳定性分析都至关重要。
本文将介绍组合变形的概念、分析方法和影响因素。
组合变形的概念：组合变形是指由于结构中不同零件的尺寸和材料性质的不一致，而导致结构在受力时产生的整体变形。
组合变形分为两类：一是刚体体变形，即结构在受力作用下整体平移、旋转或缩放；二是构件本身变形，即结构中各零件由于尺寸和材料的不一致而产生的内部变形。
组合变形的分析方法：组合变形的分析方法主要有两种：力法和位移法。
力法是指根据梁的变形方程和杨氏模量的定义，通过计算各零件在各个截面上的张力或弯矩，从而得到整体的变形情况。
位移法是指根据构件的位移和应变关系，通过求解位移方程组，从而得到整体的变形情况。
力法和位移法都是基于弹性理论，适用于较小变形和线性弹性材料的情况。
组合变形的影响因素：组合变形的大小与结构的几何形状、零件尺寸和材料性质有关。
影响组合变形的因素主要有以下几个方面：1.结构的几何形状：结构的几何形状对组合变形有重要影响。
例如，在长梁的弯曲变形中，梁的长度和曲率半径都会影响变形的大小。
2.零件的尺寸：零件的尺寸对组合变形有重要影响。
例如，在梁的弯曲变形中，梁的截面积和转动惯量会影响变形的大小。
3.零件的材料性质：零件的材料性质对组合变形有重要影响。
例如，在梁的弯曲变形中，梁的弹性模量和截面剪切模量会影响变形的大小。
4.外力的作用方式：外力的作用方式对组合变形有重要影响。
例如，在梁的弯曲变形中，集中力和均布力对变形的影响是不同的。
除了以上几个因素外，结构的边界条件和连接方式也会影响组合变形的大小。
此外，在实际工程中，结构中可能存在的缝隙、温度变化、材料老化等因素也会对组合变形产生影响。
对于设计工程结构来说，合理控制组合变形是非常重要的。
材料力学第10章 组合变形
因此，截面O为危险截面。
危险截面上，由轴力引起的正应力均匀分布，其值
为
，由弯矩引起的正应力线性分布，其值为
。利用叠加原理，将拉伸及弯曲正应力叠加
后，危险截面上正应力沿截面高度的变化情况如图10.5
（e）所示，仍为线性分布。而且可以看出，最大拉应
力和最大压应力分别发生在O截面上、下边缘各点，其
值为
（10.4）
图10.5
依据上述分析，弯拉（压）组合变形时危险点处于单向应力状态，所以可将 截面上的σmax与材料的许用应力相比较建立其强度条件。对于拉压强度相等 的材料，强度条件为
对于抗拉与抗压性能不同的材料，强度条件为
下面举例说明弯拉（压）组合变形的强度计算。 例10.2如图10.6（a）所示的钢支架，已知载荷F=45 kN，尺寸如图。 （1）如材料为钢材，许用应力［σ］=160 MPa，试选择AC杆的工字钢型号。 （2）如材料为铸铁，许用拉应力［σt］=30 MPa，许用压应力［σc］=160 MPa，且AC杆截面形式和尺寸如图10.6（e）所示，A=15×10－3 m2，z0=75mm ，Iy=5.31×10－5 m4。试校核AC杆的强度。
其力矩矢量分别与y轴和z轴的正向一致（见图10.2（b））。 为了确定横截面上最大正应力点的位置，先求截面中性轴位置。记中性轴上 任一点的坐标为(y0，z0)，由于中性轴上各点处的正应力均为零，所以由式 可得中性轴方程为
（10.2） 可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线（见图10.2（c）），其与y轴的 夹角θ为
图10.3 例10.1如图10.4（a）所示，20a号工字钢悬臂梁承受均布载荷q和集中力
。已知钢的许用弯曲正应力［σ］=160 MPa，a=1 m。试求梁的许可 载荷集度［q］。 解由于梁所受到的横向力不在梁的两个纵向对称面内，此时可以将横向力向 两个纵向对称面分解（向y和z轴分解），从而将其看成是梁在其两个相互垂
材料力学组合变形
材料力学组合变形材料力学是研究物质内部相互作用和外部受力作用下物质的变形和破坏规律的一门学科。
在材料力学中，组合变形是一个重要的研究方向，它涉及到材料在多种力的作用下所产生的复合变形情况。
本文将就材料力学组合变形进行探讨。
首先，我们来了解一下组合变形的概念。
组合变形是指材料在受到多种力的作用下，所产生的复合变形情况。
这些力可以是拉力、压力、扭矩等多种形式，它们同时作用于材料上，导致材料产生复杂的变形情况。
组合变形的研究对于材料的设计和应用具有重要意义。
在研究组合变形时，我们需要考虑材料的本构关系。
材料的本构关系描述了材料的应力-应变关系，它是材料力学研究的基础。
在组合变形的情况下，材料的本构关系会受到多种力的影响，从而导致材料的变形行为发生变化。
因此，我们需要对材料的本构关系进行深入的研究，以更好地理解组合变形的规律。
另外，材料的微观结构对于组合变形也有着重要的影响。
材料的微观结构决定了材料的力学性能，不同的微观结构会导致材料在组合变形时表现出不同的变形行为。
因此，我们需要通过实验和理论分析来揭示材料微观结构与组合变形之间的关系，为材料的设计和应用提供理论依据。
此外，材料的加工工艺也会对组合变形产生影响。
在材料的加工过程中，可能会受到多种力的作用，导致材料产生组合变形。
因此，我们需要对材料的加工工艺进行研究，以了解加工过程中可能产生的组合变形情况，并提出相应的改进措施。
综上所述，材料力学组合变形是一个复杂而又重要的研究领域。
通过对材料的本构关系、微观结构和加工工艺的研究，我们可以更好地理解材料在多种力作用下的变形行为，为材料的设计和应用提供理论支持。
希望本文的内容能对材料力学组合变形的研究有所帮助。
材料力学(单辉祖)第十章组合变形
弯压组合
可见，危险截面为C截面 其轴力和弯矩分别为
FNC 3 kN M c M max 4 2 8kN m
A
FAy
10kN m a x
g g f
C m
FBy
B
危险点 截面C上的最低点f 和最高点g
FN M c s A W
f
18
弯压组合
A I
4
10kN
解 首先计算折杆的支座反力 由平衡方程可得 FAx A
FAx 0, FAy 5kN, FBy 5kN
FAy
m
10kN
C 1.2m B 1.6m FBy
a x 1.6m
m
由于折杆左右对称，所以只需分析一半即可。 折杆AC部分任一截面上的内力
FN FAy sin 3 kN FS FAy cos 4 kN M xFAy cos
杆件变形分析步骤 首先, 在杆件原始尺寸上分别计算由横向力和 轴向力引起变形、应力 然后, 利用叠加原理，合成在横向力和轴向力 共同作用下杆件变形、应变和应力等物理量 若杆件抗弯刚度EI较大，轴力引起杆件的弯曲 变形较小，可以忽略
10
弯拉组合
细长杆件强度问题， 受力如图，抗弯刚度 EI，截面抗弯模量W , 横截面面积A。
n
e n
P
z b h y
30
偏心拉伸(压缩)
解: 1. 力系简化 力P对竖直杆作用等效于作 用在杆轴线上一对轴力P和 一对作用在竖直平面内力 偶mz=Pe
FN P 2000 N, M z mz Pe 120 N m
mz P
n
e n
P
mz P
可见，竖直杆发生弯拉组合变形
材料力学第六版答案第10章
第十章 组合变形的强度计算10-1图示为梁的各种截面形状，设横向力P 的作用线如图示虚线位置，试问哪些为平面弯曲？哪些为斜弯曲？并指出截面上危险点的位置。
（a ） (b) (c) (d) 斜弯曲 平面弯曲 平面弯曲 斜弯曲弯心（）（）弯心弯心（）（）斜弯曲 弯扭组合 平面弯曲 斜弯曲“×”为危险点位置。
10-2矩形截面木制简支梁AB ，在跨度中点C 承受一与垂直方向成ϕ＝15°的集中力P ＝10 kN 作用如图示，已知木材的弹性模量MPa 100.14⨯=E 。
试确定①截面上中性轴的位置；②危险截面上的最大正应力；③C 点的总挠度的大小和方向。
解：66.915cos 10cos =⨯==οϕP P y KN59.215sin 10sin =⨯==οϕP P z KN4310122015=⨯=z J 4cm 3310cm W z =335625121520cm J y =⨯=3750cm W y =25.74366.94max =⨯==l P M y z KN-M 94.14359.24m ax =⨯==l P M z y KN-MMPaW M W M yy z z 84.9107501094.110101025.763633maxmax max=⨯⨯+⨯⨯=+=--σ 中性轴：οο47.2515tan 562510tan tan tan 411=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--ϕαy z J J 2849333105434.0101010104831066.948--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==z y y EJ l P f m28933310259.010562510104831059.248--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==y z z EJ l P f m 602.0259.05434.022=+=f cm方向⊥中性轴：ο47.25=α10-3 矩形截面木材悬臂梁受力如图示，P 1＝800 N ，P 2＝1600 N 。
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材料力学－第10章 组合变形
概述
超高层建筑在设计过程中，主要考虑的不再是重力，而是风载与地震载荷
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材料力学－第10章 组合变形
概述
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材料力学－第10章 组合变形
基本方法－叠加法 计算简图 危险面、危险点及应力状态
两相互垂直平面内的弯曲（斜弯曲） 拉（压）弯组合 弯扭组合变形 连接件实用计算 铆钉连接的计算
My
E
Iz sin I yz cos
Mz
My y η
z
nη
y
E cos M y Iz M z I yz
IyIz
I2 yz
E sin M z I y M y I yz
IyIz
I2 yz
tan M z I y M y I yz
M y I z M z I yz
E
My
zI z yI yz M z
Mz z
My
M
I yz 0 , M y 0 , M z 0
Myz Mzy
y
Iy
Iz
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材料力学－第10章 组合变形
非对称纯弯梁的正应力
M y zIz yI yz M z yI y zI yz
IyIz
I2 yz
对广义弯曲正应力公式的讨论
（4）截面不具有对称面，且外力不在形心主惯性平面内
矩形截面：只有两个平面为对称面
当力和弯矩作用在一个非对称平面上，杆件弯曲方向？
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F F
F F
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材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
矩形截面分析：
中性轴
Mz z
My
M
z
θ
M
y
y
如果弯曲平面和弯矩作用平面一致，那么必须
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材料力学－第10章 组合变形
I yz 0 , M y M cos , M z M sin
M cos z M sin y
Iy
Iz
中性轴公式： cos z sin y 0
Iy
Iz
tan z I y tan
y Iz
z
O
M
y
中性轴
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材料力学－第10章 组合变形
§10-3 拉（压）弯组合变形
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材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
对于圆形截面，杆的变形与弯矩作用平面在同一平面内
A
A
F
F
F
w
w
弯曲平面在哪 个方向？
对于矩形截面，变形与弯矩作用平面是否仍在同一 平面？
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材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
圆形截面：任何通过轴心的力引起的弯矩所作用的平面均为 截面的对称面
8
Wy
Wz
h, b
[ ]
最大挠度： wy
5q cos l4
384 EI z
, wz
5qsin l4
384EI y
刚度条件：w
wy2
wz2
l 200
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材料力学－第10章 组合变形
§10-2 非对称纯弯梁的正应力
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材料力学－第10章 组合变形
非对称纯弯梁的正应力
max
My Wy
Mz Wz
Fz
2 hb2
0.8
Fy 0.8 hb2
146.5MPa
4. 强度校核
6
6
1 max 146.5MPa 160MPa 该梁安全
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材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
例题
矩形截面木檩条，跨长l，受集度q的分布载荷作用，已 知弹性模量E，截面高宽比h/b=3/2，许用应力，许可 挠度l/200。试选择界面尺寸，作刚度校核。
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材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
例题1zFy Nhomakorabea800y
Fz 800
图示矩形截面铸铁悬臂梁，承
受 载 荷 Fy 与 Fz 作 用 ， 且 Fy ＝ Fz ＝ F ＝
1kN，截面高度80mm，宽度40mm，许
用应力[σ]=160MPa，校核该梁强度。
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材料力学－第10章 组合变形
拉（压）弯组合变形
问题：对于一些铸铁杆件，希望截面内只有压应力，没有拉应力。 那么，轴向集中力的作用点应该在什么区域内？
轴向力引起的正应力：
N
F A
Mz
z 弯曲引起的正应力：
My
M
Myz Iy
Mz y Iz
Fez z Iy
Fey y Iz
偏心压缩时总的正应力：
矩形截面应力分析：
矩形截面内任一点的弯曲正应力
Mz z
M
My
Mz
Myz Iy
Mzy Iz
1. 令 M 0 ，可得到中性轴方程
My
M
y
M y z0 M z y0 0
Iy
Iz
2. 取 y h , z= mb ，可得到危险点应力大小
2
2
max
Myz Iy
Mzy Iz
My Iy
b 2
Mz Iz
Mz
O
I yz 0 , M y 0 , M z M
y
My
Iz
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材料力学－第10章 组合变形
非对称纯弯梁的正应力
M y zIz yI yz M z yI y zI yz
IyIz
I2 yz
对广义弯曲正应力公式的讨论 （3）斜弯曲
具有纵向对称面，但外力不作用在对称面内
非对称截面梁
F
F
FF
z
F
z
y
y
问题：无对称轴的任意截面梁，形心已知，截面内弯矩M， 求弯曲正应力
O M
关键：中性轴 分析：几何、物理、平衡
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材料力学－第10章 组合变形
非对称纯弯梁的正应力
几何：平截面假设成立，中性轴n-n n
距中性轴η的点的线应变
物理：应力应变关系 E E
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材料力学－第10章 组合变形
拉（压）弯组合变形
Mz
Mz
F
F
t,max c,max
M
N
My Iz
F A
危险点： 正应力最大点（截面最下端）
危险点应力状态：单向应力状态
最大应力：
t,max c,max
M
N
M W
F A
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材料力学－第10章 组合变形
拉（压）弯组合变形
偏心拉伸（压缩）
两相互垂直平面内的弯曲
矩形截面应力分析：
1. 将M沿坐标轴方向分解
2. 分别考虑各弯矩分量产生的应力
Mz z
My
M
My
Myz Iy
Mz
Mzy Iz
3. 叠加，得到矩形截面内任一点的弯曲正应力
y
M
My
Mz
Myz Iy
Mzy Iz
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材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
z
qsin
q
2634 q
qcos
y
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材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
解： 危险点 － 跨中截面，最下或最高点
最大弯矩：
M max
1 ql2 8
危险点最大正应力：
max
M y,max Wy
M z,max Wz
1 q sin l2 1 q cos l2
8
3
材料力学－第10章 组合变形
概述
组合变形的例子
+
压弯组合
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材料力学－第10章 组合变形
概述
组合变形的例子
AA
弯扭组合
F
F
Fa B
C
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材料力学－第10章 组合变形
概述
组合变形的例子
弯扭组合
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材料力学－第10章 组合变形
概述
超高层建筑在设计过程中，主要考虑的不再是重力，而是风载与地震载荷
O Mz z
My
η
n
平衡： FN dA 0 M y zdA
dA 0（对形心轴静矩必为0） y
My
E
zdA
M z ydA
M z
E
ydA
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材料力学－第10章 组合变形
非对称纯弯梁的正应力
E
zdA
M
y
,
E
ydA
M
z
n
y sin z cos
O Mz z
E
I yz sin I y cos
h 2
My Wy
Mz Wz
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材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
对中性轴进行分析：
Mz z
My
M
中性轴 y
z
θ
M
令 M 0 ，可得到中性轴方程