2010北方民族大学研究生数学建模竞赛论文封面

Bij Bij' J i ( xki ) J i ( xmi ) J i' ( xi ) ，
Cij g i ( xij ) g i ( xmi ) ， k 1i 1 m 1i 1 Qij
8 10 5 10
计划外上缴利润
i q i ( xi ) ， 1
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D/中选择一项填写） ： 所属学院（请填写完整的全名） ： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日
企业的营销管理问题
摘要
本文针对宏宇公司的营销管理问题进行了研究，综合考虑了该公司的一些基本情况，包 括公司生产能力，签约量（已签和意向） ，营销部的工作行为，发放的经费，客户的情况等 因素，力求解决公司利润最大化，营销部的总收入极大化等问题。根据所求不同，列出不同 的假设变量，并求解出不同的生产和销售方案。 本题为典型的求生产“最优”问题，这就用到数学建模中的规划模型。在本题中用到了 非线性规划（数学上用来确定多变量线性函数在变量满足线性约束条件下的最优值） ，并用 到了 Matlab 软件用来作图分析，绘制函数图形，形象直观的论述了问题。
max Z Cij Aij' Qij K ij ，
其中， 经费
Cij g i ( xij ) g i ( xmi ) ， k 1i 1 m 1i 1
8 10 5 10
计划外销售额 上缴利润 宣传费用
Aij' i hi ( xi ) ， 1 i q i ( xi ) ， 1
f i ( xi ) ： g i ( xi ) ： hi ( xi ) ： k i ( xi ) ： J i ( xi ) ：
J i' ( xi ) ： 计划外第 i 种产品的成本函数；
q i ( xi ) ：
营销部计划外第 i 种上缴的利润函数； 营销部自行定价后价格以 5%幅度上涨的倍数；
：
Q 营销 ： Q 兼顾1 ： Q 兼顾 2 ：
10 0.08 0.07 0.15 0.2
0.2 0.35 0.45
0.45 0.4 0.65 0.95 0.5 0 2.5 0.4 0.25 0.35 0.5 0.2 0 1.7 0.3
0.3 0 1.1
0.3 0 2.3
0.2 0 1.2
0.5 0 1.5
0.4 0 1.5
0.4806 0 2.1806
关键词
利润最大化 最优问题 非线性规划 期望值 拟合函数
目录 错误！未找到索引项。
一．问题重述
任何一个企业都面临着将产品推向市场， 销售出去。本题所论述的就是企业生产及销售 问题——给定宏宇公司及其一些基本情况，包括公司生产能力，签约量（已签和意向） ，营 销部的工作行为， 发放的经费， 客户的情况等。 公司在已签约情况下须履行合约， 完成生产， 对意向签约量须有选择的安排生产，以达到所得利润最大。营销部作为公司的主力，须努力 提高签约量以及尽大可能的销售公司产品。 此外客户的意向考虑在内给问题的求解增加了点 实际色彩。在此题中，请分别按以下要求为宏宇电器公司制定相应的生产、销售方案： 1.使公司的利润达到最大； 2.使营销部的总收入极大化； 3.兼顾公司和营销部二者的利益； 4.兼顾公司、营销部的利益以及客户的需求，尽量做到均衡销售； 5.公司为了调动营销部的积极性，为公司多创利润，规定对于计划外销售的产品，营销 部可以自行定价。统计数据显示，自行定价后每单位产品的销售价格上涨或下降 5％，则三 类小家电的可能销售量相应的减少或增加 10％。试确定使营销部总收入最大的定价、生产 及销售方案。
二.模型假设
1. 在第一二三问题中，将意向客户的需求概率设为 100%； 2. 将生产量，需求量，销售量拟合为连续函数； 3. 意向客户需求量的期望值看为客户实际需求； 4. 此题中企业及其周围各种因素保持稳定； 5. 小家电生产过程中不考虑其损耗，生产的产品均合格，无退回产品； 6. 已签约客户无违约现象。
10
由于假设意向客户的需求概率为 100%， 而已签约客户的需求已定， 因此只需考虑计划外 上缴利润即可。 另外， 因要对电饭煲意向签约量进行有选择的安排生产， 这一部分单独考虑。 电饭煲意向签约部分通过 MATLAB 拟合函数求解如下：
max 0.1045 x13 2.7425 x12 44.6484 x1 3.1439 0.0985 x23 2.7237 x22 46.9763 x2 2.6833 0.1870 x33 4.3020 x32 55.7898 x3 9.0291 0.1048 x43 2.9051x42 50.6082 x4 2.7303 0.0065 x13 0.6369 x12 29.0853 x1 3.4501 0.0070 x23 0.6824 x22 31.1628 x2 3.6965 0.0073 x33 0.7210 x32 32.9269 x3 3.9249 0.0076 x43 0.7409 x42 33.7974 x4 4.2833 0.0010 x13 0.0844 x12 3.1029 x1 4.9506 0.0011 x23 0.0906 x22 3.3277 x2 5.2847 0.0011 x33 0.0954 x32 3.5112 x3 5.5989 0.0012 x43 0.0984 x42 3.6110 x4 5.6761
x1 x 2 x3 x 4 11 17 10 5 62 0 x 4 1 s.t. 0 x 2 10 0 x 3 3 0 x 4 4
用 MATLAB 求得最优解为：586.1438. 最佳生产方案如下表：
对于 Qij 可以类似的通过 MATLAB 拟合函数求解。
Eij ： eij ： Z：
第 m 个意向客户签约第 j 种小家电的数学期望； 第 m 个意向客户对于第 j 种小家电的最大意向签约量; 目标函数； 计划内第 i 种小家电的销售额与订购量的函数关系; 计划内第 i 种产品的经费函数； 第 i 种产品的销售额函数； 第 i 种产品的宣传费用函数； 第 i 种产品的成本函数；
三．符号说明
i=1,2,3; 分别表示 3 类小家电； j=1,2,……,10;分别表示 10 种小家电； m=1,2,3;分别表示 5 个客户；
Aij ： Aij' ： Bij ： Bij' ： Cij ： D ij ： K ij ： Qij ：
第 i 类第 j 种小家电计划内的销售额； 第 i 类第 j 种小家电计划外的销售额； 第 i 类第 j 种小家电计划内的成本； 第 i 类第 j 种小家电计划外的成本； 第 i 类第 j 种小家电计划内的经费； 营销部第 i 类第 j 种小家电的收入； 第 i 类第 j 种产品的宣传费用； 营销部计划外第 i 种产品上缴的利润；
表1
公司利润最大产品生产量及销售分配表（单位： 万个）
家电 订单 1 2 3 4 5 6 7 8 意向用户 计划外 总量
1 0.45 0.35
2 0.8 0.5 0.45 0.25
3 0.1 0.35 0.2 0.35
456Fra bibliotek7 0.358 0.5 0.45 0.35 0.4
9 0.25 0.35 0.1 0.3
方案。
五.模型的建立与求解
1.公司利润最大化的模型 公司的利润与已签订的合同的销售额、五个客户意向签订合同的销售额、营销部上缴利 润和计划外销售成本、销售成本以及发放给营销部的经费有关，经分析可得如下关系： 公司利润=销售额-成本-经费+计划外上缴利润， 其相应函数关系可由题中各个表的数据拟合得出，建立如下公司利润的目标函数：即
' max Z A ij B ij Bij C ij Q ij
其中， 销售额 成本 经费
f i ( xki ) f i ( xmi ) ， Aij k 1i 1 m 1i 1
8 10 5 10 k 1 i 1 m 1 i 1 8 10 5 10
得营销部最大收入 3. 兼顾公司和营销部二者的利益； 因公司给销售部的经费与销售部计划外上缴的利润在兼顾公司和营销部二者的利益的 情况下，与其对应项互相抵消，因此
Q 兼顾1 =销售额-宣传费-成本，即 Q 兼顾1 Aij Aij' K ij Bij Bij'
2010 北方民族大学 研究生数学建模竞赛
竞 赛 论 文
竞赛分组： 竞赛题目： 企业的营销管理问题 组 员： 王敏 孙丽丽 陆洋洋 北方民族大学
所在学院:
信息与计算科学学院 制版
2010 北方民族大学研究生数学建模竞赛 承 诺 书
我们仔细阅读了北方民族大学研究生数学建模竞赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
10 10
10
Qij
K ij i k i ( xi ) ， 1
由于假设意向客户的需求概率为 100%，经费只对计划内部分发放，故通过解非线性规划
max Aij' Qij K ij x1 x2 x3 1.1 2.3 1.2 5 x x x 1 .5 2 .5 1 .7 6 .5 4 5 6 s.t. x7 x8 x9 x10 1.5 2.1806 1.3 0.9 6.2 xi 0, i 1,2, ,10