最新解析几何专题二(焦点弦及焦点三角形)
抛物线焦点弦的性质及应用
抛物线焦点弦的性质及应用抛物线是一种具有特殊性质的二次曲线，它的焦点弦性质是指过焦点parabola. 抛物线上任意一点的切线与从焦点引出的该点的法线的交点，这些交点都在焦点所在的直线上。
抛物线焦点弦的性质和应用如下：1. 焦点弦与顶点：抛物线的焦点弦通过抛物线的顶点，且与抛物线的对称轴垂直相交。
2. 焦点弦的长度：焦点弦的长度等于抛物线焦点到对称轴的距离的两倍。
3. 焦点弦的切线方程：焦点弦的切线方程可由抛物线的切线方程推导得到，即通过抛物线上一点（x1，y1）的切线方程为y = mx + (1 - m²) a/4，其中m为切线的斜率，a为焦点到对称轴的距离。
4. 焦点弦的法线方程：焦点弦的法线方程可由切线方程得到，即过抛物线上一点（x1，y1）的法线方程为y = -x/m + (x1/m + y1)。
5. 焦点弦的性质应用：抛物线焦点弦的性质在物理学、工程学和几何学等领域有广泛的应用。
在物理学中，抛物线焦点弦的性质可以用于描述光线的反射和聚焦。
例如，在反射望远镜中，抛物面用于反射并聚焦光线，使观察者能够看到远处的物体。
在工程学中，抛物线焦点弦的性质可以用于设计抛物面反射器、喇叭等产品。
抛物面反射器可以将声音或者电磁波线聚焦在焦点处，以达到提高功率传输效果的目的。
类似地，喇叭的设计也借鉴了抛物线焦点弦的性质，使声音能够更好地聚焦并扩散。
在几何学中，抛物线焦点弦的性质可以用于求解问题。
例如，已知抛物线上一点的坐标和抛物线焦点的坐标，可以通过焦点弦性质来求解该点在抛物线上的位置。
另外，抛物线焦点弦的性质还可以进一步推广到三维空间中的抛物面。
三维空间中的抛物面也具有焦点弦的性质，可以用于描述反射、聚焦和求解问题等。
综上所述，抛物线焦点弦是抛物线特有的性质之一，它的性质和应用在物理学、工程学和几何学等领域有重要的应用。
深入理解和应用这些性质可以帮助我们更好地解决各种问题，并且进一步推广到更高维度的几何形状中。
高考解析几何复习专题
交点法探究：
①判别式；②根与系数关系：两根和、两根积（横坐标关系与纵坐标关系转换）； ③数量关系转换（长度、角度、斜率、面积、向量关系或不等关系等转换）； ④位置关系转换（平行或垂直或相交等）
x1 x2 x1x2
y1 y2 y1 y2
问 题
繁 与 简
关于交点法：交点法中的曲线与方程
关联特征转换典型题例关联特征转换非交点法应用题例数学语言转换数形特征转换圆锥曲线概念与基本量关系向量与数量关系转换已知点ab是椭圆的左右顶点f为左焦点点p是椭圆上异于ab的任意一点直线ap与过点b且垂直于x交于点m直线bpmn1求证
高考数学复习专题
解析几何-交点法
（高考全国卷解答题20题探究）
解析几何专题-交点法 1.数学思想：方程（组）思想 2. 问题特征：直线与圆锥曲线-相交弦 3. 途径方法：两式两线两法
焦半
|
PF
|
x0
p 2
, (P(x0,
y0 ) C
:
y2
2 px)
径：
注意：①抛物线方程有四种形式；
②焦半径对应四种不同表示方式
七、圆锥曲线问题类型
问题类型
一、求曲线或轨迹方程问题--方程（组）思想应用 （1）点与曲线-方程思想；（2）向量关系-特征转化； （3）特征量或特征量关系；（4）位置特征关系转化
4、路径选择、计算方法
交点法小练与思考 练习1 若直线
与椭圆
恒有公共点，
求实数 的取值范围
直线与曲线
练习2
已知椭圆
x
2
2
y2 1
1 的左右焦点分别为 F1、F2 ，若过点 P（0，-2）、F1 的直线交
椭圆于 A,B 两点，求 ABF2 的面积
21-22版：专题突破二 焦点弦的性质(步步高)
专题突破二 焦点弦的性质抛物线的焦点弦是考试的热点，有关抛物线的焦点弦性质较为丰富，对抛物线焦点弦性质进行研究获得一些重要结论，往往能给解题带来新思路，有利于解题过程的优化．一、焦点弦性质的推导例1 抛物线y 2＝2px (p >0)，设AB 是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F 是抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1.证明：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2； (2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AF |＝p 1－cos θ，|BF |＝p 1＋cos θ； (3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ(其中θ为直线AB 的倾斜角)，抛物线的通径长为2p ，通径是最短的焦点弦；(4)1|AF |＋1|BF |＝2p为定值； (5)S △OAB ＝p 22sin θ(θ为直线AB 的倾斜角)； (6)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切；(7)A ，O ，B 1三点共线，B ，O ，A 1三点也共线．考点 抛物线中过焦点的弦长问题题点 与弦长有关的其它问题证明 (1)①当AB ⊥x 轴时，不妨设A ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫p 2，－p ， ∴y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. ②当AB 的斜率存在时，设为k (k ≠0)，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2， 代入抛物线方程y 2＝2px ，消元得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫y k ＋p 2，即y 2－2py k－p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. (2)当θ≠90°时，过A 作AG ⊥x 轴，交x 轴于G ，由抛物线定义知|AF |＝|AA 1|，在Rt △AFG 中，|FG |＝|AF |cos θ，由图知|GG 1|＝|AA 1|，则p ＋|AF |cos θ＝|AF |，得|AF |＝p 1－cos θ， 同理得|BF |＝p 1＋cos θ； 当θ＝90°时，可知|AF |＝|BF |＝p ，对于|AF |＝p 1－cos θ，|BF |＝p 1＋cos θ亦成立， ∴|AF |＝p 1－cos θ，|BF |＝p 1＋cos θ. (3)|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p＝p 1－cos θ＋p 1＋cos θ＝2p sin 2θ≥2p ， 当且仅当θ＝90°时取等号． 故通径为最短的焦点弦．(4)由(2)可得，1|AF |＋1|BF |＝1－cos θp ＋1＋cos θp ＝2p. (5)当θ＝90°时，S △OAB ＝12×2p ×p 2＝p 22， 故满足S △OAB ＝p 22sin θ； 当θ≠90°时，设直线AB ：y ＝tan θ⎝⎛⎭⎫x －p 2， 原点O 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪p 2tan θ1＋tan 2θ＝p 2sin θ，S △OAB ＝d 2|AB |＝p 4sin θ×2p sin 2θ＝p 22sin θ. (6)如图：⊙M 的直径为AB ，过圆心M 作MM 1垂直于准线于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2＝|AF |＋|BF |2＝|AB |2， 故以AB 为直径的圆与准线相切．(7)设直线AB 的方程：x ＝my ＋p 2，代入y 2＝2px 得y 2－2pmy －p 2＝0.由(1)可得y 1y 2＝－p 2.因为BB 1∥x 轴，∴B 1⎝⎛⎭⎫－p 2，y 2，即B 1⎝⎛⎭⎫－p 2，－p 2y 1， 1OB k ＝－p 2y 1－p 2＝2p y 1＝y 21x 1×1y 1＝y 1x 1＝k OA ， 所以OB 1→∥OA →且公共点为O ，所以直线AB 1过点O .所以A ，O ，B 1三点共线，同理得B ，O ，A 1三点共线．二、焦点弦性质的应用例2 (1)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332D.94考点 抛物线中过焦点的弦长问题题点 与弦长有关的其它问题答案 D解析 方法一 由题意可知，直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34， 代入抛物线的方程可得4y 2－123y －9＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝33，y 1y 2＝－94， 故所求三角形的面积为12×34×(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝94. 方法二 运用焦点弦倾斜角相关的面积公式，则S △OAB ＝p 22sin θ＝942sin 30°＝94. (2)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10考点 抛物线中过焦点的弦长问题题点 与弦长有关的其它问题答案 A解析 方法一 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2， 由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4k2. 同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝4＋4k 2＋4＋4k 2＝8＋4⎝⎛⎭⎫1k 2＋k 2≥8＋8＝16， 当且仅当1k 2＝k 2，即k ＝±1时取等号， 故|AB |＋|DE |的最小值为16.方法二 运用焦点弦的倾斜角公式，注意到两条弦互相垂直，设直线AB 的倾斜角为θ，则θ≠π2且θ≠0， 因此|AB |＋|DE |＝2p sin 2θ＋2p sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋θ ＝4sin 2θ＋4cos 2θ＝4sin 2θcos 2θ＝16sin 22θ≥16. 当且仅当θ＝π4或34π时，等号成立． 点评 上述两道题目均是研究抛物线的焦点弦问题，涉及抛物线焦点弦长度与三角形面积，从高考客观题快速解答的要求来看，常规解法显然小题大做了，而利用焦点弦性质，可以快速解决此类小题．跟踪训练 过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________.考点 抛物线中过焦点的弦长问题题点 与弦长有关的其它问题答案 56解析 由于y 2＝2x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，由题意知A ，B 所在直线的斜率存在，设A ，B 所在直线的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1<x 2， 将y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12代入y 2＝2x ，得k 2⎝⎛⎭⎫x －122＝2x ， ∴k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0. ∴x 1x 2＝14. 而|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋1＝2512， ∴x 1＋x 2＝1312.又|AF |<|BF |，∴x 1＝13，x 2＝34. ∴|AF |＝x 1＋p 2＝13＋12＝56.1．过抛物线y ＝2x 2的焦点且垂直于它的对称轴的直线被抛物线截得的弦长为( )A ．2B ．1 C.14 D.12考点题点答案 D2. 直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为( )A ．y ＝－x ＋1B ．y ＝x －1C ．y ＝－x ＋1或y ＝x －1D ．以上均不对考点题点答案 C 解析 由焦点弦长|AB |＝2p sin 2α(α为直线AB 的倾斜角)， ∴8＝4sin 2α，sin 2α＝12， 则tan α＝±1，又直线过抛物线焦点，∴直线l 的方程为y ＝－x ＋1或y ＝x －1.故选C.3．直线l 过抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－12xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝－6xD ．y 2＝－4x 答案 B解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2，∴－x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝－4，∴p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝－8x .故选B.4．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________________．考点题点答案 72 解析 抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52，又准线方程为x ＝－1，因此点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72. 5．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1为________．考点题点答案 90°解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，如图．∵|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，∴∠AA 1F ＝∠AF A 1，∠BFB 1＝∠FB 1B .又AA 1∥Ox ∥B 1B ，∴∠A 1FO ＝∠F A 1A ，∠B 1FO ＝∠FB 1B ，∴∠A 1FB 1＝12∠AFB ＝90°.。
焦点三角形问题(解析版)
第一篇圆锥曲线专题01焦点三角形问题焦点三角形的边角关系如下：三条边：122F F c =122PF PF a+==22a c +三角形周长ce a=222a b c =+三个角：随着动点P 的移动，三个角都在变化，可能为锐角，直角和钝角，这里我们只研究顶角P ∠，利用余弦定理，P ∠又和三边a,b,c 的大小有关系三角形的面积：12S ah =底为定值，面积最大时高最大1sin 2S ab c =面积和三边长有关系一、与焦点三角形边长有关的问题焦点三角形中三边长涉及a,c ，因此最直观的是可以根据三边关系求出离心率的值或取值范围，前提是三边之间存在可以转化的关系。
若单独分析三角形的两个腰长，则若能够构成三角形，则需满足1a c PF a c-≤≤+例1椭圆22221x y a b+=的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在一点P ，满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.例2.已知12,F F 是椭圆22221x y a b+=的左右焦点，若在其右准线上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.【解析】求离心率的范围问题，需要根据条件列出不等式，在含有动点的题目中，需要找出动态的量和常量之间的大小关系。
题目中：2122PF F F c==因为点P 在右准线上下移动，2PF 虽然是常量，但由于不知道a,b,c 的关系，因此还是相对的变量。
本题的定值为22a F H c c=-在2RT PHF 中，222,2a PF F H c c c >≥-解得：313e ≤<例3.设12,F F 是双曲线2214x y -=的左右焦点，点P 在双曲线上，且满足1290F PF ︒∠=，则12PF F ∆的面积是________.方法一：方法二：此题目有更简单的做法，方法一只是为了巩固焦半径的知识，设12,PF x PF y ==则有：4x y -=，又因为2220x y +=解得：2xy =，因此面积等于1.上面两题都是关于焦点三角形中两条腰长的问题，在焦点三角形中两腰长之和为2a ，底边为2c ，因此三边之间暗含离心率的关系，因此在一些出现焦点三角形求离心率的问题中一般腰长和底边之间都存在一个可以互相转化的关系，通过这个关系可以求出离心率。
焦点三角形的性质(经典!必看)
(1)由题设2｜F
F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜
2a＝４，又2c＝2，∴b＝3
422yx＝1．
设∠F
PF2＝θ，则∠PF2F1＝60°－θ
1e
60sin(
3sin)60sin(120sin)180sin(21oooo，
5sinθ＝3(1＋cosθ)
1bbPFPFSPFF
),0(1
222ba
yax左右两焦点分别为,,21FF设焦点三角
1FPF，若21PFF最大，则点P为椭圆短轴的端点。
),(
oyxP,由焦半径公式可知：oexaPF1，oexaPF1
1PFF中，
122121212cosPFPFFFPFPF21221221242)(PFPFcPFPFPFPF
(余)弦定理、内角和定理、面积公式等.
1 椭圆上一点P到焦点
1,FF的距离之差为2，试判断21FPF的形状.
：由1
1622yx椭圆定义：
||,5||.2||||,8|||
12121PFPFPFPFPFPF.
又4||
1FF，故满足：,||||||2122122PFFFPF故21FPF为直角三角形.
sin)180sin(1221PFPFFFo
sin)sin(2121PFPFFF
sin(2)sin(21cFF，sinsin2sinsin21aPFPF
sin)sin(ace。
F
(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜
求椭圆的方程；
若点P在第三象限，且∠PF
.
),0(1
222ba
怎样解答与焦点三角形有关的问题
焦点三角形是指由椭圆或双曲线上一点与两个焦点构成的三角形.焦点三角形较为特殊，其一条边为椭圆的长轴或双曲线的实轴.与焦点三角形有关的问题经常出现在解析几何试题中.下面结合实例来探讨一下与焦点三角形有关的问题的解法.一、根据椭圆或双曲线的定义求解解答椭圆和双曲线中焦点三角形问题，首先要明确这两种圆锥曲线的几何特征和定义.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹.若P为椭圆上一点，根据椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|=2a.双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹，用代数式可表示为||PF1|-|PF2||=2a.若∠F1PF2=θ，根据椭圆的定义可知（1）4c2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ；(2)S△PF1F2=|PF1||PF2|·sinθ；(3)焦点三角形的周长为2(a＋c).对于双曲线，也有类似的性质.例1.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为()5,0和()-5,0，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，ΔABC的面积为2，则双曲线的方程为.解：设||PF1=r1，||PF2=r2，根据双曲线的第一定义可知，||r1-r2=2a，因为PF1⊥PF2，所以r21+r22=||F1F22，可得ìíîïïïïr21+r22=20，SΔABC=12r1r2=2，||r1-r2=2a，解得a2=3，而c=5，所以b2=2，可得双曲线方程：x23-y22=1.此题比较简单，根据题目中的垂直关系，利用双曲线的定义和三角形的面积公式即可建立关于||PF1、||PF2的方程组，解方程组就可以求出双曲线的方程.例2.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1,F2，曲线C1和C2的一个交点为P，且PF1⊥PF2，则C1的离心率e1与C2的离心率e2一定满足的关系是（）.A.e1+e2=2B.1e1+1e2=2C.e21+e22=2D.1e21+1e22=2解：设椭圆C1的方程为x2a21+y2b21=1，双曲线C2的方程为x2a22-y2b22=1，点P在第一象限，半焦距为c.则||PF1+||PF2=2a1，||PF1-||PF2=2a2，所以||PF1=a1+a2,||PF2=a1-a2，因为PF1⊥PF2，||PF12+||PF22=4c2，所以a21+a22=2c2，所以æèçöø÷a1c2+æèçöø÷a2c2=2，即1e21+1e22=2.解答本题，需利用椭圆与双曲线的定义，借助勾股定理建立关于||PF1、||PF2的方程，然后将其转化为a、c的方程，根据圆锥曲线离心率公式e=c a，得到e1、e2的关系式.二、根据正余弦定理求解若三角形ABC的三个内角的对边为a、b、c，则有正弦定理：asin A=b sin B=c sin C=2R.余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A；b2=c2+a2-2ca cos B；c2=a2+b2-2ab cos C.在解答与焦点三角形有关的问题时，可根据正余弦定理建立关于焦点三角形三边的关系式，通过解方程求考点透视36丈丈丈丈数列求和问题是高考数学试题中的“常客”.这类问题的命题形式多变，侧重于考查等差、等比数列的性质、通项公式、前n 项求和公式.解答此类问题的常用方法有分类讨论法、并项求和法、倒序相加法、裂项相消法等.本文主要介绍分类讨论法、倒序相加法和裂项相消法.一、分类讨论法有时数列中出现几类具有不同特征的项，此时需采用分类讨论法来求数列的和.运用分类讨论法求数列的和，需根据数列中各项的特点，对n 进行分类讨论，如分奇数项、偶数项，分整数项、分数项，分正数项、负数项等.运用该方法解题，需仔细观察数列的通项公式的结构或数列中各项的特点，并确定分类的标准，然后逐类进行讨论，求出各类数列的和，最后综合所得的结果即可解题.例1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2=4，a n +1=2S n +1.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{|a n -n -2|}的前n 项和.解：（1）数列n 的通项公式是a n n -1.（过程略）（2）设b n =||3n -1-n -2，则b 1=2，b 2=1，当n ≥3时，3n -1>n +2，可得b n =3n -1-n -2，n ≥3，设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1=2，T 2=3.当n ≥3时，T n =3+9()1-3n -21-3-()n +7()n -22=3n-n 2-5n +112，故T n =ìíîïï2,(n =1)3n -n 2-5n +112.()n ≥2数列{b n }的通项公式中含有绝对值，经分析可知，当n =1、2时和当n ≥3时数列的前n 项和式不一样，因此需采用分类讨论法，分别讨论当n =1、2时和当n ≥3时数列的通项公式和前n 项和，最后综合所有情况即可.二、倒序相加法倒序相加法是求数列前n 项和的常用方法之一，考点透视。
解析几何中焦点相关的常用结论
抛物线焦点弦的性质及应用在直线与抛物线的关系中，过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要，它有一些重要且实用的性质．这些性质通常是解决相关问题的切人点，起着举足轻重的工具性作用，有必要认真领会、系统掌握．但教材中对其相关性质并没有明确而规范的逐一落列，只能靠教学者自身提炼、总结和归纳．现将其有关性质进行探讨和研究设抛物线的方程为y 2=2px(P ＞0),过焦点F(p2,0)作倾斜角为θ的直线，交抛物线于P 、Q 两点，则线段PQ 称抛物线的焦点弦，(如图1).抛物线的焦点弦具有以下性质.性质1：已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则12AB x x p =++例1、过抛物线24y x =的焦点做直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果126x x +=，那么AB =变式：过抛物线24y x =的焦点做直线交抛物线于,A B 两点，如果8AB =，O 为坐标原点，则OAB ∆的重心的横坐标是性 质2： A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值。
即x 1x 2=42p ， y 1y 2=-p 2证明：当直线AB 斜率存在时，设AB 的方程为：y=k(x －2p ),代入抛物线得4k 2x 2－4p(k 2+2)x+k 2p 2=0,设A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）,由韦达定理得x 1x 2=42p 为定值；而|y 1y 2|=12px ·12px =212x x p =2p ·2p =p 2. ∴y 1y 2=－p 2。
当直线AB 斜率不存在时，易证上式结论成立。
例1：过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P 、Q ，通过点P 和抛物线顶点的直线交准线于点M ，求证：直线MQ 平行与抛物线的对称轴.证明：为了方便比较，可将P 点横坐标及Q 点纵坐标均用P 点的纵坐标y 1表示.∴P(y 212p ,y 1),Q(x 2,y 2),但y 1y 2=-p 2，∴y 2=﹣p 2y 1,P M 方程是：y=2p y 1x,当x=﹣p 2时,y=﹣p 2y 1即为M 点的纵坐标，这样M 点与Q 点的纵坐标相同，故MQ ∥Ox.例2：设抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B ，点C 在抛物线的准线上，且BC//x 轴，则直线AC 经过原点O证明：设A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)，则C(－2p ,y 2),直线AB 的方程为：y=k(x －2p),代入抛物线得： y 2－22p y kp-=0, ∴y 1y 2=－p 2. K co =py 22-,K ao =11x y ,∴K co － K ao =11x y p y 22+=2112y p y ⋅p y 22+=121222y p y y p ⋅+=0,即K co =K ao ，∴A 、C 、O 三点共线，即直线AC 经过原点O 。
双曲线微专题二 焦点三角形问题
双曲线微专题二：双曲线中焦点三角形问题题型一 焦点三角形的周长问题12PF F ∆由两焦点和双曲线上一点形成，我们把这种三角形叫焦点三角形. 求焦点三角形的周长时，通常会利用双曲线的第一定义.例1:椭圆y 249＋x 224＝1与双曲线y 2－x 224＝1有公共点P ，则P 与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为( )解：由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F 1(0,5)和F 2(0，－5)，又由椭圆的定义可得1214PF PF ＋＝又1210F F ＝因此P 与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为24。
整理：已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交双曲线同一支于A 、B 两点，且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长是4a ＋2m简要证明：由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，(1)|BF 2|－|BF 1|＝2a ，(2) 又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝m ，(3)∴由(1)，(2)，(3)得|AF 2|＋|BF 2|＝4 a+m . 故△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4 a+2m .例2:已知双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF2的周长是( ) A ．16B ．18C ．21D ．26解：如图所示，由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝8，(1)|BF 2|－|BF 1|＝8，(2)又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝5，(3)∴由(1)，(2)，(3)得|AF 2|＋|BF 2|＝21.故△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝26.答案 D练习：1.如果12,F F 分别是双曲线191622=−y x 的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且||6AB =，则2ABF ∆的周长是 ．(28)2.若12,F F 分别是双曲线22x y 1m 7−=的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且||4=AB ，2ABF ∆的周长是20，则m= 答案：题型二 焦点三角形的面积问题求焦点三角形的面积时，通常会利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理等，焦点三角形的面积主要有两种求法：1212121211sin =2c |y |22PF F PF F P S r r F PF S =∠ 和。
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专题二:圆锥曲线焦点弦、焦点△知识专题【焦半径——椭圆】θ取弦与焦点轴的锐角为121212::=2:=2a ex;a ex;|AB |a e(x x );|AB |a e(x x )ρρ=+=-++-+左焦半径右焦半径左焦弦右焦弦【焦半径——双曲线】θ取弦与焦点轴的锐角为 (1) 单支焦点半径112::=-2(a ex );|AB |a e(x x );ρ=-+-+左焦半径左焦弦 1122::=ex a;|AB |e(x x )a;ρ=-+-右焦半径右焦弦(2) 双支焦点半径1122::=a ex;|AB |a e(x x );ρ=+++异支左焦半径异支左焦弦 1122::=a ex;|AB |a e(x x );ρ=--+异支右焦半径异支右焦弦【焦半径——抛物线】θ取弦与焦点轴的锐角为1212==y x |AB |x x p;y |AB |y p ++++焦点在轴上焦点在轴上::【焦点弦有关推论——椭圆】θ取弦与焦点轴的锐角为1、过椭圆、双曲线的一焦点F 交椭圆或双曲线(单支)于A,B 两点，则2、过双曲线的焦点F 的直线分别与两支交于A,B ，与焦点轴夹角为)2(πθ<21122cos a cos |AF ||BF |p b θθ•+==3、过抛物线的焦点F 直线交抛物线于A,B 两点，与焦点轴夹角为)2(πθ<112|AF ||BF |p+= 4、已知点是离心率为的椭圆或双曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为θ，且。
（1） 当焦点内分弦时，有（2） 当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有【椭圆焦三角形 面积】q 为动点到原点的距离,,m,n 为弦长,α为弦夹角【椭圆】222122()S (a c )tanb tanαα=-=22()S b mn b =-3()S (a c )(a c )(a q )(a q )=+-+-【双曲线焦△ 面积】q 为动点到原点的距离,,m,n 为弦长,α为弦夹角212b ()S tanα=22()Sb mn b =-3()S (a c )(a c )(a q )(a q )=+-+-【抛物线焦点弦与原点△ 面积】θ取弦与焦点轴的锐角为【焦点△顶角】椭圆:双曲线一、焦半径与焦点弦 2πθ取弦与焦点轴小于的夹角22221x y a b+=焦点弦,准线图【焦半径——椭圆】 分析：如上左图,11:22|F A ||F B |a b e;e;p =-c =|AM ||BN |c c==根据椭圆第二定义准线与对应焦点距离11111|F A |epx e |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθθ=⇒==+⇒=-设焦点弦与轴成角;11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==-⇒=+12222111::=ep ep ep;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-小结:长半焦短半焦焦点弦分析：如上右图,1:22|F A |a b e;p =-c =|AM |c c=根据椭圆第二定义准线与对应焦点距离11111|F A |epx e |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθθ=⇒==-⇒=+设焦点弦与轴成角;11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==+⇒=-12222111::=ep ep epx ;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-焦点在轴上结论:长半焦短半焦焦点弦22221y x a b += 22221y x a b+=分析：如上左图,1:22|F A |a b e;p =-c =|AM |c c=根据椭圆第二定义准线与对应焦点距离11111|F A |epx e |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθθ=⇒==-⇒=+设焦点弦与轴成角;11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==+⇒=-分析：如上右图,1:22|F A |a b e;p =-c =|AM |c c=根据椭圆第二定义准线与对应焦点距离11111|F A |epe |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθ=⇒==+⇒=-11111|F B |epe |F B |e |BN|e(p |F B |sin )|F B ||BN |e sin θθ=⇒==-⇒=+AB MN2b p c=2a x c=θ【焦半径——双曲线】内部焦点半径 2）x(y πθ取弦与或轴小于的夹角22221y x a b -=12222:=111ep ep ep;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-:短结论:长半焦半焦焦点弦外部焦点半径 2πθ取弦与焦点轴小于的夹角AF12a x c=F2MBNAF12a x c=-F2MBN121212::=2:=2a ex;a ex;|AB |a e(x x );|AB |a e(x x )ρρ=+=-++-+左焦半径右焦半径左焦弦右焦弦21a a a |F A |e |AM |e(x )a ex c ==+=+21b ba |F B |e |BN |e(x )a ex c ==+=+22a aa |F A |e |AM |e(x )a ex c==-=-22b ba |F B |e |BN |e(x )a ex c==-=-ABM N2b p c=2a x c=θM‘MBAAM’M分析：如上左图, 122|F A |a b e;p =c =|AM |c c=-:根据第二定义准线与对应焦点距离 11111|F A |x e |F A |e |AM |e(|AM'|p )|AM |epe(|F A |cos p )|F A |e cos θθθ=⇒==-=-⇒=-设焦点弦与轴成角;11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==-⇒=+ 11222111ep ep ep|AB ||AF ||BF |e cos e cos e cos θθθ⇒=-=-=-+- 分析：如上右图,22221|F A |epe |F A |e |AM |e(|AM'|p )e(|F A |cos p )|F A ||AM |e cos θθ=⇒==-=-⇒=-22221|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==-⇒=+11222111ep ep ep|AB ||AF ||BF |e cos e cos e cos θθθ⇒=-=-=-+- 12222111焦点在轴上结论:=ep ep epx ;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-:长半焦半焦焦点弦:短同理可以推出:(也可从旋转的角度得出以下结论)12222111:短ep ep epy ;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-:=焦点在轴上结论:长半焦半焦焦点弦θM‘MN’NBABθN‘N【焦半径——抛物线】2）x(yπθ取弦与或轴小于的夹角从上图容易得出以下结论122211p p p;;|AB|cos cos sinρρθθθ==-+:=:短结论:长半焦半焦焦点弦从上图分析12在轴上=x|AB||AM||B N|(|AM'||M'M|)(|BN'||N'N|)|AB|x x p −−−→=+=+++⇒++焦点定义:12在轴上=y|AB||AM||B N|(|AM'||M'M|)(|BN'||N'N|)|AB|y y p −−−→=+=+++⇒++焦点定义:【焦半径与焦点弦有关推论】21a aa|F A|e|AM|e(x)a exc==+=+22a aa|F A|e|AM|e(x)a exc==-+=-122:==a b a ba b a ba ex;a ex|AB|a ex a ex e(x x)|AB|a ex a ex a e(x x)ρρ=+=-+--=--+-=-+异左焦半径异右焦半径异左异右AB F2a x c=-2b p c=MN Fθ ABMN2b p c=2a x c=θ【推论1】——常用来求定值过椭圆、双曲线的一焦点F 交椭圆或双曲线(单支)于A,B 两点，则21122a |AF ||BF |b ep+== 过双曲线的一焦点F 的直线分别与两支交于A,B ，与焦点轴夹角为)2(πθ<21122cos a cos |AF ||BF |p b θθ•+==过抛物线的一焦点F 直线交抛物线于A,B 两点，与焦点轴夹角为)2(πθ<112|AF ||BF |p+= 【推论2】2πθ取弦与焦点轴小于的夹角————常用来求定角或斜率已知点是离心率为的椭圆或双曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为θ，且。
（3） 当焦点内分弦时，有（4） 当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有θM‘ MNB A【（1）分析证明】11111AF BFAM NB AM NB ()BF ()e e cos e cos AB AF BF ()BF e()BF ()λλθθλλλ-----====⇒=++++ 【（2）分析证明】11111AF BFAM'AM NB ()BF ()e e cos e cos AB AF BF ()BF e()BF ()λλθθλλλ++++====⇒=---- 【焦半径与焦点弦有关例题】例1 （2009年高考福建卷理科第13题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，若线段的长为8，则＿＿＿【解】 由抛物线焦点弦的弦长公式为得，，解得。
例2（2010年高考辽宁卷理科第20题）已知椭圆的右焦点为，经过且倾斜角为的直线与椭圆相交于不同两点，已知。
（1）求椭圆的离心率；（2）若，求椭圆方程。
【解】（1）这里，，由定理1的公式得，解得。
（2）将，代入焦点弦的弦长公式得，，解得，即，所以①，又，设，代入①得，所以，所以，故所求椭圆方程为。
例3（2007年重庆卷第16题）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿【解】易知均在右支上，因为，离心率，点准距，因倾斜角为，所以。