焦点弦定理
抛物线焦点弦的八大结论
抛物线焦点弦的八大结论
第一类是常见的基本结论；
第二类是与圆有关的结论；
第三类就是由焦点弦得出结论有关直线横向的结论；
第四类是由焦点弦得出有关直线过定点的结论。
1、以焦点弦为直径的圆与准线切线（用抛物线的定义与梯形的中位线定理融合证明）。
2、1/|af|+1/|bf|=2/p(p为焦点到准线的距离，下同）。
3、当且仅当焦点弦与抛物线的轴横向（此时的焦点弦称作“通径”）时，焦点弦的长度获得最小值2p。
4、如果焦点弦的两个端点是a、b，那么向量oa与向量ob的数量积是-0.75p^2。
抛物线具备这样的性质，如果它们由反射光的材料做成，则平行于抛物线的对称轴前进并喷发其凹面的光被散射至其焦点，而不管抛物线在哪里出现散射。
恰好相反，从焦点处的点源产生的光被散射成平行（“电子束”）光束，并使抛物线平行于对称轴。
声音和其他形式的能量也可以产生相同的效果。
这种散射性质就是抛物线的许多实际应用领域的基础。
焦点弦公式
焦点弦公式
焦点弦公式：
椭圆：
(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为椭圆的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=2a±2ex。
(2)设直线：与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）。
双曲线：
(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为双曲线的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=-2a±2ex。
(2)设直线：与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）{K=(y2-y2)/(x2-x1)}。
注意：
焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。
焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。
而由于椭圆或双曲线上的点与焦点之间的距离(即焦半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该点到对应的准线之间的距离来表示(圆锥曲线第二
定义)。
因此，焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。
这是一个很好的性质。
焦点弦长就是这两个焦半径长之和。
高中数学-圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用
圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。
圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。
焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。
本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。
定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。
（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。
证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。
由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。
（1）当焦点内分弦时。
如图1，，所以。
图1（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。
如图2，，所以。
图2评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。
例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。
若，则的离心率为（）解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。
例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心率为。
过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。
例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿图3解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。
例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。
例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。
抛物线焦点弦结论推导
抛物线焦点弦结论推导
抛物线焦点弦定理指的是：若将一个抛物线分成四部分，用两条弦分别连接两个焦点和两个顶点，则这两条弦相等。
该定理也被称为抛物线库仑定理，该定理可以通过欧几里得几何学来推导。
抛物线焦点弦定理的推导如下：
1.首先，考虑一个抛物线，它有两个焦点F1和F2，以及两个顶点V1和V2。
2.绘制一条弦P1F1V1，以及另一条弦P2F2V2，其中P1和P2分别是F1和F2，V1和V2分别是抛物线上的顶点。
3.由于P1F1V1和P2F2V2均为三角形，根据欧几里得几何学中的相似三角形定理，可以得出：
$\frac{P1F1}{F1V1}=\frac{P2F2}{F2V2}$
4.由于抛物线的两个焦点之间的距离（即P1F1和
P2F2）是相等的，所以可以得出：
$\frac{F1V1}{F2V2}=\frac{P1F1}{P2F2}=1$
5.因此，可以得出：P1F1=P2F2，即抛物线焦点弦定理得证。
抛物线的焦点弦经典性质及其证明过程
抛物线的焦点弦经典性质及其证明过程抛物线所示的是具有经典性质的几何图形，其定义为一个特别的二次函数：当其焦点在原点上时，抛物线形式为y = ax2；当其焦点在非原点处时，抛物线形式为 y = a(x - h)\pt2 + k，其中h是抛物线的焦点的横坐标位置，k是焦点的纵坐标位置，a是抛物线的斜率系数。
抛物线具有许多经典性质，最为重要的是焦点弦性质，它是抛物线的几何和数学基础。
焦点弦的定义是连接抛物线上任意两点的直线都与焦点构成直角，或者说从焦点连接到抛物线上任意点都构成直角三角形。
证明抛物线经典性质焦点弦证明：抛物线具有经典性质焦点弦可以应用三角函数定理证明。
设点P(x,y)位于抛物线上，则有 y = a(x - h)² + k；设F为抛物线的焦点，则有 F (h,k) ；∠FPQ 为钝角，则有：tan∠FPQ = /FP/ \cos∠FPQ/PQ/即 /FP/\ G(x-h, y-k)/PQ/由已知：FP：((h - x), (k - y))PQ：((x' - x), (y' - y))可得：/(h-x)(y'-y)-(k-y)(x'-x)\tan∠FPQ = ----------------------/(x'-x)²+(y'-y)²\\式子两边同乘以(x'-x)²+(y’-y)²即 /(h-x)(y'-y)-(k-y)(x'-x)(x'-x)²+(y'-y)²\t an∠FPQ = ------------------------------------/ (x'-x)²+(y'-y)²)²\\即/(h-x)y'+(k-y)x'-(h-x)y-(k-y)x\tan∠FPQ = -----------------------------------/ (x'-x)²+(y'-y)²\\将已知带入即可得tan∠FPQ = 0即点F、P、Q三点构成的三角形为钝角，即证明了抛物线具有经典性质的焦点弦性质。
焦点弦及其性质
焦点弦及其性质1．抛物线焦点弦的定义：过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点这两点间的线段叫做抛物线的焦点弦。
2．抛物线焦点弦的性质：若抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），过抛物线的焦点F（p2，0）的直线交抛物线与A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则①y1y2＝－p2；②x1x2＝p24；③|AB|＝x1＋x2＋p；④|AB|＝2psin2θ（其中θ为直线的倾斜角）；⑤1|AF|＋1|BF|＝2p；⑥过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为A/、B/，F抛物线的焦点，则∠A/FB/＝900；⑦以弦AB为直径的圆与准线相切。
证明：①当直线过焦点且垂直于x轴时，A（p2，p）、B（p2，－p），因此y1y2＝－p2成立；当直线过焦点且不与x轴垂直时，显然直线的斜率k≠0，直线AB的方程为：y＝k（x－p2）；由此的x＝yk＋p2；把x＝yk＋p2代入y2＝2px消去x得：ky2－2py－kp2＝0，∴y1y2＝－p2②∵A（x1，y1）、B（x2，y2）两点都在抛物线y2＝2px（p＞0）上，∴y12＝2px1，y22＝2px2；两式相乘得(y1y2)2＝2px1·2px2∴p4＝4p2x1x2；从而x1x2＝p2 4③过A、B两点作准线x＝－p2的垂线，垂足分别为A/、B/，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA/|＋|BB/|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p④当θ＝900时，显然成立；当θ≠900时，，则直线AB的方程为：y＝k（x－p2）；把y＝k（x－p2）代入y2＝2px消去y得：k2x2－p(k2＋2)x＋k2p24＝0；x1＋x2＝p(k2＋2)k2，x1x2＝p24；|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2(x1＋x2)2－4x1x2＝2p(1＋k2)k2＝2p(1＋tan2θ)tan2θ＝2psin2θ。
⑤∵A（x1，y1）、B（x2，y2）∴1 |AF|＋1|BF|＝1x1＋p2＋1x2＋p2＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2 (x 1＋x 2)＋p 24＝x 1＋x 2＋pp 24＋p 2 (x 1＋x 2)＋p24＝x1＋x2＋pp 2(x1＋x2＋p)＝2p⑥过A、B两点分别作准线的线，垂足分别为A/、B/，由于点A、B是抛物线上的点，F是抛物线的焦点，根据抛物线的定义可知，|AF|＝|AA/|，|BF|＝|BB/|∴∠B/BF＝1800－2∠B/FB，∠A/AF＝1800－2∠A/FA由∵AA/∥BB/∴∠B/BF＋∠A/AF＝1800即：1800－2∠B/FB＋1800－2∠A/FA＝1800∴∠B/FB＋∠A/FA＝900（7）N为线段AB的中点，过A、B、N分别作准线的垂线，垂足分别为A/、B/、N/，∵N为线段AB的中点，则|NN/|＝|AA/|＋|BB/|2＝|AF|＋|BF|2＝|AB|2∴以AB为直径的圆与准线相切。
焦点弦公式抛物线
焦点弦公式抛物线焦点弦公式是数学领域中的一项非常重要的定理，尤其在抛物线的研究中，常常被广泛应用。
今天，我们就来详细探讨一下焦点弦公式在抛物线上的具体应用。
首先，我们需要了解一下抛物线的基本定义。
抛物线是平面解析几何中一个很重要的图形，它的轨迹是由一个动点在平面上沿着一定轨迹以恒定速度运动时所形成的。
而这一轨迹通常是由一个定点（即焦点）和一条直线（即准线）所决定的。
接着，我们来看一下焦点弦公式的具体表达方式。
在抛物线上，假设有两个点A和B，它们分别位于抛物线上的两条直线上。
同时，假设抛物线的焦点为F，准线的方程为y=kx，其中k是任意实数。
那么，焦点弦公式的表达式可以写作：AB²=4(FD)²+(AD-BD)²其中，D是平面上任意一点的坐标，AD和BD分别是点A和点B 与准线的距离。
通过这个公式，我们可以用抛物线上的任意两个点的坐标来计算它们之间的距离。
这个公式广泛应用于计算抛物线上的曲线长度和弧长，对于抛物线的研究具有非常重要的意义。
除此之外，焦点弦公式还可以用于计算抛物线切线的方程。
这里引入一个概念——抛物线的几何性质。
抛物线的切线与焦点之间的连线、切点的切线和准线平行。
通过焦点弦公式，我们可以先求出点A和点B之间的距离AB，然后再根据几何性质求出焦点F、直线y=kx上的一点C以及线段AC和BC的长度，接着，我们就可以通过线段AC的长度和准线的斜率求出点A的切线方程y=ax+b，同理可以得到点B的切线方程。
在许多实际问题中，这种方式找出抛物线的切线方程非常有效，因为这样做可以大大减少我们的计算时间和复杂度。
总之，焦点弦公式在抛物线的研究中发挥了重要作用，无论是在计算曲线长度、弧长还是求解切线方程等方面，这个公式都具有非常强的应用价值。
我们需要在学习和研究抛物线的过程中深入理解并认真应用焦点弦公式，才能真正掌握抛物线的本质特性和用途。
证明抛物线焦点弦的18个结论
证明抛物线焦点弦的18个结论1. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线的焦点重合。
证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以，焦点到直线的距离与直线到焦点的距离相等，因此两个焦点与焦点弦重合。
2. 抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。
证明：由于抛物线的准线与直线平行，所以准线到焦点的距离与焦点到直线的距离相等。
因此，抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。
3. 抛物线焦点弦与抛物线的法线平行。
证明：由于抛物线的定义，法线通过焦点并垂直于准线。
而抛物线焦点弦是抛物线的切线，与法线平行。
4. 抛物线焦点弦的中点位于抛物线的准线上。
证明：由于抛物线的准线与抛物线的焦点重合，所以抛物线焦点弦的中点与抛物线准线的焦点重合。
5. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线焦点弦的中点共线。
证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以焦点与抛物线焦点弦的中点共线。
6. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行。
证明：抛物线焦点弦是抛物线的切线，而抛物线的切线与准线平行。
7. 抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。
证明：由于抛物线的对称轴与准线重合，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。
8. 抛物线焦点弦是抛物线的一个特殊弦，它经过焦点，并且与抛物线的对称轴垂直。
证明：由抛物线的定义可知，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以抛物线焦点弦经过焦点。
另外，抛物线的对称轴与准线垂直，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的对称轴垂直。
9. 抛物线焦点弦是抛物线的一条切线，且与抛物线的直径垂直。
证明：由抛物线的定义可知，抛物线的焦点到直线和焦点到定点的距离相等，所以抛物线焦点弦是抛物线的切线。
另外，根据抛物线的性质可知，直径与对称轴垂直，而抛物线焦点弦与对称轴重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的直径垂直。
10. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行，并且经过抛物线的焦点。
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有关抛物线焦点弦问题的探讨——参考资料过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21p x x p x p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2(结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin2p AB =证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot p y x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-ppy yθ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦θθθ22212sin2)cot1(2cot1p p y y AB =+=-+=结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p 2sin21sin22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短.结论4：)(832为定值p ABSoAB=∆()8s i n 2s i n s i n 2221s i n 21s i n 21s i n 21s i n 2132220P ABS pp p AB OF BFAF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P Py y x x py x py x ==∴==结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知222111AB BFAF BB AA MM=+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFAF AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2121214MM BM AM=+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FMA AFA∴M 1F ⊥ABBF AF FM ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121ABBM AM=+()()()2121211242MMMMBB AABFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为py p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k py y p p k =-=-=所以三点共线。
同理可征（2）（3）（4）结论10：pFBFA211=+证：过A 点作AR 垂直X 轴于点R ，过B 点作BS 垂直X 轴于点S ，设准线与x 轴交点为E,θ的倾斜角为因为直线L则θθcos 1cos -=∴=+=+=P AF AF AF P FR EF ER PAFθcos 11-=∴同理可得PBFθcos 11+=∴pFBFA211=+结论11：证:AA B B EA E B A A FA B B BF FABF EA E B AA EF BB 1111111111,////=∴===∴EB B EA A EB B 90111111∠∠∴∆∆∴︒=∠=∠＝相似于EA A E BB E AAPEQEF BEF AEF 90EB B BEF EA A AEF 11∠∠∠∴︒∠∠∠∠平分角即＝＝＋＝＋0KKX BE AE BEAE BFAF BEAE＝＋轴对称关于和直线直线∴=∴(4) 90AEB FB EF AF 2︒∠∴=＝＝＝时，当πθ2p x y 2p -x k y L 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛=≠将其代入方程的方程为时，设直线当πθ()k2kp x x )y ,B(x ),y ,A(x 04p k 2)x p(k-xk 2221221122222+=+=++则设得x 1x 2=4p2假设122y 1K K BE AE 2211BE AE -=+⋅+∴⋅⊥p x y p x ＝－则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2p x 2p x -2p -x k 2p -x k 2p x 2p x -y y 21212121即()()()()()()()222222222212122121k2p01k4p1kx x 2p x x 1kkk kp-+=+∴=++-+-+∴A EB E A F A E(1)P E Q (2)(3) K K 0B FB E(4) A E B E , A E B E22E F ππθθ∠=+==⊥≠线段平分角当时当时不垂直于p21|CD |1|AB |1=+结论得证假设错误不可能∴∴∴=-∴02结论12：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB 、CD ，则推广与深化：深化 1：性质5中，把弦AB 过焦点改为AB 过对称轴上一点E （a,0），则有pa 2y y 21-=．证：设AB 方程为my=x-a ，代入px 2y 2=．得：0ap 2pmy 2y 2=--，∴pa 2y y 21-=．深化2： 性质12中的条件改为焦点弦AB 不垂直于x 轴，AB 的中垂线交x 轴于点R ，则21|AB ||FR |=证明：设AB 的倾斜角为a ，直线AB 的方程为：)2p x (tga y -=，代入px 2y 2=得：px2)4ppx x(a tg 222=+-，即：4p)a pctg 2p (x x222=++-．由性质1得a sinp 2a pctg 2p 2p x x |AB |2221=+=++=，又设AB 的中点为M ，则|acos apctg||acos 2p 2x x ||FM |221=-+=，∴asinp|a cosa pctg ||a cos ||FM ||FE |222===，∴21|AB ||FR |=．深化3：过抛物线的焦点F 作n 条弦n n 2211B A B A B A ⋯、、，且它们等分周角2π，则有（1）∑=⋅n1i ii |FB||F A |1为定值；（2）∑=n1i i i |B A |1为定值．证明：（1）设抛物线方程为aFx A ,cos 1p 1=∠θ-=．由题意π-+=∠⋯π+=∠π+=∠n1n a Fx A n 2a Fx A ,na Fx A n 32，所以222211pasin pacos1p)a cos(1pacos 1|FB ||F A |1=-=+π-⋅-=⋅，同理22nn 2222p)n1n a (sin |FB||F A |1,,p)na (sin|FB||F A |1π-+=⋅⋯π+=⋅易知2n )n1n a (sin)n2a (sin)na (sina sin2222=π-++⋯+π+π++，∴222n1i 2222ii p2n p)n1n a (sinp)na (sin pasin |FB||F A |1=π-++⋯+π++=⋅∑=．（2）∵asinp 2acos1p 2)a cos(1pacos 1p |B A |2211=-=+π-+-=，∴p2)n1n a (sin |B A |1,,p2asin|B A |12n n 211π-+=⋯=，∴p4n p2)n1n a (sinp2)n a (sin p 2asin|B A |12n1i 22i i =π-++⋯+π++=∑=．。