圆锥曲线焦点三角形和焦点弦性质

圆锥曲线焦点三角形和焦点弦性质的探讨数学系20021111班家庆指导教师向长福摘要：圆锥曲线是现行高中解析几学的重要容之一，且圆锥曲线知识既是高中数学的重点，又是难点，因而成为高考的重点考查容。

而圆锥曲线的主要容之一是过圆锥曲线焦点的弦或直线的有关问题，学生在求解此类题目时，常常感到无从下手。

为解除这种困惑，在全面研究了高中数学教材及要求的基础上，通过分析、推导的法，文章对椭圆焦点三角形的性质，双曲线焦点三角形的性质及圆锥曲线焦点弦的性质进行了研究和探讨，得出圆锥曲线焦点三角形的五条基本性质，以便使学生对相关知识有一个更全面、更系统、更深刻的了解，从而进一步提高运用这些性质去解决相关题目的数学能力和应用能力。

关键词：圆锥曲线；焦点三角形；性质；焦点On the Properties of Conic Focal Point Triangle and Focal Point String Abstract: The cone curve, as an important part of content of analytical geometry in present high school, is rated not only as a key point but also a difficulty in mathematics teaching in senior high school, and so it becomes a key examination point in the college entrance examination. The most important content of cone curve is the problems concerning the string or straight line which passes through the conic focal point. Faced with this kind of questions, some students do not always know what to begin with. T o relieve their confusion, this paper, on the basis of a thorough study of the mathematical teaching material for high schools and by means of analysis and deduction, probes into the nature of ellipse focal point triangle, the nature of hyperbolic curve focal point triangle and the nature of conic focal point string, and points out five basic properties of the conic focal point triangle. These properties can help students further understand the conic knowledge systematically and improve their mathematics competence and application ability in solving mathematical problems.Key words: cone curve; focal point triangle; properties; focal point1引言圆锥曲线是现行高中解析几学的重要容之一，且圆锥曲线知识既是高中数学的重点，又是难点．而圆锥曲线的主要容之一是过圆锥曲线焦点的弦或直线的相关问题.在求解这类问题时，多学生常常感到束手无策，部分学生由于计算量大的繁锁，产生厌学数学的情绪．为了解除这种困惑，培养或提高学生学习数学的兴趣，让学生掌握一定的解题法或数学思想是很必要的．在数学中，我们常常是利用性质去讨论问题，因此，文章首先探讨圆锥曲线焦点三角形及焦点弦的性质，然后再讨论这些性质的应用.圆锥曲线焦点三角形及焦点弦具有不少性质，多教师或专家已做过研究.文献[2]主要是对椭圆焦点三角形的性质进行研究，而文献[7]主要是对双曲线焦点三角形的性质进行研究.文献[2]、[7]都是孤立地进行探讨，缺乏系统性，显得单一.文献[1]、[10]主要围绕焦点三角形的切圆将椭圆焦点三角形与双曲线焦点三角形的性质结合起来探讨，弥补了文献[2]、[7]的不足之处.文献[9]主要是探讨圆锥曲线焦点弦的几特征.作为一个有机整体的圆锥曲线焦点三角形，探求其所具有的共同特征的性质应该是一件非常有意义的事情.在对文献进行分析、研究的基础上，文章主要是结合高中数学课程的要求，对椭圆焦点三角形的性质，双曲线焦点三角形的性质及圆锥曲线焦点弦的性质作一定的探讨，将其系统地归纳集中或进行了一定的扩展，让学生对其有一个更全面、更深刻的了解，从而进一步提高学生运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力．2圆锥曲线焦点三角形的定义及性质圆锥曲线上一点与其两焦点所构成的三角形叫做圆锥曲线的焦点三角形[1].2.1 椭圆焦点三角形的性质以椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点1F ，2F 及椭圆上任意一点P （除长轴上两个端点外）为顶点的21PF F ∆，叫做椭圆的焦点三角形[2].设21PF F ∠=θ，21F PF ∠=α，12F PF ∠=β，椭圆的离心率为e 性质1:θcos 12221+=⋅b PF PF .证明：在21PF F ∆中，由余弦定理，有221212221cos 2F F PF PF PF PF =⋅⋅-+θ a PF PF 221=+ 221222142a PF PF PF PF=⋅++∴2212124cos 224c PF PF PF PF a =⋅⋅-⋅-∴θ 整理，得 .cos 12221θ+=⋅b PF PF 例1 如图：1F 、2F 分别为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，2POF ∆是面积为1的正三角形，求2b 的值．分析：此题按常规思路是从12=∆POF S 入手，即=S 224360sin 21c PO OF =⋅︒求得.3342=c 所以点P 的坐标分别为2c ，c 23.由于点P 在椭圆上，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+22222221434ac b b c a c 解此程组就可得到2b 的值．但这涉及到解二元二次程组，计算量很大，非常麻烦.若用性质1求解可使运算得以简化．解：连接,1PF 则︒=∠9021PF F ， 有21221PF F POF S S ∆∆=︒⋅⋅⋅=∴90sin 2121121PF PF .290sin 90cos 1241122=∴⋅+⋅=∴︒︒b b 性质2:.2tan221θ⋅=∆b S PF F证明：由性质1得θsin 212121⋅⋅⋅=∆PF PF S PF F .2tan cos 1sin sin cos 1221222θθθθθ⋅=+⋅=⋅+⋅=b b b 例2 已知1F 、2F 是椭圆1256422=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上任一点，且321π=∠PF F ，求21PF F ∆的面积． 分析：如果设P 点的坐标为),(y x ，由P 点在已知椭圆上且321π=∠PF F ，利用这两个条件，列出关于x ,y 的两个程，解出x ,y ．再求21PF F ∆的面积，这种法，运算量大且过程繁杂，须另寻捷径．知道321π=∠PF F ，可以直接利用性质2求解，使运算量简化. 解： 2tan221θ⋅=∆b S PF F .33256tan2521=⋅=∴∆πPF F S 例3:已知点),(00y x P )0(0>y 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上任一点，且θ=∠21PF F .求证：2tan 20θ⋅=c b y . 证明： 0212221211y c h F F S PF F ⋅⋅=⋅⋅=∆ 2tan 221θ⋅=∆b S PF F =⋅⋅∴0221y c 2tan 2θ⋅b00>y .2tan 20θ⋅=∴c b y例4:点P 是椭圆14522=+y x 上一点，以点P 以及焦点1F 、2F 为顶点的三角形的面积等于1，求点P 的坐标． 分析：要求点P 的坐标，不妨设P 点坐标为),(00y x ，由P 点在已知椭圆上和21PF F ∆的面积等于1，可列两个程，解程可得点P 的坐标．此题也可在例3的基础上进行求解[3]．解：设P 点坐标为),(00y x ,则有c c S c b y PF F 12tan 2120==⋅=∆θ 122=-=b a c .1100±=∴=∴y y 把10±=y 代入14522=+y x 得.2150±=x .1215121512151215），），（，），（，），（，坐标为（点----∴P 性质3 :)12arccos(22-≤<ab O θ.证明：由正弦定理，有θαβsin sin sin 2121F F PF PF ==)](180sin[sin sin sin sin sin 2121βαβαθβα+-+=+=+∴F F PF PF 2cos 2sin 22cos2sin2)sin(sin sin βαβαβαβαβαβα+⋅+⋅-+⋅=++=2sin12cos 12cos 2cosθβαβαβα=+≤+-=θcos 12-= a PF PF 221=+ )(44222221b a c F F-==θθcos 12cos 122222222-≤-∴-≤-∴b a a b a a即 2222cos a a b -≥θ. 因为πθ<<0，所以 2222arccos aa b -≤θ. 当点P 在长轴上的端点时，0=θ，这时，21PF F ∆不存在，因此，)12arccos(022-≤<ab θ[4].性质4:离心率 .2cos2cosβαβα-+=e 证明：由正弦定理，有)sin(sin sin sin 212121βαθαβ+===F F F F PF PF 2cos 2sin 22cos 2sin2sin sin )sin(2121βαβαβαβαβαβα-⋅++⋅+=++=+∴PF PF F F .2cos2cosβαβα-+==∴e ac例5 （2004年高考题）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF ∆是正三角形，求这个椭圆的离心率[5].分析：由2ABF ∆是正三角形可知122AF AF =，根据椭圆的第一定义可求得a AF 2322⋅=. 再由22130cos AF F F =︒可求得离心率e.若用性质4解：根据已知条件有.30,902121︒︒=∠=∠A F F F AF （如图）.3330cos 60cos 23090cos23090cos2cos 2cos ==-+=-+=∴︒︒︒︒︒︒βαβαe 性质5: ee+-=⋅112tan2tanβα. 证明：由正弦定理，有θαβsin sin sin 2121F F PF PF == βαβαβαθsin sin )sin(sin sin sin 2121++=+=+∴PF PF F F =++==∴βαβαsin sin )sin(a c e 2cos2sin 22cos2sin2βαβαβαβα-+++ 2sin 2sin 2cos 2cos 2sin2sin 2cos 2cos 2cos 2cosβαβαβαβαβαβα⋅+⋅⋅-⋅=-+= 2tan2tan 12tan2tan1βαβα⋅+⋅-=e e +-=⋅∴112tan 2tan βα.例6:如图，P 是椭圆12222=+by a x 上一点，1F 、2F 是焦点，已知,2,1221αα=∠=∠F PF F PF 求椭圆的离心率[6]．分析：知道,2,1221αα=∠=∠F PF F PF 我们可以直接利用性质5解题．解：由性质5有e e ee+-=⋅=⋅∴+-=⋅11cos 2cos 2sin cos sin 2cos 2sin1122tan2tan22αααααααααee+-=+-∴11cos cos cos 122ααα 化简，得.1cos 2-=αe 2.2 双曲线焦点三角形的性质以双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点1F 、2F 及双曲线上任意一点P （除实轴上两个端点外）为顶点的21PF F ∆，叫做双曲线的焦点三角形[7].设21PF F ∠=θ，21F PF ∠=α，12F PF ∠=β，双曲线的离心率为e 性质1:.cos 12221θ-=⋅b PF PF 证明：在21PF F ∆中，由余弦定理，有22221-+PF PF =⋅⋅θcos 21PF PF 2221)2(c F F= ① a PF PF 221=- 221222142a PF PF PF PF=⋅-+∴ ② 例1:设1F 和2F 为双曲线191622=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足︒=∠9021PF F ，求21PF F ∆的面积. 解： 1890cos 192cos 12221=-⨯=-=⋅︒θb PF PF 990sin 2121=⋅⋅⋅=∴︒PF PF S . 性质2 :2cot221θ⋅=∆b S PF F .证明：由性质1得θsin 212121⋅⋅⋅=∆PF PF S PF F θθsin cos 12212⋅-⋅=b θθcos 1sin 2-⋅=b θθθsin cos 12tan-=θθθcos 1sin 2cot -=∴ 2cot 221θ⋅=∴∆b S PF F .例2:已知点1F （0,2-）、2F （0,2），动点P 满足212=-PF PF .当点P 的纵坐标是21时， 若令θ=∠21PF F ，求2cotθ的值．解：由双曲线的第一定义可知点P 的轨迹程为).0(122<=-x y x 则2,122==c b .所以222122121=⋅⋅=∆c S PF F.222cot222cot2=∴=⋅∴θθb例3:设点)0)(,(000<y y x P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任一点，且,21θ=∠PF F求证：.2cot 20θ⋅-=c b y 分析：此题根据已知条件列程求解，计算量大且过程繁琐，应另外寻求解法，由于0y 和21PF F ∆的高相等，不妨从21PF F ∆的面积入手进行求解. 证明：0212121y F F S PF F ⋅⋅=∆ 2cot 221θ⋅=∆b S PF F 2cot 22120θ⋅=⋅⋅∴b y c 00<y .2cot 20θ⋅-=∴c b y性质3:离心率 2sin2sinαβαβ-+=e （βα≠）.证明：由正弦定理，有)sin(sin sin sin 212121βαθαβ+===F F F F PF PF αβsin sin ≠ .)sin(sin sin 2121βααβ+=--∴F F PF PF即=-⋅+2sin 2cosαβαβa2cos 2sinαβαβ+⋅+c又 02cos,≠+<+<βαπβαo 2sin2sinαβαβ-+==∴ac e .例4:（2002年高考题） 如图，已知1F 、2F 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点，过2F 作垂直于x轴的直线交双曲线于点P ，且︒=∠3021F PF .求双曲线的渐近线程．分析：由于双曲线的渐近线程为x aby ±=，若能求出a ,b 的值，渐近线程就可确定.在此题中，我们不易求出a ,b 的值，我们将x ab y ±=作一下变形，2222222222)1(x e x a a c x a b y ⋅-=⋅-=⋅=，若能求出e 的值，则渐近线程就求出．知道︒=∠3021F PF ，︒=∠9012F PF ，利用性质4可求e.解：330sin 60sin 2sin 2sin==-+=︒︒αβαβe.2222x y x y ±=∴=∴ 性质4 :（1）当P 点在双曲线右支上时 .112cot 2tan +-=⋅e e βα （2）当P 点在双曲线左支上时 .112cot 2tan +-=⋅e e αβ 证明：（1）当P 点在双曲线右支上时.221a PF PF =- 由正弦定理，有βsin 1PF =)sin(sin sin 22)sin(sin sin sin sin sin 2121βααββααβθαβ+-=∴+-=-=-∴c a F F PF PF =-+==∴αββαsin sin )sin(a c e 2sin2cos 22cos2sin2αβαββαβα-+++ 2sin 2cos 2cos 2sin 2sin2cos2cos2sin2sin 2sinαβαββαβααββα⋅-⋅⋅+⋅=-+=2cot2tan 12cot2tan1βαβα⋅-⋅+= .112cot 2tan +-=⋅∴e e βα例5:（2005年高考题）已知1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，求双曲线的离心率[8].解：连接N F 2，则︒=∠3012F NF ︒=∠6021F NF 所以.13113)32(3230tan 45tan 130tan 45tan )3045tan(15tan 1130cot 15tan .11260cot 230tan +=∴+-=⋅-∴-=+-=-=+-=⋅∴+-=⋅︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒e e e e e e e 3圆锥曲线焦点弦的性质性质1:过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于点P 、Q ，1A 、2A 为椭圆长轴上的顶点，P A 1和Q A 2交于点N ，P A 2和Q A 1交于点M ，则NF MF ⊥.证明：如图，设椭圆的程为)0(12222>>=+b a by a x ，则可设点F 的坐标为),0,(c -点P 、Q 的坐标分别为)sin ,cos (ααb a ，)sin ,cos (θθb a ，则P A 1的程为 ).()cos 1(sin a x a b y +⋅+=αα①Q A 2的程为).()1(cos sin a x a b y -⋅-=θθ ② 由①②得2cos2cossin sin )sin()]sin(sin [sin θαθαθαθαθαθα-+⋅=---+--=a a x ③由于点P 、F 、Q 共线，则有ca b c a b +=+θθααcos sin cos sin 化简，得)sin (sin )sin(αθθα-=-c a 02sin2sin2cos22cos2sin 2≠--⋅+⋅=-⋅-⋅∴αθαθαθθαθα c a c a -=-+∴2cos2cosθαθα④ 将④式代入③式，得c a x 2-=所以，点N 的坐标为).)1(cos )(sin ,(2-+--θθc c a b c a 同理，点M 的坐标为))1(cos )(sin ,(2+---θθc c a b c a [9]. ∴.1)()1(cos sin )(4422222222-=-=-⋅--=⋅bb c ca cbc a K K NFMF θθ 即 .NF MF ⊥ 性质2:过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于P 、Q 两点，1A 、2A 为双曲线实轴上的顶点，P A 1和Q A 2相交于点N ，Q A 1和P A 2相交于点M ，则NF MF ⊥. 证明与性质1的证明类似，从略．性质3:过抛物线的焦点F 线交AQ 于点M ，过Q 证明：设抛物线程为)0(22>=p py x ，则点P 、的坐标可分别设为)2,2(211pt pt ，2,2(2pt 因为P 、F 、Q 三点共线，所以121222pt p pt =-化简，得 1421-=t t . 又PA 的程为 x t y 1=由①②得.2221p t pt y -== 即 点N 的坐标为)2,2(2pt -. 同理点M 的坐标为)2,2(1pt -[10]. .12221-=-⋅-=⋅∴pt p pt p K K NF MF 即 .NF MF ⊥4总结文章主要是在对文献进行分析、研究的基础上，结合高中数学课程的要求，将具有共同特征的椭圆焦点三角形与双曲线焦点三角形的性质进行系统地归纳集中，得出五条基本性质，并采用初等法进行了证明，对圆锥曲线焦点弦的性质进行有机统一，让学生对其有一个更全面、更深刻的了解，从而进一步提高学生运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力.参考文献[1]唐永金.圆锥曲线焦点三角形的性质探微[J].数学通报,2000,(9):24～25.[2]熊光汉.椭圆焦点三角形的若干性质[J].数学通报,2004,(5):24～25.[3]人民教育中学数学室.全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）[M]，：人民教育，2004.[4]迪淼.关于椭圆的十个最值问题[J].数学通报,2002,(4):24～25.[5]任志鸿.十年高考分类解析与应试策略（数学）[M].：南，2005.[6]薛金星.中学教材全解高二数学（上）[M].：人民教育,2003.[7]希扬.双曲线焦点三角形的几个性质[J].数学通报,2002,(7):27.[8]际栋.黄冈新考典十年高考分类解析及命题趋势[M].：延边大学，2005.[9]康海.圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质[J]. 数学通报,2001，（5）：23.[10]毛美生慧珍.圆锥曲线的一组相关性质[J].数学通报,2002,(12):27～28.指导教师评语：圆锥曲线是高中解析几的重要容，现行高中教材仅介绍了圆锥曲线的一些基本性质，对解决较复杂的圆锥曲线问题就显得无能为力了，而在其他一些的文献中，虽对有关容也有探讨，但只是停留在解题的层面上，不系统更未形成独立的体系。