数值分析复习总结题
数值分析期末考试复习题及其答案
数值分析期末考试复习题及其答案1.已知都有6位有效数字，求绝对误差限.（4分）解:由已知可知,n=62分2分2.已知求（6分）解：1分1分1分= 2分1分3.设（6分）①写出f(x)=0解的Newton迭代格式②当a为何值时，（k=0,1……)产生的序列收敛于解:①Newton迭代格式为： 3分② 3分4.给定线性方程组Ax=b，其中：，用迭代公式（k=0，1……）求解Ax=b,问取什么实数，可使迭代收敛（8分)解：所给迭代公式的迭代矩阵为2分其特征方程为2分即，解得2分要使其满足题意，须使,当且仅当2分5.设方程Ax=b，其中，试讨论解此方程的Jacobi迭代法的收敛性，并建立Gauss—Seidel迭代格式（9分）解：3分2分即，由此可知Jacobi迭代收敛1分Gauss-Seidel迭代格式：（k=0,1,2，3 (3)6.用Doolittle分解计算下列3个线性代数方程组:(i=1，2,3)其中，（12分)解：①A= =LU 3分由Ly=b1，即y= 得y= 1分由Ux1=y，即x1= 得x1= 2分②x2=由Ly=b2=x1,即y= 得y= 1分由Ux2=y，即x2= 得x2= 2分③x3=由Ly=b3=x2，即y= 得y= 1分由Ux3=y，即x3= 得x3= 2分7.已知函数y=f（x)有关数据如下:要求一次数不超过3的H插值多项式,使（6分）解：作重点的差分表，如下:3分=-1+（x+1)-x(x+1）+2x。
x（x+1)= 3分8.有如下函数表：试计算此列表函数的差分表，并利用Newton前插公式给出它的插值多项式（7分）解：由已知条件可作差分表，3分（i=0,1,2，3）为等距插值节点,则Newton向前插值公式为:=4+5x+x（x—1)= 4分9.求f(x)=x在[—1,1]上的二次最佳平方逼近多项式，并求出平方误差（8分)解：令2分取m=1，n=x，k=,计算得:（m，m）==0 （m，n)= =1 （m，k)= =0（n,k）= =0。
数值分析考题总结
1设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=- (n=1,2,…),若0 1.41y =≈（三位有效数字），计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 解：02 1.41y =≈201(*)102y ε-∴=⨯又1101n n y y -=- 10101y y ∴=- 10(*)10(*)y y εε∴= 又21101y y =- 21(*)10(*)y y εε∴=220(*)10(*)......y y εε∴=101001028(*)10(*)1101021102y y εε-∴==⨯⨯=⨯计算到10y 时误差为81102⨯，这个计算过程不稳定。
.三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：并估计误差。
（10分）解：（1）利用插值法加待定系数法：设()2p x 满足 ()()()22212,24,312,p p p ===则()22376,p x x x =-+（3分） 再设()()()()()32123p x p x K x x x =+--- （3分） 2K = （1分） ()32329156p x x x x =-+- （1分） （2）()()()()()()24311234!R x f x x x ξ=--- 四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 解：应用梯形公式得()()11012I I f f ≈=+⎡⎤⎣⎦ （2分） 0.75= （1分）应用辛普森公式得：()()21104162I I f f f ⎡⎤⎛⎫≈=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（2分） 0.69444444= （1分）应用科特斯公式得：()()41113703212327190424I I f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫≈=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2分）0.6931746=五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
(完整版)数值分析整理版试题及答案,推荐文档
9
1
xdx T4
h[ 2
f
1
3
2 k 1
f
xk
f
9]
2[ 1 2 3 5 7 9] 2
17.2277
（2）用 n 4 的复合辛普森公式
由于 h 2 ， f x
x
，
xk
1
2k k
1, 2,3，
x
k
1
2
2k k
0,1, 2,3，所以，有
2
3
9
1
xdx S4
h[ 6
f
1
若 span1, x，则0 (x) 1 ，1(x) x ，这样，有
2
1
0 ,0 1dx 1
0
1,1
1 0
x2dx
1 3
0
,1
1,0
1
0
xdx
1 2
1
f ,0 exdx 1.7183
0
1
f ,1 xexdx 1
0
所以，法方程为
1
1
1
2 1
a0
a1
1.7183 1
1 0
1
23
2 1
a0
a1
6 1
12
3
再回代解该方程，得到
a1
4
，
a0
11 6
故，所求最佳平方逼近多项式为
S1*
(
x)
11 6
4x
例 3、 设 f (x) ex ， x [0,1] ，试求 f (x) 在[0, 1]上关于 (x) 1 ， span1, x的最
佳平方逼近多项式。 解：
1
4
x1
1 5
数值分析复习题参考答案
x1 )
h
2
x 0 x x1 6
4
所以， R x
h 10
2
8
解得， h 0 . 000383
4. 习题(第二章) 7
5. 习题(第二章) 9
6. 习题(第二章) 11
7. 习题(第二章) 13
8. 习题(第二章) 14
9. 习题(第二章) 20
10. 习题(第四章) 1
2
, k 0 ,1, 2 2 3 2a 3x
3
此时， ( x )
2x a 3x
, '( x) 2a
所以， ' ( 3 a )
2 3
3(
3
a)
3
0 1, 所以该迭代公式收敛。
21. 习题(第七章) 13
本题没有给出精度要求， 但x3与x2之间的差为 已经很小了，足以满足 精度。
[ f ( x n , y n ) f ( x n 1 , y n 1 )]
( 3 ) 基于 Taylor 展开法：
y ( x n 1 ) y ( x n h ) y ( x n ) y ' ( x n ) h
h
2
2
y ''( xn )
取 y ( x n 1 ) y ( x n ) y ' ( x n ) h ，即 y n 1 y n hf ( x n , y n )
k 个点的值
求解隐式：先用欧拉公 求解多步法：单步法开
式求得一个初步的近似 表头，然后预报
修正 校正 修正。
( 其实只要给出公式会用
就行！！ )
东北大学数值分析-总复习+习题
二、(13分)设函数(x)=x2-sinx-1 (1)试证方程(x)=0有唯一正根; (2)构造一种收敛的迭代格式xk+1=(xk),k=0,1,2,…计算精度为=10-2的近似根; (3)此迭代法的收敛阶是多少?说明之.
解 (1)因为0<x1时,(x)<0,x2时,(x)>0,所以(x)仅在(1,2)内有零点,而当1<x<2 时,(x)>0,故(x)单调.因此方程(x)=0有唯一正根,且在区间(1,2)内.
(1) xkp阶收敛于是指: (2) 若()0,则迭代法线性收敛.
lim xk1 C k xk p
4.会建立Newton迭代格式；知道Newton迭代法的优缺点.了解Newton迭代法的变形.
xk 1
xk
f (xk ) f (xk )
局部平方收敛.
五、矩阵特征值问题
1. 了解Gerschgorin圆盘定理, 会估计特征值. 2. 了解乘幂法、反幂法的思想及加速技巧. 3. 了解Jacobi方法的思想以及平面旋转矩阵的构造.
总复习
一、绪论
1.掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限及有效数字的概念。掌握误差 限和有效数字之间的关系。会计算误差限和有效数字。
一般地,凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限等于该近似值末位的 半个单位。
定义1 设数x是数x*的近似值，如果x的绝对误差限是它的某一数位的半个单位，并 且从x左起第一个非零数字到该数位共有n位，则称这n个数字为x的有效数字，也 称用x近 似x*时具有n位有效数字。
是不是一种向量范数_____. 是
《数值分析》期末复习题(1)
《数值分析》期末复习题一、单项选择题1. 数值x *的近似值x =0.32502×10-1，若x 有5位有效数字，则≤-*x x ( ).(A)21×10-3 (B) 21×10-4 (C) 21×10-5 (D) 21×10-6 2. 设矩阵A ＝10212104135⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么以A 为系数矩阵的线性方程组A X ＝b 的雅可比迭代矩阵为( )(A)00.20.10.200.40.20.60--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦(B)10.20.10.210.40.20.61⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦(C) 00.20.10.200.40.20.60⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (D)021204130⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦3. 已知(1)1,(2)4,(3)9f f f ===，用拉格朗日2次插值，则(2.5)f =( )(A) 6.15 (B) 6.25 (C) 6.20 (D) 6.10 4. 抛物形求积公式的代数精度是( )A. 1，B. 2 ，C. 3，D. 45. 改进欧拉格式的 局部截断误差是( ). (),A O h 2. (),B O h 3. (),C O h 4. ().D O h二、填空题1、以722作为π的近似值，它有（ ）位有效数字； 2、经过)1,2( ),2,1( ),1,0(C B A 三个节点的插值多项式为（ ）； 3、用高斯-赛德尔迭代法解方程组⎩⎨⎧-=+-=+,10,232121x bx bx x 其中b 为实数，则方法收敛的充分条件是b 满足条件（ ）；4、取步长为1.0=h ，用欧拉法计算初值问题22',(0)0,y x y y ⎧=+⎨=⎩的解函数)(x y ，它在3.0=x 的近似值为（ ）；5、已知方程0sin 1=--x x 在)1,0(有一个根，使用二分法求误差不大于41021-⨯的近似解至少需要经过（ ）次迭代。
数值分析期末复习题
数值分析期末复习题⼀、填空题1.设真值x=983350,则其近似值y=98000的有效数字的位数，绝对误差为，相对误差为。
2.x=0.1062,y=0.947,计算x+y 其有效数字的位数为。
3.对f(x)=x 3+x+1,差商f[0,1,2,3]= ;f[0,1,2,3,4]= 。
4.设f(x)可微，求⽅程x=f(x)根的⽜顿迭代法格式是。
5.设⽅程x=?(x)有根x *,且设?(x)在含x *的区间(a,b)内可导，设x 0∈(a,b)则迭代格式x k+1=?(x k )收敛的充要条件为。
6.求解线性⽅程组Ax=b 的迭代格式x (k+1)=Jx (k)+f 收敛的充要条件为。
7.=011001001001....A ,||A||∝= ,cond(A)∝= 。
8.n 次Legendre 多项式的最⾼次项系数为。
9.中矩形公式：)()2()(a b b a f dx x f b a -+=?的代数精度为。
10.求积公式：)1(21)0()(10f f dx x f '+≈?的代数精度为。
11.在区间[1，2]上满⾜插值条件??==3)2(1)1(P P 的⼀次多项式P(x)= 。
12.设∑==n k k k n x f A f I 0)()(是函数f(x)在区间[a,b]上的插值型型求积公式，则 ∑=n k k A0= 。
13．梯形公式和改进的Euler 公式都是阶精度的。
⼆、计算题1.利⽤矩阵的⾼斯消元法，解⽅程组=++=++=++2053182521432321321321x x x x x xx x x2.设有函数值表试求各阶差商，并写出Newton 插值多项式。
3.求解超定⽅程组= ?43231211121x x的最⼩⼆乘解。
4.给定下列函数值表：求3次⾃然样条插值函数5.给定x x f =)(在x=100, 121, 144 三点处的值，试以这三点建⽴f(x)的⼆次（抛物）插值公式，利⽤插值公式求115的近似值并估计误差。
数值分析整理版试题及答案
例1、 已知函数表求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。
解：（1）故所求二次拉格朗日插值多项式为 （2）一阶均差、二阶均差分别为例2、 设2()32f x xx =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。
解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，且()1x ρ=，这样，有 所以，法方程为01123126119234a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，经过消元得01231162110123a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 再回代解该方程，得到14a =，0116a =故，所求最佳平方逼近多项式为*111()46S x x =+例3、 设()xf x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。
解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，这样，有 所以，法方程为解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =， 故，所求最佳平方逼近多项式为例4、 用4n =的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1⎰。
解：（1）用4n =的复合梯形公式由于2h =，()f x =()121,2,3k x k k =+=，所以，有 （2）用4n =的复合辛普森公式由于2h =，()f x =()121,2,3k x k k =+=，()12220,1,2,3k xk k +=+=，所以，有例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。
解：先消元再回代，得到33x =，22x =，11x =所以，线性方程组的解为11x =，22x =，33x =例6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。
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第一章 引论1、当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个 阶段? 在哪些阶段将有哪些误差产生?（12分）答：一般会有以下几阶段：实际问题-数学模型-数值方法-计算结果；建模过程中肯能会产生的误差：模型误差，观测误差；选用数值方法可能会产生的误差：截断误差；计算过程中可能会产生的误差：舍入误差和传播误差。
第二章 多项式插值1. 利用Lagrange 插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：（1）（2）解(1)：方法一. 由 Lagrange 插值公式)()()()()(332211003x l f x l f x l f x l f x L ⋅+⋅+⋅+⋅=)1)((31)2)()(1()1)(()(2123210---=-----=x x x x x x x l ,))(1(2)1)()(1()(21221211--=--+=x x x x x x l ，2823311222(1)(1)()(1)()x x x l x x x +-==--⋅⋅-, )()1(12)()1()(2121213-+=⋅⋅-+=x x x x x x x l . 可得： )21()(23-=x x x L5、已知)(x f 在4)1(0,=i x i 的函数值如下表i x0 1 2 3 4 )(i x f0 1 8 27 64利用插值公式计算)5.0(f 的值。
（12分）解：函数)(x f 的差分表如下i x i f i f ∆ i f 2∆ i f 3∆ i f 4∆0 011 1 67 62 8 12 019 63 27 18374 645.01/)05.0(5.0=-==t x ，则，由Newton 向前插值公式，可分别求得5.05.010!1)(001=⨯+=∆+=t f f x N 25.0)1(!2!1)(02002-=-∆+∆+=t t f t f f x N125.0)2)(1(!3)()(0323=--∆+=t t t f x N x N125.00125.0)3)(2)(1(!4)()(0434=+=---∆+=t t t t f x N x N第四章、数值积分算法梯形公式：()[()()]2bab af x dx f a f b -≈+⎰中矩形公式：()()()2ba a bf x dx b a f +≈-⎰辛普生公式：()[()4()+()]62bab a a bf x dx f a f f b -+≈+⎰梯形公式和中矩形公式都具有一次代数精度，而辛普生公式具有三次代数精度。
4． 试给出],[b a 上复化辛普森求积公式, 并描述其自适应算法.复化辛普生公式自适应求积算法的具体步骤： 步1：11,,()4()()62a b n h b a s f a f f b +⎡⎤←←-←++⎢⎥⎣⎦； 步2：1113{2[()][()]2[()]}424n k s f a k h f a k h f a k h -=←++-+++++∑，21126hs s s ←+； 步3：判断12?s s ε-<，若是，转步5； 步4：122,,2hn n h s s ←←←转步2；步5：输出s 2；4、利用辛甫生求积公式计算积分：dx x⎰+10112，并估计其误差 。
（10分）(注意与复化辛普生公式的区别) 解：由辛甫生求积公式，)]1()(4)0()[01(216110112f f f dx x++-≈⎰+78333.0]41[6047215461≈=+⋅+=785488.041010112≈==⎰+πarctgx dx x误差：210216.078333.078549.0-⨯=-≤s R1、已知函数)(x f 在],[b a 上的各离散点: b x x x x x a n n =<<<<<=+122321处的函数值 )(i x f , 12,,2,1+=n i . 试构造)(x f 在],[b a 上的分段2次 插值多项式.2.已知函数)(x f 在],[b a 上的各离散点: b x x x x x a n n =<<<<<=-1210处的函数值 )(i x f , n i ,,2,1,0 =.1) 构造)(x f 在],[b a 上的分段线性插值多项式.2) 假定)(x f 在],[b a 上有连续的2阶导数, 试估计以上分段插值的误差.2.设2)(x x f =，求)(x f 在区间]1,0[上的分段线性插值函数)(x f h ，并估计误差，取等距节点，且10/1=h .解 2)(x x f =，ih x i = ， 10,,1,0 =i ， 101=h设 1+≤≤i i x x x ，则： ii ii i i i i h x x x x x f x x x x x f x f --+--⋅=++++1111)()()( h ihx h i h h i x h i -++-+-⋅=22))1(()1()( 100)1(10)12(+-+=i i x i 误差估计：))1(()(!2|)()(|max)1(h i x ih x f x f x f hi x ix h +--''≤-+≤≤.第五章 线性代数方程组的解法(高斯消去法、迭代法)1、 用Gauss 逐步消去法解方程组123121022331302x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦解：消元：第1步：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--230110*********x x x 第2步：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-2132121300120121x x x回代：1 ,1 ,1321=-==⇒x x x2、利用Gauss 顺序消元法求解方程组:(要求写出消元过程和回代过程)⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+-=++151241252962321321321x x x x x x x x x . （10分） 解：消元过程：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---22001910909621211290191090962115121412529621 ⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=--=--=++(3)22 (2) 19109 (1) 962332321x x x x x x回代过程： 由（1）得： 13=x代入（2）⇒ 12=x均回代到（1）⇒ 11=x∴ 11=x ， 12=x ， 13=x3、用Gauss 顺序消元法求解方程组:(要求写出消元过程和回代过程)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+--=+-1242222321321321x x x x x x x x x . （10分） 解：消元过程：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------130023102211763023102211121421122211 ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+--=+-(3)13 (2) 23 (1) 22332321x x x x x x回代过程： 由（1）得： 313=x代入（2）⇒ 32=x均回代到（1） ⇒ 311=x ∴ 311=x ， 32=x ， 313=x 4、 用列主元消去法解方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡035232011120321x x x . 解： 第1步：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡530120011232321x x x 第2步：1122323200130215x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 第3步：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3501012023232121x x x第4步：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-417321435000120232x x x 回代：17,16 ,7321-==-=⇒x x x 6、已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+---=-+-=-+-34212565321321321x x x x x x x x x 分别写出求解方程组的Jacobi 迭代格式和Seidel Gauss -迭代格式， 并判别两种迭代格式的收敛性 .（12分） 解: 求解方程组的Jacobi 迭代格式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-+-=+-=+++43)(221)(141)1(351)(352)(151)1(256)(351)(251)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x求解方程组的Seidel Gauss -迭代格式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-+-=+-=++++++43)1(221)1(141)1(351)(352)1(151)1(256)(351)(251)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x 收敛性：由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=421251115A 是严格对角占优矩阵因而，求解方程组的Jacobi 迭代格式收敛。
因 1)(2>B ρ, Gauss-Seidel 迭代方法发散。
7．(P 203)试分别给出求解线性代数方程组B AX =的Jacobi 迭代、Gauss —Seidle 迭代 解：将)(ij a A =分裂为U L D A --= 其中),,,(2211nn a a a diag D =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-00001,121n n n a a aL，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-000,1112n n n a a a U,Jacobi 迭代方法若0≠ii a ，迭代格式g x G x k J k +⋅=+)()1( ①其中Jacobi 迭代矩阵：)(1U L D G J+=-；(若该矩阵的特征值的绝对值的最大的值小于1就是收敛，反之发散)b D g 1-=①式可写为分量形式0][11)()1(≥-=∑≠=+k x a b a xnij j k j ij i ii k i, . （*1） 方法（*1）或①称为Jacobi 迭代方法. Gauss —Seidle 迭代方法若0≠ii a ，迭代格式g x G x k G k +⋅=+)()1( ②其中，Gauss-Seidel 迭代矩阵：U L D G G1)(--=(若该矩阵的特征值的绝对值的最大的值小于1就是收敛，反之发散)b L D g 1)(--=其分量形式][11)(11)1()1(∑∑+=-=++--=ni j k j ij i j k j ij i ii k ix a x a b a x,n i ,,2,1 =. （*2） 即，在计算新分量)1(+k i x 时，利用新值)1(+k jx ，1,,2,1-=i j 。