【名师名校典型题】2014高考数学二轮复习名师知识点总结：椭圆、双曲线、抛物线
|PF |＝3a， 2 |PF |＝3a，
1 2
8
17a2－9c2 17 9 2 由余弦定理得 cos θ＝ ＝ － e. 8a2 8 8 17 9 ∵θ∈(0,180° ]，∴cos θ∈[－1,1)，－1≤ － e2<1， 8 8 5 又 e>1，∴1<e≤ . 3
即 B 是 AC 的中点．
2xB＝xA－2， ∴ 与 2yB＝yA
2 yA＝8xA， 2 yB＝8xB，
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联立可得 A(4,4 2)，B(1,2 2)． ∴kAB＝ 4 2－2 2 2 2 ＝ . 3 4－1
(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求 |PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，抛物线上的点到焦点的 距离与到准线的距离相等的转化． (2)注意数形结合，提倡画出合理草图． x2 y2 3 (1)(2012· 山东)已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的离心率为 .双曲线 x2－y2＝1 的渐近线 a b 2 与椭圆 C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 C 的方程为 ( x y A. ＋ ＝1 8 2 x2 y2 C. ＋ ＝1 16 4
由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，点 B 为 AP 的中点． 1 连接 OB，则|OB|＝ |AF|， 2 ∴|OB|＝|BF|，点 B 的横坐标为 1， 故点 B 的坐标为(1,2 2)． 2 2－0 2 2 ∴k＝ ＝ . 3 1－－2 方法二 如图，由图可知，BB′＝BF，AA′＝AF， 又|AF|＝2|BF|， ∴ |BC| |BB′| 1 ＝ ＝ ， |AC| |AA′| 2
e＝1 p x＝－ 2
(0<e<1) 准线 渐近线
b y＝± x a
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考点一 圆锥曲线的定义与标准方程 例1 x2 y2 y2 (1)设椭圆 ＋ ＝1 和双曲线 －x2＝1 的公共焦点分别为 F1、F2，P 为这两条曲线的 2 m 3 一个交点，则|PF1|· |PF2|的值等于________． (2)已知直线 y＝ k(x＋2)(k＞0)与抛物线 C：y2＝8x 相交于 A、B 两点，F 为 C 的焦点．若 |FA|＝2|FB|，则 k＝________. 答案 解析 2 2 (1)3 (2) 3 (1)焦点坐标为(0，± 2)，由此得 m－2＝4，故 m＝6.根据椭圆与双曲线的定义可
圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 定义 椭圆 |PF1|＋|PF2|＝ 2a(2a>|F1F2|) x2 y2 ＋ ＝1(a>b>0) a2 b2 双曲线 || PF1|－|PF2||＝ 2a(2a<|F1F2|) x2 y2 － ＝1(a>0，b>0) a2 b2 抛物线 |PF|＝|PM|点 F 不在 直线 l 上， PM⊥l 于 M y2＝2px(p>0)
a2 ＋ b2
1 3 ＝1，即 e2＝ .∴e＝ . 3 3
(2)设 c＝ a2＋b2，双曲线的右焦点为 F′. 则|PF|－|PF′|＝2a，|FF′|＝2c. ∵E 为 PF 的中点，O 为 FF′的中点， ∴OE∥PF′，且|PF′|＝2|OE|. a ∵OE⊥PF，|OE|＝ ， 2 ∴PF⊥PF′，|PF′|＝a， ∴|PF|＝|PF′|＋2a＝3a. ∵|PF|2＋|PF′|2＝| ＝6x D．y2＝ 3x
2
∴a＝2b.∴椭圆方程为 x2＋4y2＝4b2. ∵双曲线 x2－y2＝1 的渐近线方程为 x± y＝0， ∴渐近线 x± y＝0 与椭圆 x2＋4y2＝4b2 在第一象限的交点为 ∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为 ∴a2＝4b2＝20. x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1. 20 5 (2)如图，分别过 A，B 作 AA1⊥l 于 A1，BB1⊥l 于 B1，由抛物线的定 义知，|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|， ∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|， ∴∠BCB1＝30° ，∴∠AFx＝60° . 2 5 2 5 ， 5 b， 5 b
2 2
)
x y B. ＋ ＝1 12 6 x2 y2 D. ＋ ＝1 20 5
2
2
(2)如图，过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B， 交其准线 l 于点 C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为 ( A．y ＝9x C．y2＝3x 答案 解析 (1)D (2)C a2－b2 3 c 3 (1)∵椭圆的离心率为 ，∴ ＝ ＝ ， 2 a a 2
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解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a， b，c 的方程 或不等式，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式．建立关于 a，b，c 的方 程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等． (1)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交 C 于点 D， 且 B F ＝2 F D ，则 C 的离心率为________．
得 |PF1|＋ |PF2|＝ 2 6 ， ||PF1|－ |PF2||＝ 2 3 ，两式平方相减得 4|PF1||PF2|＝ 4×3 ，所以 |PF1|· |PF2|＝3. (2)方法一 抛物线 C：y2＝8x 的准线为 l：x＝－2，直线 y＝k(x＋2)(k＞0)恒过定点 P(－2,0)． 如图，过 A、B 分别作 AM⊥l 于点 M， BN⊥l 于点 N.
标准方程
图形
[来源:]
范围 顶点 对称性 焦点 轴 几何性质 离心率
|x|≤a， |y|≤b
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]
|x|≥a
[来源:学科网 ZXXK]
x≥0
[来源:学_科_网]
(± a,0)，(0，± b)
(± a,0)
(0,0) 关于 x 轴对称 p ( ，0) 2
关于 x 轴，y 轴和原点对称 (± c,0) 长轴长 2a， 短轴长 2b c e＝ ＝ a b2 1－ 2 a 实轴长 2a， 虚轴长 2b c e＝ ＝ a (e>1) b2 1＋ 2 a
→ → ∴ MF＝(c，－b)，FB＝(a－c,0)， → → ∴MF· FB＝ac－c2＝ 2－1. c 2 又 e＝ ＝ ，∴a＝ 2c，∴ 2c2－c2＝ 2－1， a 2 ∴c2＝1，a2＝2，b2＝1， x2 ∴椭圆 C 的方程为 ＋y2＝1. 2 (2)假设存在满足条件的直线 l. ∵kMF＝－1，且 MF⊥l，∴kl＝1. 设直线 l 的方程为 y＝x＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， y＝x＋m， 2 由x 2 2 ＋y ＝1 消去 y 得 3x2＋4mx＋2m2－2＝0， 则有 Δ＝16m2－12(2m2－2)>0，即 m2<3， 2m2－2 4m 又 x1＋x2＝－ ，x1x2＝ ， 3 3 ∴y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2 ＝ 2m2－2 4m2 m2－2 － ＋m2＝ . 3 3 3
又 F 为△MPQ 的垂心，连接 PF，则 PF⊥MQ， → → ∴PF· MQ＝0，
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→ → 又PF＝(1－x1，－y1)，MQ＝(x2，y2－1)， → → ∴PF· MQ＝x2＋y1－x1x2－y1y2 ＝x2＋x1＋ m－x1x2－y1y2 2m2－2 m2－2 4 ＝－ m＋m－ － 3 3 3 m 4 1 ＝－m2－ ＋ ＝－ (3m2＋m－4) 3 3 3 1 ＝－ (3m＋4)(m－1)＝0， 3 4 ∴m＝－ 或 m＝1(舍去)， 3 4 经 检验 m＝－ 符合条件， 3 ∴存在满足条件的直线 l，其方程为 3x－3y－4＝0. (1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关 系时，要注意使用条件 Δ≥0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交． (2)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直 关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考 虑用圆锥曲线的定义求解． x2 (2013· 北京)已知 A，B，C 是椭圆 W： ＋y2＝1 上的三个点，O 是坐标原点． 4 (1)当点 B 是 W 的右顶点，且四边形 OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形 OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 解 x2 (1)由椭圆 W： ＋y2＝1，知 B(2,0) 4
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c 10 ∴9a2＋a2＝4c2，∴ ＝ . a 2 ∴双曲线的离心率为 10 . 2
考点三 直线与圆锥曲线的位置关系 x2 y2 2 例 3 已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的离心率 e＝ ，点 F 为椭 a b 2 圆的右焦点，点 A、B 分别为椭圆的左、右顶点，点 M 为椭 → → 圆的上顶点，且满足MF· FB＝ 2－1. (1)求椭圆 C 的方程； (2)是否存在直线 l，当直线 l 交椭圆 于 P、Q 两点时，使点 F 恰为△PQM 的垂心？若存 在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)根据题意得，F(c,0)(c>0)，A(－a,0)，B(a,0)，M(0，b)，
2 5 2 5 b× b＝4，∴b2＝5， 5 5
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连接 A1F，则△AA1F 为等边三角形， 过 F 作 FF1⊥AA1 于 F1，则 F1 为 AA1 的中点， 1 1 3 设 l 交 x 轴于 N，则|NF|＝|A1F1|＝ |AA1|＝ |AF|，即 p＝ ，∴抛物线方程为 y2＝3x，故 2 2 2 选 C. 考点二 圆锥曲线的几何性质 x2 y2 例 2 (1)(2013· 辽宁)已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的左焦点为 F， C 与过原点的直线相交 a b 4 于 A， B 两点， 连接 AF， BF.若|AB|＝10， |BF|＝8， cos∠ABF＝ ， 则 C 的离心率为( 5 3 A. 5 5 B. 7 4 C. 5 6 D. 7 )
2014高考数学二轮复习名师知识点总结：椭圆、双曲线、抛物线
椭圆、双曲线、抛物线高考对本节知识的考查主要有以下两种形式：1。
以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2。
以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解,直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题,一般难度较大．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1｜＋｜PF2|＝2a(2a〉｜F1F2|）｜｜PF1｜－｜PF2｜|＝2a(2a<｜F1F2|)｜PF|＝｜PM｜点F不在直线l上,PM⊥l于M标准方程x2a2＋错误!＝1（a〉b〉0)错误!－错误!＝1(a〉0，b>0）y2＝2px（p〉0）图形几何性质范围｜x|≤a，｜y|≤b|x|≥a x≥0顶点(±a,0）,(0，±b)(±a,0）（0，0）对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点（±c，0）(p2,0）轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率e＝错误!＝错误!(0<e〈1)e＝ca＝错误!（e>1)e＝1准线x＝－错误!渐近y＝±错误!x考点一圆锥曲线的定义与标准方程例1 (1)设椭圆错误!＋错误!＝1和双曲线错误!－x2＝1的公共焦点分别为F1、F2，P为这两条曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2｜的值等于________．（2)已知直线y＝k(x＋2）(k＞0）与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点,F为C的焦点．若|FA|＝2｜FB|,则k＝________.答案(1)3 （2)错误!解析(1)焦点坐标为(0,±2），由此得m－2＝4，故m＝6.根据椭圆与双曲线的定义可得｜PF1｜＋｜PF2｜＝26，｜｜PF1｜－|PF2||＝23,两式平方相减得4｜PF1|｜PF2｜＝4×3,所以｜PF1｜·｜PF2|＝3.(2）方法一抛物线C：y2＝8x的准线为l：x＝－2，直线y＝k （x＋2）(k＞0）恒过定点P（－2，0）．如图，过A、B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N.由|FA|＝2｜FB｜，则｜AM|＝2|BN｜，点B为AP的中点．连接OB，则|OB|＝错误!｜AF|，∴｜OB｜＝|BF｜，点B的横坐标为1，故点B的坐标为（1,22)．∴k＝错误!＝错误!。
椭圆双曲线抛物线知识点汇总
椭圆双曲线抛物线知识点汇总椭圆、双曲线、抛物线知识点汇总一、椭圆（Ellipse）1. 定义：椭圆是平面上所有到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。
2. 标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)其中，\(a\) 是椭圆的长半轴，\(b\) 是短半轴。
3. 性质：- 焦点：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是一个大于两焦点间距离的常数，即 \(2a\)。
- 椭圆的长轴和短轴互相垂直。
- 椭圆的面积 \(A = \pi a b\)。
4. 焦点性质：- 椭圆上任意一点 \(P\) 与两个焦点 \(F_1\) 和 \(F_2\) 构成的三角形中，\(PF_1 + PF_2 = 2a\)。
5. 椭圆的离心率 \(e\)：\(e = \frac{c}{a}\)其中，\(c = \sqrt{a^2 - b^2}\) 是焦点到中心的距离。
二、双曲线（Hyperbola）1. 定义：双曲线是平面上所有到两个固定点（焦点）距离之差为常数的点的集合。
2. 标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 为右开口双曲线；\(\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\) 为上开口双曲线。
3. 性质：- 焦点：双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差是一个小于两焦点间距离的常数，即 \(2a\)。
- 双曲线的两个分支分别位于中心点的两侧。
- 双曲线的面积无限大。
4. 焦点性质：- 双曲线上任意一点 \(P\) 与两个焦点 \(F_1\) 和 \(F_2\) 构成的三角形中，\(PF_1 - PF_2 = 2a\)。
5. 双曲线的离心率 \(e\)：\(e = \frac{c}{a}\)其中，\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\) 是焦点到中心的距离，且 \(e > 1\)。
椭圆双曲线抛物线知识点汇总
椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、椭圆椭圆是平面内到定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点 P 的轨迹，F1、F2 称为椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|称为椭圆的焦距。
1、椭圆的标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
2、椭圆的性质范围：对于焦点在 x 轴上的椭圆，＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在 y 轴上的椭圆，＼（b ＼leq x ＼leq b\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。
对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
顶点：焦点在 x 轴上时，顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近0，椭圆越接近圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
3、椭圆的参数方程焦点在 x 轴上：＼（＼begin{cases}x ＝ a\cos\theta ＼＼ y ＝b\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数）焦点在 y 轴上：＼（＼begin{cases}x ＝ b\cos\theta ＼＼ y ＝a\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数）4、椭圆中的焦点三角形设 P 为椭圆上一点，F1、F2 为焦点，＼（＼angle F1PF2 ＝＼theta\），则三角形 PF1F2 的面积为\（S ＝ b^2\tan\frac{＼theta}｛2}＼）。
2014高考数学(文)新课标大二轮专题复习与测试课件 专题5 第2课时 椭圆、双曲线、抛物线
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大二轮专题复习与测试·数学文科 第一部分 专题五
栏目导引
x2 y2 (2)(2013· 辽宁卷)已知 F 为双曲线 C： 9 －16＝1 的左焦 点，P，Q 为 C 上的点．若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍，点 A(5,0)在线段 PQ 上，则△PQF 的周长为________．
解析： (1)由题意知椭圆焦点在 x 轴上，且 c＝1，可设 x2 y2 C 的方程为a2＋ 2 ＝1(a＞1)，由过 F2 且垂直于 x 轴的直 a －1 线被 C
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大二轮专题复习与测试·数学文科 第一部分 专题五
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牢记三种曲线的定义及性质
名称 椭圆 |PF1|＋|PF2| 定义 ＝2a(2a＞ |F1F2|) 标准方 程 x2 y2 a2＋b2＝1 (a＞b＞0) 双曲线 ||PF1|－|PF2|| ＝2a(2a＜ |F1F2|) x2 y2 a2－b2＝1 (a＞0，b＞0) 抛物线 |PF|＝|PM|点 F 不在直线 l 上， PM⊥l 于 M y2＝2px (p＞0)
3 截得的弦长|AB|＝3，知点1，2必在椭圆上，代入椭
4 2 2 2
1 圆方程化简得 4a －17a ＋4＝0，所以 a ＝4 或 a ＝4(舍 x2 y2 去)．故椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1. 4 3
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(2) 由双曲线方程知，b ＝ 4，a ＝ 3， c ＝5 ，则虚轴长为 8， 则|PQ|＝16.由左焦点F(－5,0)，且A(5,0)恰为右焦点，知线段PQ
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大二轮专题复习与测试·数学文科 第一部分 专题五
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(2)(2013· 江西卷)已知点 A(2,0)，抛物线 C：x2＝4y 的焦 点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于 点 N，则|FM|∶|MN|＝( A．2∶ 5 C．1∶ 5 ) B．1∶2 D．1∶3
2014届高考数学(文)二轮复习专题突破讲义专题五 解析汇报几何 第2讲椭圆、双曲线、抛物线
第2讲椭圆、双曲线、抛物线【高考考情解读】高考对本节知识的考查主要有以下两种形式：1.以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质考点一 圆锥曲线的定义与标准方程例1 (1)设椭圆x 22＋y 2m ＝1和双曲线y 23－x 2＝1的公共焦点分别为F 1、F 2，P 为这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值等于________．(2)已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝________. 答案 (1)3 (2)223解析 (1)焦点坐标为(0，±2)，由此得m －2＝4，故m ＝6.根据椭圆与双曲线的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝26，||PF 1|－|PF 2||＝23，两式平方相减得4|PF 1||PF 2|＝4×3，所以|PF 1|·|PF 2|＝3.(2)方法一 抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ：x ＝－2，直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)恒过定点 P (－2,0)．如图，过A 、B 分别作AM ⊥l 于点M ， BN ⊥l 于点N .由|F A |＝2|FB |，则|AM |＝2|BN |，点B 为AP 的中点． 连接OB ，则|OB |＝12|AF |，∴|OB |＝|BF |，点B 的横坐标为1， 故点B 的坐标为(1,22)． ∴k ＝22－01－(－2)＝223.方法二 如图，由图可知，BB ′＝BF ，AA ′＝AF ， 又|AF |＝2|BF |， ∴|BC ||AC |＝|BB ′||AA ′|＝12， 即B 是AC 的中点．∴⎩⎪⎨⎪⎧2x B ＝x A －2，2y B ＝y A 与 ⎩⎪⎨⎪⎧y 2A ＝8x A ，y 2B ＝8x B ，联立可得A (4,42)，B (1,22)． ∴k AB ＝42－224－1＝223.(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化． (2)注意数形结合，提倡画出合理草图．(1)(2012·)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1D.x 220＋y 25＝1 (2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ， 交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x答案 (1)D (2)C解析 (1)∵椭圆的离心率为32，∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b .∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，∴a 2＝4b 2＝20.∴椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.(2)如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定 义知，|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|， ∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|， ∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°. 连接A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形， 过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于N ，则|NF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.考点二 圆锥曲线的几何性质例2 (1)(2013·)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线的离心率e 的最大值为________． 答案 (1)B (2)53解析 (1)在△ABF 中，由余弦定理得 |AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB |·|BF |cos ∠ABF ，∴|AF |2＝100＋64－128＝36，∴|AF |＝6， 从而|AB |2＝|AF |2＋|BF |2，则AF ⊥BF . ∴c ＝|OF |＝12|AB |＝5，利用椭圆的对称性，设F ′为右焦点， 则|BF ′|＝|AF |＝6，∴2a ＝|BF |＋|BF ′|＝14，a ＝7. 因此椭圆的离心率e ＝c a ＝57.(2)设∠F 1PF 2＝θ，由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4|PF 2|得⎩⎨⎧|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a ，由余弦定理得cos θ＝17a 2－9c 28a 2＝178－98e 2.∵θ∈(0,180°]，∴cos θ∈[－1,1)，－1≤178－98e 2<1，又e >1，∴1<e ≤53.解决椭圆和双曲线的离心率的求值及围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的围等．(1)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且B F →＝2 F D →，则C 的离心率为________．(2)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________． 答案 (1)33 (2)102解析 (1)设椭圆C 的焦点在x 轴上，如图，B (0，b )， F (c,0)，D (x D ，y D )， 则B F →＝(c ，－b )， F D →＝(x D －c ，y D )， ∵B F →＝2F D →，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2(x D －c )，－b ＝2y D， ∴⎩⎨⎧x D ＝3c 2，y D＝－b2.又∵点D 在椭圆C 上，∴⎝⎛⎭⎫3c 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－b 22b 2＝1，即e 2＝13.∴e ＝33.(2)设c ＝a 2＋b 2，双曲线的右焦点为F ′. 则|PF |－|PF ′|＝2a ，|FF ′|＝2c .∵E 为PF 的中点，O 为FF ′的中点， ∴OE ∥PF ′，且|PF ′|＝2|OE |. ∵OE ⊥PF ，|OE |＝a2，∴PF ⊥PF ′，|PF ′|＝a ， ∴|PF |＝|PF ′|＋2a ＝3a . ∵|PF |2＋|PF ′|2＝|FF ′|2， ∴9a 2＋a 2＝4c 2，∴c a ＝102.∴双曲线的离心率为102. 考点三 直线与圆锥曲线的位置关系例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，点F 为椭圆的右焦点，点A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，点M 为椭 圆的上顶点，且满足MF →·FB →＝2－1. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，当直线l 交椭圆于P 、Q 两点时，使点F 恰为△PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)根据题意得，F (c,0)(c >0)，A (－a,0)，B (a,0)，M (0，b )， ∴MF →＝(c ，－b )，FB →＝(a －c,0)， ∴MF →·FB →＝ac －c 2＝2－1.又e ＝c a ＝22，∴a ＝2c ，∴2c 2－c 2＝2－1，∴c 2＝1，a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在满足条件的直线l . ∵k MF ＝－1，且MF ⊥l ，∴k l ＝1.设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 22＋y 2＝1消去y 得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0， 则有Δ＝16m 2－12(2m 2－2)>0，即m 2<3，又x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝2m 2－23，∴y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2 ＝2m 2－23－4m 23＋m 2＝m 2－23.又F 为△MPQ 的垂心，连接PF ，则PF ⊥MQ ， ∴PF →·MQ →＝0，又PF →＝(1－x 1，－y 1)，MQ →＝(x 2，y 2－1)， ∴PF →·MQ →＝x 2＋y 1－x 1x 2－y 1y 2 ＝x 2＋x 1＋m －x 1x 2－y 1y 2 ＝－43m ＋m －2m 2－23－m 2－23＝－m 2－m 3＋43＝－13(3m 2＋m －4)＝－13(3m ＋4)(m －1)＝0，∴m ＝－43或m ＝1(舍去)，经检验m ＝－43符合条件，∴存在满足条件的直线l ，其方程为3x －3y －4＝0.(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ≥0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．(2)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2013·)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 解 (1)由椭圆W ：x 24＋y 2＝1，知B (2,0)∴线段OB 的垂直平分线x ＝1. 在菱形OABC 中，AC ⊥OB ， 将x ＝1代入x 24＋y 2＝1，得y ＝±32.∴|AC |＝|y 2－y 1|＝ 3.因此菱形的面积S ＝12|OB |·|AC |＝12×2×3＝ 3.(2)假设四边形OABC 为菱形．因点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2. ∴线段AC 中点M ⎝⎛⎭⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2，∵M 为AC 和OB 交点，∴k OB ＝－14k.又k ·⎝⎛⎭⎫－14k ＝－14≠－1， ∴AC 与OB 不垂直．故OABC 不是菱形，这与假设矛盾． 综上，四边形OABC 不是菱形．1． 对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础．2． 椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A 、B 是不等的常数，A >B >0时，表示焦点在y 轴上的椭圆；B >A >0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB <0时表示双曲线．3． 求双曲线、椭圆的离心率的方法：方法一：直接求出a ，c ，计算e ＝ca；方法二：根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca.4． 通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为2b 2a ，过椭圆焦点的弦径最短；抛物线通径长是2p ，过抛物线焦点的弦径最短．椭圆上点到焦点的最长距离为a ＋c ，最短距离为a －c . 5． 抛物线焦点弦性质：已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3)S △AOB ＝p 22sin α；(4)1|F A |＋1|FB |为定值2p； (5)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.1． 已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2,1＋2)答案 B解析 由AB⊥x 轴，可知△ABE 为等腰三角形，又△ABE 是锐角三角形，所以∠AEB 为锐角，即∠AEF <45°，于是|AF |<|EF |，b 2a <a ＋c ，于是c 2－a 2<a 2＋ac ，即e 2－e －2<0，解得－1<e <2.又双曲线的离心率e >1，从而1<e <2.2． 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能答案 A解析 ∵x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－c a.∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a 2＋2c a ＝b 2＋2ac a 2.∵e ＝c a ＝12，∴c ＝12a ，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫12a 2＝34a 2. ∴x 21＋x 22＝34a 2＋2a ×12a a 2＝74<2. ∴P (x 1，x 2)在圆x 2＋y 2＝2．(推荐时间：70分钟)一、选择题1． (2013·课标全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x答案 C解析 由题意知：F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p2，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p 2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝⎛⎭⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝⎛⎭⎫5－p2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ，故选C. 2． 与椭圆x 212＋y 216＝1共焦点，离心率互为倒数的双曲线方程是( )A ．y 2－x 23＝1 B.y 23－x 2＝1 C.3x 24－3y 28＝1D.3y 24－3x 28＝1 答案 A解析 椭圆x 212＋y 216＝1的离心率为16－1216＝12，且焦点为(0，±2)，所以所求双曲线的焦点为(0，±2)且离心率为2，所以c ＝2，2a ＝2得a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝3，故所求双曲线方程是y 2－x 23＝1. 3． (2013·)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |等于( )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3 答案 C解析 由抛物线定义知M 到F 的距离等于M 到准线l 的距离MH . 即|FM |∶|MN |＝|MH |∶|MN | ＝|FO |∶|AF |＝1∶ 5.4． 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F ，作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM 交y 轴于点P ，切圆于点M,2OM →＝OF →＋OP →，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C ．2D. 5答案 A解析 由已知条件知，点M 为直三角形OFP 斜边PF 的中点，故OF ＝2OM ，即c ＝2a ，所以双曲线的离心率为 2.5． (2013·)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p 等于( ) A.316B.38C.233D.433答案 D解析 抛物线C 1的标准方程为x 2＝2py ，其焦点F 为⎝⎛⎭⎫0，p2，双曲线C 2的右焦点F ′为(2,0)，渐近线方程为y ＝±33x .由y ′＝1p x ＝33得x ＝33p ，故M ⎝⎛⎭⎫33p ，p6.由F 、F ′、M 三点共线得p ＝433.6． 椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且PF →1·PF→2的最大值的取值围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值围是( )A ．[14，12]B ．[12，22]C ．(22，1)D ．[12，1)答案 B解析 设P (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 则PF →1＝(－c －x ，－y )，PF →2＝(c －x ，－y )， PF →1·PF →2＝x 2＋y 2－c 2.又x 2＋y 2可看作P (x ，y )到原点的距离的平方， 所以(x 2＋y 2)max ＝a 2，所以(PF 2→·PF 2→)max ＝b 2， 所以c 2≤b 2＝a 2－c 2≤3c 2，即14≤e 2≤12，所以12≤e ≤22.故选B.二、填空题7． (2012·)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________． 答案 2解析 建立关于m 的方程求解． ∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5，∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2.8． (2013·)椭圆Г：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________． 答案3－1解析 由直线方程为y ＝3(x ＋c )， 知∠MF 1F 2＝60°， 又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1， 所以∠MF 2F 1＝30°， MF 1⊥MF 2，所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c 所以|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a . 即e ＝ca＝3－1.9． (2013·)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 答案 44解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5， ∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点， 且|PQ |＝|QA |＋|P A |＝4b ＝16，由双曲线定义，|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6. ∴|PF |＋|QF |＝12＋|P A |＋|QA |＝28， 因此△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.10．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为________． 答案 7解析 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7. 三、解答题11．(2013·课标全国Ⅱ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 21a 2＋y 21b 2＝1 ① x 22a 2＋y 22b2＝1②①－②，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0.因为y 1－y 2x 1－x 2＝－1，设P (x 0，y 0)，因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，所以y 0＝12x 0，即y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)．所以可以解得a 2＝2b 2，即a 2＝2(a 2－c 2)，即a 2＝2c 2， 又因为c ＝3，所以a 2＝6， 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)因为CD ⊥AB ，直线AB 方程为x ＋y －3＝0， 所以设直线CD 方程为y ＝x ＋m ， 将x ＋y －3＝0代入x 26＋y 23＝1得：3x 2－43x ＝0，即A (0，3)，B ⎝⎛⎭⎫433，－33， 所以可得|AB |＝463； 将y ＝x ＋m 代入x 26＋y 23＝1得：3x 2＋4mx ＋2m 2－6＝0， 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则|CD |＝2(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝22318－2m 2，又因为Δ＝16m 2－12(2m 2－6)>0，即－3<m <3，所以当m ＝0时，|CD |取得最大值4，所以四边形ACBD 面积的最大值为12|AB |·|CD |＝863.12．(2013·)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A 、PB 、PM 的斜率分别为k 1、k 2、k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解 (1)由P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆x 2a 2＋y2b2＝1上，得 1a 2＋94b2＝1， ① 又e ＝c a ＝12，得a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，②②代入①得，c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)x 24＋y 23＝1得，(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝k (x 1－1)－32x 1－1＋k (x 2－1)－32x 2－1＝2k －32⎝⎛⎭⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝2k －32·8k 24k 2＋3－24k 2－124k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1＝2k －1.又将x ＝4代入y ＝k (x －1)得M (4,3k )， ∴k 3＝3k －323＝k －12，∴k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意．13．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其一个顶点的抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标；(3)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，且满足P A →·PB →＝ PM →2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在， 故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1 (k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝k (x －2)＋1得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0. ①因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0. 整理，得32(6k ＋3)＝0，解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32. (3)若存在直线l 1满足条件，则直线l 1的斜率存在，设其方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)>0.所以k 1>－12.x 1＋x 2＝8k 1(2k 1－1)3＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21.因为P A →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54， 所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 21)＝54， 即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54. 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 1(2k 1－1)3＋4k 21＋4(1＋k 21) ＝4＋4k 213＋4k 21＝54， 解得k 1＝±12. 因为A ，B 为不同的两点，所以k 1＝12. 于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .。
双曲线椭圆抛物线知识总结
双曲线椭圆抛物线知识总结双曲线、椭圆和抛物线是二次曲线的三种特殊情况。
它们在数学和物理等领域中有广泛应用，下面是它们的一些基本特点和公式总结。
1. 双曲线：- 定义：双曲线是平面上一组点，使得到两个固定点的距离之差等于一个常数的点的轨迹。
- 方程：标准方程为(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1，其中a和b为正常数。
- 焦点和准线：双曲线有两个焦点和两条准线。
焦点是曲线上的特殊点，准线是曲线上的两条无限远直线。
- 对称轴和顶点：双曲线有对称轴和顶点。
对称轴是曲线的对称中线，顶点是曲线的极值点。
- 对称性：双曲线是关于对称轴对称的，即左右对称。
2. 椭圆：- 定义：椭圆是平面上一组点，使得到两个固定点的距离之和等于一个常数的点的轨迹。
- 方程：标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b为正常数。
- 焦点和准线：椭圆有两个焦点和两条准线。
焦点是曲线上的特殊点，准线是曲线上的两条无限远直线。
- 对称轴和顶点：椭圆有对称轴和顶点。
对称轴是曲线的对称中线，顶点是曲线的极值点。
- 对称性：椭圆是关于对称轴对称的，即左右对称。
3. 抛物线：- 定义：抛物线是平面上一组点，使得到一个固定点的距离与到一条固定直线的距离相等的点的轨迹。
- 方程：标准方程为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，a ≠ 0。
- 焦点和准线：抛物线有一个焦点和一条准线。
焦点是曲线上的特殊点，准线是曲线上的无限远直线。
- 对称轴和顶点：抛物线有对称轴和顶点。
对称轴是曲线的对称中线，顶点是曲线的极值点。
- 对称性：抛物线是关于对称轴对称的，即左右对称。
以上是双曲线、椭圆和抛物线的基本知识总结，它们的性质和公式还有更多深入的内容，如离心率、焦距、直径等，可作为进一步学习的参考。
【优化方案】2014届高考数学二轮复习 专题6第2讲椭圆、双曲线、抛物线课件 新人教版
两个焦点为(－1,0)，(1,0)．
(1)求椭圆C的方程； (2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率 与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值， 并求出这个定值．
x2 y2 解：(1)由题意知 c＝1.可设椭圆方程为 ＋ 2＝1. 1＋b2 b 1 9 因为 A 在椭圆 C 上，所以 ＋ 2＝1. 1＋b2 4b 3 2 2 解得 b ＝3，b ＝－4(舍去)． x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 4 ＋ 3 ＝1. 3 (2)证明：设直线 AE 的方程为 y＝k(x－1)＋2. x2 y2 代入 4 ＋ 3 ＝1 得 3 2 2 (3＋4k )x ＋4k(3－2k)x＋4(2－k)2－12＝0.
变式训练 2．(1)(2010年高考陕西卷)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的 准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为(
1 A. 2
)
B．1
C．2
D．4
解析： C.由抛物线的标准方程得准线方程为 x＝ 选 p －2.由 x2＋y2－6x－7＝0 得(x－3)2＋y2＝16. p ∵准线与圆相切，∴3＋2＝4，∴p＝2.
k2＋2 2 (2)由(1)知 M( k2 ，k)，N(2k2＋1，－2k)． k2＋2 2 2 2 ∴|MN|＝ k2 －2k －1 ＋k＋2k2 1 1 12 1 4 2 2 2 ＝2 k ＋k4＋k ＋k2＝2 k ＋k2 ＋k ＋k2－2 1 12 9 12 9 2 ＝2 k ＋k2＋2 －4≥2 2＋2 －4＝4. 1 当且仅当 k2＝k2，即 k＝± 时，上式取等号， 1 此时|MN|的最小值是 4.
变式训练
4． 已知椭圆的焦点在 x 轴上， 它的一个顶点恰好是抛 2 2 物线 x ＝4y 的焦点，离心率 e＝ ，过椭圆的右焦点 5 F 作与坐标轴不垂直的直线 l，交椭圆于 A、B 两点． (1)求椭圆的标准方程； → → (2)设点 M(m,0)是线段 OF 上的一个动点， 且(MA＋MB) → ⊥AB，求 m 的取值范围．
高考数学二轮复习名师知识点总结：椭圆、双曲线、抛物线[ 高考]
椭圆、双曲线、抛物线高考对本节知识的考查主要有以下两种形式：1.以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质考点一 圆锥曲线的定义与标准方程例1 (1)设椭圆x 22＋y 2m ＝1和双曲线y 23－x 2＝1的公共焦点分别为F 1、F 2，P 为这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值等于________．(2)已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝________. 答案 (1)3 (2)223解析 (1)焦点坐标为(0，±2)，由此得m －2＝4，故m ＝6.根据椭圆与双曲线的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝26，||PF 1|－|PF 2||＝23，两式平方相减得4|PF 1||PF 2|＝4×3，所以|PF 1|·|PF 2|＝3.(2)方法一 抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ：x ＝－2，直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)恒过定点 P (－2,0)．如图，过A 、B 分别作AM ⊥l 于点M ， BN ⊥l 于点N .由|F A |＝2|FB |，则|AM |＝2|BN |，点B 为AP 的中点． 连接OB ，则|OB |＝12|AF |，∴|OB |＝|BF |，点B 的横坐标为1， 故点B 的坐标为(1,22)． ∴k ＝22－01－(－2)＝223.方法二 如图，由图可知，BB ′＝BF ，AA ′＝AF ，又|AF |＝2|BF |， ∴|BC ||AC |＝|BB ′||AA ′|＝12， 即B 是AC 的中点．∴⎩⎪⎨⎪⎧2x B ＝x A －2，2y B ＝y A 与 ⎩⎪⎨⎪⎧y 2A ＝8x A ，y 2B ＝8x B， 联立可得A (4,42)，B (1,22)．∴k AB ＝42－224－1＝223.(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化． (2)注意数形结合，提倡画出合理草图．(1)(2012·山东)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1D.x 220＋y 25＝1(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ， 交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x答案 (1)D (2)C解析 (1)∵椭圆的离心率为32，∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b .∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，∴a 2＝4b 2＝20.∴椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.(2)如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定 义知，|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|， ∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|， ∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°. 连接A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形， 过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于N ，则|NF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.考点二 圆锥曲线的几何性质例2 (1)(2013·辽宁)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线的离心率e 的最大值为________． 答案 (1)B (2)53解析 (1)在△ABF 中，由余弦定理得 |AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB |·|BF |cos ∠ABF ， ∴|AF |2＝100＋64－128＝36，∴|AF |＝6， 从而|AB |2＝|AF |2＋|BF |2，则AF ⊥BF . ∴c ＝|OF |＝12|AB |＝5，利用椭圆的对称性，设F ′为右焦点， 则|BF ′|＝|AF |＝6，∴2a ＝|BF |＋|BF ′|＝14，a ＝7. 因此椭圆的离心率e ＝c a ＝57.(2)设∠F 1PF 2＝θ，由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4|PF 2|得⎩⎨⎧|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a ，由余弦定理得cos θ＝17a 2－9c 28a 2＝178－98e 2.∵θ∈(0,180°]，∴cos θ∈[－1,1)，－1≤178－98e 2<1，又e >1，∴1<e ≤53.解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．(1)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且B F →＝2 F D →，则C 的离心率为________．(2)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________． 答案 (1)33 (2)102解析 (1)设椭圆C 的焦点在x 轴上，如图，B (0，b )， F (c,0)，D (x D ，y D )， 则B F →＝(c ，－b )， F D →＝(x D －c ，y D )， ∵B F →＝2F D →，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2(x D －c )，－b ＝2y D， ∴⎩⎨⎧x D ＝3c 2，y D＝－b2.又∵点D 在椭圆C 上，∴⎝⎛⎭⎫3c 22a2＋⎝⎛⎭⎫－b 22b2＝1，即e 2＝13.∴e ＝33.(2)设c ＝a 2＋b 2，双曲线的右焦点为F ′. 则|PF |－|PF ′|＝2a ，|FF ′|＝2c . ∵E 为PF 的中点，O 为FF ′的中点， ∴OE ∥PF ′，且|PF ′|＝2|OE |. ∵OE ⊥PF ，|OE |＝a2，∴PF ⊥PF ′，|PF ′|＝a ， ∴|PF |＝|PF ′|＋2a ＝3a . ∵|PF |2＋|PF ′|2＝|FF ′|2， ∴9a 2＋a 2＝4c 2，∴c a ＝102.∴双曲线的离心率为102.考点三 直线与圆锥曲线的位置关系例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，点F 为椭圆的右焦点，点A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，点M 为椭 圆的上顶点，且满足MF →·FB →＝2－1. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，当直线l 交椭圆于P 、Q 两点时，使点F 恰为△PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)根据题意得，F (c,0)(c >0)，A (－a,0)，B (a,0)，M (0，b )， ∴MF →＝(c ，－b )，FB →＝(a －c,0)， ∴MF →·FB →＝ac －c 2＝2－1.又e ＝c a ＝22，∴a ＝2c ，∴2c 2－c 2＝2－1，∴c 2＝1，a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在满足条件的直线l . ∵k MF ＝－1，且MF ⊥l ，∴k l ＝1.设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 22＋y 2＝1 消去y 得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0， 则有Δ＝16m 2－12(2m 2－2)>0，即m 2<3， 又x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝2m 2－23，∴y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝2m 2－23－4m 23＋m 2＝m 2－23. 又F 为△MPQ 的垂心，连接PF ，则PF ⊥MQ ， ∴PF →·MQ →＝0，又PF →＝(1－x 1，－y 1)，MQ →＝(x 2，y 2－1)， ∴PF →·MQ →＝x 2＋y 1－x 1x 2－y 1y 2 ＝x 2＋x 1＋m －x 1x 2－y 1y 2＝－43m ＋m －2m 2－23－m 2－23＝－m 2－m 3＋43＝－13(3m 2＋m －4)＝－13(3m ＋4)(m －1)＝0，∴m ＝－43或m ＝1(舍去)，经检验m ＝－43符合条件，∴存在满足条件的直线l ，其方程为3x －3y －4＝0.(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ≥0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交． (2)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2013·北京)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 解 (1)由椭圆W ：x 24＋y 2＝1，知B (2,0)∴线段OB 的垂直平分线x ＝1. 在菱形OABC 中，AC ⊥OB ， 将x ＝1代入x 24＋y 2＝1，得y ＝±32.∴|AC |＝|y 2－y 1|＝ 3.因此菱形的面积S ＝12|OB |·|AC |＝12×2×3＝ 3.(2)假设四边形OABC 为菱形．因点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2.∴线段AC 中点M ⎝⎛⎭⎫－4km 1＋4k 2，m1＋4k 2，∵M 为AC 和OB 交点，∴k OB ＝－14k.又k ·⎝⎛⎭⎫－14k ＝－14≠－1， ∴AC 与OB 不垂直．故OABC 不是菱形，这与假设矛盾． 综上，四边形OABC 不是菱形．1． 对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础．2． 椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A 、B 是不等的常数，A >B >0时，表示焦点在y 轴上的椭圆；B >A >0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB <0时表示双曲线．3． 求双曲线、椭圆的离心率的方法：方法一：直接求出a ，c ，计算e ＝ca；方法二：根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca.4． 通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为2b 2a ，过椭圆焦点的弦中通径最短；抛物线通径长是2p ，过抛物线焦点的弦中通径最短．椭圆上点到焦点的最长距离为a ＋c ，最短距离为a －c . 5． 抛物线焦点弦性质：已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦， F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3)S △AOB ＝p 22sin α；(4)1|F A |＋1|FB |为定值2p； (5)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.1． 已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2,1＋2)答案 B解析 由AB ⊥x 轴，可知△ABE 为等腰三角形，又△ABE 是锐角三角形，所以∠AEB 为锐角，即∠AEF <45°，于是|AF |<|EF |，b 2a <a ＋c ，于是c 2－a 2<a 2＋ac ，即e 2－e －2<0，解得－1<e <2.又双曲线的离心率e >1，从而1<e <2.2． 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2) ( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能答案 A解析 ∵x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－c a.∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a 2＋2c a ＝b 2＋2ac a2. ∵e ＝c a ＝12，∴c ＝12a ，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫12a 2＝34a 2. ∴x 21＋x 22＝34a 2＋2a ×12a a 2＝74<2. ∴P (x 1，x 2)在圆x 2＋y 2＝2内．(推荐时间：70分钟)一、选择题1． (2013·课标全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x答案 C解析 由题意知：F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p2，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p 2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝⎛⎭⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝⎛⎭⎫5－p2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ，故选C. 2． 与椭圆x 212＋y 216＝1共焦点，离心率互为倒数的双曲线方程是( )A ．y 2－x 23＝1B.y 23－x 2＝1 C.3x 24－3y 28＝1D.3y 24－3x 28＝1 答案 A解析 椭圆x 212＋y 216＝1的离心率为16－1216＝12，且焦点为(0，±2)，所以所求双曲线的焦点为(0，±2)且离心率为2，所以c ＝2，2a ＝2得a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝3，故所求双曲线方程是y 2－x 23＝1.3． (2013·江西)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |等于( )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3 答案 C解析 由抛物线定义知M 到F 的距离等于M 到准线l 的距离MH . 即|FM |∶|MN |＝|MH |∶|MN | ＝|FO |∶|AF |＝1∶ 5.4． 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F ，作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM 交y 轴于点P ，切圆于点M,2OM →＝OF →＋OP →，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C ．2D. 5答案 A解析 由已知条件知，点M 为直三角形OFP 斜边PF 的中点，故OF ＝2OM ，即c ＝2a ，所以双曲线的离心率为 2.5． (2013·山东)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p 等于( ) A.316B.38C.233D.433答案 D解析 抛物线C 1的标准方程为x 2＝2py ，其焦点F 为⎝⎛⎭⎫0，p2，双曲线C 2的右焦点F ′为(2,0)，渐近线方程为y ＝±33x .由y ′＝1p x ＝33得x ＝33p ，故M ⎝⎛⎭⎫33p ，p6.由F 、F ′、M 三点共线得p ＝433.6． 椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且PF →1·PF→2的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是( )A ．[14，12]B ．[12，22]C ．(22，1)D ．[12，1)答案 B解析 设P (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 则PF →1＝(－c －x ，－y )，PF →2＝(c －x ，－y )， PF →1·PF →2＝x 2＋y 2－c 2.又x 2＋y 2可看作P (x ，y )到原点的距离的平方， 所以(x 2＋y 2)max ＝a 2，所以(PF 2→·PF 2→)max ＝b 2， 所以c 2≤b 2＝a 2－c 2≤3c 2，即14≤e 2≤12，所以12≤e ≤22.故选B.二、填空题7． (2012·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________． 答案 2解析 建立关于m 的方程求解． ∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m ＝5，∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2.8． (2013·福建)椭圆Г：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y＝3(x ＋c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________． 答案3－1解析 由直线方程为y ＝3(x ＋c )， 知∠MF 1F 2＝60°， 又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1， 所以∠MF 2F 1＝30°， MF 1⊥MF 2，所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c 所以|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a . 即e ＝ca＝3－1.9． (2013·辽宁)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 答案 44解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5， ∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点， 且|PQ |＝|QA |＋|P A |＝4b ＝16，由双曲线定义，|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6. ∴|PF |＋|QF |＝12＋|P A |＋|QA |＝28， 因此△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.10．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为________． 答案 7解析 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7. 三、解答题11．(2013·课标全国Ⅱ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 21a 2＋y 21b 2＝1 ① x 22a 2＋y 22b2＝1②①－②，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0.因为y 1－y 2x 1－x 2＝－1，设P (x 0，y 0)，因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，所以y 0＝12x 0，即y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)．所以可以解得a 2＝2b 2，即a 2＝2(a 2－c 2)，即a 2＝2c 2， 又因为c ＝3，所以a 2＝6， 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)因为CD ⊥AB ，直线AB 方程为x ＋y －3＝0， 所以设直线CD 方程为y ＝x ＋m ， 将x ＋y －3＝0代入x 26＋y 23＝1得：3x 2－43x ＝0，即A (0，3)，B ⎝⎛⎭⎫433，－33， 所以可得|AB |＝463； 将y ＝x ＋m 代入x 26＋y 23＝1得：3x 2＋4mx ＋2m 2－6＝0， 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则|CD |＝2(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝22318－2m 2，又因为Δ＝16m 2－12(2m 2－6)>0，即－3<m <3，所以当m ＝0时，|CD |取得最大值4，所以四边形ACBD 面积的最大值为12|AB |·|CD |＝863.12．(2013·江西)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A 、PB 、PM 的斜率分别为k 1、k 2、k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解 (1)由P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1上，得 1a 2＋94b 2＝1，① 又e ＝c a ＝12，得a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，②②代入①得，c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)x 24＋y 23＝1得，(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝k (x 1－1)－32x 1－1＋k (x 2－1)－32x 2－1＝2k －32⎝⎛⎭⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝2k －32·8k 24k 2＋3－24k 2－124k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1＝2k －1.又将x ＝4代入y ＝k (x －1)得M (4,3k )， ∴k 3＝3k －323＝k －12，∴k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意．13．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其一个顶点的抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标；(3)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，且满足P A →·PB →＝ PM →2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在， 故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1 (k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝k (x －2)＋1得(3＋4k 2) x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0. ①因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0. 整理，得32(6k ＋3)＝0，解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32. (3)若存在直线l 1满足条件，则直线l 1的斜率存在，设其方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)>0.所以k 1>－12.x 1＋x 2＝8k 1(2k 1－1)3＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21.因为P A →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 21)＝54， 即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54. 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 1(2k 1－1)3＋4k 21＋4(1＋k 21) ＝4＋4k 213＋4k 21＝54， 解得k 1＝±12.因为A ，B 为不同的两点，所以k 1＝12.于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .。
高考数学椭圆、双曲线、抛物线的重点知识归纳和常用结论
高考数学椭圆、双曲线、抛物线的重点知识归纳和常用结论
椭圆方程的第一定义：
⑴①椭圆的标准方程：
i. 中心在原点，焦点在x轴上：. ii. 中心在原点，焦点在轴上：. ②一般方程：.③椭圆的标准参数方程：的参数方程为（一象限应是属于）.
⑵①顶点：或.②轴：对称轴：x轴，轴；长轴长，短轴长.③焦点：或.④焦距：.⑤准线：或.⑥离心率：.⑦焦点半径：
i. 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则
由椭圆方程的第二定义可以推出.
ii.设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则
由椭圆方程的第二定义可以推出.
由椭圆第二定义可知：归结起来为“左加右减”.
注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆.
⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和
⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.
⑸若P是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（用余弦定理与可得）. 若是双曲线，则面积为.
01
椭圆及其标准方程
02
椭圆的简单几何性质。
2014高考数学理(真题讲练 规律总结 名师押题)热点专题突破：第十六讲 椭圆、双曲线与抛物线
第十六讲 椭圆、双曲线与抛物线曲线与方程曲线与方程求曲线与方程椭圆椭圆的定义与几何图形椭圆的几何性质椭圆的标准方程双曲线双曲线的定义与几何图形双曲线的几何性质双曲线的标准方程抛物线抛物线的定义与几何图形抛物线的几何性质抛物线的标准方程1．(椭圆的标准方程)(2013·广东高考)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1D.x 24＋y 23＝1 【解析】 右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1.又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，故选D.【答案】 D2．(双曲线的性质)(2013·福建高考)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.25B.45C.255D.455【解析】 双曲线的渐近线为直线y ＝±12x ，即x ±2y ＝0，顶点为(±2,0)，∴所求距离为d ＝|±2±0|5＝255.【答案】 C3．(抛物线定义)(2013·江西高考)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |＝( )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3【解析】 如图所示，由抛物线定义知|MF |＝|MH |，所以|MF |∶|MN |＝|MH |∶|MN |.由于△MHN ∽△FOA ，则|MH ||HN |＝|OF ||OA |＝12，则|MH |∶|MN |＝1∶5， 即|MF |∶|MN |＝1∶ 5. 【答案】 C4．(椭圆的定义与性质)(2013·辽宁高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝__________. 【解析】 设椭圆的右焦点为F 1，因为直线过原点，所以|AF |＝|BF 1|＝6，|BO |＝|AO |.在△ABF 中，设|BF |＝x ，由余弦定理得36＝100＋x 2－2×10x ×45，解得x ＝8，即|BF |＝8.所以∠BF A ＝90°，所以△ABF 是直角三角形，所以2a ＝6＋8＝14，即a ＝7.又因为在Rt △ABF 中，|BO |＝|AO |，所以|OF |＝12|AB |＝5，即c ＝5.所以e ＝57.【答案】 575．(圆锥曲线的应用)(2013·天津高考改编)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________.【解析】 由已知得c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，解得ba ＝3，即渐近线方程为y ＝±3x .而抛物线准线方程为x ＝－p 2，于是A ⎝⎛⎭⎫－p 2，－3p 2，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，3p 2，从而△AOB 的面积为12·3p ·p 2＝3，可得p ＝2.【答案】 2(2013·课标全国卷Ⅰ)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P 、圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.【思路点拨】 (1)第(1)问，注意到圆M 与圆N 的圆心关于原点对称，暗示曲线C 可解是椭圆或双曲线．依据两圆的位置关系的几何性质建立关系式，利用定义求曲线C 的方程．(2)在第(2)问中，先求圆P 的方程，然后利用直线l 与圆相切，求出直线l 的方程，进而求弦AB 的长．【自主解答】 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切， 所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2，所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP ||QM |＝R r 1，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y＝k (x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k |1＋k2＝1，解得k ＝±24. 当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝－4±627，所以|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187.当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝23或|AB |＝187.1．(1)本题易出现两点错误：①利用定义求曲线C ，不能剔除点(－2,0)；②求弦AB 的长，忽视斜率的讨论，遗漏|AB |＝2 3.(2)求解第(2)问的关键有两点：①求圆P 的方程；②利用坐标法，解方程组，灵活利用弦长公式．2．求椭圆的标准方程，常用定义和待定系数法．确定椭圆的标准方程，需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值．运用待定系数法时，常结合椭圆性质、已知条件，列关于a ，b ，c 的方程．变式训练1 (1)(2013·辽宁高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．(2)(2013·陕西高考)已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍．①求动点M 的轨迹C 的方程；②过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率． 【解】 (1)由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5,0)，且A (5,0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF |－|P A |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得，|PF |＋|QF |－(|P A |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.【答案】 44图a(2)①如图a ，设点M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN |，由此得|4－x | ＝2(x －1)2＋y 2， 化简得x 24＋y 23＝1，∴动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.②由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如图b.图b将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 23＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0.其中Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)>0， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－24k3＋4k 2，①x 1x 2＝243＋4k 2.② 又A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1.③ 将③代入①②，得x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k 2， 可得⎝⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k 2，且k 2>32，解得k ＝－32或k ＝32，∴直线m 的斜率为－32或32.(1)(2013·课标全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x(2)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.【思路点拨】 (1)由离心率的概念得a ，c 之间的关系，转化为a ，b 之间的关系，从而求出其渐近线方程．(2)注意到△ABF 为等边三角形和双曲线的对称性，用p 表示点A (或B )的坐标，代入双曲线方程，求p 的值．【自主解答】 (1)由e ＝52，得c a ＝52，∴c ＝52a ，b ＝c 2－a 2＝12a . 而x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ， ∴所求渐近线方程为y ＝±12x .(2)由于x 2＝2py (p >0)的准线为y ＝－p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p 2，x 2－y 2＝3，解得准线与双曲线x 2－y 2＝3的交点为A ⎝⎛⎭⎫－3＋14p 2，－p 2，B ⎝⎛⎭⎫3＋14p 2，－p 2，所以|AB |＝23＋14p 2.由△ABF 为等边三角形，得32|AB |＝p ，解得p ＝6. 【答案】 (1)C (2)61．第(2)题充分注意到双曲线与△ABF 的对称性，数形结合，巧求点B 的坐标，优化了解题过程．2．求椭圆、双曲线的离心率：一是利用定义、方程、性质求出a ，c ，进而求e ；二是运用条件构建关系a ，c 的齐次方程，变形求e .变式训练2 (2013·湖南高考)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点．P是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．【解析】 由双曲线定义，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ， ∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理，得 |PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|cos 30°， 化简得3a 2－23ac ＋c 2＝0，则3a －c ＝0. ∴双曲线的离心率e ＝ca ＝ 3.【答案】3在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )(a ＞b ＞0)为动点 ，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的左、右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．【思路点拨】 ①在△F 1PF 2中，可知|PF 2|＝|F 1F 2|，从而得关于a ，c 的方程，求离心率e .②设动点M (x ，y )，进而表示向量AM →，BM →，依条件AM →·BM →＝－2，求得轨迹方程．【自主解答】 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)．由题意，可得|PF 2|＝|F 1F 2|，即(a －c )2＋b 2＝2c ，整理得2(c a )2＋c a －1＝0，得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝12.(2)由(1)知，a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ).消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，或⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A (85c ，335c )，B (0，－3c )．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝(x －85c ，y －335c )，BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y . 于是AM →＝(8315y －35x ，85y －335x )，BM →＝(x ，3x )．由AM →·BM →＝－2，即(8315y －35x )·x ＋(85y －335x )·3x ＝－2，化简得18x 2－163xy －15＝0.将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x＞0，所以x ＞0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x ＞0)．1．求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线，则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解；否则利用直接法或代入法．2．讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，要注意字母的取值范围．变式训练3 (2013·辽宁高考)如图5－2－1，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p >0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.图5－2－1(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重 合于O 时，中点为O )．【解】 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA的斜率为－12，所以A 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，14，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14. 因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是 y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，①y 0＝－(1－2)22p ＝－3－222p .②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 224，x 1≠x 2，由N 为线段AB 中点知x ＝x 1＋x 22，③ y ＝x 21＋x 228.④切线MA ，MB 的方程为 y ＝x 12(x －x 1)＋x 214，⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为 x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝43y .因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝43y .从近两年的高考看，抛物线的定义、标准方程及几何性质是高考的热点，且常以选择题、填空题的形式出现，属中档题目．有时与圆、向量等综合交汇，考查定点、定(最)值、或开放性问题，以解答题的形式出现，突出数学思想与创新探究能力考查．抛物线中定点问题的求解策略(12分)如图5－2－2，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ，证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．【规范解答】 (1)依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°， 设B (x ，y )，∠BOx ＝60°，由三角函数定义 x ＝|OB |cos 60°＝43，y ＝|OB |sin 60°＝12，2分因为点B (43，12)在x 2＝2py 上， 所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2. 故抛物线E 的方程为x 2＝4y .4分(2)由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，k l ＝12x 0. ∴直线l ：y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.6分由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q (x 20－42x 0，－1)．设M (0，y 1)，若以|PQ |为直径的圆恒过定点M ，则MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．8分由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝(x 20－42x 0，－1－y 1)，由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0. (*) 10分由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0， 解之得y 1＝1.故以|PQ |为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)． 12分【阅卷心语】易错提示 (1)不会运用等边三角形及抛物线的对称性而错误表达B 点坐标，导致错求p 值 .(2)不能正确运用导数工具表示切线方程，求出Q 点坐标思维受阻，或表示出P ，Q 点坐标后不能把|PQ |为直径的条件转化为MP →·MQ →＝0恒成立来正确求出定点M 的坐标．防范措施 (1)强化知识间交汇转化训练，对于圆锥曲线的切线问题，应重视导数的工具作用．(2)①充分利用圆的几何性质，重视向量数量积在解决垂直关系中的转化作用；②对于定点的探求：一是由特殊寻求点的坐标，然后证明所求点满足一般性，二是设出含参数的点坐标，利用恒成立直接求解．必须注意，两种方法都要重视方程思想的应用．1．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( ) A.22 B.2 C.322D ．2 2 【解析】 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又|AF |＝3，由抛物线定义知：点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知点A 的纵坐标y ＝22，∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．联立直线与抛物线的方程⎩⎨⎧ y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2. 由图知B ⎝⎛⎭⎫12，－2，∴S △AOB ＝12|OF |·|y A －y B |＝12×1×|22＋2|＝32 2. 【答案】 C2．已知椭圆x 24＋y 29＝1上任一点P ，由点P 向x 轴作垂线PQ ，垂足为Q ，设点M 在PQ 上，且PM →＝2MQ →，点M 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点D (0，－2)作直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设N 是过点⎝⎛⎭⎫0，－417且平行于x 轴的直线上一动点，且满足四边形OANB 为矩形，求直线l 的方程．【解】 (1)设点M (x ，y )∵PM ⊥x 轴，且PM →＝2MQ →，所以点P 的坐标为(x,3y )．又点P 在椭圆x 24＋y 29＝1上，所以x 24＋(3y )29＝1，因此曲线C 的方程是x 24＋y 2＝1. (2)当直线l 的斜率不存在时，显然不满足条件，所以设直线l 的方程为y ＝kx －2，直线l 与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0， 依题意Δ＝(16k )2－48(1＋4k 2)＞0，得k 2＞34.(*) 此时x 1＋x 2＝16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2. 又四边形OANB 是矩形，所以OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝(1＋k 2)x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝0，∴(1＋k 2)·121＋4k 2－2k ·16k 1＋4k 2＋4＝0， 解之得k 2＝4，∴k ＝±2，满足(*)式．设N (x 0，y 0)，由ON →＝OA →＋OB →，得y 0＝y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝16k 21＋4k 2－4＝－417， 从而点N 在直线y ＝－417上，满足题设． 故直线l 的方程为y ＝±2x －2.。