动力学5_7讲解
电动力学5-7(电磁场的动量)
法向分量
i cos
面积：1/cos
每秒入射于导体 单位面积的动量 法向分量
i cos
2
30
在反射过程中，电磁波动量的变化 率为上式的两倍，由动量守恒定律， 导体表面所受的辐射压强为
P 2i cos
2
在导体外部，总电场为入射 波电场Ei加上反射电场E
i r
23
解
平面电磁波E、B、k是三个互相 正交的矢量,我们用这三个方向来 分解J 的各分量。由E∙B=0， 得 1 1 2 2 2 J 0 ( 0 ) 2 0
平面电磁波有 0E2=B2/0，
J 0
24
同理可证
J 0,
J J 0
如：电子受力
f e ev
7
用麦克斯韦方 程组把作用力 密度完全用场 量表出。由真 空中的方程
0
J 0 0 t 1
把作用力密度化为
f 0 ( ) ( ) 0 0 t 1
8
利用另外两个麦氏方程
通过界面OAB单位面积流入 体内的动量三个分量写为
T31 ， T32
，T33
20
当体积V →0时，通过这 三个面流入体内的动量等 于从面元ABC流出的动量。 因此，通过ABC面流出的 动量各分量为
p1 S111 S221 S331
p2 S112 S222 S332
35
1 1 2 2 2 2 2 en J en ( ) i cos en 2i cos en 2 0 0
则导体表面受到压强
P 2i cos
2
在一般光波和无线电波情 形中，辐射压强是不大的。 例如太阳辐射在地球表面 上的能流密度为 1.35×103Wm-2，算出 辐射压强仅为~10-6Pa。
第7章 化学动力学基础
例：有一化学反应aA+bB=C在298K时，将AB溶液按
不同浓度混合。得到下列数据。
A的初始浓度 B的初始浓度 1.0 1.0 2.0 1.0 4.0 1.0 1.0 1.0 1.0 2.0 1.0 4.0 求其速率方程? 初始速度（mol/l· s） 1.2×10-2 2.3×10-2 4.9×10-2 1.2×10-2 4.8×10-2 1.9×10-1
( H O ) C (H O ) C (H O ) v t t
2 2 2 2 2 1 2 2
作出H2O2的 c — t 的曲线，得到 0 — 40
min的平均速率：
v 0.20 0.80 0.20 0.80 0.015mol dm 3 min 1 t 40
求该反应的反应级数m+n和速度常数k?
解：由速度方程v=k[CO]m· 2]n [Cl 得：v1=k[CO]m· 2]1n v2=k[CO]m· 2]2n [Cl [Cl
n v1 [Cl 2 ]1 v2 [Cl 2 ]n 2
2 v1 1.2 10 lg lg v2 4.26 10 3 0.45 1.5 n [Cl 2 ]1 0.10 0.30 lg lg [Cl 2 ]2 0.050 v1 1.2 10 2 lg lg v3 6.0 10 3 1 m [CO ]1 0.10 lg lg [CO ]3 0.050
解：由v=k[A]m· n [B] v1=k×1m×1n=k=1.2×10-2
v2=k×2m×1n=k×2m=2.3×10-2
v1 1 1.2 10 2 1 m 2 v2 2 2.3 10 2
v4=k×1m×1n=1.2×10来自2 v5=k×1m×2n=4.8×10-2 ∴k×2n=4.8×10-2 2n=4.8×10-2/k=4=22 ∴n=2
机械振动3强迫振动5-7讲解
3.5 简谐力与阻尼力的功 3.6 等效粘性阻尼 3.7 系统对周期激励的响应·傅里叶级数
3.5 简谐力与阻尼力的功
有阻尼的系统在振动时，机械能不断耗散，而振动逐渐衰减. 强迫振动时，激励对振动系统做功，不断输入能量，当输入
与耗散相等时，振动不衰减，振幅保持常值，即稳态振动.
(1) 简谐激励力在一个周期内所做的功。 设简谐激励力 F F0 sin t 作用在m上， 运动方程的解为： x X sin(t ) 则在一个周期内激励所做的功：
谐波分析方法也适用于分析任意周期惯性力激励的受迫振 动。
例3.6.1 设质量-弹簧系统受到如图2.10所示的周期方波激励：
F (t)
F0
F0
0 t T
2
T t T
2
试求此系统的响应，令λ=1/6， ζ=0.1，作出频谱图。
F(t) F0
频率为ω。利用傅里叶级数可将任意周期激励力分解为有
限个或可列无限个谐波分量，则任意周期的激励分解为有 限个或可列无限个谐波分量的简谐激励，系统的响应为对 各个谐波分量响应的叠加。这种分析方法称为谐波分析。
设周期力F(t)的频率为ω，周期为T=2π/ω。将F(t)展开为
傅里叶级数，以复数形式表示为：
其中：
(2n 1) n
例3.6.2 发电机的振动。
曲柄、连杆质量不计，发电机总
质量m，活塞质量为m1，曲柄转
速ω。设r << l，只保留α=r/l的一
次项，求发电机的响应。
解：活塞的位置坐标xB：
k
A
r
l
O0 O θ
φ
柔性多体系统动力学讲稿(theory)
多体动力学摘要采用笛卡尔绝对坐标通过动静法建立多刚体系统的动力学方程。
目录I 问题概述 (3)1. 多体系统仿真模型 (3)2. 静力学问题 (4)3. 运动学问题 (4)4. 动力学问题 (4)II 基本概念和公式 (4)5. 参照物 (4)6. 矢量 (5)6.1 矢量的定义及符号 (5)6.2 矢量的基本运算 (5)6.3 单位矢量的定义及符号 (6)6.4 零矢量的定义及符号 (6)6.5 平移规则 (6)7. 坐标系 (7)8. 矢量在坐标系内的表示 (8)9. 方向余弦矩阵 (10)10. 欧拉角 (13)11. 刚体的位置和姿态坐标 (15)12. 矢量在某参照物内对时间的导数 (16)13. 角速度 (17)14. 简单角速度 (17)15. 刚体上固定矢量在某参照物内对时间的导数 (18)16. 矢量在两参照物内对时间导数的关系 (20)17. 角速度叠加原理 (21)18. 角加速度 (22)19. 角速度与欧拉角对时间导数的关系 (23)20. 动点的速度和加速度 (25)21. 刚体上两固定点的速度与加速度 (26)22. 相对刚体运动的点的速度和加速度 (27)23. 并矢 (28)24. 刚体惯性力向质心简化的主矢和主矩 (30)25. 约束 (33)25.1滑移铰 (34)25.2 旋转铰 (34)25.3 圆柱铰 (35)25.4 球铰 (36)25.5 平面铰 (36)25.6 固定铰 (37)25.7 点在线约束 (37)25.8 点在面约束 (38)25.9 姿态约束 (39)25.10 平行约束 (39)25.11垂直约束 (40)25.12 等速万向节 (41)25.13 虎克铰 (41)25.14 万向节 (42)25.15 关联约束 (43)26. 弹簧力的计算 (45)27. 阻尼力的计算 (46)III 问题求解 (47)28.Macpherson悬架多体系统动力学方程DAEs的建立 (47)29. DAEs的简单解法 (48)参考文献 (49)I 问题概述1. 多体系统仿真模型型：左面有5个物体： ● 下控制臂 ● 转向节 ● 轮毂 ● 上滑柱 ● 转向横拉杆 左面约束有7个：● 下控制臂与车身间的旋转铰 ● 下控制臂与转向节间的球铰 ● 转向节与轮毂间的旋转铰 ● 转向节与上滑柱间的滑移铰 ● 上滑柱与车身间的球铰● 转向节与转向横拉杆间的球铰● 转向横拉杆与转向齿条(这里固定于车身)间的虎克铰左面力有7个：● 转向节与上滑柱间的弹簧力 ● 转向节与上滑柱间的阻尼力 ● 五个物体的重力采用笛卡尔绝对坐标运用多体动力学的基本公式和动静法可以建立Macpherson 悬架的多体系统数学模型（DAEs ）。
动力学基础知识梳理
动力学基础知识梳理在我们日常生活和科学研究中，动力学是一个十分重要的概念。
它帮助我们理解物体的运动以及引起运动的原因。
那么，什么是动力学呢？让我们一起来梳理一下动力学的基础知识。
首先，我们要明确动力学的研究对象是物体的运动以及与运动相关的力。
力是改变物体运动状态的原因，这是动力学的核心观点。
当一个物体受到力的作用时，它的速度会发生改变，可能会加速、减速或者改变运动方向。
在动力学中，有几个重要的物理量需要我们了解。
第一个就是力（F），力的单位是牛顿（N）。
力可以是推力、拉力、摩擦力、重力等等。
力的大小、方向和作用点都会影响力对物体的作用效果。
速度（v）也是动力学中的关键量，它描述了物体运动的快慢和方向。
速度的变化率就是加速度（a）。
加速度反映了物体在单位时间内速度的改变程度。
如果一个物体的速度在增加，那么它具有正的加速度；如果速度在减小，就具有负的加速度。
接下来，我们要认识牛顿运动定律，这是动力学的基石。
牛顿第一定律指出，任何物体都要保持匀速直线运动或静止的状态，直到外力迫使它改变运动状态。
这一定律揭示了物体具有惯性，惯性的大小只与物体的质量（m）有关，质量越大，惯性越大。
牛顿第二定律是 F ＝ ma，它表明了力、质量和加速度之间的定量关系。
当一个物体受到的合力不为零时，就会产生加速度，加速度的大小与合力成正比，与物体的质量成反比。
牛顿第三定律告诉我们，两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反、作用在同一条直线上。
比如，当你推一个箱子时，箱子也会对你施加一个大小相等、方向相反的力。
在实际问题中，我们经常会遇到重力的作用。
重力（G）的大小可以用 G ＝ mg 来计算，其中 g 是重力加速度，约为 98 m/s²。
在地球上不同的位置，g 的值会略有不同。
摩擦力也是常见的力之一。
摩擦力分为静摩擦力和动摩擦力。
静摩擦力在物体没有相对运动时起作用，其大小会根据外力的变化而变化，但有一个最大值。
动力学知识点总结
动力学知识点总结动力学是物理学的一个重要分支，主要研究物体的运动与所受的力之间的关系。
它在我们理解自然界和解决实际问题中都有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解动力学的一些关键知识点。
一、牛顿运动定律牛顿运动定律是动力学的基础，包括牛顿第一定律、牛顿第二定律和牛顿第三定律。
牛顿第一定律指出，任何物体都要保持匀速直线运动或静止的状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。
这一定律揭示了物体具有惯性，即保持原有运动状态的性质。
牛顿第二定律是动力学的核心，其表达式为 F ＝ ma，其中 F 表示物体所受的合力，m 是物体的质量，a 是物体的加速度。
这意味着力是改变物体运动状态的原因，力越大，加速度越大；质量越大，相同的力产生的加速度越小。
牛顿第三定律则阐明，两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反，且作用在同一条直线上。
比如，当你推桌子时，桌子也在以同样大小的力推你。
二、常见的力在动力学中，我们会遇到各种各样的力。
重力是我们最熟悉的力之一，它的大小为G ＝mg，方向竖直向下，其中 g 是重力加速度。
摩擦力分为静摩擦力和滑动摩擦力。
静摩擦力在物体未发生相对运动时产生，其大小取决于外力，有一个最大值；滑动摩擦力的大小与接触面的粗糙程度和正压力有关，其表达式为 f ＝μN，μ 是动摩擦因数，N 是正压力。
弹力产生于物体的形变，例如弹簧的弹力遵循胡克定律 F ＝ kx，k是弹簧的劲度系数，x 是弹簧的形变量。
还有拉力、推力、压力等，它们都可以通过具体的情境进行分析和计算。
三、直线运动中的动力学问题对于匀变速直线运动，我们可以利用速度公式 v ＝ v₀＋ at、位移公式 x ＝ v₀t ＋ ½at²以及速度位移公式 v² v₀²＝ 2ax 来解决问题。
在这些公式中，加速度 a 往往与所受的合力相关。
例如，一个物体在水平面上受到一个恒定的水平拉力，如果知道物体的质量和摩擦力，就可以通过牛顿第二定律求出加速度，然后再利用上述直线运动公式求出物体的速度和位移随时间的变化。
动力学基础知识梳理
动力学基础知识梳理动力学是物理学中研究物体运动规律的领域，它主要关注物体受力和速度、加速度等因素之间的相互关系。
本文将对动力学的基础知识进行梳理，帮助读者更好地理解这一重要物理学分支。
一、力的概念和力的作用力是动力学的基础概念之一，定义为使物体发生变化（比如加速度、形状改变等）的原因。
力的作用可以描述为三个要素：力的大小、方向和作用点。
1.1 力的大小力的大小通常用牛顿（N）作为单位。
力的大小可以通过测量物体的质量和加速度来计算。
牛顿第二定律指出，力等于质量乘以加速度：F = m ×a。
其中，F表示力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
1.2 力的方向力的方向是力所施加的物体的运动方向。
对于力的方向，我们常常采用坐标系，将力的方向与坐标轴建立关联。
1.3 力的作用点力的作用点是指力所施加的物体上的一个特定点。
在力同时作用于物体的多个点时，物体上不同点受到的力有可能不同。
二、牛顿三定律牛顿三定律是动力学中的重要法则，它描述了力与物体运动之间的关系。
2.1 第一定律：惯性定律牛顿第一定律也称作惯性定律，它表明物体在没有受到外力作用时将保持静止或匀速直线运动的状态。
若物体受到外力，则它将发生加速度变化。
2.2 第二定律：动量定律牛顿第二定律也称作动量定律，它给出了力、质量和加速度之间的关系。
根据牛顿第二定律，力等于质量乘以加速度：F = m × a。
2.3 第三定律：作用-反作用定律牛顿第三定律也称作作用-反作用定律，它指出对于任何一对相互作用的物体，它们之间的作用力与反作用力的大小相等、方向相反，并且作用在不同的物体上。
三、动力学中的其他重要概念除了力和牛顿三定律，动力学中还有其他一些重要概念需要掌握。
3.1 弹性碰撞弹性碰撞是指碰撞过程中物体之间能量守恒的现象。
在弹性碰撞中，物体之间的动能和动量都能够得到保持。
3.2 动能和势能动能是物体由于其运动而具有的能量，它与物体的质量和速度有关。
phch(5ed)-7-知识点 (3)
lnk Ea lnA 或
RT
ln k2 k1
Ea R
1 T2
1 T1
由lnk对1 T 作图应得直线，斜率为 Ea / R。
如温度变化范围较大，Ea随温度变化：
dlnk
dT
m T
E0 RT 2
E0 mRT RT 2
Ea RT 2
物理化学分析方法
以物理性质的测定代替对样品浓度的化学分析。
cA0 Y Y0 ; cA0 x Y Yt
➢
半衰期与kA 成反比，与cA0
无关。t1/ 2
ln 2 kA
各类反应的速率方程-二级反应
aA bB pP
A
dcA dtΒιβλιοθήκη kAcA2dx dt
kA (cA0
x)2
A
dcA dt
kAcAcB
dx dt
kA (cA0
x
)
cB0
b a
x
a b, cA0 cB0
cB0 cB ( cA0 cA )b / a
xe xe
x
(k1
k1 )t
Kc
xe cA0 xe
k1 k1
放热对峙反应特征——在确定的转化率下存在一个最适宜温度。
复杂方程-连串反应
A k1 B k2C 设t=0时，A的浓度为cA0，cB0=cC0=0。
微分式：A
dcA dt
k1cA; B
dcB dt
k1cA
k2cB;
C
dcC dt
k2cB
5.
化学反应
2A
B
k
P
的速率方程一定是 = kcA2 cB
（
）（对、错）。
模拟训练
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1 2
m
x l cos
2
l sin
2
1 4
mR2
2
x
g
A
V mg l (1 cos ) mgl(1 cos )
2
L x
c1
L
c2
B
L
c3
T V E
例：拉格朗日方程的循环积分反映的是质点系的___。
A：某个广义动量守恒；
2
l sin
2
1 4
mR2
2
mg l (1 cos ) mgl(1 cos )
2
L
T
V
1 2
mx2
1 2
m
x
l
2
cos
2
l
2
sin
2
1 24
ml 2
2
1 2
m
x l cos
c2
mx
m
x
l
2
cos
m
x l cos
c1
1 2
mx2
1 2
m
x
l
2
cos
2
l 2
sin
2
1 24
ml
2
2
1 2
m
x l cos
2
l sin
2 2 0
0
例：系统在铅垂平面内运动，水平面光滑。系统的广义坐标如图 所示，其中AB杆长为l，圆盘半径为R，各物件质量均为m。不计 所有摩擦。求：
x
g
A
(1) 用系统的广义坐标和广义速
度给出系统的动能T和势能
V(杆在铅垂位置时为势能零
点)；
(2) 若初始时，杆位于铅垂位
置 0 0,0 0 ，滑块的
B：广义能量守恒。
例：单自由度线性振动系统的振动周期与___________ 有关。
例：二自由度线性振动系统的固有频率与系统的_____ 有关。
A：广义质量； B：广义刚度；
C：初始位置；
D：初始速度。
例：图示系统的等效弹簧刚度系数k*=___2_k_2__k_1___。
2k2 k1
例：图示系统的固有频率 =______m_____。
2
B
T
1 2
mx2
1 2
m
x
l
2
cos
2
l
2
sin
2
1 24
ml 2 2
1 2
m
x l cos
2
l sin
2
1 4
mR2
2
A
x
(1) 若初始时，杆位于铅垂位置
。=0，滑块的速度为u，
用下杆AB的运动规律为 =t，试求滑块A的运动微分方程。
x
解法一: 在水平方向应用动量定理：
d dt
mx
m1
(
x
l
cos
t
)
kx
解法二: 应用拉格朗日方程：
动能：
T
1 2
mx2
1 2
m1
( x
l cost)2
(l sint)2
势能：
V
1 kx2 2
m1gl cost
动力学习题
1
例：在同一铅垂面内运动的两个相同的均质杆OA和AB 用铰链O和A连接，如图所示。各杆长为l，由水平位置
无初速释放，求释放的初瞬时两杆的角加速度。
OA
AB
解：(1) 对初始位置时的系统做受力分析，并加上惯性 力，设初始瞬时两杆的角加速度均为顺钟向。
FIOA M IOA
M IAB
FIAB
4
6
2
2
拉格朗日函数 L T V L(x,, ) 中不显含广义坐标 x 和时间 t
T x
5 2
mx
1 2
mL cos
C
T V E
A
x
m1 g
AB 2L m2 g
例：给出系统拉格朗日方 程的首次积分。
解：系统的主动力为有势力
B 系统的动能和势能分别为
2
1 4
mR2Βιβλιοθήκη 2 mg l (1 cos ) mgl(1 cos ) E
2
初始 0 0,0 0 , 滑块速度u向右；圆盘角速度 0 逆时针。
c1 mu mu mu
c2
1 2
mR20
E
1 2
mu 2
1 2
mu 2
1 2
mu 2
1 4
mR
k2
k2
m
k1
例：长为l质量为m的均质杆OA用光滑柱铰链悬挂在o 点，下端与刚度系数为k的水平弹簧连接，杆铅垂时弹 簧为原长。求系统在平衡位置附近作微幅摆动的动力
学方程________________________。
o
A
T 1 1 ml2 2
23
V 1 k(l )2 mg l (1 cos )
O
k
G
o
xa xe xr xe l cost
A
xe
xa
k
xr
O
A
k
k
G
Uc
阻尼力: F cxa
l0 st
yr
例：已知 m, k, xe r sint ,
求相对运动动力学方程
xe
l0 st
xr
mg
o
xa xe l0 st xr
xa
mxa mg k( xr st )
mg
l OA
FIAB
l
OA
0
OA
9g 7l
, AB
3g 7l
例：在同一铅垂面内运动的两个相同的均质杆OA和AB 用铰链O和A连接，如图所示。各杆长为l，质量为m，
试建立两杆的运动方程。
o
1
A
2
T
1 2
1
ml
2
.
2 1
3
1 2
mvC2
1 2
1 12
例：滑块与均质圆盘用不计质量的杆AB铰接在铅垂平面内运动， 系统的广义坐标如图所示，其中AB杆长为L，圆盘半径为R，滑 块与均质圆盘的质量均为m。不计所有摩擦。求：
(1) 用系统的广义坐标和广义速
A
x
度给出系统的动能T和势能 V(杆在铅垂位置时为势能零 点)；
g
(2) 若初始时，杆位于铅垂位置
。=0，滑块的速度为u，
A
g
T2 ____12_m__(_R__)_2___
T1 ______0________
1 m(R sin )2
T0 __2____________
B
T 1 m(R )2 1 m(R sin )2
2
2
例：质量为m半径为R的均质圆盘在水平地面上纯滚动，长为L质 量为m的均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接，系统在铅垂平面内 运动，系统的广义坐标如图所示。不计空气阻力和摩擦。求：
B
速度为u，方向水平向右；
两圆盘的角速度均为0 ，
转向逆时针。试给出系统拉
格朗日方程的首次积分并确
定积分常数。
T 1 mx2 1 1 mr2 2
2
22
1 2
m
x
l 2
cos
2
l 2
sin
2
1 24
ml
2
2
x
A
mg mg
(1) 用系统的广义坐标和广义速度
给出系统的动能T和势能V(杆
在铅垂位置时为势能零点)；
(2) 若初始时，杆位于铅垂位置。
=0，圆盘中心A点的速度为u，
杆的角速度为零。试给出系统
B
拉格朗日方程的首次积分并确
定积分常数。
要求：给出解题的基本理论和基本步骤。
例：图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上纯滚动，均 质杆AB用光滑铰链与圆盘连接。求系统的首次积分。AB=2L
2
2
g
1 k(l )2 mg l 1 2
2
22
1 3
ml 2
kl 2
1 2
mgl
0
例：长为L质量为m的均质杆OA用光滑柱铰链悬挂在o 点，下端与刚度系数为k的水平弹簧连接，杆铅垂时弹 簧为原长。求系统在平衡位置附近作微幅摆动的固有
(3) 取虚位移 AB 0, OA 0
W
mg
l 2