自然数k次方幂和的一种简捷算法
最新自然数幂次方和公式
12 自然数幂次方和的另一组公式3摘要：一般的自然数幂次方和公式是用n 的p+1次方的多项式表示，考虑到任4 一多项式均可用k n C 表示，本文给出了自然数幂次方和用k n C 表示的方法，并且给5 出了相应的系数完整表达式。
这比多项式表达方便得多，因为多项式表达的系数6 至今仍是递推公式表达。
7 89 由笔者的文章（注【1】）知，自然数幂次方和可以用关于n 的多项式表达，而10 每一个多项式均可用k n C 表示的，因此可猜想自然数幂次方和也可以用k n C 表达出11 来。
12假设自然数幂次方和可以写成以下形式13∑∑=++===pk k n k nk p n C A k S 1111。
（1）14那么同理可应有：15∑∑=++--=-==pk k n k n k p n C A k S 111)1(11116 那么：17∑∑=+=++--=-=pk k n k pk k n k n n p C A C A S S n 111111 18[]∑∑==+++=-=pk k n k pk k nk n k pCA CCA n 111111920∑==pk kn k p C A n 121 因为对于充分大的自然数n 均使得上述式子成立，所以上式对应的应该是一个22 关于n 的p 次多项式，其中：23)1).....(1(k n n n C kn -+-=24 这仅仅是一个多项式的写法，与排列组合无关, n 可为任意的数。
25分别令n=1,2,3， 。
p-1时就有：2601111+=+==∑∑∑∑=+===tk kt k pt k ktk tk k tk pk ktk pC A C A C A C A t27∑==tk kt k pC A t 1)1...3,2,1(-=p t 。
28 （2)29∑-=-=11t k k t k pt C A t A )1...3,2,1(-=p t。
30 （3）31这是一个递推的数列，其中A 1=1 ， 很显然，通过它可以求出所有的系数t A ，32 仿照笔者的文章（注【1】）可证明，由（3）式求出的系数t A ，使得公式（1）33 成立，即自然数幂次方和的公式由（1）（3）给出了。
求自然数幂和的一种新方法
求自然数幂和的一种新方法作者：朴元俊廉晓龙来源：《中国校外教育·高教(下旬)》2014年第04期利用待定系数法和克莱姆规则，给出了自然数幂和的一种新的推导方法和公式，对于计算机编程等都有重要的价值.自然数幂和待定系数法克莱姆规则关于自然数幂和问题一直吸引广大数学爱好者的浓厚兴趣，许多文献给出了不同的算法，文\[1\]给出了行列式的算法，文\[2\]给出了矩阵的算法，文\[3\]给出了定积分的算法.本文利用待定系数法，给出一种另类的自然数幂和的一种新的求法.本文给出的公式，规整简洁，便于记忆和“书写”，所以易实现计算机编程计算．参考文献：\[1\]贾利新.的行列式算法\[J\].高等数学研究，1992，（02）：17-18.\[2\]汪晓勤，周崇林.自然数幂和的矩阵算法\[J\].高等数学研究，2004，(02)：35-37.\[3\]马建荣，刘三洋，刘红卫.自然数幂和的定积分算法\[J\].高等数学研究，2009，(06)：33-36.\[4\]张禾瑞等.高等代数（第3版）\[M\].北京：高等教育出版社，1983.关于中医院校康复治疗学专业教师继续教育机制的思考◆隋月皎卞镝张小卿（辽宁中医药大学针灸推拿学院）继续教育是高校教师队伍建设的一项重要任务，推进康复治疗学专业教师继续教育机制改革，是培养合格中西医结合康复治疗学人才的重要保证。
康复治疗学高校教师继续教育教师是高校的主体，是高等教育的领航者和实践者，而康复治疗学作为中医院校近十年才开展起来的新兴专业，其知识更新速度快，交叉领域庞杂。
因此，该专业教师尤其需要继续教育学习，并树立终身学习的理念，这样才能成为康复治疗学发展的开拓者和引路人。
一、中医院校康复治疗学专业教师继续教育机制改革迫在眉睫1.中医院校康复治疗学发展概况20世纪80年代初期，我国开始引进西方现代康复医学。
近年来，随着老龄化社会的加剧以及几次重大自然灾害的发生，我国需要康复的人群达到1.3亿，康复医学事业进入突飞猛进的发展阶段。
自然数k次方的求和再探
自然数k 次方的求和公式的简化湖北省黄冈市罗田县第一中学 杨德兵 余咏梅（邮编438600）关于自然数k 次方的和, 文[1]介绍了朱世杰的“招差术”；文[2]通过构造几何模型给出如下递推公式：)]()([1111112311121∑∑∑∑-=-=--=-=+++-++==n i k kn i k kn i k kk ni ki CiCiCk n n k iV文[3]利用二项式展开的方法又给出如下递推公式：)]()1()1[(11112113213412311211S C S C S C S C S C S C n n k S kk k k k k k k k k k k k k +-+-+-+-+-++++++++-+-++=简记为：∑-=-+++-+-++=11111])1()1[(11k i i k i k k k S C n n k S ① （其中∑==ni kk i S 1N k ∈）可以肯定求自然数k 次方的求和用文[2]、文[3]的递推公式比对朱世杰的招差术简洁，但对于k 较大时计算仍然很复杂。
笔者通过研究给出更简化的递推公式，希望是对文[2]、文[3]的补充与增益。
文中要用到简单的微积分知识，目前高中阶段已经要求学习简单的微积分，相信本文的推导高中生能够掌握。
公式如下：(其中211=c ,612=c ，当k >2时∑-=-++++-+-=2111)211(11k i i k i k k c Ck k c )本文先证明k k kc kS S +='-1 ②（其中k S '为k S 对n 的一阶导数） 证明：（对自然数k 用第二数学归纳法）（1） k =0时n nS =+++=00021 ,2)1(211111+=+++=n n nS10121c S n S +=+=' ∴k =0时结论成立。
（2）假设m k ≤≤0 (N m ∈)命题成立。
那么k =m +1时由①得])1()1[(21111221∑-+-++==-+++++m i i m i m m m S C n n m S]1)1)(2[(21111211∑'--+++='∴=-+++++mi i mi m m mS C n m m S}])1[(1)1)(2{(21112111121S Cc S i m Cn m m m m i m m i i m i m m '-+∑-+--+++=++-+-=-+++])1(1)1)(2[(211111211112121i m m i i m m i m m i m i m m c CS C S i m Cn m m -+-=++-=++-+++∑-∑'--+--+++=又容易证得 1112)2()1(+++++=-+i m i m C m i m C m i 2,1=,)21)(2(112++='++n m S C m m])21)(2()2(1)1)(2[(2111112111111i m m i i m m i i m i m m mc C n m S C m n m m S -+-=++-=-++++∑-++∑-+--+++='∴]1[21)21()1(1111211111i m m i i m m i im i m m c C m n S Cn -+-=++-=-+++∑++-+∑--+=]221[21)1()1(1111211111i m m i i m m i im i m m c Cm m n S Cn -+-=++-=-+++∑++-+-+∑--+=]221[21)]1()1[(111111211111i m m i i m m i im i m m c Cm m n S Cn m m -+-=++-=-+++∑++-+-+∑--+++=1)1(+++=m m c S m所以k =m +1成立。
幂函数定积分与自然数方幂和的计算
幂函数定积分与⾃然数⽅幂和的计算⼀、据定积分的定义表⽰被积函数为幂函数的定积分
设被积函数为幂函数的定积分为
将积分区间匀分成n等分（n→∞），则有
⽤宽、长分别是、、…的矩形⾯积和替代各曲边梯形⾯积和
依据定积分的定义，被积函数为 y=xk，，在积分区间为闭区间[o a]上的定积分就是
⼆、幂函数定积分与⾃然数⽅幂和的计算
k＞0，依据莱布尼茨公式有
当n→∞，
因为
所以
等式两边同除以得
依据精确的⾃然数正整数次⽅的幂和公式判断，上述等式是不成⽴的。
当⾃然数n→∞的情况下，这个极限的值为1。
⽤归纳法可证明这个极限的值为1。
所以，当⾃然数n→∞的情况下，⾃然数正整数次⽅的
幂和s可⽤公式
作近似计算。
当⾃然数n→∞，K为正分数的情况下，能不能⽤此公式进⾏⾃然数⽅幂和的近似计算？从公式的推导过程来看，答案是肯定的。
限于计算⼯具、计算技巧⽅⾯的问题，这⾥不举例验证。
求自然数k次幂和的一种方法
$ ! "# … *! ， 再设 +! "（ ， 则 +! "（ 其中 , # #， *$， *! " # ） $， & & &， # , ）# * & " * # , " * $ , " … " *! " # , # , ）# -（ ! ,）
樊红云
（齐齐哈尔大学 数学系， 黑龙江 齐齐哈尔 )C)((C）
摘要： 给出了求自然数 ! 次幂的和的一种方法 & 关键词： 自然数； 和 ! 次幂； 中图分类号： D)E) & ! 文献标识码： F
众所周知， 可以用数学归纳法证明下面求和公式： ) （ # " )） （! # " )） # C ) ! ! )B " !B " … # B $ #（ # " )） " 在本文中， 我们研究了下面 ! 个问题： （)） 是否对任意自然数 ! ， 都有求和公式 ! ! ! ) " ! " … " # $ %! "（ ) #） )! " !! " … # ! $ 其中 %! "（ 是 # 的次数不超过 ! " ) 的多项式； （!） 如果上述答案是肯定的， 如何求这些公式 & 为此， 我们 ) #） 给出下面定理 &
! ! ! 设 ! 为自然数， 则存在次数不超过 ! " ) 的 # 的多项式 %! "（ 使 ’（ ! # ）$ ) " ! " … " # ， ) #） 当 # $ )， 有 ’（ !， & & &， !， ! " )， ! " ! 时， & ! # ）$ %! "（ ) #） 证 ! ! ") 对给定的自然数 ! ， 若存在多项式 %! "（ ) # ）$ ( ( " ( ) # " ( ! # " … " (! " ) # 使 %! "（ （)） 成立 ) # ）$ ’（ ! #）
自然数幂次方和公式
自然数幂次方和公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1自然数幂次方和的另一组公式摘要：一般的自然数幂次方和公式是用n 的p+1次方的多项式表示，考虑到任一多项式均可用k n C 表示，本文给出了自然数幂次方和用kn C 表示的方法，并且给出了相应的系数完整表达式。
这比多项式表达方便得多，因为多项式表达的系数至今仍是递推公式表达。
由笔者的文章（注【1】）知，自然数幂次方和可以用关于n 的多项式表达，而每一个多项式均可用kn C 表示的，因此可猜想自然数幂次方和也可以用knC 表达出来。
假设自然数幂次方和可以写成以下形式∑∑=++===pk k n k nk p n C A k S 1111。
（1）那么同理可应有：∑∑=++--=-==pk k n k n k p n C A k S 111)1(111那么：∑∑=+=++--=-=pk k n k p k k n k n n p C A C A S S n 111111 []∑∑==+++=-=pk k nk pk k nk n k pCA CCA n 11111∑==pk kn k p C A n 1因为对于充分大的自然数n 均使得上述式子成立，所以上式对应的应该是一个关于n 的p 次多项式，其中：)1).....(1(k n n n C k n -+-=这仅仅是一个多项式的写法，与排列组合无关, n 可为任意的数。
分别令n=1,2,3， 。
p-1时就有： 01111+=+==∑∑∑∑=+===tk kt k pt k ktk tk k tk pk k tk pC A C A C A C A t∑==tk kt k pC A t 1)1...3,2,1(-=p t 。
（2) ∑-=-=11t k k t k pt C A t A )1...3,2,1(-=p t。
（3）这是一个递推的数列，其中A 1=1 ， 很显然，通过它可以求出所有的系数t A ，仿照笔者的文章（注【1】）可证明，由（3）式求出的系数t A ，使得公式（1）成立，即自然数幂次方和的公式由（1）（3）给出了。
自然数k次方幂和的一种简捷算法
自然数k次幂求和公式是n的k+1次有理多项式。
它不是一个等差数列，也不是一个等比数列，但通过二项式定理的展开式，可
以转化为按等差数列，由低次幂到高次幂递进求和，最终可推导至李善兰自然
数幂求和公式的原形。
当n为奇数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:
2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N
=N+N+N+...+N加或减去所有添加的二项式展开式数
=(1+N)N减去所有添加的二项式展开式数。
当n为偶数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:
2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N
=2N+2[(N-2)+(N-4)+(N-6)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数
又当n为偶数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:
2s=[N+1]+[(N-1)+2]+[(N-2)+3]+...+[(N-N-1)+(N-1)]
=2[(N-1)+(N-3)+(N-5)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数,合并n 为偶数时2S的两个计算结果，可以得到s=N+(N-1)+(N-2)+...+1的计算公式。
其中，所有添加的二项式展开式数，按下列二项式展开式确定，如此可以顺利
进行自然数的1至n幂的求和公式的递进推导。
（最终推导至李善兰自然数幂求和公式）。
自然数幂和公式推导
]
(利用(12)式)
即当 = + 1时，原式也成立。
综合①、②知(16)式成立。
【自然数幂和的公式形式】
利用 可以把 写成
=∑
(−1)
(17)
在加之二项式定理( + ) = ∑
=
!
=
=∑
∑
!
[
∑
!
∑
( ≥ 1)，得
∑
(−1)
(−1)
∑
(−1)
546
4536
22449
67284
118124
9
45
870
9450
63273
269325
723680
10
55
1320
18150
157773
902055
3416930
11
66
1925
32670
357423
2637558
13339535
12
78
2717
55770
749463
6926634
44990231
(5)
= + +
(6)
【组合积和
】
设( + 1)( + 2)( + 3) ⋯ ( + ) = ∑
。其中 称为组合积和，可看作韦达定理的特例。
显然有
=
(7)
= !
(8)
=1
(9)
当 > 时，
=0
(10)
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n
根据恒等式性质有
1 C0 k = a0 C k + 1 ,
i =1
C k = a0 C k + 1 + a1 C k ,
3 2 1 C2 k = a0 C k + 1 + a1 C k + a2 C k - 1 , …
1
2
1
i =1
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4) 保持 M N 不变 , 平移 A B 到一般的弦 , 可得 :
x2 y2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的直径 M N a2 b
进 [J ]. 数学教学研究 ,2005 , ( 5) .
[3] 朱保仓 . 从一道课本习题得出的几个有趣结论 [J ] . 中学教研 ( 数学) ,2003 , (9) . [4] 黄华松 , 何微 . 多树一果味更美 [J ] . 中学数学
+2- i- 1 1 +2- i 0 k+2- i + Ck n + Ck ] k+2- i k+2- in ) - n
k+2 = ∑ai - 1 [ C1 k+2 - in i=1 k+1 i- 1 k+2+ C2 k+2- in i- 2
+ …
a7 = 1 ( 1 - a0 - a1 - a2 - a3 - a4 - a5 - a6 ) = 0 .
图7
从而 x M = x 0 +
( xM - x T ) 2 =
[1] 林新建 . 椭圆与双曲线的另一定义 [J ] . 数学教
故 ( x D - x T ) ( x E - x T ) = ( x M - x T ) 2 . 又 T , D , M , E 四点共线 , 所以 T D ・T E = T M2 .
( 收稿日期 :2008 202 216)
循此 , 可求得
+ Ck + 2 - i n
2
k+2- i- 2
= ∑ai - 1 [ C k + 2 - i n
i=1
k+1
1
k+2 - i- 1
+ …+ C
k+2- i- 1 k+2- i
n + 1 ].
1
i =1 n
∑i4 = ∑i5 = ∑i6 =i Nhomakorabea=1 n
+ …+ C m m + 1 n f 1 ( n) + n].
由第一归纳法知 ∑i k = n f k ( n) , 命题成立 .
i =1
n
∑i
m- 1
=1
m- 1
+2
m- 1
+ …+ n
m- 1
= n f m - 1 ( n) .
故可设 ∑ik = a0 nk + 1 + a1 nk + a2 nk - 1 + …+ ak n1 .
= ∑ai - 1 nk + 2 - i .
i=1 k+1
n
2) 利用公式计算 ai ( i = 0 , 1 , …, 7) .
a0 = a1 =
n+ 1 i=1 n i =1
3 简捷算法的证明
由假设知 ,
( n + 1) k = ∑i k - ∑i k
= ∑ai - 1 ( n + 1) k + 2 - i - ∑ai - 1 nk + 2 i=1 i=1
a0 a0 a1 a2 a3 a4 a1 a2 a3 a4
Ck k = a0 + a1 + a2 + …+ ak .
利用 2 中的记号知 , 求 ai ( i = 0 , 1 , 2 , …, k) 的算 … ak - 1 法成立 .
4 应用举例
1 C0 k k+1 1 1 C k C2 k+1 1 C2 C3 C2 k k+1 k k- 1 1 3 4 3 C k C k + 1 C k C2 k- 1 k- 2 1 2 C4 C5 C4 C3 k k+1 k k - 1 Ck - 2 k- 3
28 56 70 56 28 8 1 21 35 35 21 7 1 15 20 15 6 1 10 10 5 1 6 4 1 3 1 1
+1 - 1 k- 2 k- 3 Ck Ck Ck Ck k k+1 k k - 1 Ck - 2 C k - 3
… C2 2
其中 a0 =
a2 C
i- 1 k- 1
+ C
k+2- i- 1 k+2- i k
n + 1] ,
i
1
故 ∑i7 =
i =1
n
( n + 1) k = ∑ C ik n k i =0
1 8 1 7 7 6 7 4 1 2 n + n + n n + n . 8 2 12 24 12 1 5 1 4 1 3 1 n + n + n n, 5 2 3 30 1 6 1 5 5 4 1 2 n + n + n n , 6 2 12 12 1 7 1 6 1 5 1 3 1 n + n + n n + n, … 7 2 2 6 42
( n + 1) m + 1 - 1 = ∑( i + 1) m + 1 - ∑i m + 1
i =1 n i =1 n n
k 是任意自然数) , 是否也有简单的计算公式呢 ?
1983 年陈景润在 《初等数学论丛》 中给出了一种
递推的求解方法 , 即求 1 k + 2 k + …+ nk 时 , 一定要先 求出 k - 1 , k - 2 , …, 3 , 2 , 1 次方幂的和 . 该方法原则 上可以求出 1 k + 2 k + …+ nk . 但可以预见 , 当 k 比较 大时 , 计算量是很大的 , 且难以在计算机上实现 . 以 下介绍一种简捷算法 , 该方法不依赖任何条件 , 就可 以求出任意自然数 k 次方幂和 , 并且算法可以在计 算机上实现 .
定理 5 椭圆
平分该椭圆的弦 A B 于 T ( 当 A B 为直径时 , A B 与
M N 共轭 ) , P 为椭圆上一点 , 直线 PA , PB 交 M N
教学参考 ,2007 , ( 3) .
( 收稿日期 :2008 202 225)
所在直线于点 D , E , 则 T D , T M , T E 的长成等比数 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
= C1 i m + C2 im - 1 + …+ Cm i+ ∑ 1. m+1 ∑ m+1 ∑ m+1 ∑
i =1 i =1 i =1 i =1
n
n
n
n
因此 ,
( n + 1) m + 1 - 1 = C1 i m + C2 m+1 ∑ m + 1 n f m - 1 ( n)
i =1 n
自然数的 k 次方幂和 ∑i k 可表示为 n f k ( n) , 其
1 7 21 35 35 21 7 1 1 , 8 1 1 ( 7 - 28 a0 ) = , 7 2 1 7 ( 21 - 56 a0 - 21 a1 ) = , 6 12 1 ( 35 - 70 a0 - 35 a1 - 15 a2 ) = 0 , 5
1 7 ( 35 - 56 a0 - 35 a1 - 20 a2 - 10 a3 ) = , 4 24 1 ( 21 - 28 a0 - 21 a1 - 15 a2 - 10 a3 - 6 a4 ) = 0 , 3 1 1 ( 7 - 8 a0 - 7 a1 - 6 a2 - 5 a3 - 4 a4 - 3 a5 ) = , 2 12
1
k+1
, ai =
2
1
k- i+1
1 i ( C ik - a0 C ik+ + 1 - a1 C k -
- …- ai - 1 C k - i + 2 ) , 根据此式 , 可计算出 ai ( i
= 0 , 1 , 2 , …, k) , 从而有
i =1
∑i k = a0 nk + 1 + a1 nk + a2 nk - 1 + …+ ak n 1
k
令 k = 7 , 即计算自然数 7 次方幂和 1 7 + 27 + 3 7
+ …+ n7 = ? 1) 首先列出表 2 .
表2
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
…
ak
…
1
…
…
…
…
…
…
…
…
1/ 8 1/ 7 1/ 6 1/ 5 1/ 4 1/ 3 1/ 2 1
50
2 自然数 k 次方幂和的简捷算法
数学教学研究 第 27 卷第 5 期 2008 年 5 月
1 i i- 1 1 C ik = a0 C ik + + 1 + a1 C k + a2 C k - 1 + …+ ai C k i+1