关于自然数方幂和的几个研究方向
前n个自然数的方幂和公式
前n个自然数的方幂和公式对于前n个自然数的方幂和，其公式可以表述为：sum(i^n, i=1,n)。
这个公式是如何推导出来的呢？首先，我们需要理解方幂的概念。
方幂是指一个数被自己相乘n次后的结果。
例如，2的3次方幂是222=8，3的2次方幂是3*3=9。
考虑第一个自然数1，它的1次方幂是1，和为1。
考虑第二个自然数2，它的1次方幂是2，和为1+2=3。
考虑第三个自然数3，它的1次方幂是3，和为1+2+3=6。
可以看出，对于每一个自然数i，它的1次方幂的和为1+2+3+.+i。
根据等差数列求和公式，这个和是i*(i+1)/2。
所以，前n个自然数的方幂和就是1*(1+1)/2+2*(2+1)/2+.+n*(n+1)/2。
这个公式可以进一步简化。
考虑一个数列i*(i+1)/2，它实际上是一个等差数列的和。
根据等差数列求和公式，这个数列的和是(1^2+2^2+.+n^2)/2。
现在我们得到了前n个自然数的方幂和公式：sum(i^n, i=1,n)。
对于给定的n，我们可以使用这个公式来计算前n个自然数的方幂和。
这个公式的应用是广泛的。
它可以用于计算前n个自然数的各种方幂和。
例如，我们可以使用这个公式来计算前n个自然数的2次方幂和、3次方幂和等等。
此外，这个公式还可以用于数学竞赛、数学研究和应用领域。
最后，我们需要注意的是，这个公式仅适用于前n个自然数的方幂和计算。
对于其他数列的方幂和计算，可能需要使用不同的公式和方法。
因此，在使用这个公式时，需要注意适用范围和条件。
总之，前n个自然数的方幂和公式是一个简单但有用的数学工具。
通过掌握这个公式，我们可以轻松地计算出前n个自然数的各种方幂和，从而更好地理解和应用数学概念和方法。
自然数的n次方和
自然数的n次方和自然数的n次方和是指计算一个自然数的n次方之和，也叫幂次和。
它是一种数学概念，用于表示一系列以n 为指数的自然数的总和。
在数学中，自然数的n次方和可以用来表示一系列自然数的和，其中每个自然数都有相同的指数n。
例如，计算5的3次方和就是计算5^3 + 5^3 + 5^3 + 5^3 + 5^3的和，即5³ × 5 = 125。
幂次和也可以用于计算一系列多项式的和，例如计算x^3 + x^3 + x^3 + x^3 + x^3的和，也就是x³ × 5 = 5x³。
幂次和可以使用多种方法进行计算，其中包括使用公式、使用数论方法、使用数值计算方法等。
首先，使用公式计算自然数的n次方和。
对于正的整数n，其n次方和的计算公式如下：Sn=a^(n+1)-1/a-1其中，a为自然数，n为指数。
当a为1时，Sn=n。
例如，计算2的4次方和，根据上面的公式，可得：S4=2^(4+1)-1/2-1=15即2的4次方和为15。
其次，使用数论方法计算自然数的n次方和。
假设要计算m^n + m^(n+1) + m^(n+2) + ... + m^N的和，可以将其表示为m^n(1 + m + m^2 + ... + m^(N-n))，这样可以将其看成是一个等比数列，其等比数列的和可以使用等比数列的求和公式来计算：Sn=m^n(1-m^(N-n+1))/(1-m)例如，计算3的4次方和，根据上面的公式，可得：S4=3^4(1-3^2)/(1-3)=63即3的4次方和为63。
最后，使用数值计算方法计算自然数的n次方和。
在数值计算中，可以使用循环结构或递归结构，将数值按照指定的次数进行迭代，计算出所有数值的和。
例如，计算2的4次方和，可以使用循环结构：int s = 0; for(int i = 0; i < 4; ++i){ s += pow(2, i); } printf("s = %d\n", s);运行结果：s = 15说明2的4次方和为15。
自然数幂方和二项系数表示的系数公式
ｏ ｏ ０ ～
２ 定 理 的证 明
引理 １ 设 ｉ 是正整数 ， 整数 ｓ 满足 ０≤ｓ ｉ ≤ ， 则行列式
。
０ 。
＝
Ｃ
０ ０
０ ０
其 中元素 ｃ 为二项系数． 证 明 按 （２ 式 约定 ， 列式 １） 行
Ａ（ ，） ＝ ｉＯ
便应用（） 可约定：： ＝１ ｏ ＝ ” ＝ｎ ＝ｏ ｋ ）这样（ ） １ 式， 口 叭 ， ａ ＇ （ ≥１． １ 式对 ｉ ，， ｋ ＝１２…，都成立．
１ 主要 结果 和性 质
定理 １ 设 ｎ ｋ 任意 两个 自然 数 ， １一ｎ这 ｎ个 自然数 的 ｋ 和为 ，是 则 方
∑ｓ＝ ｌｃ 。 口 ｃ …＋ ｃ ｋ ａ ： ＋ ： ＋ 口 ： ”＋ ”＋ ”：
其 中
ｎ ＝
（） ２
∑ （ １， ； ＝ ∑ （ １ 一ｓ （ ＝ ， …， 一 － ｓ ｉ 一 ） 一 ｉ １ ， ｓ ｃ ｃ － 一 Ｉ ｓ ２ ）ｎ Fra bibliotek（） ３
定理 ２ 设 ｎｋ是任 意两个 自然 数 ， ， 则
” ： ＋… ＋ ｃ 中， 口 ｃ＋ 。 ” 系数 ”满足
口
＝ （ ＋ ）ｉ ， Ⅱ “ 口 ｎ ， ＝２ …，， ’＝１口 ” ，： ”＝（ ＋１ｎ” ｋ ）：
（） １
但并没有得出由后 、直接计算 口 的代数表达式． 本文利用行列式和二项系数的性质， 得到了 自然数幂方 和由二项系数表示的系数公式和由排列数表示 的系数公式 ， 从而得到了系数直接 由 ｋ 表出的公式． ， 为方
Ｖ０ ． ２ Ｎｏ ３ １２ ． Ｓｅ ．２０ ８ ｐｔ ０
文章 编号 ：０ ９４ ９ （０ ８ ０ － ２ － １０ －４ ０ ２ ０ ）３０ ４０ ０ ６
各类求自然数幂和方法
各类求⾃然数幂和⽅法⾼斯消元我们知道：n ∑i=1i=n(n+1)2以及：n∑i=1i2=n(n+1)(2n+1)6以及：n∑i=1i3=(n∑i=1i)2=(n(n+1)2)2那我们可以猜想，⾃然数的k次幂和对应的公式是⼀个次数为k+1的没有常数项的多项式（实际上也是的）。
证明吗，暂时不会。
However，我们可以拿这个猜想做题。
设这个k+1次的多项式f(x)=∑k+1i=1a i x i利⽤待定系数法，我们只需要知道k+2对(x,f(x))，列出⽅程组就能解出所有的a i，从⽽就能代⼊更⼤的x求出f(x)。
由于解⽅程组需要⽤到⾼斯消元算法，时间复杂度是O(k3)，在k≤100的范围内还是能⽆压⼒解决的。
总结时间复杂度：O(k3)空间复杂度：O(k2)由于⾼斯消元时要在模意义下做除法，对于模数不是质数的情况⽆法适应，⽽且时间复杂度难以接受，不是⼀种较常⽤的⽅法。
第⼆类斯特林数分析定义S(n,m)表⽰n个有差别的球放⼊m个⽆差别的盒⼦中的⽅案数，要求盒⼦不能为空。
容易得到下⾯的递推式：S(n,m)=S(n−1,m−1)+mS(n−1,m)考虑新加⼊的球，要么放在新的盒⼦⾥，要么放在之前的盒⼦⾥。
因为球是有差别的，所以放在任意⼀个盒⼦⾥的⽅案都是不⼀样的，因此S(n−1,m)要乘上⼀个m。
要⽤它解决⾃然数幂和问题，还是要⽤到第⼆类斯特林数的⼀个性质：a k=k∑i=0S(k,i)i!C i a这个性质还是很好解释的，我们可以把a k当做k个有差别的球，放⼊a个有差别的盒⼦的⽅案数，盒⼦可以为空。
那么我们就枚举i个盒⼦被放满了，S(k,i)只保证了球有差别，乘以i!相当于给盒⼦编号，令盒⼦也有差别，最后乘上⼀个C i a表⽰在a个盒⼦中选i个的⽅案数。
那么就可以开始化⾃然数幂求和的式⼦：∑n a=1a k=∑n a=1∑k i=0S(k,i)i!C i a两个sigma没有关联，我们可以交换枚举顺序：=∑k i=0S(k,i)i!∑n a=1C i a由于a<i时C i a=0，⼜可以化成：=∑k i=0S(k,i)i!∑n a=i C i a继续化简需要⽤到⼀个性质：∑n a=i C i a=C i+1n+1证明考虑运⽤组合数递推公式即：C j i=C j i−1+C j−1i−1C i+1n+1=C i n+C i+1n=C i n+C i n−1+C i+1n−1=C i n+C i n−1+C i n−2+C i+1n−2继续化下去就会得到：=∑n a=i C i a性质就得证了，上⾯的式⼦就化简为：=∑k i=0S(k,i)i!C i+1n+1组合数有点⿇烦，我们展开为阶乘形式：=∑k i=0S(k,i)i!(n+1)! (i+1)!(n−i)!拆开(i+1)!=i!∗(i+1)：=∑k i=0S(k,i)(n+1)! (i+1)(n−i)!发现(n+1)!(n−i)!其实是i+1个连续整数相乘，其中必有⼀个是i+1的倍数，因此式⼦⼀定取整数，就不⽤考虑模数的问题了。
待定系数法求自然数幂和
待定系数法求自然数幂和等待定系数法是一种对自然数幂和进行求和的有效算法，它能够比一般的求和算法节省大量的计算时间。
该算法最初由汉斯·霍尔表达 (Hans Holtsman)在1934年发明，以解决自然数幂和求和问题。
自然数幂和指的是给定的自然数之和的n次幂的和，可以表示为：$1^n+2^n+3^n+4^n+5^n+\cdots+(n-1)^n+n^n$等待定系数法允许计算机利用迭代来求得所需的幂和。
确定自然数幂和的步骤如下：1. 从给定的自然数中选取第一个数$a_1$，其二次幂为$a_1^2$，如果给定的自然数是$1,2,3,4,5,\cdots,n$，则$a_1$为1.2. 从$A_1$之后的自然数中选取$A_2$，$A_2$的二次幂为$A_2^2$，以此类推，一直选取到n个数，这些数的二次幂是$a_1^2,a_2^2,a_3^2,\cdots,a_n^2$，其中$A_i$的范围同样也是$1,2,3,4,5,\cdots,n$。
3. 计算$a_1,a_2,\cdots,a_n$的积$a_1a_2\cdots a_n$，将它们映射到新的值$b_1,b_2,\cdots,b_n$，即$b_i=a_1a_2\cdots a_i$，其中$b_1=a_1$，$b_2=a_1a_2$，$b_3=a_1a_2a_3$，以此类推。
4. 根据可用的公式，求出$b_1^2+b_2^2+b_3^2+\cdots+b_n^2$，即为最终的自然数幂和。
等待定系数法的优点在于它可以有效地将计算机程序的迭代减少到$O(n^2)$。
通常，使用传统的方法求解自然数幂和的时间复杂度为$O(n^3)$，而等待定系数法可以降低该复杂度，从而大幅度地加快求和的过程。
等待定系数法的应用可以在各种科学和数学领域来体现，比如离散数学中的集合求和，图论中的节点度计算，图形学中的三角函数计算和图论编码中的数据编码。
此外，它还广泛用于数据挖掘、量化交易和机器学习领域。
自然数幂函数与指数函数
自然数幂函数与指数函数自然数幂函数和指数函数是数学中重要的函数类型，它们在数学和科学领域有广泛的应用。
本文将介绍自然数幂函数和指数函数的定义、性质以及它们之间的关系。
一、自然数幂函数的定义和性质自然数幂函数是以自然数为底数的幂函数。
它的一般形式为f(x)=x^n，其中n是一个自然数。
当n为正整数时，自然数幂函数可以表示为多项式的形式，例如f(x)=x^2就是一个二次函数。
自然数幂函数的性质有以下几点：1. 自然数幂函数的定义域是全体实数，即所有实数都可以作为自然数幂函数的自变量。
2. 当n为偶数时，自然数幂函数的值域是非负实数集合（包括0）；当n为奇数时，自然数幂函数的值域是全体实数。
3. 当x趋近于正无穷大时，自然数幂函数的值也趋近于正无穷大。
同样地，当x趋近于负无穷大时，自然数幂函数的值趋近于正无穷大（当n为偶数时）或负无穷大（当n为奇数时）。
4. 自然数幂函数的图像随着n的变化而改变，n的增大使得图像变得更平缓，n的减小则使得图像更陡峭。
二、指数函数的定义和性质指数函数是以常数e（自然对数的底数）为底数的幂函数。
它的一般形式为f(x)=a^x，其中a是一个大于0且不等于1的实数。
指数函数的性质有以下几点：1. 指数函数的定义域是全体实数，即所有实数都可以作为指数函数的自变量。
2. 当x趋近于负无穷大时，指数函数的值趋近于0；当x趋近于正无穷大时，指数函数的值趋近于正无穷大。
3. 指数函数的图像随着a的变化而改变，a的增大使得图像变得更陡峭，a的减小则使得图像更平缓。
4. 特殊情况下，当a=1时，指数函数变为恒等函数f(x)=1，即函数的值始终为1。
三、自然数幂函数与指数函数的关系自然数幂函数可以看作是指数函数的特殊情况，即当底数为自然数时，指数函数变为自然数幂函数。
例如，当a为自然数时，指数函数f(x)=a^x可以写成自然数幂函数f(x)=e^(xlna)。
这说明自然数幂函数和指数函数之间存在等价关系，可以通过转化的方式相互转换。
自然数幂求和矩阵法
自然数幂求和矩阵法
自然数幂求和矩阵法是一种用于计算连续自然数的幂次方之和的方法。
其基本思想是利用矩阵表示求和公式，将求和问题转化为求系数矩阵的逆矩阵问题。
通过这种方法，可以简洁地计算出前$n$个自然数的$m$次幂之和。
以计算前$6$个自然数的$6$次幂之和为例，具体步骤如下：
1. 构造一个$6\times6$的系数矩阵$A$，其中第一行至第六行的元素分别为$1$、$1$、$1$、$1$、$1$、$1$。
2. 构造一个$6\times1$的矩阵$B$，其中第一行的元素为$1$，其余元素为$0$。
3. 计算矩阵$A$和矩阵$B$的乘积，得到一个$6\times1$的矩阵$C$。
4. 计算矩阵$C$的逆矩阵$C^{-1}$。
5. 将矩阵$C^{-1}$乘以一个$6\times1$的矩阵$D$，其中第一行的元素为$1$，其余元素为$0$，得到一个$6\times1$的矩阵$E$。
6. 矩阵$E$的第一行元素即为前$6$个自然数的$6$次幂之和。
自然数幂求和矩阵法的关键是构造系数矩阵$A$和矩阵$B$，并计算它们的乘积和逆矩阵。
通过这种方法，可以简洁地计算出前$n$个自然数的$m$次幂之和。
自然数幂次方和公式
自然数幂次方和的另一组公式摘要：一般的自然数幂次方和公式是用n 的p+1次方的多项式表示，考虑到任一多项式均可用kn C 表示，本文给出了自然数幂次方和用kn C 表示的方法，并且给出了相应的系数完整表达式。
这比多项式表达方便得多，因为多项式表达的系数至今仍是递推公式表达。
由笔者的文章（注【1】）知，自然数幂次方和可以用关于n 的多项式表达，而每一个多项式均可用kn C 表示的，因此可猜想自然数幂次方和也可以用kn C 表达出来。
假设自然数幂次方和可以写成以下形式∑∑=++===pk k n k nk p n C A k S 1111。
（1）那么同理可应有：∑∑=++--=-==pk k n k n k p n C A k S 111)1(111那么：∑∑=+=++--=-=pk k n k pk k n k n n p C A C A S S n 111111 []∑∑==+++=-=pk k n k pk k nk n k p C A C C A n 11111∑==pk kn k p C A n 1因为对于充分大的自然数n 均使得上述式子成立，所以上式对应的应该是一个关于n 的p次多项式，其中：)1).....(1(k n n n C k n -+-=这仅仅是一个多项式的写法，与排列组合无关, n 可为任意的数。
分别令n=1,2,3， 。
p-1时就有：01111+=+==∑∑∑∑=+===tk kt k p t k ktk tk k tk p k k tk pC A C A C A C A t∑==tk k t k p C A t 1)1...3,2,1(-=p t 。
（2)∑-=-=11t k kt k pt C A t A)1...3,2,1(-=p t 。
（3）这是一个递推的数列，其中A 1=1 ， 很显然，通过它可以求出所有的系数t A ，仿照笔者的文章（注【1】）可证明，由（3）式求出的系数t A ，使得公式（1）成立，即自然数幂次方和的公式由（1）（3）给出了。
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和 的 内 涵 不 断 被 诠 释 。历 史 上 很 多
科 学 家 研 究 过 它 ： 高 斯 、 费 马 、牛
顿 、伯 努 利 ，以 及 许 多 如 我 这 般 的
无名小生。
利 用 初 等 数 学 知 识 ，我 们 能 比
较容易的算出低阶自然数方幂和
的表达式：
S (0) n
=
n
S (1) n
=
n(n + 1) 2
2
阶
，1
阶
，最
终
求
出
S (m) n
的
表
达
式
。
很 遗 憾 ， 到 目 前 为 止 没 有 做 到 ，可
能牛顿真的很聪明。
行 列 式 （ 系 数 三 角 形 ）：
申 明 ：网 上 有 一 种“ 系 数 三 角
形 ”的 方 法 ，据 说 是 一 个 初 中 生 找
出 来 的 。 文 献 要 钱 ， 我 没 看 到 。我
⎡
−
C1 m+1
⎢ ⎢
C2 m+1
− Cm1
0 ⎤ ⎡xm+1 ⎤ ⎡− 1⎤
⎥ ⎥
⎢ ⎢
xm
⎥ ⎥
⎢ ⎢
0
⎥ ⎥
⎢ ⎢
−
C3 m+1
⎢ ⋅⋅⋅
Cm2 ⋅⋅⋅
−
C1 m−1
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎢
xm−1 ⋅⋅⋅
⎥ ⎥ ⎥
=
⎢0⎥ ⎢⎢⋅ ⋅ ⋅⎥⎥
( ) ( ) ( ) ⎢⎣
−1
C k+1 k+1 m+1
此式可通过数学归纳式，如取求自然数立方和时，
取 m=2， 则 有 :
3
2
n ∏(i + k )
∏ (n + k )
∑ k=0
i=1 3!
= k=0 4!
○2
∑ ∑ ∑ ○ n
n
i3 + 3
i2 +
n
i = n(n +1)(n + 2)(n + 3)
3
i=0
i=0
+
6n3
− 3n
+ 1)
倪亮：
2005 年 我 读 高 二 ， 当 时 正 在 学
二 项 式 定 理 ，数 辅 上 一 种 利 用 二 项
式定理求自然数平方和的方法引
起了我的兴趣：
注
：
Cnn
+
Cn n+1
+
⋅
⋅
⋅
+
C
n n+
r
+ ⋅⋅⋅ + Cnn+m
C = n+1 n+m+1
在 兴 趣 的 驱 使 下 ，我 又 试 着 求
思 ， 注 意 区 别 ！）
为 了 方 便 计 算 幂 和 数 ，我 特 地
编制了下面这张表：
注 ：这 是 继 05 年 的 第 二 张 表 ，
表 中 数 据 全 部 由 计 算 机 算 得 。有 兴
趣可以自己编个小程序试一下。
有 了 前 面 的 工 作 做 铺 垫 ，下 面
计算自然数方幂和自然不在话下。
m
∑ ( ) 观 察 得 k m =
， 系 数 H A −1 i i
m−i
m−i k +m+1−i
i=0
为
H
m n
，
称
“
幂
和
数
”。 经
研
究（
参
照
费
马
解
析
自
然
数
方
幂
和
方
法
）， 得
出
H
m n
的 几 何 意 义 ：将 自 然 数 1 、2 、3 … …
n 每 次 可 重 复 地 选 出 m 个 来 ，将 每
m +1− i
大 功 告 成 ，这 就 是 我 给 出 的 自
然 数 方 幂 和 和 公 式 ，利 用 它 我 们 能
快速的写出任意阶方幂和表达式，
当 然 也 是 理 论 上 的 。为 了 快 速 准 确
求出幂和数
H
m n
，
我
编
了
一
个
简
单
的 C 程 序 ， 见 附 表 。 说 句 实 话 ，经
本 人 这 几 年 的 研 究 ，发 现 要 把 自 然
m
∑ S (m ) n
=
ki
1
i=0
m
∑ ( ) k m =
H A − 1 i i
m−i
m −i k + m +1−i
1
i=0
m +1
nm
∏ (n + k )
∑ ( ) ∏ i + k = k =0
i =1 k =0
m+2
1
联立上面三式得：
∑( ) m
S (m) n
=
i=0
H A −1 i
i m+1−i m−i m+n−i
方幂和公式当然不可能是一个简
单 的 关 于 m， n 的 有 限 表 达 式 。在
此劝告那些完美主义者，转换观
念，你要的是你得不到的。
费马：
1638 年 ， 费 马 注 意 到 公 式 ：
m+1
m
n ∏(i + k )
∏ (n + k )
∑i=1
k =0
(m +1)!
=
k =0
(m + 2)!
○1
n4
+
0n3
−
1 12
n2
−
0n
S (6) n
=
1 7
n7
+
1 2
n6
+
6 12
n5
+
0n4
−
1 6
n3
−
0n2
+
1 42
n
S (7) n
=
1 8
n8
+
1 2
n7
+
7 12
n6
+
0n5
−
7 24
n4
−
0n3
+
1 12
n2
+
0n
首 先 从 整 体 出 发 ，我 们 可 以 大 胆 的 猜 测 ：对 于 任 意 正 整 数 k 和 n ， 自然数方幂和总可以表示成 n的 一 个 k + 1 次 多 项 式 。写 成 数 学 表 达 式如下：
S
(1) n
=
n(n + 2
1)
,
S
( n
2)
=
n(n + 1)(2n + 1) 6
的
多
一
点
，
他
们
知
道
。 长 S (3) n
=
[ n(n + 1) ]2 2
期 以 来 ，人 们 对 自 然 数 方 幂 和 的 了
解也仅限于此。
几 个 世 纪 过 去 了 ，随 着 人 类 科
技 、文 化 的 不 断 发 展 ，自 然 数 方 幂
了一下自然数的立方和：
接 着 又 试 了 四 次 方 ，五 次 方 ，才 发 现 这 个 方 法 的 妙 处 所 在 ，只 要 我 们
把 前 期 工 作 做 好 ，能 确 定 k m 分 解 为
连 乘 形 式 Anm 前 面 的 系 数 ，就 能 迅 速 写出任意阶自然数方幂和表达式。 于是做了以下研究：
关于自然数方幂和的几个研究方向
早 在 欧 几 里 得 时 代 ，先 祖 们 就
提出自然数方幂和这个概念。即：
1m + 2m + 3m + ⋅ ⋅ ⋅ + nm 的 通 项 公 式 ， 记 ：
S (m) n
= 1m
+
2m
+
3m
+⋅⋅⋅+
nm 。
很早古希腊人就知道
，印 度 人 知 道 S (0) n
=
n,
本 人 认 为 他 的 方 法 目 的 性 不 强 ，且
较 为 复 杂 ，在 此 就 不 多 说 了 ，下 面
仅给出他的几个重要公式：
∑ S (m) n
= 1m
+ 2m
+⋯+ nm
=
1 m+
1
⎧ m+1 ⎨ ⎩ r=0
C B r m+1 m+1−r
(n
+
1)
r
−
Bm+1
⎫ ⎬
⎭
∑ =
1 m+
1
m+1 r =1
S (2) n
=
n(n
+ 1)( 2n 6
+ 1)
S (3) n
=
[ n(n + 1) ]2 2
S (4) n
=
n(n
+ 1)( 2n
+ 1)(3n 2 30
+
3n
− 1)
S (5) n
=
[n(n
+ 1)]2 (2n 2 12
+
2n
− 1)
S (6) n
=
n(n
+ 1)( 2n
+ 1)(3n 4 42
C a k−i k−i m+1−i m+1−i