浅谈自然数幂和公式
幂次和公式
幂次和公式好的，以下是为您生成的关于“幂次和公式”的文章：咱先来说说啥是幂次和公式哈。
简单来讲，幂次和公式就是处理一堆数的幂次相加的好帮手。
比如说，从 1 到 n 的自然数的平方和，立方和等等，都能靠幂次和公式轻松搞定。
我想起之前给学生们讲这个知识点的时候，有个小同学瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这玩意儿有啥用啊？”我笑了笑，没直接回答他，而是给他出了一道题。
题目是这样的：假如有一堆砖头，第一层放 1 块，第二层放 2 块，第三层放 3 块，以此类推，一直到第 10 层。
那这堆砖头一共多少块？这小同学皱着眉头想了半天，还是没整明白。
我就引导他，这不就是从 1 加到 10 嘛，那用咱们的幂次和公式就能很快算出来啦。
先把这个问题转化成求 1 到 10 的和，这其实就是一个一次幂次和的问题。
咱先来说说一次幂次和的公式，就是 n×(n + 1)÷ 2 。
把 10 带进去，那就是 10×(10 + 1)÷ 2 = 55 块。
这小同学一下子恍然大悟，眼睛都亮了，直说：“原来这么简单，这公式真厉害！”那咱再来说说二次幂次和，就是从 1 到 n 的自然数的平方和。
这公式是 n×(n + 1)×(2n + 1)÷ 6 。
给大家举个例子哈，比如说要算从 1 到 10 的自然数的平方和。
把10 带进公式里，就是 10×(10 + 1)×(2×10 + 1)÷ 6 = 385 。
立方和的公式呢，是 n²×(n + 1)²÷ 4 。
假设要算从 1 到 5 的自然数的立方和，把 5 带进去，5²×(5 + 1)²÷ 4 = 225 。
这幂次和公式在数学里用处可大啦。
比如在算图形的面积、体积，或者解决一些复杂的数学竞赛题时，都能派上大用场。
多元视角下的幂和公式推导_沈金兴
线弓形的面 积、球、两 直 交 圆 柱 公 共 部 分 立 体 （牟 合 方 盖 ）等 的 体 积 ．阿 基 米 德 的 想 法 为 我 们 今 天 的 数学学习提供 了 借 鉴：一 个 数 学 结 果 有 时 可 以 借 助力学等原理 和 思 想 来 推 导 或 证 明．下 面 就 用 物 理学中的力学知识来推导一次幂和与两次幂和 公式．
对 于 幂 和 公 式 的 推 导 ，方 法 很 多 ，尤 其 是 二 次 幂 和 公 式 的 推 导 更 是 方 法 繁 多 ．但 纵 观 这 些 方 法 ， 大多数是以代 数 方 法 为 主［１］，有 的 甚 至 还 涉 及 高 等 数 学 知 识 ．那 能 否 不 单 纯 用 代 数 方 法 ，而 用 其 它 中学生能理解的知识来推导呢？答案是肯定的． 事实 上，笔 者 已 在 课 堂 上 作 过 尝 试，借 鉴 “毕 达 哥 拉斯学派”中的“形 数 理 论”来 推 导 一 次 与 二 次 幂 和公式［２］，效果很好．本文仍借鉴或介绍 古 代 数 学 家 的 方 法 ，从 物 理 学 和 几 何 学 的 多 元 角 度 来 推 导 ． 其实笔者在高一第二学期的校本选修课上已进行 了 课 堂 实 践 ，学 生 反 应 不 错 ．下 面 就 把 这 些 方 法 简 述 一 下 ，以 求 抛 砖 引 玉 ． ２ 物 理 学 视 角 下 的 幂 和 公 式 推 导
物 理 学 储 备 知 识 ：１．力 矩 ＝ 力 × 力 臂 ；２．一 个 质点系的力矩之和等于这个质点系的质量集中在 重心位置的力矩． ２．１ 一 次 幂 和 公 式 推 导
计算自然数幂和公式的分析方法
因此 ，
：
若｛ ６ ） 无界且正严格递增， ｌ ｉ ｍ －Ｏ 挚 ＝ ２ （ 有限） ， 则 ｎ 一 Ｄｎ １
极 限ｌ ｉ ａ ｒ ＝ ｆ ．
阿 曼尼 萨 ・ 买合 木 提 ， 邓 勇
（ 喀什大学 数学与统计学 院， 新疆 喀什 ８ ４ ４ ０ ０ ８ ）
摘
要： 针对 自然数 幂和问题 ， 利用数学分析 巾的斯托尔兹定理 ， 得到 了一种计 算 自然数幂和通项公式 的新方法 ，
给｝ Ｕ 了其具体推导过程 ， 并通 过实例验证 了该方 法的有效性． 此方法 的优点是无需掌握其 他技 巧和记忆公式 ， 只
ｌ ＋ ２ ＋ ” 咖 ： ｝ ｎ ｔ １ ＋ ２ 。 十 ¨ ’ ＋ ２ ＝ ｝ ｎ ３ ＋ ｝ 凡 ２ ＋ 凡 ， １ ３ ＋ ２ ＋ ” ‘ ＋ ｎ ３ ＝ ｝ ｎ ４ 十 １ ｎ ３ ＋ ｝
受 文【 ６ 】 启发 ， 本文 借 助斯 托 尔 兹定 理 来 确 定 多项 式 （ 凡 ） 的系数． 此 应 用 也再 一 次从 侧面 印 证 了斯 托尔兹 定 理的强 大威力 ． 假设
需 计 算极 限 即可 获 解 ． 关键 词 ： 斯托尔珐定理； 极 限， ｏ 自然数的幂和
中图分类号 ： ０１ ５ ６
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ： ２ ｏ ９ ６ — ２ １ ３ ４ （ ２ ０ １ ７ ） ０ ３ — ０ ０ １ ７ — ０ ２
关 于求 自然数 的幂 和 问题 是 一直 是 许 多数 学
在上述各种 自然数幂和的求法中 ， 除文【 ２ 】 以 外， 均 属 初 等方 法 ． 虽然 它们 在 理 论 推 导 上 比较 直 观易懂 ， 但 是计算都较 复杂． 由于文【 ２ 】 已揭示 出 自 然数 幂 和通 项 公式 的项之 间可用 导 数联 系 ， 因此 ， 是否 可 借助 数 学分 析 的工 具 来 寻求 解 决方 案 ？ 无 独有 偶 ， 徐礼 卡Ｉ 除好 回答 了这个 问题 ． 为保 持完 整 性 ，在此 先 回顾一 下 数学 分 析 中 计算 数 列 极 限 的 有 力 工 具— — 斯 托 尔 兹 定 理 ， 它 是 罗 比达法 则 在离散 情况 下 的一种 特殊 形式 ． 斯 托 尔 兹定 理 设 ｆ ｝ 和 ｝ 是两个实数列 ．
自然数的方幂和与组合数
一
年第
期
自然 数 的 方 幂 和 与 组 合 数
唐 仁 献
摘
要
,
本 文进 一 步 探讨 了 自然 数 的方幕 和与 组 合 数 之 间 的 关 系
、
并得 到 了 一 个定 理
。
一
设
n
,
引言
r
为 自然数
n
护
,
并记
, ,
S
;
(
)= 1 + 2 + 3 + … +
n
r
①
。
( 1 )
那 么 自然数的 方 幂和一 般 指 Q汹 求和 问题
_
_
而当
n
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r
时
,
称形如 ②
( 2 )
,
n
(
n
一 l)
(
n
一 2)
端
~
一(
n
一
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+ 1)
一
一一一一一下不 , 产一一一一
。 ,
的 数 为组合数
《图表法 》
、
不 少数 学爱好 者在 长 期探索 S ( ) 的 表达式 中得 出 了许 多 有益 的 方 法 如 2〕 《 〕《 项式 的带 《 降次法 》〔1〕 以及 《求 和 矩 阵法 》〔 微积 分 法尹 多 余 除 脚 以〕
.
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自然数三次幂和公式的几种证明
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自然数三次幂和公式的几种证明
作者：黄少文
来源：《读写算》2014年第11期
【摘要】在中学数学中我们遇到了有关求自然数幂和的问题，为了满足学生的好奇心，本文避开深奥的理论探讨及高次幂的繁琐，对自然数三次幂和公式给出若干种证明，使学生更好的掌握低次幂和公式，并发展学生的思维.本文所给出的证明方法都是十分精美的，中学生能很好的接受，可适当将其引入到课堂教学或学生的研究性课题中，通过对三次幂和公式的证明引导学生了解自然数幂和问题的求解，在不断的探索中，我们能获得许多乐趣，体验数学的
美 .
【关键词】自然数幂和，组合系数，三角形，数列
1. 问题的提出
3. 小结
一题多解多证对于思维的发展有很大的作用，本题还有很多种证法如数学归纳法等，我们还可作进一步探索，从中获得无穷的快乐.教师在讲授数学方法时，往往忽略证明包括幂和在内的一些公式.许多学生因此不理解、记不住或不会运用它们.本文所介绍的三次幂和公式的证明方法，都是比较简单易懂而且解法非常精美的，可以适当地引入课堂教学或学生的研究性课题.
参考文献
[1] 陈景润. 组合数学[M].河南：河南教育出版社，1985.
[2] 数学手册编写组.数学手册[M].北京：人民教育出版社，1979
[3] 周持中.自然数的方幂和[M].长沙：湖南数学通讯，1987
[4] 徐利治，王元化.数学分析的方法及例题选讲[M].北京：高等教育出版社，1999
[5] 唐秀颖.数学题解辞典[M].上海：上海辞书出版社，1985。
幂的运算知识归纳总结,(知识点,关系,典型考题)A4思维导图
幂的运算知识归纳总结,(知识点,关系,典型考题)A4思维导图问题：幂的运算知识归纳总结，1、自然数幂的定义。
①从1开始到 n（不包括0）这个范围内都是有限个相同因子组成的自然数叫做自然数；②正整数和零既不能被看作是自然数也不能被看作非自然数.只有正数才可以称为自然数。
③在所有自然数中，正整数有无穷多个，负整数有无穷多个。
这些无穷多个正整数和无穷多个负整数统称为整数。
2、整数指数幂：整数 a 的指数是1时，我们就说 a 是一个正整数的指数幂。
例如：2^3，2^2…2^ n，其中， a 是整数， n 是自然数或者正整数．3、有理数指数幂：整数 a 的指数是1时，我们还可以把它写成小数形式，即 a= a×(n/ m)，其中 m 是整数， n 是大于等于1的正整数。
当 a 的指数是正整数时，我们通常用字母 x 表示，而且小数部分的数值保留到整数部分后面。
例如：2^ x，2^ x…2^(x-1)，其中， x 是整数， x-1是小数点。
3、有理数指数幂：整数 a 的指数是1时，我们还可以把它写成小数形式，即 a= a×(n/ m)，其中 m 是整数， n 是大于等于1的正整数。
当 a 的指数是正整数时，我们通常用字母 x 表示，而且小数部分的数值保留到整数部分后面。
例如：2^ x，2^ x…2^(x-1)，其中， x 是整数， x-1是小数点。
4、对于实际问题，应该先计算出各种可能的结果，再利用公式进行推导。
5、要求，每条推论的前提必须是正确的，但在解决具体问题时，我们往往会忽略掉某些条件，使得最终的结果与预期的存在偏差。
因此，遇到需要运用公式进行推导的问题时，一定要先判断好已知条件的真假性，否则会影响到最终结果的准确性。
幂指数e的计算方式
幂指数e的计算方式
幂指数e是一个重要的数学常数，其值约为2.71828。
它在许
多数学和科学领域中都有着重要的应用，如微积分、概率论、复利
计算等。
幂指数e的计算方式可以通过不断累乘(1 + 1/n)的方式来
逼近，其中n为自然数。
具体地，幂指数e可以用以下公式来计算：
e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ...
其中n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ...
× 2 × 1。
通过不断增加阶乘的项，我们可以逼近幂指数e的值。
当我们
计算到无穷项时，就可以得到e的精确值。
然而，在实际应用中，
我们通常只需要计算前几项就能得到足够精确的结果。
在计算机科学和工程领域，幂指数e的计算方式也有着重要的
应用。
例如，在概率论中，e的出现与指数分布、泊松分布等概率
分布密切相关；在复利计算中，e也是一个重要的基础常数。
因此，
掌握幂指数e的计算方式对于理解和应用数学和科学知识是非常重要的。
总之，幂指数e是一个重要的数学常数，其计算方式可以通过累加阶乘的方式来逼近其值。
对于数学、科学和工程领域的学习和应用都具有着重要的意义。
希望大家能够加深对幂指数e的理解，更好地应用于实际问题中。
关于有限个自然数的幂和的组合恒等式计算法
ｃ ＋ ＝ ７
｝ Ｉ 时 先将 ｜ 表示为组合 的线性结构 ， ｉ ｝ ３ 在计 算 ． ，
ｋ ＝ ３１ ’
＋（ ： ６ ３ 十 ２ 十 ） ４ 十 × ７× 十…（ １ ｃ １ １ ４ １ ＋６× ＋ ２ｃ ＋ｃ ） ３ ｃ ７× ｌ １ １２ ｍ ＝ ｃ ＋ ＋… ＋ ）＋ ３ （ ＋ ： … ４ （： １ ６× ｃ ＋ １
＋ｃ ）
但 求和∑．＝ １ ２ ３ ＋ … 要 ｊ 。＋ ’＋ ｝ ３
Ｉ＝ｌ
＝
－
＋，
． １ ＋ ２ ｊ ｝ ４ ＋ ３ ＋ … ＋ ｍ
ｔ＝１
＝３（ ＋ ＋ ） ３ ２（ ＋ ＋ ） …＋ ＋ 谚 …＋ １ ｘ１ ＋（： ＋… ＋ｃ） Ｃ＋ ＝３ｃ＋＋ ２ｃ＋＋ｃ＋ ：１ ３× ｌ 三ｌ １ １
第２ ６卷
ＶＤ ． １２６
第 ５期
四川教育学院学报
Ｊ ０ＵＲＮ Ｉ ＡＬ ０Ｆ ＳＣＨＵＡ Ｃ Ｌ Ｅ ０ ＵＣ Ｉ０Ｎ Ｎ ＯＬ ＥＧ Ｆ ＥＤ Ａ， １
２１ ０ ０年 ５月
Ｍａ ． ０ ０ ｙ２ １
关 于 有 限个 自然数 的幂 和 的组合 恒 等 式 计算 法
＝
（ ： ＋ｃ＋）＋ｃ＋ ｃ ： ２ ： ３＋… ＋
∑ ＝ １ ＋ ２ 十 ３ ＋ ４。 ＋ …
Ｉ＝１
＝
＋
＝（： ｃ： ＋ｃ＋）＋ｃ“ ＋… ＋ｃ ： ３ ： 二
＝
Ｃ ＋（ ２ ＋ ）＋（ １ ＋ １ ： ７× １ ６ ３ ７ ２ Ｘ Ｘ
＋ ）
＝ ＋（５× ＋ ）＋（ ５×３ ＋１ ２１ １ ２１ ２ １ ５×
日ｍ ） （Ｊ ＝
＾：ｌ
∑Ｊ ＝ ２＋ ．＋ ’ ｊ １＋ ３＋． ｍ ｝ ３ 。
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浅谈自然数幂和公式一、自然数幂和是什么：所谓自然数幂和 ,系指)(211N p rn nr pp p p ∈=+⋅⋅⋅++∑= (1)在中学数学里 ,我们遇到 p= 1, 2, 3三种情形。
(1)的求和公式从低次幂到高次幂 ,从特殊到一般的历史所留给我们的不同时代、不同国家的数学家所展示的聪明才智 ,对于我们今天的数学教学仍有着现实意义。
二、自然数幂和是怎么来的：公元前 6世纪 ,古希腊毕达哥拉斯 ( pythag or as)发现 ,从 1开始 ,任意多个连续自然数之和构成三角形数 。
如图 1,毕氏以一点代表 1,二点代表 2,等等 。
如图 2,在三角形数旁补一倒立的三角形数 ,由此易得n n n n n 21212)1(212+=+=+⋅⋅⋅++ (2)毕氏还以图 3所示的正方形数的构造得出公式2)12(31n n =-+⋅⋅⋅++ (3)公元前 3世纪 ,阿基米德 ( Archimedes,前 287～ 212)在《论劈锥曲面体和球体》一书中利用几何方法证明了如下引理:])()2([3)2())(1(2222na a a na a a a na n +⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++++ 当 a= 1时 ,利用 (2)可得nn n n n n n 612131)12)(1(612123222++=++=+⋅⋅⋅++ (4)公元 100年左右 ,毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘( Nico machus)著《算术引论》一书 ,书中的一条命题说 ,在奇数 1, 3, 5, 7,… 中 ,第一个是立方数 ,后面两个之和是立方数 ,再后面三个之和是立方数 ,等等 ,此即113=(1个奇数) ,5323+=(2个奇数) ,119733++=(3个奇数) ,1917151343+++=(4个奇数） ,… … … … … …)1()3()(2223-++⋅⋅⋅++-++-=n n n n z n n n (n 个奇数) . 由此易知 ,当 p= 3时 , (1)是n +⋅⋅⋅++21 个连续奇数 )1(,,3,12-+⋅⋅⋅n n之和 ,从而由 (2)、(3)即得2342333412141)]1(21[21n n n n n n ++=+=+⋅⋅⋅++ (5)《算术引论》未载此公式 ,但我们有理由相信 ,尼可麦丘 ,甚至比他更早一些的希腊数学家是知道此公式的 ,因为连当时的罗马土地丈量员也知道它 ;而且早期毕氏学派的学者们惯常用图 3所示的在 1旁相继添加直角 (添一个直角即是增加一个奇数 )的方法来求连续奇数之和 ,他们知道 ,若加到 1旁的直角个数为 r ,则和 (包括 1)为 2)1(+r .因此有了尼可麦丘的发现 ,只要找出33332n +⋅⋅⋅++中共有几个直角即可得三次幂和 .公元 5、 6世纪 ,印度数学家阿耶波多 ( Ary abha ta ,476～ ? )的数学著作中载有公式 (4)和 (5) ,后来的婆罗摩笈多 ( Br ahmag upta, 7世纪 )、摩诃毗罗 ( M ah av ira, 9世纪 )和婆什迦罗 ( Bh a ska ra, 12世纪 )的数学著作中都出现公式 (2)、 (4)和 (5) .11世纪 ,阿拉伯数学家阿尔卡克希 ( Al-ka rkhi )的数学著作中出现公式 (4)和 (5) ,其中前者的形式是)613)(1(3212222++=+⋅⋅⋅+++n n n n 阿尔卡克希用富有希腊特色的几何代数法对公式(5)作出证明 . 如图 4所示, 设边),1(2121+=+⋅⋅⋅++=n n n AB 2,1,-='''''-='''='n B B n B B n B B 等等 .在⋅⋅⋅''',,B A B A 上作正方形,,,⋅⋅⋅'''C A C A 得 n - 1个 矩 尺 形,,,,⋅⋅⋅''''''''''''D C B D C B D C B 因矩尺形 DC B '的面积)(D C BC B B D C D D BC B B S D C B ''+'=''⋅'+⋅'='而n B B n n D C n n BC ='-=''+=,2)1(,2)1(故3]2)1(2)1([n n n n n n S D C B =-++='同理，33)2(,)1(-=-='''''''''''n S n S D C B D C B 等等。
因此有2333)]1(21[21+==+⋅⋅⋅++n n S n ABCD 【1】三、自然数幂和公式：自然数幂和是一个古老的题目，数学史上有许多记载。
自古希腊的阿基米德至现代的陈景润等学者都对此问题进行过深入研究，得到了好的结果。
（一）陈景润的公式陈景润等利用组合数学的相关知识 ,通过大量的计算和复杂的证明得到了自然数幂和的规律∑=+ni k i112是22)1(+n n 与)1(+n n 的)1(-k 次有理多项式的乘积 ,而∑=niki12是)12)(1(++nnn与)1(+nn的)1(-k次有理多项式的乘积。
【2】（二）李善兰的公式清朝数学家李善兰先生在他的著作《垛积比类》中提出的一种数列求和公式。
公式具体内容:它不是一个等差数列，也不是一个等比数列，但通过二项式定理的展开式，可以转化为按等差数列，由低次幂到高次幂递进求和，最终可推导至李善兰自然数幂求和公式的原形。
当n为奇数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N=N+N+N+...+N加或减去所有添加的二项式展开式数=(1+N)N减去所有添加的二项式展开式数。
当n为偶数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N=2N+2[(N-2)+(N-4)+(N-6)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数又当n为偶数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:2s=[N+1]+[(N-1)+2]+[(N-2)+3]+...+[(N-N-1)+(N-1)]=2[(N-1)+(N-3)+(N-5)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数,合并n为偶数时2S的两个计算结果，可以得到s=N+(N-1)+(N-2)+...+1的计算公式。
其中，所有添加的二项式展开式数，按下列二项式展开式确定，如此可以顺利进行自然数的1至n 幂的求和公式的递进推导。
【3】 （最终推导至李善兰自然数幂求和公式）（三）自然数幂次方和的另一组公式一般的自然数幂次方和公式是用n 的p+1次方的多项式表示，考虑到任一多项式均可用k n C 表示，本文给出了自然数幂次方和用kn C 表示的方法，并且给出了相应的系数完整表达式。
这比多项式表达方便得多，因为多项式表达的系数至今仍是递推公式表达。
自然数幂次方和可以用关于n 的多项式表达，而每一个多项式均可用kn C 表示的，因此可猜想自然数幂次方和也可以用kn C 表达出来。
假设自然数幂次方和可以写成以下形式∑∑=++===pk k n k nk pn C A kS 1111 。
（1） 那么同理可应有：∑∑=++--=-==pk k n k n k pn C A k S 111)1(111那么：∑∑=+=++--=-=pk k n k pk k n k n n pC A CA S S n 111111[]∑∑==+++=-=pk k nkpk k nk n k pCA CCA n 11111∑==pk k nkpCA n1因为对于充分大的自然数n 均使得上述式子成立，所以上式对应的应该是一个关于n 的p 次多项式，其中： )1).....(1(k n n n C kn-+-=这仅仅是一个多项式的写法，与排列组合无关, n 可为任意的数。
分别令n=1,2,3， 。
p-1时就有： 01111+=+==∑∑∑∑=+===tk k t k pt k k tktk k tk pk ktk pC A CA C A C A t∑==tk k tkpCA t 1)1...3,2,1(-=p t 。
（2)∑-=-=11t k k t k pt C A t A )1...3,2,1(-=p t 。
（3） 这是一个递推的数列，其中A 1=1 ， 很显然，通过它可以求出所有的系数t A 可证明，由（3）式求出的系数t A ，使得公式（1）成立，即自然数幂次方和的公式由（1）（3）给出了。
其中（3）式是递推公式，那么能不能直接写出系数A t 的表达式呢，下面给出这个结论。
引理：it i t it i k i k i kk t C C C --=---=-∑)1()1( 。
（4）证明：令：∑-=-----=-=it j j i t j i t j it C x x x f 0)1()1()(∑-=--==it j j i t j C f 0)1(0)1(令k=i+j 的，则j=k-i ，同时两边分别乘以i t C ，那么 ik tik tik i k it i t ik i k it C C C-==------=-=∑∑)1()1(0 。
（5） 因为有：k ti k i t i t i k ik k t i t i t i k C C C C i i k k t t i k i k k t k t C C i k t i k t i t i t k t i k i t C C =--=--=--=----=----所以：!)!()!(!)!(!!)!(!!!)!()!(!)!(!!)!()!()!(因此（5）式可以变换为：it i t t ik i k k t i kt i k ik k t ik itit t ik ik k t i k i t i t t ik ik k t ik iti t tik tik ik k t ik ik i k it itC CC C C C C C C C C C C C CC --=--=---=---=--==------=--+-=-+-=-+-=-=-=∑∑∑∑∑∑)1()1()1()1(0)1()1(0)1()1(0)1()1(01111证毕。