自然数幂求和公式的存在与规律探讨

合集下载

幂级数求和函数方法概括与总结

幂级数求和函数方法概括与总结常见幂级数求和函数方法综述引言级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。

中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。

这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。

而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。

同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。

到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。

中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。

而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。

它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。

幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。

但很多人往往对这一内容感到困难。

产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。

事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。

一、幂级数的基本概念（一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3)n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称12()()(),n u x u x u x x E ++++∈为定义在E 上的函数项级数，简记为1()n n u x ∞=∑ 。

2、具有下列形式的函数项级数200102000()()()()n nn n n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑称为在点0x 处的幂级数。

与自然数幂相关的数列和的求法

数列求和问题在高中数学中比较常见,此类问题的命题形式有很多种,如求数列{a n±b n}、{a n b n}、{1a n a n+1}等的前n项和，一般可采用错位相减法、公式法、裂项求和法、分组求和法等来求解.当遇到与自然数幂相关的数列求和问题时，该如何求和呢？如果数列的通项公式为f（n）=∑i=0m a i n i，那么如何求这类与自然数幂相关的数列的和呢？我们不妨猜想它的表达式形式是这样的：S n=C+∑k=0m A k C k+1n+1(1)，其中C和{A k}是待定的常数，那么该数列的n-1项和为Sn-1=C+∑k=0m A k C k+1n(2).而f(n)=S n-S n-1，则S n-S n-1=∑k=0m A k C k+1n+1-∑k=0m A k C k+1n=∑k=0m A k(C k+1n+1-C k+1n)=∑k=0m A K C k n，即f(n)=∑k=0m A k C k n(3).这也就是说只要将数列的表达式转变为含有C k n的形式即可.由于该式对于任意的自然数n都成立，考虑到C k n=n×(n-1)∙...∙(n-k+1)k，当k>n是均有C k n=0，所以f(t）=∑k=0t A k C k t(t=1,2，⋯，m)，而A0=f(0)，则A t=f(t)-∑k=0t-1A k C k t（4）.显然这是一个递推公式，我们可以根据该递推公式求出所有的系数{}A k.由（4）可得出如下的结论.结论：任意数列f（n）=∑i=0m a i n i的前n项和S n的表达式为Sn=-f(0)+∑k=0m A k C k+1n+1，其中系数{}A k由（4）式给出.证明：（1）当m=1时,由（4）式得，A0=f(0),A1=f(1)-A0，那么S1=-f(0)+A0C12+A1C22=-f(0)+2A0+A1=A0+A1=f(1)，即结论成立.（2）假设m=n-1时成立，即上述（2）式成立，由于（3）式成立，所以利用S n=f(n)+S n-1可得（1）式，所以m=n结论也成立.可能有人会好奇，所有的推导都基于（1）式的猜想假说，怎么都没有证明这个猜想就直接得到最后的结论呢？这就是数学归纳法的“妙处”.（4）式怎么得来的不重要，重要的是结论是否符合数学归纳法的流程.只要流程符合，那么该结论就成立.例1.若数列的通项公式为f(n)=n3，求该数列的前n项和.解：A0=f(0)=0,A1=f(1)-A0C01=1，A2=23-A0C02-A1C12=6，A3=33-A0C03-A1C13-A2C23=6，∴S n=A3C3+1n+1+A2C2+1n+1+A1C1+1n+1+A0C0+1n+1=6C4n+1+6C3n+1+C2n+1，化简得S n=14n2(n+1)2.解答本题主要运用了上述结论.而运用该结论求得的结果与现已知的公式∑k=1n k3=14n2(n+1)2是一致的.例2.若数列的通项公式为f(n)=n2+n+1，求该数思路探寻50列的前n 项和.解：A 0=f (0)=1,A 1=f (1)-A 0C 01=2，A 2=f (2)-A 0C 02-A 1C 12=2，∴S n =A 2C 2+1n +1+A 1C 1+1n +1+A 0C 0+1n +1-f (0)=2C3n +1+2C2n +1+C1n +1-1，化简得S n =13(n +2)(n +1)n +n .仔细观察（4）式可以发现，{}A k 是一个递推式，在某些情况下该式是不能直接使用的，因此需求出{}A k 的具体表达式.这里有一个引理：∑k =it -1C ktC i k(-1)k -i=-(-1)t -i C i t （5）.证明：令f (x )=(x -1)t -i =∑j =0t -i(-1)jxt -i -jC jt -i ，则f (1)=0=∑j =0t -i(-1)jC jt -i ，令k =i +j ，则j =k -i ，在上式两边同时乘以C i t ，可得0=∑k =it C k -it -i (-1)k -i=∑k =it C i t C k -i t -i (-1)k -i （6），因为C k -i t -iC i t=(t -i )!(k -i )!(t -k )!t !i !(t -i )!=t !(k -i )!(t -k )!i !，C k t C i k =t !k !(t -k )!k !i !(k -i )!=t !(t -k )!(k -i )!i !，所以C k -i t -iC i t=C i kC k t.因此（6）式可以变形为：0=∑k =itC i t C k -i t -i (-1)k -i =∑k =itC i k C k t (-1)k -i ，0=(-1)t -i C i t +∑k =it -1C i k C k t (-1)k -i ，0=(-1)t -iC it+∑k =it -1C i k C k t (-1)k -i ，0=(-1)t -i C i t +∑k =it -1C i k C k t (-1)k -i ，∑k =it -1C i k C k t (-1)k -i =(-1)t -i +1C i t .于是可猜想{}A k 的具体表达式为A t =∑i =0t (-1)t -i C i t ×f (i )，t =1,2，⋯，m （7）.证明：（1）当k =1时，由（4）式得A 1=f (1)-f (0)，将其代入可知A t =∑i =0t(-1)t -i C i t *f (i )，t =1,2，⋯，m .所以（7）成立.（2）假设当k <t 时，结论均成立，那么由（4）式知：A t =f (t )-∑k =0t -1A k C kt =f (t )-∑k =0t -1C kt∑i =0kf (i )C i k (-1)k -i=f (t )-∑i =0t -1f (i )∑k =it -1(-1)k -i C i k C k t .由（7）式可知：A t =f (t )-∑i =0t -1f (i )C i t (-1)t -i +1,A t =∑i =1t f (i )C i t (-1)t -i ,即A t =∑i =0t (-1)t -i C i t ×f (i )，t =1,2，⋯，m ，对于k =t也是成立的.例3.求自然数幂次方数列f (n )=n p的前n 项和.解：由于f (0)=0,f (t )=t p，所以A t =æèçöø÷∑k =1t(-1)t -k C k t k p ，S n =∑t =1p A t C t +1n +1，则S n =∑t =1pC t +1n +1æèçöø÷∑k =1t(-1)t -k C k t k p .在历史上求自然数幂次方和有很多方法，比如说利用伯努利数表示法，李善兰的乘方垛堆积术.但是这里给出的形式和推导过程无疑是比较简洁的.例4.若数列的通项公式为f (n )=n 3，求其前n 项的和.解：A 1=(-1)1-1C 11×13=1，A 2=-1×C 12×13+C 22×23=6，A 3=(-1)3-1C 13×13-C 23×23+C 33×33=6，∴S n =A 3C 3+1n +1+A 2C 2+1n +1+A 1C 1+1n +1=6C 4n +1+6C 3n +1+C 2n +1.我们直接利用上述结论以及{}A k 的具体表达式求得问题的答案，比采用常规方法求解便捷得多.与自然数幂相关的数列求和问题较为复杂，且求解过程繁琐，运用上述结论S n =-f (0)+∑k =0m A k C k +1n +1，其中A t =∑i =0t (-1)t -i C i t ×f (i ),t =1,2,⋯,m ，来求解，便能快速、直接得出问题的答案.（作者单位：浙江省宁波市咸祥中学）思路探寻51。

求幂级数的和函数通常有哪些方法与技巧

求幂级数的和函数通常有哪些方法与技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：求幂级数的和函数在数学分析中是一个常见的问题，而求解和函数的方法与技巧也是学习数学的关键之一。

在求幂级数的和函数时，我们需要考虑到级数的收敛性、展开式、导数运算等方面，下面将介绍一些常用的方法与技巧。

一、使用对数或幂级数的性质在求解幂级数的和函数时，可以利用对数或幂级数的性质进行简化。

对幂级数进行对数运算，可以将幂级数转化为常数级数，然后利用级数性质求解。

利用级数的加法性质和乘法性质，可以将不同的级数相加或相乘，进一步简化求解过程。

二、利用级数收敛性判断在求解幂级数的和函数时，首先需要判断级数是否收敛。

常用的收敛判别法包括比较判别法、比值判别法、根值判别法等。

根据级数的收敛性，可以确定求幂级数的和函数的适用范围，避免在不收敛的情况下进行求解。

三、展开式与递推关系在求解幂级数的和函数时，可以利用展开式与递推关系简化求解过程。

通过展开级数，可以将级数转化为有限项求和的形式，进而求解和函数。

利用递推关系可以根据前一项的求和结果来求解后一项，从而加快求解速度。

四、使用导数运算五、利用变元替换在求解幂级数的和函数时，可以通过变元替换简化求解过程。

通过对级数的变元进行替换，可以将原级数转化为新的级数形式，从而简化求解过程。

利用变元替换的方法可以将级数转化为更容易求解的形式，提高求解效率。

求幂级数的和函数通常需要结合数学分析的知识和技巧进行求解。

在实际求解过程中，可以根据具体情况选择合适的方法与技巧，避免繁琐的计算过程，提高求解效率。

希望以上介绍的方法与技巧对您有所帮助，帮助您更好地理解和应用求幂级数的和函数的知识。

第二篇示例：求幂级数的和是数学分析中一个重要的问题，具有广泛的应用和理论意义。

通常来说，求幂级数的和需要使用一些方法和技巧来进行求解。

下面我们将介绍一些常用的方法和技巧，帮助我们更好地理解和解决这个问题。

1. 泰勒级数展开法泰勒级数是一种将一个函数在某点附近用一个多项式来近似表示的方法。

自然数k次方的求和再探

自然数k 次方的求和公式的简化湖北省黄冈市罗田县第一中学杨德兵余咏梅（邮编438600）关于自然数k 次方的和, 文[1]介绍了朱世杰的“招差术”；文[2]通过构造几何模型给出如下递推公式：)]()([1111112311121∑∑∑∑-=-=--=-=+++-++==n i k kn i k kn i k kk ni ki CiCiCk n n k iV文[3]利用二项式展开的方法又给出如下递推公式：)]()1()1[(11112113213412311211S C S C S C S C S C S C n n k S kk k k k k k k k k k k k k +-+-+-+-+-++++++++-+-++=简记为：∑-=-+++-+-++=11111])1()1[(11k i i k i k k k S C n n k S ① （其中∑==ni kk i S 1N k ∈）可以肯定求自然数k 次方的求和用文[2]、文[3]的递推公式比对朱世杰的招差术简洁，但对于k 较大时计算仍然很复杂。

笔者通过研究给出更简化的递推公式，希望是对文[2]、文[3]的补充与增益。

文中要用到简单的微积分知识，目前高中阶段已经要求学习简单的微积分，相信本文的推导高中生能够掌握。

公式如下：(其中211=c ,612=c ，当k >2时∑-=-++++-+-=2111)211(11k i i k i k k c Ck k c )本文先证明k k kc kS S +='-1 ②（其中k S '为k S 对n 的一阶导数）证明：（对自然数k 用第二数学归纳法）（1） k =0时n nS =+++=00021 ,2)1(211111+=+++=n n nS10121c S n S +=+=' ∴k =0时结论成立。

（2）假设m k ≤≤0 (N m ∈)命题成立。

那么k =m +1时由①得])1()1[(21111221∑-+-++==-+++++m i i m i m m m S C n n m S]1)1)(2[(21111211∑'--+++='∴=-+++++mi i mi m m mS C n m m S}])1[(1)1)(2{(21112111121S Cc S i m Cn m m m m i m m i i m i m m '-+∑-+--+++=++-+-=-+++])1(1)1)(2[(211111211112121i m m i i m m i m m i m i m m c CS C S i m Cn m m -+-=++-=++-+++∑-∑'--+--+++=又容易证得 1112)2()1(+++++=-+i m i m C m i m C m i 2,1=,)21)(2(112++='++n m S C m m])21)(2()2(1)1)(2[(2111112111111i m m i i m m i i m i m m mc C n m S C m n m m S -+-=++-=-++++∑-++∑-+--+++='∴]1[21)21()1(1111211111i m m i i m m i im i m m c C m n S Cn -+-=++-=-+++∑++-+∑--+=]221[21)1()1(1111211111i m m i i m m i im i m m c Cm m n S Cn -+-=++-=-+++∑++-+-+∑--+=]221[21)]1()1[(111111211111i m m i i m m i im i m m c Cm m n S Cn m m -+-=++-=-+++∑++-+-+∑--+++=1)1(+++=m m c S m所以k =m +1成立。

自然数的1至n幂的求和公式的递进推导法

自然数的1至n幂的求和公式的递进推导法(连载一)《自然数平方和公式推导及其应用》（/s/blog_4d9ff3d10100cc8t.html）发表以来,得到了数学爱好者的好评。

其实，那是自然数平方和公式推导，推广到偶数、奇数自然数平方和以及自然数立方和公式与偶数、奇数自然数立方和求法的一种偶然思路。

如何由二项式定理推导自然数的n次幂的求和公式才是该数学问题的完美思路，其研究的结果在现实中具备广泛的现实利用价值和数学理论意义，比如它完全可以代表等差数列N项的高次幂求和的思路与方法。

1.自然数的1至n次幂的求和的递进推导关系1.1自然数的1次幂的求和即s=1+2+3+...+n实际上是一个等差为1的等差数列求和,公式为s=n(n+1)/21.2自然数的2次与二次以上幂的求和 s=1n+2n+3n+...+N n(n≥2)不是一个等差数列，也不是一个等比数列，但通过二项式定理的展开式，可以转化为按等差数列，由低次幂到高次幂递进求和。

怎样转化为等差数列、怎样由低次幂递进到高次幂这才是研究思路的重点。

当n为奇数时，由1n+2n+3n+...+N n与s=N n+(N-1)n+(N-2)n+...+1n相加得:2s=N n+[1n+(N-1)n]+[2n+(N-2)n]+[3n+(N-3)n]+...+[(N-1)n+(N-N-1)n]+N n =N n+N n+N n+...+N n加或减去所有添加的二项式展开式数=(1+N)N n减去所有添加的二项式展开式数。

当n为偶数时，由1n+2n+3n+...+N n与s=N n+(N-1)n+(N-2)n+...+1n相加得:2s=N n+[1n+(N-1)n]+[2n+(N-2)n]+[3n+(N-3)n]+...+[(N-1)n+(N-N-1)n]+N n=2N n+2[(N-2)n+(N-4)n+(N-6)n+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数又当n为偶数时，由1n+2n+3n+...+N n与s=N n+(N-1)n+(N-2)n+...+1n相加得:2s=[N n+1n]+[(N-1)n+2n]+[(N-2)n+3n]+...+[(N-N-1)n+(N-1)n]=2[(N-1)n+(N-3)n+(N-5)n+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数,合并n为偶数时2S的两个计算结果，可以得到s=N n+(N-1)n+(N-2)n+...+1的计算公式。

自然数幂和公式伯努利数

自然数幂和公式伯努利数全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：自然数幂和公式伯努利数是数学中非常重要的两个概念。

自然数幂是指自然数的n次幂，例如2的3次幂就是8，3的4次幂就是81。

而公式伯努利数则是一系列重要的数学常数，可以用来表示一系列数学问题中的系数。

首先我们来谈谈自然数幂。

自然数幂是指一个自然数的n次方。

通常我们用符号a^n来表示，其中a是底数，n是指数。

2^3就是2的3次方，结果是8；3^4就是3的4次方，结果是81。

自然数幂在数学中有着广泛的应用，特别是在代数、几何等领域。

自然数幂有着一些重要的性质。

任何数的0次方都等于1，即a^0=1。

自然数的1次方等于自身，即a^1=a。

自然数幂有着乘法法则和幂的乘方法则，即a^m * a^n=a^(m+n)和(a^m)^n=a^(m*n)。

我们还可以通过一些公式来计算任意自然数的幂。

对于大数的幂，我们可以利用公式a^m * a^n=a^(m+n)来简化计算过程。

这样可以节省大量时间和精力，提高计算的效率。

对于负数的幂，我们可以利用公式a^(-n)=1/a^n来求解。

接下来我们来谈谈公式伯努利数。

公式伯努利数是一系列重要的数学常数，用来表示一系列数学问题中的系数。

它们最早由瑞士数学家雅各布·伯努利提出，并被广泛应用于数论、概率论等领域。

公式伯努利数有着一些重要的性质。

伯努利数是一种无理数，无限不循环小数。

伯努利数有着特定的计算公式，可以通过递推公式或其他数学方法来计算得到。

伯努利数还具有一定的加法、乘法等运算规律，可以用来解决一些复杂的数学问题。

公式伯努利数在数学中有着广泛的应用。

它们可以用来表示数列的和、解决递归关系等问题。

伯努利数还可以应用于概率统计、数论等领域。

自然数幂和公式伯努利数是数学中非常重要的概念，它们在数学研究和实践中具有重要的地位。

通过研究和探索这些概念，我们可以更深入地了解数学的本质，发现数学中的美和奥秘。

希望本文能对您有所帮助，谢谢阅读！第二篇示例：自然数幂是指大于等于1的整数，公式伯努利数是一种特殊的数列，它们之间有着密切的关系。

关于自然数方幂和的几个研究方向

和的内涵不断被诠释。历史上很多
科学家研究过它：高斯、费马、牛
顿、伯努利，以及许多如我这般的
无名小生。
利用初等数学知识，我们能比
较容易的算出低阶自然数方幂和
的表达式：
S (0) n
=
n
S (1) n
=
n(n + 1) 2
2
阶
，1
阶
，最
终
求
出
S (m) n
的
表
达
式
。
很遗憾，到目前为止没有做到，可
能牛顿真的很聪明。
行列式（系数三角形）：
申明：网上有一种“ 系数三角
形 ”的方法，据说是一个初中生找
出来的。文献要钱，我没看到。我
⎡
−
C1 m+1
⎢ ⎢
C2 m+1
− Cm1
0 ⎤ ⎡xm+1 ⎤ ⎡− 1⎤
⎥ ⎥
⎢ ⎢
xm
⎥ ⎥
⎢ ⎢
0
⎥ ⎥
⎢ ⎢
−
C3 m+1
⎢ ⋅⋅⋅
Cm2 ⋅⋅⋅
−
C1 m−1
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎢
xm−1 ⋅⋅⋅
⎥ ⎥ ⎥
=
⎢0⎥ ⎢⎢⋅ ⋅ ⋅⎥⎥
( ) ( ) ( ) ⎢⎣
−1
C k+1 k+1 m+1
此式可通过数学归纳式，如取求自然数立方和时，

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

本科毕业论文自然数幂求和公式的存在与规律探讨SUM FORMULA OF POWER OF NATURAL NUMBER'S EXISTENCE AND REGULARITY学院（部）：理学院专业班级：08-2数学与应用数学学生姓名：张兴刚指导教师：范自强2012年6 月1 日自然数幂求和公式的存在与规律探讨摘要自然数幂求和是一个古老的数学问题，本文从线性空间入手，提出关于多项式的自然线性空间的概念，利用了线性空间的简单性质，证明了任意正整数的自然数幂求和公式的存在和简单规律；归纳出自然数幂求和公式中一条精彩的结论，系数定理，一劳永逸的解决并揭示了自然数幂求和问题的内涵；本文亦从线性空间的角度，提出自由空间概念，为自然数幂求和问题带来了一种新的视角。

关键字：自然数幂求和、自然线性空间、多项式、系数定理、自由线性空间Sum formula of power of natural number 's existence and regularityAbstractNatural number power sum is an ancient mathematical problems, this article from the linear space sets out, put forward on polynomial natural linear space, linear space of the simple nature, it is proved that for any positive integer sum formula of power of natural number exists, and the simple rule; summarize sum formula of power of natural number in a wonderful conclusion coefficient theorem, put things right once and for all solutions and reveals the natural number power sum problem connotation; this paper also from linear spatial angle, put forward the concept of free space, is a natural number power sum problem brought a new perspective.Keywords: natural number power sum, natural linear space, polynomial coefficient theorem, free linear space目录一、自然数幂求和公式的存在性 (1)1自然线性空间 (1)2基本初等公式 (1)3自然数幂求和公式的存在性证明 (2)二、自然数幂求和公式的系数定理 (3)1系数规律的研究与猜想 (3)2系数定理的证明 (5)2.1系数定理的归纳证明 (5)2．2系数定理的几条重要推论 (6)3系数定理的运用 (7)3.1系数定理求和 (7)3.2常见的自然数幂求和公式 (8)三、自由线性空间与自然数幂求和规律的研究 (9)1自由线性空间 (9)2自由向量的性质 (9)3、自由向量的运用 (11)3.1求和 (11)3.2自然数幂求和公式 (12)四、自然数幂求和公式的VB编码 (13)参考文献： (17)一、自然数幂求和公式的存在性1自然线性空间定义：由一切形如23123m m w a n a n a n a n =++++……（m ∈N,i *N ∈，i a R ∈）的多项式作为元素构成的线性空间，称为自然线性空间,记作G .2基本初等公式首先我们由二项式定理以及复合求和的性质，得一下推论：1111111101101110111111(1)1111n m i nm i nm jjm i j m njjm j i m njjm j i mnnjjm m j i i i i Ci CiCiCii++=+=++==++==++==++====++=+=+=+=++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑则有：11111111n mnnm jjm m i j i i iCii++++=====++∑∑∑∑化简得，基本初等公式：111(1)1mnm j j m j i n Ci ++==+=+∑∑3自然数幂求和公式的存在性证明猜想：1nmi i G =∈∑，且为m+1次多项式。

下面我们从自然线性空间出发，利用数学归纳法证明自然数幂求和公式的存在。

证明：1) 已知当k=0时，011nnki i ii n G ====∈∑∑,且为k+1次多项式.2) 若k ≤m 时，1nk i i G =∈∑,且为k+1次多项式，由基本初等公式得：12122111(1)11(2)m nmnnm j jj jm m m j i j i i n CiCim i +++++=====+=+=+++∑∑∑∑∑则 1221011(1)12nm nm m j j m i j i in C i m +++===⎡⎤=+--⎢⎥+⎣⎦∑∑∑ 显然 101m njjm j i C iG +==∈∑∑为m+1次多项式，2(1)1m n G ++-∈为m+2次多项式，则1221011(1)12nm nm m j j m i j i in C i G m +++===⎡⎤=+--∈⎢⎥+⎣⎦∑∑∑,且为m+2次多项式. 3）、由1），2）可知，1nmi iG =∈∑，且为m+1次多项式.存在性定理：1nm i i G =∈∑，且为m+1次多项式。

定义：由存在性定理，我们称m 次自然数幂求和公式中，p n 的系数为m 级p 次系数，记为,m p f 。

则自然数幂求和表达式为：11,1,,1,11nmm m m m m m m m m m i if n f n f n f n +-+-==++++∑……二、自然数幂求和公式的系数定理1系数规律的研究与猜想由基本初等公式111(1)1mnm j jm j i n Ci++==+=+∑∑自然数幂求和表达式11,1,,1,11nk k k k k k k k k k k i i f n f n f n f n +-+-==++++∑……将自然数幂求和表达式代入基本初等公式，两边同时取pn 的系数，可得推论一：123111,11,12,13,11,p m m m m p m m m p m m p m m p m m p m p pC C f C f C f C f C f ----+++-+-+-+-=+++++…… 推论二：()12311,111,12,13,11,m p m m m p m m p m m m p m m p m m p m p p C f C C f C f C f C f ----+++-+-+-+-=-++++……由推论二，令p=m+1,则 1,11mm m m C f ++=，化简得,111m m f m +=+；令p=m,则111,11,m m m m m m m m m m C C f C f -+++-=+，化简得,12m mf =；令p=m-1,则11211,111,112,1m m m m m m m m m m m m m m C C f C f C f ---++-+--+--=++，化简得,112m m m f -=；令p=m-2,则212311,211,212,213,2m m m m m m m m m m m m m m m m m m C C f C f C f C f ----++-+--+--+--=+++化简得,20m m f -=；令p=m-3,则3123411,311,312,313,314,3m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m C C f C f C f C f C f -----++-+--+--+--+--=++++，31(1)(2)720m m fm m m -=---；由以上结果可以看出,11,11*111m m m m m m f f m m m m +-===+++ ,1,112m mm m m f f m--==,11,21*121121m m m m m m m m f f m m ----===-- ,31,403m m m m mf f m ---==-,41,5(1)(2)(1)(2)(3)*72047204m m m m m m m m m m m m f f m m --------===----由以上结论，系数猜想,1,1m pm p m f f p--=.2系数定理的证明2.1系数定理的归纳证明以下利用数学归纳法，结合推论证明系数猜想证明：对于任意的,m p f，定义间距r=m+1-p,11p m ≤≤+, 0r m ≤≤ 1) 当间距r=0时，p=m+1,,11,1m m m m m f f m +-=+,满足,1,1m p m p mf f p --=.2) 若当间距满足0r k ≤≤时，即11m k p m +-≤≤+，总有,1,1m pm p mf f p--=，由推论，令r=k+1,即p=m-k ，有12111,11,12,11,m k m m m m k m m m m k m m m k m m m k m m k m k C C f C f C f C f -----++-+--+--+---=++++……则1,m m m m kC f +-()1231111,12,13,11,m k m m m m k m m m m k m m m k m m m k m m k m k C C f C f C f C f ------++--+--+--+---=-++++……1231112,113,114,112,11231m k m m m m k m m m m k m m m k m m m k m m k m k m m m m k C C f C f C f C f m k m k m k m k ------++---+---+---+---------⎛⎫=-++++ ⎪----⎝⎭……()123422,13,14,12,11m k m m m m k m m m m k m m m k m m m k m m k m k m C C f C f C f C f m k--------------------+⎡⎤=-++++⎣⎦-……由推论二得:()1123421,12,13,14,12,1m m k m m m m k m m m k m m m m k m m m k m m m k m m k m k C f C C f C f C f C f ------------------------=-++++……代入得11,1,11=m m m m m k m m m k m C f C f m k-+----+- 化简得11m m m km k m ff m k----=- 即间距r=k+1时，仍然有11m m pp m ff p--=.3）、由1），2）综上分析，可知总有11m m pp m f f p--=，()11p m ≤≤+.故得出自然数幂求和系数定理(),1,1,11m p m p mf f p m p--=≤≤+2．2系数定理的几条重要推论由系数定理得1122331111,1(1)(1)(1)(2)(1)(2)(1)(2)(2)(1)(2)2mpm p m p m p m p p m m p f m f pm m f p p m m m f p p p m m m m p f p p p C f p-------+--+=-=---=-----+==--=………………即：推论三1,1,1p m m pm p C f f p--+=对于推论二，令p=1得推论四()112301,1111,112,113,110,1m m m m m m m m m m m m m m C f C C f C f C f C f ---+++-+-+-+=-++++……由自然数幂求和表达式11,1,,1,11nm m m m m m m m m m m i i f n f n f n f n +-+-==++++∑……令n=1，则得推论五,1,1,,1,21m m m m m m m m f f f f f +-=-----……推论四、推论五可以作为计算机编程的依据。