高一(12)月考数学试题

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河北省NT20名校联合体2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷

A． b2 = 4c + 4
B．若1- b + c > 0 ，则 x02 < 1
C．若
x0
>
0
，则 cx2
- bx
+1
<
0
的解集为
æ ç
è
1 x0 +
2
,
1 x0
ö ÷ ø
D．
b
+
c
有最小值为
-
9 4
三、填空题
13．
x
>
0
时，
y
=
x2 (x +1)2
+
1 的值域为 x+1
.
14．写出一个函数 f ( x) 的解析式，满足：① f ( x) 是定义在 R 上的偶函数；② x ¹ 0 时，
æçè1,
16 9
ù úû
D．
é16 êë 9
,
2ùúû
二、多选题 9．已知 -1 £ a £ 3,1 £ b £ 2 ，则以下命题正确的是（）
A． -1 £ ab £ 6 C． -2 £ a - b £ 1 10．以下函数是偶函数的是（）
A． f ( x) = 2x + 2-x
B． 0 £ a + b £ 5
a
+ 2
b
³
2
-
ab ，即
a+
2
b ³ 4 ，即
a+
b ³2，
故
a
+b 2
³
2-
ab 是
a+
b ³ 2 的充要条件，故 D 错误.
故选：A. 8．D

北京市2023-2024学年高一上学期12月月考试题数学含解析

2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷（答案在最后）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --< D.x ∀∈R ，2230x x --≥4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x = D.1y x=-5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.1206.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b= B.2b a= C.4a b= D.4b a=8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年B.7年C.8年D.9年二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.14.设函数()3log ,x af x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲4.944.904.954.824.80 4.79乙 4.86 4.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.20.已知函数()()12log 21xf x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--【答案】C 【解析】【分析】解不等式()323k k Z -<<∈，求得整数k 的取值，由此可求得A B ⋂.【详解】解不等式323k -<<，得3322k -<<，k Z ∈ ，所以，整数k 的可能取值有1-、0、1，因此，{}2,0,2A B =- .故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--【答案】A 【解析】【分析】利用代入消元法，求解方程组的解集即可．【详解】因为22205x y x y +=⎧⎨+=⎩，所以2y x =-代入225x y +=，即()2225x x +-=，解得1x =±.当=1x -时，()212y =-⨯-=；当1x =时，212y =-⨯=-.故22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是()(){}1,2,1,2--.故选：A.3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --<D.x ∀∈R ，2230x x --≥【答案】D 【解析】【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题来得答案.【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是x ∀∈R ，2230x x --≥.故选：D.4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x =D.1y x=-【答案】C 【解析】【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，ln y x =的定义域为{}0x x >，不关于原点对称，所以ln y x =是非奇非偶函数，故A 不正确；对于B ，2x y =的定义域为R ，关于原点对称，而()()122xx f x f x --==≠-，所以2x y =不是奇函数，故B 不正确；对于C ，3y x =的定义域为R ，关于原点对称，而()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以3y x =是奇函数且在R 上是增函数，故C 正确；对于D ，1y x=-定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，()()1f x f x x -==-，所以1y x=-是奇函数，1y x=-在(),0∞-和()0,∞+上单调递增，不能说成在定义域上单调递增，因为不满足增函数的定义，故D 不正确.故选：C .5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.120【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的人数为0.7200140⨯=，故选C.考点：频率分布直方图及其应用．6.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<得01a <<，对于12log 3b =，由1122log 3log 10<=得0b <，对于0.22c =，由0.20221>=得1c >，所以b a c <<.故选：C.7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b = B.2b a= C.4a b= D.4b a=【答案】C 【解析】【分析】由对数的运算可得212log log a b +=2log 2ab=,再求解即可.【详解】解:因为212log log a b +=222log log log 2a b ab-==,所以224a b==，即4a b =，故选:C.【点睛】本题考查了对数的运算,属基础题.8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 是偶函数，先得到()0f x <的解集，再由()10f x -<，将1x -代入求解.【详解】因为[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，所以由()0f x <，解得01x ≤<，又因为()f x 是偶函数，所以()0f x <的解集是11x -<<，所以()10f x -<，得111x -<-<，解得02x <<所以()10f x -<的解集是{}02x x <<，故选：C9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由()f x 是R 上的增函数得()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之若对任意0a >，()()f x a f x +<，满足()()y f x a f x =+-无零点，但不满足()f x 是R 上的增函数，不满足必要性，即可判断.【详解】若()f x 是R 上的增函数，则对任意0a >，显然x a x +>，故()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之，若对任意0a >，()()f x a f x +<，即()()0f x a f x +<-，满足()()y f x a f x =+-无零点，但()f x 是R 上的减函数，不满足必要性，故“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的充分而不必要条件.故选：A.10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年 B.7年 C.8年 D.9年【答案】B 【解析】【分析】依题求出经过x 年后，A 产品和B 产品的年产量分别为310(2x，640()5x，根据题意列出不等式，求出x 的范围即可得到答案.【详解】依题经过x 年后，A 产品的年产量为1310(110()22xx+=）B 产品的年产量为1640(140()55x x +=，依题意若A 产品的年产量会超过B 产品的年产量，则3610()40(25xx>化简得154x x +>，即lg 5(1)lg 4x x >+，所以2lg 213lg 2x >-，又20.3010lg =，则2lg 26.206213lg 2≈-所以至少经过7年A 产品的年产量会超过B 产品的年产量.故选：B【点睛】本题主要考查指数函数模型，解指数型不等式，属于基础题.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.【答案】()()1,22,⋃+∞【解析】【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.【详解】函数()()1lg 12f x x x =-+-需满足1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，故函数()()1lg 12f x x x =-+-的定义域为()()1,22,⋃+∞，故答案为：()()1,22,⋃+∞12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.【答案】①.14②.【解析】【分析】利用韦达定理可得2212x x +、12x x -的值.【详解】因为方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，由韦达定理可得124x x +=，121=x x ，所以，()2221222121242114x x x x x x =+-=-=+⨯，12x x -===.故答案为：14；.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.【答案】1x -+（答案不唯一）【解析】【分析】由题意首先由③得到函数的单调性，再结合函数定义域，特殊点的函数值，容易联想到一次函数，由此即可得解.【详解】由③，不妨设12x x ∀<，即210x x ->，都有()()21210f x f x x x -<-，即()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，所以由题意可知()f x 是定义域为R 的减函数且满足()01f =，不妨设一次函数y x b =-+满足题意，则10b =-+，即1b =.故答案为：1x -+.14.设函数()3log ,x a f x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.【答案】①.2②.[)9,27【解析】【分析】①代值计算即可；②分别画出()y f x =与3y =的图象，函数有两个零点，结合图象可得答案．【详解】①当5a =时，()35log ,5x f x x x ≤≤=>⎪⎩因为815>，所以()43381log 81log 345f ===<，所以()()8142f f f ⎡⎤===⎣⎦.②因为函数()3y f x =-有两个零点，所以()3f x =，即()y f x =与3y =的图象有两个交点.3=得9x =，3log 3x =得27x =.结合图象可得927a ≤<，即[)9,27a ∈.所以a 的取值范围是[)9,27.故答案为：①2；②[)9,27.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．【答案】①③【解析】【分析】A 即为函数的定义域，B 即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，B ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；对②，A ＝R ，B ＝(0，+∞)，当x ＞0时，不存在y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即不具有性质P ；对③，A ＝(0，+∞)，B ＝R ，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．【答案】（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）35【解析】【分析】(Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这5人中男生人数和女生人数．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率．【详解】(Ⅰ)这5人中男生人数为19253320⨯=，女生人数为12852320⨯=．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，则样本空间为：Ω＝{(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，B 3)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)，(G 1，G 2)}，样本空间中，共包含10个样本点．设事件A 为“抽取的2人中恰有1名女生”，则A ＝{(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)}，事件A 共包含6个样本点．从而()63105P A ==所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为35．【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）()0,∞+【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；（2）利用单调性定义证明即可；（3）根据单调性直接求得即可.【小问1详解】由函数()211f x x =-可知210x -¹，即1x ≠±，所以函数()f x 的定义域为{}1D x x =≠±，所以x D ∀∈，()()()221111f x f x x x -===---，故()f x 为偶函数.【小问2详解】假设()12,1,x x ∀∈+∞且12x x <，则()()()()()()()()()()()222221212121122222222212121212111111111111x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+--=-===--------，由()12,1,x x ∀∈+∞，12x x <知()()222121120,0,110x x x x x x ->+>++>，从而()()120f x f x ->，即()()12f x f x >.所以()f x 是()1,+∞上的减函数.【小问3详解】因为()f x 在()1,+∞上减函数，所以()f x 在()1,+∞的值域为()0,∞+.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙4.864.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）【答案】（1）4.82（2）25（3）甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.【解析】【分析】（1）利用平均数公式计算即可；（2）列表分析，利用古典概型概率公式计算即可（3）由表中数据分析波动性即可得结论.【小问1详解】乙从2017年到2022年这6年的视力平均值为：4.86 4.90 4.86 4.84 4.74 4.724.826+++++=.【小问2详解】列表：2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙 4.864.904.864.844.744.72甲与乙视力值的差0.0800.090.02-0.060.07由表格可知：2017年到2022年这6年中随机选取2年，这两年甲的视力值都比乙高0.05上的年份由有4年，故所求概率为：2426C 62C 155P ===【小问3详解】从表格数据分析可得：甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.【答案】（1）()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元【解析】【分析】（1）根据利润等于销售总额减去总成本即可得出答案.（2）求出分段函数每一段的最大值，进行比较即可得出答案.【小问1详解】由题意得：()()5020f x x C x =--，()020x <≤.因为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩所以()2150205,01022560502060756,1020x x x x f x x x x x ⎧⎛⎫--+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】当010x <≤时，函数()2145202f x x x =-+-在(]0,10单调递增，此时()()2max 110104510203802f x f ==-⨯+⨯-=.当1020x <≤时，函数()256010736f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()10,16上单调递增，在()16,20上单调递减，此时()()max 256016101673641638016f x f ⎛⎫==-⨯++=> ⎪⎝⎭.综上可得：当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元.20.已知函数()()12log 21x f x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.【答案】（1）1-（2）12m =-（3）21log 3x >【解析】【分析】（1）直接将0x =代入计算；（2）通过计算()()0f x f x --=恒成立可得m 的值；（3）解不等式()12log 212xx ++>-即可.【小问1详解】由已知得()()12log 2110f =+=-；【小问2详解】函数()f x 是偶函数，()()()()11122221log 21log 21log 212x xxx mxf x f x mx mx --⎡⎤+∴--=+--++⎢+⎣-=⎥⎦()1222210log 2x mx x mx x m =-=--=-+=，又()210x m -+=要恒成立，故210m +=，解得12m =-；【小问3详解】当1m =-时，()()12log 21x f x x =++，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时有()12log 212xx ++>-，()2211222112422l 2og 212log 21x xxxx x x --+--⎛⎫⎛⎫⇒==⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝+>--=+<⎭21log 31321223xx⇒⨯>⇒>=解得21log 3x >.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．【答案】（1）{}6,10,15B =（2）7（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【小问1详解】{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B ∴=【小问2详解】设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.【小问3详解】不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。

2022-2023学年河北省高一上学期月考(12月)数学试卷含解析

2022-2023学年河北省高一上学期月考（12月）数学试卷考试时间：120分钟；满分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 不等式x2>8的解集是( )A. (−2√2,2√2)B. (−∞,−2√2)∪(2√2,+∞)C. (−4√2,4√2)D. (−∞,−4√2)∪(4√2,+∞)2. 函数f(x)=e x+lnx，g(x)=e−x+lnx，g(x)=e−x−lnx的零点分别是a，b，c，则( )A. a<c<bB. c<b<aC. c<a<bD. b<a<c3. 考察函数：①y=|x|②y=|x|x ③y=−x2|x|④y=x+x|x|，其中(0,+∞)在上为增函数的有( )A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④4. 函数f(x)=log a(x2−4x−5)(a>1)的单调递增区间是( )A. (−∞,−2)B. (−∞,−1)C. (2,+∞)D. (5,+∞)5. 若命题“∀x∈R，kx2−kx−1<0”是真命题，则实数k的取值范围是( )A. (−4,0)B. (−4,0]C. (−∞,−4]∪(0，+∞)D. (−∞,−4)∪[0，+∞)6. 若函数f(x)在区间[−2,2]上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(−2,2)内有一个零点，则f(−2)⋅f(2)的值( )A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 不能确定7. 计算(log 32+log 23)2−log 32log 23−log 23log 32的值为( ) A. log 26B. log 36C. 2D. 18. 已知f(x)是定义域为(−1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m −2)+f(2m −3)>0，那么实数m 的取值范围是( )A. (1,53)B. (−∞,53)C. (1,3)D. (53,+∞)9. 已知某函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是( )A. f(x)=2xln|x|B. f(x)=2|x|ln|x|C. f(x)=1x 2−1D. f(x)=1|x|−1|x|10. 如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x 轴的直线l ：x =t(0≤t ≤a)经过原点O 向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分)，若函数y =f(t)的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是( )A. B. C.D.二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。

2022-2023学年山东省菏泽市成武高一年级上册学期12月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省菏泽市成武高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度是（）A ．B ．C ．D ．π3π3-π6π6-【答案】B【分析】利用分针转一周为分钟，转过的角度为，得到分针是一周的六分之一，进而可得602π10答案．【详解】∵分针转一周为分钟，转过的角度为，将分针拨快是顺时针旋转，602π∴分针拨快10分钟，则分针所转过的弧度数为.10π2π603-⨯=-故选：B2．设，则的大小关系为（）0.30.20.212,,log 0.32a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,a b c A ．B ．a b c <>= 0.20.2log 0.3log 0.21<=∴．c<a<b 故选：D3．已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（）()(1)nf x a x =-(2,8)(2)(12)f b f b -<-b A ．B ．C ．D ．(0,1)(1,2)(,1)-∞(1,)+∞【答案】C【解析】先根据题意得幂函数解析式为，再根据函数的单调性解不等式即可得答案.3()f x x =【详解】解：因为幂函数的图像过点，()(1)nf x a x =-(2,8)所以，所以，所以，1128n a -=⎧⎨=⎩23a n =⎧⎨=⎩3()f x x =所以，解得：．(2)(12)212f b f b b b -<-⇔-<-1b <故的取值范围是.b (,1)-∞故选：C.【点睛】本题考查幂函数的定义，根据幂函数的单调性解不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据幂函数的系数为待定系数求得解析式，进而根据单调性解不等式.14．sin 345︒=ABC ．D．【答案】A【分析】直接利用诱导公式以及两角差的正弦公式即可求出．【详解】()()sin 345sin 36015sin15sin 4530︒=︒-︒=-︒=-︒-︒，故选A．12⎫=-=⎪⎪⎭【点睛】本题主要考查诱导公式和两角差的正弦公式应用．5．设函数在区间内有零点，则实数a 的取值范围是（）()32log x f x a x +=-()1,2A ．B ．C ．D ．()31,log 2--()30,log 2()3log 2,1()31,log 4【答案】C 【分析】令得，由复合函数单调性即可求解.()0f x =32log x a x +=【详解】令得，令，由复合函数单调性可知，当()0f x =32log x a x +=()3322log log 1x h x x x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭时，单减，，，故，要使在()1,2x ∈()h x ()32log 2h =()31log 31h ==()()3log 2,1h x ∈()32log x f x a x +=-区间内有零点，即.()1,2()3log2,1a ∈故选：C 6．已知函数，则其图象可能是（）()2cos 4x xf x x =-A ．B ．C．D．【答案】C【分析】从奇偶性，特殊点处的函数值的正负即可判断.【详解】函数的定义域为，其定义域关于原点对称，{}|2x x ≠±由函数的解析式可得：，()()f x f x -=-则函数图象关于坐标原点对称，选项B,D 错误；而，选项A 错误，C正确；06f π⎛⎫=< ⎪⎝⎭故选：C.7．已知函数，下列说法正确的有（）()tan 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭①函数最小正周期为；()f x 2π②定义域为|R,,Z 28k x x x k ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭③图象的所有对称中心为；()f x ,0,Z 48k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭④函数的单调递增区间为．()f x 3,,Z 2828k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据正切函数的图象与性质，代入周期、定义域、对称中心和单调递增期间的公式即可求解.【详解】对①，函数，可得的最小正周期为，所以①正确；()tan 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 2T π=对②，令，解得，2,Z42x k k πππ-≠+∈3,Z 82k x k ππ≠+∈即函数的定义域为，所以②错误；()f x 3{|,Z}82k x x k ππ≠+∈对③，令，解得，所以函数的图象关于点2,Z 42k x k ππ-=∈,Z 84k x k ππ=+∈()f x 对称，所以③正确；,0,Z 48k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭对④，令，解得，故函数的单调递2,Z242k x k k πππππ-<-<+∈3,Z 2828k k x k ππππ-<<+∈()f x 增区间为，所以④正确；3,,Z 2828k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭故①③④正确；故选：C8．若函数y ＝f （x ）（x ∈R ）满足f （x +2）＝f （x ），且x ∈[﹣1，1]时，f （x ）＝1﹣x 2，已知函数g （x ），则函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在区间[﹣6，6]内的零点的个数为（）lg 0xx x e x ⎧=⎨⎩，＞，＜A ．11B ．12C ．13D ．14【答案】B【分析】由题意可判断函数y ＝f （x ）在R 上是周期为2的函数，从而作出函数f （x ）与g （x ）的图象，得到交点的个数即可．【详解】∵f （x+2）＝f （x ），故函数y ＝f （x ）在R 上是周期为2的函数，作出函数f （x ）与g （x ）的图象如下，由于当时，，因此在轴左侧有6个交点；0x <01xe <<y [6,0)-当时，，，因此在轴右侧有6个交点；0x >max ()1f x =lg 61<y (0,6]综上可知函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在区间[﹣6，6]内的零点的个数为12个．二、多选题9．下列计算正确的有（）A ．B ．120318202072-⎛⎫++= ⎪⎝⎭522545log lg lg +-=C ．D ．()20.50.51log log=2=【答案】AB【分析】利用指数的运算性质可判断A ；利用对数的运算性质可判断B 、C ；由根式的性质可判断D.【详解】，正确；120318202024172-⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭A ，B 正确；52254525421002220log lg lg lg lg lg +-=+-=-=-=，C 不正确；()20.520.510log log log ==，D 不正确.21122a a a =-+-=-故选：AB.10．下列函数中，最小正周期为的是（）π2A ．B ．cos y x=sin 46y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．D ．cos 24y x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭tan2y x=【答案】BD【分析】首先根据函数的性质判断出A 错误，然后再根据三角函数的周期计算公式可判断cos y x =选项C 错误，选项B 和D 正确.【详解】对于A ，由函数的性质可知：函数的最小正周期为，故选项A 错误；cos y x =cos y x=π对于B ，由正弦函数的周期公式可得：，最小正周期为，故选项B 正确；2ππ42T ==π2对于C ，由余弦函数的周期公式可得：，最小正周期为，故选项C 错误；2ππ2T ==π对于D ，由正切函数的周期公式可得：，最小正周期为，故选项D 正确；ππ22T ==π211．设函数，则下列结论正确的是（）()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．的一个周期为B ．的图象关于直线对称()f x 2π-()y f x =83x π=C ．的一个零点为D ．在上单调递减()f x π+6x π=()f x ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】ABC【分析】根据周期、对称轴、零点、单调性，结合整体思想即可求解.【详解】对于A 项，函数的周期为，，当时，周期，故A 项正确；2k π,0k k ∈≠Z 1k =-2T π=-对于B 项，当时，为最小值，此时的83x π=89cos cos cos cos3cos 13333x ππππ⎛⎫⎛⎫+=+=-π=π=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y f x =图象关于直线对称，故B 项正确；83x π=对于C 项，，，所以的一个零点为，故4()cos 3f x x ππ⎛⎫+=+⎪⎝⎭43cos cos 0632πππ⎛⎫+== ⎪⎝⎭()f x π+6x π=C 项正确；对于D 项，当时，，此时函数有增有减，不是单调函数，故D 项错2x ππ<<54633x πππ<+<()f x 误.故选：ABC.12．已知函数，则下列结论正确的是（）()25()log 23f x x x =--A ．函数的单调递增区间是()f x [1,)+∞B ．函数的值域是R()f x C ．函数的图象关于对称()f x 1x =D ．不等式的解集是()1f x <(2,1)(3,4)-- 【答案】BCD【解析】根据对数函数相关的复合函数的单调性，值域，对称性，及解对数不等式，依次判断即可得出结果.【详解】对于A:因为为增函数,所以求的单调递增区间即求()5log f x x=()25()log 23f x x x =--的单调递增区间,即.又对数函数的定义域有,解得.故函223t x x =--[)1,+∞2230x x -->()3,x +∈∞数的单调递增区间是.A 错误；()f x ()3,+∞对于B ：，由对数函数的定义域解得：，则，由于，223t x x =--()(),13,x ∈-∞-+∞ 2log y t =0t >所以，即函数的值域是，B 正确；R y ∈()f x R 对于C:,关于对称，所以函数的图象关于对称，故C 正确；()222312t x x x =--=--1x =()f x 1x =对于D: ,即，解得：，故D 正确；()25log 231x x --<22230235x x x x ⎧-->⎨--<⎩(2,1)(3,4)x ∈-- 故选：BCD.三、填空题13．已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的弧长为____________.23π3π【答案】2π【解析】利用扇形的面积求出扇形的半径，再带入弧长计算公式即可得出结果．r 【详解】解：由于扇形的圆心角为，扇形的面积为，23απ=3π则扇形的面积，解得：，221123223S r r παπ==⨯⨯=3r =此扇形所含的弧长.2323l r παπ==⨯=故答案为：.2π14．已知函数的图象恒过点，且点在角的终边上，则的值()()log 130,1a y x a a =-+>≠A A αsin α为______.【分析】根据对数函数过定点的求法可求得点坐标，由三角函数定义可直接得到结果.A【详解】当时，，，.2x =log 133a y =+=()2,3A ∴sin α∴==15．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式<0的解集为________.()()f x f x x --【答案】(－1，0)∪(0，1)【分析】首先根据奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，得到f (－1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数，从而将不等式转化为或，进而求得结果.0()0x f x >⎧⎨<⎩0()0x f x <⎧⎨>⎩【详解】因为f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f (1)＝0，所以f (－1)＝－f (1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数.因为＝2·<0，()()f x f x x --()f x x 即或0()0x f x >⎧⎨<⎩0()0x f x <⎧⎨>⎩解得x ∈(－1，0)∪(0，1).故答案为：(－1，0)∪(0，1).【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有函数奇偶性与单调性的应用，属于简单题目.16．已知，且是第二象限角．则的值为__________．3cos 5α=-α()()()sin 6cos sin tan 2απαπααπ+-⎛⎫+- ⎪⎝⎭【答案】##-0.635-【分析】由诱导公式化简求值.【详解】由，∴.3cos 5α=-()()()sin 6πcos sin cos sin cos 3cos πcos tan sin 5sin tan π2αααααααααααα+-====-⎛⎫+- ⎪⎝⎭故答案为：35-四、解答题17．计算下列各式的值：(1)；)21132330.0021028---⎛⎫-+-⨯+ ⎪⎝⎭(2)7log 2log lg25lg47++0.53954-⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()281lg500lg lg6450lg2lg5+-++【答案】(1)1679 -(2)15 4(3)2 e3 +(4)52【分析】（1）（3）利用指数的运算性质化简可得所求代数式的值；（2）（4）利用对数的运算性质化简可得所求代数式的值.【详解】（1）解：原式())212123232331271315001021 85008----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+=+-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4167201.99=+-+=-（2）解：原式143115log3lg100222.44-=++=-++=（3）解：原式．20.52211e e33⨯⎛⎫=-++=+⎪⎝⎭（4）解：原式.()2881lg500lg lg850lg10lg50050lg1005052558⎛⎫=+-+=⨯⨯+=+=⎪⎝⎭18．已知函数．()π2sin2,R4f x x x⎛⎫=-∈⎪⎝⎭(1)求函数的单调递增区间；()f x(2)求函数在区间上的值域．()f xππ,44⎡⎤-⎢⎣⎦【答案】(1)π3ππ,π,88k k k⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z(2)⎡-⎣【分析】（1）根据复合函数的单调性可知，内层函数单调递增，找外层函数的单调递增区间整体代入化简求解.(2)根据的范围，求出内层函数的范围，根据内层函数的范围求函数的值域.xπ24x-【详解】（1）证明：令，πππ2π22π,242k x k k-+≤-≤+∈Z得π3πππ,.88k x k k -+≤≤+∈Z 所以函数的单调递增区间：．()f x π3ππ,π,88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z （2）因为，所以．ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦π3ππ2,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以．πsin 24x ⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣当，即时，；ππ242x -=-π8x =-min ()2f x =-当，即时，．ππ244x -=π4x =max ()f x =所以函数在区间上的值域为．()f x ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎡-⎣19．如图，在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边xOy αx 与单位圆交于点，11(,)P x y cos α=(1)求的值；1y (2)将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，求的值；OP O π222(,)M x y 2x (3)若点与关于轴对称，求的值.N M x tan MON ∠【答案】(1)1y =(2)2x =(3)43-【分析】（1）由三角函数的定义得到，再根据且点在第一象限，即可求出；1x 22111x y +=P 1y （2）依题意可得，再由（1），即可得解；2πcos()sin 2x αα=+=-1sin y α=（3）首先求出的坐标，连接交轴于点，即可得到，再利用二倍角公式计N MN x Q tan 2MOQ ∠=算可得；【详解】（1）解：因为角的终边与单位圆交于点，且α11(,)P xy cos α=由三角函数定义，得.1x =因为，所以.22111x y +=221115y =-=因为点在第一象限，11(,)P x y 所以1y =（2）解：因为射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，OP O π222(,)M x y 所以.2πcos()sin 2x αα=+=-因为，1sin y α=所以.2x =（3）解：因为点与关于轴对称，N M x 所以点的坐标是.N (连接交轴于点，所以． MN x Q tan 2MOQ ∠=所以tan tan 2MON MOQ∠=∠.222tan 2241tan 123MOQ MOQ ∠⨯===--∠-所以的值是.tan MON ∠43-20．已知定义域为的函数是奇函数.R 2()2xxb f x a -=+(1)求的值;,a b (2)用定义证明在上为减函数;()f x (,)-∞+∞(3)若对于任意，不等式恒成立，求的范围.R t ∈()()22220f t t f t k -+-<k 【答案】(1)，.1a =1b =(2)证明见解析.(3)1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据函数为奇函数，利用奇函数性质即可求得答案.（2）根据函数单调性的定义即可证明结论.（3）利用函数的奇偶性和单调性将恒成立，转化为对任意的()()22220f t t f t k -+-<232k t t <-都成立，结合求解二次函数的最值，即可求得答案.R t ∈【详解】（1）为上的奇函数，，可得()f x R 002(0)02b f a -∴==+1b =又 , ,解之得,(1)(1)f f -=-11121222aa ----∴=-++1a =经检验当且时，，1a =1b =12()21xxf x -=+满足是奇函数,1221()()2112x x x xf x f x -----===-++故，.1a =1b =（2）由（1）得，122()12121x x xf x -==-+++任取实数，且，12,x x 12x x <则，()()()()()211212122222221212121x x x x x x f x f x --=-=++++，可得，且，故，12x x < 1222x x <()()1221210x x ++>()()()211222202121x x x x ->++，即，()()120f x f x ∴->()()12f x f x >所以函数在上为减函数;()f x (,)-∞+∞（3）根据（1）（2）知，函数是奇函数且在上为减函数.()f x (,)-∞+∞不等式恒成立，∴()()22220f t t f t k -+-<即恒成立，()()()222222f t t f t k f t k-<--=-+也就是:对任意的都成立，2222t t t k ->-+R t ∈即对任意的都成立，232k t t <-R t ∈ ，当时取得最小值为，221132333t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭ 13t =232t t -13-，即的范围是.13k ∴<-k 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭21．已知函数的最小正周期．()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+< ⎪⎝⎭π(1)求函数单调递增区间；()f x (2)若函数在上有零点，求实数的取值范围．()()g x f x m =-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 【答案】(1)5,,Z 36k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)[]2,1m ∈-【分析】（1）由最小正周期求得，函数式化简后由正弦函数的单调性求得结论；ω（2）转化为求在上的值域．()f x [0,]2π【详解】（1）因为函数的最小正周期，()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+< ⎪⎝⎭π所以，由于，所以．2T ππω==0ω<2ω=-所以，()2sin 22sin 266f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数单调递增区间，只需求函数的单调递减区间，()f x 2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令，解得，3222,Z262k x k k πππππ+-+∈ 5,Z 36k x k k ππππ+≤≤+∈所以函数单调递增区间为．()f x 5,,Z 36k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）因为函数在上有零点，()()g x f x m =-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以函数的图像与直线在上有交点，()y f x =y m =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦因为，50,,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故函数在区间上的值域为()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]2,1-所以当时，函数的图像与直线在上有交点，[]2,1m ∈-()y f x =y m =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以当时，函数在上有零点．[]2,1m ∈-()()g x f x m =-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦22．已知函数.44()log (2)log (4)f x x x =++-（1）求的定义域；()f x （2）若函数，且对任意的，，恒成立，求实1()42x x g x a a +=⋅--1[5,6]x ∈2[1,2]x ∈()()12f x g x <数a 的取值范围.【答案】（1）.（2）（2，+∞）.(4,)+∞【解析】（1）使对数式有意义，即得定义域；（2）命题等价于，如其中一个不易求得，如不易求，则转化为max min ()()f x g x <min ()g x 恒成立，再由其它方法如分离参数法求解或由二次不等式恒成立问题求解．max ()()f x g x <【详解】（1）由题可知且，20x +>40x ->所以.>4x 所以的定义域为.()f x (4,)+∞（2）由题易知在其定义域上单调递增.()f x 所以在上的最大值为，()f x [5,6]x ∈4(6)log 162f ==对任意的恒成立等价于恒成立.1[5,6],x ∈2[1,2],x ∈()()12f x g x <max ()2()f x g x =<由题得.()2()222x x g x a a=⋅-⋅-令，则恒成立.2([2,4])x t t =∈2()22h t a t t a =⋅-->当时，，不满足题意.0a =1t <-当时，，a<022242482a a a a ⎧⋅-->⎨⋅-->⎩解得，因为，所以舍去.2a >a<0当时，对称轴为，0a >1t a =当，即时，，所以；12a <12a >2242a a ⋅-->2a >当，即时，，无解，舍去；124a ≤≤1142a ≤≤2122a a a a ⎛⎫⋅--> ⎪⎝⎭当，即时，，所以，舍去.14a >10a 4<<2482a a ⋅-->23a >综上所述，实数a 的取值范围为（2，+∞）.【点睛】本题考查求对数型复合函数的定义域，不等式恒成立问题．解题时注意转化与化归思想的应用．。

北京市东城区2023-2024学年高一上学期12月月考数学模拟试题(含答案)

北京市东城区2023-2024学年高一上学期12月月考数学模拟试题1．已知集合，，则（）{}51A x x =-<≤{}29B x x =≤A B ⋃=A ．B ．C ．D ．[)3,1-[]3,1-(]5,3-[]3,3-2．已知函数()3sin 2f x x =，将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移8π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的解析式为（）A ．()π3sin 28g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()π3sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．D ．()π3sin 28g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()π3sin 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3．设0m n <<，则下列不等关系中不能成立的是（）A ．m n>B ．33m n<C ．11m n >D ．11m n m>-4．已知函数26()(1)f x x x =+-，则下列区间中含有()f x 的零点的是（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)5．已知0.50.65log 0.5,5,0.5a b c ===，则（）A ．a c b<”是“01x <<”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．设()f x 是奇函数，且在()0,∞+内是减函数，又()30f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（）A ．{30xx -<<∣或3}x >B ．{3xx <-∣或03}x <<C ．{30x x -<<∣或03}x <<D ．或{3xx <-∣3}x >9．已知函数()()1104f x x x x =++>，则（）A ．当且仅当12x =，时，()f x 有最小值32B ．当且仅当12x =时，()f x 有最小值2C ．当且仅当1x =时，()f x 有最小值32D ．当且仅当1x =时，()f x 有最小值.210．已知函数()y f x =图象是连续不断的，并且是R 上的增函数，有如下的对应值表A ．()00f 时，()0f x >C ．函数()f x 有且仅有一个零点D ．函数()()g x f x x=+可能无零点11．函数(01)||x xa y a x =<<的图像的大致形状是（）A ．B ．C ．D ．12．分贝（dB ）、奈培（Np ）均可用来量化声音的响度，其定义式分别为01dB =10lgA A ，011Np =ln 2A A ，其中A 为待测值，0A 为基准值．如果1dB =Np(R)t t ∈，那么t ≈（）（参考数据：lg e 0.4343≈）A ．8.686B ．4.343C ．0.8686D ．0.115二、填空题（本大题共6小题）13．命题“0x ∀>，20x>”的否定是．14．已知函数()38log xf x x=+，则13f ⎛⎫=⎪⎝⎭.15．函数()()ln 31x f x x +=+的定义域为.16．若函数()sin y A x ωϕ=+(0,0π)ωϕ>≤<的部分图象如图所示，则此函数的解析式为．17．已知函数21,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩，那么((3))f f -= ；当方程()f x a =有且仅有3个不同的根时，实数a 的取值范围是.18．设函数()f x 的定义域为D ，若()f x 满足：“1x D ∀∈，都存在2x D ∈，使得()()120f x f x +=”则称函数()f x 具有性质τ，给出下列四个结论：①函数()f x x =具有性质τ；②所有奇函数都具有性质τ；③若函数()f x 和函数都具有性质，则函数也具有性质；()g x τ()()f x g x +τ④若函数，具有性质，则.2()f x x a =+[2,1]x ∈-τ2a =-其中所有正确结论的序号是 .三、解答题（本大题共6小题）19．已知全集U =R ，{2A x x a =≤-或}x a ≥，{}250B x x x =-<．(1)当1a =时，求()U A B A B A B ⋂⋃⋂,,ð；(2)若A B B = ，求实数a 的取值范围．20．已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边经过点()1,3P -.(1)求sin2cos2tan2ααα、、的值；(2)求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭、πtan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(3)求sin 2cos 2cos 3sin αααα+-的值.21．设函数()2cos cos (02)f x x x x ωωωω=⋅+<<，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎣⎦上的值域；(3)求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间.条件①：函数()f x 的图象经过点5π1,122⎛⎫⎪⎝⎭；条件②：函数()f x 的图象的一条对称轴为π6x =；条件③：函数()f x 的图象的相邻两个对称中心之间的距离为π2.22．已知函数()24x f x x =+.(1)判断函数()f x 奇偶性，并证明你的结论；(2)判断函数()f x 在()0,2上的单调性，并证明你的结论；(3)若在区间[]2,0-上不等式()f x m >恒成立，求m 的取值范围.23．函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭部分图象如图所示,已知41πx x -=.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 的最小正周期和对称轴方程；(3)设0α>,若函数()()g x f x α=+为奇函数,求α的最小值.条件①：1π12x =；条件②：2π6x =；条件③.3π2x =注：如果选择多个条件组合分别解答,则按第一个解答计分.24．设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A=∈且}u v ≠为集合A 的生成集．(1)当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；(2)若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．答案1．【正确答案】C【分析】解29x ≤得出集合B ，然后根据并集的运算，即可得出答案.【详解】解29x ≤可得，33x-≤≤，所以{}3|3B x x =-≤≤.所以，{}{}{}51|3353A B x x x x x x ⋃=-<≤⋃-≤≤=-<≤.故选：C.2．【正确答案】B【分析】根据平移变换的性质即可求解.【详解】将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移π8个单位长度，得到ππ33si 2πn 88sin(24f x x x ⎛⎫⎛-=⎫=- ⎪⎪- ⎝⎭⎝⎭，故()π3sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选：B3．【正确答案】D【分析】利用不等式的性质判断ABC ，举反例判断 D.【详解】对于A ：0m n << ，0m n ∴->->，即m n>，A 正确；对于B ：0m n << ，33m n ∴<，B 正确；对于C ：0m n << ，0mn ∴>，m n mn mn ∴<，即11m n >，C 正确；对于D ：取2,1m n =-=-，满足0m n <<，但11112m n m =-<=--，D 错误.故选：D.4．【正确答案】B 【分析】先判断26()(1)f x x x =+-在(0,)+∞上递增，再根据零点存在性定理求解即可.【详解】因为函数26(,1)y x x y +==-在(0,)+∞上都递增，所以26()(1)f x x x =+-在(0,)+∞上递增，又因为()260(1)(11)201f f <=+-=-<，()4(3)f f >>26(2)(21)602f =+-=>，所以()1(2)0f f <，所以区间(1,2)含有()f x 的零点，故选：B.5．【正确答案】A【分析】利用指对数函数性质判断大小关系即可.【详解】由0.600.5055log 0.5log 100.55150.5a c b <==<=<<===，即a c b <<.故选：A6．【正确答案】C【分析】利用指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质、幂函数的图象与性质、正切函数的图象与性质分析即可得解.【详解】解：对于选项A ，指数函数2xy =是非奇非偶函数，故A 错误；对于选项B ，函数ln ||y x =是偶函数，故B 错误；对于选项C ，幂函数3y x =既是奇函数，又是定义域R 上的增函数，故C 正确；对于选项D ，正切函数tan y x =在每个周期内是增函数，在定义域上不是增函数，故D 错误.故选：C.7．【正确答案】B【分析】根据题意解出不等式比较两范围大小即可得出结果.【详解】解不等式()10x x +>可得0x >或1x <-；显然{}1|0x x <<是{0xx 或}1x <-的真子集，所以可得“()10x x +>”是“01x <<”的必要不充分条件.故选：B8．【正确答案】D【分析】根据题意，得到函数()f x 在(0,)+∞为减函数，且()30f =，结合不等式()0x f x ⋅<，分类讨论，即可求解.【详解】由函数()f x 是奇函数，且在()0,∞+内是减函数，可得函数()f x 在(),0∞-为减函数，又由()30f -=，可得()()330f f =--=，因为不等式()0x f x ⋅<，当0x >时，则()0f x <，解得3x >；当0x <时，则()0f x >，解得3x <-，所以不等式()0x f x ⋅<的解集为{3xx <-∣或3}x >.故选：D.9．【正确答案】B【分析】根据题意，由基本不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为0x >，则()11124f x x x =++≥=，当且仅当14x x =时，即12x =时，等号成立，所以当且仅当12x =时，()f x 有最小值 2.故选：B10．【正确答案】D【分析】根据函数的单调性，结合表格中的数据判断AB ；利用零点存在性定理判断CD.【详解】对于A ，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以()()010.240f f <=-<，正确；对于B ，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以当2x >时，()()2 1.210f x f >=>，正确；对于C ，因为函数()y f x =是R 上的增函数，()10f <且()20f >，即()()120f f <，所以函数()f x 有且仅有一个在区间()1,2的零点，正确；对于D ，因为函数()()g x f x x=+连续，且()()()()()0010,1110g f f g f =<<=+>，即()()010g g <，所以函数()()g x f x x=+在区间()0,1上一定存在零点，错误，故选：D.11．【正确答案】D【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案.【详解】根据01a <<(01)||xxa y a x =<<,0,0x xa x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩ 01a <<，∴xy a =是减函数，x y a =-是增函数.(01)||x xa y a x =<<在(0)+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递增故选：D.本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．【正确答案】A【分析】结合题意得到00110lgln 2A A t A A =⨯，再利用换元法与换底公式即可得解.【详解】因为01dB =10lgA A ，011Np =ln 2A A ，1dB =Np(R)t t ∈，所以00110lgln 2A A t A A =⨯，令0A x A =，则110lg ln 2x t x=⨯，所以lg ln e lg e2020lg 20lg 20lg e 200.43438.686ln ln lg x t x x x x x =⋅=⋅=⋅=≈⨯=.故选：A.13．【正确答案】000,20x x ∃>≤【分析】直接根据全称命题的否定为特称命题解答即可；【详解】命题“0x ∀>，20x>”为全称命题，又全称命题的否定为特称命题，故其否定为“000,20x x ∃>≤”故000,20x x ∃>≤14．【正确答案】1【分析】结合指数与对数的运算法则，计算即可.【详解】结合题意.()113333118log 2121133f ⎛⎫=+=-=-= ⎪⎝⎭故答案为.115．【正确答案】()()3,11,---+∞ 【分析】根据对数的真数大于零，分母不等于零列不等式求解.【详解】由已知得3010x x +>⎧⎨+≠⎩，解得3x >-且1x ≠-，即函数定义域为()()3,11,---+∞ .故答案为.()()3,11,---+∞ 16．【正确答案】π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【分析】根据图象，可得()3332A --==，πT =，图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在π3x =附近单调递减.进而可求出2ω=，π22ππ,3k k ϕ⨯+=+∈Z ，根据ϕ的范围即可解出ϕ，进而得到解析式.【详解】由已知可得，函数最大值为3，最小值为-3，所以()3332A --==.又由图象知，5πππ2632T =-=，所以πT =.因为0ω>，所以2ππT ω==，所以2ω=，所以()3sin 2y x ϕ=+.又由图象可推得，图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在π3x =附近单调递减，所以有π22ππ,3k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π2π,3k k ϕ=+∈Z .又0πϕ≤<，所以.π3ϕ=所以，函数的解析式为.π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故答案为.π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭17．【正确答案】2[)0,1【分析】入解析式即可求出((3))f f -；方程()f x a =有且仅有3个不同的根即()y f x =与y a =的图象有3个交点，结合()y f x =图象，即可得出答案.【详解】因为()21,02,0x x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩，所以()()23363f -=--=，所以()((3))32f f f -==；画出函数()fx 的图象，方程()f x a =有且仅有3个不同的根即()y f x =与y a =的图象有3个交点，由图可得.01a ≤<故2；[)0,1.18．【正确答案】①②④【分析】根据函数具有性质τ，知函数的值域关于原点对称，从而依次判断得结论.【详解】由题知，若()f x 满足性质τ即：“1x D ∀∈，都存在2x D ∈，使得()()120f x f x +=”则()f x 的值域关于原点对称.对于①，函数()f x x =，值域为R 关于原点对称，显然具有性质τ，故正确；对于②，因为所有的奇函数对应定义域内任意x 的都有()()f x f x -=-，则值域关于原点对称，显然具有性质τ，故正确；对于③，设2()1f x x =-，x ⎡∈⎣，值域为[]1,1-，具有性质τ，()1g x =+，x ⎡∈⎣，值域为[]1,1-，具有性质τ，2()()f x g x x +=，x ⎡∈⎣，值域为，不具有性质，故错误；1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦τ对于④，若函数，具有性质，则的值域关于原点对称.2()f x x a =+[2,1]x ∈-τ()f x 又，时，的值域为，2()f x x a =+[2,1]x ∈-()f x [,4]a a +则，解得，故正确.40a a ++=2a =-故答案为:①②④.19．【正确答案】(1){}15A B x x ⋂=≤<，{1A B x x ⋃=≤-或}0x >，(){}01UA B x x ⋂=<<ð(2)(][),07,-∞+∞ 【分析】（1）代入数据计算得到集合A 和B ，再根据的交并补运算计算得到答案.（2）确定B A ⊆，再根据集合的包含关系计算得到答案.【详解】（1）1a =时，{1A x x =≤-或}1x ≥，{}{}25005B x x x x x =-<=<<，{}15A B x x ⋂=≤<，{1A B x x ⋃=≤-或}0x >，{}11U A x x =-<<ð，故(){}01UA B x x ⋂=<<ð.（2）A B B = ，则B A ⊆，{2A x x a =≤-或}x a ≥，{}05B x x =<<，则25a -≥或0a ≤，解得0a ≤或7a ≥，即(][),07,a ∈-∞+∞ .20．【正确答案】(1)343sin 2,cos 2,tan 2554ααα=-=-=(2)π1πtan ,tan 2424αα⎛⎫⎛⎫+=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3)111-【分析】(1)已知角α的终边上一点(),P x y ,则sin αα==再结合二倍角公式代入运算即可;(2)已知角α的终边上一点(),P x y ,则tan ,y x α=再结合正切两角和差公式运算即可;(3)通过sin tan ,cos ααα=构造齐次式分式,再代入正切值运算即可.【详解】（1）角α的终边经过点()1,3P -,sin αα∴====3sin 22sin cos 2,5ααα⎛∴==⨯=- ⎝224cos 22cos 121,5αα=-=⨯-=-sin 23tan 2.cos 24ααα==（2）由题得3tan 3,1α-==-()πtan 1311tan ,41tan 132ααα+-+⎛⎫∴+===- ⎪---⎝⎭()πtan 131tan 2.41tan 13ααα---⎛⎫-=== ⎪++-⎝⎭（3）由(2)知tan 3,α=-()sin 2cos tan 2321.2cos 3sin 23tan 23311αααααα++-+∴===----⨯-21．【正确答案】(1)()1sin 262πf x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭;(2)30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(3)π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据三角函数的恒等变换可得()π1sin 262f x x ω⎛⎫=++⎪⎝⎭，分别选择条件①，②，③都可得到1ω=，从而可得()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭；（2）通过换元法并结合正弦函数的图象与单调性，求解值域即可.（3）通过换元法并结合正弦函数的单调性即可求解()f x 在[]0,π上的单调递增区间.【详解】（1）结合题意可得：()211cos cos 2cos 2,22f x x x x x x ωωωωω=⋅+=++所以()π1sin 2,(02)62f x x ωω⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭，若选条件①：因为函数()f x 的图象经过点5π1,122⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π5ππ11sin 21212622f ω⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即5ππsin 0sin π66k ω⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以5πππ,Z 66k k ω+=∈，即6155k ω=-，Z k ∈,因为02ω<<，所以当1k =时，1ω=,满足题意,故函数()f x 的解析式为()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭.若选条件②：因为函数()f x 的图象的一条对称轴为π6x =；所以πππ2π662k ω⨯+=+，Z k ∈,即31k ω=+,Z k ∈，因为02ω<<，所以当1k =时，1ω=,满足题意,故函数()f x 的解析式为()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭.若选条件③：因为函数()f x 的图象的相邻两个对称中心之间的距离为π2，所以π,22T =即πT =，由周期公式可得2ππ2T ω==，解得,满足题意,1ω=故函数的解析式为.()f x ()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭（2）由（1）问可得，()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭令，因为，所以，π26t x =+π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ππ7π2,666t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦由的图象可知：1sin 2y t =+在上单调递增，在单调递减；1sin 2y t =+ππ,62⎡⎤⎢⎣⎦π7π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦当，即时，；π2t =π6x =()max ππ13sin 26622f x ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭当，即时，.7π6t =π2x =()minππ1sin 20262f x ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭所以在上的值域为.()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）由（1）问可得，()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭令，因为，所以，π26t x =+[]0,πx ∈ππ13π2,666t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦由的图象可知：1sin 2y t =+①在上单调递增， 1sin 2y t =+ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，解得：，所以在单调递增；πππ2662x ≤+≤π06x ≤≤()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦②在单调递增，1sin 2y t =+3π13π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，解得：，所以在单调递增；63ππ13π262x ≤+≤2ππ3x ££()f x 2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦函数在上的单调递增区间为,.()f x []0,ππ0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦22．【正确答案】(1)奇函数，证明见解析(2)单调递增，证明见解析(3)14m <-【分析】（1）通过判断()(),f x f x -的关系得奇偶性；（2）任取()12,0,2x x ∈，且12x x >，通过计算()()12f x f x -的正负来确定单调性；（3）将恒成立问题转化为最值问题，利用奇偶性和单调性求出()f x 在区间[]2,0-上的最小值即可.【详解】（1）函数()f x 为奇函数．证明：由已知函数()24xf x x =+的定义域为R ，又()()()2244xxf x f x x x --==-=-+-+，所以函数()f x 为奇函数；（2）函数()f x 在()0,2上单调递增.证明：任取()12,0,2x x ∈，且12x x >，则()()()()()()()()()()22122121121212222222121212444444444x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++，因为()12,0,2x x ∈，且12x x >，所以1212400,x x x x <--<，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在()0,2上单调递增；（3）在区间[]2,0-上不等式()f x m >恒成立，即()min f x m >，又由（1）（2）得函数()f x 在[]2,0-上单调递增，故()()min 212444f x f -=-==-+，所以14m <-.23．【正确答案】(1)选择条件①②或者①③或者②③均可求得()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)最小正周期π,T =对称轴方程为ππ,Ζ32k x k =+∈(3)π12【分析】（1）根据图像得函数()f x 的一个周期为π,从而求得ω=2,选择两个条件,根据五点法求函数解析式参数的方法代入求解即可.（2）根据函数解析式,代入2π,T ω=求得最小正周期；根据正弦函数的对称轴为ππ,Ζ,2k k +∈代入求得()f x 的对称轴方程.（3）根据()g x 的解析式,结合()11sin sin ,Ζx k x k π+=±∈,可得若()g x 为奇函数,则π2π,Ζ,6k k α'='-∈再进行计算即可.【详解】（1）根据图像和41πx x -=,2ππ,0,2,T ωωω∴==>∴= ()()sin 2.f x A x ϕ∴=+若选条件①②,则根据五点法得1ππ20,,66x ϕϕϕ+=+=∴=-则()2ππsin 21,2,66f x A A ⎛⎫=⨯-=∴= ⎪⎝⎭()π2sin 2.6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭若选条件①③,则根据五点法得1ππ20,,66x ϕϕϕ+=+=∴=-则()3ππsin 21,2,26f x A A ⎛⎫=⨯-=∴= ⎪⎝⎭()π2sin 2.6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭若选条件②③,则当23π23x x x +==时,()f x 取得最大值A ,∴根据五点法得πππ2,,326ϕϕ⨯+=∴=-()2ππsin 21,2,66f x A A ⎛⎫∴=⨯-=∴= ⎪⎝⎭()π2sin 2.6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭（2）()π2sin 2,6f x x ⎛⎫=-∴ ⎪⎝⎭ 最小正周期2ππ.2T ==令ππ2π,Ζ,62x k k -=+∈解得ππ,Ζ,32k x k =+∈∴()f x 的对称轴方程为ππ,Ζ.32k x k =+∈（3）由题得()()()ππ2sin 22sin 22,66g x f x x x ααα⎡⎤⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()g x 为奇函数,π2π,Ζ,6k k α∴'='-∈解得ππ,Ζ.122k k α''=+∈0,α>∴ 当0k '=时,α取得最小值π.1224．【正确答案】(1){}6,10,15B =(2)7(3)不存在，理由见解析【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【详解】（1）{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B ∴=（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.（3）不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。

2023-2024学年陕西师大附中高一数学上学期12月考试卷附答案解析

2023-2024学年陕西师大附中高一数学上学期12月考试卷（试卷总分150分时间：120分钟）一、单选题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2230A x x x =++=,{}lg 1B x x =<,则集合()RA B = ð()A ．()0,10B ．∅C ．[)0,10D ．(]0,12．在下列各选项中，角α为第二象限角的充要条件是（）A ．sin 0,cos 0αα<>B ．sin 0,tan 0αα>>C ．cos 0,tan 0αα<>D ．sin 0,cos 0αα><3．下面各组函数中为相同函数的是（）A ．()f x 与()1g x x =-B．()f x =()g x =C ．()lnexf x =与()ln exg x =D ．()0f x x=与()01g x x =4．若正实数x ，y 满足280x y xy +-=，则2x y +的最大值为（）A ．25B ．16C ．37D ．195．若21log 5m =，则255m m -+的值为（）A ．103B ．92C ．245D ．2656．在ABC 中，下列关系正确的是（）A ．()cos cos ABC +=B ．()sin sin A B C +=C ．sin sin 22A B C +⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．cos cos 22A B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭7．若函数()()2ln 2f x x ax a =--在(),2-∞-上为减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．4,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．[)2,-+∞C ．4,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．(],2-∞-8．已知1011,1112,910m m ma b ==-=-则（）A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a>>二、多选题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.全对得4分，少选得2分，多选、错选不得分.9．已知函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图象关于直线7π12x =对称C ．π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数D ．()f x 的单调递减区间为()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦10．下列命题是真命题的是（）A ．若a b <，则1>a b B ．若非零实数a ，b ，c 满足a b c <<，0a b c ++>，则ac bc <C ．若22log log a b>，则22a b>D ．若12a b ≤-≤，24a b ≤+≤，则54210a b ≤-≤11．已知函数()e 2x f x x =+-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为b ，则下列选项中成立的是（）A ．2a b +=B ．e ln 2ab +=C ．()f x 与()g x 的图象关于y x =对称D ．1ab <12．设函数()21,25,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，集合()(){}220,M x f x f x k k ⎡⎤=++=∈⎣⎦R ，则下列命题中正确的是（）A ．当1k =时，{}6M =B ．当1k >时，M =∅C ．若{},,M a b c =，则k 的取值范围为()15,3--D ．若{},,,M a b c d =（其中a b c d <<<），则2214a bc d +++=三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．已知方程lg 3x x =-的根在区间()2,3上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为．14．设函数()()222sin 4x xf x x -+=+的最大值为a ，最小值为b ，则a b +=.15．已知幂函数()()212223a a f x a x+-=-在()0,∞+上单调递减，函数()3x h x m =+，对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,2x ∈使得()()12f x h x =，则m 的取值范围为.16．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为32.65g/m ，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为32.59g/m ，第n 次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量n r满足函数模型()0.250105n p n r r r r +=+-⋅（R p ∈，*N n ∈），其中0r 为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，1r 为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n 为改良工艺的次数.假设废水中含有的污染物数量不超过30.25g/m 时符合废水排放标准，若该企业排放废水符合排放标准，则改良工艺次数最少要（参考数据：lg 20.301≈）次.四、解答题：本题共5小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．计算：(1)13131142422223234a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（0a >）；(2)231lg 25lg 2log 9log 22+-⨯；(3)()()()sin 1071sin 99sin 171sin 261-︒︒+-︒-︒.18．已知角α的终边上有一点P 的坐标是()3,4a a ，其中0a ≠.(1)求tan α的值；(2)求()sin 12sin cos sin cos ααααα++的值.19．如图1所示的是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱塘江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征善新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设AD 的长度是l ， BC 的长度是l '，几何图形ABCD 的面积为S ，扇形BOC 的面积为S '，已知2l l '=，BOC α∠=.(1)求S S '；(2)若几何图形ABCD 的周长为4，则当α为多少时，S 最大？20．已知函数()()22241sin 4sin cos f a θθθθ=-+-（R θ∈）有零点，求实数a 的取值范围.21．已知函数()ln a f x x b x =-+（其中2a >），且()1e 1f =+，()e 2ln 212f =-+.(1)求a ，b 的值；(2)求()f x 的单调区间；(3)若正实数1x ，2x 满足12x x <，121=x x ，求证：()()12f x f x >.1．A【解析】化简集合,A B ,根据补集定义和交集定义,即可求得答案.【详解】{}2230A x x x =++==∅∴R A R=ð{}{}lg 1010B x x x x =<=<<∴(){}010RA B x x ⋂=<<ð故选:A.【点睛】本题考查了集合的补集运算和交集运算,解题关键是掌握补集定义和交集定义,考查了计算能力,属于基础题.2．D【分析】根据三角函数值的正负判断各选项中α所在象限，由此可判断出结果.【详解】对于A ：sin 0α<时，α为第三象限或y 轴负半轴或第四象限角，cos 0α>，α为第一象限或x 轴正半轴或第四象限角，故α为第四象限角，故A 错误；对于B ：sin 0α>时，α为第一象限或y 轴正半轴或第二象限角，tan 0α>，α为第一象限或第三象限角，故α为第一象限角，故B 错误；对于C ：cos 0α<时，α为第二象限或x 轴负半轴或第三象限角，tan 0α>，α为第一象限或第三象限角，故α为第三象限角，故C 错误；对于D ：sin 0α>时，α为第一象限或y 轴正半轴或第二象限角，cos 0α<时，α为第二象限或x 轴负半轴或第三象限角，故α为第二象限角，故D 正确；故选：D.3．D【详解】函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A ，()1f x x =-与()g x 对应关系不同，故排除选项A ；选项B 、C 中两函数的定义域不同，排除选项B 、C ．故选D ．4．D【分析】根据等式计算得出1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值.【详解】280,0,280,1,x y x y xy y x >>+-=∴+= ()28==82182801x y x y x y y x x y ⎛⎫+++++≥= ⎪⎝⎭+,221=189x y ∴≤+.故选:D.5．B【分析】先由换底公式将m 表示为5log 2，再将m 代入255m m-+计算即可.【详解】由题知21log 5m =，521log 2log 5m ∴==，55lo o 2g 4l g 292552111554552m m m m -∴==+++=+=.故选：B.6．B【分析】三角形的内角和为π，结合诱导公式直接判断.【详解】在ABC 中，有πA B C ++=，故：πC A B +=-和πC222A B +=-.所以：()sin sin A B C +=，()cos cos A B C +=-，sin cos 22A B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos sin 22A B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以B 正确.故选：B 7．C【分析】结合对数型函数单调性将问题转化为220t x ax a =-->在(,2)-∞-上恒成立，且22t x ax a =--在(,2)-∞-上单调递减即可.【详解】令22t x ax a =--，则ln y t =，由题意可知，220t x ax a =-->在(,2)-∞-上恒成立，且22t x ax a =--在(,2)-∞-上单调递减，所以2 44403a a a a ≥-⎧⇒≥-⎨+-≥⎩.故选：C.8．A【分析】根据指对互化可得lg11lg10m =，再利用基本不等式与换底公式可得11log 12m >与9log 10m <，从而利用指数函数的单调性即可得解．【详解】因为1011m=，所以lg11lg11lg10m ==，因为()2222lg10lg12lg120lg121lg10lg12lg11222+⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以lg11lg12lg10lg11>，则11log 12m >，所以11log 12111211120ma =->-=；因为()2222lg 9lg11lg 99lg100lg 9lg11lg10222+⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以lg11lg10lg10lg 9<，则9log 10m <，所以9log 109100910mb <=--=；综上，0a b >>.故选：A.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握()()1log log 12n n n n n ->+>，从而得到11log 12m >与9log 10m <，由此得解.9．AD【分析】根据正弦型函数的周期公式可判断A ；代入验证函数值可判断B ；求出π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的表达式即可判断其奇偶性，判断C ；结合正弦函数的单调区间求出()f x 的单调减区间即可判断D.【详解】对于A ，由三角函数的性质，可得()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，所以A 正确；对于B ，当7π12x =时，可得7π7π2π11πsin 2sin 1121236f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线7π12x =对称，所以B 错误；对于C ，由ππ2π4πsin 2sin 23333f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，此时函数π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为非奇非偶函数，所以C 错误；对于D ，令2π3π2π22π2π32k x k +≤+≤+，Z k ∈，解得π5πππ1212k x k -≤≤+，Z k ∈，即函数的递减区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，所以D 正确．故选：AD10．BCD【分析】举反例可否定A ；根据条件先判断c 的符号，然后可判断B ；根据对数函数单调性和真数范围，结合不等式性质可判断C ；利用()()423a b a b a b -=-++关系，由不等式性质可判断D.【详解】A 选项：当0,0a b <>时，显然1a b <，A 错误；B 选项：若非零实数a ，b ，c 满足a b c <<，0a b c ++>，则有0c >，所以ac bc <，B 正确；C 选项：若22log log a b>，则0a b >>，所以22a b >，C 正确；D 选项：设()()42a b x a b y a b -=-++，则42x y x y +=⎧⎨-+=-⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，因为12a b ≤-≤，所以()336a b ≤-≤，又24a b ≤+≤，所以()()5310a b a b ≤-++≤，即54210a b ≤-≤，D 正确.故选：BCD11．ABD【分析】由函数e xy =与ln y x =互为反函数，根据2y x =-与y x =垂直与反函数的性质结合对称性可得.【详解】由()0f x =，()0g x =得e 2xx =-，ln 2x x =-，即可得e 2,ln 2a a b b =-=-，即有()e ln 4a b a b +=-+，()01f =-，而()1,0-不在()g x 的图象上，故()f x 的图象与()g x 的图象不关于y x =对称.因为函数e x y =与ln y x =互为反函数，关于y x =对称，又因2y x =-与y x =垂直，在同一坐标系中分别作出函数e xy =，ln y x =，2y x =-的图象，如图所示，则(),e a A a ，(),ln B b b ，由反函数性质知,A B 关于()1,1对称，则2a b +=，e ln 2ab +=，()214a b ab +<=故选：ABD12．ABD【分析】当1k =时，求出方程()()2210f x f x ++=⎡⎤⎣⎦的解，可判断A 选项；当1k >时，由Δ0<可判断B 选项；令()u f x =，()22g u u u k=++，利用二次函数的零点分布求出k 的取值范围，可判断C 选项；利用图象的对称性结合指数的运算可判断D 选项.【详解】对于A 选项，当1k =时，由()()2210f x f x ++=⎡⎤⎣⎦可得()1f x =-，又因为()21,25,2xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，当0x ≤时，()210x f x =-≥，此时，方程()1f x =-无解，当0x >时，由()51f x x =-+=-，解得6x =，即{}6M =，A 对；对于B 选项，令()u f x =，由()()220f x f x k ++=可得220u u k ++=，当1k >时，对于关于u 的方程220u u k ++=，440k ∆=-<，故方程()()220f x f x k ++=无解，即M =∅，B 对；对于C 选项，作出函数()f x的图象如下图所示：令()()22y f x f x k=++，令()u f x =，()22g u u u k=++，则二次函数()g u 的图象开口向上，对称轴为直线1u =-，若{},,M a b c =，对于函数()g u ，函数()g u 必有两个不等的零点，设函数()g u 的两个不等的零点分别为1u 、2u ，且12u u <，则Δ440k =->，即1k <，由韦达定理可得122u u +=-，则11u <-，有以下几种情况：①1200u u <⎧⎨=⎩，则()00g k ==，可得()22g u u u=+，令()0g u =，可得12u =-，20u =，合乎题意；②12013u u <⎧⎨≤<⎩，则()()()001303150g k g k g k ⎧=<⎪=+≤⎨⎪=+>⎩，解得153k -<≤-；综上所述，当{},,M a b c =时，实数k 的取值范围是(]{}15,30-- ，C 错；对于D 选项，若{},,,M a b c d =，因为11u <-，则方程()1f x u =只有一根，则方程()2f x u =必有三个不相等的实根，结合图象可知，15u d =-，221215a b u c=-=-=-，且有0a b <<，所以，1221a b -=-，可得222a b+=，由122u u +=-可得552d c -+-=-，可得12c d +=，因此，2214a bc d +++=，D 对.故选：ABD.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.13．()2.5,3【分析】由题意构造函数()lg 3f x x x=-+，求方程的一个近似解，就是求函数在某个区间内有零点，分析函数值的符号是否异号即可．【详解】解：令()lg 3f x x x=-+，其在定义域上单调递增，且()2lg 210f =-<，()3lg30f =>，()2.5lg 2.50.50f =-=<，由f （2.5）f （3）＜0知根所在区间为()2.5,3．故答案为：()2.5,3．14．2【分析】将()f x 化成24sin ()14x x f x x -+=++，令24sin ()4x xg x x -+=+，结合奇函数的性质求解即可.【详解】因为22222(2)sin 44sin 4sin ()1444x x x x x x xf x x x x -++-+-+===++++，定义域为R ，令24sin ()4x xg x x -+=+，则()()1f x g x =+，又24sin ()()4x xg x g x x --==-+，所以()g x 为奇函数，所以max min ()()0g x g x +=，所以max min max min ()()()1()12a b f x f x g x g x +=+=+++=.故答案为：2.15．268,9⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】根据函数()f x 为幂函数及其单调性可求得a 的值，求出函数()f x 在[]1,3上的值域，以及函数()h x 在[]1,2上的值域，根据已知条件可得出关于m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】因为函数()()212223a a f x a x +-=-是幂函数，则231a -=，2a =±，()f x 在()0,∞+上单调递减，则21202a a +-<，可得2a =-，()221f x x x -∴==，()f x \在[]1,3上的值域为1,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()h x 在[]1,2上的值域为[]3,9m m ++，根据题意有918126399m m m m +≥≥-⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+≤≤-⎪⎪⎩⎩，m ∴的范围为268,9⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.故答案为：268,9⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.16．11【分析】由0 2.65r =，1 2.59r =求出0.250.252.650.065(R,N )n n r p n -*=-⨯∈∈，解0.25n r ≤即可.【详解】因为0.25010()5(R,N )n p n r r r r p n +*=+-⋅∈∈，0 2.65r =，1 2.59r =，所以0.252.59 2.65(2.59 2.65)5p +=+-⋅，解得0.25p =-，所以0.250.252.650.065(R,N )n n r p n -*=-⨯∈∈，由题意知，0.25n r ≤，即0.250.252.650.0650.25n --⨯≤，即0.250.25405n -≥，解得55log 400.25lg 4012lg 24log 40141410.25lg51lg 2n ++≥=+=⨯+=⨯+-，又lg 20.301≈，N n *∈，所以11n ≥，N n *∈，所以要使该企业排放的污水符合排放标准，改良工艺次数最少要11次.故答案为：11.17．(1)23-(2)12-(3)0【分析】（1）运用指数幂公式计算即可.（2）运用对数公式计算即可.（3）运用三角函数诱导公式化简即可.【详解】（1）原式131112242222(2)(3)444274423a a a a =--+=--+=-.（2）原式123111112lg5lg 2lg102log 3log 2lg(52)21222222-=⨯+--⨯=⨯+-=+-=-.（3）原式sin(10713360)sin99sin(9180)sin(261360)sin9sin99sin9sin990︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒=-+⨯+--+=-=18．(1)43(2)2825【分析】（1）运用三角函数定义计算即可.（2）由完全平方公式化简，结合齐次式求值即可.【详解】（1）因为0a ≠，所以44tan 33a a α==.（2）原式222222sin (sin cos )sin sin cos tan tan sin (sin cos )sin cos sin cos tan 1αααααααααααααααα+++==+==+++2244()2833425()13+==+.19．(1)3(2)23【分析】（1）通过弧长比可以得到OA 与OB 的比，再利用扇形面积公式即可求解；（2）由题意得234OB l '+=，32S l OB '=⋅，然后利用基本不等式求最值即得.【详解】（1）由BOC α∠=，则l OA α=⋅，l OB α'=⋅，所以2l O l OA OA B OB αα==⋅'=⋅，即2OA OB =，2l l '=，111122222231122l OA l OB l OB l OB S S l OB l OB '''⋅-⋅⋅⋅-⋅==='''⋅⋅.（2）由（1）知，AB CD OB ==，几何图形ABCD 的周长为234AB l l CD OB l ''+++=+=，()()1111312232222224S l OA l OB l OB l OB l OB l OB '''''=⋅-⋅=⋅⋅-⋅=⋅=⋅⋅221231414242OB l '+⎛⎫⎛⎫≤⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当32l OB l OB α=⎧⎨=⋅''⎩，即23α=时，S 最大值为1.20．1[,)6-+∞【分析】化简()f θ，结合换元法令sin t θ=，将问题转化为[1,1]t ∃∈-224410at t +-=成立，运用分离参数转化为求21()(2)4h t t =--，[1,0)(0,1]t ∈-⋃上的值域即可.【详解】因为2222()(241)sin 4sin cos (241)sin 4sin (1sin )f a a θθθθθθθ=-+-=-+--224sin 4sin 1a θθ=+-，所以()0f θ=有解，即224sin 4sin 10a θθ+-=有解，令sin t θ=，则11t -≤≤，所以[1,1]t ∃∈-，使得224410at t +-=成立，当0=t 时，224410at t +-=不成立，所以0=t 不是方程224410at t +-=的根；所以[1,0)(0,1]t ∃∈- ，使得2221414124()(2)4t a t t t t -==-=--成立，设21()(2)4h t t =--，[1,0)(0,1]t ∈-⋃，令1m t =，则2(2)4y m =--，（(,1][1,)m ∈-∞-+∞ ），又2(2)4y m =--在(,1]-∞-上单调递减，在[1,2)上单调递减，在[2,)+∞上单调递增，当2m =时，4y =-，所以4y ≥-，即244a ≥-，解得16a ≥-.故答案为1[,)6-+∞.21．(1)e a =，1b =(2)()f x 单调递减区间为(0,e)，单调递增区间为(e,)+∞(3)证明见解析【分析】（1）由2a >可得2ln 2a >，解方程组(1)e 1 e (2)ln 212f f =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩即可.（2）令e()ln g x x x =-，结合复合函数单调性可得()g x 在(0,)+∞上单调递增且(e)0g =，进而可求得()f x 的单调区间.（3）由已知得121x x =，21x >，代入函数()f x 比较即可.【详解】（1）因为2a >，所以2ln 2a >，所以(1)e 1 e (2)ln 2ln 2ln 21222f a b a b a a f b b ⎧=+=+=+⎪⎨=-+=-+=-+⎪⎩，解得e1a b =⎧⎨=⎩.（2）由（1）知，e ()|ln |1f x x x =-+，定义域为(0,)+∞，令e()ln g x x x =-，(0,)+∞，因为ln y x =与e y x =-在(0,)+∞上单调递增，所以e()ln g x x x =-在(0,)+∞上单调递增，又e(e)ln e 0e g =-=，所以当e x >时，()(e)0g x g >=，则e e ()|ln |1ln 1f x x x x x =-+=-+单调递增，当0e x <<时，()(e)0g x g <=，则e e ()|ln |1ln 1f x x x x x =-+=-++单调递减，所以()f x 单调递减区间为(0,e)，单调递增区间为(e,)+∞.（3）证明：因为210x x >>，121=x x ，所以121xx =，21x >，所以222e ()|ln |1f x x x =-+，12222211()()|ln e |1ln +e+1f xf xx x x x ==-+=，又当21x >时，222222ee ln +e>ln +|ln |x x x x x x >-，所以12()()f x f x >，故原命题得证.。

2022-2023学年辽宁省六校协作体高一上学期12月月考数学试题(解析版)

2022-2023学年辽宁省六校协作体高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合，，，则（） {}1,2,3,4,5,6U ={}2,4,6A ={}1,2,4,5B =()U A B = ðA ． B ． C ． D ．{}3{}6{}3,6{}2,3,4,6【答案】B【分析】由补集和交集的定义可求得结果．【详解】由题可得，则． {}3,6U B =ð(){}6U A B = ð故选：B ．2．集合，若，则的取值范围是（） {}|310M x x m =-+>1M ∉m A ． B ． C ． D ．4m >4m <4m ≥4m ≤【答案】C【分析】根据元素与集合的关系求解.【详解】因为，所以，解得， 1M ∉3110m ⨯-+≤4m ≥故选:C.3．命题“”的否定为（）2000110x x x ∃>+->，A ． B ．2000110x x x ∃>+-≤，2000110x x x ∃≤+->，C ． D ．2110x x x ∀≤+->，2110x x x ∀>+-≤，【答案】D【分析】根据存在命题的否定是全称命题进行判断即可. 【详解】因为存在命题的否定是全称命题，所以命题“”的否定为，2000110x x x ∃>+->，2110x x x ∀>+-≤，故选：D4．函数的图象大致是（）()2222x xx f x -=+A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数表达式，求得函数为偶函数，且恒成立即可判断()f x ()0f x ≥【详解】由题意可得： ()()()22222222x x x xx x f x f x ----===++故函数为偶函数，图象关于y 轴对称，可排除C 和D 选项 ()f x 又恒成立，可排除A 选项 ()0f x ≥故选：B5．若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调增区间是()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x ()g x y x =()216g x -（） A ． B ． C ． D ．[)0,4()4,0-(]0,4(]4,0-【答案】A【分析】由题意可知是的反函数，即可求出，进而得出的解析式，由复()g x ()f x ()g x ()216g x -合函数单调性的性质求解即可．【详解】∵函数与的图象关于直线对称，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()g x y x =∴函数是的反函数，则，()g x ()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭12()log g x x =∴，()()221216log 16y g x x =-=-由，解得， 2160x ->44x -<<令，，216u x =-44x -<<在上单调递增，在上单调递减， 216u x =-()4,0-[0,4)又在上单调递减，12log y u =()0,∞+∴的单调增区间为．()216g x -[0,4)故选：A ．6．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒100mL 精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员一天晚2079mg -80mg 上9点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到，如果在停止喝酒后，他血液中0.6/mg mL 酒精含量会以每小时的速度减少，则他次日上午最早（）点（结果取整数）开车才不构成10%酒后驾车.（参考数据：） lg 30.477=A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】C【分析】由题得，解不等式即可解决. 0.6100(110%)20,t ⨯-<【详解】由题知，设他至少经过小时才可以驾车， t 所以 0.6100(110%)20,t ⨯-<所以 93(1,10t⨯<所以 91lg lg ,103t ⨯<所以， lg 310.42lg 31t ->≈-所以，11t ≥所以他至少经过11小时，即次日早8点才可以驾车，故选：C7．已知，，，则大小关系是（）125()2a =232b =253c =,,a b c A ． B ． C ． D ．a b c <<c<a4132(2)0b =>4152(3)0c =>52432453数幂的运算性质及幂函数的单调性即可得出结果．【详解】因为，，，故只需比较，，的大小，125()02a =>4132(2)0b =>4152(3)0c =>52432453∵，，∴，即；4343128(2)2168===35125()28=43335(2)()2>43522>∵，，∴，即；45452592(3)38132===553125()232=45555(3)()2<45532<∴，又在上递增．44535322<<12y x =()0,∞+∴，即． 44111532225(3)()(2)2<<c<a<b 故选：B ．8．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（）2()lg 4(84)1f x ax a x ⎡⎤=+-+⎣⎦R a A ．(0，4) B ．[1，4]∪{0} C ．(0，1]∪[4，+∞） D ．[0，1]∪[4，+∞）【答案】D【分析】令，由题意可知，函数的值域包含，24(84)1u ax a x -=++24(84)1u ax a x -=++()0,∞+分和两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的0a =0a ≠a a 取值范围.【详解】令，由于函数的值域为，24(84)1u ax a x -=++2()lg 4(84)1f x ax a x ⎡⎤=+-+⎣⎦R 所以，函数的值域包含. 24(84)1u ax a x -=++()0,∞+①当时，函数的值域为，符合题意；0a =81u x =+R ②当时，若函数的值域包含，0a ≠24(84)1u ax a x -=++()0,∞+则，解得或. ()20Δ84440a a a >⎧⎪⎨=--⨯≥⎪⎩01a <≤4a ≥综上所述，实数的取值范围是. a [][)0,14,⋃+∞故选：D.二、多选题9．已知，，且，，则函数与函数在同一坐标系0a >0b >1ab =11a b ≠≠，()xf x a -=()log b g x x =中的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】BD【分析】结合指数函数、对数函数的图像按和分类讨论． 01a <<1a >【详解】由，，且，， 0a >0b >1ab =11a b ≠≠，所以过点， ()1xxa f x a-⎛⎫= ⎪⎝⎭=()0,1而过点；()log b g x x =()1,0选项A ，B ：由图可知单调递增，则此时， ()f x 01a <<所以有，故在单调递增， 1b >()g x ,()0x ∈+∞故A 选项错误，选项B 正确；选项C ，D ：由图可知单调递减，则此时， ()f x 1a >所以有，故在单调递减， 01b <<()g x ,()0x ∈+∞故C 选项不正确，选项D 正确；故选：BD.10．设为非零实数，且，则下列不等式恒成立的是（） ,m n m n <A ． B ．C ．D ．2mn n <33m n <2211mn m n<22m n <【答案】BC【分析】根据不等式的性质可判断AC ，根据的性质可判断B ，利用特值可判断D. 3y x =【详解】因为为非零实数，且， ,m n m n <当时，，故A 错误；0n <2mn n >因为函数单调递增，所以，故B 正确； 3y x =33m n <因为，，所以，故C 正确； m n <2210m n >2211mn m n <取，则，故D 错误. 11m n =-<=22m n =故选：BC.11．若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上()f x x ()()0f x f x +-=的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中12,x x 12x x ≠()()12120f x f x x x -<-()f x 能被称为“理想函数”的是（）A ．B ．C ．D ．()1f x x =13()f xx =-()2121x x f x -=+())f x x =【答案】BD【分析】由题意知“理想函数”是：定义域内为奇函数且为减函数，依次判断各选项即可得答案．【详解】由，可得为定义域上的奇函数，()()0f x f x +-=()f x 由时，恒有，可得为定义域上的减函数．12x x ≠()()12120f x f x x x -<-()f x 对于A 选项，在其定义域内不是单调函数，故A 错误； 1()f x x=(,0)(0,)-∞+∞ 对于B 选项，，为奇函数，根据幂函数性质可知，在定1133()()()f x x x f x =---=-=()f x ∴13y x =义域上单调递增，则在定义域上单调递减，故B 正确；R ()f x R 对于C 选项，定义域为，，为奇函数； ()f x R 1221122()()1221212xx x x x xx x f x f x ------====-+++()f x ∴，在上为增函数且，在上为减函2122()12121x x x f x +-==-++21x y =+ R 211x +>221x y ∴=+R 数，在上为增函数，故C 错误；2()121x f x ∴=-+R 对于D 选项，，则函数的定义域为，())f xx =R ，则())f x x -=+=)()x f x ==-=-()f x 为奇函数；令，设，则，()g x x =12x x >120x x ->()())121221g x g x x x x x -=---=-()()12121x x x x ⎫⎪=-=--⎪⎭，11x x >…2x >，12x x >+．1<10<，即，在上是减函数． ()()120g x g x ∴-<()()12g x g x <()g x ∴R 在上是减函数．故D 正确． ())f x x ∴=R 故选：BD ．12．设函数，且，则下列关系可能成立的是（）()|22|,,R xf x a b +=-∈a b ¹A ．B ．2ab f f f a b ⎛⎫>> ⎪+⎝⎭22aba b f f fa b +⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭C ． D ．2ab f ff a b ⎛⎫>> ⎪+⎝⎭22ab a b ff f a b+⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭【答案】ABC【分析】由条件，且的大小关系，再讨论函数,R a b +∈a b ¹22a b ab a b++()f x 的单调性即可逐一判断作答. 【详解】因，且， ,R a b +∈a b ¹则2a b+>22ab a b a b <⇔<++又，则， 222222()2()a b a b ab a b+>++=+222()24a b a b ++>2a b+>. 22a b ab a b+>>>+函数，则在上递减，在上递增，22,1()22,1x x x f x x ⎧-<=⎨-≥⎩()f x (0,1][1,)+∞对于A ，当时，有成立，A 选项可能成立； 21ab a b ≥+>>2()abf f f a b +对于B ，由知，即取某个数，存在， 0221x <-<21log 3x <<2a b+2(1,log 3)201ab a b<<<+使得成立，结合的图象如图，B 选项可能成立； 2((2>)>ab a bf f f a b ++()f x对于C ，当时，有成立，C 选项可能成立；01<≤2()>ab f f f a b >+对于D ，由，由，即2()>ab f f a b +1>>()2a bf f +1<出现矛盾，D 选项不可能成立. 故选：ABC.三、填空题13．已知函数，则_____.()2200x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，，()()1f f -=【答案】2【分析】利用代入法进行求解即可. 【详解】， ()()()112f f f -==故答案为：214．已知函数，则不等式解集为_____． 2()22f x x x =-+(21)(1)f x f x +≤-【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由，结合函数的解析式，可得，解一元二次不等式(21)(1)f x f x +≤-()f x 20344x x +-≤即可．【详解】由，(21)(1)f x f x +≤-得， 222222(21)(21)(1)(1)x x x x -+≤-+--++展开整理得， 20344x x +-≤即，解得， (2)(32)0x x +-≤223x -≤≤故不等式的解集为．(21)(1)f x f x +≤-22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：．22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．已知函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，()f x R ()1f x +()2f x +[]12x ∈，，若，则 _____.()2f x ax b =+(0)(3)9f f +=8()3f =【答案】73-【分析】由题得，，化简得，即可解决. (1)(1)f x f x +=--+(2)(2)f x f x +=-+(4)()f x f x +=【详解】由为奇函数关于有点对称，可知关于对称，()1f x +()()10f f x =，()1,0为偶函数关于轴对称，可知关于对称，()2f x +y ()f x 2x =所以，，(1)(1)f x f x +=--+(2)(2)f x f x +=-+所以，即， [][](1)1(1)1()f x f x f x ++=--++=--(2)()f x f x +=--所以， (2)(2)()f x f x f x -+=+=--令，即， t x =-(2)()f t f t +=-所以， (4)(2)()f t f t f t +=-+=所以，(4)()f x f x +=当时，， []12x ∈，()2f x ax b =+所以，(0)(11)(2)4f f f a b =-+=-=-- (3)(12)(12)(1),f f f f a b =+=-+==+又， (0)(3)9f f +=所以，解得， 39a -=3a =-因为， (1)0f a b =+=所以，3b a =-=所以当时，， []12x ∈，()233f x x =-+所以，844214167(()(2)((1)()3333333393f f f f f f =-=--+=-=--==-⋅+=-故答案为：73-四、双空题16．已知为常数且，函数的零点为，函数的零点为a 1a >()22xf x a x =+-1x ()2log 2a g x x x =+-，则 _____，的最小值是______. 2x 12x x +=112212x x x x ++【答案】 272【分析】确定交点关于对称，得到，变换，再利用均值不()1,1122x x +=12112212212322x x x x x x x x ++=++等式计算得到最值.【详解】，即；()220x f x a x =+-=2xx =-+，即，()2log 20a g x x x =+-=2x =-+，，关于对称，且与垂直，交于点，xy =y x =y x =y x =2y x=-+()1,1故与的交点，与的交点，关于对称，xy =2y x =-+y x =2y x =-+()1,1故，122x x +=，，()10,1x ∈()21,x ∈+∞， 112121211221221221233722222x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=++=++≥=当，即，时等号成立.211222x x x x =243x =123x =故答案为：；272五、解答题17．（1； 1223092)84⎛⎫+ ⎪⎝⎭+（2）．3g 355lo 51lg 25lg 23log 9log 2+-+⋅【答案】（1）；（2）－2 132【分析】利用指数幂、对数的运算性质可得解．【详解】（1； ()112222200333)93282)242⎛⎫⎛⎫-+⎝⎡⎤⎝+=+⎢⎥+ ⎪ ⎪⎭⎭⎢⎥⎣⎦23213214=-++=（2）． 3g 355lo 51lg 25lg 23log 9log 2+-+⋅2lg 3lg 5lg 5lg 251522lg 5lg 3=+-+⋅=-+=-18．已知函数过点．()log a f x x =(2,1)-(1)求解析式；()f x (2)若，求的值域．2()(45)g x f x x =-++()g x 【答案】(1)， ()12log f x x =()0,x ∈+∞(2) 12log 9,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）将代入，解得，即可得解析式；(2,1)-()log a f x x =a ()f x （2）求得，令，，利用二次函数与对数函数的性212()log (45)g x x x =-++245u x x =-++15x -<<质求解即可．【详解】（1）将代入，得，解得， (2,1)-()log a f x x =1log 2a -=12a =所以，其中 ()12log f x x =()0,x ∈+∞（2）， 1222()(45)log (45)g x f x x x x =-++=-++由，解得，2450x x -++>15x -<<令，，245u x x =-++15x -<<∵，2245(2)9u x x x =-++=--+∴由二次函数的性质可知，在时，，(1,5)x ∈-(0,9]u ∈又在上单调递减， 12log y u =(0,)+∞所以的值域为．(注：也正确) ()g x 12log 9,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭[)2log 9,-+∞19．面对近期更加严峻而又错综复杂的疫情，某生猪养殖公司为了缓解市民吃肉难的生活问题，欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距150千米的乙地，运费为每小时50元，装卸费为800元，猪肉在运输途中的损耗费(单位：元)是汽车速(km/h)度值的2倍.(说明：运输的总费用=运费+装卸费+).2.45≈(1)若汽车的速度为每小时50千米，试求运输的总费用；(2)为使运输的总费用不超过1050元，求汽车行驶速度的范围；(3)求出运输的总费用最小值.（精确到整数）【答案】(1)(元)1050(2)[]50,75(3)1045元【分析】(1)根据题意直接列式求解；(2)列出不等式，解一元二次不等式求解即可；(3)利用基本不等式求解.【详解】（1）因为运输的总费用运费装卸费损耗费=++当汽车的速度为每小时50千米时所以运输总费用为： (元) 15050800250105050⨯++⨯=（2）设汽车行驶的速度为千米/小时x 因为运输的总费用运费装卸费损耗费=++所以 1505028001050x x⨯++≤化简得，解得：，2225075000x x -+≤5075x ≤≤所以运输的总费用不超过1050元，汽车行驶速度的范围为，[]50,75（3）设汽车行驶的速度为千米/小时，x 因为运输的总费用运费装卸费损耗费=++所以运输的总费用： 150502800800x x ⨯++≥=(元)8001045+≈当且仅当即 75002x x=x =运输的总费用最小值为1045元.20．已知幂函数 ()为偶函数，且在是单调增函数. ()223m m f x x -++=m ∈Z ()0+∞，(1)求函数的解析式；()f x (2)求解集.()()()232120f x f x a a x x -++≥【答案】(1) ，；()4f x x =x ∈R (2)答案见解析.【分析】（1）根据幂函数的定义和性质进行求解即可；（2）根据解一元二次不等式的方法分类讨论进行求解即可.【详解】（1）因为幂函数在在是单调增函数，所以()()223Z mm f x x m -++=∈()0+∞，2230m m -++>，解得：， 13m -<<因为，所以， m ∈Z 012m =，，当时，，此时为奇函数，不符合题意；0m =()3f x x =()f x 当时，，此时为偶函数，符合题意；1m =()4f x x =()f x 当时，此时为奇函数，不符合题意；2m =()3f x x =所以当时，，；1m =()4f x x =x ∈R （2）， ()()()232120f x f x a a x x -++≥等价于，()202120x ax a x ≠-++≥，即， ()()0120x ax x ≠--≥，当时，解集为， a<01|20x x x a ⎧⎫≤≤≠⎨⎬⎩⎭且当时，解集为，0a ={}|20x x x ≤≠且当时，解集为 102a <<1|20x x x x a ⎧⎫≤≥≠⎨⎬⎩⎭或且，当时，解集为， 12a ={}|0x x ≠当时，解集为. 12a >1|20x x x x a ⎧⎫≤≥≠⎨⎬⎩⎭或且21．已知函数是上的奇函数． 2()2xx a f x b -=+R (1)求值；,a b (2)判断函数单调性(不用证明)；(3)若对任意实数，不等式f (f (x ))＋f (5－2m )＞0恒成立，求m 的取值范围．x 【答案】(1)a ＝1，b ＝1(2)上的减函数R(3)3m ≥【分析】（1）根据为上的奇函数，利用特殊值即可求得，然后验证即可；()f x R ,a b （2）变形即可判断单调性； 2()112xf x =-++（3）利用函数的奇偶性以及单调性可得到f (x )2m －5恒成立，即2m f (x )＋5，求出f (x )＋5的范<>围，即可得解．【详解】（1）因为为上的奇函数，所以f (0)＝0，得a ＝1．()f x R 又由f (－1)＝－f (1)，，得b ＝1． 11121222b b ----=-++从而，，则为上的奇函数， 12()12x x f x -=+1221()()1221x x x x f x f x -----===-++()f x R 综上，a ＝1，b ＝1．（2）由（1）知， (12()11221)22x x x f x --==-++++因为在上单调递增，且，12x y =+R 121x +>所以为上的减函数．()f x R （3）因为f (x )为上的奇函数，R 所以原不等式可化为f (f (x ))＞－f (5－2m )，即f (f (x ))＞f (2m －5)恒成立，又因为f (x )为上的减函数，所以f (x )2m －5恒成立，R <由此可得不等式2m f (x )＋5＝对任意实数x 恒成立， >122541212x x x -+=+++由＞0⇒＋1＞1⇒0＜＜2⇒4＜4＋＜6，即4＜f (x )＋5＜6， 2x 2x 212x +212x+所以2m 6，即．≥3m ≥22．已知函数，. 2(1)f x x +=()()f x g x x =(1)求的解析式；()f x (2)当时，求的最值；0x >()g x (3)若关于的方程有三个不同的实数解，求的取值范围. x ()22131021x x m g m -+--=-m 【答案】(1)2()21,R f x x x x =-+∈(2)最小值为0，无最大值(3) 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用换元法求函数解析式；（2）利用基本不等式求最值；（3）将方程根的问题进行转化，借助函数图像，建立满足题意的条件不等式解出即可.【详解】（1）由，2(1)f x x +=令，11x t x t +=⇒=-所以()22()121f t t t t =-=-+即函数. 2()21,R f x x x x =-+∈（2）， ()22112220x x g x x x x-+==+-≥-=当且仅当时取等，1x =所以最小值为0，无最大值.()g x （3）方程可化为 ()22131021x x m g m -+--=-，且， ()()2213321120x x m m --+-++=210x -≠令，21x t -=则方程化为，，()()233120t m t m -+++=()0t ≠因为方程有三个不同的实数解， ()22131021x x m g m -+--=-由的图像知，21x t =-有两个根、， ()()()2331200t m t m t -+++=≠1t 2t 且,或，1201t t <<<101t <<21t =记，()()()23312h t t m t m =-+++即， ()()0120110h m h m ⎧=+>⎪⎨=--<⎪⎩121m m ⎧>-⎪⎨⎪>-⎩此时， 12m >-或，()()()012011033012h m h m m ⎧⎪=+>⎪⎪=--=⎨⎪-+⎪<-<⎪⎩得，此时无解 121113m m m ⎧>-⎪⎪=-⎨⎪⎪-<<-⎩m 综上，关于的方程 x ()22131021x x m g m -+--=-有三个不同的实数解，则的取值范围. m 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭。

2022-2023学年四川省达州市宣汉县宣汉中学高一年级上册学期12月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年四川省达州市宣汉县宣汉中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．若集合，，则下列结论正确的是（）{}21A x x =-<{}(1)(4)0B x x x =--≥A ．B ．C ．D ．A B ⋂=∅A B =R A B ⊆R B A⊆ 【答案】A【分析】解不等式求得集合A 、B ，然后逐一验证所给选项即可．【详解】，{}{}{}2112113A x x x x x x =-<=-<-<=<<，，{}{}(1)(4)014B x x x x x x =--≥=≤≥或{}R14B x x =<< ，选项A 正确；A B ⋂=∅，选项B 错误；{}34A B x x x ⋃=<≥或不是的子集，选项C 错误；A B ，选项D 错误．R A B ⊆ 故选：A ．2．若，都为正实数，，则的最大值是（）a b 21a b +=ab A ．B ．C ．D ．29181412【答案】B【分析】由基本不等式，结合题中条件，直接求解，即可得出结果.【详解】因为，都为正实数，，a b 21a b +=所以，221212228ab a b ab +⎛⎫=≤=⎪⎝⎭当且仅当，即时，取最大值.2a b =11,42a b ==ab 18故选：D 3．已知，命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（）{}|12A x x =≤≤2,0x A x a ∀∈-≤A ． B ． C ．D ．4a ≥4a ≤5a ≥5a ≤【答案】C【分析】首先求出命题为真时参数的取值范围，再找出其一个充分不必要条件；a 【详解】解：因为，为真命题，所以，，因为函{}|12A x x =≤≤2,0x A x a ∀∈-≤()2maxa x ≥x A ∈数在上单调递增，所以，所以()2f x x =[]1,2()2max4x =4a ≥又因为[)[)5,4,+∞+∞ 所以命题“，”是真命题的一个充分不必要条件为2,0x A x a ∀∈-≤{}|12A x x =≤≤5a ≥故选：C【点睛】本题考查全称命题为真求参数的取值范围，以及充分条件、必要条件，属于基础题.4．若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最大值为()21f x ax bx =++[]1,2a a --A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】A【详解】试题分析：偶函数定义域关于原点对称，所以，函数开口向上.由于函120,1a a a --+==数为偶函数，故，所以，最大值为.0b =()21f x x =+()2415f =+=【解析】二次函数最值.5．函数则下列命题正确的是（）21,1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩A ．函数是偶函数B ．函数最小值是0()f x ()f x C ．函数的单调递增区间是D ．函数的图象关于直线对称()f x [)1,+∞()f x 1x =【答案】B【解析】画出函数图像，由图判断.【详解】画出函数图象如图：()fx 可知函数是非奇非偶函数，A 错误；()f x 函数最小值是0，B 正确；()f x函数的单调递增区间是，，C 错误；()f x [)1,+∞()1,0-，，，所以函数不关于对称，D 错误.()01f =()2ln2f =()()02f f ≠1x =故选:B.【点睛】此题考查函数的性质，属于基础题.6．设，，，则a ，b ，c 的大小关系是0.40.5a =0.4log 0.3b =8log 0.4c =A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a【答案】C【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【详解】∵0＜a=0.50.4＜0.50=1，b=log 0.40.3＞log 0.40.4=1，c=log 80.4＜log 81=0，∴a ，b ，c 的大小关系是c ＜a ＜b ．故选C ．【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助0,1其“桥梁”作用，来比较大小．7．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足()()2265m m m f x x -=--1x ()20,x ∈+∞12x x ≠，若，，且，则的值（）()()1212f x f x x x ->-a b ∈R 0a b +>()()f a f b +A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【答案】A【解析】利用幂函数的定义求出m ，利用函数的单调性和奇偶性即可求解．【详解】∵函数是幂函数，()()2265mm m f x x -=--∴，解得：m = -2或m =3．25=1m m --∵对任意，，且，满足，1x ()20,x ∈+∞12x x ≠()()12120f x f x x x ->-∴函数为增函数，()f x∴，260m ->∴m =3（m = -2舍去）∴为增函数．()3=f x x 对任意，，且，a b ∈R 0a b +>则，∴- a b >()()()f a f b f b >-=-∴．()()0f a f b +>故选：A【点睛】(1)由幂函数的定义求参数的值要严格按照解析式，x 前的系数为1；(2)函数的单调性和奇偶性是函数常用性质，通常一起应用．二、多选题8．下列说法正确的是（）A ．函数的增区间是()22log 23y x x =--()1,+∞B ．函数是偶函数2xy =C ．函数的减区间是22312x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭()1,+∞D ．幂函数图象必过原点【答案】BC【分析】由复合函数单调性、函数的奇偶性和幂函数知识进行判断即可.【详解】对于A ，由解得或，2230x x -->1x <-3x >∴定义域为，()22log 23y x x =--()(),13,-∞-⋃+∞令，则当时，单调递增，2log y t =()0,t ∈+∞2log y t =令，其图象为开口向上，对称轴为直线的抛物线，当时，223t x x =--1x =(),1x ∈-∞单调递减，当时，单调递增，223t x x =--()1,x ∈+∞223t x x =--又∵定义域为，()22log 23y x x =--()(),13,-∞-⋃+∞∴由复合函数的单调性知，的增区间是，故选项A 错误；()22log 23y x x =--()3,+∞对于B ，令，定义域为，，都有，()2xy f x ==R x ∀∈R x -∈R 且，∴是偶函数，故选项B 正确；()()22xxf x f x --===()2xy f x ==对于C ，定义域为，22312x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭R 令，则当时，单调递减，12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭(),t ∈-∞+∞12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭令，由A 选项的判断过程，当时，单调递减，当时，223t x x =--(),1x ∈-∞223t x x =--()1,x ∈+∞单调递增，223t x x =--∴由复合函数的单调性知，的减区间是，故选项C 正确；22312x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭()1,+∞对于D ，幂函数的定义域为，其图象不过原点，故选项D 错误.1y x ={}0x x ≠故选：BC.9．给出下列结论，其中正确的结论是（）A ．函数的最大值为2112x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭12B ．已知函数（且）在（0，1）上是减函数，则实数a 的取值范围是()log 2a y ax =-0a >1a ≠（1，2]C ．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称2xy =2log y x =y x =D ．若，则的值为13436a b==21a b +【答案】BCD【解析】直接利用复合函数的性质判定的结论，利用对数的运算判断、的结论，利用函数的A B D 对称性判断的结论．C 【详解】解：对于：函数的最小值为，故错误；A 211(2x y -+=12A 对于：已知函数且在上是减函数，B log (2)(0a y ax a =->1)a ≠(0,1)所以，解得，故正确．120a a >⎧⎨-⎩ 12a < B 对于：同一平面直角坐标系中，由于函数与互为反函数，所以他们的的图象关于C 2xy =2log y x =直线对称，故正确；y x =C对于：由于，则，则，同理，D 3436ab==361log 3a =362log 9a =361log 4b =所以，故正确．3621log 361a b +==D 故选：．BCD 【点睛】本题考查复合函数的单调性的应用，复合函数的单调性由“同增异减”的法则判断即可；10．下列说法正确的是（）A ．已知方程的解在内，则8x e x =-()(),1k k k Z +∈1k =B ．函数的零点是，()223f x x x =--()1,0-()3,0C ．函数，的图像关于对称3xy =3log y x =y x =D ．用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，3380x x +-=()1,2x ∈()10f <()1.50f >，则方程的根落在区间上()1.250f <()1.25,1.5【答案】ACD【解析】由函数零点的概念判断选项B ，由函数零点存在性定理判断选项AD ，由函数与函数3xy =互为反函数判断选项C.3log y x =【详解】对于选项A ，令，()=8x f x e x +-因为在上是增函数，且，()f x R ()()2170,260f e f e =-<=->所以方程的解在，所以，故A 正确；8x e x =-()1,21k =对于选项B ，令得或，故函数的零点为和，故B 错误；2230x x --==1x -3x =()f x 1-3对于选项C ，函数与函数互为反函数，所以它们的图像关于对称，故C 正确；3xy =3log y x =y x =对于选项D ，由于，所以由零点存在性定理可得方程的根落在区()()()()1.2550,1 1.250f f f f ⋅<⋅>间上，故D 正确.()1.25,1.5故选：ACD三、填空题11________.=【答案】0【分析】根据根式的定义求值．【详解】因为，4π<.440ππ=-+-=故答案为：.0【点睛】本题考查根式的运算，解题时要注意偶次根式表示的非负数．12．函数的单调递增区间是__________.2()ln(2)f x x x =-【答案】（2，+∞）【解析】根据复合函数“同增异减”的方法求函数的单调递增区间，注意函数的定义域.【详解】是复合函数，可以写成，，根据复合函数单调性“同增异()2ln 2y x x =-ln y t =22t x x =-减”的判断方法可知外层函数是增函数，所以只需求在定义域内的单调递增区间，ln y t =22t x x =-，解得：或，函数在单调递增，在单调递减，220x x ->2x >0x <()2,∞+(),0∞-所以函数的单调递增区间是.()2,∞+故答案为：()2,∞+13．函数（且）恒过定点，则______．()log 5a y kx b=-+0a >1a ≠()2,2k b +=【答案】5【分析】根据对数函数的图象与性质，列出方程组，即可求解.【详解】由题意，函数恒过定点，()log 5a y kx b=-+()2,2可得，解得，所以.2512k b -=⎧⎨=⎩3,2k b ==325k b +=+=故答案为：.514．已知，方程与的根分别为，若，则1a >e 0+-=x x a ln 0+-=x x a 12,x x 2212122=++m x x x x 的取值范围为___________．m 【答案】()1,+∞【分析】由题意知，与图象交点的横坐标分别为，数形结合知e xy =ln y x =y a x =-12,x x ，结合，即可求解.12x x a +=1a >【详解】方程的根，即与图象交点的横坐标，e 0+-=xx a e xy =y a x =-方程的根，即与图象交点的坐标， ln 0+-=x x a ln y x =y a x =-而与的图象关于直线轴对称，如图所示：e xy =ln y x =y x =与交点为，，y a x =-y x =,22a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭12x x a ∴+=，()22121222122∴+=+=+x x x x x x a 又，，即1a >22121221∴++>x x x x 1m >故答案为：()1,+∞四、解答题15．（1）解方程：；24230x x +-+=（2）解不等式：.()3log 23x +<【答案】（1）；（2）．{}20,log 3{}225x x -<<【分析】（1）使用换元法进行求解；（2）将变为，利用对数函数的单调性进行求解.33log 273log y x =【详解】（1）解：令（），2xt =0t >则，，()()22224222x x x x t ====22222424x x x t +=⋅=⋅=∴原方程可化为（），2430t t -+=0t >解得或，1t =3t =∴或，21x=23x =解得或，0x =2log 3x =∴原方程的解集为.{}20,log 3（2）解：原不等式等价于，即，()333log 2log 3x +<()33log 2log 27x +<∵是定义在上的增函数，3log y x =()0,∞+∴由，有，()33log 2log 27x +<0227x <+<∴，225x -<<∴原不等式的解集为.{}225x x -<<16．菜农小李种植的某种蔬菜计划以每千克5元的价格对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．小李为了减少损失，对价格经过两次下调，以每千克3.2元的价格对外批发销售．(1)若两次下调的幅度相同，求每次下调的百分率；(2)小华准备到小李处购买5吨该蔬菜，因数量多，小李决定在给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨蔬菜优惠200元．试问小华选择那种方案更优惠？请说明理由．【答案】(1)20%(2)小华选择方案一更优惠；理由见解析【分析】（1）设每次下调的百分率为，由题意得，求解即可；x ()251 3.2x -=（2）分别计算方案一和方案二所需费用，比较即可得解.【详解】（1）设每次下调的百分率为，x 由题意得：，解得：，（舍去）()251 3.2x -=10.220%x ==2 1.8x =所以每次下调的百分率为20%（2）小华选择方案一更优惠．理由如下：小华选择方案一所需费用：(元)3.20.9500014400⨯⨯=小华选择方案二所需费用：元3.25000200515000⨯-⨯=()因为，1440015000<小华选择方案一更优惠．17．已知定义在上的奇函数．在时，．()1,1-()f x ()1,0x ∈-()22x x f x -=+(1)试求的表达式；()f x (2)若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．()0,1x ∈()241x x t f x <⋅⋅-t【答案】(1)()()()221,000220,1x x x x x f x x x --⎧+∈-⎪==⎨⎪--∈⎩(2)0t ≥【分析】（1）依题意可得，再设，根据奇偶性及上的函数解析式，计算()00f =()0,1x ∈()1,0x ∈-可得；（2）依题意参变分离可得，令，，根据指数函数的性质求出函数4141x x t -+>+()4141x xg x -+=+()0,1x ∈的单调性，即可求出函数最小值，从而得解；【详解】（1）解：是定义在上的奇函数，，()f x ()1,1-()00f ∴=因为在时，，()1,0x ∈-()22x xf x -=+设，则，()0,1x ∈()1,0x -∈-则，()()()22x xf x f x -=--=-+故.()()()221,000220,1x x x x x f x x x --⎧+∈-⎪==⎨⎪--∈⎩（2）解：由题意，可化为()241x x t f x <⋅⋅-()22241x x x x t --<⋅⋅--化简可得， 4141x xt -+>+令，，()41214141x x xg x -+==-+++()0,1x ∈因为在定义域上单调递增，在上单调递减，41xy =+()0,12y x =()2,5所以在上单调递减，()g x ()0,1，()()0201041g x g ∴<=-+=+故．0t ≥。

江苏省徐州市2023-2024学年高一上学期12月月考数学模拟试题(含答案)

江苏省徐州市2023-2024学年高一上学期12月月考数学模拟试题1．设集合，，则（）{}220A x x x =--<{}1B x x =≤A B = A ．B ．C ．D ．{}11x x -<<{}11x x -<≤{}11x x -≤<{}11x x -≤≤2．命题“2,230x x x ∃∈-+<R ”的否定是（）A ．2,230x x x ∃∈-+>R B ．2,230x x x ∀∈-+>R C ．2,230x x x ∃∈-+≥R D ．2,230x x x ∀∈-+≥R 3．扇形的圆心角为0.5弧度，周长为15，则它的面积为（）A ．5B ．6C ．8D ．94．已知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()224f x x x =-+，则(3)f -的值是（）A ．19B ．7C ．7-D ．19-5．如图所示，函数12()f x x=的图象大致为（　）．A ．B ．C ．D ．6．已知函数()120,1x y a a a -=+>≠的图象恒过的定点A ，且A 点在直线()0,0mx y n m n -+=>上，则111m n ++的最小值为（）A ．4B ．1C ．2D ．57．小强在研究幂函数11,2,3,,12a y x a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭的图象和性质时得到如下结论，则其中正确的是（）A ．幂函数的图象必过定点()0,0和()1,1B ．幂函数的图象不可能过第四象限C ．幂函数12y x =为偶函数D ．幂函数1y x -=在其定义域上为减函数8．已知某物种t 年后的种群数量y 近似满足函数模型：()1.4e 0.12500e 0t y k k -=⋅>．自2023年初起，经过n 年后()*n ∈N ，当该物种的种群数量不足2023年初的20%时，n 的最小值为（参考数据：）（）ln5 1.6094≈A ．10B ．11C ．12D ．13二、多选题（本大题共4小题）9．下列各式中，最小值为4的是（）A ．82x y x=+B ．4sin (0)sin y x x xπ=+<<C ．e 4exxy -=+D．y =10．下列说法中正确的是（）A ．任取0x >，均有32x x>B．图象经过⎛ ⎝的幂函数是偶函数C ．在同一坐标系中，函数21x y =+与21xy -=+的图象关于y 轴对称D ．方程2log 2x x=-有两根11．下列表达式正确的是（）A ．若π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin cos θθ=+B ．在锐角ABC 中，sin cos A B >恒成立C ．()()sin πtan cos πααα-=-+D ．α∀，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22sin cos sin cos αβαβ+<+12．已知()f x 的定义域为R 且()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，且对任意的1x ，()21,2x ∈，且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x ->-，则下列结论正确的是（）A ．是偶函数B ．()f x ()20230f =C ．的图象关于对称D ．()f x ()1,071948f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、填空题（本大题共4小题）13．已知22log 2log 21x y +=，则3x y +的最小值为.14．已知幂函数()2232(1)mm f x m x -+=-在()0+∞，上单调递增，则()f x 的解析式是.15．已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上单调递减，()()332f f +-=，则关于x 的不等式()11f x +≥的解集为.16．已知直线π02x a a ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与函数()sin f x x =和函数()cos g x x =的图象分别交于,P Q 两点，若14PQ =，则线段PQ 中点的纵坐标为.四、解答题（本大题共6小题）17．（1）设全集为R ，{}37A x x =≤<，{}210B x x =<<，求()A B⋂R ð；（2）7log 2log lg 25lg 47++．18．已知函数()xf x a =（0a >且1a ≠）的图象经过点()4,4．(1)求a 的值；(2)求函数|1|()(33)x g x a x -=-≤≤的值域．19．已知角α满足______．请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）．条件①：角α的终边与单位圆的交点为3,5M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件②：角α满足3sin 5α=；条件③：角α满足2217sin 8cos 1αα-=．(1)求tan α的值；(2)求2sin cos sin 1ααα-+的值．20．天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量a 万件与投入的促销费用x 万元()0x ≥满足关系式81ka x =-+（k 为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为1036a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元，设该产品的利润为y 万元.（注：利润=销售收入-投入成本-促销费用）(1)求出k 的值，并将y 表示为x 的函数；(2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？21．已知函数()121xaf x =++为奇函数.（1）求实数a 的值，并用定义证明()f x 是R上的增函数；（2）若关于t 的不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<的解集非空，求实数k 的取值范围.22．已知a ∈R ，函数2()log ().f x x a =+(1)若关于x 的方程221()log ()0f x x +=的解集中恰有一个元素，求a 的值;(2)设0a >，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间11[,1t t +的最大值和最小值的差不超过1，求a 的取值范围.答案1．【正确答案】B【详解】{}{}22012A x x x x x =--<=-<<，{}{}111B x x x x =≤=-≤≤，则{}11A B x x ⋂=-<≤.故选B.2．【正确答案】D【详解】命题“2,230x x x ∃∈-+<R ”的否定是“2,230x x x ∀∈-+≥R ”.故选D.3．【正确答案】D【详解】设半径为r ，则周长1520.5r r =+，则6r =，扇形面积210.592r ⨯=，故选D ．4．【正确答案】C【详解】因为当0x >时，()224f x x x =-+，所以()2332347f =-⨯+=，又()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()337f f -=-=-.故选C.5．【正确答案】A 【详解】12()f x x=的定义域为R ,1122()()f x x x f x -=-==，图象关于y 轴对称，可排除选项A,B ；又因为当0x ≥时，12()f x x == C.【方法总结】函数图象的辨识可从以下方面入手：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；②从函数的值域，判断图象的上下位置；③从函数的单调性，判断图象的变化趋势；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性；⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．【正确答案】B 【详解】函数()120,1x y a a a -=+>≠中，由10x -=可得1x =，3y =，即函数的图象恒过定点(1,3)A .若点A 在直线()0,0mx y n m n -+=>上，即有14m n ++=，于是得1111111[(+1)]()(2(2114+14141n m m n m n m n m n ++=++=++≥+=++，当且仅当11n mmn +=+,即2=1m n =，时取等号成立.所以21m n ==，时，111m n ++的最小值为 1.故选B.7．【正确答案】B【详解】对选项A ：1y x -=不过()0,0，错误；对选项B ：0x >时，0ay x =>，幂函数的图象不可能过第四象限，正确；对选项C ：幂函数12y x =的定义域为[)0,+∞，是非奇非偶函数，错误；对选项D ：=1x -时，1y =-；1x =时，1y =，不是定义域上减函数，错误；故选B.8．【正确答案】D【详解】由题意可知2023年初的种群数量为0=t 时的函数值 1.4e0e k ⋅，故令 1.4e 0.125 1.4e00e20%ety k k -=⋅<⋅⋅，即0.1251e 5t -<，则ln 50.125ln 5,8ln 512.87520.125t t >>=≈所以，由于*n ∈N ，故n 的最小值为13.故选D.9．【正确答案】CD【详解】对于A ，当0x <时，0y <，所以82x y x =+无最小值，A 不符合题意;对于B ，由已知sin 0x >，所以4sin 4sin y x x =+≥=，当4sin sin x x =即sin 2x =时，取等号，而sin x 的最大值为1，所以等号取不到，所以4sin (0)sin y x x x =+<<π 的最小值不是4，即B 不符合题意;对于C，e 4e 4x x y -=+≥=，当e 4e xx-=即时，取等号，所以ln 2x =最小值为4，C 符合题意;e 4e x x y -=+对于D ，，当4y =≥==x =取等号，所以的最小值为4，所以符合题意．y =故选CD ．【方法总结】利用基本不等式求最值时,要注意其满足的三个条件:“一正、二定、三相等”.(1)“一正”:就是各项必须为正数;(2)“二定”:就是要求和的最小值,必须把构成和的两项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”:利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.10．【正确答案】ACD 【详解】对选项A ，令()3xf x =，()2xg x =，当0x >时，()3xf x =的图象恒在()2xg x =的上，则A 正确；对选项B ，设()nf x x=，则()22n f ==12n =-，则0x >，所以函数不是偶函数，故B 错误；对选项C ，函数2xy =与2x y -=的图象关于y 轴对称，往上平移1个单位就得到函数21x y =+与21x y -=+的图象，所以还关于y 轴对称，故C 正确；对选项D ，方程2log 2x x=-的根即为函数2log ,2y x y x==-图象交点的横坐标，在同一坐标系中作出两函数的图象，则两函数图象共有两交点，则方程2log 2x x=-有两根，故D 正确；故选ACD ．11．【正确答案】BCD 【详解】A ：由题设==|sin cos |θθ=-，又π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故sin cos θθ=-，错；B ：由题意ππ2A B <+<且π0,2A B <<，则ππ22B A -<<，所以πsin sin()cos 2A B B>-=，对；C ：()()sin πsin tan cos πcos ααααα-==-+-，对；D ：由22sin cos (sin cos )sin (sin 1)cos (cos 1)αβαβααββ+-+=-+-，又α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故0sin ,cos 1αβ<<，故22sin cos (sin cos )0αβαβ+-+<，所以22sin cos sin cos αβαβ+<+，对.故选BCD.12．【正确答案】ABC 【详解】()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，所以()f x 的图象关于点(1,0)对称且关于直线2x =对称，故C 正确；所以(1)=(1)f x f x +--，(2)=(2)f x f x +-，(1)0f =，(2)(2)(11)=[1(1)]()f x f x f x f x f x +=-=+----=-(4)(2)=()f x f x f x +=-+，所以()f x 是周期函数，最小正周期为4．(1)(3)(21)(21)(1)0f f f f f -==+=-==，(2023)(45061)(1)0f f f =⨯-=-=，故B 正确；()(2)(2)[2(2)]=()f x f x f x f x f x -=-+=--=--，()f x 是偶函数，A 正确；对任意的()12,1,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()1212f x f x x x ->-，即1212x x <<<时，，所以在是单调递增，12()()f x f x <()f x (1,2)，，，77()=(44f f -19191913(((4)(8888f f f f -=-+=7132148>>>，所以，故D 错．713()()48f f >719()(48f f ->故选ABC ．13．【正确答案【详解】由题可知，0,0x y >>，且222log 2log 2log (22)1x y x y +=⋅=，所以1422xy xy =⇒=，3x y +≥==3x y =时等号成立，又10,0,2x y xy >>=，解得x y ==.14．【正确答案】()2f x x =【详解】()f x 是幂函数，()211m ∴-=，解得2m =或0m =，若2m =，则()0f x x =，在()0+∞，上不单调递增，不满足条件；若0m =，则()2f x x =，在()0+∞，上单调递增，满足条件；即()2f x x =.15．【正确答案】(][),42,-∞-+∞ 【详解】由题设，易知偶函数()y f x =在(],0-∞上递减，在(0,)+∞上递增，且(3)(3)1f f =-=，所以()11(|3|)f x f +≥=±，故|1|3x +≥，可得13x +≥或13x +≤-，所以2x ≥或4x ≤-，故解集为(][),42,-∞-+∞ .16．【正确答案【详解】由题意知：1sin cos 4PQ a a =-=，()21sin cos 12sin cos 16a a a a ∴-=-=，152sin cos 16a a ∴=；设PQ 中点的纵坐标为b ，当π0,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0a >，cos 0a >，sin cos 02a ab +∴=>，215112sin cos 31164464a ab ++∴===，b ∴=【思路导引】由1sin cos 4PQ a a =-=，平方后可求得2sin cos a a ，再将线段PQ 中点的纵坐标求平方值，代入2sin cos a a 进行运算求解.17．【正确答案】（1）{|23x x <<或}710x ≤<（2）154【详解】（1）{|3A x x =<R ð或}7x ≥，所以()A B ⋂=R ð{|23x x <<或}710x ≤<.（2）7log 2log lg 25lg 47++()()13433log lg 25423=+⨯+()143log 3lg 2542-=+⨯+1224=-++15.4=18．【正确答案】(1)a =(2)[]1,4【详解】（1）因为()xf x a =的图象经过点()4,4，则44a =，又0a >且1a ≠，所以a =（2）当33x -≤≤时，412x --≤≤，则014x -≤≤，因为1>，所以()x f x =在R 上单调递增，则4，即114-，所以()g x 的值域为[]1,4．19．【正确答案】(1)3tan 4α=±(2)3tan 4α=时，原式2825=；3tan 4α=-时，原式425=；【详解】（1）条件①：因为角α的终边与单位圆的交点为3,5M x ⎛⎫⎪⎝⎭，可得22315x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，45x =±，由三角函数的定义可得3tan 4α=±条件②：因为角α满足3sin 5α=，又因为22sin cos 1αα+=，即可得216cos 25α=所以4cos 5α=±，可得3tan 4α=±条件③：因为角α满足2217sin 8cos 1αα-=，又因为22sin cos 1αα+=，即22228co 1s sin cos 7sin αααα-=+，可得2216sin 9cos αα=又2cos 0α≠，所以29tan 16α=，即3tan 4α=±.（2）易知2222222s i sin cos sin 1s n cos sin sin cos cos sin 11sin c i os n ααααααααααααα-+-++-+==+2222sin tan si cos cos 1c n ta s n o 1ααααααα+++=+=,由（1）可知：3tan 4α=±，当3tan 4α=时，原式231tan 2849tan 1251161α+===+++；当3tan 4α=-时，原式231tan 449tan 1251161α-+===+++.20．【正确答案】(1)4k =，()6413801y x x x =--≥+(2)当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元【详解】（1）由题知，0x =时，4a =，于是，8401k -=+，解得4k =.所以，481a x =-+.根据题意，103620y a a x a ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭,即6416101381y a x x x =+-=--+,所以()6413801y x x x =--≥+.（2）6464138139111y x x x x ⎛⎫=--=-++ ⎪++⎝⎭139123≤-=,当且仅当6411x x +=+，即7x =时，等号成立.所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元.21．【正确答案】（1）2a =-，证明见解析；（2）1(,)3-+∞.【详解】（1）因为()f x 是定义域在R 上的奇函数，可得x ∀∈R ，都有()()f x f x -=-，令0x =，可得0(0)110212a a f =+=+=+，解得2a =-，所以221()12121x x x f x -=-=++，此时满足2121()()2121x x x x f x f x -----==-=-++，所以函数()f x 是奇函数，所以2a =-.任取12,x x ∈R ，且12x x <，则1222x x <，因为12122121122(22)2222()()(1)(1)021212121(21)(21)x x x x x x x x f x f x --=---=-=<++++++，即12()()f x f x <，所以()f x 是R 上的增函数.（2）因为()f x 为奇函数，且22(2)(2)0f t t f t k -+-<的解集非空，可得22(2)(2)f t t f k t -<-的解集非空，又因为()f x 在R 上单调递增，所以2222t t k t -<-的解集非空，即2320t t k --<在R 上有解，则满足2(2)43()0k ∆=--⨯⨯->，解得，13k >-所以实数的取值范围.k 1(,)3-+∞【关键点拨】第二问将问题转化为2320t t k --<在R 上有解，结合二次函数的性质，可求得k 的值.22．【正确答案】(1)0a =或14-；(2)2[,).3+∞【详解】（1）由题可知2221log ()log ()0a x x ++=有且仅有一解，所以21()1a x x +=有且仅有一解，等价于210ax x +-=有且仅有一解，当0a =时，可得1x =，经检验符合题意；当0a ≠时，则140a ∆=+=，解得14a =-，再代入方程可解得2x =，经检验符合题意；综上所述，0a =或14-.（2）当120x x <<时，12x a x a +<+，2122log ()log ()x a x a +<+，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，因此()f x 在11[,]1t t +上单调递增，故只需满足11(()11f f t t -≤+，即2211log ()log ()11a a t t +-+≤+，所以112()1a a t t +≤++，即1211(1)t a t t t t -≥-=++，设1t r -=，则1[0,2r ∈，21(1)(1)(2)32t r r t t r r r r -==+---+，当0r =时，2032r r r =-+，当102r <≤时，212323r r r r r =-++-，又对勾函数2y x x =+在单调递减，10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦所以，219422r r +≥+=故，112293332r r ≤=+--所以，，12(1)3t t t -≤+所以a 的取值范围为2[,).3+∞。

2024学年河南省顶级名校高一上学期12月月考数学试题及答案

高一12月月考数学试题第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}lg 0A x x =>，{}0,1,2,3B =，则A B = （）A.{}2,3B.{}1,2,3 C.()1,+∞ D.()2,32.已知5cos 13α=-，且α为第二象限角，则sin α=（）A.1213-B.513-C.1213D.1253.函数()2log 27f x x x =+-的零点一定位于区间（）A.()1,2 B.()2,3 C.()3,4 D.()5,64.()tan 420-︒的值为（）A. C.5.“11x<”是“1x >”的（）条件A.充分非必要 B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要6.已知3cos 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.45±B.45C.45-D.357.若对于任意的0x >，不等式()2310x a x +-+≥恒成立，则实数a 的取值范围为（）A.[)5,+∞ B.()5,+∞ C.(],5-∞ D.(),5-∞8.设函数()2,01,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A.(],1-∞ B.()1,+∞ C.[)1,+∞ D.(),1-∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.下列结论中，正确的有（）A.()sin sin x x π-=B.()tan tan x x π+=-C.3cos sin 2x x π⎛⎫-=⎪⎝⎭ D.3cos sin 2x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭10.若0x y >>，则下列结论正确的是（）A.33xy> B.33x y> C.1122log log x y> D.11x y>11.若a ，()0,b ∈+∞，1a b +=，则下列说法正确的是（）A.ab 的最大值为14B.11a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是4C.144a b -的最大值为2 D.12a b+的最小值为3+12.函数()21,321,xx af x x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-++>⎩则下列结论正确的是（）A.当0a =时，函数()f x 的单调增区间为()0,1B.不论a 为何值，函数()f x 既没有最小值，也没有最大值C.不论a 为何值，函数()f x 的图象与x 轴都有交点D.存在实数a ，使得函数()f x 为R 上的减函数第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在平面直角坐标系中，点()tan2022,sin2022P ︒︒位于第______象限.14.函数23x y a+=-（0a >，且1a ≠）的图象过定点A ，则点A 的坐标是______.15.设25abm ==，且211a b+=，则m =______.16.若扇形周长为10，当其面积最大时，其扇形内切圆的半径r 为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）化简求值：（1）23log 3log 4lg2lg5⋅--；（2）27sin cos tan cos 6336ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.18.（本小题满分12分）已知()()()3cos tan 2021sin 223sin sin 2f ππαπαααππαα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.（1）化简()fα；（2）若α是第四象限角，且20211cos 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，求()f α的值.19.（本小题满分12分）已知二次函数()241f x ax x =--.（1）当a 取何值时，不等式()0f x <对一切实数x 都成立；（2）若()f x 在区间()1,1-内恰有一个零点，求实数a 的取值范围。

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高一(12)月考数学试题
数学试题
姓名得分
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1. 已知f(x)=1
1+x ，则函数f[f(x)]的定义域是( ). A .{x|x ≠－1} B .{x|x ≠－2} C .{x|x ≠－1,且x ≠－2} D .{x|x ≠－1,或x ≠－2}
2. 图象与)1(log 12
1x y -+=的图象关于直线0=-y x 对称的函数是( ).
A .x y -+=121
B . x y --=121
C . 121-=-x y
D . 121+=-x y
3. 已知函数f(x)=2mx+4,若在[－2,1]上存在x 0,使f(x 0)=0，则实数m 的取值范围为( ).
A .]4,2
5[- B .),1[]2,(+∞⋃--∞ C.［－１,2］Ｄ. ［－２,１］ 4. 假定从甲地到乙地通话x min 的电话费f(x)=1.06×(0.50×[x]+1),其中x ＞０，［x ］是大于或等于x 的最小整数，则从甲地到乙地的通话5.5min 的电话费为（）.
A. 3.71
B. 3.97
C. 4.24 Ｄ. 4.77
5. 下列函数中,在(－∞,1)上为增函数的是( ).
A . )1(log 21x y --=
B . 21x y -= C. 2)1(x y +-= Ｄ. x
x y -=
1 6. 将3log 2
1,31log 21,21log 31,按从小到大的次序排列，正确的是( ). Ａ. 3log 21＜31log 21＜21log 31 Ｂ. 3log 2
1＜21log 31＜31log 21 Ｃ. 31log 21＜3log 21＜21log 31 Ｄ. 21log 31＜31log 21＜3log 2
1 7. 已知函数2
4)(23++-=ax ax a x x f 的定义域是Ｒ，则实数a 的取值范围是( ). A .]2,21[ B .)2,0( C. ],2[+∞ Ｄ. )2
1,0[ 8. 若f(a)=b,则f －1(b)=( ).
A .a －1
B . b －1 C. a Ｄ. b
9. 当x ＞０时，函数f(x)=(a 2－1)x 的值总大于１，则实数a 的取值范围是( ).
A .1＜｜a ｜＜２
B .｜a ｜＜1 C. ｜a ｜＞2 Ｄ. ｜a ｜＞1
10. 函数x a
y -=与)(log x y a -=的图象可能是( ).
A .
B .
C. Ｄ.
二、填空题(把答案填在题中横线上.) 11.已知⎩⎨⎧≥<-=,0,1,0,1)(x x x f 则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是。

12.已知数列{a n }满足a n =a n －1+(－1)n ,且a １=１，则
35a a ＝ . 13.计算375754log 3
1log 9log 2log ⋅⋅＝ . 14.若32121=+-x x ,则
=-+-+--2
3222
323x x x x . 15.函数)12(log )(221--=x x x f 的单调递增区间是 . 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤).
16.计算15
36lg 27lg 321240lg 9lg 211++--+. 17.数列{a n }中，a 1＝a ＞０, a n+1＝f (a n ) (n ∈N *),其中f (x)=
x x 213+. (1) 求a 2, a 3, a 4；
(2) 根据(1)的结果，猜想出一个a n 的公式。

18.某生产饮料的企业准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内,预计年销量Ｑ（万件）与广告费x （万元）之间的函数关系为)0(1
13≥++=x x x Q .已知生产此产品的年固定投入为３万元，每生产１万件此产品仍需要再投入32万元，若每件售价为“年平均每件成本的150％”与“年平均每件所占广告费的５０％”之和，且当年产销量相等，试将年利润Ｗ（万元）表示为年广告费x （万元）的函数，并判断当年广告费投入100万元时，的盈亏情况。

19.定义在Ｒ上的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y), 且f(1)=2.
（１）求f （0）的值；
（２）求证：f(－x)=－f(x);
（３）若f(kx)+f(x －x 2－2)＜0对一切x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围.
20.求函数5log 21)(log )(2
1221+-
=x x x f 在[2,4]内的最值.。