关于自然数k次幂求和公式的讨论(数分小论文)
自然数k次幂数列的一个有趣性质
自然数k次幂数列的一个有趣性质
自然数k次幂数列是一种对一些数学问题和物理过程具有重要意义的数列。
它是由一系列等差数列构成的多项式，即首项为1，公差为k，从1至正确的项构成一个数列，在许多计算机科学和数学中经常被使用。
自然数k次幂数列有一个很有趣的特性，当k大于1时，其中的任何一项数字都会被后面的数字除尽。
例如，从1开始，若k=4，则数列自然数为1，4，16，64，256，其中16被后面的数字256除尽。
实际上，如果任何数字经过k次幂可以被后面一个数字整除，那么此数字也可以被其之前的任意一个数字整除。
例如，若k=2，则数列为1，2，4，8，16，其中8可以被16整除，由此也可以得出结论，8也可以被4整除。
另外，在数学上，如果一系列数字可以被其前一个数字整除，则称为等比数列。
由上述示例来看，当k大于1的时候，自然数k次幂数列符合等比数列的特性，可以得出结论，自然数k次幂数列也是一种等比数列。
此外，由于自然数k次幂数列本质上是一种等比数列，它也可以被用于研究一些自然现象，比如物品的价格走势、流量走势等，因为这些自然现象本质上也是一种等比数列。
本文介绍了当k大于1的时候，自然数k次幂数列的一些有趣的性质，使得它在一些数学问题和物理过程中显得尤为重要。
通过学习自然数k次幂数列，我们可以更好地理解一些自然现象，从而更加深入地了解自然界发生的各种现象，从而提高我们对自然界的认知。
幂级数的求和
幂级数的求和幂级数的求和（Sum of Geometric Series）幂级数是数学中一个非常重要且有趣的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将深入研究幂级数的求和，并探讨一些有趣的性质和应用。
首先，我们来定义什么是幂级数。
幂级数是由一系列幂次递增的项构成的无穷级数。
一般来说，幂级数的形式可以表示为：∞___\S = \ aᵢ * xⁱ/___i=0在上式中，aᵢ是常数系数，x 是自变量，i 是项的指数，S 是幂级数的和。
我们可以看到，幂级数的项之间存在乘法关系，而指数 i 呈递增的幂次分布。
对于幂级数的求和，我们需要根据其收敛性质进行讨论。
幂级数的收敛性与 x 的取值相关，存在三种情况：1. 当 x = 0 时，幂级数的和为 a₀，即 S = a₀。
此时，幂级数只有一项，因此求和结果是确定的。
2. 当x ≠ 0 且 aₙ ⋅ xⁿ 逐项相加的和存在有限值时，我们称幂级数在 x 处收敛。
这时，我们可以用一种特殊的方式计算幂级数的和。
对于收敛的幂级数而言，可以使用以下公式计算其和：∞___\S = \ aᵢ * xⁱ = a₀ + a₁ * x + a₂ * x² + .../___i=0这个公式是通过将幂级数写成等比数列的形式来推导出来的。
通过计算每一项的值，并将它们相加，我们可以得到幂级数的和。
例如，考虑以下幂级数：S = 3 + 6x + 12x² + 24x³ + ...我们首先需要判断该幂级数在何处收敛。
为了判断这一点，我们可以使用比值判别法或根值判别法。
假设我们使用比值判别法，计算得到：lim n→∞ │aₙ₊₁⋅ xₙ₊₁│___________ = │6x│ = |6x|n→∞ │aₙ ⋅ xₙ│当 |6x| < 1 时，该幂级数在 x 处收敛。
也就是说，幂级数的收敛区间为 (-1/6, 1/6)。
接下来，我们可以使用求和公式计算该幂级数的和。
自然数幂求和
自然数幂求和自然数幂求和是一种从1到n的自然数幂之和的计算方法。
这种计算方法在数学中有很多实际应用，尤其是在计算概率和统计学中。
通过自然数幂求和的计算方法，我们可以更好地理解和应用这些数学概念。
首先，对于一个自然数n，我们需要计算从1到n的所有自然数幂的和。
具体地，我们可以通过以下公式进行计算：1^1+2^2+3^3+...+n^n为了计算这个和，我们可以使用循环和递归两种方法。
循环方法：使用循环计算从1到n的每个自然数的幂，并将结果累加得到最终的和。
具体实现代码如下：int sum = 0;for(int i = 1; i <= n; i++){int pow = 1;for(int j = 1; j <= i; j++){pow *= i;}sum += pow;}return sum;递归方法：使用递归方法可以更简单地实现自然数幂求和的计算。
具体实现代码如下：int sum(int n){if(n == 1) return 1;return pow(n, n) + sum(n-1);}其中，pow(n, n)表示n的n次方，sum(n-1)表示n-1到1的自然数幂之和。
这种方法可以更简单地实现自然数幂求和的计算，但是由于递归的特性，可能会导致时间和空间的消耗。
除了上述方法之外，还可以使用数学公式进行计算。
具体来说，利用以下公式可以更快地计算自然数幂求和：1^1+2^2+3^3+...+n^n = (n(n+1)/2)^2 - (n/2)(n+1)(2n+1)/3这个公式对于n较大时计算速度更快，但需要注意计算过程中的精度问题。
最后，总的来说，自然数幂求和是一种常用于计算概率和统计学中的数学方法。
通过不同的实现方式，我们可以更好地理解和应用这个数学概念，并且可以更高效地进行计算。
自然数k次方的求和再探
自然数k 次方的求和公式的简化湖北省黄冈市罗田县第一中学 杨德兵 余咏梅（邮编438600）关于自然数k 次方的和, 文[1]介绍了朱世杰的“招差术”；文[2]通过构造几何模型给出如下递推公式：)]()([1111112311121∑∑∑∑-=-=--=-=+++-++==n i k kn i k kn i k kk ni ki CiCiCk n n k iV文[3]利用二项式展开的方法又给出如下递推公式：)]()1()1[(11112113213412311211S C S C S C S C S C S C n n k S kk k k k k k k k k k k k k +-+-+-+-+-++++++++-+-++=简记为：∑-=-+++-+-++=11111])1()1[(11k i i k i k k k S C n n k S ① （其中∑==ni kk i S 1N k ∈）可以肯定求自然数k 次方的求和用文[2]、文[3]的递推公式比对朱世杰的招差术简洁，但对于k 较大时计算仍然很复杂。
笔者通过研究给出更简化的递推公式，希望是对文[2]、文[3]的补充与增益。
文中要用到简单的微积分知识，目前高中阶段已经要求学习简单的微积分，相信本文的推导高中生能够掌握。
公式如下：(其中211=c ,612=c ，当k >2时∑-=-++++-+-=2111)211(11k i i k i k k c Ck k c )本文先证明k k kc kS S +='-1 ②（其中k S '为k S 对n 的一阶导数） 证明：（对自然数k 用第二数学归纳法）（1） k =0时n nS =+++=00021 ,2)1(211111+=+++=n n nS10121c S n S +=+=' ∴k =0时结论成立。
（2）假设m k ≤≤0 (N m ∈)命题成立。
那么k =m +1时由①得])1()1[(21111221∑-+-++==-+++++m i i m i m m m S C n n m S]1)1)(2[(21111211∑'--+++='∴=-+++++mi i mi m m mS C n m m S}])1[(1)1)(2{(21112111121S Cc S i m Cn m m m m i m m i i m i m m '-+∑-+--+++=++-+-=-+++])1(1)1)(2[(211111211112121i m m i i m m i m m i m i m m c CS C S i m Cn m m -+-=++-=++-+++∑-∑'--+--+++=又容易证得 1112)2()1(+++++=-+i m i m C m i m C m i 2,1=,)21)(2(112++='++n m S C m m])21)(2()2(1)1)(2[(2111112111111i m m i i m m i i m i m m mc C n m S C m n m m S -+-=++-=-++++∑-++∑-+--+++='∴]1[21)21()1(1111211111i m m i i m m i im i m m c C m n S Cn -+-=++-=-+++∑++-+∑--+=]221[21)1()1(1111211111i m m i i m m i im i m m c Cm m n S Cn -+-=++-=-+++∑++-+-+∑--+=]221[21)]1()1[(111111211111i m m i i m m i im i m m c Cm m n S Cn m m -+-=++-=-+++∑++-+-+∑--+++=1)1(+++=m m c S m所以k =m +1成立。
k方求和公式
k方求和公式
摘要：
1.引言：介绍k 方求和公式
2.k 方求和公式的定义与表示
3.k 方求和公式的性质与应用
4.结论：总结k 方求和公式的重要性
正文：
一、引言
在数学领域，求和公式是一种常见的数学方法，它能帮助我们简化复杂的求和运算。
在求和公式中，有一种叫做k 方求和公式的公式，它在组合数学、概率论以及计算机科学等领域中都有着广泛的应用。
本文将对k 方求和公式进行详细的介绍。
二、k 方求和公式的定义与表示
k 方求和公式，又称为二项式定理，是一种求和公式，用于计算一系列数的和。
它的定义为：(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 +...+ C(n,n)b^n，其中a、b 为任意实数，n 为非负整数，C(n,k) 表示组合数，即从n 个元素中选取k 个元素的组合数。
三、k 方求和公式的性质与应用
k 方求和公式具有以下性质：
1.对称性：(a+b)^n = (b+a)^n
2.展开式中各项的系数和为1：ΣC(n,k) = 1
3.展开式中奇数项和偶数项的和相等：ΣC(n,k) (k 为偶数) = ΣC(n,k) (k 为奇数)
k 方求和公式在实际应用中有许多重要作用，例如在概率论中，它可以用来计算离散型随机变量的概率质量函数；在计算机科学中，它可以用来计算二叉树的节点数；在统计学中，它可以用来计算某些随机变量的累积分布函数等。
四、结论
总的来说，k 方求和公式是一种重要的数学工具，它在各个领域中都有着广泛的应用。
自然数幂和公式伯努利数
自然数幂和公式伯努利数全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：自然数幂和公式伯努利数是数学中非常重要的两个概念。
自然数幂是指自然数的n次幂，例如2的3次幂就是8，3的4次幂就是81。
而公式伯努利数则是一系列重要的数学常数，可以用来表示一系列数学问题中的系数。
首先我们来谈谈自然数幂。
自然数幂是指一个自然数的n次方。
通常我们用符号a^n来表示，其中a是底数，n是指数。
2^3就是2的3次方，结果是8；3^4就是3的4次方，结果是81。
自然数幂在数学中有着广泛的应用，特别是在代数、几何等领域。
自然数幂有着一些重要的性质。
任何数的0次方都等于1，即a^0=1。
自然数的1次方等于自身，即a^1=a。
自然数幂有着乘法法则和幂的乘方法则，即a^m * a^n=a^(m+n)和(a^m)^n=a^(m*n)。
我们还可以通过一些公式来计算任意自然数的幂。
对于大数的幂，我们可以利用公式a^m * a^n=a^(m+n)来简化计算过程。
这样可以节省大量时间和精力，提高计算的效率。
对于负数的幂，我们可以利用公式a^(-n)=1/a^n来求解。
接下来我们来谈谈公式伯努利数。
公式伯努利数是一系列重要的数学常数，用来表示一系列数学问题中的系数。
它们最早由瑞士数学家雅各布·伯努利提出，并被广泛应用于数论、概率论等领域。
公式伯努利数有着一些重要的性质。
伯努利数是一种无理数，无限不循环小数。
伯努利数有着特定的计算公式，可以通过递推公式或其他数学方法来计算得到。
伯努利数还具有一定的加法、乘法等运算规律，可以用来解决一些复杂的数学问题。
公式伯努利数在数学中有着广泛的应用。
它们可以用来表示数列的和、解决递归关系等问题。
伯努利数还可以应用于概率统计、数论等领域。
自然数幂和公式伯努利数是数学中非常重要的概念，它们在数学研究和实践中具有重要的地位。
通过研究和探索这些概念，我们可以更深入地了解数学的本质，发现数学中的美和奥秘。
希望本文能对您有所帮助，谢谢阅读！第二篇示例：自然数幂是指大于等于1的整数，公式伯努利数是一种特殊的数列，它们之间有着密切的关系。
自然数幂和公式推导与公式系数计算
㊀㊀㊀㊀㊀１５８数学学习与研究㊀２０２０ １４自然数幂和公式推导与公式系数计算自然数幂和公式推导与公式系数计算Һ李行星㊀李维炳㊀（新疆额尔齐斯河流域开发工程建设管理局质技处，新疆㊀乌鲁木齐㊀８３００００）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文用简单的自然数和的公式，推导出自然数ｋ次方的幂和公式，幂和公式由自然数ｎ的不同次方的多项式表达，并提出了用初等数学知识计算多项系数的方法．ʌ关键词ɔ自然数；幂和公式；系数一㊁前㊀言求自然数任意ｋ次方前ｎ项和的公式（被数学界简称为幂和公式），是一个古老的数学问题，可追溯到２０００多年前，至今人们对自然数的幂和公式仍在研究，推导公式的方法有多种，要用到Ｚｅｔａ函数㊁高阶行列式㊁微积分㊁排列组合㊁二项式定理等数学知识，编程计算较复杂．在自然数幂和公式中，用ｎ的不同次方的多项式表达最为简单，只须求出多项式的系数，就可得到求和公式．基于这一思路，本文以自然数和的公式为基础，用初等数学知识，推导出自然数ｋ次方的幂和公式，并采用Ｅｘｃｅｌ电子表格计算出ｋ＝２ １５次方幂和公式的系数．二㊁自然数和的公式众所周知，自然数１，２，３，４， ，ｎ的求和公式如下式：Ｓ１（ｎ）＝１＋２＋３＋ ＋ｎ＝１／２∗ｎ（ｎ＋１）＝１／２∗ｎ１＋１／２∗ｎ２．㊀（１）式中：Ｓ１（ｎ）为自然数１次方幂和公式．记作：Ｓ１（ｎ）＝ａ１，１ｎ＋ａ１，２ｎ２．㊀（２）公式（２）中Ｓ１（ｎ）是自然数自变量ｎ的二次二项式函数，ａ１，１是函数Ｓ１（ｎ）一次项系数，ａ１，２是二次项系数，Ｓ１（ｎ）表达式与一般教科书中多项式不同，ｎ的次方是升幂排列，目的是为使幂与系数对应，便于编程计算．三㊁自然数２次方幂和公式的推导自然数２次方前ｎ项和Ｓ２（ｎ）＝１２＋２２＋３２＋ ＋ｎ２．㊀（３）图１中等式右边的数值成直角形分布，有ｎ行ｎ列．如果把对角线以上的数值补齐，则构成正方形，如图２所示．显然，图２中的数值和等于ｎ∗Ｓ１（ｎ）．图２对角线上的数相加等于Ｓ１（ｎ），对角线以上数值和对角线数值共有ｎ列，每列数值均可用公式（２）计算．１２＝１２２＝２＋２３２＝３＋３＋３ｎ２＝ｎ＋ｎ＋ｎ＋ ＋ｎ㊀㊀１＋１＋ ＋１（ｎ个１相加）２＋２＋ ＋２（ｎ个２相加）３＋３＋ ＋３（ｎ个３相加）ｎ＋ｎ＋ ＋ｎ（ｎ个ｎ相加）图１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图２第１列㊀ａ１，１∗１＋ａ１，２∗１２第２列㊀ａ１，１∗２＋ａ１，２∗２２第ｎ列㊀ａ１，１∗ｎ＋ａ１，２∗ｎ２１ ｎ列相加，得ａ１，１∗Ｓ１（ｎ）＋ａ１，２∗Ｓ２（ｎ），从而可列出Ｓ２（ｎ）的一元一次方程：Ｓ２（ｎ）＝ｎ∗Ｓ１（ｎ）－ａ１，１∗Ｓ１（ｎ）－ａ１，２∗Ｓ２（ｎ）＋Ｓ１（ｎ）．㊀（４）解方程（４），得Ｓ２（ｎ）＝１／（１＋ａ１，２）∗［－ａ１，１∗Ｓ１（ｎ）＋ｎ∗Ｓ１（ｎ）＋Ｓ１（ｎ）］．㊀（５）式（５）带入已知的系数ａ１，１＝１／２，ａ１，２＝１／２，得Ｓ２（ｎ）＝１／６∗ｎ＋１／２∗ｎ２＋１／３∗ｎ３．㊀（６）式中，Ｓ２（ｎ）：自然数２次方幂和公式，可记作：Ｓ２（ｎ）＝ａ２，１ｎ＋ａ２，２ｎ２＋ａ２，３ｎ３．㊀（７）四㊁自然数３次方幂和公式推导自然数３次方ｎ项和Ｓ３（ｎ）＝１３＋２３＋３３＋ ＋ｎ３．㊀（８）与自然数２次方幂和公式的推导方法同，将式（２）自然数的３次方分解为自然数２次方相加的形式，如图３所示．图３中等式右边的数值成直角形分布，有ｎ行ｎ列．如果把对角线以上的数值补齐，则构成正方形，如图４所示．显然图４中的数值和等于ｎ∗Ｓ２（ｎ），图４对角线上的数相加等于Ｓ２（ｎ），对角线以上数值和对角线上数值共有ｎ列，每列数值均可用公式（７）计算．１３＝１２２３＝２２＋２２３３＝３２＋３２＋３２ｎ３＝ｎ２＋ｎ２＋ｎ２＋ ＋ｎ２㊀１２＋１２＋ ＋１２（ｎ个１２相加）２２＋２２＋ ＋２２（ｎ个２２相加）３２＋３２＋ ＋３２（ｎ个３２相加）ｎ２＋ｎ２＋ ＋ｎ２（ｎ个ｎ２相加）图３㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图４第１列㊀ａ２，１∗１＋ａ２，２∗１２＋ａ２，３∗１３第２列㊀ａ２，１∗２＋ａ２，２∗２２＋ａ２，３∗２３第ｎ列㊀ａ１，１∗ｎ＋ａ１，２∗ｎ２＋ａ２，３∗ｎ３１ ｎ列相加，得ａ２，１∗Ｓ１（ｎ）＋ａ２，２∗Ｓ２（ｎ）＋ａ２，３∗Ｓ３（ｎ），从而可列出Ｓ３（ｎ）的一元一次方程：Ｓ３（ｎ）＝ｎＳ２（ｎ）－ａ２，１Ｓ１（ｎ）－ａ２，２Ｓ２（ｎ）－ａ２，３Ｓ３（ｎ）＋Ｓ２（ｎ）．㊀（９）解方程（９），得Ｓ３（ｎ）＝１／（１＋ａ２，３）∗［－ａ２，１Ｓ１（ｎ）－ａ２，２Ｓ２（ｎ）＋Ｓ２（ｎ）＋ｎＳ２（ｎ）］．㊀（１０）将已知的Ｓ１（ｎ）和Ｓ２（ｎ）的系数的具体数值代入式（１０），可得㊀㊀㊀１５９㊀数学学习与研究㊀２０２０ １４Ｓ３（ｎ）＝０∗ｎ＋１／４∗ｎ２＋１／２∗ｎ３＋１／４∗ｎ４．㊀（１１）式（１１）可记作：Ｓ３（ｎ）＝ａ３，１ｎ＋ａ３，２ｎ２＋ａ３，３ｎ３＋ａ３，４ｎ４．㊀（１２）式（１２）中ａ３，１虽然等于零，但不能省略，在更高次方的推导中要用到．五㊁自然数ｋ次方幂和公式推导设自然数ｋ次方的幂和公式：Ｓｋ（ｎ）＝１ｋ＋２ｋ＋３ｋ＋ ＋ｎｋ（ｋȡ２）．Ｓｋ（ｎ）推导方法与前述Ｓ２（ｎ），Ｓ３（ｎ）相同，不再赘述，直接写出自然数ｋ次方幂和公式：Ｓｋ（ｎ）＝１／（１＋ａｋ－１，ｋ）∗［－ａｋ－１，１Ｓ１（ｎ）－ａｋ－１，２Ｓ２（ｎ） －ａｋ－１，ｋ－１Ｓｋ－１（ｎ）＋Ｓｋ－１（ｎ）＋ｎＳｋ－１（ｎ）］．㊀（１３）式中，Ｓｋ（ｎ）：自然数ｋ次方幂和．（ａｋ－１，１ ａｋ－１，ｋ）：Ｓｋ－１（ｎ）幂和公式中不同次方多项式的系数，共有ｋ个．［Ｓ１（ｎ） Ｓｋ－１（ｎ）］：自然数１ ｋ－１次方的幂和公式．六㊁计算实例表１是利用Ｅｘｃｅｌ电子表格 横向系数相乘，纵向同类项合并 的方法，计算出Ｓ１（ｎ） Ｓ４（ｎ）公式系数．表２省略了计算步骤，给出Ｓ１（ｎ） Ｓ１５（ｎ）幂和公式的系数．表１㊀Ｓ１（ｎ） Ｓ４（ｎ）公式系数计算公式ｎ１ｎ２ｎ３ｎ４ｎ５Ｓ１（ｎ）ａ１，１ｎ１＋ａ１，２ｎ２１／２１／２（１）－ａ１，１∗Ｓ１（ｎ）－１／４－１／４（２）Ｓ１（ｎ）１／２１／２（３）ｎ∗Ｓ１（ｎ）１／２１／２（４）１＋ａ１，２１㊀１／２１１／２１１／２（５）［（１）＋（２）＋（３）］／（４）１／６１／２１／３Ｓ２（ｎ）ａ２，１ｎ１＋ａ２，２ｎ２＋ａ２，３ｎ３１／６１／２１／３（１）－ａ２，１∗Ｓ１（ｎ）－１／１２－１／１２（２）－ａ２，２∗Ｓ２（ｎ）－１／１２－１／４－１／６（３）Ｓ２（ｎ）１／６１／２１／３（４）ｎ∗Ｓ２（ｎ）１／６１／２１／３（５）１＋ａ２，３１１／３１１／３１１／３１１／３（６）［（１）＋ ＋（４）］／（５）０１／４１／２１／４Ｓ３（ｎ）ａ３，１ｎ１＋ ＋ａ３，４ｎ４０１／４１／２１／４（１）－ａ３，１∗Ｓ１（ｎ）００（２）－ａ３，２∗Ｓ２（ｎ）－１／２４－１／８－１／１２（３）－ａ３，３∗Ｓ３（ｎ）０－１／８－１／４－１／８（４）Ｓ３（ｎ）０１／４１／２１／４（５）ｎ∗Ｓ３（ｎ）０１／４１／２１／４（６）１＋ａ３，４１１／４１１／４１１／４１１／４１１／４（７）［（１）＋ ＋（５）］／（６）－１／３００１／３１／２１／５Ｓ４（ｎ）ａ４，１ｎ１＋ ＋ａ４，５ｎ５－１／３００１／３１／２１／５表２㊀Ｓ１（ｎ） Ｓ１５（ｎ）公式系数ｎ１ｎ２ｎ３ｎ４ｎ５ｎ６ｎ７ｎ８Ｓ１１／２１／２Ｓ２１／６１／２１／３Ｓ３０１／４１／２１／４Ｓ４－㊀１／３００１／３１／２１／５Ｓ５０－㊀１／１２０５／１２１／２１／６Ｓ６１／４２０－㊀１／６０１／２１／２１／７Ｓ７０１／１２０－㊀７／２４０７／１２１／２１／８Ｓ８－㊀１／３００２／９０－㊀７／１５０２／３１／２Ｓ９０－㊀３／２００１／２０－㊀７／１００３／４Ｓ１０５／６６０－㊀１／２０１０－１０Ｓ１１０５／１２０－１㊀３／８０１㊀５／６０－１㊀３／８Ｓ１２－２０／７９０１㊀２／３０－３㊀３／１００３㊀１／７０Ｓ１３０－１２７１／４２００５㊀５／１２０－７㊀３／２００５㊀３／２８Ｓ１４１㊀１／６０－７㊀６１／９００１５㊀１／６０－１４㊀３／１００Ｓ１５０８㊀３／４０－２８㊀１９／２４０３７㊀１１／１２０－２６㊀１３／１６续表２㊀Ｓ１（ｎ） Ｓ１５（ｎ）公式系数ｎ９ｎ１０ｎ１１ｎ１２ｎ１３ｎ１４ｎ１５ｎ１６Ｓ１Ｓ２Ｓ３Ｓ４Ｓ５Ｓ６Ｓ７Ｓ８１／９Ｓ９１／２１１０Ｓ１０５／６１／２１／１１Ｓ１１０１１／１２１／２１／１２Ｓ１２－１㊀５／６０１１／２１／１３Ｓ１３０－２㊀２３／６００１㊀１／１２１／２１／１４Ｓ１４７㊀１７／１８０－３㊀１／３００１㊀１／６１／２１／１５Ｓ１５０１１㊀１１／１２０－３㊀１９／２４０１㊀１／４１／２１／１６七㊁结㊀论１．自然数ｋ次方幂和公式可由最简单的自然数和公式递推得到．２．本文自然数幂方和公式（１３）的推导方法简单且易于编程计算．。
求自然数k次幂和的一种方法
$ ! "# … *! ， 再设 +! "（ ， 则 +! "（ 其中 , # #， *$， *! " # ） $， & & &， # , ）# * & " * # , " * $ , " … " *! " # , # , ）# -（ ! ,）
樊红云
（齐齐哈尔大学 数学系， 黑龙江 齐齐哈尔 )C)((C）
摘要： 给出了求自然数 ! 次幂的和的一种方法 & 关键词： 自然数； 和 ! 次幂； 中图分类号： D)E) & ! 文献标识码： F
众所周知， 可以用数学归纳法证明下面求和公式： ) （ # " )） （! # " )） # C ) ! ! )B " !B " … # B $ #（ # " )） " 在本文中， 我们研究了下面 ! 个问题： （)） 是否对任意自然数 ! ， 都有求和公式 ! ! ! ) " ! " … " # $ %! "（ ) #） )! " !! " … # ! $ 其中 %! "（ 是 # 的次数不超过 ! " ) 的多项式； （!） 如果上述答案是肯定的， 如何求这些公式 & 为此， 我们 ) #） 给出下面定理 &
! ! ! 设 ! 为自然数， 则存在次数不超过 ! " ) 的 # 的多项式 %! "（ 使 ’（ ! # ）$ ) " ! " … " # ， ) #） 当 # $ )， 有 ’（ !， & & &， !， ! " )， ! " ! 时， & ! # ）$ %! "（ ) #） 证 ! ! ") 对给定的自然数 ! ， 若存在多项式 %! "（ ) # ）$ ( ( " ( ) # " ( ! # " … " (! " ) # 使 %! "（ （)） 成立 ) # ）$ ’（ ! #）