第五章 有限元法-9-有限元方程组的求解
第五章刚塑性有限元法基本理论与模拟方法
塑性成形过程 计算机数值模拟
第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法
❖ 从数学的角度来讲，有限元法是解微分方程的一种数值方法。它的 基本思想是：在整个求解区域内要解某一微分方程很困难(即求出 原函数)时，先用适当的单元将求解区域进行离散化，在单元内假 定一个满足微分方程的简单函数作为解，求出单元内各点的解；然 后，再考虑各单元间的相互影响，最后求出整个区域的场量。
两个或一个事先得到满足，而将其余的一个或两个，通过拉格朗日
乘子引入泛函中，组成新的泛函，真实解使泛函取驻值，这就是不
完全广义变分原理。
❖ 在选择速度场时应变速率与速度的关系(1)式和速度边界条(3)式容 易满足，而体积不可压缩条件(2)式难于满足。因此，可以把体积 不可压缩条件用拉格朗日乘子入引入到泛函中，得到新泛函：
够的工程精度的前提下，可提高计算效率。
塑性成形过程 计算机数值模拟
第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法
❖ 由于刚塑性有限元法采用率方程表示，材料变形后的构形可通 过在离散空间对速度的积分而获得，从而避开了应变与位移之 间的几何非线性问题。
❖ 由于忽略了弹性变形，刚塑性有限元法仅适合于塑性变形区的 分析，不能直接分析弹性区的变形和应力状态，也无法处理卸 载和计算残余应力与变形。
在满足： (1) 速度-应变速率关系
ij
1 2
ui, j
u j,i
(2) 体积不可压缩条件 (3) 速度边界条件
V kk 0
ui ui
(在 Su 上)
的一切动可容场
ui*j
，
第五章杆系结构的有限元法
第五章 杆系结构的有限元法 5.1 引言杆系结构是工程中应用较为广泛的结构体系，包括平面或空间形式的梁、桁架、刚架、拱等。
其组成形式虽然复杂多样，但用计算机进行分析时却较为简单。
杆系结构中的每个杆件都是一个明显的单元。
杆件的两个端点自然形成有限元法的节点，杆件与杆件之间则用节点相连接。
显然，只要建立起杆件两端位移与杆端力之间的关系，则整体平衡方程的建立与前几章完全相同。
杆端位移与杆端力之间的关系，可用多种方法建立，包括前面几章一直采用的虚功原理，但是采用材料力学、结构力学的某些结论，不仅物理概念清晰、直观，而且推导过程简单明了。
因此，本章将采用这种方法进行单元分析。
至于整体平衡方程的建立，则和前面几章所讲的方法一样，即借助于单位定位向量，利用单元集成法进行。
5.2 平面桁架的有限元分析平面桁架在计算上有以下几个特点： 1． 杆件的每个节点仅有两个线位移； 2． 杆件之间的连接为理想铰，即在节点处各杆件可相对自由转动，且杆件轴线交于一点。
3． 外载荷均为作用于节点的集中力。
由于以上特点，所以在理论上各杆件只产生轴向拉、压力，截面应力分布均匀，材料可得到充分利用，因此桁架结构往往用于大跨结构。
5.2.1 局部坐标系下的单元刚度矩阵从平面桁架中任取一根杆件作为单元，称作桁架单元，单元长为L ，横截面面积为A ，图5.1。
两端节点分别用i 和j 表示，规定从i 到j 的连线方向为局部坐标x 轴，垂直于x 的方向为y 轴。
图5.1由于桁架中各杆只产生轴向力和轴向变形，所以节点i 和j 只发生沿x 方向的位移，用i u 和j u 表示，相应的杆端轴力分别用xi F 和xj F 表示。
由虎克定律可推得)()()(j i i j xj j i xi u u L EA u u L EA F u u LEAF --=-=-=将这两个式子写成矩阵形式，就是e j i exj xi u u L EA LEA L EA L EA F F ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ (5.1)显然，在局部坐标系下，i 、j 两节点沿y 轴方向的位移0==j i v v ，在y 轴方向的节点力0==yj yi F F 。
偏微分方程的有限元法
第五章 偏微分方程的有限元法
有限元法特点有限元法的物理意义直观明确，理论完整可靠。 因为变分原理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原理（如力学中的最小势能原理）。 优异的解题能力。有限元法对边界几何形状复杂以及媒质物理性质变异等复杂物理问题求解上，有突出优点： ① 不受几何形状和媒质分布的复杂程度限制。 ②不必单独处理第二、三类边界条件。 ③ 离散点配置比较随意，通过控制有限单元剖分密度和单元插值函数的选取，可以充分保证所需的数值计算精度。
有限元法于上世纪50年代首先在力学领域-----飞机结构的静、动态特性分析中得到应用，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。有限元法主要用于求解拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中。
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第五章 偏微分方程的有限元法
有限元法---变分原理
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5.1 泛函与变分原理
数学上，通常自变量与因变量间的关系称为函数，而泛函则是函数集合的函数，也就是函数的函数，即自变量为函数，而不是变量。
5.1.1 泛函的定义 泛函通常是指一种定义域为函数，而值域为实数的“函数”。 设C是函数的集合，B是实数集合。如果对C中的任一元素y(x)，在B中都有一个元素J与之对应，则称J为y(x)的泛函，记为J[y(x)]。
5.1.3 泛函的变分
定义最简泛函
F(x,y,y’)称为泛函的“核函数”
泛函的变分
最简泛函: 核函数只包含自变量 x、未知函数y(x)以及导数y’(x)
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5.1 泛函与变分原理
利用二元函数的泰勒展开
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5.1 泛函与变分原理
其中
分别称为泛函的一阶变分和二阶变分。
有限元方法的求解步骤
有限元方法的求解步骤
1.构建几何模型：首先，需要根据实际问题构建一个几何模型。
这可以通过使用计算机辅助设计（CAD）软件进行建模，或者手动绘制模型。
2.离散化：在几何模型的基础上，需要将其离散化为有限个小元素。
最常用的元素是三角形和四边形，也可以使用更复杂的元素类型。
3.选择数学模型和假设：根据问题的物理特性，需要选择适当的数学模型和假设。
这可能涉及选择适当的方程、边界条件和材料性质等。
4.导出有限元方程：根据选择的数学模型和假设，使用变分原理或其他数学方法，可以导出与离散化模型相对应的有限元方程。
这个方程通常是一个代数方程组。
5.建立刚度矩阵和负载向量：有限元方程可以转化为刚度矩阵和负载向量的形式。
刚度矩阵描述了系统中元素和节点之间的关系，而负载向量描述了外部作用力。
6.施加边界条件：为了解决方程组并确定未知位移，需要施加边界条件。
边界条件可以是位移约束、力约束或其他类型的约束。
7.求解方程：将刚度矩阵和负载向量与边界条件组合起来，可以形成一个线性代数方程组。
可以使用各种数值方法求解线性方程组，例如直接求解、迭代法、预处理方法等。
8.后处理：在求解方程后，可以根据需要进行后处理。
后处理包括计算和输出感兴趣的结果，如应力、位移、应变等。
9.验证和调整：完成有限元求解后，需要验证结果的准确性，并根据需要对模型参数进行调整。
验证可以通过与理论解、实验结果或其他数值方法进行比较来完成。
10.进行优化和设计：利用有限元模拟的结果，可以进行系统的优化和设计改进。
这可以通过改变几何形状、材料属性或边界条件来实现。
电磁场计算中的有限元方法教程
电磁场计算中的有限元方法教程引言电磁场计算是电磁学领域中重要的研究内容之一，广泛应用于电气工程、通信工程、电子技术等领域。
而有限元方法（Finite Element Method，简称FEM）是一种常用的数值计算技术，可以解决电磁场计算中的复杂问题。
本文将介绍有限元方法在电磁场计算中的基本原理、步骤和应用。
一、有限元方法简介有限元方法是一种通过将待求解区域划分成有限数量的小单元，利用单元上的近似函数构造整个区域上的解的数值计算方法。
有限元方法的基本思想是在每个小单元内近似解以建立一个代数方程组，通过将这些方程组联立得到整个区域上的解。
有限元方法具有处理复杂几何形状、边界条件变化和非线性问题的优势，因此被广泛应用于工程和科学计算中。
二、电磁场方程建立在电磁场计算中，关键是建立合适的电磁场方程。
常见的电磁场方程包括静电场方程、恒定磁场方程、麦克斯韦方程等。
根据具体情况选择适用的方程，并根据材料的性质和边界条件确定相应的方程形式。
三、有限元网格划分有限元方法需要将计算区域划分为有限数量的小单元。
在电磁场计算中，通常采用三角形或四边形单元来进行划分，这取决于计算区域的几何形状和分辨率要求。
划分过程需要考虑电场变化的特点和计算精度的需求，合理划分网格对精确计算电磁场起着重要的作用。
四、有限元方程的建立有限元网格划分完成后，需要建立相应的有限元方程组。
以求解静电场问题为例，我们可以利用能量最小原理、偏微分方程等方法建立有限元方程组。
有限元方程组的建立需要考虑电场的连续性、边界条件和材料特性等。
五、有限元方程求解有限元方程组的求解是求解电磁场分布的核心任务。
根据具体的方程形式和计算区域的几何形状，可以采用直接法、迭代法、近似法等方法来求解方程。
在电磁场计算中，常用的求解算法包括高斯消元法、迭代法、有限元法和有限差分法等。
六、计算结果的后处理在得到有限元方法计算的电磁场分布结果后，需要进行相应的后处理，进行数据分析和可视化。
有限元法及应用总结
有限元法及应用总结有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种数学建模方法，用于求解连续介质的力学问题。
它通过将连续介质分割为有限数量的小单元，通过离散化的方式将连续问题转化为离散问题，然后通过数值计算方法进行求解。
有限元法的基本步骤是：建立初始网格、选择合适的单元类型和数学模型、建立有限元方程、求解有限元方程组、计算和评估结果。
1.建立初始网格：将连续介质分割为离散的小单元。
可以根据问题的特点选择不同形状的单元，如三角形、四边形、六边形等。
初始网格的密度应根据问题的要求进行合理的选择。
2.选择合适的单元类型和数学模型：根据问题的情况，选择合适的数学模型，如线性模型、非线性模型、静力学模型、动力学模型等。
同时，根据问题的要求选择合适的单元类型，如三角形单元、四边形单元等。
3.建立有限元方程：根据选择的数学模型，使用变分原理或其他方法建立有限元方程。
有限元方程通常是一个矩阵方程，包含未知变量和已知条件，通过求解该方程可以得到问题的解。
4.求解有限元方程组：将有限元方程组转换为代数方程组，使用数值计算方法求解。
常用的求解方法有直接解法和迭代解法，如高斯消元法、LU分解法、共轭梯度法等。
根据问题的特点选择合适的求解方法。
5.计算和评估结果：得到问题的解后，可以通过计算和评估结果来验证数值解的准确性和可靠性。
常见的评估方法有误差分析、收敛性分析、模型验证等。
有限元法的应用非常广泛，涉及机械、土木、航空航天、电子、生物医学等多个领域。
通过有限元法可以模拟和分析各类结构的力学行为和变形特性，以及流体、热传导等物理问题。
在机械工程中，有限元法可以用于模拟零件的变形、应力和疲劳行为，优化结构设计，确定最佳工艺参数等。
在土木工程中，可以用于模拟建筑物、桥梁、隧道等结构的稳定性和强度，评估结构的安全性。
在航空航天工程中，可以用于模拟飞机、航天器的疲劳和破坏行为，优化材料和结构设计。
在电子工程中，有限元法可以用于模拟芯片、电路板的热分布和应力分布，优化散热和布线设计。
有限元法理论格式与求解方法pdf
有限元法理论格式与求解方法pdf有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于力学、流体力学、电磁学等领域的工程问题中。
本文将介绍有限元法的理论格式和求解方法。
有限元法的理论格式：有限元法通过将实际问题离散化为有限个小区域，再在每个小区域内建立数学模型，最后通过求解这些局部模型得到全局解。
下面是有限元法的一般理论格式：（1）建立刚度矩阵：根据问题的边界条件和材料特性，将每个小区域的数学模型转化为线性方程组。
这一步骤的关键是确定每个小区域内的自由度。
（2）装配刚度矩阵：将每个小区域内的线性方程组组装成整体的线性方程组。
这一步骤涉及到各个小区域之间的约束条件和连接方式。
（3）施加边界条件：根据问题的边界条件，在整体线性方程组中施加相应的边界条件。
这一步骤将限制整体线性方程组的自由度。
（4）求解线性方程组：通过求解整体线性方程组，得到有限元法的解。
有限元法的求解方法：有限元法的求解方法通常分为以下几种：（1）直接法：直接法是指直接求解整体线性方程组的方法，例如高斯消元法、LU分解法等。
直接法的优点是精度高、收敛速度快，但对大规模问题求解的时间和内存开销较大。
（2）迭代法：迭代法是指通过迭代计算逼近解的方法，例如雅可比迭代法、Gauss-Seidel迭代法、共轭梯度法等。
迭代法的优点是求解速度快、内存开销小，但收敛性和稳定性有时较低。
（3）稳健法：稳健法是指针对病态问题设计的求解方法，例如预处理共轭梯度法、牛顿迭代法等。
稳健法的优点是能够处理病态问题，但相对于直接法和迭代法，稳健法的复杂性较高。
（4）并行算法：为了加快大规模问题的求解速度，通常采用并行算法。
并行算法可以将问题划分为多个子问题，然后分别求解，最后通过通信和同步操作将各个子问题的解组合起来。
并行算法的优点是能够充分利用多核处理器和分布式计算资源。
总结：有限元法作为一种广泛应用的数值计算方法，其理论格式和求解方法具有一定的一般性。
第五章偏微分方程的有限元法
有限元空间与基函数
针对椭圆型方程的特点，构造适当的有限元空间及 基函数，使得近似解能够较好地逼近真实解。
刚度矩阵与载荷向量
利用有限元基函数对椭圆型方程进行离散化 ，得到以刚度矩阵和载荷向量为未知量的线 性方程组。
抛物型偏微分方程的有限元法
时间离散与空间离散
抛物型偏微分方程涉及时间变量，需要采用合适的时间离散方案， 并结合空间有限元离散进行求解。
刚度矩阵反映了单元内部节点间的相 互作用力，需要根据形函数和单元刚 度矩阵进行组装得到整体刚度矩阵。
载荷向量组装
载荷向量反映了作用在节点上的外力 ，需要根据形函数和节点载荷进行组 装得到整体载荷向量。
边界条件处理与方程求解
边界条件处理
对于给定的边界条件，需要在整体刚度矩阵 和载荷向量中进行相应的处理，以保证求解 的正确性。常见的边界条件有Dirichlet边界 条件和Neumann边界条件。
分片插值
在每个单元内，选择基函数，用 单元基函数的线形组合来逼近单 元中的真解。
求解线性方程组
将问题的控制方程转化为等效的 线性方程组进行求解，得到每个 节点的待求量。
有限元法的发展历程
起源
有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其 方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。
素。
有限元法的实现过
04
程
网格划分与单元构造
网格划分
将求解区域划分为有限个互不重叠的子 区域，即单元。常见的网格划分方法有 结构化网格和非结构化网格。
VS
单元构造
对于每个单元，需要确定其形状、大小、 节点数及节点坐标等信息。常见的单元类 型有三角形、四边形、四面体等。
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利用变分原理和离散化方法建立有限元矩阵方程后， 须求解以结点值为未知数的矩阵方程。 其方程写为： Ax b
（2.42）
式中系数矩阵A是一个n×n方阵，x是待求解的未知量，b表 示已知向量。
为精确描述实际问题，系数矩阵的维数（对应离散剖 分的结点值未知量个数）往往非常大，有庞大的计算 机内存需求和过长的计算时间。
除存储量降低外，有限元矩阵的特殊性质也能减少计算时间。大 量的零矩阵元素不需产生，加上适当设计算法，它们在解过程中 的运算也可避免。 正是这一为矩量法等积分方程方法所不具备的特殊性质，使得有 限元方法对分析电大尺寸问题时更有吸引力。
下面先介绍矩阵方程的解法，在此基础上然后 介绍Ansoft HFSS为在一定精度的要求上最大 限度的提高效率而设计的自适应迭代算法。
Lanczos法是有效的求解带状稀疏矩阵的本征值问题 的方法，Ansoft HFSS可以在solver中找到。
4 Ansoft HFSS的自适应迭代算法
矩阵方程的求解复杂度与有限元的剖分密度即未知数数目有很大 的关系，未知数数目越多，求解所需的时间越长。 然而，另一方面，有限元方法求解的精度与也随着未知数数目的 增加而更加准确。 因此，有限元方法的求解时间与准确度是一对矛盾。 为了在短的时间内取得越大的精度，Ansoft HFSS采取了自适应 迭代算法，如图2.5所示。 该算法一开始先选用较粗的剖分，采用前述的方法求解，然后看 其进度是否满足要求。 如不满足，进一步细化剖分，再次进行求解，直至达到给定的精 度。
如果矩阵可以分解为 A＝LU
（2.43）
其中，L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。
那么，先求解
Ly＝b
（2.44）
然后求解
Ux＝y
（2.45）
即可得到（2.42）式的解。
因为L是一个下三角矩阵，y可通过前向替代 过程而高效地获得
b1 y1 l11
i 1 1 yi bi lik yk k 1 lii
总的来
有限元方法得到的一般是广义形式的本征值问题： Ax＝λBx （2.52） 很明显，如果把B分解为B LL ，其中L是一个下三角 阵，那么广义本征值问题可以改为标准形式
T
L1ALT y y
y LT x
然后，x可通过后向替代过程而获得
yn xn u nn
n 1 xi yi uik xk k i 1 uii
N为 这种分解算法其计算的复杂度正比于ON （ 矩阵的维数，也即未知数的数目），也并没有 利用有限元带状稀疏阵的性质。
3
进一步利用带状稀疏阵的分解算法能够有效地 提高运算效率，降低计算复杂度。 Ansoft HFSS的快速算法计算复杂度就在 ON 以下。
图2.5 Ansoft HFSS的自适应迭代算法
2
3 本征值问题的解
当式（2.42）右端的已知激励向量b为零时，为对应腔体谐振和波 导分析的本征值方程求解。 一个标准的本征值问题由下式定义： Ax＝λx （2.50） 其中，A是一个n×n方阵，x是本征向量，λ表示对应的本征值。 显然，仅当下式成立时
detA I 0
（2.50）式才可能有非零解。上式中，I表示单位矩阵。
1 确定性问题矩阵方程求解的直接法
当式（2.42）右端的已知激励向量b不为零时， 确定性方程的求解，也就是利用各种等效方法 的对矩阵A求逆，其中最适用于有限元方法矩 阵的是分解法，Ansoft HFSS就是采用的分解 法。 其中，LU分解是最基础的一种方法，很多的 快速分解方法都是在其基础上发展而来，所以 这里将介绍LU分解方法。
幸好，有限元离散得到的矩阵总是稀疏的、对称的和带状的。如 充分利用这些性质，可大大地节省存储量。
比如说，一般的有限元矩阵每行的非零元素少于15个，如果只存储非 零元素，由于对称性，只需要存储8个元素，因此，对于一个10000个 未知量的方程，只有大约8×10000个非零矩阵元素需要存储。加上用 于记号所需的两个整型数组，总存储量不到相应满秩矩阵存储空间的 六百分之一。
3
2 确定性问题矩阵方程求解的迭代法
矩阵方程的迭代方法又可以分为直接迭代方法 和共轭梯度法。
特别是共轭梯度法现在被认为是求解矩阵方程 的有效方法。
共轭梯度法首先给出未知量的一个初始猜测，然后 在一定的泛函空间中按照搜索向量进行迭代，直到 达到设定的精度。 共轭梯度法的计算复杂度正比于ON 。 但Ansoft HFSS使用的是分解法。