2有限体积法及其网格简介
《2024年有限体积—有限元方法在油藏数值模拟中的原理和应用》范文
《有限体积—有限元方法在油藏数值模拟中的原理和应用》篇一一、引言随着现代计算机技术的快速发展，油藏数值模拟技术已成为油气藏开发过程中的重要工具。
其中，有限体积和有限元方法作为两种主要的数值模拟方法，在油藏模拟中发挥着重要作用。
本文将详细介绍有限体积和有限元方法在油藏数值模拟中的原理和应用。
二、有限体积方法原理有限体积方法（Finite Volume Method，FVM）是一种基于积分形式的数值计算方法，其基本思想是将计算区域划分为一系列控制体积，并对每个控制体积进行积分运算。
在油藏数值模拟中，有限体积方法主要用于求解流体的流动方程。
1. 原理概述有限体积方法将油藏划分为一系列的网格单元，每个网格单元代表一个控制体积。
通过在每个控制体积上对流体的质量守恒方程、能量守恒方程和组分守恒方程等流体流动基本方程进行积分，可以得到流体在每个控制体积内的物理性质变化情况。
同时，根据边界条件和初始条件，通过迭代求解方程组，最终得到整个油藏的流体流动规律。
2. 优点与局限性有限体积方法的优点在于其物理意义明确，能够很好地处理复杂的地质结构和流体流动问题。
同时，该方法具有较高的计算效率和稳定性，适用于大规模的油藏数值模拟。
然而，有限体积方法在处理非均匀网格和边界条件等方面存在一定难度。
三、有限元方法原理有限元方法（Finite Element Method，FEM）是一种基于离散和逼近原理的数值计算方法，其基本思想是将连续的求解域离散为一系列的单元，通过求解每个单元的近似解来得到整个求解域的解。
在油藏数值模拟中，有限元方法主要用于求解地下岩石的力学性质和流体流动问题。
1. 原理概述有限元方法将油藏区域划分为一系列的三角形或四边形单元，每个单元代表一个离散的元素。
通过在每个单元内建立力学或流体流动的基本方程，并利用离散化的思想将整个区域的方程组合起来，形成大型的线性方程组。
然后根据边界条件和初始条件，通过求解这个方程组来得到整个油藏的力学或流体流动性质。
《有限体积—有限元方法在油藏数值模拟中的原理和应用》范文
《有限体积—有限元方法在油藏数值模拟中的原理和应用》篇一一、引言油藏数值模拟作为石油工程和地球物理研究的关键手段，涉及到了多领域数学模型、数值分析以及高效率算法的开发与实施。
随着科学技术的不断发展，多种计算方法逐渐应用于这一领域。
本文将主要讨论其中两种主流方法：有限体积法和有限元法在油藏数值模拟中的原理和应用。
二、有限体积法在油藏数值模拟中的原理有限体积法（Finite Volume Method，FVM）是一种基于积分形式的数值计算方法，它通过将计算区域划分为一系列控制体积（或称为单元）来求解偏微分方程。
在油藏数值模拟中，该方法主要用于求解流体在多孔介质中的流动问题。
1. 原理概述有限体积法的基本思想是将偏微分方程在每个控制体积内进行积分，从而得到一系列离散的方程组。
通过给定初始条件和边界条件，解出这个方程组，即可得到流体在油藏中的流动状态。
2. 关键步骤(1) 网格划分：将计算区域划分为适当大小的单元（或控制体积）。
(2) 建立离散方程：将原偏微分方程在每个单元上进行积分，形成离散方程。
(3) 边界处理：根据边界条件对离散方程进行修正。
(4) 求解：利用迭代法或直接法求解离散方程组。
三、有限元法在油藏数值模拟中的应用有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种以变分原理为基础的数值计算方法，通过将连续体离散成有限个单元来求解各种工程和物理问题。
在油藏数值模拟中，有限元法主要用于求解复杂地质条件下的流体流动问题。
1. 原理概述有限元法通过将连续的求解区域离散成一组有限的单元，每个单元都满足一定的近似解。
然后通过求解每个单元的近似解，得到整个区域的解。
这种方法可以很好地处理复杂边界条件和多种物理场耦合问题。
2. 关键步骤(1) 网格生成：将计算区域划分为一系列相互连接的单元。
(2) 插值函数建立：为每个单元选择适当的插值函数，以描述该单元内物理量的变化。
(3) 组装总体刚度矩阵：根据单元间的相互关系，将各单元的刚度矩阵组装成总体刚度矩阵。
计算流体力学常用数值方法简介[1]
![计算流体力学常用数值方法简介[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/310938f7fab069dc50220171.png)
计算流体力学常用数值方法简介李志印 熊小辉 吴家鸣(华南理工大学交通学院)关键词 计算流体力学 数值计算一 前 言任何流体运动的动力学特征都是由质量守恒、动量守恒和能量守恒定律所确定的,这些基本定律可以由流体流动的控制方程组来描述。
利用数值方法通过计算机求解描述流体运动的控制方程,揭示流体运动的物理规律,研究流体运动的时一空物理特征,这样的学科称为计算流体力学。
计算流体力学是一门由多领域交叉而形成的一门应用基础学科,它涉及流体力学理论、计算机技术、偏微分方程的数学理论、数值方法等学科。
一般认为计算流体力学是从20世纪60年代中后期逐步发展起来的,大致经历了四个发展阶段:无粘性线性、无粘性非线性、雷诺平均的N-S方程以及完全的N-S方程。
随着计算机技术、网络技术、计算方法和后处理技术的迅速发展,利用计算流体力学解决流动问题的能力越来越高,现在许多复杂的流动问题可以通过数值计算手段进行分析并给出相应的结果。
经过40年来的发展,计算流体力学己经成为一种有力的数值实验与设计手段,在许多工业领域如航天航空、汽车、船舶等部门解决了大量的工程设计实际问题,其中在航天航空领域所取得的成绩尤为显著。
现在人们已经可以利用计算流体力学方法来设计飞机的外形,确定其气动载荷,从而有效地提高了设计效率,减少了风洞试验次数,大大地降低了设计成本。
此外,计算流体力学也己经大量应用于大气、生态环境、车辆工程、船舶工程、传热以及工业中的化学反应等各个领域,显示了计算流体力学强大的生命力。
随着计算机技术的发展和所需要解决的工程问题的复杂性的增加,计算流体力学也己经发展成为以数值手段求解流体力学物理模型、分析其流动机理为主线,包括计算机技术、计算方法、网格技术和可视化后处理技术等多种技术的综合体。
目前计算流体力学主要向二个方向发展:一方面是研究流动非定常稳定性以及湍流流动机理,开展高精度、高分辩率的计算方法和并行算法等的流动机理与算法研究;另一方面是将计算流体力学直接应用于模拟各种实际流动,解决工业生产中的各种问题。
有限体积方法
第三讲 空间离散方法—有限体积法由于控制方程的复杂性，很难求出其解析解，一般采用数值方法对其进行求解。
采用数值求解方法，首先要对流场空间进行离散，即用一些基本体积单元对物理空间进行填充，要求这些体积单元既不能重叠，也不应有间隙，我们称这些体积单元为网格，或控制体积，填充的过程则称为网格生成。
对于二维流动，基本的网格单元有三角形和四边形网格，而对于三维流动，则基本的网格单元可由四面体、三棱柱、金字塔和六面体单元组成，图3.1即为机翼附近网格。
网格划分完成后，就可以应用相应的数值求解方法把每个网格单元中心点处的流动变量求解出来，也就完成了全部流场的计算。
有限体积法就是针对每个控制体积直接对积分形式的控制方程进行离散，从而把积分型方程近似为代数方程进行求解的方法。
图3.1 机翼附近网格3.1 N-S 方程的半离散形式积分形式的N-S 方程为： ∫∫Ω∂Ω=⋅−+Ω∂∂0)(dS n F F Qd t V c r （3-1） 针对空间某一控制体I Ω，首先对时间导数项进行处理，假设守恒变量Q 在控制体积内为常数分布，即等于控制体中心点处的值I Q （也即为控制体积内守恒变量的平均值），有∫Ω∂∂Ω=Ω∂∂t Q Qd t I （3-2） 式（3-1）变为 ∫Ω∂⋅−Ω−=∂∂dS n F F t Q v c I r )(1 （3-3）假设对流通量和粘性通量在控制体界面上为常值分布，且等于界面中心点（面心）处的值，则有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡Δ⋅−Ω−=∂∂∑=F N m m m v c I S F F t Q 1)(1 （3-4） 对式（3-3）右端项的近似称为空间离散，而式（3-4）时间方向暂时保留连续的形式，所以称该式为半离散控制方程。
式（3-4）中的m S Δ为第m 个界面的有向面积，即该面的外法线矢量与界面面积的乘积，为一矢量，又称面积矢量。
仔细观察半离散方程可以发现：时间导数项是由单元中心点处的守恒变量值表示的，我们称其为单元中心法；式（3-4）右端项中的通量是关于界面处流动变量的函数，需由界面处的流动变量来确定，由此可看出，流动变量I Q 与流动通量m S F Δ⋅的空间存储位置不同，要想求出流动通量，需先假设流动变量在控制体积内的分布规律，这一过程称为重构，然后确定界面处的流动变量值，再求出界面处的流动通量。
二阶椭圆型方程有限体积法的若干研究
二阶椭圆型方程有限体积法的若干研究一、概述二阶椭圆型方程有限体积法是一种数值解法，用于求解二维或三维的椭圆型偏微分方程。
该方法的基本思想是将求解区域划分为有限个小区域，然后在每个小区域内进行数值计算，最终得到整个求解区域的近似解。
本文将对二阶椭圆型方程有限体积法进行详细研究。
二、数学模型二阶椭圆型方程的一般形式为：$$\nabla \cdot (a(x,y) \nabla u(x,y)) + b(x,y)u(x,y) = f(x,y)$$其中，$a(x,y)$和$b(x,y)$是已知函数，$f(x,y)$是给定的源项函数，$u(x,y)$是待求解函数。
三、离散化方法有限体积法将求解区域划分为若干个小区域，称为网格单元。
对于每个网格单元，可以通过对方程进行积分来得到一个离散化的形式：$$\frac{1}{|V_i|}\int_{V_i} a\nabla u \cdot \nabla \phi dxdy + \frac{1}{|V_i|}\int_{V_i} b u \phi dxdy = \frac{1}{|V_i|}\int_{V_i} f\phi dxdy$$其中，$V_i$表示第$i$个网格单元，$\phi$是一个测试函数，可以任意选取，$|V_i|$表示网格单元的面积或体积。
为了得到离散化的方程组，需要对上式进行进一步处理。
首先，在每个网格单元上使用高斯公式将第一项中的梯度项转化为面积分：$$\frac{1}{|V_i|}\int_{\partial V_i} a\nabla u \cdot n \phi ds -\frac{1}{|V_i|}\int_{V_i} a\nabla \phi \cdot \nabla u dxdy +\frac{1}{|V_i|}\int_{V_i} b u \phi dxdy = \frac{1}{|V_i|}\int_{V_i} f\phi dxdy$$然后，对于相邻两个网格单元之间的界面，需要加入一个通量项来保证数值解在界面处的连续性。
有限体积法介绍
?SfdS???fds kSk(2)
上式中，f可以表示??un或???。 ?n
1
有限体积法
1 有限体积法基本原理
上一章讲到的有限差分法将数值网格的节点上定义为计算节点，并在网格节点上对微分形式的流体基本方程进行离散，用网格节点上的物理量的代数方程作为原PDE的近似。 在本章所要学习的有限体积法则采用了不同的离散形式。首先，有限体积法离散的是积分形式的流体力学基本方程：
???v?nds???n???ds??SS?q?d?? 算域上都是成立的。为了获得每一个控制体上的代数方程，面积分和体积分需要用求面积公式来近似。
2 面积分的近似
采用结构化网格，在二维情况下，每一个控制体有4个面，二维情况，每一个控制体有6个表面。计算节点用大写字母表示，控制体边界和节点用小写字母表示。为了保证守恒性，控制体不能重叠，每一个面都是相邻两个控制体的唯一公共边界。 控制体边界上的积分等于控制体个表面的积分的和：
2有限体积法及其网格简介
Typical control volume
（节点排列有序，称之为结构网格）
W P E
1
i-1
NW
i
Dx
N
n
i+1
NE
N
dyn
W j,y,v i,x,u w
P s
e
E
Dy
dys
SW
S
SE
dxw
dxe
6
非结构网格
非结构网格的网格节点以一 种不规则的形式布置在流场 中。这种网格虽然生成过程 比较复杂，但对具有复杂边 界的流场计算问题特别有效。 非结构网格一般通过专门的 程序或软件来生成。
t d iv ( ρ φ u ) d iv ( g r a d ) S
它代表的物理意义是：
φ 随 时 间 的 变 化 量 φ由 于 边 界 对 流 引 起 的 净 减 少 量 φ由 边 界 扩 散 引 起 的 净 增 加 量 φ由 内 源 引 起 的 净 产 生 量
7
网格几何要素的标记
P表示所研究的节点。 东、西侧相邻节点用E、W表示。 东、西侧界面用e、w表示。 两个界面间的距离用 D x 表示。 二维、三维问题增加上下标识。 W P
i
E
i+1 N
8
1
i-1
问题的描述
通用守恒型方程：无论是连续方程、动 量方程还是能量方程，都可以写成通用 形式。
利用高斯散度定理将方程中的两个散度项（方程左 端的对流项和方程右端的扩散项）的体积分转换为 关于控制体积表面上的面积分。 高斯定理：
V
div ( a ) dV
有限差分法、有限单元和有限体积法简介
有限差分法、有限单元法和有限体积法的简介1.有限差分方法有限差分方法(Finite Difference Method，FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
2.有限元方法有限元方法(Finite Element Method，FEM)的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
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d iv ( u ) d iv ( g r a d ) S
10
有限体积法的关键步骤：
将控制方程在控制体积内积分
V
ρφ t
dV
d iv (ρ φ u ) d V
V
d iv ( Γ g r a d φ )d V S
V V
φ
dV
2.2有限体积法及其网格介绍
1
2.2.1 有限体积法思想
有限体积法是在有限差分法基础上发展起来的，同时 它又吸收了有限元法的一些优点。 基本思路：将计算区域划分为网格，并使每个网格点 周围有一个互不重复的控制体积，将待解微分方程 （控制方程）对每一个控制体积分，从而得出一组离 散方程。其中的未知量是网格点上的因变量 。 有限体积法获得的离散方程，物理上表示的是控制容 积的通量平衡，方程中各项有明确的物理意义。这也 是有限体积法与有限差分法和有限元法相比更具有优 势的地方。
7
网格几何要素的标记
P表示所研究的节点。 东、西侧相邻节点用E、W表示。 东、西侧界面用e、w表示。 两个界面间的距离用 D x 表示。 二维、三维问题增加上下标识。 W P
i
E
i+1 N
8
1
i-1
问题的描述
通用守恒型方程：无论是连续方程、动 量方程还是能量方程，都可以写成通用 形式。
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2.2.2有限体积法所使用 的网格 Cells and nodes
Boundary node
Control volume Computational node
Using finite volume method, the solution domain is subdivided into a finite number of small control volumes (cells网格单元) by a grid. The grid defines the boundaries of the control volumes while the computational node lies at the center of the control volume. The advantage of FVM is that the integral conservation is satisfied exactly over the control volume.
2
Finite volume: basic methodology
Divide the domain into control volumes. Integrate the differential equation over the control volume and apply the divergence theorem. To evaluate derivative terms, values at the control volume faces are needed: have to make an assumption about how the value varies. Result is a set of linear algebraic equations: one for each control volume. Solve iteratively or simultaneously.
φ 随 时 间 的 变 化 量 φ由 边 界 流 进 控 制 容 积 的 量 φ由 边 界 扩 散 进 入 控 制 体 积 的 量 φ由 内 源 产 生 的 量
12
对稳态，时间相关项为零，方程为：
n ρ φ u d A n Γ g r a d φ d A S
利用高斯散度定理将方程中的两个散度项（方程左 端的对流项和方程右端的扩散项）的体积分转换为 关于控制体积表面上的面积分。 高斯定理：
V
div ( a ) dV
A
n a dA
11
控制方程改写为：
n (ρ φ u ) d A n ( Γ g r a d φ ) d A S
A A V φ
dV
对瞬态，还需对时间积分，以表明从时刻t到 （t+△t)的时间段内未知量仍保持其守恒性
ρφdV dt t V
Δt
n φ ρ u d A d t
Δt A
n Γ g r a d φ d A d t S
Δt A Δt V
φ
dV
13
A A V φ
ρφdV t V
dV
用文字表述的特征变量在控制体积内的 守恒关系为：
φ 随 时 间 的 变 化 量 φ由 于 边 界 对 流 引 起 的 净 减 少 量 φ由 边 界 扩 散 引 起 的 净 增 加 量 φ由 内 源 引 起 的 净 产 生 量
4
节点、控制体积、界面、网格线
节点：需要求解的未知物理量的位置 控制体积：应用控制方程或守恒定律的最小几 何单位 界面：它规定了与各节点相对应的控制体积的 分界面位置。 网格线：联结相邻两节点而形成的曲线簇。 有限体积法中，把节点看做控制体积的代表。 在离散过程中，将一个控制体积上的物理量定 义并储存在该节点处。
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方程的分类
瞬态扩散方程
稳态扩散方程 瞬态对流扩散方程 稳态对流扩散方程
t
d iv ( g r a d ) S
d iv ( g r a d ) S 0
t d iv ( u ) d iv ( g r a d ) S
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Typical control volume
（节点排列有序，称之为结构网格）
W P E
1
i-1
NW
i
Dx
N
n
i+1
NE
N
dyn
W j,y,v i,x,u w
P s
e
E
Dy
dys
SW
S
SE
网格的网格节点以一 种不规则的形式布置在流场 中。这种网格虽然生成过程 比较复杂，但对具有复杂边 界的流场计算问题特别有效。 非结构网格一般通过专门的 程序或软件来生成。
t d iv ( ρ φ u ) d iv ( g r a d ) S
它代表的物理意义是：
φ 随 时 间 的 变 化 量 φ由 于 边 界 对 流 引 起 的 净 减 少 量 φ由 边 界 扩 散 引 起 的 净 增 加 量 φ由 内 源 引 起 的 净 产 生 量