长春宽城区2018-2019学年初中数学三角形单元测试题
长春市八年级数学上册第一单元《三角形》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 在AB 上，将△ABC 沿CD 折叠，点B 落在AC 边上的点B′处，若'20ADB ∠=︒，则∠A 的度数为（ ）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°2．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合DFB ∠的度数为（ ）A ．145︒B ．155︒C ．165︒D ．175︒ 3．下列四组线段中，不可以构成三角形的是（ ）A ．4，5，6B ．1.5，2，2.5C ．13，14，15D ．1，2，3 4．已知两条线段15cm a =，8cm b =，下列线段能和a ，b 首尾相接组成三角形的是（ ）A ．20cmB ．7cmC ．5cmD ．2cm 5．如图，AD 是ABC 的外角CAE ∠的平分线，35B ∠=︒，60=︒∠DAC ，则ACD∠的度数为（ ）A ．25︒B ．85︒C ．60︒D ．95︒6．如图，//AB CD ，40C ∠=︒，60A ∠=︒，则F ∠的度数为（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40° 7．已知三角形的两边长分别为1和4，则第三边长可能是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 8．如图，1∠等于（ ）A ．40B ．50C ．60D ．70 9．如果一个三角形的两边长分别为4和7，则第三边的长可能是（ ）A ．3B ．4C ．11D ．12 10．下列说法正确的有（ ）个①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线；②连接C 、D 两点的线段叫两点之间的距离；③两点之间直线最短；④射线上点的个数是直线上点的个数的一半；⑤n 边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出()3n -条对角线，这些对角线把这个n 边形分成了()2n -个三角形．A ．3B ．2C ．1D ．011．如图，直线//,65,30AB CD A E ∠=︒∠=︒，则C ∠等于（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°12．如图，在ABC 中，48BAC ∠=︒，点 I 是ABC ∠、ACB ∠的平分线的交点．点D 是ABC ∠、 ACB ∠的两条外角平分线的交点，点E 是内角ABC ∠、外角ACG ∠的平分线的交点，则下列结论 不正确．．．的是（ ）A ．180BDC BIC ∠+∠=︒B ．85ICE ∠=︒C ．24E ∠=︒D ．90DBE ∠=︒二、填空题13．多边形每一个内角都等于108°，多边形一个顶点可引的对角线的条数是________条． 14．如图，将纸片ABC 沿DE 折叠，点A 落在点P 处，已知12124+∠=∠︒，A ∠=___________．15．对于一个四边形的四个内角，下面四个结论中，①可以四个角都是锐角；②至少有两个角是锐角；③至少有一个角是钝角；④最多有三个角是钝角；所有正确结论的序号是______．16．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果147∠=︒，220∠=︒，那么3∠= __________．17．如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H 的度数为___________．18．如图，△ABC 的两条中线AD 、BE 相交于点G ，如果S △ABG ＝2，那么S △ABC ＝_____．19．如图，在△ABC 中，∠A=64°，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2；…；∠A n-1BC 与∠A n-1CD 的平分线相交于点A n ，要使∠A n 的度数为整数，则n 的值最大为______．20．若线段AM ，AN 分别是ABC ∆的高线和中线，则线段AM ，AN 的大小关系是AM _______AN （用“≤”，“≥”或“=”填空）．三、解答题21．ABC 中，AD 是BAC ∠的角平分线，AE 是ABC 的高．（1）如图1，若40B ︒∠=，60C ︒∠=，求DAE ∠的度数；（2）如图2()B C ∠<∠，试说明DAE ∠、B 、C ∠的数量关系．22．如图，在平面内有三个点、、A B C（1）根据下列语句画图：①连接AB ；②作直线BC ；③作射线AC ，在AC 的延长线上取一点D 使得CD CB =，连接BD ；（2）比较,,AB BD AB BC CD AD +++的大小关系．23．如图，将△ABC 沿着平行于BC 的直线DE 折叠，点A 落到点A ′，若∠C ＝125°，∠A ＝20°，求∠BD A ′的度数.24．已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AE 是角平分线，CD 是高，AE 、CD 相交于点F ．（1）若∠DCB=48°，求∠CEF 的度数；（2）求证：∠CEF=∠CFE ．25．如图，有一块直角三角板XYZ 置在ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．ABC 中，30A ∠=︒．（1）ABC ACB ∠+∠=________．（2）ABX ACX ∠+∠=________．（说明理由）26．（1）已知△ABC 中，∠B=5∠A ，∠C-∠B=15°，求∠A ，∠B ，∠C 的度数． （2）在△ABC 中，∠A=50°，BD ，CE 为高，直线BD ，CE 交于点H ，求∠BHC 的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用翻折不变性，三角形内角和定理和三角形外角的性质即可解决问题．【详解】∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°，∵△CDB′是由△CDB 翻折得到，∴∠CB′D ＝∠B ，∵∠CB′D ＝∠A ＋∠ADB′＝∠A ＋20°，∴∠A ＋∠A ＋20°＝90°，解得∠A ＝35°．故选：C ．【点睛】本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．C解析：C【分析】根据三角形的内角和定理可求45E ∠=︒，利用补角的定义可求120FBE ∠=︒，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出DFB ∠的度数【详解】解：在DEC ∆中∵90C ∠=︒，45CDE ∠=︒∴45E ∠=︒又∵60ABC ∠=︒∴120FBE ∠=︒由三角形的外角性质得DFB E FBE ∠=∠+∠45120=︒+︒165=︒故选：C【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，互为补角的定义及三角形的外角性质，解题的关键是掌握三角形的外角性质3．D解析：D【分析】计算较小两边的和，与最大的边比较，大于最大的边时三角形存在，依此判断即可.【详解】∵4+5＞6，∴能构成三角形；∵1.5+2＞2.5，∴能构成三角形； ∵14+15＞13， ∴能构成三角形；∵＜1+2=3，∴不能构成三角形；故选D.【点睛】本题考查了已知线段长判断三角形的存在，熟记三角形存在的条件是解题的关键. 4．A解析：A【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．【详解】A 、15+8=23>20，能组成三角形，符合题意；B 、7+8=15，不能组成三角形，不合题意；C 、5+8=13<15，不能组成三角形，不合题意；D 、2+8=10＜15，不能组成三角形，不合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．但通常不需一一验证，其简便方法是将较短两边之和与较长边比较．5．D解析：D【分析】根据角平分线的定义可得∠DAC ＝∠DAE ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠D ，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】解：∵AD 是∠CAE 的平分线，60=︒∠DAC ，∴∠DAC ＝∠DAE ＝60°，又∵35B ∠=︒由三角形的外角性质得，∠D ＝∠DAE−∠B ＝60°−35°＝25°，∴在△ACD 中，∠ACD ＝180°−∠DAC －∠D ＝180°−60°−25°＝95°．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．6．B解析：B【分析】利用平行线和三角形外角的性质即可求解．【详解】∵//AB CD ，∴60DEF A ∠=∠=︒．∵DEF C F ∠=∠+∠，∴604020F DEF C ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查平行线和三角形外角的性质，熟练利用其性质找到角的等量关系是解答本题的关键．7．B解析：B【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围．【详解】解：根据三角形的三边关系，设第三边的长为x ，∵三角形两边的长分别是1和4，∴4-1＜x ＜4+1，即3＜x ＜5．故选：B ．【点睛】此题考查了三角形的三边关系，关键是正确确定第三边的取值范围．8．D解析：D【分析】根据三角形外角的性质直接可得出答案．【详解】解：由三角形外角的性质，得160=130∠+︒︒11306070∴∠=︒-︒=︒故选D．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，比较简单．9．B解析：B【分析】根据三角形的三边关系定理可得7-4＜x＜7+4，计算出不等式的解集，再确定x的值即可．【详解】设第三边长为x，则7-4＜x＜7+4，3＜x＜11，∴A、C、D选项不符合题意．故选：B．【点睛】考查了三角形的三边关系，解题关键是掌握第三边的范围：大于已知的两边的差，而小于两边的和．10．C解析：C【分析】分别利用直线、射线、线段的定义、角的概念和角平分线的定义以及多边形对角线的求法分析得出即可．【详解】解：①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线，故原说法错误；②连接C、D两点的线段的长度叫两点之间的距离，故原说法错误；③两点之间线段最短，故原说法错误；④射线上点的个数与直线上点的个数没有关系，故原说法错误；n-条对角线，这些对角线把⑤n边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出()3n-个三角形，此说法正确．这个n边形分成了()2所以，正确的说法只有1个，故选：C．【点睛】此题主要考查了直线、射线、线段的定义以及角的概念和角平分线的定义等知识，正确把握相关定义是解题关键．11．B解析：B【分析】∠的大小．根据平行线和三角形外角的性质即可求出C【详解】如图，设AE和CD交于点F，∵//AB CD ，∴65A DFE ∠=∠=︒（两直线平行同位角相等），∵DFE ∠是CEF △的外角，∴653035C DFE E ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查平行线和三角形外角的性质．熟练利用两个性质证明和求解是解答本题的关键． 12．B解析：B【分析】根据题意，结合三角形内角和定理、角平分线的性质，三角形外角的性质分别求解即可得出结论.【详解】解：由题意可得：在四边形BDCI 中，1180902IBD IBC CBD ∠=∠+∠=⨯︒=︒，90ICD ∠=︒， 可得180BDC BIC ∠+∠=︒，故A 选项不符合题意， 90ICE ∠=︒，故B 选项符合题意，48BAC ∠=︒，在三角形ICE 中， EIC ∠=18048662IBC ICB ︒-︒∠+∠==︒，90ICE ∠=︒， 906624E ∠=︒-︒=∴︒ ，故C 选项不符合题意，90DBE ∠=︒，故D 选项不符合题意，故选：B.【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质和三角形外角的性质，结合图形熟练运用定理和性质进行求解是解题的关键.二、填空题13．2【分析】多边形的每一个内角都是108°则每个外角是72°多边形的外角和是360°这个多边形的每个外角相等因而用360°除以外角的度数就得到外角的个数外角的个数就是多边形的边数再根据从n 边形的一个顶解析：2【分析】多边形的每一个内角都是108°，则每个外角是72°．多边形的外角和是360°，这个多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．再根据从n 边形的一个顶点出发可引出（n−3）条对角线，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成（n−2）个三角形，依此作答．【详解】根据题意得：360°÷（180°−108°）＝360°÷72°＝5，那么它的边数是五，从它的一个顶点出发的对角线共有5−3＝2条，故答案为：2．【点睛】此题考查了多边形内角与外角，根据多边形的外角和求多边形的边数是常用的一种方法，需要熟记．另外需要记住从n 边形的一个顶点出发可引出（n−3）条对角线，把这个多边形分割成（n−2）个三角形．14．【分析】根据折叠得到由此得到利用计算得出再根据三角形的内角和定理求出结果【详解】解：∵∴∴∵∴∴故答案为：【点睛】此题考查折叠的性质三角形内角和定理正确理解折叠的性质得到对应角相等是解题的关键 解析：62︒．【分析】根据折叠得到ADE EDP ∠=∠，AED DEP ∠=∠，由此得到122()360ADE AED ∠+∠+∠+∠=︒，利用12124+∠=∠︒，计算得出118ADE AED ∠+∠=︒，再根据三角形的内角和定理求出结果．【详解】解：∵ADE EDP ∠=∠，AED DEP ∠=∠，∴1222180180ADE AED ∠+∠+∠+∠+︒=︒，∴122()360ADE AED ∠+∠+∠+∠=︒，∵12124+∠=∠︒，∴118ADE AED ∠+∠=︒，∴180()62A ADE AED ∠=︒-∠+∠=︒．故答案为：62︒．【点睛】此题考查折叠的性质，三角形内角和定理，正确理解折叠的性质得到对应角相等是解题的关键．15．④【分析】四边形的内角和是根据四边形内角的性质选出正确选项【详解】解：①错误如果四个角都是锐角那么内角和就会小于；②错误可以是四个直角；③错误可以是四个直角；④正确故选：④【点睛】本题考查四边形内角解析：④【分析】四边形的内角和是360︒，根据四边形内角的性质选出正确选项．【详解】解：①错误，如果四个角都是锐角，那么内角和就会小于360︒；②错误，可以是四个直角；③错误，可以是四个直角；④正确．故选：④．【点睛】本题考查四边形内角的性质，解题的关键是掌握四边形内角的性质．16．35°【分析】先求出等边三角形正方形正五边形的内角度数再根据三角形的外角和为360°即可求解【详解】∵等边三角形的内角度数是60°正方形的度数是90°正五边形的度数是∴∠3=360°-60°-90°解析：35°【分析】先求出等边三角形，正方形，正五边形的内角度数，再根据三角形的外角和为360°，即可求解．【详解】∵等边三角形的内角度数是60°，正方形的度数是90°，正五边形的度数是(52)1801085-⨯︒=︒， ∴∠3=360°-60°-90°-108°-∠1-∠2=360°-60°-90°-108°-47°-20°=35°，故答案是：35°【点睛】本题主要考查正多边形的内角和以及外角和定理，准确分析图形中角的数量关系，是解题的关键．17．360°【分析】根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和以及多边形的内角和即可求解【详解】解：∵∠1=∠A+∠B ∠2=∠C+∠D ∠3=∠E+∠F ∠4=∠G+∠H ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F+解析：360°【分析】根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，以及多边形的内角和即可求解．【详解】解：∵∠1=∠A+∠B ，∠2=∠C+∠D ，∠3=∠E+∠F ，∠4=∠G+∠H ，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=∠1+∠2+∠3+∠4，又∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°．故选：D ．．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和定理，正确转化为多边形的外角和是关键．18．6【分析】根据DE分别是三角形的中点得出G是三角形的重心再利用重心的概念可得：2GD＝AG进而得到S△ABG：S△ABD＝2：3再根据AD是△ABC 的中线可得S△ABC＝2S△ABD进而得到答案【详解析：6【分析】根据D，E分别是三角形的中点，得出G是三角形的重心，再利用重心的概念可得：2GD＝AG进而得到S△ABG：S△ABD＝2：3，再根据AD是△ABC的中线可得S△ABC＝2S△ABD进而得到答案．【详解】解：∵△ABC的两条中线AD、BE相交于点G，∴2GD＝AG，∵S△ABG＝2，∴S△ABD＝3，∵AD是△ABC的中线，∴S△ABC＝2S△ABD＝6．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的两倍．19．6【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到∠A ＝2∠A1同理可得∠A1＝2∠A2即∠A＝22∠A2因此找出规律【详解】由三角形的外角性质得∠ACD＝∠A＋∠ABC∠A1CD＝∠A解析：6【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到∠A＝2∠A1，同理可得∠A1＝2∠A2，即∠A＝22∠A2，因此找出规律．【详解】由三角形的外角性质得，∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1BC＝12∠ABC，∠A1CD＝12∠ACD，∴∠A1＋∠A1BC＝12（∠A＋∠ABC）＝12∠A＋∠A1BC，∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，而∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，∠ACD＝∠ABC＋∠A，∴∠A＝2∠A1，∴∠A1＝12∠A，同理可得∠A1＝2∠A2，∴∠A2＝14∠A，∴∠A＝2n∠A n，∴∠A n＝（12）n∠A＝642n︒，∵∠A n的度数为整数，∴n＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的12是解题的关键．20．；【分析】根据三角形的高的概念得到AM⊥BC根据垂线段最短判断【详解】解：如图∵线段AM是△ABC边BC上的高∴AM⊥BC由垂线段最短可知AN≥AM故答案为：【点睛】本题考查的是中线和高的概念掌握垂解析：≤；【分析】根据三角形的高的概念得到AM⊥BC，根据垂线段最短判断．【详解】解：如图，∵线段AM是△ABC边BC上的高，∴AM⊥BC，由垂线段最短可知，AN≥AM，故答案为：≤．【点睛】本题考查的是中线和高的概念，掌握垂线段最短是解题的关键．三、解答题21．（1）11°；（2）∠DAE＝12（∠C-∠B）【分析】（1）根据三角形的内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AD是∠BAC的平分线，可得∠DAC的度数；在直角△AEC中，可求出∠EAC的度数，所以∠DAE＝∠DAC-∠EAC，即可得出；（2）根据三角形的内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AD是∠BAC的平分线，可得∠DAC的度数；在直角△AEC中，可求出∠EAC的度数，所以∠DAE＝∠DAC-∠EAC，即可得出；【详解】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝62°，∴∠BAC＝180°-∠B-∠C＝180°﹣40°﹣62°＝78°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC=12∠BAC＝39°，∵AE是BC边上的高，在直角△AEC中，∵∠EAC＝90°-∠C＝90°﹣62°＝28°，∴∠DAE＝∠DAC-∠EAC＝39°﹣28°＝11°；（2）∵∠BAC＝180°-∠B-∠C，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC=12∠BAC＝90°-12（∠B+∠C），∵AE是BC边上的高，在直角△AEC中，∵∠EAC＝90°-∠C，∴∠DAE＝∠DAC-∠EAC＝90°-12（∠B+∠C）-（90°-∠C）=12（∠C-∠B）；【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的高、角平分线的性质，学生应熟练掌握三角形的高、中线和角平分线这些基本知识，能灵活运用解决问题．22．（1）见解析；（2）AB BC CD AB BD AD++>+>【分析】（1）①按要求作图；②按要求作图；③按要求作出射线AC，然后以点C为圆心，BC为半径画弧，交射线AC于点D，连接BD；（2）结合图形，根据三角形两边之和大于第三边进行分析比较．【详解】解：（1）①如图，线段AB即为所求；②如图，直线BC即为所求；③如图，射线AC，点D，线段BD即为所求（2）如图，在△BCD中，BC+CD＞BD∴AB BC CD AB BD++>+在△ABD中，AB+BD＞AD∴AB BC CD AB BD AD++>+>【点睛】本题考查基本作图及三角形三边关系，正确理解几何语言并掌握三角形三边关系是解题关键．23．110°【分析】利用翻折变换的性质以及三角形内角和定理求出∠BDE，∠A′DE，即可解决问题．【详解】∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝20°，∠C＝125°，∴∠B＝35°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝35°，∠BDE＋∠B＝180°，∴∠BDE＝180−∠B＝180°−35°＝145°，∵△ADE沿DE折叠成△A′DE，∴∠A′DE＝∠ADE＝35°，∴∠BDA′＝∠BDE−∠A′DE＝145°−35°＝110°．【点睛】本题考查三角形内角和定理，翻折变换的性质以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质，属于中考常考题型．24．（1）66°；（2）见解析【分析】（1）依据CD是高，∠DCB=48°，即可得到∠B=42°，进而得出∠BAC=48°，再根据AE是角平分线，即可得到∠BAE=12∠BAC=24°，进而得出∠CEF的度数；（2）根据已知条件可得∠ACD=∠B ，∠BAE=∠CAE ，再根据三角形外角性质，即可得到∠CFE=∠CEF ．【详解】（1）∵CD 是高，∠DCB=48°，∴∠B=42°，又∵∠ACB=90°，∴∠BAC=48°，又∵AE 是角平分线，∴∠BAE=12∠BAC=24°， ∴∠CEF=∠B+∠BAE=42°+24°=66°；（2）∵∠ACB=90°，CD ⊥AB ，∴∠ACD+∠BAC=∠B+∠BAC=90°，∴∠ACD=∠B ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE=∠CAE ，∵∠CFE 是△ACF 的外角，∠CEF 是△ABE 的外角，∴∠CFE=∠ACD+∠CAE ，∠CEF=∠B+∠BAE ，∴∠CFE=∠CEF ．【点睛】本题主要考查了三角形角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形的外角性质的运用，解题时注意：同角的余角相等．25．（1）150︒ （2）60︒；理由见解析【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求得答案；（2）先求得XBC XCB ∠+∠=90°，再根据ABX ACX ∠+∠()()ABC ACB XBC XCB =∠+∠-∠+∠即可求得答案．【详解】解：（1）∵180ABC ACB A ∠+∠+∠=︒，30A ∠=︒，∴180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠18030=︒-︒150=︒，故答案为：150°；（2）60ABX ACX ∠+∠=︒，理由如下：∵180XBC XCB X ∠+∠+∠=︒，90X ∠=︒，∴180XBC XCB X ∠+∠=︒-∠18090=︒-︒90=︒，∴ABX ACX ∠+∠ABC XBC ACB XCB =∠-∠+∠-∠()()ABC ACB XBC XCB =∠+∠-∠+∠15090=︒-︒60=︒，故答案为：60°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解决本题的关键． 26．（1）∠A=15°，∠B=75°，∠C =90°；（2）130°【分析】（1）将∠C 用∠A 表示，然后利用三角形内角和即可求解∠A ，然后在依次求出∠B ，∠C 即可；（2）根据题意作出示意图，然后根据四边形内角和即可求出∠DHE ，根据对顶角相等即可求解∠BHC ．【详解】（1）∵∠C-∠B=15°，即∠C =15°+∠B又∵∠B=5∠A∴∠C =15°+5∠A∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A+5∠A +15°+5∠A =180°解得∠A=15°∴∠B=75°，∠C =90°∴∠A=15°，∠B=75°，∠C =90°（2）根据题意作出下图，∵BD AC ⊥，CE AB ⊥∴∠BDA =90°，∠CEA=90°∵在四边形AEHD 中，∠A+∠HDA+∠HEA+∠DHE =360°∴∠DHE=360°-∠A-∠HAD-∠HEA=360°-50°-90°-90°=130°∴∠BHC=∠DHE=130°∴∠BHC =130°．【点睛】本题考查了三角形的内角和和四边形内角和，重点是熟记多边形内角和公式．。
长春宽城区2018-2019学年初中数学整式的加减单元测试题
长春宽城区2018-2019学年初中数学整式的加减单元测试题数学2018.7本试卷共6页，120分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．单项式的系数是（）A．B．C．D．2．关于代数式，下列表述正确的是（）A．单项式，次数为1B．单项式，次数为2C．多项式，次数为2D．多项式，次数为33．定义一种运算：，其中是正整数，且，表示非负实数的整数部分，例如，．若，则的值为（）A．2015B．4C．2014D．54．萱萱的妈妈下岗了，在国家政策的扶持下开了一家商店，全家每个人都要出一份力，妈妈告诉萱萱说，她第一次进货时以每件元的价格购进了件牛奶；每件元的价格购进了件洗发水，萱萱建议将这两种商品都以元的价格出售，则按萱萱的建议商品卖出后，商店（）A．赚钱B．赔钱C．不嫌不赔D．无法确定赚与赔5．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）=3n+1；②当n为偶数时，F（n）=（其中k是使F（n）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n=24，则：若n=13，则第2018次“F”运算的结果是（）A．1B．4C．2018D．420186．已知密文和明文的对应规则为:明文a、b对应的密文为ma-nb、na+mb.例如，明文1、2对应的密文是-3，4.若密文是1，7时，则对应的明文是( )A．-1，1B．1，3C．3，1D．1，l7．当a=﹣1，b=1时，（a3﹣b3）﹣（a3﹣3a2b+3ab2﹣b3）的值是（）A．0B．6C．﹣6D．98．已知有理数a，b，c在数轴上对应的位置如图所示，化简|b﹣c|﹣|c﹣a|=（）A．b﹣2c+a B．b﹣2c﹣a C．b+a D．b﹣a二、填空题共6小题，每小题3分，共18分。
9．化简________．10．如果多项式不含与项，则________，________．11．观察下列算式：12-02=1+0=1，,22-12=2+1=3,32-22=3+2=5,42-32=4+3=7 ，52-42=5+4=9，…….若字母表示自然数，请把你观察到的规律用含有的式子表示出来________．12．已知4x2m y m+n与-3x6y2是同类项，则m-n=________13．爸爸给小强买了一个足球花了a元，买一个乒乓球花了b元，则买x个足球和y个乒乓球共花了____元。
长春宽城区2018-2019学年初中数学整式的乘法与因式分解单元测试题
长春宽城区2018-2019学年初中数学整式的乘法与因式分解单元测试题数学2018.7本试卷共4页，120分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知n是正整数，则下列数中一定能整除的是A．6B．3C．4D．52．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是A．B．C．D．3．多项式可分解为，则a、b的值分别是A．10和B．和2C．10和2D．和4．把分解因式，结果是A．B．C．D．5．把分解因式得A．B．C．D．6．计算：A．0B．1C．D．396017．若是一个完全平方式，则k的值为A．48B．24C．D．8．下列四个多项式是完全平方式的是A．B．C．D．二、填空题共6小题，每小题3分，共18分。
9．已知，则式子的值为______．10．______ ．11．在多项式中添加______，可使它是完全平方式填一个即可，然后将得到的三项式分解因式是______．12．已知，那么的值为______．13．______．14．分解因式：______．三、解答题共10小题，15-18题6分，19题7分，20、21题8分，22题9分，23题10分，24题12分，共78分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．解：设原式第一步第二步第三步第四步回答下列问题：该同学第二步到第三步运用了因式分解的______ ．A、提取公因式平方差公式C、两数和的完全平方公式两数差的完全平方公式该同学因式分解的结果是否彻底______ 填“彻底”或“不彻底”若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______ ．请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．16．因式分解：．17．已知与互为相反数，求的值．18．已知，，求代数式的值．19．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．解：设原式第一步第二步第三步第四步回答下列问题：该同学第二步到第三步运用了因式分解的______ ．A、提取公因式平方差公式C、两数和的完全平方公式两数差的完全平方公式该同学因式分解的结果是否彻底______ 填“彻底”或“不彻底”若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______ ．请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．20．已知与互为相反数，求的值．21．已知，，求代数式的值．22．阅读材料并回答问题：课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形中的面积来表示的，例如：(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2就可以用如图①②所示的图形的面积来表示．(1)请写出如图③所示的图形的面积表示的代数恒等式；(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为(a＋b)(a＋3b)＝a2＋4ab＋3b2；(3)请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形．23．已知a，b，c为△ABC的三条边的长，试判断代数式a2－2ac＋c2－b2的值的符号，并说明理由．24．先化简，再求值：(1)(2＋a)(2－a)＋a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2，其中ab＝－；(2)[(x＋2y)(x－2y)－(x＋4y)2]÷4y，其中x＝－5，y＝2.参考答案1．C【解析】【分析】将题目中的式子分解因式即可解答本题.【详解】解：（2n+3）2-25=[（2n+3）+5][（2n+3）-5]=（2n+8）（2n-2）=4（n+4）（n-1），∴（2n+3）2-25一定能被4整除，故选：C.【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是会因式分解的方法．2．C【解析】【分析】根据因式分解法即可求出答案．【详解】解：A.原式=（a+1）（a-1），故A含因式（a+1）；B.原式=a（a+1），故B含因式（a+1）；C.原式=(a+2)（a-1），故C不含因式（a+1）；D.原式=[（a+2）-1]2=（a+1）2, 故D含因式（a+1）.故选：C.【点睛】本题考查因式分解法，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型. 3．D【解析】【分析】利用多项式乘法整理多项式进而得出a，b的值.【详解】解：∵多项式x2-3x+a可分解为（x-5）（x-b），∴x2-3x+a=（x-5）（x-b）=x2-（b+5）x+5b，故b+5=3，5b=a，解得：b=-2，a=-10．故选：D.【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，得出同类项系数相等是解题关键.4．D【解析】【分析】通过观察此多项式的形式，将x2，y2视作一个整体，则此多项式可利用完全平方公式和平方差公式进行化简．【详解】解：原式=（x2-y2）2=[（x+y）（x-y）]2=（x+y）2（x-y）2故选：D.【点睛】此题主要考查利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解，应灵活运用.5．C【解析】【分析】直接利用完全平方公式分解因式进而得出答案.【详解】解：（a+b）2+4（a+b）+4=（a+b+2）2．故选：C.【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键.6．B【解析】【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出即可.【详解】解：1002-2×100×99+992=（100-99）2=1．故选：B.【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键.7．D【解析】【分析】这里首末两项是6x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去6x和4的积的2倍，故k±2×4×6=±48.【详解】解：∵（6x±4）2=36x2±48x+16，∴在36x2+kx+16中，k=±48．故选：D.【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解.8．D【解析】【分析】完全平方式有a2+2ab+b2和a2-2ab+b2，根据式子的特点判断即可.【详解】解：A、不是完全平方式，故本选项错误；B、不是完全平方式，故本选项错误；C、不是完全平方式，故本选项错误；D、是完全平方式，故本选项正确；故选：D.【点睛】本题考查了对完全平方式的应用，注意：完全平方式有a2+2ab+b2和a2-2ab+b2．9．【解析】【分析】已知等式左边利用完全平方公式化简，整理得到x与y的关系式，即可确定出所求的值.【详解】解：已知等式整理得：（2x-3y）2=0，解得：2x=3y，则=，故答案为：.【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．10．【解析】【分析】根据完全平方公式，把等式左边展开后即可得出答案.【详解】解：（3a-5b）2=9a2-30ab+25b2，故答案为：-30ab.【点睛】本题考查了完全平方公式，比较容易，主要是熟记完全平方公式.11．【解析】【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．【详解】解：在多项式4x2+1中添加+4x，可使它是完全平方式（填一个即可），然后将得到的三项式分解因式是（2x+1）2，故答案为：+4x；（2x+1）2.【点睛】此题考查了完全平方式，以及因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.12．【解析】【分析】根据完全平方公式，可知x2+xy+y2=（x2+2xy+y2）=（x+y）2，再整体代入计算即可.【详解】解：x2+xy+y2=（x2+2xy+y2）=（x+y）2=×1=．故答案为.【点睛】此题考查完全平方公式的应用，熟练掌握公式的结构特征是关键.13．【解析】【分析】提取22016即可得.【详解】解：原式=22016×（2-1）=22016故答案为:.【点睛】本题主要考查因式分解-提公因式法，如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 14．【解析】【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．【详解】解：a3-16a，=a（a2-16），=a（a+4）（a-4）．故答案为:.【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，难点在于需要进行二次分解.15．（1）C；（2）不彻底, （x-2）4；（3）.【解析】【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；（3）将（x2-2x）看作整体进而分解因式即可.【详解】解:（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；故选：C；（2）这个结果没有分解到最后，原式=（x2-4x+4）2=（x-2）4；不彻底；（3））（x2-2x）（x2-2x+2）+1=（x2-2x）2+2（x2-2x）+1=（x2-2x+1）2=（x-1）4．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，熟练利用完全平方公式分解因式是解题关键，注意分解因式要彻底.16．；；；；；．【解析】【分析】（1）根据提公因式法，可得方程的解；（2）根据提公因式法，可得答案；（3）根据提公因式法，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案；（4）根据平方差公式，可得答案；（5）根据提公因式法，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案；（6）根据整式的乘法、合并同类项，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案.【详解】；；；；；．【点睛】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底.17．．【解析】【分析】先把x2+8x+16整理成完全平方公式，利用相反数的概念可得即|x-y+1|+（x+4）2=0，两个非负数的和等于0的形式，那么每一个非负数都等于0，从而求出x、y的值，再把x、y的值代入所求代数式计算即可.【详解】解:与互为相反数，与互为相反数，即，，，解得，．当，时，原式．【点睛】本题主要考查完全平方公式、非负数的性质．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．注意会正确的拆项.18．．【解析】【分析】根据4x2+12xy+9y2=（2x+3y）2，把x，y代入即可求值．【详解】解:．【点睛】本题主要考查了代数式的值，正确对所求式子进行分解因式是解决本题的关键. 19．（1）C；（2）不彻底, （x-2）4；（3）.【解析】【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；（3）将（x2-2x）看作整体进而分解因式即可.【详解】解:（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；故选：C；（2）这个结果没有分解到最后，原式=（x2-4x+4）2=（x-2）4；不彻底；（3））（x2-2x）（x2-2x+2）+1=（x2-2x）2+2（x2-2x）+1=（x2-2x+1）2=（x-1）4．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，熟练利用完全平方公式分解因式是解题关键，注意分解因式要彻底.20．．【解析】【分析】先把x2+8x+16整理成完全平方公式，利用相反数的概念可得即|x-y+1|+（x+4）2=0，两个非负数的和等于0的形式，那么每一个非负数都等于0，从而求出x、y的值，再把x、y的值代入所求代数式计算即可.【详解】解:与互为相反数，与互为相反数，即，，，解得，．当，时，原式．【点睛】本题主要考查完全平方公式、非负数的性质．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．注意会正确的拆项.21．．【解析】【分析】根据4x2+12xy+9y2=（2x+3y）2，把x，y代入即可求值．【详解】解:．【点睛】本题主要考查了代数式的值，正确对所求式子进行分解因式是解决本题的关键. 22．(1)(a＋2b)(2a＋b)＝2a2＋5ab＋2b2(2)见解析(3) (a＋2b)(a＋3b)＝a2＋5ab＋6b2【解析】【分析】（1）根据图①的两种面积表示法即可解答；（2）根据图形的总面积等于各个部分的面积的和，可以作一个一边是a+b，另一边是a+3b的矩形；（3）答案不唯一，根据图形的总面积等于各个部分的面积的和画出矩形即可.(1)(a＋2b)(2a＋b)＝2a2＋5ab＋2b2；(2)如图④；(3)(答案不唯一)( a＋2b)(a＋3b)＝a2＋5ab＋6b2，如图⑤，【点睛】本题主要考查了乘法公式的几何表示，正确理解例题的意义，根据图形的总面积等于各个部分的面积的和是解题的关键．23．负【解析】【分析】把代数式a2－2ac＋c2－b2，先利用完全平方公式再利用平方差公式分解因式化为[a－(c＋b)][(a＋b)－c]，根据三角形三边关系可得a－(c＋b)<0，(a＋b)－c>0，由此即可判定代数式a2－2ac＋c2－b2的值的符号．【详解】a2－2ac＋c2－b2＝(a－c)2－b2＝(a－c－b)(a－c＋b)＝[a－(c＋b)][(a＋b)－c]，由三角形三边关系得a－(c＋b)<0，(a＋b)－c>0，∴[a－(c＋b)][(a＋b－c)]<0，即代数式a2－2ac＋c2－b2的值的符号为负.【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式分解因式，还考查了三角形三边关系，把所给的代数式分解因式为[a－(c＋b)][(a＋b)－c]，再利用三角形的三边关系求解即可．24．（1）4－2ab，5；（2）－2x－5y，0.【解析】（1）利用平方差公式、单项式乘以单项式以及结合单项式除以单项式的法则去掉括号，再合并同类项，将已知数据代入即可解答；（2）先利用平方差公式和完全平方公式把中括号内的式子化简，再利用多项式除以单项式的运算法则计算化为最简，最后代入求值即可.【详解】（1）原式＝，=，=4－2ab，当ab＝－时，原式＝5.（2）原式＝，=，=－2x－5y，当x＝－5，y＝2时，原式＝0.【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，正确掌握整式乘除运算法则是解题关键．。
长春宽城区2018-2019学年初中数学不等式与不等式组单元测试题
长春宽城区2018-2019学年初中数学不等式与不等式组单元测试题数学2018.7本试卷共4页，120分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（）A．B．C．D．2．满足不等式 3x-5> -1的最小整数是（）A．－1B．1C．2D．33．若无解，则a的取值范围是：（）A．a<－2B．a≤－2C．a>－2D．a≥－24．下列判断不正确的是（）A．若a＞b，则﹣4a＜﹣4b B．若2a＞3a，则a＜0C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若ac2＞bc2，则a＞b5．不等式x﹣2≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．不等式2x﹣3≥﹣1的解集是（）A．x≥﹣B．x≤-C．x≥1D．x≤17．已知△ABC的边长分别为2x＋1，3x，5，则△ABC的周长L的取值范围是( ) A．6＜L＜36B．10＜L≤11C．11≤L＜36D．10＜L＜368．某种毛巾原零售价为每条6元，凡一次性购买两条以上(不含两条)，商家推出两种优惠销售办法，第一种：两条按原价，其余按七折优惠；第二种：全部按原价的八折优惠．若在购买相同数量的情况下，要使第一种办法比第二种办法得到的优惠多，最少要购买毛巾( )A．4条B．5条C．6条D．7条9．已知不等式2x＋a≥0的负整数解恰好是－3，－2，－1，那么a满足条件( ) A．a＝6B．a≥6C．a≤6D．6≤a＜810．若关于x的方程5x－2m＝－4－x的解在2与10之间(不包括2和10)，则m的取值范围是( )A．m>8B．m<32C．8<m<32D．m<8或m>32二、填空题共6小题，每小题3分，共18分。
11．点P（a﹣3，5﹣a）在第一象限内，则a的取值范围是__．12．不等式的最小整数解为______．13．若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，那么（a+b）2017=________．14．若不等式的解集为x＞3，则a的取值范围是________．15．不等式2x﹣1＞3的最小整数解是________．16．不等式3x﹣6＜0的解集是________17．若a＜b，则3a________3b（填“＜”、“=”或“＞”号）．18．对于整数a，b，c，d，现规定符号表示运算ac－bd.已知1＜＜3，则b＋d＝________.19．不等式组－1≤3－2x＜6的所有整数解的和是________，所有整数解的积是________．20．已知关于x的不等式组的整数解只有0和－1，则a的取值范围是__________．三、解答题共10小题，15-18题6分，19题7分，20、21题8分，22题9分，23题10分，24题12分，共78分。
2018-2019学年初中数学三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法与因式分解中考真题考试测试题
2018-2019学年初中数学三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法与因式分解中考真题考试测试题数学 2018.3本试卷共4页，120分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°2．一个n边形的内角和为360°，则n等于（）A．3B．4C．5D．63．下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（）A．1，1，2B．1，2，4C．2，3，4D．2，3，54．把实数用小数表示为（）A．0.0612B．6120C．0.00612D．6120005．如图，直线，，是截线且交于点，若，，则（）A．B．C．D．6．下列计算或运算中，正确的是（）A．B．C．D．7．下列计算正确的是（）A．7a-a=6B．a2·a3=a5C．(a3)3=a6D．(ab)4=ab48．某商厦进货员预测一种应季衬衫国畅销市场，就用10000元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用22000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍．但单价贵了4元，求这两批衬衫的购进单价，若设第一批衬衫购进单价为x元，则所列方程正确的是（）A．B．C．D．9．已知一个三角形的两边长分别为8和2，则这个三角形的第三边长可能是（）A．4 B．6 C．8 D．1010．下列运算正确的是（）A．（﹣a+b）（a﹣b）×a2﹣b2=a2﹣b2B．a3+a4=a7C．a3•a2=a5D．23=6二、填空题共10小题，每小题3分，共30分。
11．分解因式-___________12．因式分解：x3﹣4x=_____．13．因式分解：a3﹣a= ．14．若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是____．15．分解因式：2m2-8=_______________．16．分解因式：=__________________．17．分式方程的根是____________．18．因式分解：x3﹣4x=_____．19．分解因式-___________20．化简+÷的结果是___________________.三、解答题共10小题，每小题6分，共60分。
长春宽城区2018-2019学年高中数学解三角函数单元测试题
长春宽城区2018-2019学年高中数学解三角函数单元测试题数学（理） 2018.7本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定2．点P是△ABC所在平面上一点，满足|﹣||=0，则△ABC的形状是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形3．△ABC中，，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形4．已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为( )A．9B．18C．9D．185．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于（）A．B．2C．1D．6．在△ABC中，已知面积S＝ (a2＋b2－c2)，则角C的度数为( )A．135°B．45°C．60°D．120°7．在△ABC中，，，则下列各式中正确的是（）A．B．C．D．8．有一长为1 km的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长( )A．0.5 km B．1 km C．1.5 km D． km9．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．不能确定D．等腰三角形10．在△ABC中，若，则等于（）A．B．C．D．11．在中，角，那么角（）A．B．C．D．或12．(2017福建厦门一模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是C上两动点,且∠AFB=α(α为常数),线段AB中点为M,过点M作l的垂线,垂足为N,若的最小值为1,则α=()A．B．C．D．13．三角形两边之差为2，夹角的余弦值为，面积为14，那么这个三角形的此两边长分别是( )A．3和5B．4和6C．6和8D．5和714．已知a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C的对边，b＝，c＝，B＝，那么a等于( )A．1B．2C．4D．1或4第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题15．在△ABC中，∠C＝60°，a、b、c分别为∠A、∠B、.C的对边，则＝________．16．若·+= 0，则ΔABC的形状为_____________________17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，若，则18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝60°，a＝，b＝1，则c＝________.三、解答题19．已知椭圆的两焦点为、，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）设点在椭圆上，且，求的值20．在△ABC中，设，求A的值.21．已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，.（1）若//，求证：ΔABC为等腰三角形；（2）若⊥，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积 .22．在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c，已知(1）求的值；(2）若，求边c的值.23．如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．24．锐角三角形ABC中，边a，b是方程的两根，角A，B满足，求：(1)角C的度数；(2)边c的长度及△ABC的面积．参考答案1．B【解析】【分析】由正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得A为直角，即得选项.【详解】∵b cos C＋c cos B＝a sin A，由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.又sin A>0，∴sin A＝1，∴A＝，故△ABC为直角三角形．【点睛】判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．2．B【解析】【分析】根据向量线性运算，得到||=||，再由向量减法运算得到||=||；同时平方后化简得到=0，进而判断出三角形为直角三角形。
长春数学全等三角形综合测试卷(word含答案)
长春数学全等三角形综合测试卷（word含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长_________ .【答案】3【解析】【分析】过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE≅BAD，再证明CAI≅BAJ，求出°7830∠=∠=，然后求出12IF FJ AF==，，通过设FJ x=求出x，即可求出AF的长.【详解】解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J在CAE和BAD中AC ABCAE BADAE AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CAE≅BAD∴ICA ABJ∠=∠∴BFE CAB∠=∠（8字形）∴°120CFD∠=在CAI和BAJ中°90ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴CAI ≅BAJ,AI AJ CI BJ ==∴°60CFA AFJ ∠=∠=∴°30FAI FAE ∠=∠=在RtAIF 和RtAJF 中°30FAI FAE ∠=∠=∴12IF FJ AF ==设FJ x = 7,4CF BF ==则47x x +=-32x ∴=2AF FJ =AF ∴=3【点睛】此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.2．如图，线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，且72ABC EDC ∠=∠=︒，92AEB ∠=︒，则EBD ∠的度数为 ________ ．【答案】128︒【解析】【分析】连接CE ，由线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，得CA=CB ，CE=CD ，ACB=∠ECD=36°，进而得∠ACE=∠BCD ，易证∆ACE ≅∆BCD ，设∠AEC=∠BDC=x ，得则∠BDE=72°-x ，∠CEB=92°-x ，BDE 中，∠EBD=128°，根据三角形内角和定理，即可得到答案．【详解】连接CE ，∵线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，∴CA=CB ，CE=CD ，∵72ABC EDC ∠=∠=︒=∠DEC ，∴∠ACB=∠ECD=36°，∴∠ACE=∠BCD ，在∆ACE 与∆BCD 中，∵CA CB ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ACE ≅∆BCD （SAS ）， ∴∠AEC=∠BDC ，设∠AEC=∠BDC=x ，则∠BDE=72°-x ，∠CEB=92°-x ，∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-（92°-x ）=x-20°，∴在∆BDE 中，∠EBD=180°-（72°-x ）-（x-20°）=128°．故答案是：128︒．【点睛】本题主要考查中垂线的性质，三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．3．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，点D在边AB上，∠ACD=15°，则ADBC____．【答案】22．【解析】【分析】根据题意作CE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，在CF上截取一点H，使得CH＝DH，连接DH，并设AD＝2x，解直角三角形求出BC（用x表示）即可解决问题．【详解】解：作CE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，在CF上截取一点H，使得CH=DH，连接DH．设AD=2x，∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，DF 12=AD=x ，AF 3=x ， ∵∠ACD=15°，HD=HC ，∴∠HDC=∠HCD=15°， ∴∠FHD=∠HDC+∠HCD=30°，∴DH=HC=2x ，FH 3=x ，∴AB=AC=2x+23x ，在Rt △ACE 中，EC 12=AC=x 3+x ，AE 3=EC 3=x+3x ， ∴BE=AB ﹣AE 3=x ﹣x ，在Rt △BCE 中，BC 22BE EC =+=22x ， ∴2222AD BC x ==． 故答案为：22． 【点睛】本题考查的等腰三角形的性质和解直角三角形以及直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．4．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出下列四个结论：①AE=CF ；②△EPF 是等腰直角三角形；③EF=AB ；④12ABC AEPF S S ∆=四边形，当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，上述结论中始终正确的有________(把你认为正确的结论的序号都填上).【答案】①②④【解析】试题分析：∵∠APE 、∠CPF 都是∠APF 的余角，∴∠APE=∠CPF ，∵AB=AC ，∠BAC=90°，P 是BC 中点，∴AP=CP ，∴∠PAE=∠PCF，在△APE与△CPF中，{?PAE PCFAP CPEPA FPC∠=∠=∠=∠，∴△APE≌△CPF（ASA），同理可证△APF≌△BPE，∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S四边形AEPF=12S△ABC，①②④正确；而AP=12BC，当EF不是△ABC的中位线时，则EF不等于BC的一半，EF=AP，∴故③不成立．故始终正确的是①②④．故选D．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．5．如图，将ABC∆沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的1A处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为1h，还原纸片后，再将ADE∆沿着过AD中点1D 的直线折叠，使点A落在DE边上的2A处，称为第2次操作，折痕11D E到BC的距离记为2h，按上述方法不断操作下去…经过第2020次操作后得到的折痕20192019D E到BC的距离记为2020h，若11h=，则2020h的值为______．【答案】2019122-【解析】【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA₁=DB,从而可得∠ADA₁=2∠B,结合折叠的性质可得.，∠ADA₁=2∠ADE,可得∠ADE=∠B,继而判断DE// BC,得出DE是△ABC的中位线，证得AA₁⊥BC,AA₁=2，由此发现规律：12122h=-=-₁同理21122h =-3211122222h =-⨯=-…于是经过第n 次操作后得到的折痕Dn-1 En-1到BC 的距离1122n n h -=-，据此求得2020h 的值． 【详解】解：如图连接AA ₁,由折叠的性质可得：AA ₁⊥DE, DA= DA ₁ ,A ₂、A ₃…均在AA ₁上又∵ D 是AB 中点，∴DA= DB ,∵DB= DA ₁ ,∴∠BA ₁D=∠B ,∴∠ADA ₁=∠B +∠BA ₁D=2∠B,又∵∠ADA ₁ =2∠ADE ,∴∠ADE=∠B∵DE//BC,∴AA ₁⊥BC , ∵h ₁=1∴AA ₁ =2,∴012122h =-=-₁ 同理：21122h =-； 3211122222h =-⨯=-； …∴经过n 次操作后得到的折痕D n-1E n-1到BC 的距离1122n n h -=-∴20202019122h =-【点睛】本题考查了中点性质和折叠的性质，本题难度较大，要从每次折叠发现规律，求得规律的过程是难点．6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 在BC 的延长线上，G 是AC 上一点，且CG ＝CD ，F 是GD 上一点，且DF ＝DE ．若∠A ＝100°，则∠E 的大小为_____度．【答案】10【解析】【分析】由DF=DE，CG=CD可得∠E=∠DFE，∠CDG=∠CGD，再由三角形的外角的意义可得∠GDC=∠E+∠DFE=2∠E，∠ACB=∠CDG+∠CGD=2∠CD G，进而可得∠ACB=4∠E，最后代入数据即可解答.【详解】解：∵DF＝DE，CG＝CD，∴∠E＝∠DFE，∠CDG＝∠CGD，∵GDC＝∠E+∠DFE，∠ACB＝∠CDG+∠CGD，∴GDC＝2∠E，∠ACB＝2∠CDG，∴∠ACB＝4∠E，∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ACB＝40°，∴∠E＝40°÷4＝10°．故答案为10．【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形外角的定义，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质和三角形的外角的定义确定各角之间的关系.7．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，E、F分别在BC、CD上，且AB＝BE，AD ＝DF，M为EF的中点，DM＝3，BM＝4，则五边形ABEFD的面积是_____．【答案】12【解析】【分析】延长BM至G，使MG＝BM，连接FG、DG，证明△BME≌△GMF（SAS），得出FG＝BE，∠MBE＝∠MGF，证出AB＝FG，证明△DAB≌△DFG（SAS），得出DB＝DG，由等腰三角形的性质即可得DM⊥BM，由五边形ABEFD的面积＝△DBG的面积，可求解．延长BM 至G ，使MG ＝BM ＝4，连接FG 、DG ，如图所示：∵M 为EF 中点，∴ME ＝MF ，在△BME 和△GMF 中，BM MG BME GMFME MF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BME ≌△GMF （SAS ），∴FG ＝BE ，∠MBE ＝∠MGF ，S △BEM ＝S △GFM ，∴FG ∥BE ，∴∠C ＝∠GFC ，∵∠A +∠C ＝180°，∠DFG +∠GFC ＝180°，∴∠A ＝∠DFG ，∵AB ＝BE ，∴AB ＝FG ，在△DAB 和△DFG 中，AB FG A DFGAD DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DAB ≌△DFG （SAS ），∴DB ＝DG ，S △DAB ＝S △DFG ，∵MG ＝BM ，∴DM ⊥BM ，∴五边形ABEFD 的面积＝△DBG 的面积＝12×BG ×DM ＝12×8×3＝12， 故答案为：12．本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定由性质，证明三角形全等是解题的关键．8．如图：在ABC ∆中，D ，E 为边AB 上的两个点，且BD BC =，AE AC =，若108ACB ∠=︒，则DCE ∠的大小为______.【答案】036【解析】【分析】根据三角形内角和求出∠A+∠B,再根据AC=AE,BC=BD ，用∠A 表示∠AEC,用∠B 表示∠BDC，然后根据内角和求出∠DCE 的度数.【详解】 ∵∠ACB=1080，∴∠A+∠B=1800-1080=720,∵AC=AE,BC=BD, ∴∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC,∴01(180)2AEC A ∠=-∠01902A =-∠ 01(180)2BDCB ∠=-∠ =01902B -∠ ∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=1800， ∴0180DCE CDE CED ∠=-∠-∠= 00011180(90)(90)22A B --∠--∠ =1122A B ∠+∠ =1()2A B ∠+∠ =360【点睛】此题考察等腰三角形的性质，注意两条等边所在三角形，依此判断对应的两个底角相等.9．在下列结论中：①有三个角是60︒的三角形是等边三角形；②有一个外角是120︒的等腰三角形是等边三角形；③有一个角是60︒，且是轴对称的三角形是等边三角形；④有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形．其中正确的是__________.【答案】①②③④【解析】【分析】依据等边三角形的定义，含有一个600角的等腰三角形是等边三角形判断即可.【详解】有三个角是600的三角形是等边三角形，故①正确；外角是1200时，邻补角为600，即有一个内角是600的等腰三角形是等边三角形，故②正确；轴对称的三角形是等腰三角形，且含有一个600角，因此是等边三角形，故③正确；一腰上的高也是中线，故底边等于腰长，所以此三角形是等边三角形，故④正确.故此题正确的是①②③④.【点睛】此题考查等边三角形的判定方法，熟记方法才能熟练运用.10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，AD ＝8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC +PQ 的最小值是_____．【答案】9.6． 【解析】【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD 垂直平分BC ，过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，BQ 交AD 于点P ，则此时PC +PQ 取最小值，最小值为BQ 的长．在△ABC 中，利用面积法可求出BQ 的长度，此题得解．【详解】∵AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD 垂直平分BC ，∴BP ＝CP ．过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，BQ 交AD 于点P ，则此时PC +PQ 取最小值，最小值为BQ 的长，如图所示．∵S △ABC 12=BC •AD 12=AC •BQ ，∴BQ 12810BC AD AC ⋅⨯===9.6． 故答案为：9.6．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出PC+PQ的最小值为BQ是解题的关键．二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG＝2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG＝∠ACB；④∠CFB＝135°，其中正确的结论有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】由已知条件可知∠ABC+∠ACB=90°，又因为CD、BE分别是△ABC的角平分线，所以得到∠FBC+∠FCB=45°，所以求出∠CFB=135°；有平行线的性质可得到：∠ABG=∠ACB，∠BAG=2∠ABF．所以可知选项①③④正确．【详解】∵AB⊥AC．∴∠BAC＝90°，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝90°∵CD、BE分别是△ABC的角平分线，∴2∠FBC+2∠FCB＝90°∴∠FBC+∠FCB ＝45°∴∠BFC ＝135°故④正确．∵AG ∥BC ，∴∠BAG ＝∠ABC∵∠ABC ＝2∠ABF∴∠BAG ＝2∠ABF 故①正确．∵AB ⊥AC ，∴∠ABC+∠ACB ＝90°，∵AG ⊥BG ，∴∠ABG+∠GAB ＝90°∵∠BAG ＝∠ABC ，∴∠ABG ＝∠ACB 故③正确．故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质．掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．12．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D E 、是AB 边上两点，且CE 垂直平分,AD CD 平分,6BCE AC cm ∠=，则BD 的长为（ ）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm【答案】A【解析】【分析】 根据CE 垂直平分AD ，得AC=CD ，再根据等腰在三角形的三线合一，得ACE ECD ∠=∠，结合角平分线定义和90ACB ︒∠=，得30ACE ECD DCB ︒∠=∠=∠=，则BD CD AC ==．【详解】∵CE 垂直平分AD∴AC=CD ＝6cm ，ACE ECD ∠=∠∵CD 平分BCE ∠∴BCD ECD ∠=∠∴30ACE ECD DCB ︒∠=∠=∠=∴60A ︒∠=∴30B BCD ︒∠==∠ ∴6CD BD AC cm ===故选：A【点睛】本题考查的知识点主要是等腰三角形的性质的“三线合一”性质定理及判定“等角对等边”，熟记并能熟练运用这些定理是解题的关键．13．如图，AOB α∠=，点P 是AOB ∠内的一定点，点,M N 分别在OA OB 、上移动，当PMN ∆的周长最小时，MPN ∠的值为（ ）A ．90α+B ．1902α+C ．180α-D ．1802α-【答案】D【解析】【分析】 过P 点作角的两边的对称点，在连接两个对称点，此时线段与角两边的交点，构成的三角形周长最小.再根据角的关系求解.【详解】解：过P 点作OB 的对称点1P ，过P 作OA 的对称点2P ,连接12PP ，交点为M,N ，则此时PMN 的周长最小，且△1P NP 和△2PMP 为等腰三角形.此时∠12P PP =180°-α；设∠NPM=x°，则180°-x°=2（∠12P PP -x°） 所以 x°=180°-2α 【点睛】求出M,N 在什么位子△PMN 周长最小是解此题的关键.14．如图所示，等边三角形的边长依次为2，4，6，8，……，其中1(0,1)A ，()21,13A --，()31,13A -，4(0,2)A ，()52,223A --，……，按此规律排下去，则2019A 的坐标为（ ）A ．(673,6736733-B ．(673,6736733--C ．(0,1009)D ．(674,6746743- 【答案】A【解析】【分析】 根据等边三角形的边长依次为2，4，6，8，……，及点的坐标特征，每三个点一个循环，2019÷3=673，A 2019的坐标在第四象限即可得到结论．【详解】∵2019÷3=673，∴顶点A 2019是第673个等边三角形的第三个顶点，且在第四象限．第673个等边三角形边长为2×673=1346，∴点A 2019的横坐标为 12⨯1346=673．点A 2019的纵坐标为673-134632⨯=673﹣3点A 2019的坐标为：(673,6736733-．故选：A ．【点睛】本题考查了点的坐标、等边三角形的性质，是点的变化规律，主要利用了等边三角形的性质，确定出点A 2019所在三角形是解答本题的关键．15．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，且∠ABC ＝60°，D 为△ABC 内一点 ，且DA ＝DB ，E 为△ABC 外一点，BE ＝AB ，且∠EBD ＝∠CBD ，连DE ，CE. 下列结论：①∠DAC ＝∠DBC ；②BE ⊥AC ；③∠DEB ＝30°. 其中正确的是（ ）A ．①...B ．①③...C ．② ...D ．①②③【答案】B【解析】【分析】 连接DC,证ACD BCD DAC DBC ∠∠≅=得出①，再证BED BCD ≅，得出BED BCD 30∠∠==︒;其它两个条件运用假设成立推出答案即可.【详解】解：证明：连接DC ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC ，∠ACB=60°，∵DB=DA ，DC=DC ，在△ACD 与△BCD 中，AB BC DB DA DC DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ∴△ACD ≌△BCD （SSS ），由此得出结论①正确；∴∠BCD=∠ACD=1302ACB ∠=︒ ∵BE=AB ，∴BE=BC ，∵∠DBE=∠DBC ，BD=BD ， 在△BED 与△BCD 中，BE BC DBE DBC BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△BED ≌△BCD （SAS ），∴∠DEB=∠BCD=30°．由此得出结论③正确；∵EC ∥AD ，∴∠DAC=∠ECA ，∵∠DBE=∠DBC，∠DAC=∠DBC，∴设∠ECA=∠DBC=∠DBE=∠1，∵BE=BA，∴BE=BC，∴∠BCE=∠BEC=60°+∠1，在△BCE中三角和为180°，∴2∠1+2（60°+∠1）=180°∴∠1=15°，∴∠CBE=30，这时BE是AC边上的中垂线，结论②才正确．因此若要结论②正确，需要添加条件EC∥AD.故答案为：B.【点睛】本题考查的知识点主要是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，通过已知条件作出恰当的辅助线是解题的关键点.16．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC 于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是( )A．AD＝BE B．BE⊥ACC．△CFG为等边三角形D．FG∥BC【答案】B【解析】试题解析：A.ABC和CDE△均为等边三角形，60AC BC EC DC ACB ECD∴==∠=∠=︒，，，在ACD与BCE中，{AC BCACD BCECD CF=∠=∠=，ACD BCE∴≌，AD BE∴=，正确.B.据已知不能推出F是AC中点，即AC和BF不垂直，所以AC BE⊥错误，故本选项符合题意.C.CFG是等边三角形，理由如下：180606060ACG BCA∠=︒-︒-︒=︒=∠，ACD BCE≌，CBE CAD∴∠=∠，在ACG和BCF中，{CAG CBFAC BCBCF ACG∠=∠=∠=∠，ACG BCF∴≌，CG CH∴=，又∵∠ACG=60°CFG∴是等边三角形，正确.D.CFG是等边三角形，60CFG ACB∴∠︒=∠﹦，.FG BC∴正确.故选B.17．如图所示，在等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD=3，则EP＋CP的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由等边三角形的性质得，点B，C关于AD对称，连接BE交AD于点P，则EP+CP=BE最小，又BE=AD，所以EP+CP的最小值是3.故选B.点睛：本题主要考查了等边三角形的性质和轴对称的性质，求一条定直线上的一个动点到定直线的同旁的两个定点的距离的最小值，常用的方法是，①确定两个定点中的一个关于定直线的对称点；②连接另一个定点与对称点，与定直线的交点就是两线段和的值最小时，动点的位置.18．如图，已知等边△ABC的边长为4，面积为3D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一动点，则PE+PC的最小值为（）A．3 B．42C．23D．43【答案】C【解析】【分析】由题意可知点A、点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，由对称的性质可得，PA=PC，故PE+PC=AE，由两点之间线段最短可知，AE即为PE+PC的最小值．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，点E为BC的中点，∴BD⊥AC，EC＝2，连接AE，线段AE的长即为PE+PC最小值，∵点E是边BC的中点，∴AE⊥BC，∴PE+PC的最小值是22-=．AC E C4223-＝22故选C．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．19．如图，平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)，若在x轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】由点A、B的坐标可得到AB=22，然后分类讨论：若AC=AB；若BC=AB；若CA=CB，确定C点的个数．【详解】∵点A、B的坐标分别为(2，2)、B(4，0)．∴AB=22，如图，①若AC=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与x轴有2个交点(含B点)，即(0，0)、(4，0)，∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；②若BC=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与x轴有2个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；③若CA=CB，作AB的垂直平分线与x轴有1个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；综上所述：点C在x轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有4个．故选D．【点睛】本题主考查了等腰三角形的判定以及分类讨论思想的运用，分三种情况分别讨论，注意等腰三角形顶角的顶点在底边的垂直平分线上．20．等腰三角形中有一个角是40°，则另外两个角的度数是（）A．70°，70°B．40°，100°C．70°，40°D．70°，70°或40°，100°【答案】D【解析】分析：由等腰三角形的一个角是40度，可以分为若40°的角是顶角与若40°的角是底角去分析求解，小心别漏解．详解：若40°的角是顶角，则底角为：（180°﹣40°）=70°，∴此时另外两个角的度数是70°，70°；若40°的角是底角，则另一底角为40°，∴顶角为：180°﹣40°﹣40°=100°，∴此时另外两个角的度数是100°，40°．∴另外两个角的度数是：70°、70°或40°、100°．故选：D．点睛：此题考查了等腰三角形的性质．解题的关键是注意分类讨论思想的应用，注意别漏解．。
吉林省长春市宽城区2018—2019学年度上期八年级数学月考试卷
宽城区八年级上册数学月考试卷2018年9月 一、选择题（每小题3分，共24分）1．计算42a a ⋅的结果是 （ ） （A ）4a ． （B ）5a ． （C ）6a ．（D ）8a ．2．计算2424a a ÷-的结果是 （ ） （A ）22a -． （B ）22a ． （C ）32a ． （D ）32a -．3．下列计算正确的是 （ ） （A ）2325a a a +=． （B ）23622a a a ⋅=． （C ）532)(a a =． （D ）222(2)4ab a b =．4．若( )·(-3xy 2)=-6x 2y 3，则括号内应填的代数式是 （ ）（A ）2x ． （B ）2xy ． （C ）-2xy ． （D ）3xy ．5．若)1)((-+x m x 的计算结果中不含x 的一次项，则m 的值是 （ ） （A ）1． （B ）-1． （C ）2．（D ）-2．6．下面是一位同学做的四道题：①(a +b )2=a 2+b 2，②(-2a 2)2=-4a 4，③a 5÷a 3=a 2，④a 3•a 4=a 12．其中做对的一道题的序号是 （ ） （A ）①． （B ）②． （C ）③． （D ）④．7.多项式x x 43-分解因式的结果是 （ ） （A ）)4(2-x x ． （B ）)2)(2(-+x x x ． （C ）)2)(2(x x x -+．（D ）2)2(-x x ．8．若3=-b a ,522=+b a ,则ab 的值为 （ ） （A ）1．（B ）-1． （C ） （D ）-2．二、填空题（每小题3分，共18分）9.计算：=45)(m .11．分解因式：762-+x x = ． 12．若ab =a +b +1，则(a -1)(b -1)= ． 13．若2x =5，2y =3，则22x +y = ．14．在边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形()a b >，再沿虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯形，如图②．根据这两个图形的面积关系，用等式表示是 ．三、解答题（本大题共9小题，共78分）15.（12分）把下列多项式分解因式：（1）3x 2-3y 2． （2）2232a b ab b ++． （3）1)3)(1(+--m m ．16.（12分）计算：（1）ab ab b a b a 2)64(3223÷-+． （2）)12)(23(2+-+x x x ．（3）(x -2y )(x +2y )-(2y -x )2．17.（6分））某同学化简a (a +2b )-(a +b )(a -b )出现了错误，解答过程如下：原式=a 2+2ab -(a 2-b 2) （第一步）=a 2+2ab -a 2-b 2 （第二步） =2ab -b 2 . （第三步）（1）该同学解答过程从第 步开始出错，错误原因是 ． ① ②bb b18.（7分）解不等式：)5)(2()3)(6()32(4----->-x x x x x ．19．（7分）先化简，再求值： [2(x +y )]2-(x +2y )(2y -x )-4x 2，其中x =-2，y =43.20.（7分）小红家有一块L 形的菜地，要把L 形的菜地按如图所示分成两块面积相等的梯形，种上不同的蔬菜.这两个梯形的上底都是a m ，下底都是b m ，高都是(b －a ) m ． （1）求小红家这块L 形菜地的面积.（用含a 、b 的代数式表示） （2）当a ＝10，b ＝30时，求小红家这块L 形菜地的面积.21．（7分）给你若干个长方形和正方形的卡片，如图所示，请你运用拼图的方法，选取相应种类和数量的卡片，拼成一个大长方形，使它的面积等于a 2＋3ab ＋2b 2，并根据你拼成的图形分解因式：a 2＋3ab ＋2b 2.22．（8分）有一张边长为a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a 2+2ab +b 2=(a +b )2．对于方案一，小明是这样验证的：a 2+ab +ab +b 2=a 2+2ab +b 2=(a +b )2．请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程． 方案二：方案三：23．(12分) （1）你能求出()()999897211a a a a a a -+++⋅⋅⋅+++的值吗？遇到这样的问题，我们可以先从简单的情况入手，分别计算下列各式的值：()()11a a -+=_______________；()()211a a a -++=_______________；()()3211a a a a -+++=_______________；… 由此，我们可以得到()()999811a a a a -++⋅⋅⋅++=_______________.（2）利用（1）的结论，完成下面的计算： 1991981972222221+++⋅⋅⋅++.宽城区八年级数学月考试题答案及评分标准2018年9月一、1．C 2．A 3．D 4．B 5．A 6．C 7．B 8．D 二、9．20m 10．x 2+6x +9 11．(x -1)(x +7) 12．2 13．75 14．a 2-b 2=(a +b )(a -b ) 三、15．（1）原式=3(x 2-y 2)=3(x +y )(x -y )． （4分） （2）原式=b (a 2+2ab +b 2)=b (a +b )2． （4分） （3）原式=m 2-3m -m +3+1=m 2-4m +4=(m -2)2． （4分） 16.（1）原式=2a 2+3ab -21b 2． （4分）（2）原式= 6x 3-3x 2+3x +4x 2-2x +2 （3分） =6x 3+x 2+x +2． （4分） （3）原式=x 2-4y 2-(4y 2-4xy +x 2) （2分）= x 2-4y 2-4y 2+4xy -x 2 =4xy -8y 2． （4分）17．（1）二 去括号时没有变号 （2分）（2）原式=a 2+2ab -(a 2-b 2) （4分）=a 2+2ab -a 2+b 2=2ab +b 2． （6分）18．8x -12>x 2-9x +18-(x 2-7x +10) （3分）8x -12>x 2-9x +18-x 2+7x -108x -12>8-2x （5分） 10x >20x >2． （7分）19.原式=4(x 2+2xy +y 2)-(4y 2-x 2)-4x 2 （2分）=4x 2+8xy +4y 2-4y 2+x 2-4x 2=8xy +x 2． （4分）当x =-2，y =43时，原式=8412)2(43)2(82-=+-=-+⨯-⨯． （7分）20．（1）))((212a b b a -+⨯⨯（2分）（2）当a ＝10，b ＝30时，原式=302-102=800(m 2)．所以小红家这块L 形菜地的面积为800m 2. （7分）21．（4分）a 2＋3ab ＋2b 2＝(a ＋b )(a ＋2b ) . （7分）22．方案二：a 2+ab +(a +b )b =a 2+ab +ab +b 2=a 2+2ab +b 2=(a +b )2. （4分）方案三：2222)(2)(212b a b ab a b b a a a +=++=++⨯+. （8分）23．（1）12-a 13-a 14-a 1100-a （8分）（2）1991981972222221+++⋅⋅⋅++=)12(-⨯（1991981972222221+++⋅⋅⋅++） （10分）=12200-. （12分）。
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长春宽城区2018-2019学年初中数学三角形单元测试题数学2018.7本试卷共6页，120分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．如图，将直角三角形ABC折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，若∠C=90°，∠A=35°，则∠DBC的度数为（）A．40°B．30°C．20°D．10°2．下列图形中，能确定∠1＞∠2的是（）A．B．C．D．3．一个n边形的内角和为360°，则n等于（）A．3B．4C．5D．64．如图，将一个三角形剪去一个角后，∠1+∠2=240°，则∠A等于（）A．45°B．60°C．75°D．80°5．一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（）A．正六边形B．正八边形C．正十边形D．正十二边形6．在△ABC中，已知，则三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形状无法判定7．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长长6cm，则AB与AC的差为（）A．2cm B．3cm C．6cm D．12cm8．下列图形不具有稳定性的是（）A．（A）B．（B）C．（C）D．（D）二、填空题共6小题，每小题3分，共18分。
9．如图，BC⊥ED于点O，∠A=50°，∠D=20°，则∠B=_____度．10．已知点是的重心，是中线，，那么________．11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A与∠B的平分线相交于O，则∠AOB＝_________. 12．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BE∥AC，∠BDE＝100°，∠BAD＝70°，则∠E＝_____________.13．已知等腰三角形的腰长是底边长的，一边长为11cm，则它的周长为________. 14．如图①，点E、F分别为长方形纸带ABCD的边AD、BC上的点，∠DEF=19°，将纸带沿EF折叠成图②（G为ED和EF的交点，再沿BF折叠成图③（H为EF和DG的交点），则图③中∠DHF=_____°三、解答题共10小题，15-18题6分，19题7分，20、21题8分，22题9分，23题10分，24题12分，共78分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：（习题回顾）已知：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE=∠CEF；（变式思考）如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；（探究廷伸）如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD=∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．16．在一个钝角三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“智慧三角形”．如图，∠MON=60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A 为端点作射线AD，交射线OB于点C．（1）∠ABO的度数为°，△AOB （填“是”或“不是”） “智慧三角形”；（2）若∠OAC=20°，求证：△AOC为“智慧三角形”；（3）当△ABC为“智慧三角形”时，求∠OAC的度数．17．如图，在△ABC中，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的角平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E（1）填空：①如图1，若∠B=60°，则∠E= ；②如图2，若∠B=90°，则∠E= ；（2）如图3，若∠B=α，求∠E的度数；（3）如图4，仿照（2）中的方法，在（2）的条件下分别作∠EAB与∠ECB的角平分线，且两条角平分线交于点G，求∠G的度数．18．如图，∠BAD=∠CBE=∠ACF，∠FDE=64°，∠DEF=43°，求△ABC各内角的度数．19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC=60°，∠ABE=25°．求∠DAC的度数．20．如图，在直角坐标系中，点A，B分别在射线Ox，Oy上移动，BE是∠ABy的角平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C,试问∠ACB的大小是否为定值？请给出证明。
21．如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，CD平分∠ACB,求∠ACD的度数。
22．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D．若∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5，E为线段BD 上任一点．（1）试求∠ABD的度数；（2）求证：∠BEC＞∠A．23．（1）如图①所示，∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系？为什么？（2）如图②若把△ABC纸片沿DE点折叠当点A落在四边形BCED内部时，则∠A与∠α+∠β之间有一种数量关系始终保持不变，请写出这个规律并说明理由．24．小明在求一个多边形的内角和时，由于疏忽，把一个内角加了两遍，而求出的结果为2004°，请问这个内角是多少度？这个多边形是几边形？参考答案1．C【解析】【分析】依据三角形内角和定理，即可得到∠ABC=55°，由折叠可得：∠A=∠ABD=35°，进而得到∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=20°．【详解】∵∠C=90°，∠A=35°，∴∠ABC=55°，由折叠可得：∠A=∠ABD=35°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=55°﹣35°=20°．故选C．【点睛】本题考查的是折叠的性质、轴对称的性质以及直角三角形的性质，找准对应关系、灵活运用定理和性质是解题的关键．2．C【解析】【分析】分别根据对顶角相等、平行线的性质、三角形外角的性质、直角三角形的性质对四个选项进行逐一判断即可．【详解】A．∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1=∠2，故本选项错误；B．若两条直线平行，则∠1=∠2，若所截两条直线不平行，则∠1与∠2无法进行判断，故本选项正确；C．∵∠1是∠2所在三角形的一个外角，∴∠1＞∠2，故本选项正确；D．∵已知三角形是直角三角形，∴由同角的余角相等可判断出∠1=∠2．故选C．【点睛】本题考查的是对顶角相等、平行线的性质、三角形外角的性质及直角三角形的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．3．B【分析】n边形的内角和是（n-2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求n．【详解】根据n边形的内角和公式，得：（n-2）•180=360，解得n=4．故选B．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．4．B【解析】【分析】根据四边形内角和为360°，得∠B+∠C的度数，由三角形内角和为180°，得∠A度数.【详解】∠B+∠C=360－（∠1+∠2）=120°，∠A=180°－（∠B+∠C）=60°.【点睛】本题考察解三角形，解题的关键是利用多边形内角和的度数求几个角的和，不必单独求角. 5．C【解析】【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案.【详解】∵360°÷36°=10，∴正多边形是正十边形.故选C.【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，熟练掌握多边形内角和外角是本题解题的关键.6．B【分析】利用三角形内角和定理和已知条件列方程求解，再判断形状.【详解】由题意，设∠C=6x，由∠B=4x，∠A=2x，则6x+4x+2x=180°,∴x=15°,∴最大角为∠C=6x=90°，则三角形的形状是直角三角形.故选B.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是本题解题的关键.7．C【解析】【分析】根据三角形的周长和中线的定义进行解题．【详解】∵AD是△ABC的中线，∴BD=BC.∴△ABD比△ACD的周长大6cm，即AB与AC的差值为6cm．故选C．【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形是本题解题的关键．8．A【解析】【分析】根据三角形具有稳定性进行解题．【详解】A.由一个三角形和一个矩形组成，不具有稳定性；B.由两个三角形组成，具有稳定性；C.由三个三角形组成，具有稳定性；D.由六个三角形组成，具有稳定性．故选A．本题考查了三角形具有稳定性，熟练掌握三角形性质是本题解题的关键．9．20°．【解析】【分析】已知∠A=50°，∠D=20°，根据三角形的一个外角等于与其不相邻的两内角和，可知∠BED=70°，又BC⊥ED于点O，根据直角三角形两锐角互余即可得出∠B的度数．【详解】根据题意，在△AED中，∠A=50°，∠D=20°，∴∠BEO=∠A+∠D=70°，∵BC⊥ED于点O，∴∠BOE=90°，∴∠B=90°-∠BEO=20°，故答案为：20°．【点睛】本题考查了三角形外角的性质以及直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键.10．【解析】【分析】根据三角形重心的性质解答即可.【详解】∵G是△ABC的重心，且AD是中线∴AG=2GD=6，即DG=3．故答案为：3.【点睛】本题考查的是三角形重心的性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．11．135°【解析】【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可解答．【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，又∠A与∠B的平分线相交于点O，∴∠1+∠2= ∠CAB+∠ABC=(∠CAB+∠ABC )=45°，∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=135°．故答案为：135°．【点睛】本题考查了角平分线的定义和三角形内角和定理，证得∠1+∠2=(∠CAB+∠ABC)是解决问题的关键．12．50°【解析】【分析】利用三角形的外角和定理求得∠ABC的度数，然后根据等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，则∠CAD的度数即可得到，然后根据平行线的性质求得∠E 的度数即可.【详解】∵∠BDE是△BAD的外角，，∠BDE＝100°，∠BAD＝70°∴∠ABC=30°，∵AB＝AC，∴∠ABC=∠ACB=30°∴∠BAC=120°，∠CAD=50°，∵AC//BE∴∠E=∠CAD=50°故答案为50°【点睛】本题考查三角形的内角和、外角和以及等腰三角形的性质，平行线的性质的综合应用，正确求得∠CAD的度数是解题关键．13．或【解析】【分析】根据题意，边长为11cm，可能为腰，也可能为底边，分两种情况讨论并进行验证即可.【详解】当腰长11cm时，三角形周长为：11+11+11=cm ，当底边长11cm时，三角形周长为：2+11=cm ，经检验：腰为11cm，底边为cm；底边为11cm，腰为cm 都可构成三角形，符合题意.故答案为：cm或cm【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，并对各种情况是否能构成三角形进行验证是解题的关键．14．57【解析】【详解】∵四边形ABCD为长方形，∴AD∥BC，∴∠BFE=∠DEF=19°，根据折叠的性质可得，∠GEF=∠DEF=19°，则∠DGF=∠GEF +∠GFE=38°，则∠DHF=∠DGF+∠GFE=38°+19°=57°.故答案为57.15．【习题回顾】证明见解析；【变式思考】∠CEF=∠CFE，理由见解析；【探究思考】∠M+∠CFE=90°，理由见解析.【解析】【分析】根据三角形的外角的性质证明；【变式思考】根据角平分线的定义、直角三角形的性质解答；【探究廷伸】同（1）、（2）的方法相同．【详解】∵∠ACB=90°，CD是高，∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°，∴∠B=∠ACD．∵AE是角平分线，∴∠CAF=∠DAF．∵∠CFE=∠CAF+∠ACD∠CEF=∠DAF+∠B，∴∠CEF=∠CFE；变式思考：∠CEF=∠CFE．证明如下：∵AF为∠BAG的角平分线，∴∠GAF=∠DAF．∵CD为AB边上的高，∴∠ACB=90°，∴∠ADF=∠ACE=90°．又∵∠CAE=∠GAF，∴∠CEF=∠CFE；探究思考：∠M+∠CFE=90°．证明如下：∵C、A、G三点共线AE、AN为角平分线，∴∠EAN=90°．又∵∠GAN=∠CAM，∴∠MAE=90°，∴∠M+∠CEF=90°．∵∠CEF=∠EAB+∠B，∠CFE=∠EAC+∠ACD，∠ACD=∠B，∴∠CEF=∠CFE，∴∠M+∠CFE=90°．【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．16．（1）30；是；（2）证明见解析；（3）∠OAC的度数为80°或52.5°．【解析】【分析】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；（2）根据“智慧三角形”的概念证明即可；（3）分∠ABC=3∠BAC、∠BCA=3∠BAC两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算．【详解】（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB=90°，∴∠ABO=90°﹣∠MON=30°．∵∠OAB=3∠ABO，∴△AOB为“智慧三角形”．故答案为：30；是；（2）∠AOC=60°，∠OAC=20°，∴∠AOC=3∠OAC，∴△AOC为“智慧三角形”；（3）∵∠ABO=30°，∴∠BAC+∠BCA=150°．∵△ABC为“智慧三角形”，当∠ABC=3∠BAC时，∠BAC=10°，∴∠OAC=90°－10°=80°；当∠BCA=3∠BAC时，∠BAC=37.5°，∴∠OAC=90°－37.5°=52.5°．综上：当△ABC为“智慧三角形”时，求∠OAC的度数为80°或52.5°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．17．（1）①30°；②45°；（2）∠E=α；（3）∠G =α．【解析】【分析】（1）①根据三角形的外角性质可得∠DAC﹣∠ACB=∠B=60°，再根据角平分线的定义可得∠F AC﹣∠ACE=30°，可求∠E的度数；②根据三角形的外角性质可得∠DAC﹣∠ACB=∠B=90°，再根据角平分线的定义可得∠F AC ﹣∠ACE=45°，可求∠E的度数；（2）根据三角形的外角性质可得∠DAC﹣∠ACB=∠B=α，再根据角平分线的定义可得∠F AC﹣∠ACE=α，可求∠E的度数；（3）根据角平分线的定和义可得三角形的外角性质可得∠G=∠HAC﹣∠ACG=∠F AC﹣∠ACE=（∠F AC﹣∠ACE），可求∠G的度数．【详解】（1）①∠DAC﹣∠ACB=∠B=60°．∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，∴∠F AC=∠DAC，∠ACE=∠ACB，∴∠E=∠F AC﹣∠ACE=∠B=30°；②∠DAC﹣∠ACB=∠B=60°．∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，∴∠F AC=∠DAC，∠ACE=∠ACB，∴∠E=∠F AC﹣∠ACE=∠B=45°；（2）∠DAC﹣∠ACB=∠B=α．∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，∴∠F AC=∠DAC，∠ACE=∠ACB，∴∠E=∠F AC﹣∠ACE=∠B=α；（3）∵AG，CG分别是∠EAB与∠ECB的角平分线，∴∠G=∠HAC﹣∠ACG=∠F AC﹣∠ACE=（∠F AC﹣∠ACE）=×∠B=α．【点睛】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质并准确识图是解题的关键，要注意整体思想的利用．18．△ABC各内角的度数分别为64°、43°、73°．【解析】【分析】根据三角形外角性质得到∠FDE=∠BAD+∠ABD，而∠BAD=∠CBE，则∠FDE=∠BAD+∠CBE=∠ABC=64°；同理可得∠DEF=∠ACB=43°，然后根据三角形内角和定理计算∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB即可．【详解】∵∠FDE=∠BAD+∠ABD，∠BAD=∠CBE，∴∠FDE=∠BAD+∠CBE=∠ABC，∴∠ABC=64°；同理：∠DEF=∠FCB+∠CBE=∠FCB+∠ACF=∠ACB，∴∠ACB=43°；∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣64°﹣43°=73°，∴△ABC各内角的度数分别为64°、43°、73°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形外角的性质，熟记三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．19．∠DAC=20°．【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠ABE，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后根据∠DAC=∠BAC﹣∠BAD计算即可得解．【详解】∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°．∵AD是BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣∠ABC=90°﹣50°=40°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=60°﹣40°=20°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．20．∠ACB的大小不发生变化，且始终保持45º【解析】【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解.【详解】在纵轴B点上方任取一点为F，由BE平分∠ABF、CA平分∠OAB知2∠EBA=∠ABF、∠OAB=2∠CAB，根据△AOB外角性质得∠ABF=∠AOB+∠OAB，即∠ABF=90°+∠OAB，再根据△ACB外角性质得∠EBA=∠C+∠CAB，即90°+∠OAB=2（∠C+∠CAB），从而知90°+∠OAB=2∠C+∠OAB，即可得∠C=45°．【点睛】本题考查的是三角形内角与外角的关系，解答此题目要注意:①求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件;②三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决.21．∠ACD=30°【解析】【分析】由∠A和∠B的度数得∠C的度数，由CD平分∠ACB得∠ACD的度数.【详解】∠C=180°-（∠A+∠B）=60°，°.【点睛】本题考察解三角形，解题的关键为应用三角形内角和为180°和角平分线的定义. 22．（1）45°；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）依据三角形的内角和是180°，可求∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°．又BD⊥AC，所以∠ABD=45°．（2）依据三角形的外角大于与它不相邻的任一内角，可证∠BEC＞∠BDC＞∠A，即∠BEC＞∠A．【详解】（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90°-∠A=45°；（2）∵∠BEC是△CDE的外角，∴∠BEC＞∠BDC，∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC＞∠A，∴∠BEC＞∠A．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件；三角形的外角大于与它不相邻的任一内角.23．（1）∠1+∠2=∠B+∠C;（2）规律：α+β=2∠A．理由见解析【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和是180°，解答即可；（2）根据题（1）的结论和四边形的内角和是360°解答即可．【详解】（1）∠1+∠2=∠B+∠C，理由如下：∵如图1，在△AED和△ACB中，∠1+∠2+∠A=∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和等于180°），∴∠1+∠2=∠B+∠C（等量代换）；（2）规律：α+β=2∠A，理由如下：∵在△ADE中，∠1+∠2=180°﹣∠A（三角形内角和等于180°），在四边形BCED中，∠BDE+∠DEC+∠B+∠C=360°（四边形内角和等于360°），又∵根据题（1）得∠1+∠2=∠B+∠C（已证），∴2（∠1+∠2）+α+β=360°（等量代换），∴2（180°﹣∠A）+α+β=360°（等量代换），∴α+β=2∠A．【点睛】本题考查图形的翻折变换和三角形，四边形内角和定理，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．24．24度，十三边形．【解析】【分析】n边形的内角和是（n-2）•180°，因而内角和一定是180度的倍数．而多边形的内角一定大于0，并且小于180度，因而内角和再加上一个内角的值，所得结果除以180度，所得数值比边数n-2要大，且小于n-1，则用2004°除以180所得值的整数部分，加上2就是多边形的边数．【详解】设这个多边形的边数为x，依题意有（x﹣2）•180=2004，解得x=13，因而多边形的边数是13，该多边形为十三边形，内角和是（13﹣2）×180°=1980°，因而这个内角是2004﹣1980=24°，答：这个内角是24度，这个多边形是十三边形.【点睛】本题考查了多边形的内角、多边形的内角和，正确理解多边形的内角和是180度的整数倍，以及多边形的角的范围是解题的关键．。