常用的等价无穷小及泰勒公式
三角函数极限等价无穷小公式
三角函数极限等价无穷小公式一、三角函数三角函数是数学中非常重要的一类函数，它们的定义涉及到单位圆上的点和角度的概念。
常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)等。
1. 正弦函数sin(x)：在单位圆上，以原点为圆心，长度为1的线段与x轴与x轴正向所夹的角度为x时，这个线段的y坐标即为sin(x)。
2. 余弦函数cos(x)：在单位圆上，以原点为圆心，长度为1的线段与x轴与x轴正向所夹的角度为x时，这个线段的x坐标即为cos(x)。
3. 正切函数tan(x)：在单位圆上，以原点为圆心，长度为1的线段与x轴与x轴正向所夹的角度为x时，这个线段的y坐标与x坐标的比值即为tan(x)。
三角函数具有很多重要的性质和关系，例如：1. 周期性：sin(x)和cos(x)的周期都是2π，即sin(x+2π)=sin(x)，cos(x+2π)=cos(x)。
而tan(x)的周期则是π，即tan(x+π)=tan(x)。
2. 互余关系：sin(x)和cos(x)之间互为相反数，即sin(x)=-cos(x)，cos(x)=-sin(x)。
3. 奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，cos(-x)=cos(x)。
而tan(x)则是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。
二、极限极限是描述函数趋于一些值的重要概念，它在数学中具有广泛的应用。
极限的定义是：当自变量x的取值逐渐靠近一些值a时，函数f(x)的取值逐渐接近一些值L，这个值L就是f(x)当x趋于a时的极限。
常见的极限计算方法包括：1. 基本极限：例如lim(x→0) sin(x)/x=1，lim(x→0)(1+1/x)^x=e等。
2. 夹逼原理：如果函数f(x)在a的一些邻域内夹在两个趋于L的函数之间，那么f(x)的极限也是L。
例如lim(x→0) x^2sin(1/x)=0。
3.等价无穷小：如果lim(x→a) f(x)=0，那么lim(x→a) g(x)=0，我们可以称函数g(x)是函数f(x)的等价无穷小。
高数常用等价无穷小
常用等价无穷小
常用等价无穷小替换规定：可用于乘、除。
加、减在一定情况下仍然可用，下文将给出加、减等价代换的公式
● 当x →0时 乘除
1. Sinx=x 推广 ：sin 狗=狗
2. arcsinx=x arcsin 狗=狗
3. tanx=x tan 狗=狗
4. arctanx=x arctan 狗=狗
5. ln （1+x ）=x ln(1+狗)=狗
6. e x −1=x e 狗−1=狗
7. （1+x ）a -1=ax （1+x ）a
-1=a 狗
8. 1-cosx=12x 2 1-cos 狗=12狗2 注：“狗”代表任意数，例如：x+3、x n 等等
● 当x →0时 加减
1. X+sinx=2x x+arcsinx=2x
2. x-sinx=16x 3 x-arcsinx =-16
x 3 3. 1-cos =12x 2
注：1、之所以能如此代换，是因为在泰勒展开式中，有以下的展开式。
2、在极限的计算中，要抓大头（即极限趋向于0速度越快的一项，可以忽略不计），所以计算+法时，省略去x 后的高阶无穷小；--法计算时，由于x 项被减去，所以得到x 3。
这也正是书本上描述，加减法要慎重使用的原因
当x 0时
sinx=x - 1
x3+0(x3)0(x3)表示佩亚诺余项
6
Arcsinx= x+1
x3+0(x3)
6
Tanx= x+1
x3+0(x3)
3
Arctanx= x-1
x3+0(x3)
3
x2+0(x2)
Cosx= 1-1
2。
泰勒(Taylor)公式
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) 2 f ( x0 ) 1! 2! f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 3 ( x x0 ) ( x x0 ) n 3! n!
称为函数
f ( x) 按 ( x x ) 的幂展开的 N 阶泰勒公式。
f ( n 1) ( ) Rn ( x) ( x x0 ) n 1 其中： (n 1)!
这里
是 ( x, x0 ) 之间的某个值。
二、 泰勒公式： 如果函数
f ( x) 在含有 x 0
的某个开区间（a,b）内具有知道
（n+1）阶的导数，则当 x ( a, b) 时，近似多项式：
0
Rn ( x) 称作拉格朗日型余项。
三、 误差 当 x x0
Rn ( x) 0 x x0 ( x x )n 0
lim
误差 Rn ( x) 是比 ( x x0 ) 的高阶无穷小，即：
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Rn ( x) o[( x x0 )n ]
一、 泰勒中值定理： 如果函数
f ( x) 在含有 x 0
直到 的某个开区间（a,b）内具有知道
（n+1）阶的导数，则当 x ( a, b) 时， 个
f ( x) 可以表示成一
x x0 的一个 n 次多项式与一个余项的和的形式：
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) 2 1! 2! f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 3 ( x x0 ) ( x x0 ) n R （ n x） 3! n! f ( x0 )
专升本高等数学常用公式
1.偶函数关于y 轴对称。
f(-x)=f(x).奇函数关于原点对称。
f(-x)=-f(x)2.等价无穷小：sinx~x tanx~x arctanx~x arcsinx~x 1-cosx~~22x ln(1+x)~x1-x e ~x1-xa ~xlnaax x a→-+1)1(3.若)()(0~lim 0x f x f x x =称f(x)在点x 处连续。
4.若)0()0(00+≠-x f x f 时，x 为)(x f 的跳跃间断点。
)()(0lim 0x f A x f x x ≠=→或f(x)在点0x 处无定义，则点x 为可去间断点。
5.零点定理：f(a)f(b)＜0，则f(ζ)=06.000)()()(limx x x f x f x f x x --='→ h x f h x f x f x x )()()(000lim-+='→7.求导公式：x x 2sec )(tan ='x x 2csc )(cot -='x x x cot csc )(csc -='x x x tan sec )(sec ='xxaa a •='ln )(xx ee =')(a x x a ln 1)(log =' 211)(arcsin x x -='211)(arccos x x --='211)(arctan x x +='211)cot (x x arc +-=' x x f x x f x f x ∆'-∆+'=''→)()(lim )(08.N 阶导数公式: 1!)1()(+-=⇒=n nna ax n x x ynn n x n y x y )1()!1()1()1ln(1+--=⇒+=-9.罗尔定理：闭连、开导、两头平 即f(a)=f(b). 10.拉格朗日中值定理：))(()()(a b f a f b f -'=-ξ11.柯西中值定理：)()()()()()(ξξg f b g a g b f a f ''=--12.泰勒公式：10100300200000)()!1()()(!)()(!3)()(!2)())(()()(++-+=⇒+-++-'''+-''+-'+=n n n n nn x x n f x R x R x x n x f x x x f x x x f x x x f x f x f ξ13.旋转体体积：以x 轴旋转：dx x f V b a2)]([⎰=π 。
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第 1 章 函数与极限一. 函数的概念1. 两个无穷小的比较设lim f (x ) = 0, lim g (x ) = 0 且lim f (x ) = l g (x )（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[ g (x ) ]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2. 常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ， arcsin x ~ x ， arccos x ~ x ，1− cos x ~ x ^2 / 2 ， e x −1 ~ x ， ln(1+ x ) ~ x ， (1+ x ) -1~ x二．求极限的方法1. 两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若lim g (x ) = A , lim h (x ) = A ，则lim f (x ) = A2. 两个重要公式公式 1 lim sin x = 1x →0 x公式 2 lim(1+ x )1/ x = e x →03. 用无穷小重要性质和等价无穷小代换4. 用泰勒公式当 x → 0 时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次2 3 n 3 5 2 4 e x = 1+ x + x + 2! x +... + 3! x + o (x n ) n ! sin x = x - x +3!x +... + (-1)n 5!x 2n +1 (2n +1)! + o (x 2n +1 ) cos x = 1- x + 2! x +... + (-1) 4!n x 2n 2n ! + o (x 2n )ln(1+ x ) = x - x 2 + x 3 3... + (-1) n +1 x n n + o (x n ) (1+ x ) = 1+x +(-1) x 2 +... + (-1)...(- (n -1)) x n + o (x n ) arctan x = x - x 3 + x 5 5 2! -... + (-1) n +1x 2n +1 2n +1 n ! + o (x 2n +1 ) 5. 洛必达法则定理 1 设函数 f (x ) 、 F (x ) 满足下列条件：（1） lim f (x ) = 0 ， lim F (x ) = 0 ；x → x 0 x → x 0（2） f (x ) 与 F (x ) 在 x 0 的某一去心邻域内可导，且 F '(x ) ≠ 0 ； （3） lim f '(x ) 存在（或为无穷大），则lim f (x ) = lim f '(x ) x → x 0 F '(x ) x → x 0 F (x ) x → x 0 F '(x ) 这个定理说明：当limf '(x ) 存在时， lim f (x ) 也存在且等于lim f '(x ) ； x → x 0 F '(x ) x → x 0 F (x ) x → x 0 F '(x ) 当lim f '(x ) 为无穷大时， lim f (x ) 也是无穷大．x → x 0 F '(x ) x → x 0 F (x )这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（ L 'H ospital ）法则.∞ 型未定式∞定理 2 设函数 f (x ) 、 F (x ) 满足下列条件：（1） lim f (x ) = ∞ ， lim F (x ) = ∞ ；x → x 0 x → x 0 （2） f (x ) 与 F (x ) 在 x 0 的某一去心邻域内可导，且 F '(x ) ≠ 0 ； （3） lim f '(x ) 存在（或为无穷大），则 lim f (x ) = lim f '(x )x → x 0 F '(x )x → x 0 F (x ) x → x 0 F '(x ) 注：上述关于 x → x 0 ∞ 型同样适用．∞时未定式∞型的洛必达法则，对于 x → ∞ 时未定式 ∞ 使用洛必达法则时必须注意以下几点： （1） 洛必达法则只能适用于“ 0 ”和“ ∞ ”型的未定式，其它的未定式须 0 ∞2 30 先化简变形成“ 0 ”或“ ∞”型才能运用该法则； 0 ∞（2） 只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3） 洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6. 利用导数定义求极限基本公式lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) = ∆xf ' (x ) (如果存在） 7. 利用定积分定义求极限1 n k 1基本格式lim n ∑ f ( n ) = ⎰ f (x )dx （如果存在） n →∞ k =1 03. 函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1） 第一类间断点设 x 0 是函数 y = f (x )的间断点。
常用的等价无穷小替换公式
常用的等价无穷小替换公式等价无穷小替换公式是微积分中常用的工具，用于将一个无穷小量替换成另一个与之等价的无穷小量，以便更方便地进行计算和求解。
下面是一些常见的等价无穷小替换公式。
1.当x趋于0时，有以下等价无穷小替换公式：- sin(x) ≈ x- tan(x) ≈ x- arcsin(x) ≈ x- arctan(x) ≈ x- ln(1+x) ≈ x-e^x-1≈x- (1+x)^n -1 ≈ nx （n为常数）2.当x趋于无穷大时，有以下等价无穷小替换公式：-e^x≈∞（指数函数增长非常快）- ln(x+1) ≈ x- sin(x)/x ≈ 1- tan(x)/x ≈ 1- arcsin(x)/x ≈ 1- arctan(x)/x ≈ 13.一些其他常见等价无穷小替换公式：- x^a - 1 ≈ ax^(a-1)（a为常数）-x^a≈∞（当x趋于无穷大且a为正数）-x^a≈0（当x趋于0且a为负数）- 1 - cos(x) ≈ x^2/2- ln(x) ≈ x^a （当 x 趋于无穷大且 a 为正数）这些等价无穷小替换公式的应用可以简化复杂的数学计算和求解问题。
需要注意的是，这些公式只是在特定的条件下成立，并不适用于所有情况，因此在使用时需要根据具体问题进行判断和决策。
除了上述列举的常见等价无穷小替换公式，还有一些与泰勒级数展开相关的公式也可以用于等价无穷小替换：-当x趋于a时，有以下泰勒级数的等价无穷小替换公式：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...-当x趋于无穷大时，有以下泰勒级数和欧拉-麦克劳林公式的等价无穷小替换公式：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...这些泰勒级数展开的等价无穷小替换公式可以用于近似计算函数的值和导数的值。
高等数学求极限的方法
高等数学求极限的方法对于求解极限的方法可以归结为以下几类: (1)常用等价无穷小记住以下常用等价无穷小1+tan1sinxx,，例1 求极限limx,0xx(1cos),(1+tan1sin)(1+tan1sin)xxxx,，，，【解】原式=limx,0xxxx(1cos)(1+tan1sin),，，tanxsinx, ,limx,0xxxx(1cos)(1+tan1sin),，，tan(1cos)xx, ,limx,0x(1cos)(1+tan1sin),，，xxxx1 ,,limx,02x(1010)，，，例求下列极限21cos，x2x4()1,xe,12wIIw(I)lim()lim, ,3,,xx00xln(12)，1cos(1cos),,xx(2)等价无穷小的性质定理:有限个无穷小的代数和仍为无穷小.定理:有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论:常数与无穷小的乘积是无穷小.推论:有限个无穷小的乘积也是无穷小.1【解】为有界量，原式xx,, ？,lim1cos0,limsin0xx,,00x【注】本题也可以利用常用的等价无穷小公式.(3)常用的极限sinsinxxxx,, , 极限不存在limlim1lim0limxxxx,,,,,,00xxxxsinsin 11ln(1)，xxx，,，, ,lim(1)lim(1)lim1xexxx,,,,00xxnnlim1lim1nC, , nn,,,,11xx例4 ，求w=lim(2),,xx(4)极限存在的两个准则夹逼准则(1)如果数列及满足下列条件xyz{},{}{}:nnn,,, ,,,那么数列的极限存在，且yxznyzaxxa(1)(1,2,3,...);(2)limlim,{}lim. nnnnnnn,,,,,,nnn 单调有界准则(2)单调有界数列必有极限.(5)极限的定义(6)洛必达法则【解】(7)变量替换11xAx方法，而 ,，,we2lim(2),,xx01tt，,1(21),xt1/t0xA,，,,,,,,,,，,，lim(21)limlim(12ln2)1ln2,,,,,xtt00xt ，1ln2故wee,,2(8)泰勒公式。
常用十个泰勒展开公式
常用十个泰勒展开公式常用泰勒展开公式如下:1、e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)3、sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+…….(-∞<x<∞)4、cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|这是写在纸上的八个常见的泰勒公式，泰勒公式是等号而不是等价，这就使所有函数转化为幂函数，在利用高阶无穷小被低阶吸收的原理，可以秒杀大部分极限题.常见的泰勒公式泰勒公式:就是用多项式函数去逼近光滑函数.简单来讲，1.泰勒公式能把任意一元方程展开为多项式，方便了计算2.能逼近地计算某些方程的值泰勒级数的重要性体现在以下三个方面:首先，幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易.第二，一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行.第三，泰勒f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2++f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n(泰勒公式，最后一项中n表示n阶导数)泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数。
在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
泰勒公式还对于此处，这里o(x^5)和o(x^6)都是可以的∵sinx继续往后展开的次数为x^7∴可以写o(x^5)，也可以写o(x^6)但是写o(x^6)对这个无穷小的阶更准确通常的展开是分别按x，x，x，..展开的∴如果展开到x^n，那么后面一般就写o(x^n)就可以了。