中考习题——直角三角形与勾股定理

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中考数学直角三角形与勾股定理

专题39直角三角形与勾股定理一、选择题1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是【】A．B．C．D．2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是【】A．20 B．10 C．5 D．5 23. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为【】A．90 B．100 C．110 D．121【答案】C。

【考点】勾股定理的证明。

【分析】如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以，四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7。

所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此，矩形KLMJ的面积为10×11=110。

故选C。

4. 将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠ 的度数是【】A ．45oB ．60oC ．75oD ．90o【答案】 C 。

【考点】三角形的外角性质，直角三角形的性质。

【分析】如图，∵∠1=90°-60°=30°，∴∠α=45°+30°=75°。

故选C 。

5. （2012四川绵阳3分）已知△ABC 中，∠C=90°，tanA=12，D 是AC 上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=【】。

A ．35 BC ．310D【答案】A 。

【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义。

【分析】如图，作DE ⊥AB 于点E 。

∵∠CBD=∠A ，∴BC CD DE 1tanA tan CBD AC BC AE 2=∠====。

直角三角形与勾股定理试题及答案

直角三角形与勾股定理1.下列命题是真命题的是()A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.任意多边形的内角和为360°D.三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是()A.3,4,5B.1,2,3C.6,7,8D.2,3,43.如图K20-1,两个大小形状相同的△ABC和△A'B'C'拼在一起,其中点A与A'重合,点C'落在边AB上,连接B'C.若∠ACB=∠AC'B'=90°,AC=BC=3,则B'C的长为()图K20-1A.33B.6C.32D.214我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为()A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米5.三角形三边长分别为3,4,5,那么最长边上的中线长等于.图K20-26.如图K20-2,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=5,分别以A,B为圆心,大于12AB的长为半径画弧,两弧交点分别为点P,Q,过P,Q两点作直线交BC于点D,则CD的长是.7.如图K20-3,是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌,经测量得到如下数据:AM=4米,AB=8米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则警示牌的高CD为米(结果精确到0.1米,参考数据:2≈1.41,3≈1.73).图K20-38.把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图K20-4所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上,若AB=2,则CD=.图K20-49.如图K20-5,已知AC⊥BC,垂足为C,AC=4,BC=33,将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AD,连接DC,DB.(1)线段DC=;(2)求线段DB的长度.图K20-5参考答案1【答案】D对角线相等的平行四边形是矩形,则选项A不正确;对角线互相垂直平分的四边形是菱形,则选项B不正确;任意多边形的内角和为(n-2)·180°,则选项C不正确;三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半,则选项D正确.2【答案】B3【答案】A由题意得∠CAB=∠C'AB'=45°,△ABC≌△AB'C',∴∠CAB'=90°.由勾股定理得AB=AB'=32,∴B'C=33,故选A.4【答案】A将里换算为千米,则三角形沙田的三边长分别为2.5千米,6千米,6.5千米,因为2.52+62=6.52,所以这个三角形为直角三角形,直角边长为2.5千米和6千米,所以S=12×6×2.5=7.5(平方千米),故选A.5【答案】2.5根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知最长边上的中线长=12×5=2.5.6【答案】1.6连接AD,由作法可知AD=BD,在Rt△ACD中,设CD=x,则AD=BD=5-x,AC=3.由勾股定理得,CD2+AC2=AD2,即x2+32=(5-x)2,解得x=1.6,故答案为1.6.7【答案】2.9首先根据等腰直角三角形的性质可得DM=AM=4米,再根据勾股定理及三角函数可得MC2+MB2=(2MC)2,代入数可得答案.∵AM=4米,∠MAD=45°,DM⊥AM,∴DM=4米,∵AM=4米,AB=8米,∴MB=12米,∵∠MBC=30°,∴BC=2MC,∴MC2+MB2=(2MC)2,即MC2+122=(2MC)2,∴MC=43米,则DC=43-4≈2.9(米).8【答案】3-1过点A作AF⊥BC,垂足为点F,∵AB=AC,∴CF=12BC,∵AB=AC=2,∴AD=BC=B2+B2=2,∴CF=1,∵∠ACB=45°,∴AF=CF=1,∴DF=B2-B2=3,∴CD=DF-CF=3-1.9【答案】解:(1)4(2)∵AC=AD,∠CAD=60°,∴△CAD是等边三角形,∴CD=AC=4,∠ACD=60°,过点D作DE⊥BC于E.∵AC⊥BC,∠ACD=60°,∴∠BCD=30°.在Rt△CDE中,CD=4,∠BCD=30°,∴DE=12CD=2,CE=23,∴BE=3,在Rt△DEB中,由勾股定理得DB=7.。

各地数学中考真题：直角三角形与勾股定理含答案

直角三角形与勾股定理一、选择题1. （ 2016·四川达州· 3 分）如图，在5×5 的正方形网格中，从在格点上的点 A ，B，C，D 中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（）A．B．C．D．【考点】勾股定理的应用．【分析】从点 A ，B ，C， D 中任取三点，找出全部的可能，以及能构成直角三角形的状况数，即可求出所求的概率．【解答】解：∵从点 A，B ，C，D 中任取三点能构成三角形的一共有 4 种可能，此中△ABD ，△ADC ，△ABC 是直角三角形，∴所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为．应选 D．2.（ 2016 ·广东广州）如图2，已知三角形ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE是 AC的垂直均分线，DE交 AB 于 D，连接 CD， CD＝( )A、3B、4C、4.8D、5CEAD B图2［难易］中等［考点］勾股定理及逆定理，中位线定理，中垂线的性质［分析］由于 AB=10,AC=8,BC=8, 由勾股定理的逆定理可得三角形ABC为直角三角形，因为 DE为 AC边的中垂线，因此DE与 AC垂直， AE=CE=4，因此 DE为三角形 ABC 的中位线，1BC=3,再依据勾股定理求出CD=5因此 DE=2［参照答案］D3.（ 2016 年浙江省台州市）如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点点 B 为圆心， AB 长为半径画弧，交PQ 于点 C，以原点 O 为圆心， OC 数轴于点M ，则点 M 对应的数是（）B作 PQ⊥ AB ，以长为半径画弧，交A．B．C．D．【考点】勾股定理；实数与数轴．【分析】直接利用勾股定理得出OC的长，从而得出答案．【解答】解：以以下图：连接OC，由题意可得： OB=2 ， BC=1 ，则AC==，故点 M 对应的数是：．应选： B．4．（2016·山东烟台）如图， Rt△ ABC 的斜边 AB 与量角器的直径恰好重合，B点与 0刻度线的一端重合，∠ABC=40 °，射线 CD 绕点 C 转动，与量角器外沿交于点D，若射线 CD 将△ ABC 切割出以BC 为边的等腰三角形，则点 D 在量角器上对应的度数是（）A．40°B． 70°C． 70°或80°D ．80°或140°【考点】角的计算．=∠ DOB=2 ∠BCD ，【分析】如图，点 O 是 AB 中点，连接 DO ，易知点 D 在量角器上对应的度数只要求出∠ BCD 的度数即可解决问题．【解答】解：如图，点O 是 AB 中点，连接DO ．∵点 D 在量角器上对应的度数=∠DOB=2 ∠BCD ，∵当射线 CD 将△ ABC 切割出以BC 为边的等腰三角形时，∠BCD=40 °或 70°，=∠DOB=2∠BCD=80 °或 140°，∴点 D 在量角器上对应的度数应选 D．5．（ 2016. 山东省威海市， 3 分）如图，在矩形ABCD 中， AB=4 ， BC=6 ，点 E 为点，将△ ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在矩形内点 F 处，连接CF，则 CF 的长为（BC的中）A ．B．C．D．【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）【分析】连接 BF ，依据三角形的面积公式求出∠BFC=90 °，依据勾股定理求出答案．【解答】解：连接 BF ，∵BC=6 ，点 E 为 BC 的中点，∴BE=3 ，又∵ AB=4 ，．BH ，获得BF ，依据直角三角形的判断获得∴AE==5，∴BH=，则BF=，∵FE=BE=EC ，∴∠ BFC=90 °，∴CF==．应选： D．6．（ 2016·江苏连云港）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为 S1、S2、S3；如图 2，分别以直角三角形三个极点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6．此中 S1=16 ，S2=45，S5=11 ，S6=14 ，则 S2+S4=（）A ．86B ．64C ．54D ． 48【分析】分别用AB 、BC 和 AC 表示出 S 1、S 2、S 3，而后依据 AB 2=AC 2+BC 2即可得出 S 1、S 2、 S 3 的关系．同理，得出 S 4、 S 5、 S 6 的关系．【解答】解：如图1， S 1=AC 2， S 2=BC 2， S 3=AB 2．222，∵AB =AC +BC∴S +S =AC 2+BC 2=AB 2=S ，1 2 3如图 2， S 4 =S 5+S 6，∴S 3+S 4=16+45+11+14=86 ．应选 A ．【评论】此题观察了勾股定理、等边三角形的性质．勾股定理：假如直角三角形的两条直角7.（ 2016 ·江苏南京）以下长度的三条线段能构成钝角三角形的是A ．3，4，4B. 3，4，5C. 3，4，6D. 3，4，7答案：C考点：构成三角形的条件，勾股定理的应用，钝角三角形的判断。

2021年九年级中考数学专题训练：直角三角形与勾股定理(含答案)

中考数学专题训练：直角三角形与勾股定理一、选择题1. 下列说法正确的是（）A. 若a b c ，，是ABC ∆的三边，则222a b c +=B. 若a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，则222a b c +=C. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90A ∠=︒，则222a b c +=D. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90C ∠=︒，则222a b c +=2. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，则BC 的长是( )A . 433 B .4 C . 8 3 D . 4 33. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，D 是线段BC 上的动点(不含端点B ，C)，若线段AD 长为正整数．．．，则点D 的个数共有( )A . 5个B . 4个C . 3个D . 2个4.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A. 7,24,25B. 312,412,512 C. 3,4,5 D. 4,712,8125. 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）A.1、2、3B.2223,4,5 1,2,3 3,4,56. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为( )A .7.5平方千米B .15平方千米C .75平方千米D .750平方千米7. 如图，在Rt △ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD ＝( ) A . 3 B . 4 C . 4.8 D . 58. 已知ABC ∆的三边为a 、b 、c ，且4a b +=，1ab =，14c =则ABC ∆是（）．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形二、填空题9. 在Rt ABC ∆中， 90C ∠=︒，（1）如果34a b ==，，则c = ；（2）如果68a b ==，，则c = ；（3）如果512a b ==，，则c = ；（4）如果1520a b ==，，则c = .10. 如图，将Rt △ABC 的斜边AB 绕点A 顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE ，直角边AC 绕点A 逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF ，连接EF ，若AB=3，AC=2，且α+β=∠B ，则EF= .11. 无盖圆柱形杯子的展开图如图K20-7所示.将一根长为20 cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 cm .12. 如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是576和676，那么最小的正方形的面积为13. 如图，△ABC 中，∠ABC=90°，BA=BC=2，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°得到△DEC ，连接BD ，则BD 2的值是 .14. 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若54a b c +==，，则ABC S ∆=.15. 如图，等边三角形ABC 内有一点P ，分别连接AP ，BP ，CP ，若AP=6，BP=8，CP=10，则S △ABP +S △BPC = .16. 已知ABC ∆是边长为1的等腰直角三角形，以Rt ABC ∆的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt ACD ∆，再以Rt ACD ∆的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt ADE ∆，……，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是．GFED CB A三、解答题17. 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.18. 已知ABC ∆中，20,15,AB AC BC ==边上的高为12，求ABC ∆的面积.DCBA19. 某片绿地的形状如图所示，其中60A ∠=，AB BC ⊥，AD CD ⊥，200m AB =，100m CD =，求AD 、BC 的长（精确到1m1.732）.DCBA20. 已知P 为正三角形内一点，6,8,10AP BP CP ===，证明：150APB ∠=。

中考专项训练：直角三角形与勾股定理(含答案)

中考专项训练：直角三角形与勾股定理（含答案）一、选择题1.如图，在Rt △ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD ＝()A .3B .4C .4.8D .52.已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为()A .32B .332C .32D .不能确定3.如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD的面积为()A .B .3C .D .54.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是()A .B .1，C .6，7，8D .2，3，45.(2019•南通)小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB=3(如图)．以O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，则点P 所表示的数介于A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间6.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为()A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米7.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE ⊥AB，垂足为E.若DE=1，则BC的长为()A.2+B.+C.2+D.38.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则()A.x－y2＝3B.2x－y2＝9C.3x－y2＝15D.4x－y2＝21二、填空题9.三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于.10.如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若∠A＝40°，则∠BCE＝________.11.如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF，连接EF，若AB=3，AC=2，且α+β=∠B，则EF=.12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F.过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则CD的长是________．13.如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据:AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米(结果精确到0.1米，参考数据:≈1.41，≈1.73).14.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是.15.(2019•通辽)腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．16.(2019•伊春)一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ，10AB ，6AC ，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当BDE △是直角三角形时，则CD 的长为__________．三、解答题17.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AB 边上一点，过点C 作CF ∥AB 交ED 的延长线于点F.(1)求证:△BDE ≌△CDF ;(2)当AD ⊥BC ，AE=1，CF=2时，求AC 的长.18.(2019•大庆)如图，一艘船由A 港沿北偏东60°方向航行10km 至B 港，然后再沿北偏西30°方向航行10km 至C 港．(1)求A ，C 两港之间的距离(结果保留到0.1km≈1.414≈1.732)；(2)确定C 港在A 港的什么方向．19.已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.20.如图，在△ABC中，∠C＝90°，A C＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．备用图21.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B 匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B 时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH 与△ABC重叠部分的面积为S．（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH 的边长是________；（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？2023年中考专项训练：直角三角形与勾股定理答案一、选择题1.【答案】D【解析】∵DE 垂直平分AC ，∴∠AED ＝90°，AE ＝CE ＝4，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∴DE ∥BC ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC＝3.在Rt △CED 中，CD ＝CE 2＋DE 2＝5.2.【答案】B【解析】如解图，△ABC 是等边三角形，AB ＝3，点P 是三角形内任意一点，过点P 分别向三边AB ，BC ，CA 作垂线，垂足依次为D ，E ，F ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，则BH ＝32，AH ＝AB 2－BH 2＝332.连接PA ，PB ，PC ，则S △PAB ＋S △PBC ＋S △PCA ＝S △ABC ，∴12AB ·PD ＋12BC ·PE ＋12CA ·PF ＝12BC ·AH ，∴PD＋PE ＋PF ＝AH ＝332.3.【答案】B4.【答案】B5.【答案】C【解析】由作法过程可知，OA=2，AB=3，∵∠OAB=90°，∴ ，∴P 点所表示的数就是34 ，即点P 所表示的数介于3和4之间，故选C ．6.【答案】C[解析]在Rt △ACB 中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB 2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A'BD中，∵∠A'DB=90°，A'D=2米，BD2+A'D2=A'B2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD>0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).7.【答案】A[解析]过点D作DF⊥AC于F，如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1.在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2.在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CD=DF=，∴BC=BD+CD=2+.8.【答案】B【解析】连接DE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，过E作EG⊥BC，垂足为G.∵AB＝AC，AF⊥BC，BC＝12，∴BF＝FC＝6，又∵E是AC的中点，EG⊥BC，∴EG∥AF，∴CG＝FG＝12CF＝3，∵在Rt△CEG中，tan C＝EGCG，∴EG＝CG×tan C＝3y；∴DG＝BF＋FG－BD＝6＋3－x＝9－x，∵HD是BE的垂直平分线，∴BD＝DE＝x，∵在Rt△EGD中，由勾股定理得，ED2＝DG2＋EG2，∴x2＝(9－x)2＋(3y)2，化简整理得，2x－y2＝9.二、填空题9.【答案】2.5[解析]根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知最长边上的中线长=×5=2.5.10.【答案】50°【解析】∵E是Rt△ABC斜边AB的中点，∴EC＝AB2＝AE，∴∠ECA＝∠A＝40°，∴∠BCE＝90°－40°＝50°.11.【答案】[解析]∵α+β=∠B，∴∠EAF=∠BAC+∠B=90°，∴△AEF是直角三角形，∵AE=AB=3，AF=AC=2，∴EF==.12.【答案】5【解析】由题意知EF垂直平分AB，∴点D是AB的中点，∵∠ACB＝90°，∴CD为斜边AB的中线，∴CD＝12AB.∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝82＋62＝10，∴CD＝5.13.【答案】2.9[解析]首先根据等腰直角三角形的性质可得DM=AM=4米，再根据勾股定理及三角函数可得MC2+MB2=(2MC)2，代入数可得答案.∵AM=4米，∠MAD=45°，DM⊥AM，∴DM=4米，∵AM=4米，AB=8米，∴MB=12米，∵∠MBC=30°，∴BC=2MC，∴MC2+MB2=(2MC)2，即MC2+122=(2MC)2，∴MC=4米，则DC=4-4≈2.9(米).14.【答案】10[解析]根据题意可得A，B的面积和为S1，C，D的面积和为S2，于是S3=S1+S2，即S3=2+5+1+2=10.15.【答案】6或或【解析】①如图1，当5AB AC ，4AD ，则3BD CD ，∴底边长为6；②如图2，当5AB AC ，4CD 时，则3AD ，∴2BD ，∴BC ，∴此时底边长为③如图3，当5AB AC ，4CD 时，则3AD ，∴8BD ，∴BC∴此时底边长为6或16.【答案】3或247【解析】分两种情况：①若90DEB ，则90AED C ，CD ED ，连接AD ，则Rt Rt ACD EAD △≌△，∴6AE AC ，1064BE ，设CD DE x ，则8BD x ，∵Rt BDE △中，222DE BE BD ，∴2224(8)x x ，解得3x ，∴3CD ；②若90BDE ，则90CDE DEF C ，CD DE ，∴四边形CDEF 是正方形，∴90AFE EDB ，AEF B ，∴AEF EBD △∽△，∴AFEFED BD ，设CD x ，则EF DF x ，6AF x ，8BD x ，∴68x x x x ，解得247x ，∴247CD ，综上所述，CD 的长为3或247，故答案为：3或247．三、解答题17.【答案】解:(1)证明:∵CF ∥AB ，∴∠B=∠FCD ，∠BED=∠F.∵AD 是BC 边上的中线，∴BD=CD ，∴△BDE ≌△CDF.(2)∵△BDE ≌△CDF ，∴BE=CF=2，∴AB=AE +BE=1+2=3.∵AD ⊥BC ，BD=CD ，∴AC=AB=3.18.【答案】(1)由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．∵AB=BC=10，∴≈14.1．答：A 、C 两地之间的距离为14.1km ．(2)由(1)知，△ABC 为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，∴C 港在A 港北偏东15°的方向上．19.【答案】13证明：(1)∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴CD ＝CE ，AC ＝BC ，∠ECD ＝∠ACB ＝90°，∴∠ECD －∠ACD ＝∠ACB －∠ACD ，即∠ACE ＝∠BCD ，(1分)在△ACE 与△BCD 中，＝DCACE ＝∠BCD ＝BC，(3分)∴△ACE ≌△BCD(SAS )．(4分)(2)∵△ACE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ，∠EAC ＝∠B ＝45°，(6分)∴∠EAD ＝∠EAC ＋∠CAD ＝90°，在Rt △EAD 中，ED 2＝AD 2＋AE 2，∴ED 2＝AD 2＋BD 2，(8分)又ED 2＝EC 2＋CD 2＝2CD 2，∴2CD 2＝AD 2＋DB 2.(10分)20.【答案】(1)在Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，所以AB ＝5．在Rt △ACD 中，39cos 355AD AC A ．(2)①如图2，当F 在AC 上时，905x ．在Rt △AEF 中，4tan 3EF AE A x ．所以21223y AE EF x ．如图3，当F 在BC 上时，955x ≤．在Rt △BEF 中，3tan (5)4EF BE B x ．所以21315288y AE EF x x ．②当905x 时，223y x 的最大值为5425；当955x ≤时，231588y x x 235758232x (的最大值为7532．因此，当52x 时，y 的最大值为7532．图2图3图4(3)△ABC 的周长等于12，面积等于6．先假设EF 平分△ABC 的周长，那么AE ＝x ，AF ＝6－x ，x 的变化范围为3＜x ≤5．因此1142sin (6)(6)2255AEF S AE AF A x x x x ．解方程2(6)35x x ，得3x因为3x 3≤x ≤5范围内（如图4），因此存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分．考点伸展如果把第（3）题的条件“点F 在直角边AC 上”改为“点F 在直角边BC 上”，那么就不存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分．先假设EF 平分△ABC 的周长，那么AE ＝x ，BE ＝5－x ，BF ＝x ＋1．因此21133sin (5)(1)45)22510BEF S BE BF B x x x x ．解方程23(45)310x x ．整理，得2450x x ．此方程无实数根．21.【答案】（1）当t ＝1时，EF ＝2；当t ＝3时，EF ＝4．（2）①如图1，当6011t ＜≤时，2EF t ．所以24S t ．②如图2，当66115t ≤时，2EF EH t ，2AE t ，33(2)44NE AE t ．于是31132(2)442NH EH NE t t t ，211422233NHQ S NH QH NH NH NH △22113342t．所以22221132511343422422S t t t t ．③如图3，当625t ＜≤时，4EF ，2AE t ，2AF t ．所以2233388AFM AEN S S S AF AE t △△．图2图3图4（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN ，S 的最大值为110275，此时14625t ．图5图6图7考点伸展第（2）题中t 的临界时刻是这样求的：如图8，当H 落在AC 上时，2AE t ，2EH EF t ，由2324tt ，得611t ．如图9，当G 落在AC 上时，2AF t ，2GF EF t ，由2324tt ，得65t ．图8图9。

2022年中考数学精选真题34 直角三角形与勾股定理 B(含答案)

2022年中考数学精选真题34 直角三角形与勾股定理 B一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)1．（3分）（2022·攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC.若OC=5，BC=1，∠AOB=30°，则OA的值为（）C．2D．1 A．3B．322．（3分）（2022·绵阳）如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE ＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋3．则四边形EFGH的周长为（）A．4(2+6)B．4(2+3+1)C．8(2+3)D．4(2+6+2) 3．（3分）（2022·兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC=60°，BD=43，则OE=（）A．4B．23C．2D．34．（3分）（2022·包头）如图，在矩形ABCD中，AD>AB，点E，F分别在AD，BC边上，EF∥AB，AE=AB，AF与BE相交于点O，连接OC，若BF=2CF，则OC与EF之间的数量关系正确的是（）A．2OC=5EF B．5OC=2EF C．2OC=3EF D．OC=EF5．（3分）（2021·贵州）已知直线y=―x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是第一象限内的点，若△PAB为等腰直角三角形，则点P的坐标为（）A．（1，1）B．（1，1）或（1，2）C．（1，1）或（1，2）或（2，1）D．（0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1）6．（3分）（2021·贵州）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的直角边垂直，则∠1的度数为（）A．45°B．60°C．70°D．75°7．（3分）（2021·绵阳）如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE=30°，DE⊥CF，则BF 的长是（）A．1B．2C．3D．28．（3分）（2022·青海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE=BC，连接DE，F为DE中点，连接BF.若AC=16，BC=12，则BF的长为（）A．5B．4C．6D．89．（3分）（2022·眉山）如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，B，H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB=2，HG=3.以下结论：①∠EDC=135°；②E C2=CD⋅CF；③HG=EF；④sin∠CED=23.其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（3分）（2022·泸州）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE=2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为（）A．23B．56C．67D．1二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)11．（3分）（2022·丹东）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，分别以A，C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，直线PQ与AC交于点D，则AD的长为．12．（3分）（2022·内江）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 .13．（3分）（2022·桂林）如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走.已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是米.14．（3分）（2022·雅安）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC＝9，CD＝3，那么阴影部分的面积为 .15．（3分）（2022·武威）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=25cm，AC=4cm，则BD的长为 cm.16．（3分）（2022·山西）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE=DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE=5，CN=8，则线段AN的长为三、解答题（共7题，共72分）(共7题；共72分)17．（6分）（2022·安徽）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题：（1）（3分）∠FDG= °；（2）（3分）若DE=1，DF=22，则MN= ．18．（8分）（2021·荆门）如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，∠AEF=90°，且EF=AE，FH⊥BH.（1）（4分）求证：BE=CH；（2）（4分）若AB=3，BE=x，用x表示DF的长.19．（8分）（2022·贵阳）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD.（1）（4分）求证：△ABE≌△FMN；（2）（4分）若AB=8，AE=6，求ON的长.20．（8分）（2022·丽水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重台，点A落在点P处，折痕为EF，（1）（4分）求证：△PDE≌△CDF；（2）（4分）若CD=4cm，EF=5cm，求BC的长.21．（12分）（2022·赤峰）同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：（1）（4分）【问题一】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，O A1交AB于点E，O C1交BC于点F，则AE与BF的数量关系为；（2）（4分）【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD、BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且m⊥n，若正方形ABCD 边长为8，求四边形OEAG的面积；（3）（4分）【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD 的边CD上，顶点E在BC的延长线上，且BC=6，CE=2．在直线BE上是否存在点P，使△APF为直角三角形？若存在，求出BP的长度；若不存在，说明理由．22．（14分）（2022·仙桃）已知CD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AC，BC上，AD=m，BD=n，△ADE与△BDF的面积之和为S.（1）（2分）填空：当∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC时，①如图1，若∠B=45°，m=52，则n= ，S= ；②如图2，若∠B=60°，m=43，则n= ，S= ；（2）（3分）如图3，当∠ACB=∠EDF=90°时，探究S与m、n的数量关系，并说明理由：（3）（3分）如图4，当∠ACB=60°，∠EDF=120°，m=6，n=4时，请直接写出S的大小. 23．（16分）（2022·宁夏）综合与实践（1）（2分）知识再现如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以BC、CA、AB为边向外作的正方形的面积为S1、S2、S3．当S1=36，S3=100时，S2= ．（2）（2分）问题探究如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°．如图2，分别以BC、CA、AB为边向外作的等腰直角三角形的面积为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的数量关系是．（3）（4分）如图3，分别以BC、CA、AB为边向外作的等边三角形的面积为S4、S5、S6，试猜想S4、S5、S6之间的数量关系，并说明理由．（4）（4分）实践应用如图4，将图3中的△BCD绕点B逆时针旋转一定角度至△BGH，△ACE绕点A顺时针旋转一定角度至△AMN，GH、MN相交于点P．求证：S△PHN=S四边形PMFG；（5）（4分）如图5，分别以图3中Rt△ABC的边BC、CA、AB为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，BC、CA、AB为直径的半圆柱的体积分别为V1、V2、V3．若AB=4，柱体的高ℎ=8，直接写出V1+V2的值．答案解析部分1．【答案】A2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】C6．【答案】D7．【答案】C8．【答案】A9．【答案】D10．【答案】B11．【答案】2512．【答案】1013．【答案】20314．【答案】7.515．【答案】816．【答案】43417．【答案】（1）45（2）261518．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=90°，AB=BC，∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠FEH=90°.而∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠FEH.又∵EF=AE，∴△ABE≌△EHF.∴BE=FH，AB=EH，∴AB=BC=EH，则BC-EC=EH-EC，∴BE=CH；（2）解：作FP⊥CD于P，由（1）可知EH=AB，∴CE=3−x.∴CH=FH=FP=x，∴PD=3−x.DF=x2+(3―x)2=2x2―6x+919．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，有AD=DC=CB=AB，∠A=∠D=∠C=90°，BC∥AD，AB∥DC，∵MF∥AD，∠A=∠D=90°，AB∥DC，∴四边形ADFM是矩形，∴AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，∴∠BMF=90°=∠NFM，即∠BMO+∠OMF=90°，AB=AD=MF，∵MN是BE的垂直平分线，∴MN⊥BE，∴∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO，∴∠MBO=∠OMF，∵∠NFM=∠A=90∘MF=AB∠OMF=∠MBO，∴△ABE≌△FMN；（2）解：连接ME，如图，∵AB=8，AE=6，∴在Rt△ABE中，BE=AB2+AE2=82+62=10，∴根据（1）中全等的结论可知MN=BE=10，∵MN是BE的垂直平分线，∴BO=OE=12BE=5，BM=ME，∴AM=AB-BM=8-ME，∴在Rt△AME中，A M2+A E2=M E2，∴(8―ME)2+62=M E2，解得：ME=254，∴BM=ME=254，∴在Rt△BMO中，M O2=B M2―B O2，∴MO=BM2―BO2=(254)2―52=154，∴ON=MN-MO=10―154=254.即NO的长为：254.20．【答案】（1）证明：由题意，∠PDF-∠B=∠ADC=90°，PD=AB=CD，∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF，即∠PDE=∠CDF.又∵∠P=∠A=∠C=90°，∴△PDE≌△CDF.（2）解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，∴∠EGC=90°，EG=CD=4.在Rt△EGF中，EG2+GF==EF2，∴CF=3设CF=x，由(1)得BG=AE=PE=x，∴DF=BF=x+3，在Rt △CDF 中， C F 2+C D 2=D F 2 ，即 x 2+42=(x +3)2 ，解得 x =76.∴BC =BG +GF +CF =2×76+3=163(cm) .21．【答案】（1）AE=BF（2）解：过点O 作MN ∥AB ，交AD 于点M ，交BC 于点N ，作TR ∥AD .交AB 于点T ，交CD 于点R ，如图，∵点O 是正方形ABCD 的中心，∴AT =TO =OM =MA =12AB =12AD ，又∠A=90°∴四边形ATOM 是正方形，∴S 正方形ATOM =14S 正方形ABCD =14A B 2=16，同（1）可证△OME≅ΔOTG .∴S 四边形AEOG =S 正方形ATOM =16（3）解：∵四边形ABCD ，CEFG 均为正方形，∴AB =BC =CD =DA =6，CE =EF =FG =GC =2，∠B =∠E =∠ADC =∠EFG =90°，∵CG 在CD 上，∴DG =DC ―CG =6―2=4，又CE 在BC 的延长线上，∴BE =BC +CE =6+2=8，设BP =x ，则PE =8―x ，在RtΔABP 中，A P 2=A B 2+B P 2=36+x 2，在RtΔFPE 中，F P 2=P E 2+E F 2=(8―x )2+22=x 2―16x +68延长AD ，CE 交于点Q ，则四边形DQFG 是矩形，∴QF=DG=4，DQ=GF=2，∴AQ=AD+DQ=6+2=8.，在RtΔAQF中，A F2=A Q2+Q F2=82+42=80，若△APF为直角三角形，则有，A P2+P F2=A F2，即36+x2+x2―16x+68=80.整理得，x2―8x+12=0，解得，x1=6，x2=2.∴BP=6或BP=2.22．【答案】（1）52；25；4；83（2）解：过点D作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G，在HC上截取HI=BG，连接DI，∴∠DHC=∠DGC=∠GCH=90°，∴四边形DGCH为矩形，∵CD是△ABC的角平分线，DH⊥AC，DG⊥BC，∴DG=DH，∴四边形DGCH为正方形，∴∠GDH=90°，∵∠EDF=90°，∴∠FDG+∠GDE=∠GDE+∠EDH=90°，∴∠FDG=∠EDH，在△DFG和△DEH中，∠FDG=∠EDHDG=DH，∠DGF=∠DHE∴△DFG≌△DEH（ASA）∴FG=EH，在△DBG和△DIH中，DG=DH∠DGB=∠DHI，BG=IH∴△DBG≌△DIH（SAS），∴∠B=∠DIH，DB=DI=n，∵∠DIH+∠A=∠B+∠A=90°，∴∠IDA=180°-∠A-∠DIH=90°，∴S△ADI=12AD⋅DI=12mn，mn；∴S=S△ADE+SΔBDF=S△ADE+SΔHDI=SΔADI=12（3）解：过点D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q，在PC上截取PR=QB，连接DR，过点A作AS⊥DR 于S，∵CD是△ABC的角平分线，DP⊥AC，DQ⊥BC，∴DP=DQ，∵∠ACB=60°∴∠QDP=120°，∵∠EDF=120°，∴∠FDQ+∠FDP=∠FDP+∠EDP=120°，∴∠FDQ=∠EDP，在△DFQ和△DEP中，∠FDQ=∠EDPDQ=DP，∠DQF=∠DPE∴△DFQ≌△DEP（ASA）∴DF=DE，∠QDF=∠PDE，在△DBQ和△DRP中，DQ=DP∠DQB=∠DPR，BQ=RP∴△DBQ≌△DRP（SAS），∴∠BDQ=∠RDP，DB=DR，∴∠BDF=∠BDQ+∠FDQ=∠RDP+∠EDP=∠RDE，∵DB=DE，DB=DR，∴△DBF≌△DRE，∴∠ADR=∠ADE+∠BDF=180°-∠FDE=60°，×4=63.∴S=S△ADR=12AS⋅DR=12AD sin60°×DR=12×6×32 23．【答案】（1）64（2）S1+S2=S3（3）解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴A B2=A C2+B C2，过点D作DG⊥BC交于G，在等边三角形BCD 中，CD =BC ，CG =12BC ，∴DG =32BC ，∴S 4=12×BC ×32BC =34B C 2，同理可得S 5=34A C 2，S 6=34A B 2，∴34A B 2=34A C 2+34B C 2，∴S 4+S 5=S 6；（4）证明：设AB =c ，BC =a ，AC =b ，∴HN =a +b ―c ，FG =c ―a ，MF =c ―b ，∵△HGB 是等边三角形，△ABF 是等边三角形，∴HG //AF ，MN //BF ，∴∠HPN =60°，∴△HNP 是等边三角形，四边形MFGP 是平行四边形，∴S △PMN =34(a +b ―c )2，S 四边形PMFG =32(c ―a)(c ―b)，∵△ABC 是直角三角形，∴c 2=a 2+b 2，∴34(a +b ―c )2=34(a 2+b 2+c 2+2ab ―2bc ―2ac)=32(c 2+ab ―bc ―ac)=32(c ―a)(c ―b)，∴S △PMN =S 四边形PMFG ；（5）解：设AB =c ，BC =a ，AC =b ，以AB 为直径的圆的面积为S 3、以BC 为直径的圆的面积为S 1、以AC 为直径的圆的面积为S 2，∵△ABC 是直角三角形，∴c 2=a 2+b 2，∴π4c 2=π4a 2+π4b 2，∴S 1+S 2=S 3，∵V 2=12S 2ℎ，V 1=12S 1ℎ，V 3=12S 3ℎ，∴V 2+V 1=12(S 1+S 2)ℎ=12S 3ℎ=V 3，∵AB =4，ℎ=8，∴V 3=12S 3ℎ=12×π×4×8=16π，∴V 1+V 2=16π．。

直角三角形与勾股定理(优选真题60道)三年(2021-2023)中考数学真题分项汇编(全国通用)解析

三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编（全国通用）直角三角形与勾股定理（优选真题60道）一．选择题（共28小题）1．（2023•湖北）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，点D 在边AC 上，且BD 平分△ABC 的周长，则BD 的长是（）A ．√5B ．√6C ．6√55D ．3√64【分析】根据勾股定理得到AC =√AB 2+BC 2=5，求得△ABC 的周长＝3+4+5＝12，得到AD ＝3，CD＝2，过D 作DE ⊥BC 于E ，根据相似三角形的性质得到DE =65，CE =85，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，∴AC =√AB 2+BC 2=5，∴△ABC 的周长＝3+4+5＝12，∵BD 平分△ABC 的周长，∴AB +AD ＝BC +CD ＝6，∴AD ＝3，CD ＝2，过D 作DE ⊥BC 于E ，∴AB ∥DE ，∴△CDE ∽△CAB ，∴DE AB =CD AC =CE CB ， ∴DE 3=25=CE 4，∴DE =65，CE =85，∴BE =125，∴BD =√BE 2+DE 2=√(125)2+(65)2=6√55，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．2．（2023•济宁）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（）A．180°﹣αB．180°﹣2αC．90°+αD．90°+2α【分析】过B点作BG∥CD，连接EG，根据平行线的性质得出∠ABG＝∠CFB＝α．根据勾股定理求出BG2＝17，BE2＝17，EG2＝34，那么BG2+BE2＝EG2，根据勾股定理的逆定理得出∠GBE＝90°，进而求出∠ABE的度数．【解答】解：如图，过B点作BG∥CD，连接EG，∵BG∥CD，∴∠ABG＝∠CFB＝α．∵BG2＝12+42＝17，BE2＝12+42＝17，EG2＝32+52＝34，∴BG2+BE2＝EG2，∴△BEG是直角三角形，∴∠GBE＝90°，∴∠ABE＝∠GBE+∠ABG＝90°+α．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，平行线的性质，准确作出辅助线是解题的关键．3．（2023•天津）如图，在△ABC 中，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M ，N 两点，直线MN 分别与边BC ，AC 相交于点D ，E ，连接AD ．若BD ＝DC ，AE ＝4，AD ＝5，则AB 的长为（）A ．9B ．8C ．7D ．6【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AC ＝2AE ＝8，DA ＝DC ，从而可得∠DAC ＝∠C ，再结合已知易得BD ＝AD ，从而可得∠B ＝∠BAD ，然后利用三角形内角和定理可得∠BAC ＝90°，从而在Rt △ABC 中，利用勾股定理进行计算，即可解答．【解答】解：由题意得：MN 是AC 的垂直平分线，∴AC ＝2AE ＝8，DA ＝DC ，∴∠DAC ＝∠C ，∵BD ＝CD ，∴BD ＝AD ，∴∠B ＝∠BAD ，∵∠B +∠BAD +∠C +∠DAC ＝180°，∴2∠BAD +2∠DAC ＝180°，∴∠BAD +∠DAC ＝90°，∴∠BAC ＝90°，在Rt △ABC 中，BC ＝BD +CD ＝2AD ＝10，∴AB =√BC 2−AC 2=√102−82=6，故选：D ．【点评】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．4．（2023•泸州）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a ，b ，c 的计算公式：a =12（m 2﹣n 2），b ＝mn ，c =12（m 2+n 2），其中m ＞n ＞0，m ，n 是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（）A ．3，4，5B ．5，12，13C ．6，8，10D ．7，24，25【分析】根据题目要求逐一代入符合条件的m ，n 进行验证、辨别．【解答】解：∵当m ＝3，n ＝1时，a =12（m 2﹣n 2）=12（32﹣12）＝4，b ＝mn ＝3×1＝3，c =12（m 2+n 2）=12×（32+12）＝5，∴选项A 不符合题意；∵当m ＝5，n ＝1时，a =12（m 2﹣n 2）=12（52﹣12）＝12，b ＝mn ＝5×1＝5，c =12（m 2+n 2）=12×（52+12）＝13，∴选项B 不符合题意；∵当m ＝7，n ＝1时，a =12（m 2﹣n 2）=12（72﹣12）＝24，b ＝mn ＝7×1＝7，c =12（m 2+n 2）=12×（72+12）＝25，∴选项D 不符合题意；∵没有符合条件的m ，n 使a ，b ，c 各为6，8，10，∴选项C 符合题意，故选：C ．【点评】此题考查了整式乘法运算和勾股数的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．5．（2023•无锡）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB ＝30°，∠ADC ＝60°，BC ＝CD ＝2，若线段MN 在边AD 上运动，且1，则BM 2+2BN 2的最小值是（）A ．132B ．293C ．394D ．10【分析】过B 作BF ⊥AD 于F ，过C 作CE ⊥AD 于E ，根据直角三角形的性质得到CE =√32CD =√3，求得BF =CE =√3，要使BM 2+2BN 2的值最小，则BM 和BN 越小越好，MN 显然在点B 的上方（中间位置时），设MF ＝x ，FN ＝1﹣x ，根据勾股定理和二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：过B 作BF ⊥AD 于F ，过C 作CE ⊥AD 于E ，∵∠D ＝60°，CD ＝2，∴CE =√32CD =√3，∵AD∥BC，∴BF=CE=√3，要使BM2+2BN2的值最小，则BM和BN越小越好，∴MN显然在点B的上方（中间位置时），设MF＝x，FN＝1﹣x，∴BM2+2BN2＝BF2+FM2+2（BF2+FN2）＝x2+3+2[（1﹣x）2+3]＝3x2﹣4x+11＝3（x−23）2+293，∴当x=23时，BM2+2BN2的最小值是293．故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．6．（2023•日照）已知直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分的面积为S2，则（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．S1，S2大小无法确定【分析】由直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，根据垂线段最短可知该直角三角形的斜边为c，则c2＝a2+b2，所以c2﹣a2﹣b2＝0，则S1＝c2﹣a2﹣b2+b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，而S2＝b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，所以S1＝S2，于是得到问题的答案．【解答】解：∵直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，∴该直角三角形的斜边为c，∴c2＝a2+b2，∴c2﹣a2﹣b2＝0，∴S1＝c2﹣a2﹣b2+b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，∵S2＝b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，∴S1＝S2，故选：C．【点评】此题重点考查勾股定理、正方形的面积公式、根据转化思想解决面积问题等知识与方法，确定三边为a，b，c的直角三角形的斜边为c是解题的关键．7．（2022•百色）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所对的边为√3，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（）A．2√3B．2√3−3C．2√3或√3D．2√3或2√3−3【分析】根据题意知，CD＝CB，作CH⊥AB于H，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CH，AH 的长，再利用勾股定理求出BH，从而得出答案．【解答】解：如图，CD＝CB，作CH⊥AB于H，∴DH＝BH，∵∠A＝30°，∴CH=12AC=32，AH=√3CH=32√3，在Rt△CBH中，由勾股定理得BH=√BC2−CH2=√3−94=√32，∴AB＝AH+BH=3√32+√32=2√3，AD＝AH﹣DH=3√32−√32=√3，故选：C．【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，理解题意，求出BH的长是解题的关键．8．（2022•南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（）A．BF＝1B．DC＝3C．AE＝5D．AC＝9【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得CD和CE的长，再根据平行线的性质，即可得到AE的长，从而可以判断B和C，然后即可得到AC的长，即可判断D；再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长，从而可以判断A．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，∴∠1＝∠2，DC＝FD，∠C＝∠DFB＝90°，∵DE∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE，∵DE＝5，DF＝3，∴AE＝5，CD＝3，故选项B、正确；∴CE=√DE2−CD2=4，∴AC＝AE+EC＝5+4＝9，故选项D正确；∵DE∥AB，∠DFB＝90°，∴∠EDF＝∠DFB＝90°，∴∠CDE+∠FDB＝90°，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠FDB，∵tan∠DEC=CDCE，tan∠FDB=BFDF，∴34=BF3，解得BF=94，故选项A错误；故选：A．【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9．（2022•遵义）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若AB ＝BC ＝1，∠AOB ＝30°，则点B 到OC 的距离为（）A ．√55B ．2√55C ．1D ．2【分析】作BH ⊥OC 于H ，利用含30°角的直角三角形的性质得OB ＝2，再由勾股定理得OC =√5，再根据cos ∠BOC ＝cos ∠CBH ，得OB OC =BH BC，代入计算可得答案．【解答】解：作BH ⊥OC 于H ，∵∠AOB ＝30°，∠A ＝90°，∴OB ＝2AB ＝2，在Rt △OBC 中，由勾股定理得，OC =√OB 2+BC 2=√22+12=√5，∵∠CBO ＝∠BHC ＝90°，∴∠CBH ＝∠BOC ，∴cos ∠BOC ＝cos ∠CBH ，∴OB OC =BH BC ， ∴√5=BH1，∴BH =2√55，故选：B ．【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，三角函数等知识，熟练掌握等角的三角函数值相等是解题的关键．10．（2022•安徽）已知点O 是边长为6的等边△ABC 的中心，点P 在△ABC 外，△ABC ，△P AB ，△PBC ，△PCA 的面积分别记为S 0，S 1，S 2，S 3．若S 1+S 2+S 3＝2S 0，则线段OP 长的最小值是（） A ．3√32 B ．5√32 C ．3√3 D ．7√32【分析】如图，不妨假设点P 在AB 的左侧，证明△P AB 的面积是定值，过点P 作AB 的平行线PM ，连接CO 并延长CO 交AB 于点R ，交PM 于点T ．因为△P AB 的面积是定值，推出点P 的运动轨迹是直线PM ，求出OT 的值，可得结论．【解答】解：如图，不妨假设点P 在AB 的左侧，∵S △P AB +S △ABC ＝S △PBC +S △P AC ，∴S 1+S 0＝S 2+S 3，∵S 1+S 2+S 3＝2S 0，∴S 1+S 1+S 0＝2S0，∴S 1=12S 0， ∵△ABC 是等边三角形，边长为6，∴S 0=√34×62＝9√3，∴S 1=9√32，过点P 作AB 的平行线PM ，连接CO 延长CO 交AB 于点R ，交PM 于点T ．∵△P AB 的面积是定值，∴点P 的运动轨迹是直线PM ，∵O 是△ABC 的中心，∴CT ⊥AB ，CT ⊥PM ，∴12•AB •RT =9√32，CR ＝3√3，OR =√3， ∴RT =3√32， ∴OT ＝OR +TR =5√32， ∵OP ≥OT ，∴OP 的最小值为5√32，当点P 在②区域时，同法可得OP 的最小值为7√32，如图，当点P 在①③⑤区域时，OP 的最小值为5√32，当点P 在②④⑥区域时，最小值为7√32， ∵5√32＜7√32，故选：B ．【点评】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是证明△P AB 的面积是定值．11．（2022•广元）如图，在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∠C ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为（）A ．52B ．3C ．2√2D ．103【分析】利用勾股定理求出AB ，再利用相似三角形的性质求出AE 即可．【解答】解：在Rt △ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∴AB =√BC 2+AC 2=√62+82=10，∵BD ＝CB ＝6，∴AD ＝AB ﹣BC ＝4，由作图可知EF 垂直平分线段AD ，∴AF ＝DF ＝2，∵∠A ＝∠A ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AFE ∽△ACB ，∴AE AB =AF AC ， ∴AE 10=28， ∴AE =52，故选：A ．【点评】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．12．（2022•南京）直三棱柱的表面展开图如图所示，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，四边形AMNB 是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点C 距离最大的是（）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q【分析】根据直三棱柱的特征结合勾股定理求出各线段的距离，再比较大小即可求解．【解答】解：如图，过C点作CE⊥AB于E，∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，32+42＝52，∴△ACB是直角三角形，∴CE=12AC•BC÷12÷AB＝3×4÷5＝2.4，∴AE=√AC2−CE2=√32−2．42=1.8，∴BE＝5﹣1.8＝3.2，∵四边形AMNB是正方形，立方体是直三棱柱，∴CQ＝5，∴CM＝CP=√52+32=√34，CN=√52+42=√41，∵√41＞√34＞5，∴与点C距离最大的是点N．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，展开图折叠成几何体，关键是求出各线段的距离．13．（2022•温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE=√10+√2，则CH的长为（）A．√5B．3+√52C．2√2D．√10【分析】设CF 交AB 于点P ，过C 作CN ⊥AB 于点N ，设正方形JKLM 边长为m ，根据正方形ABGF 与正方形JKLM 的面积之比为5，得AF ＝AB =√5m ，证明△AFL ≌△FGM （AAS ），可得AL ＝FM ，设AL ＝FM ＝x ，在Rt △AFL 中，x 2+（x +m ）2＝（√5m ）2，可解得x ＝m ，有AL ＝FM ＝m ，FL ＝2m ，从而可得AP =√5m 2，FP =52m ，BP =√5m 2，即知P 为AB 中点，CP ＝AP ＝BP =√5m 2，由△CPN ∽△FP A ，得CN ＝m ，PN =12m ，即得AN =√5+12m ，而tan ∠BAC =BC AC =CN AN =2√5+1，又△AEC ∽△BCH ，得BC AC =CH CE，即√5+1=√10+√2，故CH ＝2√2．【解答】解：设CF 交AB 于点P ，过C 作CN ⊥AB 于点N ，如图：设正方形JKLM 边长为m ，∴正方形JKLM 面积为m 2，∵正方形ABGF 与正方形JKLM 的面积之比为5，∴正方形ABGF 的面积为5m 2， ∴AF ＝AB =√5m ，由已知可得：∠AFL ＝90°﹣∠MFG ＝∠MGF ，∠ALF ＝90°＝∠FMG ，AF ＝GF ，∴△AFL ≌△FGM （AAS ），∴AL ＝FM ，设AL ＝FM ＝x ，则FL ＝FM +ML ＝x +m ，在Rt △AFL 中，AL 2+FL 2＝AF 2，∴x 2+（x +m ）2＝（√5m ）2，解得x ＝m 或x ＝﹣2m （舍去），∴AL ＝FM ＝m ，FL ＝2m ， ∵tan ∠AFL =AP AF =AL FL =m 2m =12，∴√5m=12， ∴AP =√5m 2，∴FP =√AP 2+AF 2=√(5m 2)2+(√5m)2=52m ，BP ＝AB ﹣AP =√5m −√5m 2=√5m 2， ∴AP ＝BP ，即P 为AB 中点，∵∠ACB ＝90°，∴CP ＝AP ＝BP =√5m2，∵∠CPN ＝∠APF ，∠CNP ＝90°＝∠F AP ，∴△CPN ∽△FP A ，∴CP FP =CN AF =PN AP ，即√5m 252m =5m =√5m 2，∴CN ＝m ，PN =12m ， ∴AN ＝AP +PN =√5+12m ，∴tan ∠BAC =BC AC =CN AN =m √5+12=25+1， ∵△AEC 和△BCH 是等腰直角三角形， ∴△AEC ∽△BCH ，∴BC AC =CH CE ，∵CE =√10+√2，∴√5+1=10+2，∴CH ＝2√2，故选：C ．【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是用含m 的代数式表示相关线段的长度．14．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，BC 上的格点，BM ＝4，BN ＝2．若点P 是这个网格图形中的格点，连结PM ，PN ，则所有满足∠MPN ＝45°的△PMN 中，边PM 的长的最大值是（）A．4√2B．6C．2√10D．3√5【分析】在网格中，以MN为直角边构造一个等腰直角三角形，使PM最长，利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图所示：∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，∴△BMN≌△CNP（SAS），∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠BNM+∠CNP＝90°，∴∠MNP＝90°，∴△NMP为等腰直角三角形，根据题意得到点P的轨迹为圆弧，当MP为直径时最长，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根据勾股定理得：MN＝NP=√22+42=2√5，则PM=√MN2+PN2=2√10．故选：C．【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．15．（2022•攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC．若OC=√5，BC＝1，∠AOB＝30°，则OA的值为（）A．√3B．32C．√2D．1【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠OBC＝90°，OC=√5，BC＝1，∴OB=√OC2−BC2=√(√5)2−12=2，∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，∴AB=12OB＝1，∴OA=√OB2−AB2=√22−12=√3，故选：A．【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，三角函数等知识，熟练掌握等角的16．（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（）A．超市B．医院C．体育场D．学校【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理，可以得到点O到超市、学校、体育场、医院的距离，再比较大小即可．【解答】解：如右图所示，点O到超市的距离为：√22+12=√5，点O到学校的距离为：√32+12=√10，点O到体育场的距离为：√42+22=√20，点O到医院的距离为：√12+32=√10，∵√5＜√10=√10＜√20，∴点O到超市的距离最近，故选：A．【点评】本题考查勾股定理、平面直角坐标系，解答本题的关键是明确题意，作出合适平面直角坐标系．17．（2021•山西）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（）A．统计思想B．分类思想C．数形结合思想D．函数思想【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．【解答】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．18．（2021•襄阳）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺【分析】设水深为h尺，则芦苇长为（h+1）尺，根据勾股定理列方程，解出h即可．【解答】解：设水深为h尺，则芦苇长为（h+1）尺，根据勾股定理，得（h+1）2﹣h2＝（10÷2）2，解得h＝12，∴水深为12尺，故选：C．【点评】本题主要考查勾股定理的应用，熟练根据勾股定理列出方程是解题的关键．19．（2021•自贡）如图，A（8，0），C（﹣2，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（）A．（0，5）B．（5，0）C．（6，0）D．（0，6）【分析】根据已知可得AB＝AC＝10，OA＝8．利用勾股定理即可求解．【解答】解：根据已知可得：AB＝AC＝10，OA＝8．在Rt△ABO中，OB=√AB2−OA2=6．∴B（0，6）．故选：D．【点评】本题考查勾股定理的应用、坐标的特征知识．关键在于利用点的坐标表示边的长度．20．（2021•常德）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（）A．②④B．①②④C．①②D．①④【分析】根据广义勾股数的定义进行判断即可．【解答】解：①∵7不能表示为两个正整数的平方和，∴7不是广义勾股数，故①结论正确；②∵13＝22+32，∴13是广义勾股数，故②结论正确；③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误；④设m1=a2+b2，m2=c2+d2，则m1⋅m2=(a2+b2)⋅(c2+d＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2＝（a2c2+b2d2+2abcd）+（a2d2+b2c2﹣2abcd）＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2，ad＝bc或ac＝bd时，两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，如2和2都是广义勾股数，但2×2＝4，4不是广义勾股数，故④结论错误，∴依次正确的是①②．故选：C．【点评】本题考查了勾股数的综合应用，掌握勾股定理以及常见的勾股数是解题的关键．21．（2023•赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．点F是AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE 的周长和面积分别是（）A．16，6B．18，18C．16，12D．12，16【分析】先论证四边形CFDE是平行四边形，再分别求出CF，CD，DF，继而用平行四边形的周长公式和面积公式求出即可．【解答】解：由平移的性质可知DF∥CE，DF＝CE，∴四边形CFDE是平行四边形，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC=√AB2−BC2=√102−62=8，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，点F是AB的中点，∴CF=12AB＝5，∵DF∥CE，点F是AB的中点，∴ADAC=AFAB=12，∠CDF＝180°﹣∠ABC＝90°，∴点D是AC的中点，∴CD=12AC＝4，∵点F是AB的中点，点D是AC的中点，∴DF是Rt△ABC的中位线，∴DF=12BC＝3，∴四边形CFDE的周长为2（DF+CF）＝2×（5+3）＝16，四边形CFDE的面积为DF•CD＝3×4＝12．故选：C．【点评】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理等知识，推到四边形FDE是平行四边形和DF是Rt △ABC的中位线是解决问题的关键．22．（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm【分析】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长．【解答】解：由图可得，∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点，∴CD=12AB＝3cm，故选：B．【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．（2022•永州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为（）A．√3B．2√3C．2D．4【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，BD＝2，∴AC＝2BD＝4，∵∠C＝60°，∴∠A＝30°，∴BC =12AC ＝2，故选：C ．【点评】本题考查了直角三角形斜边中线，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．24．（2022•大连）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°．分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点，作直线MN ．直线MN 与AB 相交于点D ，连接CD ，若AB ＝3，则CD 的长是（）A ．6B ．3C ．1.5D ．1【分析】根据题意可知：MN 是线段AC 的垂直平分线，然后根据三角形相似可以得到点D 为AB 的中点，再根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，即可得到CD 的长．【解答】解：由已知可得，MN 是线段AC 的垂直平分线，设AC 与MN 的交点为E ，∵∠ACB ＝90°，MN 垂直平分AC ，∴∠AED ＝∠ACB ＝90°，AE ＝CE ，∴ED ∥CB ，∴△AED ∽△ACB ，∴AE AC =AD AB ，∴12=AD AB， ∴AD =12AB ，∴点D 为AB 的中点，∵AB ＝3，∠ACB ＝90°，∴CD =12AB ＝1.5，故选：C．【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25．（2021•新疆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于点D，E是AB 的中点，则DE的长为（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用三角形的内角和定理可得∠B＝60°，由直角三角形斜边的中线性质定理可得CE＝BE＝2,利用等边三角形的性质可得结果．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°,∵E是AB的中点,AB＝4，∴CE＝BE=12AB=12×4=2,∴△BCE为等边三角形，∵CD⊥AB,∴DE＝BD=12BE=12×2=1,故选：A．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握定理是解答此题的关键．26．（2023•贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（）A ．4mB ．6mC ．10mD ．12m【分析】作AD ⊥BC 于点 D ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠B ＝∠C =12（180°﹣∠BAC ）＝30°，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．【解答】解：如图，作AD ⊥BC 于点D ，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C =12（180°﹣∠BAC ）＝30°，又∵AD ⊥BC ，∴AD =12AB =12×12＝6（m ），故选：B ．【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题关键是掌握3027．（2021•黑龙江）如图，矩形ABCD 的边CD 上有一点E ，∠DAE ＝22.5°，EF ⊥AB ，垂足为F ，将△AEF 绕着点F 顺时针旋转，使得点A 的对应点M 落在EF 上，点E 恰好落在点B 处，连接BE ．下列结论：①BM ⊥AE ；②四边形EFBC 是正方形；③∠EBM ＝30°；④S 四边形BCEM ：S △BFM ＝（2√2+1）：1．其中结论正确的序号是（）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．③④【分析】延长BM 交AE 于N ，连接AM ，由垂直的定义可得∠AFE ＝∠EFB ＝90°，根据直角三角形的两个锐角互余得∠EAF ＝67.5°，从而有∠EAF +∠FBM ＝90°，得到①正确；根据三个角是直角可判断四边形EFBC是矩形，再由EF＝BF可知是正方形，故②正确，计算出∠EBM＝22.5°得③错误；根据等腰直角三角形的性质可知AM=√2FM，推导得出AM＝EM=√2FM，从而EF＝EM+FM＝（√2+1）FM，得到S△EFB：S△BFM＝（√2+1）：1，再由S四边形BCEF＝2S△EFB，得S四边形BCEM：S△BFM＝（2√2+1）：1，判断出④正确．【解答】解：如图，延长BM交AE于N，连接AM，∵EF⊥AB，∴∠AFE＝∠EFB＝90°，∵∠DAE＝22.5°，∴∠EAF＝90°﹣∠DAE＝67.5°，∵将△AEF绕着点F顺时针旋转得△MFB，∴MF＝AF，FB＝FE，∠FBM＝∠AEF＝∠DAE＝22.5°，∴∠EAF+∠FBM＝90°，∴∠ANB＝90°，∴BM⊥AE，故①正确；∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∵∠EFB＝90°，∴四边形EFBC是矩形，又∵EF＝BF，∴矩形EFBC是正方形，故②正确；∴∠EBF＝45°，∴∠EBM＝∠EBF﹣∠FBM＝45°﹣22.5°＝22.5°，故③错误；∵∠AFM＝90°，AF＝FM，∴∠MAF＝45°，AM=√2FM，∴∠EAM＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠AEM＝∠MAE，∴EM＝AM=√2FM，∴EF＝EM+FM＝（√2+1）FM，∴S△EFB：S△BFM＝（√2+1）：1，又∵四边形BCEF是正方形，∴S四边形BCEF＝2S△EFB，∴S四边形BCEM：S△BFM＝（2√2+1）：1，故④正确，∴正确的是：①②④，故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理和正方形的判定与性质，掌握常用辅助线的添加方法，灵活运用相关知识是解题的关键．28．（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】根据平行线的性质，可以得到∠CBF的度数，再根据∠ABC＝90°，可以得到∠1的度数．【解答】解：∵AC∥EF，∠C＝30°，∴∠C＝∠CBF＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，故选：C．【点评】本题考查直角三角形的性质、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．二．填空题（共27小题）29．（2023•东营）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km 至C港，则A，C两港之间的距离为km．【分析】根据题意可得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，从而可得∠DAB＝∠ABE＝60°，然后利用平角定义可得∠ABC＝90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：如图：由题意得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，∴∠DAB＝∠ABE＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABE﹣∠FBC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝30km，BC＝40km，AC=√AB2+BC2=√302+40250（km），∴A，C两港之间的距离为50km，故答案为：50．【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据题目的已知条件画出图形进行分析是解题的关键．30．（2023•菏泽）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为．【分析】设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F′，证得∠DF A＝90°，于是得到点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O是交点F′时，线段BF有最小值，据此解答即可．【解答】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F′，∵∠ABC＝∠BAD＝90°，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠ADF＝∠BAE，∴∠DF A＝∠ABE＝90°，∴点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O是交点F′时，线段BF有最小值，∵AD＝4，∴AO=OF′=12AD=2，∴BO=√52+22=√29，∴线段BF的最小值为√29−2，故答案为：√29−2．【点评】本题考查了勾股定理，平行线的性质，圆周角定理，根据题意得到点F的运动轨迹是解题的关键．31．（2023•随州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC 的角平分线，则AD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质得到CD＝DE，再通过HL证明Rt△BCD≌Rt△BED，得到BC＝BE＝6，根据勾股定理可求出AB＝10，进而求出AE＝4，设CD＝DE＝x，则AD＝8﹣x，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵∠C ＝90°，∴CD ⊥BC ，∵BD 是∠ABC 的角平分线，CD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴CD ＝DE ，在Rt △BCD 和Rt △BED 中，{CD =DE BD =BD， ∴Rt △BCD ≌Rt △BED （HL ），∴BC ＝BE ＝6，在Rt △ABC 中，AB =√AC 2+BC 2=√82+62=10，∴AE ＝AB ﹣BE ＝10﹣6＝4，设CD ＝DE ＝x ，则AD ＝AC ﹣CD ＝8﹣x ，在Rt △ADE 中，AE 2+DE 2＝AD 2，∴42+x 2＝（8﹣x ）2，解得：x ＝3，∴AD ＝8﹣x ＝5．故答案为：5．【点评】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解二元一次方程，解题关键是正确作出辅助线，利用角平分线的性质和勾股定理解决问题．32．（2023•扬州）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a 、b ，斜边长为c ，若b ﹣a ＝4，c ＝20，则每个直角三角形的面积为．【分析】根据勾股定理可知a 2+b 2＝c 2，再根据b ﹣a ＝4，c ＝20，即可得到a 、b 的值，然后即可计算出每个直角三角形的面积．【解答】解：由图可得，a 2+b 2＝c 2，∴{a 2+b 2=202b −a =4且a 、b 均大于0，解得{a =12b =16， ∴每个直角三角形的面积为12ab =12×12×16＝96，故答案为：96．【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出a 、b 的值．33．（2022•常州）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12．在Rt △DEF 中，∠F ＝90°，DF ＝3，EF ＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF ，Rt △DEF 从起始位置（点D 与点B 重合）平移至终止位置（点E 与点A 重合），且斜边DE 始终在线段AB 上，则Rt △ABC 的外部被染色的区域面积是．【分析】如图，连接CF 交AB 于点M ，连接CF ′交AB 于点N ，过点F 作FG ⊥AB 于点G ，过点F ′作F ′H ⊥AB 于点H ，连接FF ′，则四边形FGHF ′是矩形，Rt △ABC 的外部被染色的区域是梯形MFF ′N ．求出梯形的上下底以及高，可得结论．【解答】解：如图，连接CF 交AB 于点M ，连接CF ′交AB 于点N ，过点F 作FG ⊥AB 于点H ，过点F ′作F ′H ⊥AB 于点G ，连接FF ′，则四边形FGHF ′是矩形，Rt △ABC 的外部被染色的区域是梯形MFF ′N ．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∴DE=√DF2+EF2=√32+42=5，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，∴AB=√AC2+BC2=√92+122=15，∵12•DF•EF=12•DE•GF，∴FG=12 5，∴BG=√BF2−FG2=√32−(125)2=95，∴GE＝BE﹣BG=165，AH＝GE=165，∴F′H＝FG=12 5，∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，∵BF∥AC，∴BMAM=BFAC=13，∴BM=14AB=154，同法可证AN=14AB=154，∴MN＝15−154−154=152，∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积=12×（10+152）×125=21，故答案为：21．【点评】本题考查勾股定理，梯形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题在的压轴题．34．（2022•无锡）已知△ABC中，∠B＝45o，∠C＝60o，AB=√6，则AC＝．【分析】：过A作AH⊥BC于H，由∠B＝45°，得BH＝AH=AB2=√3，而∠C＝60°，知CH=12AC，由勾股定理有（12AC）2+（√3）2＝AC2，即可解得答案．【解答】解：过A作AH⊥BC于H，如图：∵∠B ＝45°，∴△ABH 是等腰直角三角形，∴BH ＝AH =AB 2=√62=√3， ∵∠C ＝60°，∴∠CAH ＝30°，∴CH =12AC ，在Rt △ACH 中，CH 2+AH 2＝AC 2，∴（12AC ）2+（√3）2＝AC 2，解得AC ＝2（负值舍去），故答案为：2．【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握含45°，30°角的直角三角形三边的关系．35．（2022•无锡）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90o ，AC ＝2，BC ＝4，点E 、F 分别在AB 、AC 上，点A 关于EF 的对称点A '落在BC CA '＝x ．若AE ＝AF ，则x ＝；设AE ＝y ，请写出y 关于x 的函数表达式：．【分析】连接A 'E ，A 'F ，由点A 关于EF 的对称点A '落在BC 上，AE ＝AF ，可得A 'E ＝AE ＝A 'F ＝AF ，四边形AEA 'F 是菱形，即知A 'B ＝2A 'E ，而CA '＝x ，在Rt △A 'CF 中，可得x 2+（12x ）2＝（2−12x ）2，解得x =√5−1；若AE ＝y ，过E 作EH ⊥BC 于H ，由△BHE ∽△BCA ，可得BH ＝4−2√55y ，HE ＝2−√55y ，在Rt △A 'HE 中，有（2√55y ﹣x ）2+（2−√55y ）2＝y 2，变形可得答案．【解答】解：连接A 'E ，A 'F ，如图：。

中考数学专题练习22《直角三角形与勾股定理》

22.直角三角形与勾股定理一、选择题1. (2018·攀枝花)如图，等腰直角三角形的顶点,A C 分别在直线,a b 上.若//a b ，130∠=︒.则2∠的度数为( )A. 30ºB. 15ºC.10ºD. 20º2. (2018·葫芦岛)如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在AC 上，//DE AB .若165CDE ∠=︒，则B ∠的度数为( )A.15ºB. 55ºC. 65ºD. 75º 3. (2018·滨州)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. (2018·南通)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )A. 3,4,5B. 2,3,4C. 4,6.7D. 5,11,125. (2018·长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何?”这道题讲的是，有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大?题中“里”是我国市制长度单位，1里= 500米，则该沙田的面积为( ) A. 7. 5平方千米 B. 15平方千米 C. 75平方千米 D. 750平方千米6. (2018·庐州)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的较长直角边长为a ，较短直角边长为b .若8ab =，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为( )A. 9B. 6C. 4D. 37. (2018·扬州)如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，CE 平分ACD ∠交AB 于点E ，则下列结论一定成立的是( )A. BC EC =B. EC BE =C. BC BE =D. AE EC =8. (2018·常德)如图，BD 是ABC ∆的角平分线，ED 是BC 的垂直平分线，90BAC ∠=︒，3AD =，则CE 的长为( )A. 6B. 5C. 4D.9. (2018·黄冈)如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 为AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，2AD =，5CE =，则CD 的长为( )A. 2B. 3C. 4D. 10. (2018·淄博)如图，在Rt ABC ∆中，CM 平分ACB ∠交AB 于点M ，过点M 作//MN BC 交AC 于点N ，且MN 平分∠1AN =，则BC 的长为( )A. 4B. 6C.D. 811. (2018·贺州)如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为D ，E 是边BC的中点，3AD ED ==，则BC 的长为( )A. B. C. 6 D. 12.(2018·东营)如图，点E 在DBC ∆的边DB 上，点A 在DBC ∆内部，90DAE BAC ∠=∠=︒，AD AE =，AB AC =.给出下列结论:①BD CE =;②45ABD ECB ∠+∠=︒;③BD CE ⊥;④22222()BE AD AB CD =+-.其中正确的是( )A.①②③④B.②④C.①②③D.①③④13. (2018·温州)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图所示的矩形由两个这样的图形拼成.若3,4a b ==，则该矩形的面积为( )A. 20B. 24C.994 D. 53214.(2018·东营)如图，圆柱的高3AB =，底面直径3BC =，现在有一只蚂蚁想要从A 处沿圆柱表面爬到对角C 处捕食，则它爬行的最短距离是( )A. B. C. D.二、填空题15. (2018·福建)如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AB =，D 是AB 的中点，则CD的长为 .16. (2018·广安)如图，15AOE BOE ∠=∠=︒，//EF OB ，EC OB ⊥于点C .若1EC =，则OF 的长为 .17. (2018·德州)如图，OC 为AOB ∠的平分线，CM OB ⊥，5OC =，4OM =，则点C到射线OA 的距离为 .18. (2018·吉林)如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4,0)，点B 的坐标为(0,3)，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点C ，则点C 的坐标为 .19. (2018·湘潭)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”翻译成数学问题是，如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，10AC AB +=，3BC =，求AC 的长.如果设AC x =，那么可列方程为 . 20. (2018·天津)如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，,D E 分别为,AB BC 的中点，EF AC ⊥于点F ，G 为EF 的中点，连接DG ，则DG 的长为 . 21. (2018·玉林)如图，在四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，60A ∠=︒，4AB =，则AD的取值范围是 .22. (2018·绵阳)如图，在ABC ∆中，3,4AC BC ==.若,AC BC 边上的中线,BE AD 垂直相交于点O ，则AB 的长为 .23. (2018·云南)在ABC ∆中，5AB AC ==.若BC 边上的高为3，则BC 边的长为 .24. (2018襄阳)已知CD 是ABC ∆的边AB 上的高，若1,2CD AD AB ===AC ，则BC 的长为 .25. (2018·双鸭山)在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3,4AB BC ==，过点B 的直线把ABC ∆分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积为 . 三、解答题26. (2018·南通)如图，沿AC 方向开山修路.为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC 上的一点B 取120ABD ∠=︒，520BD =m ，30D ∠=︒.那么另一边开挖点E 离点D 多远正好使,,A C E 三点在同一条直线上 1. 732，结果取整数)27. (2018·杭州)如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段AB 于点D ;以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连接CD . (1)若28A ∠=︒，求ACD ∠的度数， (2)设,BC a AC b ==.①线段AD 的长是方程2220x ax b +-=的一个根吗?说明理由.②若AD EC =，求ab的值.28. (2018·双鸭山)如图，在Rt BCD ∆中，90CBD ∠=︒，BC BD =，点A 在CB 的延长线上，且BA BC =，点E 在直线BD 上移动，过点E 作射线EF EA ⊥，交CD 所在直线于点F .(1)当点E 在线段BD 上移动时，如图①所示，求证:2BC DE DF -=. (2)当点E 在线段BD 上移动时，如图②③所示，线段,BC DE 与DF 又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想，不需要证明.29. (2018·台州)如图，在Rt ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点,D E 分别在,AC BC 上，且CD CE =.(1)如图①，求证: CAE CBD ∠=∠;(2)如图②，F 是BD 的中点，求证: AE CF ⊥;(3)如图③，,F G 分别是,BD AE 的中点，AC =1CE =，求CGF ∆的面积.30. (2018·安徽)如图①，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 为边AC 上一点，DE AB⊥于点E ，M 为BD 的中点，CM 的延长线交AB 于点F . (1)求证;CM EM =;(2)若50BAC ∠=︒，求EMF ∠的大小;(3)如图②，若DAE CEM ∆≅∆，N 为CM 的中点，求证://AN EM .参考答案一、1. B 2. D 3. A 4. A 5. A 6. D 7. C 8. D9. C 10. B 11. D 12. A 13. B 14. C 二、15. 3 16. 2 17. 3 18. (1,0)-19. 2223(10)x x +=-20.221. 28AD << 22.23. 9或1 24. 25. 3.6或4.32或4.8 三、26. 另一边开挖点E 离点D 450 m ，正好使,,A C E 三点在同一条直线上 27. (1) 31ACD ∠=︒(2) ①解得AD a =，∴线段AD 的长是方程2220x ax b +-=的一个根②34a b = 28. (1)如图，在BA 上截取BH BE =. ∵90CBD ∠=︒， ∴90ABD ∠=︒.在Rt HBE ∆中，根据勾股定理，得 222BE BH EH +=，即222BE EH =，∴BE BH =. ∵,BC AB BD BE BH ===， ∴AH ED =.∵90AEF ABE ∠=∠=︒， ∴HAE FED ∠=∠.∵90ABE CBD ∠=∠=︒，,BA BC BH BE ==， ∴45BHE CDB ∠=∠=︒， ∴135AHE EDF ∠=∠=︒，∴()AHE EDF ASA ∆≅∆， ∴HE DF =，∴22BC DE BD DE BE HE DF -=-=== (2)题图②中，2DE BC DF -=；题图③中，2DE BC DF +=.29. (1) 在ACE ∆和BCD ∆中，90AC BC ACE BCD CD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴ACE BCD ∆≅∆， ∴CAE CBD ∠=∠.(2)如图①，设,AE CF 相交于点M .∵在Rt BCD ∆中，90BCD ∠=︒，F 是BD 的中点，∴12CF BD BF ==. ∴BCF CBF ∠=∠，由(1)可知，CAE CBD ∠=∠， ∴BCF CAE ∠=∠，∴90CAE ACF BCF ACF ACB ∠+∠=∠+∠=∠=︒， ∴在AMC ∆中，90AMC ∠=︒， ∴AE CF ⊥(3) 78CGF S ∆=30. (1) ∵90ACB ∠=︒，M 为BD 的中点， ∴在Rt BCD ∆中，12BM DM CM BD ===. ∵DE AB ⊥，∴在Rt BED ∆中，12BM DM EM BD ===， ∴CM EM =. (2) 100EMF ∠=︒(3)∵DAE CEM ∆≅∆，∴90DEA CME ∠=∠=︒，DE CM =，AE EM =. 由(1)得CM DM EM ==， ∴DE DM EM ==， ∴DEM ∆是等边三角形，∴30MEF DEF DEM ∠=∠-∠=︒. 如图，连接AM .1152EAM EMA MEF ∠=∠=∠=︒ ∴75AMC CME EMA ∠=∠-∠=︒.又∵30CMD CME EMD ∠=∠-∠=︒，且MC MD =， ∴75ACM ∠=︒， ∴AMC ACM ∠=∠， ∴AC AM =.又∵在ACM ∆中，N 为CM 的中点， ∴AN CM ⊥，∴90ANC CME ∠=∠=︒， ∴//AN EM .。

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直角三角形与勾股定理
一、选择题
1.（2011山东滨州，9，3分）在△ABC中,∠C=90°, ∠C=72°,AB=10,则边AC的长约为
(精确到0.1)（）
A.9.1
B.9.5
C.3.1
D.3.5
【答案】C
2. （2011山东烟台，7,4分）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角
三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（）
A2m B.3m C.6m D.9m
（第7题图）
【答案】C
3. （2011台湾全区，29）已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，
再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？
A．100 B．180 C．220 D．260
【答案】Ｃ
4. （2011湖北黄石，7，3分）将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的
纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图(3)，则三角板的最大边的长为
A. 3cm
B. 6cm
C. 32cm
D. 62cm
【答案】D
5. （2011贵州贵阳，7，3分）如图，△ABC 中，∠C =90°，AC =3，∠B =30°，点P 是BC
边上的动点，则AP 长不可能是
（第7题图）
（A ）3.5 （B ）4.2 （C ）5.8 （D ）7 【答案】D
6. （2011河北，9，3分）如图3，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6,D,E 分别在AB,AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（） A ．
2
1
B ．2
C ．3
D ．4
图3
A '
【答案】B
二、填空题
1. （2011山东德州13,4分）下列命题中，其逆．命题成立的是______________．（只填写序号）
①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④如果三角形的三边长a ，b ，c 满足2
2
2
a b c +=，那么这个三角形是直角三角形．
【答案】① ④
2. （2011浙江温州，16，5分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1,S 2，S 3．若S 1，S 2，S 3＝10，则S 2的值是．
【答案】
10
3
3. (2011重庆綦江，16，4分) 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH
的边长为2米，坡角∠A ＝30°,∠B ＝90°,BC ＝6米. 当正方形DEFH 运动到什么位置,即当AE ＝米时,有DC 2＝AE 2＋BC 2.
【答案】：
3
14
4. （2011四川凉山州，15，4分）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜
边长为c ，那么2
2
2
a b c +=”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式：。

【答案】如果三角形三边长a ，b ，c ，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形 5. （2011江苏无锡，16，2分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，D 、E 、F 分别是AB 、
BC 、CA 的中点，若CD = 5cm ，则EF = _________cm ．
【答案】5
6. （2011广东肇庆，13，3分）在直角三角形ABC 中，∠C ＝ 90°，BC ＝ 12，AC ＝ 9，
则AB ＝ ▲ ．【答案】15
7. （2011贵州安顺，16，4分）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6cm ，AC =8cm ，按图
中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C ′点，那么△ADC ′的面积是．
【答案】6cm 2
8. （2011山东枣庄，15，4分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB =14cm ，则阴影部分的面积是________cm 2.
【答案】492
三、解答题
1. （2011四川广安，28，10分）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直
角边长为6m 、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三．．．．．．．．角形．．
．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．
A
E
B
第16题图
A
C
B
E
F
（第16题）
【答案】由题意可得，花圃的周长=8+8+2. （2011四川绵阳23，12）
王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一条边长为a 米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米. (1)请用a 表示第三条边长；
(2)问第一条边长可以为7米吗？为什么?请说明理由，并求出a 的取值范围；
(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法;若不能，请说明理由.
【答案】(1)第一条边为a,第二条边为2a+2,第三条边为30-a-（2a+2）=28-3a
(2)不可以是7，∵第一条边为7，第二条边为16，第三条边为7，不满足三边之间的关系，不可以构成三角形。

13
2＞a ＞5
(3)5,12,13,可以围成一个满足条件的直角三角形
4. （2011四川乐山25，12分）如图,在直角△ABC 中, ∠ACB=90
,CD ⊥AB,垂足为D,点E 在AC 上,BE 交CD 于点G,EF ⊥BE 交AB 于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n 为实数).试探究线段EF 与EG 的数量关系.
(1) 如图(14.2),当m=1,n=1时,EF 与EG 的数量关系是证明:
(2) 如图(14.3),当m=1,n 为任意实数时,EF 与EG 的数量关系是证明
(3) 如图(14.1),当m,n 均为任意实数时,EF 与EG 的数量关系是 (写出关系式,不必证明)
5. （2011四川乐山18，3分）如图，在直角△ABC 中，∠C=90
，∠CAB 的平分线AD 交BC 于D ，若DE 垂直平分AB ，求∠B 的度数。

【答案】
解：∵AD 平分∠CAD ∴∠CAD=∠BAD
∵DE 垂直平分AB ∴AD=BD,∠B=∠BAD ∴∠CAD=∠BAD=∠B ∵在Rt ΔABC 中，∠C=90º ∴∠CAD+∠DAE+∠B=90º ∴∠B=30º
6. （2011山东枣庄，21，8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）画线段AD ∥BC 且使AD =BC ，连接CD ；
（2）线段AC 的长为，CD 的长为，AD 的长为；（3）△ACD 为三角形，四边形ABCD 的面积为；（4）若E 为BC 中点，则tan ∠CAE 的值是．
解：（1）如图； ……………………………1分
A
B
C
E
（2
）2
5；………………4分
（3）直角，10；……………………6分
（4）1
2
．……………………………8分
A
B
C
E
第21题图
D。