第19节 直角三角形与勾股定理
北师大版-数学-八年级上册-《勾股定理》教学分析与建议
北师大版八年级数学（上）第一章勾股定理教学分析与建议一、主要内容勾股定理在数学的发展历史上起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。
它的发现、证明和应用都蕴涵着丰富的数学的、文化的内涵。
它是几何学中的重要的定理之一。
教材为学生设计了自主探索勾股定理内容以及验证它的素材和空间，教学中要使学生经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程教材的设计过程中，希望学生能够利用方格纸探索勾股定理内容，并且能利用拼图验证勾股定理，再次就是通过测量获得勾股定理的逆定理教材提供了较为丰富的历史的或现实的例子，以展示勾股定理及其逆定理的应用，体现其文化价值。
当然限于学生的已有知识，问题解决中所涉及的数据均为完全平方数，本章更多的关注学生对勾股定理及其逆定理的理解和应用，不追求复杂计算。
二、评价建议1，关注对探索勾股定理等活动的评价。
一方面要关注学生是否积极参与，是否能与同伴进行有效合作交流；另一方面也要关注学生在活动中能否进行积极的思考，能否探索出解决问题的方法，是否能够进行积极的思考，在活动中学生所表现出的归纳，概括能力，学生是否能够有条理地表达活动过程和所获得的结论等。
2，关注考查对勾股定理及其逆定理的理解和应用。
注意评价时，不应以复杂运算为主，我们应更另关注学生对有关结论的正确使用。
三、教学目标l．经历探索勾股定理及一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会数形结合的思想；2．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题；3．掌握判断一个三角形是直角三角形的条件，并能运用它解决一些实际问题；4．通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值。
四、教材特点勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。
勾股定理的发现、验证和应用蕴涵着丰富的文化价值。
勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
勾股定理、方根专题知识点整理
勾股定理、平方根专题知识点整理第一节勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。
）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段二、平方根：（11——19的平方）1、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。
《勾股定理》优秀说课稿（精选5篇）
《勾股定理》优秀说课稿（精选5篇）《勾股定理》优秀说课稿篇1一、说教材勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，它可以解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，在实际生活中用途很大。
教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际分析、拼图等活动，使学生获得较为直观的印象；通过联系和比较，理解勾股定理，以利于正确的进行运用。
据此，制定教学目标如下：1、理解并掌握勾股定理及其证明。
2、能够灵活地运用勾股定理及其计算。
3、培养学生观察、比较、分析、推理的能力。
4、通过介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感和钻研精神。
教学重点：勾股定理的证明和应用。
教学难点：勾股定理的证明。
二、说教法和学法教法和学法是体现在整个教学过程中的，本课的教法和学法体现如下特点：1、以自学辅导为主，充分发挥教师的主导作用，运用各种手段激发学生学习欲望和兴趣，组织学生活动，让同学们主动参与学习全过程。
2、切实体现学生的主体地位，让学生通过观察、分析、讨论、操作、归纳，理解定理，提高学生动手操作能力，以及分析问题和解决问题的能力。
3、通过演示实物，引导学生观察、操作、分析、证明，使学生得到获得新知的成功感受，从而激发学生钻研新知的欲望。
三、教学程序本节内容的教学主要体现在学生动手、动脑方面，根据学生的认知规律和学习心理，教学程序设计如下：（一）创设情境以古引新1、由故事引入，3000多年前有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦等于5。
这样引起学生学习兴趣，激发学生求知欲。
2、是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？教师要善于激疑，使学生进入乐学状态。
3、板书课题，出示学习目标。
勾股定理教学设计(优秀3篇)
勾股定理教学设计(优秀3篇)《勾股定理》教学设计篇一教学目标具体要求：1.知识与技能目标：会用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题。
2.过程与方法目标：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件。
3.情感态度与价值观目标：通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育。
重点：勾股定理的应用难点：勾股定理的应用教案设计一、知识点讲解知识点1：（已知两边求第三边)1．在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为_____________。
2．已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长是______________。
3．三角形ABC中，AB=10,AC=一qi,BC边上的高线AD=8,求BC的长？知识点2：利用方程求线段长1、如图，公路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=壹五km，CB=10km，现在要在公路AB上建一车站E，（1）使得C，D两村到E站的距离相等，E站建在离A站多少km处？（2）DE与CE的位置关系（3）使得C，D两村到E站的距离最短，E站建在离A站多少km处？利用方程解决翻折问题2、如图，用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？3、在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按图所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长。
4.如图，将一个边长分别为4、8的矩形形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EF 的长是多少？5、折叠矩形ABCD的一边AD,折痕为AE,且使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm,BC=10cm，以B点为原点，BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系。
求点F和点E坐标。
6、边长为8和4的矩形OABC的两边分别在直角坐标系的x轴和y轴上，若沿对角线AC折叠后，点B落在第四象限B1处，设B1C交x轴于点D，求（1）三角形ADC的面积，（2）点B1的坐标，（3）AB1所在的直线解析式。
勾股定理几种证明方法
勾股定理几种证明方法勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b，所以面积相等.即11a2+b2+4×ab=c2+4×ab22，整理得a2+b2=c2.【证法2】（邹元治证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积1ab2等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵RtΔHAE≌RtΔEBF,∴∠AHE=∠BEF.∵∠AEH+∠AHE=90º,∴∠AEH+∠BEF=90º.∴∠HEF=180º―90º=90º.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.∵RtΔGDH≌RtΔHAE,∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD+∠GHD=90º,∴∠EHA+∠GHD=90º.又∵∠GHE=90º,∴∠DHA=90º+90º=180º.2∴.∴a+b=c.【证法3】（赵爽证明）以a、b为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角(a+∴ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于(a+b)2=4×1ab+c22221ab2三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90º，∴∠EAB+∠HAD=90º，2∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c.∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90º. 2(b−a)∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.14×ab+(b−a)2=c22∴.222∴a+b=c.【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面1ab2积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵∴∵∴∴∴RtΔEAD≌RtΔCBE,∠ADE=∠BEC.∠AED+∠ADE=90º,∠AED+∠BEC=90º.∠DEC=180º―90º=90º.ΔDEC是一个等腰直角三角形，12c2它的面积等于.又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,∴AD∥BC.1(a+b)2∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2.1(a+b)2=2×1ab+1c222.∴2∴a+b=c.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，222∴∴又∵∴∴∵∴∴即又∵∠BED+∠GEF=90°，∠BEG=180º―90º=90º.AB=BE=EG=GA=c，ABEG是一个边长为c的正方形.∠ABC+∠CBE=90º.RtΔABC≌RtΔEBD,∠ABC=∠EBD.∠EBD+∠CBE=90º.∠CBD=90º.∠BDE=90º，∠BCP=90º，BC=BD=a.∴BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则1a2+b2=S+2×ab,21c2=S+2×ab2,∴a2+b2=c2.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵∠BCA=90º，QP∥BC，∴∠MPC=90º，∵BM⊥PQ，∴∠BMP=90º，∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMP=90º，∠BCA=90º，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，12a∵ΔFAB的面积等于2ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，2∴矩形ADLM的面积=a.2b同理可证，矩形MLEB的面积=.∵正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积222222∴c=a+b，即a+b=c.【证法8】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R.过B作BP⊥AF，垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.∵∠BAD=90º，∠PAC=90º，∴∠DAH=∠BAC.又∵∠DHA=90º，∠BCA=90º，AD=AB=c，∴RtΔDHA≌RtΔBCA.∴DH=BC=a，AH=AC=b.由作法可知，PBCA是一个矩形，所以RtΔAPB≌RtΔBCA.即PB=CA=b，AP=a，从而PH=b―a.∵RtΔDGT≌RtΔBCA,RtΔDHA≌RtΔBCA.∴RtΔDGT≌RtΔDHA.∴DH=DG=a，∠GDT=∠HDA.又∵∠DGT=90º，∠DHF=90º，∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90º，∴DGFH是一个边长为a的正方形.∴GF=FH=a.TF⊥AF，TF=GT―GF=b―a.∴TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP=b，高FP=a+（b―a）.用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为c2=S1+S2+S3+S4+S5①∵S8+S3+S4=1[b+(b−a)]•[a+(b−a)]b2−1ab22，=S5=S8+S9，1S3+S4=b2−ab−S8b2−S−S18.2∴=②把②代入①，得c2=S1+S2+b2−S1−S8+S8+S92b+S2+S9=b2+a2.=222∴a+b=c.【证法9】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.∵∠TBE=∠ABH=90º，∴∠TBH=∠ABE.又∵∠BTH=∠BEA=90º，BT=BE=b，∴RtΔHBT≌RtΔABE.∴HT=AE=a.∴GH=GT―HT=b―a.又∵∠GHF+∠BHT=90º，∠DBC+∠BHT=∠TBH+∴∠GHF=∠DBC.∵DB=EB―ED=b―a，∠HGF=∠BDC=90º，∴RtΔHGF≌RtΔBDC.即S7=S2.过Q作QM⊥AG，垂足是M.由∠BAQ=∠BEA=90º，可知∠ABE=∠QAM，而AB=AQ=c，所以RtΔABE≌RtΔQAM.又RtΔHBT≌RtΔABE.所以RtΔHBT≌RtΔQAM.即S8=S5.由RtΔABE≌RtΔQAM，又得QM=AE=a，∠AQM=∠BAE.∵∠AQM+∠FQM=90º，∠BAE+∠CAR=90º，∠AQM=∠BAE，∴∠FQM=∠CAR.又∵∠QMF=∠ARC=90º，QM=AR=a，∴RtΔQMF≌RtΔARC.即S4=S6.222c=S+S+S+S+Sa=S+Sb1234516∵，，=S3+S7+S8，又∵S7=S2，S8=S5，S4=S6，22a+b=S1+S6+S3+S7+S8∴=S1+S4+S3+S2+S5=c，222即a+b=c.【证法10】（利用反证法证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.222222假设a+b≠c，即假设AC+BC≠AB，则由AB2=AB•AB=AB(AD+BD)=AB•AD+AB•BD22可知AC≠AB•AD，或者BC≠AB•BD.即AD：AC≠AC：AB，或者BD：BC≠BC：AB.在ΔADC和ΔACB中，∵∠A=∠A，∴若AD：AC≠A C：AB，则∠ADC≠∠ACB.在ΔCDB和ΔACB中，∵∠B=∠B，∴若BD：BC≠BC：AB，则∠CDB≠∠ACB.又∵∠ACB=90º，∴∠ADC≠90º，∠CDB≠90º.222AC+BC≠AB这与作法CD⊥AB矛盾.所以，的假设不能成立.222∴a+b=c.【证法15】（辛卜松证明）DD2设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为(a+b)2=a2+b2+2ab；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为∴∴(a+b)21=4×ab+c222=2ab+c.a2+b2+2ab=2ab+c2,【证法11】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.在EH=b上截取ED=a，连结则AD=c.∵EM=EH+HM=b+a,ED=∴DM=EM―ED=(b+a)―a=b.又∵∠CMD=90º，CM=a，∠AED=90º，AE=b，∴RtΔAED≌RtΔDMC.∴∠EAD=∠MDC，DC=AD=c.∵∠ADE+∠ADC+∠MDC=180º，∠ADE+∠MDC=∠ADE+∠EAD=90º，∴∠ADC=90º.∴作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.∵∠BAF+∠FAD=∠DAE+∠FAD=90º，∴∠BAF=∠DAE.连结FB，在ΔABF和ΔADE中，∵AB=AD=c，AE=AF=b，∠BAF=∠DAE，∴ΔABF≌ΔADE.∴∠AFB=∠AED=90º，BF=DE=a.∴点B、F、G、H在一条直线上.在RtΔABF和RtΔBCG 中，∵AB=BC=c，BF=CG=a，∴RtΔABF≌RtΔBCG.2c=S2+S3+S4+S5，∵S1=S5=S4=S6+S7，b2=S1+S2+S6，a2=S3+S7，22a+b=S3+S7+S1+S2+S6∴=S2+S3+S1+(S6+S7)∴=S2+S3+S4+S52=c。
第19章 解直角三角形 - 首页 - 湖州市教育科学研究中心
第19章解直角三角形(安吉实验初中王星鑫2005.1.13)主要内容:创设问题情境（利用相似三角形解决测量问题的同时引入新知识）提出本章的研究课题（①三边关系②边角关系）在实际问题中的简单应用（解直角三角形）教学目标1.经历勾股定理的探索过程.2.了解勾股定理的历史.3.知道30°、45°、60°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角.4.理解并掌握直角三角形边角之间的关系.5.能综合应用直角三角形的边角关系解决简单的实际问题编排特点(在传统教材中勾股定理与三角函数是分两章的,我们觉得两者合在一起是比较合理的.)1.在呈现方式上，突出研究性,类似数学家的工作,是一个经历再创造的过程. 例如，对勾股定理和三角函数意义都是通过问题引出的。
2.勾股定理和三角函数的应用尽量都和实际问题联系起来，减少单纯解直角三角形的问题。
3.对实际问题的选取注意联系学生的生活实际。
4.本章安排了3个阅读材料,意在扩大学生的知识面,渗透人文精神。
5.注意训练系统的科学性，减少操作性习题，增加探索性问题的比重。
6.有关三角函数和解直角三角形的计算要充分利用计算器.课时安排本章的教学时间大约需要13课时，建议分配如下：§19.1 测量-----------------1课时§19.2 勾股定理-------------2课时§19.3 锐角三角函数---------2课时§19.4 解直角三角形---------4课时（原来初三内容，放慢）复习------------------------2课时课题学习--------------------2课时具体课时情况:§19.1 测量本节起着承上启下的作用。
通过一个实际问题——测量旗杆的高度，一方面帮助学生复习相似三角形有关知识，另一方面引出勾股定理及锐角三角函数。
勾股定理→求边长
勾股定理→求边长勾股定理三⼤境界（利⽤勾股定理求线段长）【境界⼀】已知两边求第三边例：已知⼀直⾓三⾓形两边长为3和4，求第三边的长度？【注】分两种情况讨论，记得考虑“谁是斜边？”【境界⼆】已知⼀边找另外两边的关系【注】解题步骤：审题→标注条件→设x表⽰线段长→确定三⾓形→根据勾股定理列⽅程.【境界三】两个直⾓三⾓形共边或有相等边两个直⾓三⾓形共边:c2-a2=d2-b2两个直⾓三⾓形有相等的边: d2-c2=a2+b2例：如图，将边长为8cm的正⽅形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是．分析与解题步骤：想求CN的长→CN在Rt△CEN中→根据题中知道CE=4，所以对应到“境界⼆”已知⼀边找另外两边的关系→设CN=x，则EN=8-x→确定在Rt△CEN中→利⽤勾股定理列关系式．【变式】：求线段MF的长．分析与解题步骤：⽅法⼀：常规思路想求MF的长→MF不在直⾓三⾓形中→考虑转化，MF=AM→添辅助线作MH⊥DC，构造直⾓三⾓形→MH=8，△CED≌△HNM（条件①∠MHN=∠C=90°；条件②MH=CD；条件③由于∠MND+∠NMH=90°=∠MND+∠EDC ，所以∠NMH=∠EDC），得MN=DE=4√5,所以对应到“境界⼀”，已知两边求第三边．⽅法⼆：从折叠出发考虑折叠性质想求MF的长→MF不在直⾓三⾓形中→考虑转化，MF=AM→添辅助线（根据折叠，思考折叠的性质）连接DM，ME，且DM=ME→两个相等的线段分别在直⾓三⾓形中，对应到“境界三”→设AM=x，BM=8-x→根据勾股定理列关系式82+x2=（8-x）2+42．练习1：在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且a=3，b=4，c为质数，求c的长．练习2：已知直⾓三⾓形的两边长为5和12，则斜边上的中线长是__________．练习3：在△ABC中，AB＝15，AC=13，⾼AD＝12，则△ABC的周长．练习4：如图，将边长为8cm的正⽅形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是______cm．练习5：如图，在△ABC中，CE是AB边上的中线，CD⊥AB于D,AB=5,BC=4,AC=6,求DE的长．【参考答案】练习1：2或3练习2：6或6.5练习3：42或32练习4：16练习5：2。
勾股定理的证明方法及常用公式
勾股定理的证明方法及常用公式勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。
在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。
设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。
从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。
延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。
在这个定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。
（SAS）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。
任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。
任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积。
证明的思路为：从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。
延长此线把对边上的正方形一分为二，把上方的两个正方形，通过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。
设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。
其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
画出过点A之BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。
分别连接CF、AD，形成△BCF、△BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。
∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。
因为AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。
因为A与K和L在同一直线上，所以四边形BDLK=2△ABD。
因为CA和G在同一直线上，所以正方形BAGF=2△FBC。
因此四边形BDLK=BAGF=AB2。
同理可证，四边形CKLE=ACIH=AC2。
把这两个结果相加，AB2+AC2=BD×BK+KL×KC由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BDBK+KC=BD×BC由于CBDE是个正方形，因此AB2+AC2=BC2，即a2+b2=c2。
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解：连接DC，∵AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点， ∴CD⊥AB，∠A＝∠B＝∠DCA＝∠DCB＝45°，CD＝DB，∴∠FDB＋ ∠CDF＝90°，又DE⊥DF， ∴∠EDC＋∠CDF＝90°， ∴∠EDC＝∠FDB， ∴△ECD≌△FBD(ASA)， ∴DE＝DF
解：(1)∵AD平分∠BAC， DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， ∠DEB＝∠DFC＝90°， 由HL可证Rt△DEB≌Rt△DFC， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC
等于_______．
11．(2016·黔南州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直 6
平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD＝3，则BD的长为______．
12．(2015·毕节)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分 ∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝___2___．
勾股定理是揭示直角三角形的三边关系的定理．若已知直角三角形中的两 边长就可求出第三边长；若已知直角三角形三边的关系，则可设未知边长， 根据勾股定理列方程求解.
D
2．在勾股定理的运用中混淆了正方形的边长和面积．
【例4】(2017·贵阳)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＋∠DCB
＝90°，且BC＝2AD，以AB，BC，DC为边向外作正方形，其面积分别
为 S1， S2， S3， 若S1＝3， S3Hale Waihona Puke 9， 则 S2的值为 ()D
A．12 B．18 C．24 D．48
1．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都 是格点，则线段AB的长度为(A ) A．5 B．6 C．7 D．25
2．(2017·荆门)如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已 知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( C ) A．5 B．6 C．8 D．10
16．在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解 题思路完成解答过程．
17．(导学号 78324036)(2016·六盘水)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB ＝c， 若∠C＝90°， 如图①， 则 有a2＋b2＝c2；若△ABC为 锐 角三角形时， 小明猜想：a2＋b2＞c2， 理由如下：如图②， 过 点A作AD⊥CB于点D， 设 CD＝x.在Rt△ADC中， AD2＝b2－x2， 在Rt△ADB中， AD2＝c2－(a－x)2， ∴a2＋b2＝c2＋2ax， ∵a＞0， x＞0， ∴2ax＞0， ∴a2＋b2＞c2， ∴当△ABC为锐角三角形时， a2＋b2＞c2， 所以小明的猜想是正确的．
A
9．(2017·绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时， 梯子底端到左端墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子 底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度 为( ) C A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
10．(2021.57·安顺)三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长
(1)请 你猜想， 当△ABC为 钝 角三角形时， a2＋b2与c2的大小关系； (2)温馨提示：在图③中，作BC边上的高； (3)证明你猜想的结论是否正确．
解：(1)当△ABC为 钝 角三角形时， a2＋b2与c2的大小关系为a2＋b2＜c2 (2)如图，过点A作AD⊥BC于点D
(3)如图，设CD＝x. 在Rt△ADC中， AD2＝b2－x2， 在Rt△ADB中， AD2＝c2－(a＋x)2， ∴a2＋b2＝c2－2ax， ∵a＞0， x＞0， ∴2ax＞0， ∴a2＋b2＜c2， ∴当△ABC为 钝 角三角形时， a2＋b2＜c2
B
C
D 5．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( ) A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶2 C． (b＋c)(b－c)＝a2 D．a＝3＋k，b＝4＋k，c＝5＋k(k＞0)
A
7．(2016·黔东南州)2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材 于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间 的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小 正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b， 那么(a＋bC)2的值为 ( ) A．13 B．19 C．25 D．169
18．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，若DE是△ABC 的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的 长为( ) B A．7 B．8 C．9 D．10
C
D
6或10
毕节地区
第19节 直角三角形与勾股定理
数学
①②③④
B
(2)如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC 上)， 折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为(10，8)， 则点E的坐标为__(_1_0_，__3_)_______．
点拨：(1)根据勾股定理逆定理作出判断；(2)要求点E的坐标，只需求出线 段CE的长，在Rt△CEF中，运用勾股定理列方程即可．
13．(2017·泸州)在△ABC中，BD和CE分别是边AC，AB上的中线，且 BD⊥CE，垂足为O.若OD＝2 cm，OE＝4 cm，则线段OA的长度为 ___________cm.
14．(2017·铜仁)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中 点，DE⊥DF， 点E，F分别在AC，BC上，求证：DE＝DF.