北师大版初二数学《一次函数》优秀教案

一次函数定义：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有惟一．．的值与之对应，我们就说x 是自变量，y 是因变量，此时也称y 是x 的函数． 例1：求下列函数中自变量x 的取值范围： (1)21+=x y ； (2)2-=x y ． 例2：圆柱底面半径为5cm ，则圆柱的体积V （cm 3）与圆柱的高h （cm ）之间的函数关系式为，它是函数．定义：一次函数：若两个变量x 、y 间的关系可以表示成（k 、b 为常数，k ≠0）形式，则称y 是x 的一次函数（x 是自变量，y 是因变量）．特别地，当b ＝0时，称y 是x 的____________．正比例函数是一次函数的特殊情况．例1：有下列函数：①y ＝－x －2；②y ＝－2x ；③y ＝－x 2＋（x +1）(x －2)；④y ＝－2，其中不是一次函数的是．（填序号）例2：要使y ＝（m －2）x n －1＋n 是关于x 的一次函数，则m 、n 应满足______________． 例3：已知y =(k －1)2k x 是正比例函数，则k =． 【变式练习】1、若函数y = (k ＋1)x ＋k 2－1是正比例函数，则k 的值为（ ）A ．0B ．1C ．±1D ．－12、若23y x b =+-是正比例函数，则b 的值是（） A . 0 B .23C . 23-D . 32- 3.下列关于x 的函数中，是一次函数的是（）22221A.3(1) B.y=x+x1C.y=-x D.y=(x+3)-x xy x例1 已知正比例函数y = kx ( k ≠0 ) 的图象过第二、四象限，则（ ）A ．y 随x 的增大而减小B ．y 随x 的增大而增大C ．当x <0时，y 随x 的增大而增大，当x >0时，y 随x 的增大而减小D ．不论x 如何变化，y 不变 例2 已知32)12(--=m x m y 是正比例函数，且y 随x 的增大而减小，则m 的值为_______.【变式练习】1、正比例函数(35)y m x =+，当m 时，y 随x 的增大而增大.2、函数y = (k －1)x ，y 随x 增大而减小，则k 的范围是 ( ) A .0<k B .1>k C .1≤k D .1<k考点：一次函数的图象和性质总结：一次函数的图象一次函数y =kx +b 的图象是经过点(0，b )，（－kb，0）的一条直线 正比例函数y =kx 的图象是经过原点（0，0）的一条直线，如下表所示．例1：已知函数y =(m －3)x －32，当m________时，y 随x 的增大而增大；当m _________时，y 随x 的增大而减小．例2：已知正比例函数y =(3k －1)x ，y 随着x 的增大而增大，则k 的取值范围是（） A ．k <0 B ．k >0 C ．k <13D ．k >13例3：如图，表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m n ，为常数，且mn 0≠）图象的是（ ）【变式练习】1、两个一次函数y 1= ＋n ，y 2= nx ＋m ，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（）2、已知函数221+-=x y ，当11≤<-x 时，y 的取值范围是（） A .2325≤<-y B .2523<<y C .2523<≤y D .2523≤<y3、若关于x 的函数1(1)m y n x-=+是一次函数，则m =，n .4、若m < 0，n > 0，则一次函数y= mx + n 的图象不经过（） A .第一象限B . 第二象限C .第三象限D .第四象限考点：直线的平移:例1：在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象．y ＝2x 与y ＝2x ＋3观察y ＝2x 与y ＝2x ＋3两条直线，它们有什么样的位置关系? 请回答：两条直线11y b kx +=与22b kx y +=平行，那么1k ____2k ，1b ____2b直线的平移:左“+”右“－”，上“+”下“－”点的平移同样按照“左‘+’右‘－’，上‘+’下‘－’”．平移几个单位就加上或者减去几． 例2：直线y ＝－2x 与直线y ＝－2x －4的位置关系是__________．函数y ＝－2x －4图象可以由函数y ＝－2x 的图象向______平移_____个单位得到． 【变式练习】1、下列说法是否正确，为什么?（1）直线y = 3x ＋1与y =－3x ＋1平行；b kx y +=向左（右）平移p 个单位b p x k y +±=)(b kx y += p b kx y ±+=向上（下）平移p 个单位Ｏ xyxy ＯxyＯxyＯ ＡＢC ． D ．（2）直线212+=x y 与212-=x y 重合； （3）直线y =－x －3与y =－x 平行； （4）直线121+=x y 与15.0+=x y 相交. 2、将直线y ＝3x 向下平移5个单位，得到直线；将直线y ＝－x －5向上平移5个单位，得到直线.考点：用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：一设，二代，三解，四代入：（1）设一次函数表达式为y =kx +b ；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）； （3）求出k 与b 的值；（4）将k 、b 的值带入y =kx +b ，得到函数表达式．例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（－1，－3）求此一次函数的关系式． 解：设一次函数的关系式为y ＝kx +b （k ≠0），由题意可知，⎩⎨⎧+-=-+=,3,21b k b k 解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.35,34b k ∴此函数的关系式为y =3534-x ．例1：已知正比例函数的图象如下图如示，则正比例函数的解读式为多少?例2：已知弹簧的长度y （厘M ）在一定的限度内是所挂物质量x （千克）的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘M ，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘M ，求这个一次函数的关系式例3：一次函数y ＝3x ＋b 的图象与两坐标轴围成的三角形面积是24，求b .例4. 若一次函数y =kx +b 的图象经过（0，1）和（－1，3）两点，则此函数的解读式为_____________. 例5、若正比例函数y = kx 的图象经过点（1，2），则此函数的解读式为_____________. 例6. 直线y ＝2x ＋8与x 轴和y 轴的交点的坐标分别是_______、_______. 例7、已知一次函数的图象经过A (－2，－3)，B (1，3)两点.(1)求这个一次函数的解读式；(2)试判断点P (－1，1)是否在这个一次函数的图象上； (3)求此函数与x 轴、y 轴围成的三角形的面积. 【变式练习】1. 油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩余油量Q （升）与流出时间t (分钟）的函数关系是（）A ．Q ＝0.2tB ．Q ＝20－0.2tC ．t =0.2QD ．t =20—0.2Q2. 若正比例函数的图象经过（－l ，5）那么这个函数的表达式为__________，y 的值随x 的减小而____________3. 若一次函数y =kx －3经过点(3，0)，则k =，该图象还经过点( 0，）和（，－2）4. 一某市市内出租车行程在 4km 以内（含 4km ）收起步费 8元，行驶超过4km 时，每超过1 km ，加收1．80元，当行程超出4km 时收费y 元与所行里程x (km ）之间的函数关系式．5. 小李以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售，在销售了部分西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完．销售金额与卖瓜的千克数之间的关系如图l －6－3所示，那么小李赚了（） A ．32元B ．36元C ．38元D ．44元6. 直线y =43 x ＋4与x 轴交于A ，与y 轴交于B ， O 为原点，则△A O B 的面积为（）A ．12B ．24C ．6D ．107.一次函数的图象如图l －6－42所示，那么这个一次函数的表达式是（） A ．y ＝－2x ＋2 B ．y ＝－2x －2 C ．y ＝ 2x ＋2 D ．y ＝2x －2考点：一次函数的应用例1. 如果每盒圆珠笔有12支，售价6元，那么圆珠笔的售价y （元）与圆珠笔的支数x (支）之间的关系式是（）A ．y = 12xB ．y =2xC ．y =6xD ．y =12x例2. 幸福村办工厂，今年前五个月生产某种产品的总量C （件）关于时间t （月）的函数图象如图l －6－43所示，则该工厂对这种产品来说（）A ．1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月每月生产总量逐月减小B ．l 月至3月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量与3月持平C ．l 月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产D ．l 月至3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产例3. 在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x (h )时，汽车与甲地的距离为y (km )，y 与x 的函数关系如图所示．根据图像信息，解答下列问题：(1)这辆汽车的往、返速度是否相同? 请说明理由； (2)求返程中y 与x 之间的函数表达式； (3)求这辆汽车从甲地出发4h 时与甲地的距离． 【变式练习】1、一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为300M ．小军先走了一段路程，爸爸才开始出发．图l －6－44中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程S(M ）与登山所用的时间t（分）的关系（从爸爸开始登山时计时）．根据图象，下列说法错误的是（） A ．爸爸登山时，小军已走了50M B ．爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面 C ．小军比爸爸晚到山顶D ．爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟后登山的速度比小军快2. 某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发. 该地区一家供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费. 月用电量x (度)与相应电费y (元)之间的函数图像如图所示. ⑴月用电量为100度时，应交电费元； ⑵当x ≥100时，求y 与x 之间的函数关系式； ⑶月用电量为260度时，应交电费多少元? 基础练习1. 下列函数是一次函数的是．①y =2x ；②y =3+4x ；③y =0.5；④y =ax （a ≠0的常数）；⑤xy =3；⑥2x +3y －1=0； 2. 若函数y =(m －2)x +5是一次函数，则m 满足的条件是____________． 3．已知y 与x －1成正比例，且x =2时，y ＝7．（1）写出y 与x 之间的函数关系：_________；（2）y 与x 之间是_________函数关系4．已知一次函数y ＝kx ＋5的图象经过点（－1，2），则k ＝_______，图象不经过_______象限． 6.如果直线y =kx +b 经过一、二、四象限，那么有（）A ．k ＞0，b ＞0B ．k ＞0，b ＜0C ．k < 0，b ＜0D ．k ＜0，b ＞0 7. 已知函数：①y =－x ，②y =7－3x ，③y =3x －1，④y =3x 2，⑤y = x 3 ，⑥y = 3x中，正比例函数有（）A ．①⑤B ．①④C ．①③D ．③⑥8．（1）当m =时，y =()()m x m x m +-+-1122是一次函数．（2）我国是一个水资源缺乏的国家，大家要节约用水．据统计，拧不紧的水龙头每秒钟会滴下2滴水，每滴水约0.05毫升．李丽同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当李丽同学离开x 小时后水龙头滴了y 毫升水．则y 与x 之间的函数关系式是．（4）设圆的面积为s ，半径为R ，那么下列说法正确的是（） A ．S 是R 的一次函数B ．S 是R 的正比例函数C ．S 是2R 的正比例函数D ．以上说法都不正确9．已知一次函数y =(m ＋2)x ＋m －m －4的图象经过点（0，2），则m 的值是( )A ．2B ．－2C ．－2或3D ．310．直线y =－x +2与x 轴的交点坐标是，与y 轴的交点坐标是．直线y =－x －1与x 轴的交点坐标是，与y 轴的交点坐标是． 直线y =4x －2与x 轴的交点坐标是，与y 轴的交点坐标是．直线y =232-x 与x 轴的交点坐标是，与y 轴的交点坐标是． 12.在下列四个函数中，y 的值随x 值的增大而减小的是（ ）Ａ．2y x =Ｂ．36y x =-Ｃ．25y x =-+Ｄ．37y x =+ 13、直线521,321--=+-=x y x y 和x y 21-=的位置关系是，直线132y x =-+可以看作是直线x y 21-=向平移个单位得到的．14.将直线y ＝－2x ＋3向下平移5个单位，得到直线．15.直线y ＝kx －4平行于直线y ＝－2x ，则直线4y kx =-的解读式为；16．电话每台月租费28元，市区内电话（三分钟以内）每次0.20元，若某台电话每次通话均不超过3分钟，则每月应缴费y （元）与市内电话通话次数x 之间的函数关系式是（）A ．y ＝28x ＋0.20B ．y ＝0.20x ＋28xC ．y ＝0.20x ＋28D ．y ＝28－0.20x17．某人购进一批苹果到集市上零售，已知卖出的苹果x （千克）与销售的金额y 元的关系如下表：x （千克） 1 2 3 4 5 … y （元）2+0.14+0.26+0.38+0.410+0.5…（1）写出y 与x 的函数关系式：___________；（2）该商贩要想使销售的金额达到250元，至少需要卖出多少千克的苹果?18．如图2－4，某游客为爬上3千M 的山顶看日出，先用1小时爬了2千M ，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间t （小时）与山高h （千M ）间的函数关系用图象表示是（） 19．一次函数321+-=x y 的图象与y 轴的交点坐标是_________，与x 轴的交点坐标是_________．一般的，一次函数y ＝kx ＋b 与y 轴的交点坐标是__________，与x 轴的交点坐标是__________． 20．依据给定的条件，求一次函数的解读式．（1）已知一次函数的图象如图4－5所示，求此一次函数的解读式，并判断点（6，5）是否在此函数图象上．图4－5 （2）已知一次函数y＝2x＋b的图象与y轴的交点到x轴的距离是4，求其函数解读式．21．依据给定的条件，求一次函数解读式：y＝ax＋7经过一次函数y＝4－3x和y＝2x－1的交点．=+的图象与轴交点的纵坐标为5-，且当x=1时，y=2，则此函数的解读式。