2015-2016年天津市河西区高二(上)期末数学试卷和答案(理科)
2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试卷及答案
2015-2016学年度 第一学期期末质量监测高二数学（理科）试卷一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线023=+-y x 的倾斜角是A.6π B.3π C.23π D.56π 2. 直线l 过点(2,2)P -，且与直线032=-+y x 垂直，则直线l 的方程为 A. 220x y +-= B. 260x y --=C. 260x y --=D. 250x y -+=3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为π12, 则该几何体的体积是A. π4B. 12πC. 16πD. 48π 4. 在空间中，下列命题正确的是 A. 如果直线m ∥平面α,直线α⊂n 内,那么m ∥n ;B. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC. 如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m α⊥D. 如果平面α⊥平面β，任取直线m α⊂，那么必有m β⊥5. 如果直线013=-+y ax 与直线01)21(=++-ay x a 平行.那么a 等于A. -1B.31 C. 3 D. -1或316. 方程)0(0222≠=++a y ax x 表示的圆A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于直线x y =轴对称D. 关于直线x y -=轴对称7. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是1AA ，AD 的中点，则1CD 与EF 所成角为A. 0︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8. 如果过点M (-2,0)的直线l 与椭圆1222=+y x 有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是A.]22,(--∞ B.),22[+∞ C.]21,21[-D. ]22,22[-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知双曲线的标准方程为116422=-y x ，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为_________________.10. 已知向量)1,3,2(-=a，)2,,5(--=y b 且a b ⊥ ，则y =________.11. 已知点),2,(n m A -，点)24,6,5(-B 和向量(3,4,12)a =-且AB ∥a .则点A 的坐标为________.12. 直线0632=++y x 与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 13. 抛物线x y 82-=上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.14. 已知点)0,2(A ，点)3,0(B ，点C 在圆122=+y x 上，当ABC ∆的面积最小时，点C 的坐标为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，E ，F ,G 分别是AC ，AD ,BC 的中点. 求证：（I ）AB ∥平面EFG ;（II ）平面⊥EFG 平面ABC .16. （本小题共13分）已知斜率为2的直线l 被圆0241422=+++y y x 所截得的弦长为求直线l 的方程.17. （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAB 平面ABCD ，AB ∥CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，E 为PA 的中点,M 在PD 上(点M 与D P ,两点不重合).（I ） 求证：PB AD ⊥；（II ）若λ=PDPM,则当λ为何值时, 平面⊥BEM 平面PAB ?（III ）在（II ）的条件下,求证：PC ∥平面BEM .18. （本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，PD CD =,E 为PC 的中点. （I ） 求证：AC ⊥PB ； （II ） 求二面角P --BD --E 的余弦值.19. （本小题共14分）已知斜率为1的直线l 经过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，4=AB .（I ） 求p 的值；（II ） 设经过点B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线22y px =的准线于点D ，求证：DO A ,,三点共线(O 为坐标原点).20. （本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的左焦点为F ,离心率为33，过点)1,0(M 且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为6. （I ） 求椭圆G 的方程；（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 是坐标原点)的斜率的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末质量检测高二数学（理科）试卷参考答案2016.1一、ABB C BA CD二、9.（±52,0），2y x =±10. -411. (1,-2,0)12. 313. (-4,24±)14. （13133，13132） 说明：1.第9题，答对一个空给3分。
2015-2016高二期末考试理科数学试卷题(含答案)
2015-2016学年第一学期宝安区期末调研测试卷高二理科数学2016.1本试卷共6页，22小题，满分150分•考试用时120分钟.注意事项：1 •答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用 0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自 己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答 题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损2 •选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.不按要求 填涂的，答案无效.3 .非选择题必须用 0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先 划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求 作答无效. 4 •作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答.漏涂、错涂、多涂的答案无效.一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，满分 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .不等式X 2-2x -5 - 2x 的解集是（)A .| x 亠 5或 x _ -1 匚B .^x | x 5或 x ：：： -1C . ：x|-1 ：： x ：：5；—&—¥■—FD—►.| - 仁 x 二 5』 2.已知向量a =（-1,0,2）,b = （1,1,0），且a kb 与2b -a 相互垂直，则k 值为（ ）2 24.若方程E ：-上 y 1表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为1 -m m -2（） A . 1,2 B .：,1） （2, ：： C . （-：：,2） D . （1,：：）5.在=ABC 中,a = 2、3,b= 2、2,B = 45，则角 A 等于（）7 3 A .B .-553.“ x 2 = y 2”是“ x = y ”的()A .充分不必要条件C .必要不充分条件C .丄D . 15B .充分必要条件D .既不充分也不必要条件A. 30 B . 60 C . 60 或120 D . 30 或1506•已知-14盘,8成等差数列，—1,b ib ,b 3,-4成等比数列，那么 岂空 的值为( )b 255A • 5B • -5C •D •-227.若动点M(x, y)始终满足关系式.x 2 (y 2)^ . x 2 (y-2)2=8，则动点M 的轨迹方程为()2 2 2 2 2 2 2 2xy, xy, xy, xy,A •1 B •1 C •1 D • 116 12 12 16 12 16 16 128 •已知等差数列:a n [的前n 项和S n ,且满足S n 1 =n 2 -n -2,则a ^：()A • 4B • 2C • 0D • -2x - y _ 09•已知x, y 满足约束条件《x + yE2，若z = x + ay 的最大值为4,则a=()、y 兰0A • 3B • 2C • -2D • -310 •在 ABC 中，a =2,c =1，则角C 的取值范围是()(八31A •陀丿B • —,—<6 3 .丿C •—,— 丨 <6 2丿D • (0,611 •已知直线l :^kx 2k 1与抛物线C : y 2 = 4x ，若I 与C 有且仅有一个公共点，则实数k 的取值集合为()尸r f1 IA • J -1,- >B • {-1,。
天津市河西区高二上学期期末考试数学理试卷
2017-2018学年天津市河西区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题若“x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是（）A．若x2+y2=0，则x，y中至少有一个不为0B．若x2+y2≠0，则x，y中至少有一个不为0C．若x2+y2≠0，则x，y都不为0D．若x2+y2=0，则x，y都不为02．在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），给出下列4条叙述：①点P关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y，z）；②点P关于yOz平面的对称点的坐标是（x，﹣y，﹣z）；③点P关于y轴的对称点的坐标是（x，﹣y，z）；④点P关于原点的对称点的坐标是（﹣x，﹣y，﹣z）．其中正确的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．03．准线方程为y=4的抛物线的标准方程是（）A．x2=16y B．x2=8y C．x2=﹣16y D．x2=﹣8y4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，=（）A．B．C．D．5．设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．16．设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件7．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=18．已知点M（﹣3，0）、N（3，0）、B（1，0），动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1．则￢p为．10．已知向量m，分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，cos＜m，＞=﹣，则l与α所成的角为．11．设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同的渐近线，则C的方程为．12．已知p：x，若p且q为真，则x的取值范围是．13．已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上，若|AF|+|BF|=4，线段AB的中点到直线x=的距离为1，则p的值为．14．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于．三、解答题（本大题共6小题，共52分）15．已知=（1，5，﹣1），=（﹣2，3，5）．（Ⅰ）若（k+）∥（﹣3），求实数k的值；（Ⅱ）若（k+）⊥（﹣3），求实数k的值．16．求双曲线9y2﹣16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．17．命题p：设c＞0，c≠1，函数y=c x是R上的单调减函数，命题q：1﹣2c＜0，若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求常数c的取值范围．18．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|，求C的方程．19．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．2017-2018学年天津市河西区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。
2015-2016年天津市新华中学高二(上)期末数学试卷及答案
2015-2016学年天津市新华中学高二（上）期末数学试卷一、选择题1．（3分）若抛物线的准线方程为x=﹣7，则抛物线的标准方程为（）A．x2=﹣28y B．x2=28y C．y2=﹣28x D．y2=28x2．（3分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5B．5，5C．5，8D．8，83．（3分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n 后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（）A．3B．4C．5D．64．（3分）记集合A={（x，y）|x2+y2≤16}和集合B={（x，y|）x+y﹣4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2内的概率为（）A．B．C．D．5．（3分）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（）A．B．C．D．6．（3分）下列命题中，说法正确的个数是（）（1）若p∨q为真命题，则p，q均为真命题（2）命题“∃x0∈R，2≤0”的否定是“∀x∈R，2x＞0”（3）“a≥5”是“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0恒成立”的充分条件（4）在△ABC中，“a＞b”是“sinA＞sinB”的必要不充分条件（5）命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”A．1B．2C．3D．47．（3分）已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|=|AF|，则△AFK的面积为（）A．4B．8C．16D．328．（3分）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题9．（3分）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工人．10．（3分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为．11．（3分）从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程：=0.56x+，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为．12．（3分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为．13．（3分）已知命题p：实数m满足m﹣1≤0，命题q：函数y=（9﹣4m）x是增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数m的取值范围为．14．（3分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点．若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是．三、解答题15．已知圆C的圆心在直线y=x上，半径为5且过点A（4，5），B（1，6）两点（1）求圆C的方程；（2）过点M（﹣2，3）的直线l被圆C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．16．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取部分学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，图中从左到右各小长方形的高之比是2：3：3：x：5：1，最后一组的频率数3，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数落在[120，130）的频率及从参加高三模拟考试的学生中随机抽取的学生的人数；（2）估计本次考试的中位数；（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．17．设点，动圆P经过点F且和直线相切．记动圆的圆心P的轨迹为曲线W．（Ⅰ）求曲线W的方程；（Ⅱ）过点F作互相垂直的直线l1，l2，分别交曲线W于A，B和C，D．求四边形ACBD面积的最小值．18．过椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为其左焦点，已知△AF1B的周长为8，椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P，Q，且⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．2015-2016学年天津市新华中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）若抛物线的准线方程为x=﹣7，则抛物线的标准方程为（）A．x2=﹣28y B．x2=28y C．y2=﹣28x D．y2=28x【解答】解：∵准线方程为x=﹣7∴﹣=﹣7p=14∴抛物线方程为y2=28x故选：D．2．（3分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5B．5，5C．5，8D．8，8【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．3．（3分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：框图首先给累加变量S赋值0，给循环变量k赋值1，输入n的值后，执行S=1+2×0=1，k=1+1=2；判断2＞n不成立，执行S=1+2×1=3，k=2+1=3；判断3＞n不成立，执行S=1+2×3=7，k=3+1=4；判断4＞n不成立，执行S=1+2×7=15，k=4+1=5．此时S=15∈（10，20），是输出的值，说明下一步执行判断时判断框中的条件应该满足，即5＞n满足，所以正整数n的值应为4．故选：B．4．（3分）记集合A={（x，y）|x2+y2≤16}和集合B={（x，y|）x+y﹣4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2内的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意可得集合A={（x，y）|x2+y2≤16}所表示的区域即为如图所表示的圆及内部的平面区域，面积为16π，集合B={（x，y）|x+y﹣4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域即为图中的Rt△AOB，S△AOB=×4×4=8，根据几何概率的计算公式可得P==，故选：A．5．（3分）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设“甲或乙被录用”为事件A，则其对立事件表示“甲乙两人都没有被录取”，则==．因此P（A）=1﹣P（）=1﹣=．故选：D．6．（3分）下列命题中，说法正确的个数是（）（1）若p∨q为真命题，则p，q均为真命题（2）命题“∃x0∈R，2≤0”的否定是“∀x∈R，2x＞0”（3）“a≥5”是“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0恒成立”的充分条件（4）在△ABC中，“a＞b”是“sinA＞sinB”的必要不充分条件（5）命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”A．1B．2C．3D．4【解答】解：（1）若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题，因此不正确；（2）命题“∃x0∈R，2≤0”的否定是“∀x∈R，2x＞0”，正确；（3）∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0恒成立，∴a≥{x2}max=4，∴“a≥5”是“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0恒成立”的充分不必要条件，正确；（4）在△ABC中，由正弦定理可得：“a＞b”⇔“sinA＞sinB”，因此在△ABC中，“a ＞b”是“sinA＞sinB”的充要条件，不正确；（5）命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，不正确．综上可得：正确的命题个数是2．故选：B．7．（3分）已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|=|AF|，则△AFK的面积为（）A．4B．8C．16D．32【解答】解：由双曲线得右焦点为（4，0）即为抛物线y2=2px的焦点，∴，解得p=8．∴抛物线的方程为y2=16x．其准线方程为x=﹣4，∴K（﹣4，0）．过点A作AM⊥准线，垂足为点M．则|AM|=|AF|．∴|AK|=|AM|．∴∠MAK=45°．∴|KF|=|AF|．∴=32．故选：D．8．（3分）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a．则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°，∴﹣，∴（2a）2=（4a）2+（2c）2﹣，化为=0，解得．故选：C．二、填空题9．（3分）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工10人．【解答】解：本题是一个分层抽样，∵单位共有职工200人，取一个容量为25的样本，∴依题意知抽取超过45岁的职工为．故答案为：10．10．（3分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为105．【解答】解：第一次循环，S=1，i=1，T=3，S=1×3=3，i=2不满足条件，第二次循环，S=3，i=2，T=5，S=3×5=15，i=3不满足条件，第三次循环，S=15，i=3，T=7，S=15×7=105，i=4不满足条件，第四次循环，i=4，满足条件，输出S=105，故答案为：10511．（3分）从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程：=0.56x+，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为70.12kg．【解答】解：由表中数据可得==170，==69，∵（，）一定在回归直线方程y=0.56x+a上，∴69=0.56×170+a，解得a=﹣26.2∴y=0.56x﹣26.2，当x=172时，y=0.56×172﹣26.2=70.12．故答案为：70.12kg．12．（3分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为y=．【解答】解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，∴===，∴1+=，∴=，解得，∴C的渐近线方程为y==．故答案为：y=．13．（3分）已知命题p：实数m满足m﹣1≤0，命题q：函数y=（9﹣4m）x是增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数m的取值范围为（1，2）．【解答】解：∵命题p：实数m满足m﹣1≤0，命题q：函数y=（9﹣4m）x是增函数，∴命题p：m≤1，命题q：9﹣4m＞1，m＜2，∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p真q假，或p假q真．当p真q假时，，无解；当p假q真时，，故1＜m＜2．故答案为：（1，2）．14．（3分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点．若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是．【解答】解：如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于，∴≥，解得b≥1．∴e==≤=．∴椭圆E的离心率的取值范围是（0，]．故答案为：．三、解答题15．已知圆C的圆心在直线y=x上，半径为5且过点A（4，5），B（1，6）两点（1）求圆C的方程；（2）过点M（﹣2，3）的直线l被圆C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意，设圆心坐标为（a，a），则（a﹣1）2+（a﹣6）2=（a ﹣4）2+（a﹣5）2=25∴a=1∴圆C的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=25．（2）当直线l的斜率不存在时，过点A（﹣2，3）的直线l：x=﹣2，此时过点A（﹣2，3）的直线l被圆所截得的线段的长为：2=8，∴l：x=﹣2符合题意．当直线l的斜率存在时，设过点A（﹣2，3）的直线l的方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，圆心到l的距离d=，由题意，得（）2+42=52，解得k=．∴直线l的方程为x﹣y+=0．即5x﹣12y+46=0．综上，直线l的方程为x=﹣2，或5x﹣12y+46=0．16．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取部分学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，图中从左到右各小长方形的高之比是2：3：3：x：5：1，最后一组的频率数3，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数落在[120，130）的频率及从参加高三模拟考试的学生中随机抽取的学生的人数；（2）估计本次考试的中位数；（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．【解答】解：（1）由已知得分数落在[100，110）的频数为3×3=9人，频率为0.015×10=0.15，∴分数落在[120，130）的频率为：1﹣（2×+0.15+0.15+5×+1×）=0.30．参加高三模拟考试的学生中随机抽取的学生的人数为：=60（人）．（2）由题意，[110，120）分数段的人数为60×0.15=9（人）[120，130）分数段的人数为60×0.3=18（人）．∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本∴需在分数段[110，120）内抽取2人，在[120，130）内抽取4人，至多有1人在分数段[120，130）内的概率：p=1﹣=1﹣=．（3）由频率分布直方图，得最高的小矩形的面积是0.3，其左边各小组的面积和是0.4，右边各小组的面积和是0.3．故中位数是120+×10≈123.33．17．设点，动圆P经过点F且和直线相切．记动圆的圆心P的轨迹为曲线W．（Ⅰ）求曲线W的方程；（Ⅱ）过点F作互相垂直的直线l1，l2，分别交曲线W于A，B和C，D．求四边形ACBD面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）过点P作PN垂直直线于点N．依题意得|PF|=|PN|，所以动点P的轨迹为是以为焦点，直线为准线的抛物线，即曲线W的方程是x2=6y（Ⅱ）依题意，直线l1，l2的斜率存在且不为0，设直线l1的方程为，由l1⊥l2得l2的方程为．将代入x2=6y，化简得x2﹣6kx﹣9=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6k，x1x2=﹣9．∴，同理可得．∴四边形ACBD的面积，当且仅当，即k=±1时，S min=72．故四边形ACBD面积的最小值是72．18．过椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为其左焦点，已知△AF1B的周长为8，椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P，Q，且⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由已知，得，解得：，∴b2=a2﹣c2=4﹣3=1．故椭圆Γ的方程为；（Ⅱ）假设满足条件的圆存在，其方程为x2+y2=r2（0＜r＜1）．当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y=kx+t，由，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，①∵，∴x1x2+y1y2=0，又y1=kx1+t，y2=kx2+t，∴x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，即（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0．②将①代入②，得，即t2=（1+k2）．∵直线PQ与圆x2+y2=r2相切，∴r==∈（0，1），∴存在圆x2+y2=满足条件．当直线PQ的斜率不存在时，易得=，代入椭圆Γ的方程，得=，满足．综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2=满足条件．。
2015-2016年天津市红桥区高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
2015-2016学年天津市红桥区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题12小题，每小题3分，共36分，每小题都给出代号为A,B,C,D的四个答案，其中只有一个是正确的）1．（3分）“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是（）A．∃x0∈R，x02+x0+1＞0B．∃x0∈R，x02+x0+1≤0C．∀x∈R，x2+x+1＞0D．∀x∈R，x2+x+1≤02．（3分）设p、q是两个命题．如果命题p是命题q的充分不必要条件．那么￢p是￢q的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件3．（3分）2x2﹣5x﹣3＜0的一个必要不充分条件是（）A．﹣＜x＜3B．﹣＜x＜0C．﹣3＜x＜D．﹣1＜x＜6 4．（3分）过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，那么m的值等于（）A．1或3B．4C．1D．1或45．（3分）椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（3分）已知椭圆+=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8．弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10B．20C．2D．47．（3分）焦点为（0，6），且与双曲线=1有相同的渐近线的双曲线方程是（）A．B．C．D．8．（3分）双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．（3分）抛物线y=2x2的焦点坐标是（）A．（0，）B．（，0）C．（1，0）D．（0，）10．（3分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P（m，﹣3）到焦点的距离为5，則抛物线方程为（）A．x2=8y B．x2=4y C．x2=﹣4y D．x2=﹣8y 11．（3分）已知双曲线方程为，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（）A．4条B．3条C．2条D．1条12．（3分）已知a，b为两个不相等的非零实数，则方程ax﹣y+b=0与bx2+ay2=ab 所表示的曲线可能是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共24分）13．（3分）在直角坐标系中，直线x+y﹣3=0的倾斜角是．14．（3分）已知直线l过点A（﹣2，0）且与直线x+2y﹣l=0平行．则直线l的方程是．15．（3分）已知圆的﹣条直径的两端点是（2，0），（2，﹣2）．则此圆方程是．16．（3分）离心率e=，一个焦点是F（0，﹣3）的椭圆标准方程为．17．（3分）已知双曲线的焦点在x轴上．两个顶点的距离为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为．18．（3分）若直线l过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=．19．（3分）已知M为抛物线y2=4x上一动点，F为这条抛物线的焦点，有一个定点A（3，2），则|MA|+|MF|的最小值=．20．（3分）有红盒、黄盒、蓝盒各一个，只有一个盒子里有金币．红盒上写有命题p：金币在这个盒子里；黄盒上写有命题q：金币不在这个金子里；蓝盒上写有命题r：金币不在红盒里．p、q、r中有且只有一个是真命题，则金币在盒子里．三、解答题（本题共4小题，共40分）21．（6分）已知两条直线l1：x﹣ay=0（a≠0），l2：x+y﹣3=0．（1）若l1⊥l2，求a的值；（2）在（1）的条件下，如果直线l3经过l1与l2的交点，且经过点A（2，4），求直线l3的方程．22．（8分）圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，过坐标原点作长为8的弦，求弦所在的直线方程．23．（10分）已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程．24．（16分）已知椭圆的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．2015-2016学年天津市红桥区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12小题，每小题3分，共36分，每小题都给出代号为A,B,C,D的四个答案，其中只有一个是正确的）1．（3分）“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是（）A．∃x0∈R，x02+x0+1＞0B．∃x0∈R，x02+x0+1≤0C．∀x∈R，x2+x+1＞0D．∀x∈R，x2+x+1≤0【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是：∃x0∈R，x02+x0+1≤0，故选：B．2．（3分）设p、q是两个命题．如果命题p是命题q的充分不必要条件．那么￢p是￢q的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若命题p是命题q的充分不必要条件，则根据逆否命题的等价性得命题￢q是命题￢p的充分不必要条件，即￢p是￢q的必要不充分条件，故选：B．3．（3分）2x2﹣5x﹣3＜0的一个必要不充分条件是（）A．﹣＜x＜3B．﹣＜x＜0C．﹣3＜x＜D．﹣1＜x＜6【解答】解：2x2﹣5x﹣3＜0的充要条件为对于A是2x2﹣5x﹣3＜0的充要条件对于B，是2x2﹣5x﹣3＜0的充分不必要条件对于C，2x2﹣5x﹣3＜0的不充分不必要条件对于D，是2x2﹣5x﹣3＜0的一个必要不充分条件故选：D．4．（3分）过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，那么m的值等于（）A．1或3B．4C．1D．1或4【解答】解：∵过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，∴k==1，解得m=1．故选：C．5．（3分）椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意画出椭圆的图象，得到△ABC为等比三角形，则a=2b，则根据椭圆的性质得到：a2=b2+c2=4b2，解得c=b，所以e===．故选：A．6．（3分）已知椭圆+=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8．弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10B．20C．2D．4【解答】解：由题意可得椭圆+=1的b=5，c=4，a==，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，即有△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4．故选：D．7．（3分）焦点为（0，6），且与双曲线=1有相同的渐近线的双曲线方程是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知，可设所求的双曲线方程是，∵焦点（0，6）在y 轴上，∴k＜0，所求的双曲线方程是，由﹣k+（﹣2k）=c2=36，∴k=﹣12，故所求的双曲线方程是，故选：B．8．（3分）双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据双曲线对称性可知∠OMF2=60°，∴tan∠OMF2===，即c=b，∴a==b，∴e==．故选：B．9．（3分）抛物线y=2x2的焦点坐标是（）A．（0，）B．（，0）C．（1，0）D．（0，）【解答】解：抛物线y=2x2的方程即x2=y，∴p=，故焦点坐标为（0，），故选：A．10．（3分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P（m，﹣3）到焦点的距离为5，則抛物线方程为（）A．x2=8y B．x2=4y C．x2=﹣4y D．x2=﹣8y【解答】解：依题意，设抛物线方程为为x2=﹣2py （p＞0）点P在抛物线上，到准线的距离为5，又点P到x轴的距离为3，所以准线到x 轴的距离为2，∴=2，∴p=4，∴抛物线方程为x2=﹣8y．故选：D．11．（3分）已知双曲线方程为，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（）A．4条B．3条C．2条D．1条【解答】由题意可得：双曲线x2﹣=1的渐近线方程为：y=±2x，点P（1，0）是双曲线的右顶点，故直线x=1 与双曲线只有一个公共点；过点P （1，0）平行于渐近线y=±2x时，直线L与双曲线只有一个公共点，有2条所以，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，这样的直线共有3条故选：B．12．（3分）已知a，b为两个不相等的非零实数，则方程ax﹣y+b=0与bx2+ay2=ab 所表示的曲线可能是（）A．B．C．D．【解答】解：把曲线方程整理成=1的形式，整理直线方程得y=ax+bA，C选项中，直线的斜率a＞0，截距b＜0，则曲线方程为双曲线，焦点在x轴，故C正确，A错误．B项中直线斜率a＜0，则曲线一定不是椭圆，故B项错误．对于D选项观察直线图象可知a＞0，b＞0，则曲线的方程的图象一定是椭圆，故D不符合．故选：C．二、填空题（每小题3分，共24分）13．（3分）在直角坐标系中，直线x+y﹣3=0的倾斜角是150°．【解答】解：由已知直线的方程得到直线的斜率为，设倾斜角为α，则tanα=，α∈[0，180°），所以α=150°；故答案为：150°．14．（3分）已知直线l过点A（﹣2，0）且与直线x+2y﹣l=0平行．则直线l的方程是x+2y+2=0．【解答】解：设与直线x+2y﹣l=0平行的直线方程为x+2y+c=0，把点A（﹣2，0）代入，得﹣2+0+c=0，解得c=2，∴过点A（﹣2，0）且与直线x+2y﹣l=0平行的直线方程为x+2y+2=0．故答案为：x+2y+2=0．15．（3分）已知圆的﹣条直径的两端点是（2，0），（2，﹣2）．则此圆方程是（x ﹣2）2+（y+1）2=1．【解答】解：∵圆的﹣条直径的两端点是（2，0），（2，﹣2）．∴圆心坐标为（，），即（2，﹣1），则半径r=1，则圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=1，故答案为：（x﹣2）2+（y+1）2=116．（3分）离心率e=，一个焦点是F（0，﹣3）的椭圆标准方程为．【解答】解：由题设椭圆的焦点在y轴上，设方程为：，由题得：解得所以椭圆标准方程为故答案为：．17．（3分）已知双曲线的焦点在x轴上．两个顶点的距离为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），由题意可得a=1，设焦点F为（c，0），可得F到渐近线y=x的距离为=b=，可得渐近线方程为y=±x．故答案为：y=±x．18．（3分）若直线l过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=．【解答】解：抛物线方程整理得x2=y，焦点（0，）l被抛物线截得的线段长即为通径长，故=4，a=；故答案为．19．（3分）已知M为抛物线y2=4x上一动点，F为这条抛物线的焦点，有一个定点A（3，2），则|MA|+|MF|的最小值=4．【解答】解：设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|，∴要求|MA|+|MF|取得最小值，即求|MA|+|MD|取得最小，当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，为3﹣（﹣1）=4．故答案为：4．20．（3分）有红盒、黄盒、蓝盒各一个，只有一个盒子里有金币．红盒上写有命题p：金币在这个盒子里；黄盒上写有命题q：金币不在这个金子里；蓝盒上写有命题r：金币不在红盒里．p、q、r中有且只有一个是真命题，则金币在黄盒子里．【解答】解：金币藏在黄盒里．原因是：①若是红盒子的命题p是真的，那么命题q是真的，r是假的，不满足条件，故p是假的，即金币不在红盒里．②若q是真的，则r也是真的，不满足条件，故q是假的，即金币藏在黄盒里．故答案为：黄．三、解答题（本题共4小题，共40分）21．（6分）已知两条直线l1：x﹣ay=0（a≠0），l2：x+y﹣3=0．（1）若l1⊥l2，求a的值；（2）在（1）的条件下，如果直线l3经过l1与l2的交点，且经过点A（2，4），求直线l3的方程．【解答】解：（1）由l1⊥l2，∴A1B2﹣A2B1=0，…2'∴1﹣a=0即a=1…3'（2）…4'交点坐标为（1.5，1.5）…6'设直线l3的方程为：y=kx+b由直线l3过点（2，4）和点（1.5，1.5），得直线l3的方程为5x﹣y﹣6=0…8'22．（8分）圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，过坐标原点作长为8的弦，求弦所在的直线方程．【解答】解：x2+y2﹣6x﹣8y=0即（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，斜率存在时设所求直线为y=kx．∵圆半径为5，圆心M（3，4）到该直线距离为3，∴，∴9k2﹣24k+16=9（k2+1），∴．∴所求直线为y=；当斜率不存在是直线为x=0，验证其弦长为8，所以x=0也是所求直线．故所求直线为：y=或x=0．23．（10分）已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程．【解答】解：依题意可知椭圆方程中a=5，b=3，∴c==4∴椭圆焦点为F（0，±4），离心率为e=所以双曲线的焦点为F（0，±4），离心率为2，从而双曲线中求得c=4，a=2，b=．所以所求双曲线方程为24．（16分）已知椭圆的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．【解答】解：（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，解得：a2=3，b=1，∴椭圆的方程为．（2）假设存在这样的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，∴△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0…①，设C（x1，y1），D（x2，y2），则而y1•y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，要使以CD为直径的圆过点E（﹣1，0），当且仅当CE⊥DE时，则y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0…③将②代入③整理得k=，经验证k=使得①成立综上可知，存在k=使得以CD为直径的圆过点E．。
2015-2016学年高二数学期末试卷及答案
2015—2016学年第一学期期末测试高二理科数学复习题必修3,选修2-3,选修2-1简易逻辑、圆锥曲线参考公式：用最小二乘法求线性回归方程y bx a =+的系数公式：121()()()niii ni i x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-，其中x ，y 是数据的平均数．第♊卷（本卷共 分）一、选择题：（本大题共 题，每小题 分，共 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．从一副扑克牌☎ 张✆中抽取一张牌，抽到牌❽❾的概率是☎ ✆✌ 154 127 118 227．设随机变量~(0,1)N ξ，若()1P pξ>=，则()10P ξ-<<= ☎ ✆✌ 2p 1p - 12p - 12p -．如图 所示的程序框图的功能是求♊、♋两处应分别填写图✌．5?i <，2S S =+．5?i ≤，2S S =．5?i <，2S S =+ ．5?i ≤，2S S =．将参加夏令营的 名学生编号为： ，⑤， ，采用系统抽样方法抽取一个容量为 的样本，且随机抽得的号码为 这 名学生分住在三个营区，从 到 在第♊营区，从 到 在第♋营区，从 到 在第♌营区．三个营区被抽中的人数依次为 ☎ ✆✌． ． ． ． ．如图 ，分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 ☎ ✆✌24π- 22-π 44π- 42-π(82x 展开式中不含．．4x 项的系数的和为 ☎ ✆✌． ． ． ．．学校体育组新买2颗同样篮球，3颗同样排球，从中取出 颗发放给高一 个班，每班1颗，则不同的发放方法共☎ ✆✌． 种 ． 种 ． 种． 种．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：第三组的频数和频率分别是☎ ✆✌．14和0.14 ．0.14和14 ．141和0.14 ． 31和141．“2012”含有数字0, 1, 2，且恰有两个数字 ．则含有数字0, 1, 2，且恰有两个相同数字的四位数的个数为☎ ✆✌．18 ．24 ．27 ．36一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为 ，现有 颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为☎ ✆✌ 经回归分析可得⍓与⌧线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为ˆ 1.1y x a =+，则♋＝ ☎ ✆✌、 、 、 、 设随机变量ξ～ ☎☐✆η～ ☎☐✆若95)1(=≥ξp ，则)2(≥ηp 的值为 ☎ ✆☎✌✆8132 ☎✆ 2711 ☎✆ 8165 ☎✆ 8116第♋卷（本卷共计 分）二、填空题：（本大题共 小题，每小题 分，共 分）．甲从学校乘车回家，途中有 个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是52，则甲回家途中遇红灯次数的期望为 。
2015-2016学年高二上期末数学(理)试卷
2015-2016学年度高二第一学期期末（理科）数学试题一．选择题 (本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.“若α＝4π，则tan α＝1”的逆否命题是 ( )A ．若α≠4π，则tan α≠1B ．若α＝4π，则tan α ≠12．若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是( )A 。
n 1＝(1,2,1)，n 2＝(－3,1,1)B ．n 1＝(1,1,2)，n 2＝(－2,1,1)C ．n 1＝(1,1,1)，n 2＝(－1,2,1)D ．n 1＝(1,2,1)，n 2＝(0，－2，－2)3．下列说法中，正确的是（ ）A ．命题“若，则”的逆命题是真命题B ．命题“，”的否定是：“，”C ．命题“p 或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D ．已知，则“”是“”的充分不必要条件C ．若tan α≠1，则α≠4πD ．若tan α≠1，则α＝4π4.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知→AB ＝a ，→AD ＝b ，→AA1＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量→BD1等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．－a ＋b ＋c5．若平面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为a ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( )A ．sin θ＝|n||a||n ·a|B ．cos θ＝|n||a||n ·a|C ．sin θ＝|n||a|n ·aD ．cos θ＝|n||a|n ·a 6．已知命题p ：对任意x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则非p 是 ( )A ．对任意x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．存在x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0C ．存在x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0D ．对任意x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<07.“”是“方程表示焦点在y 轴上的椭圆”的 ( )A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8 . 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D的中点，N 是棱A 1B 1上任意一点，则直线NO 、AM 的位置关系是 ( )A ．平行B ．相交C ．异面不垂直D ．异面垂直9． 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝21，则下列结论中错误的是 ( )A ．△AEF 的距离与△BEF 的面积相等B ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．AC ⊥BE10．若△ABC 顶点B , C 的坐标分别为(－4, 0), (4, 0)，AC , AB 边上的中线长之和30则△ABC 的重心G 的轨迹方程为( )A ．B ．C ．D ． 11.已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 02＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(非p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤2或1≤a ≤2C ．a >1D ．－2≤a ≤112.如图，设动点P 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记D1B D1P ＝λ.当∠APC 为钝角时，则λ的取值范围是( ) A.31 B.21 C.，11 D.，11二．填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填写在题中的横线上)13.已知命题存在．若命题是假命题，则实数的取值范围是 ．14.如图，椭圆的中心在坐标原点，当→FB ⊥→AB 时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，可推算出“黄金椭圆”的离心率e ＝________.15．（如图）一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为 。
2015年天津市高考数学试卷及解析(理科)
2015年天津市高考数学试卷（理科）一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B=（）A、{2，5}B、{3，6}C、{2，5，6}D、{2，3，5，6，8}2、（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大值为（）A、3B、4C、18D、403、（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A、﹣10B、6C、14D、184、（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件5、（5分）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）A、B、3 C、D、6、（5分）已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A、﹣=1 B、﹣=1C、﹣=1D、﹣=17、（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A、a＜b＜cB、a＜c＜bC、c＜a＜bD、c＜b＜a8、（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b ∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A、（，+∞）B、（﹣∞，）C、（0，）D、（，2）二.填空题（每小题5分，共30分）9、（5分）i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为、10、（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3、11、（5分）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为、12、（5分）在（x﹣）6的展开式中，x2的系数为、13、（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c、已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为、14、（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°、动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为、三.解答题（本大题共6小题，共80分）15、（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R、（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值、16、（13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛、（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望、17、（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点、（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长、18、（13分）已知数列{a n}满足a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求q的值和{a n}的通项公式；（2）设b n=，n∈N*，求数列{b n}的前n项和、19、（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=、（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围、20、（14分）已知函数f（x）=nx﹣x n，x∈R，其中n∈N•，且n≥2、（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g （x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根x1，x2，求证：|x2﹣x1|＜+2、参考答案与试题解析一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B=（）A、{2，5}B、{3，6}C、{2，5，6}D、{2，3，5，6，8}题目分析：由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；试题解答解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，∴∁U B={2，5，8}，则A∩∁U B={2，5}、故选：A、点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键、2、（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大值为（）A、3B、4C、18D、40题目分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值、试题解答解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）、由z=x+6y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大、由，解得，即A（0，3）将A（0，3）的坐标代入目标函数z=x+6y，得z=3×6=18、即z=x+6y的最大值为18、故选：C、点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法、3、（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A、﹣10B、6C、14D、18题目分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6、试题解答解：模拟执行程序框图，可得S=20，i=1i=2，S=18不满足条件i＞5，i=4，S=14不满足条件i＞5，i=8，S=6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6、故选：B、点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题、4、（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件题目分析：根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可、试题解答解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A、点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础、5、（5分）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）A、B、3 C、D、题目分析：由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可、试题解答解：由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB，∴2×4=AM•2AM，∴AM=2，∴MN=NB=2，又CN•NE=AN•NB，∴3×NE=4×2，∴NE=、故选：A、点评：本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础、6、（5分）已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A、﹣=1 B、﹣=1C、﹣=1D、﹣=1题目分析：由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程、试题解答解：由题意，=，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x 的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为、故选：B、点评：本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题、7、（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A、a＜b＜cB、a＜c＜bC、c＜a＜bD、c＜b＜a题目分析：根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=2|x|﹣1，这样便知道f（x）在[0，+∞）上单调递增，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：a=f（|log0.53|），b=f（log25），c=f（0），然后再比较自变量的值，根据f（x）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小、试题解答解：∵f（x）为偶函数；∴f（﹣x）=f（x）；∴2|﹣x﹣m|﹣1=2|x﹣m|﹣1；∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|；（﹣x﹣m）2=（x﹣m）2；∴mx=0；∴m=0；∴f（x）=2|x|﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a=f（|log0.53|）=f（log23），b=f（log25），c=f（0）；∵0＜log23＜log25；∴c＜a＜b、故选：C、点评：考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小、对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用、8、（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b ∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A、（，+∞）B、（﹣∞，）C、（0，）D、（，2）题目分析：求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可、试题解答解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8、即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足＜b＜2，故选：D、点评：本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键、二.填空题（每小题5分，共30分）9、（5分）i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为﹣2、题目分析：由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求得a的值、试题解答解：由（1﹣2i）（a+i）=（a+2）+（1﹣2a）i为纯虚数，得，解得：a=﹣2、故答案为：﹣2、点评：本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题、10、（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3、题目分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积、试题解答解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；∴该几何体的体积为V几何体=2×π•12×1+π•12•2=π、故答案为：π、点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目、11、（5分）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为、题目分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可、试题解答解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx而∫01（x﹣x2）dx=（）|01=﹣=∴曲边梯形的面积是、故答案为：、点评：本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数、12、（5分）在（x﹣）6的展开式中，x2的系数为、题目分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数、=•（x）6﹣r•（﹣）r=（﹣试题解答解：（x﹣）6的展开式的通项公式为T r+1）r••x6﹣2r，令6﹣2r=2，解得r=2，∴展开式中x2的系数为×=，故答案为：、点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题、13、（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c、已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为8、题目分析：由cosA=﹣，A∈（0，π），可得sinA=、利用S△ABC==，化为bc=24，又b﹣c=2，解得b，c、由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA即可得出、试题解答解：∵A∈（0，π），∴sinA==、==bc=，化为bc=24，∵S△ABC又b﹣c=2，解得b=6，c=4、由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×=64、解得a=8、故答案为：8、点评：本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题、14、（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°、动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为、题目分析：利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式，根据具体的形式求最值、试题解答解：由题意，得到AD=BC=CD=1，所以•=（）•（）=（）•（）==2×1×cos60°+λ1×1×cos60°+×2×1+×1×1×cos120°=1++﹣≥+=（当且仅当时等号成立）；故答案为：、点评：本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值、三.解答题（本大题共6小题，共80分）15、（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R、（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值、题目分析：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=﹣sin（2x﹣），由周期公式可得；（Ⅱ）由x∈[﹣，]结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值、试题解答解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣）=（1﹣cos2x）﹣[1﹣cos（2x﹣）]=（1﹣cos2x﹣1+cos2x+sin2x）=（﹣cos2x+sin2x）=sin（2x﹣）∴f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，]，∴f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值分别为，﹣点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题、16、（13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛、（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望、题目分析：（Ⅰ）利用组合知识求出基本事件总数及事件A发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望、试题解答解：（Ⅰ）由已知，有P（A）=，∴事件A发生的概率为；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4、P（X=k）=（k=1，2，3，4）、∴随机变量X的分布列为：X1234P随机变量X的数学期望E（X）=、点评：本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，是中档题、17、（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点、（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长、题目分析：（Ⅰ）以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过平面ABCD的一个法向量与的数量积为0，即得结论；（Ⅱ）通过计算平面ACD1的法向量与平面ACB1的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论；（Ⅲ）通过设=λ，利用平面ABCD的一个法向量与的夹角的余弦值为，计算即可、试题解答（Ⅰ）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2），又∵M、N分别为B1C、D1D的中点，∴M（1，，1），N（1，﹣2，1）、由题可知：=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，=（0，﹣，0），∵•=0，MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；（Ⅱ）解：由（I）可知：=（1，﹣2，2），=（2，0，0），=（0，1，2），设=（x，y，z）是平面ACD1的法向量，由，得，取z=1，得=（0，1，1），设=（x，y，z）是平面ACB1的法向量，由，得，取z=1，得=（0，﹣2，1），∵cos＜，＞==﹣，∴sin＜，＞==，∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为；（Ⅲ）解：由题意可设=λ，其中λ∈[0，1]，∴E=（0，λ，2），=（﹣1，λ+2，1），又∵=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，∴cos＜，＞===，整理，得λ2+4λ﹣3=0，解得λ=﹣2或﹣2﹣（舍），∴线段A1E的长为﹣2、点评：本题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题、18、（13分）已知数列{a n}满足a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求q的值和{a n}的通项公式；（2）设b n=，n∈N*，求数列{b n}的前n项和、=qa n、a1、a2，可得a3、a5、a4，利用a2+a3，a3+a4，a4+a5题目分析：（1）通过a n+2成等差数列，计算即可；（2）通过（1）知b n=，n∈N*，写出数列{b n}的前n项和T n、2T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可、=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，试题解答解：（1）∵a n+2∴a3=q，a5=q2，a4=2q，又∵a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，∴2×3q=2+3q+q2，即q2﹣3q+2=0，解得q=2或q=1（舍），∴a n=；（2）由（1）知b n===，n∈N*，记数列{b n}的前n项和为T n，则T n=1+2•+3•+4•+…+（n﹣1）•+n•，∴2T n=2+2+3•+4•+5•+…+（n﹣1）•+n•，两式相减，得T n=3++++…+﹣n•=3+﹣n•=3+1﹣﹣n•=4﹣、点评：本题考查求数列的通项与前n项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题、19、（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=、（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围、题目分析：（Ⅰ）通过离心率为，计算可得a2=3c2、b2=2c2，设直线FM的方程为y=k（x+c），利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论；（Ⅱ）通过联立椭圆与直线FM的方程，可得M（c，c），利用|FM|=计算即可；（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），分别联立直线FP、直线OP与椭圆方程，分x ∈（﹣，﹣1）与x∈（﹣1，0）两种情况讨论即可得到结论、试题解答解：（Ⅰ）∵离心率为，∴==，∴2a2=3b2，∴a2=3c2，b2=2c2，设直线FM的斜率为k（k＞0），则直线FM的方程为y=k（x+c），∵直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，∴圆心（0，0）到直线FM的距离d=，∴d2+=，即（）2+=，解得k=，即直线FM的斜率为；（Ⅱ）由（I）得椭圆方程为：+=1，直线FM的方程为y=（x+c），联立两个方程，消去y，整理得3x2+2cx﹣5c2=0，解得x=﹣c，或x=c，∵点M在第一象限，∴M（c，c），∵|FM|=，∴=，解得c=1，∴a2=3c2=3，b2=2c2=2，即椭圆的方程为+=1；（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），直线FP的斜率为t，∵F（﹣1，0），∴t=，即y=t（x+1）（x≠﹣1），联立方程组，消去y并整理，得2x2+3t2（x+1）2=6，又∵直线FP的斜率大于，∴＞，6﹣2x2＞6（x+1）2，整理得：x（2x+3）＜0且x≠﹣1，解得﹣＜x＜﹣1，或﹣1＜x＜0，设直线OP的斜率为m，得m=，即y=mx（x≠0），联立方程组，消去y并整理，得m2=﹣、①当x∈（﹣，﹣1）时，有y=t（x+1）＜0，因此m＞0，∴m=，∴m∈（，）；②当x∈（﹣1，0）时，有y=t（x+1）＞0，因此m＜0，∴m=﹣，∴m∈（﹣∞，﹣）；综上所述，直线OP的斜率的取值范围是：（﹣∞，﹣）∪（，）、点评：本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力，属于中档题、20、（14分）已知函数f（x）=nx﹣x n，x∈R，其中n∈N•，且n≥2、（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g （x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根x1，x2，求证：|x2﹣x1|＜+2、题目分析：（Ⅰ）由f（x）=nx﹣x n，可得f′（x），分n为奇数和偶数两种情况利用导数即可得函数的单调性、（Ⅱ）设点P的坐标为（x0，0），则可求x0=n，f′（x0）=n﹣n2，可求g（x）=f′（x0）（x﹣x0），F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）、由f′（x）=﹣nx n﹣1+n在（0，+∞）上单调递减，可求F（x）在∈（0，x0）内单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，即可得证、（Ⅲ）设x1≤x2，设方程g（x）=a的根为，由（Ⅱ）可得x2≤、设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=nx，设方程h（x）=a的根为，可得＜x1，从而可得：x2﹣x1＜﹣=，由n≥2，即2n﹣1=（1+1）n﹣1≥1+=1+n﹣1=n，推得：2=x0，即可得证、试题解答（本题满分为14分）解：（Ⅰ）由f（x）=nx﹣x n，可得f′（x）=n﹣nx n﹣1=n（1﹣x n﹣1），其中n∈N•，且n≥2、下面分两种情况讨论：（1）当n为奇数时，令f′（x）=0，解得x=1，或x=﹣1，当x变化时，f′（x），f （x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣1）（﹣1，1）（1，+∞）f′（x）﹣+﹣f（x）所以，f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减，在（﹣1，1）单调递增、（2）当n为偶数时，当f′（x）＞0，即x＜1时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）单调递减；所以，f（x）在（﹣∞，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减；（Ⅱ）证明：设点P的坐标为（x0，0），则x0=n，f′（x0）=n﹣n2，曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0），即g（x）=f′（x0）（x﹣x0），令F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0），则F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）、由于f′（x）=﹣nx n﹣1+n在（0，+∞）上单调递减，故F′（x）在（0，+∞）上单调递减，又因为F′（x0）=0，所以当x∈（0，x0）时，F′（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，F′（x）＜0，所以F（x）在∈（0，x0）内单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以对应任意的正实数x，都有F（x）≤F（x0）=0，即对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）、（Ⅲ）证明：不妨设x1≤x2，由（Ⅱ）知g（x）=（n﹣n2）（x﹣x0），设方程g（x）=a的根为，可得=，由（Ⅱ）知g（x2）≥f（x2）=a=g（），可得x2≤类似地，设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=nx，当x∈（0，+∞），f（x）﹣h（x）=﹣x n＜0，即对于任意的x∈（0，+∞），f（x）＜h（x），设方程h（x）=a的根为，可得=，因为h（x）=nx在（﹣∞，+∞）上单调递增，且h（）=a=f（x1）＜h（x1），因此＜x1，由此可得：x2﹣x1＜﹣=，因为n≥2，所以2n﹣1=（1+1）n﹣1≥1+=1+n﹣1=n，故：2=x0所以：|x2﹣x1|＜+2点评：本题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法，考查分类讨论思想、函数思想和化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015-2016学年天津市河西区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：共8题，每小题3分，共24分．1．（3分）命题“若p则q”的逆命题是（）A．若q则p B．若￢p则￢q C．若￢q则￢p D．若p则￢q2．（3分）已知向量，，则等于（）A．﹣5 B．﹣4 C．2 D．13．（3分）已知命题p：∃x∈R，使得x+＜2，命题q：∀x∈R，x2+x+1＞0，下列命题为真的是（）A．（￢p）∧q B．（￢p）∧（￢q）C．p∧（￢q）D．p∧q4．（3分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=15．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，=（）A．B． C． D．6．（3分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=7．（3分）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（3分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）A．2 B．2 C．2 D．4二、填空题：共6小题，每题4分，共24分．9．（4分）命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是．10．（4分）如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是．11．（4分）已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角等于．12．（4分）直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为．13．（4分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=．14．（4分）已知p：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）＜0；q：＜x＜，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共52分．15．（8分）已知．（1）若，求实数k的值（2）若，求实数k的值．16．（8分）求经过点（﹣5，2），焦点为的双曲线的标准方程，并求出该双曲线的实轴长，虚轴长，离心率，渐近线方程．17．（8分）已知p：函数y=x2+mx+1在（﹣1，+∞）上单调递增，q：函数y=4x2+4（m﹣2）x+1大于0恒成立．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．18．（8分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AA1=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．19．（10分）设A（x1，y1）．B（x2，y2）两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线．（1）当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；（2）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．20．（10分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．2015-2016学年天津市河西区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共8题，每小题3分，共24分．1．（3分）命题“若p则q”的逆命题是（）A．若q则p B．若￢p则￢q C．若￢q则￢p D．若p则￢q【解答】解：将原命题的条件与结论互换，可得逆命题，则命题“若p则q”的逆命题是若q则p．故选：A．2．（3分）已知向量，，则等于（）A．﹣5 B．﹣4 C．2 D．1【解答】解：∵向量，，∴=﹣1×2+1×0+（﹣1）×（﹣3）=1．故选：D．3．（3分）已知命题p：∃x∈R，使得x+＜2，命题q：∀x∈R，x2+x+1＞0，下列命题为真的是（）A．（￢p）∧q B．（￢p）∧（￢q）C．p∧（￢q）D．p∧q【解答】解：对于命题p：∃x∈R，使得，当x＜0时，命题p成立，命题p为真命题，显然，命题q为真∴根据复合命题的真假判定，p∧q为真，（￢p）∧q为假，p∧（￢q）为假，（￢p）∧（￢q）为假4．（3分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．5．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，=（）A．B． C． D．【解答】解：如图所示，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，=（+）+=+=．故选：D．6．（3分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．7．（3分）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵¬p是q的必要而不充分条件，∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，则p是¬q的充分不必要条件．故选：A．8．（3分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）A．2 B．2 C．2 D．4【解答】解：∵抛物线C的方程为y2=4x∴2p=4，可得=，得焦点F（）设P（m，n）根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4，即m+=4，解得m=3∵点P在抛物线C上，得n2=4×3=24∴n==∵|OF|=∴△POF的面积为S=|OF|×|n|==2故选：C．二、填空题：共6小题，每题4分，共24分．9．（4分）命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是∃x∈[0，+∞），x3+x＜0．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x∈[0，+∞），x3+x＜0，故答案为：∃x∈[0，+∞），x3+x＜010．（4分）如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是0＜k＜1．【解答】解：根据题意，x2+ky2=2化为标准形式为；根据题意，其表示焦点在y轴上的椭圆，则有＞2；解可得0＜k＜1；故答案为0＜k＜1．11．（4分）已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角等于．【解答】解：=（2，﹣2，4）﹣（2，﹣5，1）=（0，3，3），=（1，﹣4，1）﹣（2，﹣5，1）=（﹣1，1，0），∴=（0，3，3）•（﹣1，1，0）=0+3+0=3．再由||=3，||=，设向量与的夹角θ，则有=||•||cosθ=3•cosθ=6cosθ．故有3=6cosθ，∴cosθ=．再由0≤θ≤π，可得θ=．故答案为．12．（4分）直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC的中点为O，连结ON，MN，OB，∴MN OB，∴MN0B是平行四边形，∴BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB==，在△ANO中，由余弦定理得：cos∠ANO===．故答案为：．13．（4分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=2．【解答】解：∵双曲线（a＞0，b＞0），∴双曲线的渐近线方程是y=±x又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，故A，B两点的纵坐标分别是y=±，又由双曲线的离心率为2，所以，则，A，B两点的纵坐标分别是y=±=±，又△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线∴××=，得p=2．故答案为：2．14．（4分）已知p：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）＜0；q：＜x＜，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是．【解答】解：p的等价条件是m﹣1＜x＜m+1，若p是q的必要不充分条件，则，即，即≤m≤，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共52分．15．（8分）已知．（1）若，求实数k的值（2）若，求实数k的值．【解答】解：（1）∵，∴；又，∴，解得；（2）∵且，∴，即7（k﹣2）﹣4（5k+3）﹣16（5﹣k）=0，解得．16．（8分）求经过点（﹣5，2），焦点为的双曲线的标准方程，并求出该双曲线的实轴长，虚轴长，离心率，渐近线方程．【解答】解：设双曲线的标准方程为：，由题意可知，解得：．∴双曲线的标准方程为．则a=，b=1，c=，e=．∴双曲线的实轴长为2，虚轴长为2，离心率为，渐近线方程为y=±x．17．（8分）已知p：函数y=x2+mx+1在（﹣1，+∞）上单调递增，q：函数y=4x2+4（m﹣2）x+1大于0恒成立．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．【解答】解：若函数y=x2+mx+1在（﹣1，+∞）上单调递增，则﹣≤﹣1，∴m≥2，即p：m≥2 …（3分）若函数y=4x2+4（m﹣2）x+1大于0恒成立，则△=16（m﹣2）2﹣16＜0，解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3 …（6分）∵p∨q为真，p∧q为假，∴p、q一真一假…（7分）当p真q假时，由得m≥3 …（9分）当p 假q真时，由得1＜m＜2 …（11分）综上，m的取值范围是{m|m≥3或1＜m＜2}…（12分）18．（8分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AA1=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．【解答】解：（1）∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC…（2分）∵AC=3，BC=4，AB=5，∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥CB …（4分）又C1C∩CB=C，∴AC⊥平面C1CB1B，又BC1⊂平面C1CB1B，∴AC⊥BC1…（7分）（2）设CB1∩BC1=E，∵C1CBB1为平行四边形，∴E为C1B的中点…（10分）又D为AB中点，∴AC1∥DE…（12分）DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1…（14分）19．（10分）设A（x1，y1）．B（x2，y2）两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线．（1）当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；（2）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y=2x2，即x2=，∴p=，∴焦点为F（0，）（1）直线l的斜率不存在时，显然有x1+x2=0（2）直线l的斜率存在时，设为k，截距为b即直线l：y=kx+b由已知得：⇒⇒⇒x12+x22=﹣+b≥0⇒b≥．即l的斜率存在时，不可能经过焦点F（0，）所以当且仅当x1+x2=0时，直线l经过抛物线的焦点F（II）解：设直线l的方程为：y=2x+b′，故有过AB的直线的方程为y=﹣x+m，代入抛物线方程有2x2+x﹣m=0，得x1+x2=﹣．由A、B是抛物线上不同的两点，于是上述方程的判别式△=+8m＞0，也就是：m＞﹣．由直线AB的中点为（，）=（﹣，+m），则+m=﹣+b′，于是：b′=+m＞﹣=．即得l在y轴上的截距的取值范围是（，+∞）．20．（10分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，所以，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（5分）（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）。