2010-18年暨南大学数学分析考研真题

考试科目：数学分析 共 2 页，第 1 页
四．判断下列命题的真伪（正确的命题请简要证明，错误的命题请举出反例并作说 明） （每题 8 分，共 16 分） 1) .设函数项级数 u n 在 D 上一致收敛于 S ( x) ，函数 g ( x) 在 D 上有界。则级数 在 D 上一致收敛于 S ( x) g ( x) . 2) .设函数 f 在 x0 点可导, 则 f 一定在 x0 的某邻域内可导. 五．将 f ( x) ln(1 x x 2 ) 展开成 x 的幂级数. （8 分） 六．证明题（共 60 分） 1.设 a 0, f ( x) 是定义在 [a, a] 上的连续偶函数，则
x 2 4 y 2 1.
(4) 计算

S
yzdydz ( x 2 z 2 ) ydzdx xydxdy , 其中 S 为曲面 4 y x 2 z 2
上 y 0 的那部分, 取正侧. 8. 证明: (共 21 分) (1) 若函数 f 在 ( x0 ,) 内可导, 且 lim f ( x) A ( A 为常数), 则
n =0
(10
分)
5.
讨论二元函数 f :
x2 y , x2 + y2 ≠ 0 2 2 f ( x, y ) = x + y 0, x 2 + y 2 = 0
6.
在(0,0)点的可微性. (9 分) 证明题 (第 1-3 小题每小题 12 分, 第 4 小题 11 分, 总共 47 分) 1 1 4 π ≤ +1− (0 < x ≤ ). (1) 证明不等式: sin x x π 2 (2) 设函数 f 在闭区间 [ −1,1] 上二次可导 , 且 f ( −1) = 0, f (0) = 0, f (1) = 1. 证明 : 存在θ ∈ (−1,1) 使得 f ′′(θ ) = 1. (3) 设函数 f 满足 : (i ) 对 ∀x ∈ [ a, b], f ( x) ∈ [a, b]; (ii ) 在闭区间 [ a, b] 上具有连 续的导函数; (iii) | f ′( x) | ≤ 1, x ∈ [a, b]. 令
an , n 1,2,. 证明 {an } 收敛, 并求 1 an
n
lim an .
(2) 设 xn
1n n(n 1)(2n 1) , n 1,2,. 求 lim xn . n n
sin 2 x x 2 (3) 求 lim . x 0 4(1 cos x) 2 (e x 1) x 3
2010 年招收攻读硕士学位 年招收攻读硕士学位研究生 攻读硕士学位研究生入学考试试题 研究生入学考试试题（ 入学考试试题（副卷） 副卷）
学科、专业名称：数学学科、基础数学专业、概率论与数理统计专业、应用数学专业 研究方向：各方向 考试科目名称：609 数学分析
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
其中 , 0. 问对哪些 , , f 在 (0,0) 可微 ? (12 分)
考试科目： 数学分析
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2012 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
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x
x
lim
f ( x) A. x
(11 分)
(2)
若函数 f 在闭区间 [a, b] 上存在二阶导数, 且 f (a) f (b) 0,
f ( x) 0 ( x (a, b)), 则对 x (a, b), f ( x) 0. (10 分)
9. 设
| x | | y | , ( x, y ) (0,0) tan f ( x, y ) x2 y 2 0, ( x, y ) (0,0),
时针方向. 二．求极限（每小题 8 分，共 16 分） n 1 2010 2011 ) cos n n sin ]. 1．求极限 lim[( 2 n 9n 2 n 2. 求极限
( x , y ) ( , )
lim
(
2 xy )x . 2 x y
2
三．求导数（共 26 分） 1．试从
学科、专业名称：数学学科、基础数学专业、概率论与数理统计专业、应用数学专业 研究方向：各方向 考试科目名称：709 数学分析
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
1. 求极限 (每小题 8 分, 共 24 分) (1) 设数列 {an } 满足: a1 1, an 1 1

x = ϕ (t )
为定义在 [α , β ]
F (t , y ) = ∫
ϕ (t )
a
f ( x, y )dx ((t , y ) ∈ [α , β ] × [c, d ]).
证明： F 在 [α , β ] × [c, d ] 上连续.
2011 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（副卷）
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(1) n 的值. (10 分) n(2n 1)
7. 计算积分 (每小题 10 分, 共 40 分) (1) 求

dx ( x 1)5 / 2 x3 1
.
(2) 判断广义积分

1
2 x2 x3 x 2 1
dx 的敛散性, 若收敛, 求其值.
2
(3) 计 算

l
cos x 2 x 2 y 4x2 y e y dx dy , 其 中 l 为 取 逆 时 针 方 向 的 曲 线 : x2 4 y 2 x2 4 y 2
(2)
2y
x
求 lim ( g ( 2x )) .
x x →+∞
3.
(1)
∫
2 + x − x 2 dx x
1 0
；
dx
(2)
瑕积分 ∫
x2 1 − x2
是否收敛? 若收敛, 求其积分值；
x C
(3)
设 w = g (u) 为连续可微函数, 若曲线积分 ∫ y(e + 2 g ( x))dx − g ( x)dy 与路径 无关, 且 g (0) = 1 , 求 ∫ y(e + 2 g ( x))dx − g ( x)dy.
学科、专业名称：基础数学、概率论与数理统计、计算数学、应用数学、运筹学与控制论等 研究方向： 考试科目名称：数学分析(B)
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
本试卷满分为 150 分，考试时间为 3 小时。 一．计算积分（每小题 8 分，共 24 分） 1．求
1 1 x dx 的值. x2 1 x 1 ( x3dydz y 3dzdx z 3dxdy ) ， 其中 S 是 x2 y 2 z 2 a 2 的 2 2 x y z
1.
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求极限 (每小题 6 分, 总共 36 分)
(1)
lim n a n + bn (a, b > 0)
n →∞
；
(2)
2 2 2
xn +1 = f ( xn ) (n = 1, 2,..., x1 ∈ [a, b]).
证明数列{x } 收敛于 α , 其中 α 满足 f (α ) = α . (4) 设函数 z = f ( x, y ) 在矩形闭域 [ a, b] × [c, d ] 上连续 , 上其值含于 [a, b] 内的可微函数. 令
(1,1)
x
(0,0)
考试科目： 数学分析 (4) 计算 ∫∫ yzdydz + ( x
S
2
+ z 2 ) ydzdx + xydxdy,
其中 S 为曲面 4 − y = x
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2
+ z2
上
y≥0
∞
的那部分取正侧.
n
4.
1 求幂级数 ∑ (nn++2)! x 的收敛域及和函数.
u
n 1
n
发散;
(2) 若
u
n 1

n
是收敛的正项级数, 且数列 {un } 单调, 则 lim nun 0.
n
4. 证明方程 2 y 1 cos y xe 0 在 (0,0) 的邻域内确定唯一的可导函数 y y( x) ,
y
并求 y(0), y(0) 及 lim
2. 设函数 g 在 x0 的某邻域内 n 1 (n 2,3,) 阶光滑, f ( x) ( x x0 ) g ( x), 求
n
f ( n) ( x0 ). (8 分)
3. 设
u
n 1

n
是数项级数, 证明: (13 分)

(1) 若 lim nun 0, 则
n
(5)
i n + i2
2
；
(6)
设函数 g 在区间 (−∞, +∞) 内具有二阶连续的导函数, 且 g (0) = 1, g ′(0) = 0,
g ′′(0) = −1.
2.
求导数与微分 (每小题 7 分, 总共 14 分) (1) 已知 f ( x ) = (1 − x )(2 − x ) ⋅⋅⋅ (100 − x), 求 f ′(1) ； 求由方程 x − (2 y) = 0 ( x, y > 0) 所确定的函数 y = y( x) 的微分. 计算积分 (第 1,2 小题每小题 7 分, 第 3,4 小题每小题 10 分, 总共 34 分)