高一数学春季班辅导讲义
高中数学复习讲义
高中数学复习讲义一、代数1.1 一元一次方程1.2 一元二次方程1.3 平面直角坐标系1.4 解析几何与向量1.5 指数与对数1.6 三角函数与三角恒等变换1.7 数列与数学归纳法二、几何2.1 平面与立体几何基本概念2.2 直线与角2.3 三角形与三角形的性质2.4 四边形与四边形的性质2.5 圆与圆的性质2.6 空间几何与立体几何三、概率与统计3.1 随机事件与概率的计算3.2 组合与排列3.3 抽样与统计四、数学思想方法4.1 推理与证明4.2 逻辑与谬误4.3 数学建模与解题策略五、应用题本讲义将针对高中数学涵盖的主要内容进行复习总结，旨在帮助大家全面复习数学知识，掌握解题方法和技巧，为高考做好充分准备。
一、代数1.1 一元一次方程一元一次方程是数学中最基础的方程形式之一，解一元一次方程需要掌握方程的基本性质和求解方法。
我们将重点讲解常见的一元一次方程类型，并提供解题思路和方法。
掌握一元一次方程的求解技巧对于解决实际问题具有重要意义。
1.2 一元二次方程一元二次方程在高中数学中起着重要的作用，解一元二次方程需要掌握配方法、因式分解法以及求根公式等知识点。
我们将介绍一元二次方程的基本概念和解法，并通过大量例题帮助大家提高解题能力。
1.3 平面直角坐标系平面直角坐标系是研究平面几何和解析几何的基础，了解坐标系的性质和坐标变换的规律对于解决几何问题至关重要。
我们将详细介绍直角坐标系的相关概念和性质，并结合实例进行讲解，帮助大家掌握平面直角坐标系的应用。
1.4 解析几何与向量解析几何是将代数与几何相结合的重要数学分支，研究空间中点、直线、平面等几何对象的解析表达和性质。
向量是解析几何中的重要工具，学习向量的表示方法和运算规律有助于解决几何问题。
我们将讲解解析几何基本概念和向量的数学性质，并通过练习题提高大家的解题能力。
1.5 指数与对数指数和对数是高中数学中重要的数学工具和运算方法，涉及到数学表达式的简化、方程的求解等。
高一数学春季尖子 班讲义第12讲 圆的初步 教师版 尖子班
当前形势圆的方程在近五年北京卷（理）考查5～14分高考要求内容要求层次具体要求A B C圆的标准方程与一般方程√掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．直线与圆的位置关系√掌握直线与圆的位置关系，会求圆的切线方程、弦长等有关直线与圆的问题两圆的位置关系√掌握圆与圆的位置关系，会求圆的公共弦方程北京高考解读2008年2009年2012年（新课标）第7题5分第19题14分第2题5分新课标剖析满分晋级第12讲解析几何1级直线方程六大考点解析几何2级圆的初步解析几何3级椭圆初步圆的初步【教师备案】因为直线方程建议讲了4小时，所以本讲建议讲2小时考点1：圆的标准方程1. 圆的标准方程 ⑴以点()C a b ，为圆心，r 为半径的圆的方程：222()()x a y b r -+-= ⑵圆心在原点的圆的标准方程：222x y r +=【教师备案】⑴我们知道，平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点是圆心，定长是圆的半径．现在我们来求以()C a b ，为圆心，r 为半径的圆的方程．设()M x y ，是C e 上的任意一点．点M 在C e 上的条件是CM r =．也就是说，如果点M 在C e 上，则CM r =，反之，如果CM r =，则点M 在C e 上．由两点间的距离公式，所说条件可转化为方程表示：()()22x a y b r -+-=．两边平方，得()()222x a y b r -+-=①．显然，C e 上任意一点M 的坐标()x y ，适合方程①；如果平面上一点M 的坐标()x y ，适合方程①，可得CM r =，则点M 在C e 上．因此方程①是以点()C a b ，为圆心，r 为半径的圆的方程，叫做圆的标准知识切片知识点睛12.1圆的方程M COyxP (x, y )r Oy x方程．特别地，如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的标准方程就是222x y r +=． ⑵圆的标准方程()()222x a y b r -+-=⇔圆心()a b ，，半径为r ，它体现了圆的几何性质，圆的标准方程直接给出了圆的圆心坐标和半径长，突出了确定一个圆的基本要素，因此， 有利于画出图形．⑶圆的标准方程中共有三个待定系数a b r ，，，只要确定出这三个量的值，圆的方程即被 确定．因此确定圆的方程需要三个独立的条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的 定形条件．⑷方程()()22x a y b t -+-=：①当0t >时，表示圆心为()C a b ，t ②当0t =时，表示一个点()C a b ，； ③当0t <时，不表示任何图形．2. 点与圆的位置关系圆的标准方程()()222x a y b r -+-=，圆心()A a b ，，半径r ， 若点()00M x y ，在圆上，则()()22200x a y b r -+-=； 若点()00M x y ，在圆外，则()()22200x a y b r -+->；若点()00M x y ，在圆内，则()()22200x a y b r -+-<；反之，也成立．【教师备案】判断点与圆的位置的方法是由两点间的距离公式，求出该点到圆心的距离，再与圆的半径比较大小即可．例：写出圆心为()23A -，，半径长等于5的圆的标准方程，并判断点()157M -，，()251M --是否在这个圆上，若不在这个圆上，是在圆内还是在圆外？【解析】 圆心为()23A -，，半径长等于5的圆的标准方程是()()222325x y -++=．把()157M -，的坐标代入上述方程中，有()()22527325-+-+=，即点1M 的坐标适合圆的方程，可知点1M 在这个圆上；把()251M -的坐标代入上述方程中，有()()225213134525--+-+=+，可知点2M 不在这个圆上，而在这个圆内．3. 确定圆的方法要求出圆的标准方程必须求出圆心和半径．确定圆的标准方程的主要方法是待定系数法，即列出a b r ，，的方程组，一般步骤为： ⑴根据题意，设所求的圆的标准方程()()222x a y b r -+-=；⑵根据已知条件，建立关于a b r ，，的方程组； ⑶解方程组，求出a b r ，，的值，并把它们代入所设的圆的方程中，就得到所求圆的方程． 条件 方程形式过原点 ()()()2222220x a y b a b a b -+-=++≠ 圆心在x 轴上 ()()2220x a y r r -+=≠圆心在y 轴上 ()()22220x y b r r +-=≠圆心在x 轴上且过原点()()2220x a y a a -+=≠圆心在y 轴上且过原点()()2220x y b b b +-=≠与x 轴相切 ()()()2220x a y b b b -+-=≠与y 轴相切 ()()()2220x a y b a a -+-=≠与两坐标轴都相切()()()2220x a y b a a b -+-==≠【例1】 圆的标准方程写出下列各圆的方程⑴经过点()63，，圆心为()22-，；⑵经过点()45A --，，()61B -，，且以线段AB 为直径．【解析】 ⑴所求圆的方程为()()222241x y -++=⑵所求圆的方程为()()221329x y -++=【备选】求以两直线1:5l x y -=，2:24l x y +=的交点为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程．【解析】 所求圆的标准方程为()()22324x y -++=．考点2：圆的一般方程1． 圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=，（2240D E F +->）说明：⑴2x 和2y 项的系数相等且都不为零；⑵没有xy 这样的二次项．⑶表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎭为圆心，22142D E F +-为半径的圆．例：二元二次方程22232340x y x y +-++=是否表示圆．【解析】 ∵2x 和2y 的系数不相等，∴方程不表示圆．【教师备案】将圆的标准方程()()222x a y b r -+-=展开，得22222220x y ax by a b r +--++-=，由此可见，圆的方程具有如下形式：()220x y Dx Ey F ++++=*，其中D E F ，，为常数．那么，形如()*的方程是否都表示圆呢？将方程220x y Dx Ey F ++++=配方，得()222214224D E x y D E F ⎛⎫⎛⎫+++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与圆的标准方程比较，可知：经典精讲知识点睛①当2240D E F +->时，方程()*表示以22DE ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，为圆心，22142D EF +-为半径的圆；②当2240D E F +-=时，方程()*只有一个解，表示一个点22DE ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，；③当2240D E F +-<时，方程()*无实数解，它不表示任何图形．例：若220x y x y m +-+-=表示一个圆的方程，则m 的取值范围是（ ）A ．12m >-B ．12m -≥ C ．12m <- D ．2m >-【解析】 A2． 如何选用圆的方程圆的方程有标准方程和一般方程，求哪一种都需要三个独立条件，都要用到待定系数法，但要灵活选用圆的方程的形式，以便简化计算．一般来说．⑴如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a b r ，，；⑵如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再利用待定系数法求出常数D E F ，，．例：⑴求经过两点()14A -，、()32B ，且圆心在y 轴上的圆的方程；⑵求过三点(11)A -，，(14)B ，，(42)C -，的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标． 【解析】 ⑴ 圆的方程是()22110x y +-=．⑵所求圆的方程为227320x y x y +--+=． 半径522r =，圆心7322⎛⎫⎪⎝⎭，【教师备案】老师可以配合知识点睛中的例子先讲圆的一般方程以及一般方程表示圆的条件，然后让学生做例2以及相应班次的学案；最后再根据知识点睛中的例子讲如何选用圆的方程，然后再做例3和相应班次的学案．【例2】 方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件判断下列方程是否表示圆，若是，求出圆心和半径⑴ 22104x y x +-+=；⑵ ()22200x y ax a ++=≠；⑶ 22210x y ay ++-=；【追问】若表示圆，则当圆的面积最小时，a 的值为多少？ ⑷ 22220160x y x +++=．经典精讲⑸ 224250x y mx y m ++-+=【解析】 解法一：⑴22102x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭表示一个点，坐标为102⎛⎫⎪⎝⎭，；⑵()()2220x a y a a ++=≠表示圆，圆心()0a -，，半径r a =； ⑶()2221x y a a ++=+表示圆，圆心()0a -，，半径21r a =+； 【追问】当0a =时，圆的面积取最小值． ⑷()22221010160x y ++=-<，不表示任何图形． ⑸1m >或14m <时表示圆，圆心为()21m -，，半径为2451m m -+． 当114m ≤≤时，方程不表示圆．【备选】若直线530x y -+=经过圆2222104m x y mx y +-++-=的圆心，则m 等于（ ）A ．16-B ．16C ．0或16D ．0或16-【解析】 A【例3】求圆的一般方程⑴已知ABC △三边所在直线方程:60AB x -=，:280BC x y --=，:20CA x y +=，求此三 角形外接圆的方程．⑵求过原点及()11A ，且在x 轴上截得的线段长为3的圆的方程． 【解析】 ⑴222143002x y x y +-++=． ⑵所求圆的方程为22350x y x y ++-=或2230x y x y +-+=．考点3：直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：①直线与圆相交，有两个公共点； ②直线与圆相切，有一个公共点；知识点睛12.2直线（圆）与圆的位置关系③直线与圆相离，没有公共点．2．直线与圆的位置关系的判定有两种方法：①代数法：判断直线0Ax By C ++=和圆220x y Dx Ey F ++++=的位置关系，可将2200Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩消去y （或x ），得20mx nx p ++=（或20my ny p ++=）． 当0∆>时，直线与圆相交，有两个公共点； 当0∆=时，直线与圆相切，有一个公共点； 当0∆<时，直线与圆相离，无公共点．②几何法：已知直线0Ax By C ++=和圆()()222x a y b r -+-=，可用圆心到直线的距离22Aa Bb Cd A B++=+与r 的大小关系判断直线与圆的位置关系．当d r <时，直线与圆相交，有两个公共点； 当d r =时，直线与圆相切，有一个公共点； 当d r >时，直线与圆相离，无公共点；<教师备案>一般的，判定直线与圆的位置关系都用几何法，代数法在圆锥曲线才会常用。
高一数学同步辅导讲义(专题讲解)
高一寒假数学同步辅导讲义（专题讲解）第一章 集合与简易逻辑专题讲解一 、 集合的概念、运算与不等式1．在解题过程中，要善于理解和识别集合语言（即符号和图形语言），并会用集合语言准确地叙述。
2．特别要注意在集合中表示关系的两类符号∈、∉与⊆、⊆的区别，元素与集合间的从属关系用∈、∉表示，集合与集合之间的包含与相等的关系用⊂、⊂、⊆、⊆、=表示.3．给定两个集合A ，B ，它们的运算意义为：A ∩B={}B x A x x ∈∈且，A ∪B={}B x A x x ∈∈或，C S A={}A x S x x ∉∈且,.这些运算都是同逻辑连词“且”与“或”紧密相连的，“且”表示两条件要同时成立，“或”表示两条件中要至少有一个成立.理解好这些逻辑连词是思考、表达事件之间关系并正确推理的基础.集合的运算有时要用关系：C s (A ∪B)=（C s A ）∩（C sB ），C s （A ∩B ）=（C s A ）∪（C s B ），与此有关问题的运用韦恩图有示更直观.见表1—9.4．集合M={}n a a a ,,,21 的子集个数为2n ，真子集个数为2n －1，非空子集个数为2n—1，非空真子集个数为2n －2.含绝对值的不等式和一元二次不等式的解法不仅为今后学习提供了工具，同时也为研究集合与命题间的逻辑关系提供了具体的数学模型.表1 命题 或 且 否定┐ 蕴涵⇒ 等价⇔ 集合 并集∪ 交集∩ 补集C 子集⊆ 相等=关键字词 或且非若……则……当且仅当必须且只须自反性 A ∪A=A A ∩A=A C U (C U )A=A A ⊆A 真子集无 A=A 对称性A ∪B=B ∪AA ∩B=B ∩AC B A=C A BA=A 若A=B 则B=A传递性若A ⊆B ，B ⊆C 则A ⊆C若A=B ，B=C ，A=C 结合律(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C)(A ∩B) ∩C=A ∩(B ∩C)【例1】 已知集合M=R x x y y ∈+=,12，N={}R x x y y ∈+=,1，则M ∩N=（ ） A ．（0，1）（1，2） B ．{})2,1(),1,0( C ．{}21==y y y 或 D ．{}1≥y y分析 集合M 、N 是用描述法表示的，元素是实数y 而不是实数对（x ，y ），因此M ，N 分别表示函数y=x 2+1（x ∈R ），y=x+1（x ∈R ）的值域，求M ∩N 即求两函数值域的交集.解 M={}R x x y y ∈+=,12={}1≥y y ，N={}R x x y y ∈+=,1={}R y y ∈. ∴M ∩N={}1≥y y ∩{}R y y ∈={}1≥y y ，故选D.说明（1）本题求M ∩N.经常发生解方程组⎩⎨⎧-=+=112x y x y 得⎩⎨⎧==10y x 或⎩⎨⎧==21y x 从而选B 错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么，事实上M ，N 的元素是数而不是点，因此M 、N 是数集而不是点集.（2）集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{}R x xy x ∈+=,12，{}R x x y y ∈+=,12，{}R x x y y x ∈+=,1),(2这三个集合是不同的.【例2】给出下面元素与集合或集合之间的关系：（1）0⊂{}0；（2）0∈{}0；（3）Φ∈{}Φ；（4）a ∈{}a ；（5）Φ={}0；（6）{}0∈Φ；（7）Φ∈{}0；（8）Φ⊂{}0，其中正确的是（ ）A ．（2）（3）（4）（8）B ．（1）（2）（4）（5）C ．（2）（3）（4）（6）D ．（2）（3）（4）（7） 分析 依次判断每个关系是否正确，同时用排除法筛选.解 （1）应为0∈{}0；（2）（3）（4）正确，排除B ，再看（6）（7）（8）哪个正确，由Φ是{}0的子集，因此（8）正确，故选A.说明 0与{}0只有一种关系：0∈{}0 ；R 与{}R ；Φ与{}0也只有一种关系：Φ⊂{}0. 【例3】 已知集合A={}R x x m x x ∈=+++,01)2(2，若A ∩R +=Φ，则实数m 的取值范围是__________.分析 从方程观点看，集合A 是关于x 的实系数一元二次方程x 2+(m+2)x+1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A ∩R +=Φ可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m 的不等式，并解出m 的范围.解 由A ∩R +=Φ又方程x 2+(m+2)x+1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，即⎩⎨⎧<+-≥-+=∆.0)2(04)2(2m m或△=(m+2)2－4＜0.解得m ≥0或－4＜m ＜0，即m ＞－4.说明 此题容易发生的错误是由A ∩R +=Φ只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因此方程无零根），而把A=Φ漏掉，因此要全面正确理解和识别集合语言.【例4】 已知集合A={}0232=+-x x x ，B={}012=-+-a ax x x ，且A ∪B=A ，则a 值为__________.分析 由A ∪B=A ⇔B ⊆A 而推出B 有四种可能，进而求出a 的值. 解 ∵A ∪B=A ， ∴B ⊆A ，∵A={}2,1，∴B=Φ或B={}1或B={}2或B={}2,1. 若B=Ø，则令△＜0得a ∈Ø；若B ={}1，则令△=0得a=2，此时1是方程的根；若B={}2，则令△=0得a=2，此时2不是方程的根.∴a ∈Ø ；若B={}2,1，则令△＞0得a ∈R 且a ≠2，把x=1代入方程得a ∈R ，把x=2代入方程得a=3，综上a 的值为2或3.说明 本题不能直接写出B=（），因为a （）可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B 有可能是空集，还有可能是单元素集的情况.【例5】 命题甲：方程x 2+mx+1=0有两个根异负根；命题乙：方程4x 2+4(m －2)x+1=0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求m 的取值范围.分析 使命题甲成立的m 的集合为A ，使命题乙成立的m 的集合而为B ，有且只有一个命题成立是求A ∩C R B 与C R A ∩B 的并集.解 因使命题甲成立的条件是△1=m 2－4＞0，且－m ＜0，所以解得m ＞2，即集合A={}2>m m ；因使命题乙成立的条件是△2=16(m －2)2－16＜0，所以解得1＜m ＜3，即集合B={}31<<m m .若命题甲、乙有且只有一个成立，则m ∈A ∩C R B 或m ∈C R A ∩B ，而A ∩C R B={}2>m m ∩{}31≥≤m m m 或={}3≥m m ，C R A ∩B={}2>m m ∩{}31<<m m ={}21≤<m m ，所以综上所求m 的范围是{}321≥≤<m m m 或.说明（1）本题体现了集合语言、集合思想的重要作用；（2）用集合语言来表示m 的满园即准备又简明.二、 一元二次方程实根的分布【例1】关于x 的方程3x 2－5x+a=0，实数a 在什么范围内，一个根大于－2，而小于0，另一个根大于1，而小于3？解 由题意，a 应满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+⨯-⨯=<+-=<=>+-⨯--⨯=-03533)3(053)1(0)0(0)2(5)2(3)2(22a f a f a f a f 解得－12＜a ＜0.【例2】关于x 的方程2x 2+3x －5m=0，有两个小于1的实根，求实根m 的取值范围. 解 二次函数图像是开口向上的抛物线，对称轴x=－43，在x=1的左侧.这样抛物线与x 轴有两个交点的横坐标都小于1，所以应满足的条件是：⎩⎨⎧≥-=∆>-+=04090532)1(m m f 解得－409≤m ＜1. 【例3】关于x 的方程x 2―2tx+t 2―1=0的两个根介于―2和4之间，求实数t 的取值范围.解 由题意可知，t 需满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<=-<->=--=∆>+-=>++=-42204)1(440158)4(034)2(2222t a b t t t t f t t f 解得 －1＜t ＜3.说明 讨论二次方程实根的分布，常有以下一些结论（设方程f(x)=ax 2+bx+c=0（a ＞0）两实根为x 1，x 2）：（1）若m ＜x 1＜n ＜p ＜x 2＜q ，则方程系数应同时满足下列不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++=<++=<++=>+=0)(0)(0)(0)(2222c bq aq q f c bp ap p f c bn an n f c bm am m f 特别地，当方程f(x)=0有一正根，一负根，即x 1＜0，x 2＞0，则应用f(0)=c ＜0；若方程f(x)=0有一个根大于k ，一个根小于k ，则应有f(k)＜0.（2）若二次方程f(x)=0的两面根在区间（m ，n ）内，则应同时满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>n a b m n f m f 200)(0)( 特别地，若f(x)=0两根都大于k 时，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≥∆>.2,0,0)(k ab k f三、 四种命题与充要条件1．所谓命题，是指可以判断其真假的陈述语句，一个陈述语句所叙述的事情符合事实，我们称它为真命题，反之，一个陈述语句所叙述的事情违反事实，我们称它为假命题.2．命题有四种形式，即原命题、逆命题、否命题、逆否命题，其中原命题与逆否命题是等价的，逆命题与否命题是等价的。
人教版高中数学高一培优讲义第二章复习
则
，
，
，设
，则
，
，则
，当
，
时，
， 取得最小值，
其最小值为
，故选 B ．
4.【答案】 A
【分析】本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，属于基础题．
根据平面向量的线性表示与数量积运算，结合题意可得出
是等腰三角形．
【解答】解：因为
，即
， 又因 为
，所以
，
所以
，即
，所以
是等腰三角形．故选 A ．
5.【答案】 D
答案和解析
1.【答案】 A
【分析】本题考查向量的加法、减法、数乘运算，平面向量的基本定理及其应用，考查了推 理能力与计算能力， 属于基础题．通过利用向量的三角形法则，以及向量共线，代入化简即 可得出．
【解答】解：
，
．故选 A ．
2.【答案】 A
【分析】本题考查两个向量的关系的判断，属于基础题．由已知得
（4）、向量的数量积的几何意义：等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影 | b | cos 的乘积 .
7、两个向量的数量积的性质：
设 a 、 b 为两个非零向量
（1） a b a b 0
（2）当 a 与 b 同向时， a b | a || b |；当 a 与 b 反向时， a b | a ||b | .
【分析】本题考查了向量坐标运算性质、同角三角函数的关系，两角和差的三角函数公式，
属于中档题． 建立适当坐标系， 利用同角三角函数的关系和两角和差的三角函数的公式求得
各点的坐标，进而利用平面向量的坐标运算得到关于
m， n 的方程组，求得 m， n 的值，即
得．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．
高一春季班课讲义-数学(生)
考点二：向量加法运算及其几何意义
【例题 2.1】
a、b 为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( A．a∥b，且 a 与 b 方向相同 B．a、b 是共线向量
)
3
C．a＝－b D．a、b 无论什么关系均可
【例题 2.2】
在△ABC 中，|A→B|＝|B→C|＝|A→B＋B→C|，则△ABC 是( ) A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
第一讲 平面向量基本概念及线性运算
【知识点一】向量的表示法及有关概念
(1)几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．向量的大小就是向量的长度(或称
模)，如果向量A→B的长度记作
→ |AB|
．
(2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母 a、b、c、…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母→a 、
C．△ABC 的内部
D．△ABC 的外部
【作业 2】
设 a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( ) A．a 与－λa 的方向相反 B．|－λa|≥|a| C．a 与λ2a 的方向相同
D．|－λa|＝|λ|a
【作业 3】
设 e1、e2 是两个不共线的向量，则向量 a＝2e1－e2，与向量 b＝e1＋λe2(λ∈R)共线，当且仅当λ的值为(
减法 数乘
a－b＝a＋(－b)
三角形法则
|λa|＝|λ||a|；当λ＞0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当λ＜0 时，λa 的方向与
a 的方向相反；当λ＝0 时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a ＋b)＝λa＋λb
【知识点三】共线向量定理
向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得 b＝λa.只有 a≠0 才保证实数λ的存在性和唯 一性. 推论：(1)若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则O―→P＝1(O―→A＋O―→B)．
高一数学春季讲义 第15讲 期末复习 教师版
97期末考试试卷分析：高一下学期主要讲必修5和必修3，有的学校进度会比较快，讲一点必修2，对于必修2有的学校会讲空间几何体，有的学校会讲直线．学校在高一下学期期中考试之前会把必修5讲完，所以期中考试主要是进行模块考试（必修5），所以在期末考试的时候必修3是重点，会带着考一点必修2的知识．但学校考虑到是期末考试，要对这一学期的知识进行回顾，所以一般学校会分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷主要考必修3和必修2；Ⅱ卷主要考必修5．我们本讲主要是对必修3和必修2（也就是Ⅰ卷）进行复习． 考试内容分为三个部分：算法，概率与统计，直线与圆算法：主要考查四个方面，1、求输出结果；2、填判断框；3、求输入的值；4、写程序框图．前三个以选择题或填空题的形式出现，重点是1和2，在考试中肯定有，属于比较简单的题；写程序框图主要以解答题形式出现，在考试中不一定有． 概率与统计：主要有两个大方面，1、统计；2、概率．统计主要涉及到随机抽样、频率分布直方图、茎叶图、平均数和方差．其中随机抽样重点考察分层抽样，频率分布直方图重点考察已知直方图，求频率或其它相关的问题；茎叶图主要考察已知茎叶图，求平均数和方差；这部分主要以选择题或填空题的形式出现．概率主要涉及到基本事件、古典概型和几何概型．基本事件中重点考察对立事件与互斥事件以及概率加法公式，以选择题或填空题的形式出现；古典概型是期末考试的重点，以解答题的形式出现；几何概型以选择题或解答题的形式出现．最后可能还会有概率与统计的综合题，常以解答题的形式出现．直线与圆：主要考察两个大方面，1、直线方程；2、圆的方程．直线方程主要考察直线的斜率、直线方程、直线的位置关系、距离等问题，以选择题、填空题和解答题的形式出现；圆的方程主要考察圆的两个表示形式、直线与圆的位置关系，尤其是直线与圆相切和相交、圆与圆的位置关系等，也是以选择题、填空题和解答题的形式出现．2012年高一下学期期末各部分内容所占分值比（Ⅰ卷）第15讲 期末复习981．算法的特征：⑴有穷性：算法必须在执行有限步后结束，通常还理解为实际上能够容忍的合理限度； ⑵确定性：算法的每一个步骤必须有确定的含义；⑶可行性：组成算法的每个步骤和操作必须是相当基本的，原则上都是能精确地执行的； ⑷输入：有零个或多个输入： ⑸输出：有一个或多个输出．2．算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件（分支）结构和循环结构．例：⑴已知直角三角形两直角边长为a ，b ，求斜边长c 的一个算法分下列三步：①计算c =②输入直角三角形两直角边长a ，b 的值；③输出斜边长c 的值．其中正确的顺序是（ ）A ．①②③B ．②③①C ．①③②D ．②①③ ⑵下列给出的赋值语句正确的是（ ）A ．3M =B ．21(1)(1)y x x x =-=+-C ．3M M =+D ．3x y +=⑶将两个数8a =，7b =交换使7a =，8b =，使用赋值语句正确的一组是（ ）知识切片知识点睛15.1算法99A ．a b =，b a =B ．c b =，b a =，a c =C ．b a =，a b =D ．a c =，c b =，b a = 【解析】⑴ D ；⑵ C ；⑶ B ． 3．《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数．以具体的例子来说明更相减损术求最大公约数的原理： 以求117和182的最大公约数为例： (117182)(11765)(6552)(5213)(1339)(1326)(1313)→→→→→→，，，，，，，， 每次操作后得到的两个数与前两个数的最大公约数相同，而且逐渐减少，故总能得到相等的两个数，即为所求的最大公约数．例：2183和1947的最大公约数是________．【解析】 59；4．秦九韶算法与其它算法在计算量上面的比较：1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++， ⑴直接求和法：先计算各个单项式的值，再把它们相加，乘法次数为(1)(1)212n n n n ++-+++=，加法次数n ；⑵逐项求和法：先计算x 的各项幂的值，再分别相乘，计算幂值需要乘法1n -次，将幂值与多项式系数k a 相乘需要乘法n 次，故共需要乘法21n -次，加法n 次．此方法对直接求和法有所改进，但仍然比秦九韶算法计算量大很多． ⑶秦九韶算法：计算量仅为乘法n 次，加法n 次．例：用“秦九韶算法”求多项式5432()254367f x x x x x x =--+-+当5x =时的值时，需要进行乘法的次数______次，需要进行加法的次数是_______次． 【解析】 55，【例1】算法⑴如果如图⑴程序框图的输出结果为18-，那么在判断框①中表示的“条件”应该是（ ） A ．9i ≥ B ．9>i C ．8i ≥ D ．11>i⑵如图⑵程序框图箭头a 指向①处时，输出s =____________．箭头a 指向②处时，输出 s =___________．⑶下图⑶是计算123100=++++S 的程序框图 ① 判断其是否正确，若有错，请指出并改正； ② 求输出的S 的值．经典精讲100图⑴ 图⑵ 图⑶⑷某程序框图如图⑷所示，该程序运行后，输出的x 值为31，则a 等于 ．图⑷【解析】 ⑴ A⑵ 5；15．⑶ ① 不正确，判断框出的“是”与“否”写反了．② 5050S = ⑷1a =【备选】某次考试，满分100分，按规定x ≥80者为良好，6080<x ≤者为及格，小于60者不及格，写出算法，并画出当输入一个同学的成绩x 时，输出这个同学属于良好、及格还是不及格的程序框图． 【解析】 框图如右．1S ：输入一个同学的成绩x 2S ：若80x ≥，输出这个同学属于良好， 若80x <，执行3S 3S ：若6080x <≤，输出这个同学属于及格， 若60x <，执行4S 4S ：输出这个同学属于不及格 5S ：结束1011． 随机抽样：满足每个个体被抽到的机会是均等的抽样，共有三种经常采用的随机抽样方法：⑴简单随机抽样：从元素个数为N 的总体中不放回地抽取容量为n 的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样．抽出办法：①抽签法：用纸片或小球分别标号后抽签的方法．②随机数表法：随机数表是使用计算器或计算机的应用程序生成随机数的功能生成的一张数表．表中每一位置出现各个数字的可能性相同．随机数表法是对样本进行编号后，按照一定的规律从随机数表中读数，并取出相应的样本的方法．简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法．⑵系统抽样：将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的抽样方法．抽出办法：从元素个数为N 的总体中抽取容量为n 的样本，如果总体容量能被样本容量整除，设Nk n =，先对总体进行编号，号码从1到N ，再从数字1到k 中随机抽取一个数s 作为起始数，然后顺次抽取第2(1)s k s k s n k +++-，，，个数，这样就得到容量为n 的样本．如果总体容量不能被样本容量整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样方法进行抽样．系统抽样适用于大规模的抽样调查，由于抽样间隔相等，又被称为等距抽样．⑶分层抽样：当总体有明显差别的几部分组成时，要反映总体情况，常采用分层抽样，使总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．分层抽样的样本具有较强的代表性，而且各层抽样时，可灵活选用不同的抽样方法，应用广泛．例：⑴有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为（ ）A ．5，8，11，14B ．2，6，10，14C ．2，4，6，8D ．5，10，15，20⑵ 某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35到49岁的有25人，剩下的为50岁以上的人，用分层抽样抽取一个容量为20的样本，35到49年龄段抽取的人数是_______人．【解析】 ⑴D⑵ 5；【教师备案】本板块一共有4道例题，不建议老师把本板块全都复习完再做例题，老师可以先以上边的例给学生复习统计，然后让学生做例2．2．概率的古典定义：随机事件A 的概率定义为()P A =A 事件包含的基本事件数试验的基本事件总数．例：⑴某种彩票中奖概率为0.1%，某人连续买1000张彩票，下列说法正确的是（ ）A ．此人一定会中奖B ．此人一定不会中奖C ．每张彩票中奖的可能性都相等D ．最后买的几张彩票中奖的可能性大些 ⑵给出下列四种说法：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x 为某一实数时可使20x <”是不可能事件；③“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件；④从装有8个红球，6个白球的袋中任取2球，事件“至少有一个白球”和“都是红球”是两个对立知识点睛15.2概率与统计102事件．其中不正确的说法的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3⑶投两颗均匀的大小相同的骰子“点数和为9”的概率是_______． 【解析】 ⑴C⑵A ⑶19【教师备案】做完统计的题后，老师就可以以上边的例给学生复习事件与古典概型，然后让学生做例3．3．几何概型事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型． 事件A 的概率定义为()AP A μμΩ=，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，A μ表示区域A 的几何度量．例：任意取一实数([02π])x x ∈，，则1sin 2x >的概率为（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．23【解析】 B【教师备案】做完事件与古典概型的题后，老师就可以以上边的例给学生复习几何概型，然后让学生做例4，最后再做一个概率与统计综合的题（例5）．【例2】统计⑴ 一企业生产不同型号的水泥19500袋，它们来自甲、乙、丙3条不同的生产线，为检查这 批水泥的质量，决定采用分层抽样的方法进行检测，已知甲，乙，丙三条生产线抽取的个 体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了____________袋水泥． ⑵（2010北京理11文13） 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），由图中数据可知________a =．若要从身高在[)120130,，[)130140,，[]140150,三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[]140150,内的学生中选取的人数应为________．⑶ 甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）A ．12>x x ，12<s sB ．12=x x ，12<s sC ．12=x x ，12=s sD ．12=x x ，12>s s【解析】 ⑴1950065003=经典精讲乙甲8722175531565432098103⑵ 0.030；3 ⑶ B【例3】 事件与古典概型⑴从装有2个红球和2个白球的口袋中任取两球，那么下列事件组中互斥事件的个数是（ ） ①至少有1个白球，都是白球； ②至少有1个白球，至少有1个红球； ③恰有1个白球，恰有2个白球； ④至少有1个白球，都是红球． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3⑵某射手射击一次，击中10环、9环、8环的概率分别是0.24、0.28、0.19，则这名射手在一次射击中，击中的环数不够9环的概率是（ ）A ．0.29B ．0.71C ．0.52D ．0.48⑶在一次学生联欢会上，参加会的女同学比男同学多12人，从这些同学中随机挑选一人表演节目，若选到男同学的概率为920，则参加联欢会同学的人数为（ ）A ．54B ．66C ．108D ．120⑷已知关于x 的一元二次函数2()41()f x a x b x a b =-+∈R ，．设集合{}124P =，，，{}112Q =-，，，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为函数()f x 中的a 和b ，求函数()y f x =有且只有一个零点的概率．【解析】 ⑴C ；⑵D ⑶D ⑷概率为29． 【备选】双安商场举行购物抽奖促销活动，规定抽奖一次的规则为：每位顾客从装有编号为0123，，，四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后再放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．其余情况规定为不中奖．⑴写出抽奖一次所有基本事件的全集；⑵求抽奖一次中奖的概率．【解析】 ⑴所有基本事件()()()()()()()(){0001020311101213Ω=，，，，，，，，，，，，，，，，()()()()()()()()}2220212333303132，，，，，，，，，，，，，，，⑵中奖的概率为58．【铺垫】⑴ 两根相距10米的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2米的概率为__________．⑵ 一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6:2:1:4，则指针停在红色或蓝色区域的概率为（ ）A ．413B ．613C ．713D ．1013 【解析】 ⑴ 35⑵ C【例4】 几何概型⑴已知x 是[]1010-，上的一个随机数，则使x 满足26160+-x x ≤的概率为_______． ⑵已知关于x 的一元二次函数2()41()f x ax bx a b =-+∈R ，．设点()a b ，是随机取自平面区域10424000x y x y +-⎧⎪>⎨⎪>⎩≤内的点，求函数()y f x =在区间(]1-∞，上是减函数的概率． ⑶已知直线y x b =+，[]0,4b ∈，则原点O）A ．12 B ．13 C ．14 D ．18⑷在正方体1111ABCD A B C D -表面随机取一点P （异于点1B ），则 点P 满足11PB AA ⊥的概率是________．【解析】 ⑴ 12；⑵概率为12．⑶ A⑷16【例5】概率与统计为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如下：女生男生/cm/cm⑴ 估计该校男生的人数；⑵ 估计该校男生身高在170~185cm 之间的概率；【追问】估计该校学生身高在170~185cm 之间的概率；⑶ 从样本中身高在180~190cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185~190cm 之间的概率．【解析】 ⑴ 全校男生大致为400人⑵3140． 【追问】12⑶至少1人在185~190之间的概率：35．【备选】一个袋中装有4个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4．⑴ 从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和等于5的概率．⑵ 先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求2n m <+的概率．105【解析】 ⑴2163P ==． ⑵1316P =．1．平面直角坐标系中的基本公式：数轴上：21(,)d A B x x =-，其中12,x x 为数轴上的点,A B 的坐标；平面直角坐标系中：(,)d A B 1122(,)(,)A x y B x y ，． 2．直线的基本概念：直线的倾斜角α、斜率2121tan y y k x x α-==-、直线在x 轴和y 轴上的截距、直线的方程；例：⑴已知点()12P ，，()13Q -，，则直线PQ 的斜率是（ ） A ．2- B ．12 C ．12- D ．2 ⑵已知两点()23P -，、()32Q ，，直线20ax y ++=与线段PQ 相交，求a 的取值范围． 【解析】 ⑴C⑵4132a -≤≤．3．直线的方程：点斜式方程：00()y y k x x -=-； 斜截式方程：y kx b =+；两点式方程：11122121()y y x x x x y y x x --=≠--；截距式方程：1(0,0)x ya b a b+=≠≠；一般式方程：0(Ax By C A B ++=,不全为零)．例：⑴若直线l 通过点(10)，，且斜率是3，则直线l 的方程是________________．⑵经过两点(39)，、(11)-，的直线在x 轴上的截距为（ ）A ．32-B ．2C ．23-D ．23【解析】 ⑴330x y --=⑵A【教师备案】本板块一共有3道例题，也不建议老师把本板块全都复习完再做例题，老师可以结合直线的基本概念和直线方程中的例给学生复习直线的概念与方程，然后再让学生做例6．4．两条直线的位置关系：1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=， 相交12210A B A B ⇔-≠； 知识点睛15.3直线方程106平行12210A B A B ⇔-=且12210B C B C -≠； 重合12210A B A B ⇔-=且12210B C B C -=；垂直12120⇔+=A A B B ，在斜率12k k ，存在时121k k ⇔=-．例：⑴下列直线中，与直线320x y +-=垂直的是（ ）A ．320x y --=B ．320x y ++=C ．320x y --=D ．320x y ++= ⑵已知直线:220l x y +-=，则下列直线中，与l 平行的是（ ）A ．210x y +-=B ．210x y --=C ．210x y +-=D ．210x y --=⑶已知ABC △的三个顶点坐标为()()()102330A B C --，，，，，，则BC 边上的高所在的直线的方程为 ．【解析】 ⑴C⑵A⑶5350x y +-=5．点11()P x y ，到直线:0l Ax By C ++=的距离公式：d两平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=之间的距离公式：d =例：已知()23P ，，直线l 的方程为3430x y +-=，则点P 到直线l 的距离为 【解析】 3【教师备案】在做完直线方程的题后，老师就可以结合直线的位置关系和点到直线的距离中的例给学生复习直线的位置关系和距离公式，然后再让学生做例7．例8是直线的应用，在直线方程六大考点中我们还讲了对称问题与最值问题，如果老师在讲义中讲了对称问题与最值问题，那在本讲就可以讲例8，如果老师没讲，那老师就可以跳过例8．【例6】 直线方程⑴ 已知0ab >，0ac <，则直线0ax by c ++=一定不经过第____象限．⑵ 设直线l的倾斜角是直线1y =+的倾斜角的12，且与y 轴的交点到x 轴的距离是3，则直线l 的方程是____________．⑶ 设A B ，是x 轴上的两点，点P 横坐标为2，且P A P B =，若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程是__________．【解析】 ⑴ 三⑵3y =±⑶ 50x y +-=【例7】 直线的位置关系⑴ 已知过点()2A m -，，()4B m ，的直线与直线210x y +-=平行，则m =________； ⑵ 若直线830nx y ++=与直线210x ny +-=垂直，则n =________；经典精讲107 ⑶ 两点()10A ，，(3B 到直线l 的距离均等于1，则直线l 的方程为__________． 【解析】 ⑴ 8-；⑵ 0⑶20y -+-=20y --或10x +=或20x -=【例8】直线方程的应用⑴已知定点(01)A ，，点B 在直线0x y +=上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是_______． ⑵直线l 经过点()32P ，且与x y ，轴正半轴交于A B ，两点，则当OAB △的面积最小时直线l 的方程是__________．⑶光线由点()32P ，射到直线:30l x y ++=上，经l 反射后过点()16Q ，， ①求反射光线所在直线的方程；【追问】求入射光线所在的直线方程．②求反射光线所在直线与坐标轴所围成的三角形的面积．【解析】 ⑴ 1122⎛⎫- ⎪⎝⎭， ⑵ 23120x y +-=⑶ ①240x y -+=【追问】210x y -+=②4【备选】已知直线1l 和2l 关于直线:2210l x y -+=对称，若1l 的方程为3210x y -+=，求2l 的方程．【解析】所求直线方程为4630x y -+=1．圆的方程标准方程：以点()C a b ，为圆心，r 为半径的圆的方程为：222()()x a y b r -+-=一般方程：220x y Dx Ey F ++++=，（2240D E F +->）例：过点()11A -，与()11B -，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程为（ ） A ．()()22314x y -++= B ．()()223124x y ++-=C ．()()22114x y +++=D ．()()22114x y -+-=【解析】 D2．直线与圆的位置关系如果直线到圆心的距离为d ，圆的半径为r ，那么：①若d r >，则直线与圆相离；②若d r =，直线与圆相切；③若d r <，则直线与圆相交．例：⑴ 过点(16)P -，且与圆22(3)(2)4x y ++-=相切的直线方程是____________．知识点睛15.4圆的方程108 ⑵ 过点(11)，的直线l 与圆224x y +=交于A B ，两点，若|AB l 的方程为（ ）A ．20x y +-=B ．210x y -+=C ．210x y --=D ．10x y --=【解析】 ⑴10x +=或34270x y -+=⑵ A3．圆与圆的位置关系设1O 的半径为1r ，2O 的半径为2r ，两圆的圆心距为d ，当12d r r >+时，两圆外离；当12d r r =+时，两圆外切； 当1212r r d r r -<<+时，两圆相交； 当12d r r =-时，两圆内切； 当12d r r <-时，两圆内含．【教师备案】本板块主要是圆的方程，因为在讲义中只有圆的初步一讲，圆涉及到的知识比较简单，所以老师可以一块给学生复习，复习完知识点后就可以让学生做例9，同样，如果老师在前边的讲义中没有讲圆的初步一讲，那老师可以不讲本板块．【例9】 圆的方程⑴由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为（ ）A． BCD．⑵已知圆C 方程为()2215x y +-=，直线l 方程为：10mx y m -+-=．①求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点；②若直线l 与圆C 交于A ，B两点，且AB =，求m 的值．【解析】 ⑴B⑵①当0m =时，直线l 为1y =，由题意可知直线l 与圆C 相交；当0m ≠时，由题意可知圆心为()01，， ∴圆心到直线的距离为()01d ===，，d <∴，∴直线与圆C 相交；∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点②m =或m =．经典精讲。
高一春讲义
按逆时针方向运动一周回到
A
点，其中
−→ AP
=
λ
−→ AB
+
µ −A→E ，下列判断正确的是
( )
A. 满足 λ + µ = 2 的点 P 必为 BC 的中点
B. 满足 λ + µ = 1 的点 P 有且只有一个
C. 满足 λ + µ = a (a > 0) 的点 P 最多有 3 个
D. λ + µ 的最大值为 3
C 目录 ONTENTS
第 1 讲 平面向量分解系数的求法
模块 1 平面向量分解系数求法
3
模块 2 等和线的应用
8
第 2 讲 平面向量的数量积问题
模块 1 数量积的求法
15
模块 2 极化恒等式的应用
20
第 3 讲 解三角形
模块 1 正余弦定理与面积公式
27
模块 2 边角互化
30
第 4 讲 解三角形拓展与应用
课程设置上，我们秉承“暑寒预习 + 秋春同步”的科学学习 体系，寒假快速预习，让同学们在开学前就能掌握本学期的重要知 识点和基本题型，在起跑线上领先一步。春季复习巩固，同步拔高， 精准定位每一模块的重难点。两个课程相辅相成，不仅能让学生在 期中、期末考试中游刃有余，而且有利于构建知识体系与题型方法 体系，在高考中取得优异的成绩。
3 三点共线的条件
如果
A，B
是直线
l
上任意两点，O
是
l外一点，则对lFra bibliotek上任意一点
P，存在实数
t，使
−→ OP
=
(1
−
t)
−→ OA
+ t −O→B；
高一数学专题辅导讲义6函数的对称性
高一数学补充讲义6：函数的对称性一、基本结论：（一）单个函数本身具有的对称性：已知函数()y f x =，1、轴对称（1）若()()f x f x =-，则()f x 的图象关于0x =（y 轴）对称；（2）若(1)(1)f x f x +=-，则()f x 的图象关于直线1x =轴对称；（3）若()()f a x f a x +=-，则()f x 的图象关于直线x a =轴对称；（4）若()()f a x f b x +=-，则()f x 的图象关于直线2a b x +=轴对称；2、中心对称（5）若()()f x f x =--，则()f x 的图象关于点(0,0)对称；（6）若(1+)(1)f x f x =--，则()f x 的图象关于点(1,0)对称；（7）若()()f a x f a x +=--，则()f x 的图象关于点(,0)a 对称；（8）若()()2f a x f a x b ++-=，即()2()f a x b f a x +=--，则()f x 的图象关于点(,)a b 对称；对称性的证明例题：（1）求证：2()(1)f x x =-关于1x =对称；（2）求证：3()(1)2f x x =-+关于点(1,2)对称；（二）两个函数间的对称性：已知函数()y f x =，1、轴对称（1）函数()y f x =与函数()y f x =-关于直线0x =（y 轴）对称；（2）函数()y f x =与函数()y f x =-关于直线0y =（x 轴）对称；（3）函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-关于直线0x =（y 轴）对称；（4）函数()y f a x =+与函数()y f a x =-关于直线0x =（y 轴）对称；（5）函数()y f a x =+与函数()y f b x =-关于直线2b a x -=对称； （6）函数()y f x =与函数1()y fx -=关于直线y x =对称；（其中1()y f x -=为函数()y f x =的反函数）。
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初中/高中数学 备课组 日期 学生情况： ----------------------
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学生
主课题：对数的概念及运算
教学目标：1.了解对数式的由来和含义，清楚对数式中各字母的取值范围及与指数式之间
的关系．能认识到指数与对数运算之间的互逆关系．
2. 会利用指数式的运算推导对数运算性质和法则，能用符号语言和文字语言
②
loga
(
M N
)
loga
M
loga
N
③ loga M n n loga M
（5）换底公式：
logb
N
loga loga
N b
（其中
a
0, a
1,
b
0,
b
1,
N
0
）
ห้องสมุดไป่ตู้
推论：①
loga
b
1 logb
a
② logan
bm
m n
loga
b
【热身练习】
1. 利用对数的定义或性质求值：
3
（1） x 3 4 =
1
（2）x=64 （3） x 2 （x=0 舍去）
4 27
知识点二：利用对数的运算性质进行对数式的求值
例 3 计算下列各式的值：
（1） log 2
5
(log4
8
log4
9 2
log4 18)
（2） lg 25 2 lg 8 lg 2log2 5 • lg 20 lg2 2 3
记作： loga N b
【注】（1）负数和零没有对数
（2）指对数互化： ab N loga N b; aloga N N
（3）常用对数（以 10 为底）： log10 N lg N ；自然对数（以无理数 e 为底）：
loge N ln N
（4）对数的运算性质：
① loga (MN ) loga M loga N
10.
设 2lg(x 4y) lg 2x lg y ，求 log4
x 的值 y
3 2
1
【精解名题】
知识点一：对数式与指数式互化
例 1 已知 log1 x log36 6 ，求实数 x 的值
9
x 3 3
例 2 求下列各式中的 x 的值
（1）
log3
x
3 4
（2） log2[log3 (log4 x)] 0 （3） log(2x21) (3x2 2x 1) 1
（2）已知 log18 3 a, log18 5 b ，用 a, b 表示 log36 90 （1） (2a)m a lg(2a)m lg a m lg 2 m lg a lg a lg a m lg 2 ①
1
6. 求下列各式的值：
（1） (lg 5)2 lg 2 • lg 50 （2） lg 27 lg 8 3lg 10 lg 1.2
（1）1
3
3
3
(2)原式=
lg(32
• 23 102 lg 6
)
lg(3 4 10)2 lg 6
3 2
5
5
7. 已知 3a 2 ，用 a 表示 log3 8 log3 6 a log3 2, log3 8 log3 6 3log3 2 (log3 2 1) 2a 1
教学难点：利用对数运算的基本性质和换底公式进行计算和化简
考点及考试要求：1.掌握对数的积、商、幂的运算性质
2. 掌握对数的换底公式及其推论，并能结合其运算性质进行 计算、化简
教学内容
1
【知识精要】
对数
一般地，如果 a(a 0, a 1) 的 b 次幂等于 N，即 ab N ，则数 b 叫做以 a 为底 N 的对数
8. 已知 logx 5 a, logx 3 b ，求 x3a2b 的值
1125
9. 已知 lg a, lg b 是方程 2x2 4x 1 0 的两根，求 (lg a)2 的值 b
lg a lg b 2, lg a • lg b 1 2
所以 (lg a)2 (lg a lg b)2 4lg a lg b 4 2 2 b
（1）原式=
log
2 5
[log
4
(8
9 2
18)]
log
2 5
[log
4
32]
log
2 5
(
5 2
)
1
2
（2）原式= lg 52 lg(23)3 lg 5 • lg(2 10) lg2 2
= lg(25 4) lg 5 • (lg 2 1) lg2 2 = 2 lg 2 • (lg 5 lg 2) lg 5 3
1
知识点三：对数运算性质的应用（换底公式及其推论）
例 4 计算：（1） (log4 3 log8 3) • (log3 2 log9 2)
（2）[(1 log6 3)2 log6 2 • log6 18]• log4 6
（1）展开，再利用换底公式得 5 4
（2）原式= [(log 6
6
log6
3)2
log6
2
•
log6
(6
3)]
•
1 log6
22
= [(log 6
2)2
log6
2
•
(1
log6
3)] •
2
1 log6
2
(log6
2
1
log6
3)
•
log6 2 2 log6 2
=1
例 5 （1）已知 a 0 且 a 1， (2a)m a ， (3a)n 2a ，求证： ( 3)mn 3n 22
4. 下列各式正确的是 （ D ）
A lg 4 lg 7 lg(4 7) B 4lg 3 lg(3 4) C lg 3 lg 7 lg(3 7) D eln N N
5. 若 log3 aloga b 5 ，则 b 等于（ C ）
A a3 B a5 C 35 D 53
描述对数运算法则，并能利用运算性质完成简单的对数运算．
3. 能根据概念进行指数与对数之间的互化
教学重点：1.通过指数引入对数的概念，使学生理解和掌握对数的概念
2.通过指数的运算性质导出对数的运算性质，使学生掌握对数的积、 商、幂的运算性质
3. 让学生经历对数换底公式的推导过程，掌握用换底公式进行化简 和验证的方法
（1）log 1
3
1 3
=____1___
（2）log111 =___0____
（3）log 2
32 =__5____（4）log1
3
1 9
=___2___
2. 如果 log 1 4x 0 ，则 x=__-2___ 2 3 9
3. 若 log5[log3 (log2 x)] 0 ，则 x 的值等于____8____