高一数学同步辅导上课讲义
对数函数及其性质
【要点梳理】
要点一、对数函数的概念
1．函数y=log a x(a>0，a ≠1)叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞，值域为R ． 2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1；
（2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量x ． 要点诠释：
（1）只有形如y=log a x(a>0，a ≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数． （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论．
a ＞0
0＜a ＜1
图象
性质
定义域：（0，+∞） 值域：R
过定点（1，0），即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增函数 在（0，+∞）上是减函数 当0＜x ＜1时，y ＜0， 当x ≥1时，y ≥0
当0＜x ＜1时，y ＞0， 当x ≥1时，y ≤0
要点诠释：
关于对数式log a N 的符号问题，既受a 的制约又受N 的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.
以1为分界点，当a ，N 同侧时，log a N>0；当a ，N 异侧时，log a N<0. 要点三、底数对对数函数图象的影响 1．底数制约着图象的升降． 如图
要点诠释：
由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．
2．底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；当0 一般地有a N N c c a log log log = ，其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1，这个公式称为对数的换底公式． 要点四、反函数 1．反函数的定义 设,A B 分别为函数()y f x =的定义域和值域，如果由函数()y f x =所解得的()x y ?=也是一个函数（即对任意的一个y B ∈，都有唯一的x A ∈与之对应），那么就称函数()x y ?=是函数()y f x =的反函数，记作1 ()x f y -=，在1()x f y -=中，y 是自变量，x 是y 的函数，习惯上改写成1 ()y f x -=（,x B y A ∈∈） 的形式．函数1 ()x f y -=（,y B x A ∈∈）与函数1()y f x -=（,x B y A ∈∈）为同一函数，因为自变量的 取值范围即定义域都是B ，对应法则都为1 f -． 由定义可以看出，函数()y f x =的定义域A 正好是它的反函数1 ()y f x -=的值域；函数()y f x =的 值域B 正好是它的反函数1 ()y f x -=的定义域． 要点诠释： 并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如2 y x =．一般说来，单调函数有反函数． 2．反函数的性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称． （2）若函数()y f x =图象上有一点(),a b ，则(),b a 必在其反函数图象上，反之，若(),b a 在反函数图象上，则(),a b 必在原函数图象上． 【典型例题】 类型一、函数的定义域 求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用. 例1. 求下列函数的定义域： (1)2 log a y x =； (2)log (4-)(01)a y x a a =>≠且. 【答案】（1）{|0}x x ≠；（2）{|4}x x <． 【解析】由对数函数的定义知：2 0x >，40x ->，解出不等式就可求出定义域. (1)因为2 0x >，即0x ≠，所以函数2log {|0}a y x x x =≠的定义域为； (2)因为40x ->，即4x <，所以函数log (4-){|4}a y x x x =<的定义域为. 【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于log ()a y f x =的定义域时，应首先保证()0f x >． 举一反三： 【变式1】求下列函数的定义域. (1) y= 1 )1(log 1 2 13 3---x x (2) ln(2)x x y a k =-g （0a >且1,a k R ≠∈）. 【答案】（1）(1， 23)Y (2 3 ，2)；（2）略 【解析】(1)因为????? ?? ?? ≠->->-1)1(log 0)1(log 0 12 1 21x x x ， 所以101132x x x ??>?<- 所以函数的定义域为(1，23)Y (2 3 ，2). （2）因为 20x x a k ->g ， 所以2x a k ?? > ??? . ①当0k ≤时，定义域为R ； ②当0k >时， (i)若2a >，则函数定义域为(2 log a k ，+∞)； (ii)若02a <<，且1a ≠，则函数定义域为(-∞，2 log a k )； (iii)若2a =，则当01k <<时，函数定义域为R ；当1k ≥时，此时不能构成函数，否则定义域为?. 【变式2】函数(2)x y f =的定义域为[-1，2]，求2(log )y f x =的定义域. 【答案】[2，16]. 【答案】由12x -≤≤，可得()y f x =的定义域为[ 21，4]，再由21 log 42 x ≤≤得2(log )y f x =的定义域为[2，16]. 类型二、对数函数的单调性及其应用 利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域 优先的观念. 例2. 比较下列各组数中的两个值大小： (1)33log 3.6,log 8.9； (2)0.20.2log 1.9,log 3.5； (3)2log 5与7log 5； (4) 3log 5与6log 4． (5)log 4.2,log 4.8a a （01a a >≠且）． 【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。 【答案】(1)< ；(2) <；(3) >；(4) >；(5) 略． 【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成. (1)解法1：画出对数函数3log y x =的图象，横坐标为3.6的点在横坐标为8.9的点的下方，所以， 33log 3.6log 8.9<； 解法2：由函数3log y x =在R + 上是单调增函数，且3.6<8.9，所以33log 3.6log 8.9<； (2)与第(1)小题类似，0.2log y x =在R + 上是单调减函数，且1.9<3.5，所以0.20.2log 1.9log 3.5>； (3)函数2log y x =和7log y x =的图象如图所示．当1x >时，2log y x =的图象在7log y x =的图象上方，这里5x =，27log 5log 5∴>． (4) 3366log 5log 31log 6log 4,>==>Q 36log 5log 4∴> (5) 注：底数是常数，但要分类讨论a 的范围，再由函数单调性判断大小. 解法1：当1a >时，log a y x =在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，log 4.2log 4.8a a < 当01a <<时，y=log a x 在(0，+∞)上是减函数，且4.2<4.8，所以，log 4.2log 4.8a a > 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小， 令1log 4.2a b =，则1b a =4.2，令2log 4.8a b =，则2 4.8b a =， 当1a >时，x y a =在R 上是增函数，且4.2<4.8， 所以，b 1 当时01a <<，x y a =在R 上是减函数，且4.2<4.8 所以，b 1>b 2，即a a log 4.2>log 4.8. 【总结升华】比较两个对数值的大小的基本方法是： （1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性． （2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小． （3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小． 例3．比较11 log ,log ,log ,log a b a b b a b a 其中01的大小. 【答案】11log log log log a b b a b a a b <<< 【解析】由01，得1a b >，1 b a > ∴1log log 1a a a b >=，1 log log 1b b b a <= 11 log log b a a b ∴< ∴1 1log log b a a b --<，即log log b a a b -<- log log b a a b ∴> 11log log log log a b b a b a a b ∴<<< 【总结升华】若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小，中间变量常常用“0”和“1”．用 “0”和“1”把所给的数先分两组，然后组内再比较大小． 举一反三： 【变式1】已知324log 0.3 log 3.4log 3.615,5,,5a b c ?? === ? ?? 则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．c a b >> 【答案】C 【解析】另2log 3.4m =，4log 3.6n =，310 log 3 l =，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得m l n >> 又∵5x y =为单调递增函数， ∴ a c b >> 故选C . 【变式2】比较323log ,log 3,log 2a b c π=== 【答案】c b a << 【解析】3233log 2log 3log 31log 3log π<<<= c b a ∴<< 例4．求函数212 log (21)y x x =-++的值域和单调区间. 【思路点拨】先解不等式2 210x x -++>，保证原式有意义，然后再在定义域范围内求内函数 221t x x =-++的单调区间，然后根据复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”来求 解． 【答案】[-1，+∞)；增区间为1,12?+? ；减区间为() 12,1． 【解析】设2 21t x x =-++，则2(1)2t x =--+.∵ y=12 log t 为减函数，且02t <≤， ∴ 12 log 21y ≥=-，即函数的值域为[-1，+∞).再由：函数212 log (21)x x -++的定义域为 2210x x -++>，即1212x -<<+ ∴ 2 21t x x =-++在() 1上递增而在1,1?? 上递减，而y=12 log t 为减函数. ∴ 函数212 log (21)y x x =-++的增区间为1,1?+? ，减区间为( ) 1. 【总结升华】对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即log ()a y f x =型；另一类是内函数为对数函数，即(log )a y f x =型．对于log ()a y f x =型的函数的单调性，有以下结论：函数 log ()a y f x =的单调性与函数()u f x =[]()0f x >的单调性，当1a >时相同，当01a <<时相反． 研究(log )a y f x =型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”． 研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则． 举一反三： 【变式1】求函数() 22log 4y x =+的值域和单调区间． 【答案】[)2,+∞；减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞． 【解析】设24t x =+，则2 44t x =+≥，∵ y=2log t 为增函数，2222log log (4)log 42t x ∴=+≥= ()22log 4y x ∴=+的值域为[)2,+∞． 再由：2 2log (4)y x =+的定义域为R 24t x ∴=+在()0,+∞上是递增而在(),0-∞上递减，而y=2log t 为增函数 ∴ 函数y=2 2log (4)x +的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞. 【变式2】求函数log ()x a y a a =-的单调区间 【答案】减区间是：(),1-∞和()1,+∞ 【解析】①若1,a >则log a y t =递增，且x t a a =-递减，而0x a a ->，即,1x a a x <∴<， log ()x a y a a ∴=-在(),1-∞上递减． ② 若01a <<，则log a y t =递减，且x t a a =-递增，而0x a a ->，即,1x a a x <∴>， log ()x a y a a ∴=-在()1,+∞上递减． 综上所述，函数log ()x a y a a =-的单调递减区间是：(),1-∞和()1,+∞． 类型三、函数的奇偶性 例5. 判断下列函数的奇偶性. (1)2-()ln ;2x f x x =+ (2)())f x x =. 【思路点拨】判断函数奇偶性的步骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行（2），如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。（2）求()f x -，如果()()f x f x -=，则函数是偶函数，如果()()f x f x -=-，则函数是奇函数。 【答案】（1）奇函数；（2）奇函数． 【解析】首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行. (1)由 2-0-222x x x ><<+可得 所以函数的定义域为：(-2，2)关于原点对称 又1222()ln ln()-ln (),()()222x x x f x f x f x f x x x x -+---====--=--++即 所以函数2-()ln 2x f x x =+是奇函数； 【总结升华】此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形. (2)0x x R >∈可得 所以函数的定义域为R 关于原点对称 又 (-)))-()f x x x f x ===== 即f(-x)=-f(x)；所以函数())f x x =是奇函数. 【总结升华】此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握. 类型四、反函数 例6．求出下列函数的反函数 （1）16log y x =；（2）1x y e ?? = ???。 【答案】（1）16x y ?? = ???；（2）1log e y x = 【解析】（1）对数函数16 log y x =，它的底数为16，所以它的反函数是指数函数16x y ?? = ???； （2）指数函数1x y e ?? = ???的反函数是对数函数1log e y x =． 【总结升华】 反函数的定义域都由原函数的值域来确定的，特别是当反函数的定义域与由反函数解析式有意义所确定的自变量的取值范围不一致时，一定要注明反函数的定义域． 举一反三： 【高清课堂：对数函数369070 例5】 【变式1】 若函数()y f x =是函数(0,x y a a =>且a ≠1)的反函数，且(2)1f =，则()f x =（ ） (A)x 2log (B)x 21 (C)x 2 1log (D)22 -x 【答案】 A 【解析】解法1：Q 函数()y f x =是函数(0,x y a a =>且a ≠1)的反函数 ()log a f x x ∴=，又(2)1f = log 21 a ∴=，2a ∴=， 故选A ． 解法2：Q 函数()y f x =是函数(0,x y a a =>且a ≠1)的反函数，且(2)1f = ∴点（1，2）在函数x y a =的图象上，∴2a = 故选A ． 类型五、利用函数图象解不等式 例7．若不等式2log 0x a x -<，当10, 2x ?? ∈ ??? 时恒成立，求实数a 的取值范围． 【思路点拨】画出函数2x y =的图象与函数log a y x =的图象，然后借助图象去求借。 【答案】2112a ??≤< ??? 【答案】要使不等式2log 0x a x -<在10, 2x ??∈ ? ? ?时恒成立，即函数log a y x =的图在10,2?? ??? 内恒在函数2x y =图象的上方，而2x y =图象过点1,22?? ??? ．由右图可知，1log 22a ≥，显 然这里0＜a ＜1，∴函数log a y x =递减．又21 log 2log 2 a a a ≥=，∴2 12 a ≥ ，即212a ??≥ ? ?? ．∴所求的a 的取值范围为2112a ??≤< ??? ． 【总结升华】“数”是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而“形”则形象、直观，能简化思维过程，降低题目的难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合．本例中，利用图形的形象直观快速地得到答案，简化了解题过程．正因为如此，数形结合成为中学数学的四个最基本的数学思想方法之一，因此我们必须熟练地掌握这一思想方法，并能灵活地运用它来分析和解决问题． 在涉及方程与不等式的问题时，往往构造两个函数()f x 与()g x ，则()f x =()g x 的实数解等价于两个函数()y f x =与()y g x =的图象的交点的横坐标；而()f x <()g x 的的解等价于函数()y f x =的图象在 ()y g x =的图象下方的点的横坐标的取值范围．利用图象的形象性、直观性，可使问题得到顺利地解决， 而且分散了问题解决的难度、简化了思维过程．因此，我们要善于用数形结合的方法来解决方程与不等式的问题． 举一反三： 【变式1】 当x ∈（1，2）时，不等式2 (1)log a x x -<恒成立，求a 的取值范围． 【答案】1＜a ≤2 【答案】设21()(1)f x x =-，2()log a f x x =，要使当x ∈（1，2）时，不等式2 (1)log a x x -<恒成立，只需2 1()(1)f x x =-在（1，2）上的图象在2()log a f x x =的下方即可．当0＜a ＜1 时，由图象知显然不成立．当a ＞1时，如图2-2-5所示，要使在（1，2）上，2 1()(1)f x x =-的图象在2()log a f x x =的下方， (北师大版)高一数学必修1全套教案 第一章集合 课题:§0 高中入学第一课（学法指导） 教学目标：了解高中阶段数学学习目标和基本能力要求，了解新课程标准的基本思路，了解高考意向，掌握高中数学学习基本方法，激发学生学习数学兴趣，强调布置有关数学学习要求和安排。 教学过程： 一、欢迎词： 1、祝贺同学们通过自己的努力，进入高一 级学校深造。希望同学们能够以新的行动， 圆满完成高中三年的学习任务，并祝愿同 学们取得优异成绩，实现宏伟目标。 2、同学们军训辛苦了，收获应是：吃苦耐 劳、严肃认真、严格要求 3、我将和同学们共同学习高中数学，暂定 一年，… 4、本节课和同学们谈谈几个问题：为什么 要学数学？如何学数学？高中数学知识结 构？新课程标准的基本思路？本期数学教 学、活动安排？作业要求？ 二、几个问题： 1.为什么要学数学：数学是各科之研究工具，渗透到各个领域；活脑，训练思维；计算机等高科技应用的需要；生活实践应用的需要。 2.如何学数学： 请几个同学发表自己的看法→共同完善归纳为四点：抓好自学和预习；带着问题认真听课；独立完成作业；及时复习。注重自学能力的培养，在学习中有的放矢，形成学习能力。 高中数学由于高考要求，学习时与初中有所不同，精通书本知识外，还要适当加大难度，即能够思考完成一些课后练习册，教材上每章复习参考题一定要题题会做。适当阅读一些课外资料，如订阅一份数学报刊，购买一本同步辅导资料. 3.高中数学知识结构： 书本：高一上期（必修①、②），高一下期（必 修③、④），高二上期（必修⑤、选修系列）， 高二下期（选修系列），高三年级：复习资 料。 知识：密切联系，必修（五个模块）＋选修系列（4个系列，分别有2、3、6、10个模块）能力：运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、分析和解决实际问题的能力、应用能力。 4.新课程标准的基本理念： ①构建共同基础，提供发展平台；②提供多样课程，适应个性选择；③倡导积极主动、勇于探索的学习方式；④注重提高学生的数学思维能力；⑤发展学生的数学应用意识；⑥与时俱进地认识“双基”；⑦强调本质，注意适度形式化；⑧体现数学的文化价值；⑨注重信息技术与数学课程的整合；⑩建立合理、科学的评价体系。 5.本期数学教学、活动安排： 本期学习内容：高一必修①、②，共72课时， 2019-2020学年江西省宜春市万载中学高一（衔接班）上学期 12月月考数学试题 一、单选题 1．设集合 11 {|} 22 M x x =-<<，2 {|} N x x x =≤，则M N ?=（） A． 1 [0,) 2 B． 1 (,1] 2 -C． 1 [1,) 2 -D． 1 (,0] 2 - 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得， 11 (,) 22 M=-，[0,1] N=，∴ 1 [0,) 2 M N ?=，故选 A. 【考点】1.解一元二次不等式；2.集合的交集. 2．直线的倾斜角的大小为（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】解：因为直角坐标系中，直线斜率为-，倾斜角，选D 3．已知，，，则a，b，c的大小关系是 A．B．C．D． 【答案】B 【解析】利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较a，b，c与0和1的大小得答案．【详解】 ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】 本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，是基础题． A ．,,////m m n n ααββ⊥⊥? B ．//,//m n n m ααβ?=? C ．//,//,m m n n αβαβ⊥?⊥ D ．,,////m n m n αβαβ⊥⊥? 【答案】D 【解析】A 不正确，因为n 可能在平面β内； B 两条直线可以不平行； C 当m 在平面β内时，n 此时也可以在平面β内。故选项不对。 D 正确，垂直于同一条直线的两个平面是平行的。 故答案为：D 。 5．已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=, 若12l l ⊥, 则a 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．1 2 - D ．8 【答案】A 【解析】两直线垂直，斜率相乘等于1- . 【详解】 由题意得，直线1l 的斜率是2-，直线2l 的斜率是4 a -， 因为直线12l l ⊥，所以()214a ?? -?-=- ??? ，解得2a =-. 故选A. 【点睛】 本题考查直线垂直的斜率关系. 6．已知幂函数()y f x =的图象经过点A 2)，则2)f =（ ） A ．2 B ．14 2 C ．4 D ．2 【答案】B 【解析】设出幂函数，通过幂函数经过的点，即可求解幂函数的解析式，再求函数值． 【详解】 解：由题意设()(0)f x x x α=≠， ∵幂函数()y f x =的图象经过点A 2)， ∴ 12 222α = =，则1 α=， 易学教育个性化教案 教研组长（主任）签字：该页请在下一次上课时带回 教学目录 一、初升高数学衔接班学法指导 二、集合与函数的概念 三、集合的基本关系与集合的表示 四、函数的表示与函数的概念 五、函数的单调性 六、函数的奇偶性 七、基本初等函数——指数函数 八、基本初等函数——对数函数 九、基本初等函数——幂函数 十、梳理与检测 集合 集合的概念 【知识提炼】 1.元素和集合的关系是从属的关系，集合与集合的关系是包含的关系，二者符号表示不同.求解集合问题的关键是搞清楚集合的元素，即元素是什么，有哪些元素. 2.集合的关系有子集、真子集；集合的运算有交集、并集、补集和相等.常常借助Venn 图、数轴和函数图象进行有关的运算，使问题变得直观，简洁. 3.空集是不含任何元素的集合，因其特殊常常容易忽略.在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ?B ,则有A =?或A ≠?两种可能，此时应分类讨论. 【概念梳理】 1.集合与元素 （1）集合元素的三个特征：_________、_______、 ________. （2）元素与集合的关系是_____或________关系， 用符号_∈___或___?__表示. (3)集合的表示法：______、_______、_______、 _______. 2.集合间的基本关系 (1)子集、真子集及其性质对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，则A B ?（或B A ?）. 若A ?B ，且在B 中至少有一个元素x ∈B ，但x ?A ， 则__ __（或__ __）. ? _?__A ；A_?__A ；A ?B ，B ?C ?A__?__C. (2)集合相等 若A ?B 且B ?A,则_______. 3.集合的运算及其性质 (1)集合的并、交、补运算 并集：A ∪B={x|x ∈A 或x ∈B}； 交集：A ∩B=___{x|x ∈A 且x ∈B}____； 高中数学教知识点摘要（人民教育出版社） 第一册（上） 第一章集合与简易逻辑 一集合 1.1集合 （1）一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。 （2）常用的数集及其记法： ①全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N； ②非负整数集内排除0的集，也称正整数集，表示成N*或N+； ③全体整数的集合通常简称整数集，记作Z; ④全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q； ⑤全体实数的集合通常简称实数集，记作R； ⑥全体奇数的集合简称奇数集； ⑦全体偶数的集合简称偶数集。 （3）集合中的每个对象叫做这个集合的元素。 （4）集合的元素常用小写的拉丁字母表示。如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A,记作。 （5）集合的表示方法，常用的有列举法和描述法。 （6）一般地，含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集，不含任何元素的集合叫做空集，记作○。 1.2子集、全集、补集 （1）一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。记作 这时我们也说集合A是集合B的子集。 当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时，记作 （2）我们规定：空集是任何集合的子集。（3）一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作 A=B （4）任何一个集合是它本身的子集。（5）对于两个集合A与B，如果，并且，我们就说集合A是集合B的真子集，记作 （6）空集是任何非空集合的真子集。（7）对于集合A、B，如果，同时，那么A=B。 （8）一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作即 （9）如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。全集通常用U表示。 1.3交集、并集 （1）由所有属于集合A且（同时）属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作（读作“A交B”），即 （2）由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作（读作“A并B），即 （3）（P13） 1.4含绝对值的不等式解法 （1）形如x a b -≤或x a b -≥的不等式 表示在数轴上到(0) a a≥这点距离小于等 第一章集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示 第1课时集合的含义 A级基础巩固 一、选择题 1．已知集合A中的元素x满足－5≤x≤5，且x∈N*，则必有( ) A．－1∈A B．0∈A C.3∈A D．1∈A 解析：－5≤x≤5，且x∈N*， 所以x＝1，2，所以1∈A. 答案：D 2．下列各对象可以组成集合的是( ) A．中国著名的科学家 B．2017感动中国十大人物 C．高速公路上接近限速速度行驶的车辆 D．中国最美的乡村 解析：看一组对象是否构成集合，关键是看这组对象是不是确定的，A，C，D选项没有一个明确的判定标准，只有B选项判断标准明确，可以构成集合． 答案：B 3．由x2，2|x|组成一个集合A中含有两个元素，则实数x的取值可以是( ) A．0 B．－2 C．8 D．2 解析：根据集合中元素的互异性，验证可知a的取值可以是8. 答案：C 4．已知集合M具有性质：若a∈M，则2a∈M，现已知－1∈M，则下列元素一定是M中的元素的是( ) A．1 B．0 C．－2 D．2 解析：因为a∈M，且2a∈M，又－1∈M， 所以－1×2＝－2∈M. 答案：C 5．由a2，2－a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( ) A．1 B．－2 C．6 D．2 解析：因A中含有3个元素，即a2，2－a，4互不相等，将选项中的数值代入验证可知答案选C. 答案：C 二、填空题 6．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)． ①不超过10的所有正整数； ②高一(6)班中成绩优秀的同学； ③中央一套播出的好看的电视剧； 第五讲绝对值不等式的解法 一.理解性概念 b?cax?b??c(cx??0ax)a?(a?0)ax型不等式的解法与型不等式与与解集 ??a?a?x(a?0)x?x?a; 的解集是不等式??a??xa,或xx??a(a?0)x不等式的解集是??)0(c?cax?b?)(c?0bx|?c?ax??c; 的解集为不等式??)?0?ax?bc(c)0c或 ax?b?c?(?x|ax?b?c,不等式的解集为三、讲解范例：5500?x??5. 1例12 解不等式解不等式< | 2x-1 | . 例 不等式：例4 解例3 解不等式：|4x-3|>2x+1. |x-3|-|x+1|<1. x)(?)aa?Rxa?xa(?R , 解关于5. 的不等式①②例 x)R?(???2x31aa. 6.例解关于的不等式 1 课堂练习卷分满分100建议用时40分钟一、选择题2a?6a得( ) ＜-61.已知，化简aaaa-6 D. +6 B. - -6 A. 6- C. x( ) 8-3｜≤0的解集是2.不等式｜8?? D. C. {(1,-1)} R B. ?? 3??3.绝对值大于2且不大于5的最小整数是( ) A. 3 B. 2 C. -2 D. -5 AxxBxxAB等于( ) | || |∩-2|＜3}，-4.设={={1|≥1}，则xxxxx≥2} 5} B. {≤０或|A. { |-1＜＜xxxxx＜≤0或2≤|-1C. {＜|-1＜5} ≤0} D. {A B}??1?10?x A?{x x?Z且}x?5 x?Z且B?{x 中的元素个设集合，则，5.数是( ) A. 11 B. 10 C. 16 D. 15 23??x?R2yyy?x?2x?3,NMMN）︱}，则集合={y（6.已知集合∩={ }, 1???4?yy1??y?5yyy??4 } C. {} B. {A. { 5??x3x）或7.的否定是（语句 5x?x?或x?35?3或x A. B. 5x3且?x3x?且x?5? C. D. 二、填空题xx . 2 ，不等式｜｜≥3的解集是-1的解集是1.不等式｜+2｜＜31x??11的解集是不等式_________________. 2.2 cab三数的点的位置，化简3.根据数轴表示,,2 cacbab|= ___ . +-|+|||-|+三、解答题x?21解不等式1.??0xx｜-3 ＞0 1.- 2｜ 2.解不等式22x2 2 x Bx AUxxx+3｜＜2},｜｜- 2求：- 8＞3.已知全集,= R0},={ ｜={ ABABABAB））∩（C,（,C（∪C） (2) C,C(1)∪uuuuu 对数函数及其性质 【要点梳理】 要点一、对数函数的概念 1．函数y=log a x(a>0，a ≠1)叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞，值域为R ． 2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量x ． 要点诠释： （1）只有形如y=log a x(a>0，a ≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数． （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论． a ＞0 0＜a ＜1 图象 性质 定义域：（0，+∞） 值域：R 过定点（1，0），即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增函数 在（0，+∞）上是减函数 当0＜x ＜1时，y ＜0， 当x ≥1时，y ≥0 当0＜x ＜1时，y ＞0， 当x ≥1时，y ≤0 要点诠释： 关于对数式log a N 的符号问题，既受a 的制约又受N 的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考. 以1为分界点，当a ，N 同侧时，log a N>0；当a ，N 异侧时，log a N<0. 要点三、底数对对数函数图象的影响 1．底数制约着图象的升降． 如图 要点诠释： 由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略． 2．底数变化与图象变化的规律 接学校通知普通?高中数学课程标准2017年年版在实验版的基础上作了了修订，总体是继承，删减了了?一些内容，调整了了内容的顺序，注重了了数学知识内部的逻辑性，使得整体内容更更趋合理理。 ?一、课程结构 ?高中数学课程分为必修课程、选择性必修课程和选修课程。?高中数学课程内容突出函数、?几何与代数、概率与统计、数学建模活动与教学探究活动四条主线，它们贯穿必修、选择性必修和选修课程，数学?文化融?入课程内容。 1、必修课程为学?生发展提供共同基础，是?高中毕业的数学学业?水平考试的内容要求，也是?高考的要求。如果学?生以?高中毕业为?目标，可以只学习必修课程，参加?高中毕业的数学学业?水平考试。 2、选择性必修课程是供学?生选择的课程，也是?高考的内容要求。如果学?生计划通过参加?高考进?入?高等学校学习，必须学习必修课程和选择性必修课程，参加数学?高考。 3、选修课程为学?生确定发展?方向 提供引导，为学?生展示数学才能提供平台，为学?生发展数学兴趣提供选择，为?大学?自主招?生提供参考。如果学?生在上述选择的基础上，还希望多学习?一些数学课程，可以在选择性必修课程或选修课程中，根据?自身未来发展的需求进?行行选择。 ?二、课程内容 （?一）必修和选修内容的调整 常?用逻辑?用语、复数由原来的选修内容调整为现在的必修内容；数 列列、变量量的相关性、直线线与?方程、圆与?方程由原来的必修内容调整为现在的必选修内容； （?二）内容的删减与增加 删去了了必修三算法初步、选修2-2推理理与证明以及框图（?文科）这三章内容，删去了了简单的线性规划问题、三视图；“解三?角形”由原来单独的?一章内容合并到“平?面向量量”这?一章?里里了了。必修和必选修均增加了了数学建模与数学探究活动。 （三）具体各章节内容的细微变化 1、必修课程 主题?一预备知识 预备知识包括了了四个单元的内容： 高一数学教程视频全集 教材指导高一数学01教材指导高一数学02教材指导高一数学03教材指导高一数学04教材指导高一数学05 教材指导高一数学06教材指导高一数学07教材指导高 一数学08教材指导高一数学09教材指导高一数学10教材指导高一数学11教材指导高一数学12教材指导高一 数学13教材指导高一数学14教材指导高一数学15教材指导高一数学16教材指导高一数学17教材指导高一数 学18教材指导高一数学19教材指导高一数学20教材指导高一数学21教材指导高一数学22教材指导高一数学23教材指导高一数学24教材指导高一数学25教材指导 高一数学26高一数学教程视频内容简介：这部高一数 学教学总结就在星火视频高一数学教程视频是由特级教师 主讲的精品数学教程，老师在教程里不仅教授学生课本知识，扩展数学知识，教授学生答题方法，而且为老师的高一数学教学总结提供参考。所以观看高一数学教学总结就在星火视频高一数学教程视频无论是老师还是学生都一定会受益匪 浅的。高一数学教学总是老师对所进行的高一学期教学工作、教学方法、教学疑难以及教学成果的总结是老师做好数学教学工作以及工作经验积累的良方。认真备课，做到既备学生又备教材与备教法是高一教学总结的第一点。根据教材内容 及学生的实际情况设计课程教学，拟定教学方法，并对教学过程中遇到的问题尽可能的预先考虑到，认真写好教案。每一课都做到“有备而去”，每堂课都在课前做好充分的准备， 课后及时对该课作出小结，并认真整理每一章节的知识要点，帮助学生进行归纳总结。增强上课技能，提高教学质量是高一教学总结的第二点。增强上课技能，提高教学质量是我们每一名新教师不断努力的目标。追求课堂讲解的清晰化，条理化，准确化，条理化，情感化，生动化;努力做到知识线索清晰，层次分明，教学言简意赅，深入浅出。我深知学生的积极参与是教学取得较好的效果的关键。所以在课堂上我特别注意调动学生的积极性，加强师生交流，充分体现学生在学习过程中的主动性，让学生学得轻松，学得愉快。他们强调让一定要注意精讲精练，在课堂上讲得尽量少些，而让学生自己动口动手动脑尽量多些;同时在每一堂课上都充分考 虑每一个层次的学生学习需求和接受能力，让各个层次的学生都得到提高。虚心向其他老师学习，在教学上做到有疑必问是高一教学总结的第三点。在每个章节的学习上都积极征求其他有经验老师的意见，学习他们的方法。同时多听老教师的课，做到边听边学，给自己不断充电，弥补自己在教学上的不足，并常请备课组长和其他教师来听课，征求他们的意见，改进教学工作。认真批改作业、布置作业有针对性，有层次性。是高一教学总结的第四点。作业是学生对所学知 初高中数学衔接教材 现有初高中数学知识存在以下“脱节” 1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 目录 1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.４分式 1．2 分解因式 2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数 2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法 3．1 相似形 3.1.1．平行线分线段成比例定理 3.1.2相似形 3.2 三角形 3.2.1 三角形的“四心” 3.2.2 几种特殊的三角形 3．3圆 3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系 3.3.2 点的轨迹 1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的 １ 高一数学复习讲义09年版 函数部分(1) 重点：1把握函数基本知识（定义域、值域） x（a>0、<0) 主要是指数函数y=a x（a>0、<0),对数函数y=log a 2二次函数（重点）基本概念（思维方式）对称轴、 开口方向、判别式 考点1：单调函数的考查 2：函数的最值 3：函数恒成立问题一般函数恒成立问题(重点讲) 4：个数问题（结合函数图象） 3反函数（原函数与对应反函数的关系）特殊值的取舍 4单调函数的证明(注意一般解法） 简易逻辑(较容易) 1. 2. 3. 4. 启示：对此部分重点把握第3题、第4题的解法（与集合的关系） 问题1：恒成立问题解法及题型总结(必考) 一般有5类：1、一次函数型：形如：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m, n]内恒有f(x)>0(<0) 练习：对于满足0 《排列与排列数公式》（第1课时）教学设计 一．教学内容解析 本节课是人教版A版《数学选修2-3》第一章第2节的第一节课，排列是一类特殊而重要的计数问题，教科书从简化运算的角度提出了排列的学习任务，通过具体实例概括而得出排列的概念，应用分步计数原理得出排列数公式，对于排列，有两个想法贯穿始终，一是根据一类问题的特点和规律寻找简便的计数方法，就像乘法作为加法的简便运算一样；二是注意应用两个计数原理思考和解决问题。 本节课具有承上启下的地位，理解排列的概念是应用分步计数原理推导排列数公式的前提，对具体的排列问题的分析又为排列数公式提供了基础。排列数公式的推导过程是分布计数原理的一个重要应用，同时，排列数公式又是推导组合数公式的主要依据。 基于学生的认知规律，本节课只是对排列和排列数公式的初步认识，在后面知识的学习过程中，逐步加深理解和灵活运用。 本节课的教学重点是排列的概念、排列数公式，教学难点是排列的概念，排列的概念有一定的抽象性，本节课结合教科书的编排，采取了由特殊到一般的归纳思想来建构概念的理解过程，通过引导学生分析三个典型事例，从中归纳出共同特征，再进一步概括出本质特征，得出排列的定义，再跟进10个具体事例多角度加深对概念的理解，并多次强调一个排列的特点，n个不同的元素，取出m个元素，元素的顺序，奠定学生对排列定义的理解基础，为后面组合概念的提出埋下伏笔。同时通过有规律的展示分步计数原理得到的一长串排列数，为后面水到渠成得到排列数公式作好铺垫，排列数公式的简单应用体现了排列简化步骤的优点，让学生直观感受学习排列的必要。 二．教学目标设置 1.通过几个具体实例归纳概括出排列的概念，并能运用排列的判断具体的的计数问题是否为排列问题；能利用分步计数原理推导排列数公式，能简化分步计数原理解决问题的步骤。在排列数符号及其公式的产生过程中体现简化的思想。学生学习后能够对排列或非排列问题作出准确的判断，能够分析原因，能够简单应用排列数公式。 2.在教学过程中，通过排列的概念、排列数公式的得到培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力，以及解决与计数有关的问题时主动联系排列相关知识的能力，体会排列知识在实际生活中的应用，增强学生学习数学的兴趣。 3.让学生学会通过对各种事情现象、本质的分析，得出一般的规律，通过由简到繁的着色问题、由繁到简的数学符号的引入过程体会丰富的数学文化. 三．学生学情分析 学生对两个计数原理已很好的掌握，但凡计数的问题能够往分类或分步的方向进行思考，学生的层次决定了学生有较强的理解、分析、解决问题的能力，有着大量的生活中诸如设置密码、车牌号、排队、参加活动、接力赛...与计数问题有关的经验，对数学中归纳化归、有特殊到一般的思想方法比较敏感，但抽象概括的能力较弱，排列概念的得到，要独立将颜色、数字、人抽象为元素，对着色的方案抽象出顺序有一定的困难，需在独立思考加协作讨论的基础上再由老师引导突破教学难点。 四．教学策略分析 在本节课的教学过程中将数学文化和数学知识、实际生活有机的融合，让抽象的数学概念形成的过程丰富多元，避免单调枯燥。 高一数学同步辅导：函数的性质 1、若函数m x y -= 与其反函数的图象有公共点,则m 的取值范围是 ( ) (A)m ≥41 (B)m ≤41 (C)m ≥0 (D)m ≤0 2、函数y=x 2＋2x(x ＜－1)的反函数是 ( ) (A)y= 1+x －1(x ＜－1 ) (B)y=1+x －1(x ＞－1) (C)y=－1+x －1(x ＜-1) (D)y=－1+x －1(x ＞－1) 3、若函数f(x)=m x x +-2 的反函数f －1 (x)=f(x),则m 的值是 ( ) (A)1 (B)－1 (C)2 (D)－2 4、设f(x)= 3412++x x (x ∈R,且x ≠－43),则f －1(2)的值等于 ( ) (A)65 - (B)52- (C)52 (D)115 5、已知函数y=f(x)是偶函数,其图象与x 轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实数根之和为 （ ） (A)4 (B)2 (C)1 (D)0 6、奇函数y=f(x)在区间[3,7]上是增函数,且最小值为－5,那么f(x)在区间[－7,－3]上（ ） (A)是增函数且最小值为5 (B)是增函数且最大值为5 (C)是减函数且最小值为5 (D)是减函数且最大值为5 7、当21 ≤x ≤2时,函数y=x+ x 1的值域为 ( ) (A)[2,+∞] (B)[2 21 ,+∞] (C)[2,221 ] (D)(0,+∞) 8、若x x x f 1 )(-=,则对任意不为零的实数x 恒成立的是 ( ) (A)f(x)=f(－x) (B)??? ??=x f x f 1)( (C)??? ??-=x f x f 1)( (D)f(x)·01=??? ??x f 9、若函数y=f(x)是函数)10(222≤≤--=x x y 的反函数，则y=f(x)的图象是( ) 10、给定如下四个命题： (1)奇函数必有反函数； (2)由于函数 y = f (x )和其反函数y = f －1(x )的图象关于直线y = x 对称，所以y ＝f (x ) 初高中数学到底“衔接”什么？新生需掌握的八个知识点 很多新高一的同学，暑假里都忙着“衔接”，步入高中，无论是学习方法还是知识难度都有了很大的改变，大家都想趁着暑假来全方位提升自己，让这一级台阶迈得更稳。但是到底该衔接些什么内容，才可以达到事半功倍，直击问题的核心呢?为新高一的学生们答疑解惑，如何做好初高中衔接教育。 初高中数学到底“衔接”什么? 衔接≠上新课、竞赛培训、巩固复习课每年的暑假，都有不少新高一的学生去参加初高中衔接的课程，二八学习法温馨提醒：做好衔接方面的工作是必要的，但是不要盲目参加，要分清楚到底是不是衔接，衔接的是哪些知识。 初高中衔接教材：不是要急于学习高一的新课本，而是将一些初中应该提高与拓展的部分进行巩固。目前初高中数学衔接教学存在的三个误区： 误区之一：衔接课程讲授大量的高一新知识，衔接课变成了新课。 误区之二：衔接课程讲授大量的初中竞赛内容，衔接课变成了竞赛培训课。 误区之三：衔接课程仅仅是巩固初中知识，衔接课变成了复习课。 数学语言更抽象了思维方法更理性了王老师提醒，高中数学和初中有很大不同： 一是数学语言在抽象程度上突变：历来学生都反映，集合、映射等概念难以理解，离生活很远，似乎很“玄”。 二是思维方法向理性层次跃迁：数学语言的抽象化对思维能力提出了更高的要求。 三是知识内容的整体数量剧增，加之时间紧、难度大，这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。 王老师建议同学们做好课后的复习工作，理解新旧知识的内在联系，学会对知识结构进行梳理. 二八学习法初高中衔接教材系列的三大优势： 1.针对性强：内容衔接，复习已学过的内容，预习新学期学习的内容，温故知新。 2.新颖性强：通过《二八学习法讲义》掌握高效学习方法，并通过二八学习法视频加深对二八学习法的理解，并将掌握的方法运用于学习之中。资料部分，内容新颖，知（知识）、能（能力）、思（思考方法）并重，讲、练、评一体化。 3.实用性强：二八学习法讲义+视频讲解+资料（读和练）三维一体，相得益彰，高效学习，效率惊人！ 初中名师家教、高中名师家教、初高中衔接教材 产品类别内容（二八学习法讲义+DVD光盘+资料） 秋季开学新初一版语、数、英三科 秋季开学新初二版语、数、英三科 秋季开学新初三版语、数、英、理四科 秋季开学新高一版语、数、英、理、化五科 秋季开学新高二版语、数、英、理、化五科 秋季开学新高三版语、数、英、理、化五科 二八学习法，是指引学习方向的学习方略，方向正确，事半功倍，相信二八学习法会给你的学习带来神奇的效果！ 二八学习法五大系列产品是：名师家教、同步导学、复习指南、模法解题、试题分析 足不出户尽享名师家教 单科提分20-30分 数学课的基本课型 一、关于数学基本课型 （一）数学概念课 概念具有确定研究对象和任务的作用。数学概念是导出全部数学定理、法则的逻辑基础，数学概念是相互联系、由简到繁形成学科体系。数学概念不仅是建立理论系统的中心环节，同时也是提高解决问题的前提。因此，概念教学是数学基础知识和基本技能教学的核心。它是以“事实学习”为中心内容的课型。 我们认为，通过概念教学，力求让学生明了以下几点： 第一，这个概念讨论的对象是什么？有何背景？其来龙去脉如何？学习这个概念有什么意义？它们与过去学过的概念有什么联系？ 第二，概念中有哪些补充规定或限制条件？这些规定和限制条件的确切含义又是什么？ 第三，概念的名称、进行表述时的术语有什么特点？与日常生活用语比较，与其他概念、术语比较，有没有容易混淆的地方？应当如何强调这些区别？ 第四，这个概念有没有重要的等价说法？为什么等价？应用时应如何处理这个等价转换？第五，根据概念中的条件和规定，可以归纳出哪些基本的性质？这些性质又分别由概念中的哪些因素（或条件）所决定？它们在应用中起什么作用？能否派生出一些数学思想方法？由于数学概念是抽象的，因此在教学时要研究引入概念的途径和方法。一定要坚持从学生的认识水平出发，通过一定数量日常生活或生产实际的感性材料来引入，力求做到从感知到理解。还要注意在引用实例时一定要抓住概念的本质特征，着力揭示概念的本质属性。 人类的认识活动是一个特殊的心理过程，智力不同的学生完成这个过程往往有明显的差异。在教学时要从面向全体学生出发，从不同的角度，设计不同的方式，使学生对概念作辩证的分析，进而认识概念的本质属性。例如选择一些简单的巩固练习来辨认、识别，帮助学生掌握概念的外延和内涵；通过变式或变式图形，深化对概念的理解；通过新旧概念的对比，分析概念的矛盾运动。抓住概念之间的联系与区别来形成正确的概念。有些存在种属关系的概念，常分散在各单元出现，在教学进行到一定阶段，应适时归类整理，形成系统和网络，以求巩固、深化、发展和运用。 （二）数学命题课 表达数学判断的陈述句或用数学符号联结数和表示数的句子的关系统称为数学命题。定义、公理、定理、推论、公式都是符合客观实际的真命题。数学命题的教学是获得新知的必由之路，也是提高数学素养的基础。因此，它是数学课的又一重要基本课型。通过命题教学，使学生学会判断命题的真伪，学会推理论证的方法，从中加深学生对数学思想方法的理解和运用。培养数学语言能力、逻辑思维能力、空间想象能力和运算能力，培养数学思维的特有品质。 在进行命题教学时，首先要重视指导学生区分命题的条件与结论。其次要引导学生探索由条件到结论转化的证明思路。由于数学证明常会用证明一个等效的命题来代替原命题的真实性，因而还要注意引导学生在证明过程中如何进行命题的转换，一定要展示完整的思维过程，并要注意命题转换时的等价性。特别通过一个阶段的教学后，要及时归纳和小结证明的手段和方法。使学生掌握演绎法的原理和步骤，逐步掌握综合法、分析法、反证法等证明方法（高中还有数学归纳法）。 命题课教学还要注意： 第一，对基本问题，要详细讲解，认真作图，教学语言要准确，论证要严格，书写要规范， 南京市金陵中学高一数学同步辅导教材一、本讲教学进度 1．5（P23-24） 二、本讲内容 1．一元二次不等式>和<的解法. 2．可化为一元一次不等式组的分式不等式. 3．二次函数在给定范围内的最值. 三、重点、难点选讲 1．一元二次不等式>和<的解法. ⑴因一元二次方程的两个根是，故有 一元二次不等式>，(<)的解集为<，或>. 一元二次不等式<，(<)的解集为<<. ⑵引用上述结论时，必须注意不等式右边为零，两个括号中的系数为1的条件. 例1解不等式： ⑴≤； ⑵>； ⑶≤. 解：⑴原不等式即≤， 整理得≥， ≥. ∴不等式的解集为≤，或≥. ⑵∵≥, ∴由，得不是原不等式的解. 当，得>， 即<，<<. ∴原不等式的解集为<<，且. ⑶∵>, ∴原不等式与≤同解， ∴原不等式的解集为≤≤. 评析第⑵题中，因≥，故只需考虑是否满足不等式，就可以在原不等式中将 除去. 例2解关于的不等式：>（,R）. 解：原不等式可化为<. . ⑴>时，>，∴不等式的解集是<<. ⑵当时，，∴不等式的解集是. ⑶当<<时，<，∴不等式的解集是. ⑷当<<时，>，∴不等式的解集是 ⑸当时，，∴不等式的解集是. ⑹当<时，<，∴不等式的解集是. 2．可化为一元一次不等式组的分式不等式 ⑴不等式>与二次不等式>同解；不等式<与二次不等式 <同解. ⑵不等式≥的解集是不等式>的解集与集合的并集；不等式 ≤的解集是不等式<的解集与集合的并集. 例3解不等式： ⑴≥；⑵≥. 解：(1)原不等式等价于≤. ∴不等式的解集是 = (2)原不等式等价于. ∴不等式的解集是 评析：对带有等号的不等式求解，可以在相应的不含等号的不等式的解集中，增加使分子等于零的值，就得到所求解集. 例4：求不等式的解集. ①等价. 解：不等式与不等式组 ,② 由①，, ∴ 初高中数学衔接课程一 二次函数 教学目标： 掌握二次函数的表达式，体会二次函数的意义； 能用描点法画出二次函数的图像，能从图像上认识二次函数的性质； 能根据公式确定图像的开口方向，顶点，对称轴，并能解决简单的实际问题； 能通过二次函数掌握三个“二次”的关系； 教学重点： 体会二次函数的意义； 能从容画出二次函数的草图，并能从图像上认识二次函数的性质； 能根据公式确定图像的开口方向，顶点，对称轴，并能解决简单的实际问题。 教学难点： 能通过二次函数掌握三个“二次”的关系。 教学流程： 二次函数： 二次函数的图像→二次函数的性质→二次函数解析式→二次函数的特性 教学过程设计： 一、二次函数的概念： 1.我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) 称a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项. 2.三个参数的具体意义： a ……决定抛物线的开口 ,a b …确定抛物线的对称轴 c ……抛物线与y 轴交点的纵坐标 二、抛物线的图像 1．探索二次函数c bx ax y ++=2 的图像特征 c bx ax y ++=2 =a b ac a b x a a c a b a b x a b x a a c x a b x a 44)2()2()2()(222222 -++=??????+-++=++ 由此可见函数c bx ax y ++=2的图像与函数2 ax y =的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到。 2．二次函数c bx ax y ++=2的图像特征 （1）二次函数 c bx ax y ++=2( a ≠0)的图象是一条抛物线； （2）对称轴是直线x=a b 2-，顶点坐标是为（a b 2-，a b ac 442 -） （3）当0a >时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。 当0a <时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。 3．对称轴02b x a =-的解析 ⑴对称轴的公式02b x a =- ⑵对称轴把抛物线的图像分成最后对称的两部分 ⑶与对称轴距离相等的两点所对的值相等，设两点的横坐标分别为12,x x 则12()22b b x x a a +=-?=- 4．抛物线图像性质 ⑴顶点……最大值，最小值 ⑵当0a >时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而减小，在对称轴的左右边，y 随x 的增大而减增大； 当0a <时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而增大，在对称轴的左右边，y 随x 的 增大而减减小。 三．二次函数的解析式： 1．一般式：2(0)y ax bx c a =++≠ 适用范围：已知任意三个点； 2．顶点式：2()y a x h k =-+ 其中2b h a =-，2 44ac b k a -= 解析式之间的互换：从具体例子入手。 四．应用举例 新课标高中数学必修模块不同顺序的教学之我见 新课标高中数学已实施了7年，我对必修模块不同顺序的教学会带来的问题和各自的利弊进行了多次反思，据悉北京海淀区等不少地区对模块的顺序1、2、3、4、5做了一下调整，他们的顺序是按照必修的1、4、5、2、3的顺序进行的，我个人认为按1、4、5、2、3的顺序来教学会带来不少的问题，还是应该按1、2、3、4、5的顺序来教学，理由如下： 一、按1、4、5、2、3的顺序来教学，需要重编教材，难度太高。《高中数学课程标准（实验）》关于必修模块的顺序是1、2、3、4、5，按照这个顺序教学，教学内容、知识能力、例题习题是严格同步的，不需要老师对教材进行改编、补充和调整；如果改变顺序为1、4、5、2、3，则必须对教材进行改编、补充和调整，近乎于重编教材，这个难度可想而知，然而效果却不得而知；虽说海淀区的教师们的教学教研能力全国一流，但毕竟与专家尚有距离，很难达到理想的效果。按照1、4、5、2、3这个顺序教学，要求学校和教师有较高的校本教研的能力，有一定的补充、改编和调整教材的能力，相应需要增加一些教学研究的力度。 二、按1、4、5、2、3的顺序来教学，会导致部分内容难度相对集中，增加学生的负担。必修模块1、2、3、4、5的内容安排由浅入深，难易分散，教学是顺畅的，减少了教师的教学负担，减少了教师教学中可能遇到的困难，其逻辑顺序是科学的；若改变顺序为1、4、5、2、3，可能使部分内容难度相对集中，研究问题也难以由浅入深了。1、2、4、5的教学内容历来都是高中数学的重点和难点，也是高考的热点，内容多、要求高、难度大的知识过于集中，高中一年级学生的负担可想而知，后面的一个学期又略显轻松。1、2、3、4、5的顺序，把必修3作一个缓冲区放在中间，必修3一般需要的课时数可能比我们想象中要少一些，学生掌握的也比较好一点，学生学习这部分内容，感觉应该比较轻松一点，这样，换一口气，我们再进入4、5的内容。 另外，按1、4、5、2、3的顺序来教学，必修5中讲解“线性规划”时出现了“斜率”的概念、解三角形中出现了空间图形，而此前的教学中没有这个内容，必须补充。在解析几何知识不充分的情况下讲向量的坐标运算，三角函数的定义等等，也给教学带来了不少困难，无端增加了学生的负担。(北师大版)高一数学必修1全套教案
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